Правильный пятиугольник — это… Что такое Правильный пятиугольник?

Правильный пятиугольник

Правильный пятиугольник (греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

Свойства

Построение правильного пятиугольника
  • Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:
,

где  — радиус описанной окружности,  — радиус вписанной окружности, — диагональ, — сторона.
  • Высота правильного пятиугольника:
  • Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
  • Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу .

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

  • Радиус вписанной окружности:
  • Радиус описанной окружности:
  • Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
  • Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного
,
где — отношение золотого сечения.

Построение

Построение правильного пятиугольника

Построение правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

  1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
  2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через
    O
    и A.
  3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью, как точку B.
  4. Постройте точку C посередине между O и B.
  5. Проведите окружность с центром в C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
  6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
  7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
  8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H
    .
  9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля

Получение с помощью полоски бумаги

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

Overhand knot of a paper strip

В природе

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.[1]

Интересные факты

Пентагон
  • Додекаэдр — единственный из правильных многогранников, грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
  • Пентагон — здание Министерства обороны США имеет форму правильного пятиугольника.
  • Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
  • В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника.

См. также

Примечания

Как построить пятиугольник с помощью циркуля

Положительный пятиугольник – это многоугольник, у которого все пять сторон и все пять углов равны между собой. Вокруг него легко описать окружность. Возвести пятиугольник и поможет именно эта окружность.

Инструкция

1. В первую очередь нужно возвести циркулем окружность. Центр окружности пускай совпадает с точкой O. Проведите оси симметрии перпендикулярные друг другу. В точке пересечения одной из этих осей с окружностью поставьте точку V. Эта точка будет вершиной грядущего пятиугольник а. В точке пересечения иной оси с окружностью расположите точку D.

2. На отрезке OD обнаружьте середину и подметьте в ней точку А. Позже этого надобно возвести циркулем окружность с центром в этой точке. Помимо того, она должна проходить через точку V, то есть, радиусом CV. Точку пересечения оси симметрии и этой окружности обозначьте за В.

3. Позже этого при помощи циркуля проведите окружность такого же радиуса, поставив иголку в точку V. Пересечение этой окружности с изначальной обозначьте как точку F. Эта точка станет 2-й вершиной грядущего верного пятиугольник а.

4. Сейчас необходимо провести такую же окружность через точку Е, но с центром в F. Пересечение только что проведенной окружности с изначальной обозначьте как точку G. Эта точка так же станет еще одной из вершин пятиугольник а. Аналогичным образом нужно возвести еще один круг. Центр его в G. Точка пересечения его с изначальной окружностью пускай будет H. Это последняя вершина верного многоугольника.

5. У вас должно получиться пять вершин. Остается их легко объединить по линейке. В итоге всех этих операций вы получите вписанный в окружность положительный пятиугольник .

Построение положительных пятиугольников дозволено с поддержкой циркуля и линейки. Правда, процесс это довольно долгий, как, однако, и построение всякого положительного многоугльника с нечетным числом сторон. Современные компьютерные программы разрешают сделать это за несколько секунд.

Вам понадобится

  • – компьютер с программой AutoCAD.

Инструкция

1. Обнаружьте в программе AutoCAD верхнее меню, а в нем — вкладку «Основная». Нажмите на нее левой клавишей мыши. Появится панель «Рисование». Появятся различные типы линий. Выберите замкнутую полилинию. Она и представляет собой многоугольник, остается только ввести параметры. AutoCAD. Дозволяет рисовать самые различные правильне многоугольники. Число сторон может добиваться 1024. Дозволено применять и командную строку, в зависимости от версии набрав « _polygon» либо «мн.-угол».

2. Вне зависимости от того, пользуетесь ли вы командной строкой либо контекстными меню, на экране у вас появится окошко, в которое предлагается ввести число сторон. Введите туда цифру «5» и нажмите Enter. Вам будет предложено определить центр пятиугольника. Вбейте в появившееся окошко координаты. Дозволено обозначить их как (0,0), но могут быть и всякие другие данные.

3. Выберите необходимый метод построения. . AutoCAD предлагает три варианта. Пятиугольник может быть описанным вокруг окружности либо вписанным в нее, но дозволено возвести его и по заданному размеру стороны. Выберите надобный вариант и нажмите на ввод. В случае необходимости задайте радиус окружности и тоже нажмите enter.

4. Пятиугольник по заданной стороне вначале строится верно так же. Выберите «Рисование», замкнутую полилинию и введите число сторон. Правой клавишей мыши вызовите контекстное меню. Нажмите команду «edge” либо «сторона”. В командной строке наберите координаты исходной и финальной точек одной из сторон пятиугольника. Позже этого пятиугольник появится на экране.

5. Все операции дозволено исполнять с поддержкой командной строки. Скажем, для построения пятиугольника по стороне в русскоязычной версии программы введите букву «с». В англоязычной версии это будет «_e”. Дабы возвести вписанный либо описанный пятиугольник, введите позже определения числа сторон буквы «о» либо «в» (либо же английские “_с” либо “_i” )

Видео по теме

Видео по теме

Полезный совет
Таким нехитрым методом дозволено возвести не только пятиугольник. Для того дабы возвести треугольник, нужно разведите ножки циркуля на расстояние, равное радиусу окружности. После этого в всякую точку установите иглу. Проведите тонкую вспомогательную окружность. Две точки пересечения окружностей, а так же точка, в которой была ножка циркуля образуют три вершины положительного треугольника.

Как начертить восьмиугольник с помощью циркуля

Деление окружности на равные части и по­строение правильных вписанных многоуголь­ников можно выполнить как циркулем, так и с помощью угольников и рейсшины.

Деление окружности на четыре равные части и построение пра­вильного вписанного четырех­угольника. Две взаимно перпендикулярные центровые линии делят окружность на четыре равные части (рис. 115, а). Соединив точки пе­ресечения этих линий с окружностью прямы­ми, получают правильный вписанный четырех­угольник.

Деление окружности на восемь равных частей и построение пра­вильного вписанного восьмиуголь­ника. Две взаимно перпендикулярные линии, проведенные под углом 45° к центровым ли­ниям с помощью угольника с углами 45, 45 и 90° и рейсшины (рис. 115, б), вместе с центро­выми линиями разделят окружность на восемь равных частей.

Деление окружности на восемь равных час­тей можно выполнить циркулем. Для этого из точек 1 и 3 (точки пересечения центровых линий с окружностью) произвольным радиусом делаются засечки до взаимного пересечения, тем же радиусом делают две засечки из точек 3 и 5 (рис. 115, в). Через точки пересечения засечек и центр окружности проводят прямые линии до пересечения с окружностью в точках 2, 4, 6, 8.

Если полученные восемь точек соединить последовательно прямыми линиями, то полу­чится правильный вписанный восьмиугольник (рис. 115, в).

Деление окружности на три рав­ные части и построение правиль­ного вписанного треугольника вы­полняют с помощью циркуля или угольника с углами 30, 60 и 90° и рейсшины.

При делении окружности циркулем на три равные части из любой точки окружности, на­пример из точки Л пересечения центровых ли­ний с окружностью (рис. 116, а и б), проводят дугу радиусом R, равным радиусу данной ок­ружности, получают точки 1 и 2. Третья точка деления (точка 3) будет находиться на про­тивоположном конце диаметра, проходящего через точку Л. Последовательно соединив точ­ки 1, 2 и 3, получают правильный вписанный треугольник. При построении правильного впи­санного треугольника, если задана одна из его вершин, например точка 1, находят точку А. Для этого через заданную точку 1 проводят диаметр (рис. 116, в). Точка А будет находить­ся на противоположном конце этого диаметра. Затем проводят дугу радиусом R равным ра­диусу данной окружности, получают точки 2 и 3.

При делении окружности на три равные час­ти с помощью угольника и рейсшины через точку 1 под углом 60° проводят две прямые линии до пересечения с окружностью в точках 2 и 3 (рис. 117, а, б), точки 2 и 3 соединяют и получают правильный вписанный треугольник (рис. 117, в).

Деление окружности на шесть равных частей и построение пра­вильного вписанного шестиуголь­ника выполняют с помощью угольника с уг­лами 30, 60 и 90° и рейсшины или циркуля. При делении окружности на шесть равных частей циркулем из двух концов одного диа­метра радиусом, равным радиусу данной окруж­ности, проводят дуги до пересечения с окруж­ностью в точках 2, 6 и 3, 5 (рис. 118). Последовательно соединив полученные точки, полу­чают правильный вписанный шестиугольник. Деление окружности на шесть равных час-1ен и построение правильного вписанного шестиугольника с помощью угольника и рейс­шины показано на рис. 119 и 120. Деление окружности на двенад­цать равных частей и построение правильного вписанного двенад­цатиугольника выполняют с помощью угольника с углами 30, 60 и 90° и рейсшины или циркуля.

При делении окружности циркулем из четы­рех концов двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности проводят радиусом, рав­ным радиусу данной окружности, дуги до пере­сечения с окружностью (рис. 121). Соединив по­лученные точки, получают двенадцатиугольник.

При построении двенадцатиугольника с по­мощью угольника и рейсшины точки деления строят, как показано на рис. 119 и 120.

Деление окружности на пять и десять равных частей и построе­ние правильного вписанного пяти­угольника и десятиугольника пока­зано на рис. 122.

Половину любого диаметра (радиус) делят пополам (рис. 122, а), получают точку А. Из точки А, как из центра, проводят дугу радиу­сом, равным расстоянию от точки А до точки 1, до пересечения со второй половиной этого диаметра, в точке В (рис. 122, б). Отрезок равен хорде, стягивающей дугу, длина которой равна 1 /5 длины окружности. Делая засечки на окружности (рис. 122, в) радиусом R, равным отрезку , делят окруж­ность на пять равных частей. Начальную точку 1 выбирают в зависимости от расположения пятиугольника. Из точки / строят точки 2 и 5 (рис. 122, в), затем из точки 2 строят точку 3, а из точки 5 строят точку 4. Расстояние от точки 3 до точки 4 проверяют циркулем; если расстояние между точками 3 и 4 равно отрезку 1В, то построения были выполнены точно. Нельзя выполнять засечки последовательно, в одну сторону, так как происходит набегание ошибок и последняя сторона пятиугольника получается перекошенной. Последовательно соединив найденные точки, получают пяти­угольник (рис. 122, г).

Деление окружности на десять равных час­тей выполняют аналогично делению окруж­ности на пять равных частей (рис. 122), но сначала делят окружность на пять частей, на­чиная построение из точки /, а затем из точ­ки 6, находящейся на противоположном конце диаметра (рис. 123, а). Соединив последова­тельно все точки, получают правильный впи­санный десятиугольник (рис. 123, б).

Деление окружности на семь и четырнадцать равных частей и по­строение правильного вписанного семиугольника и четырнадцатиугольника показано на рис. 124 и 125.

Из любой точки окружности, например точ­ки Л, радиусом заданной окружности проводят дугу (рис. 124, а) до пересечения с окруж­ностью в точках В и D. Соединим точки В и D прямой. Половина полученного отрезка (в данном случае отрезок ВС) будет равна хорде, которая стягивает дугу, составляющую 1 /7 дли­ны окружности. Радиусом, равным отрезку ВС, делают засечки на окружности в последова­тельности, показанной на рис. 124, б. Соединив последовательно все точки, получают правиль­ный вписанный семиугольник (рис. 124, в).

Деление окружности на четырнадцать рав­ных частей выполняется делением окружности на семь равных частей два раза от двух точек (рис. 125, а).

Сначала окружность делится на семь рав­ных частей от точки /, затем то же построение выполняется от точки 8. Построенные точки соединяют последовательно прямыми линиями и получают правильный вписанный четырна-дцатиугольник (рис. 125, б).

СОПРЯЖЕНИЯ

Рассматривая детали, видим, что в их конст­рукции часто одна поверхность переходит в другую. Обычно эти переходы делают плав­ными, что повышает прочность деталей и де­лает их более удобными в работе. На чертеже поверхности изображаются линиями, которые также плавно переходят одна в другую.

На рис. 126, а изображена деталь, в которой плавные переходы одних плоскостей в другие представляют собой цилиндрические поверхнос­ти. На чертеже (рис. 126, б) эти плоскости изо­бражены прямыми линиями, а цилиндрические поверхности — дугами окружностей. Плавные переходы от одной прямой к другой в этих случаях выполняются дугой заданного радиуса.

Плавный переход одной цилиндрической поверхности в другую может являться цилинд­рической поверхностью (рис. 127, а). На черте­же эти цилиндрические поверхности изобра­жены дугами окружностей, (рис. 127, б). В этом случае плавный переход одной дуги окруж­ности в другую осуществляется дугой окруж­ности заданного радиуса.

На рис. 126, а и 127, а рассмотрены простей­шие примеры плавных переходов поверхностей. В чертежах более сложных деталей плавные переходы между поверхностями изображают­ся различными сочетаниями прямых, окруж­ностей и их дуг. Вариантов таких сочетаний может быть много, но их объединяет од­но — плавность перехода. Такой плавный пе­реход одной линии (поверхности) в другую ли­нию (поверхность) называют сопряжени­ем. При построении сопряжения необходимо определить границу, где кончается одна линия и начинается другая, т. е. найти на чертеже точку перехода, которая называется точкой сопряжения или точкой касания.

Задачи на сопряжения условно можно раз­делить на три группы.

Первая группа задачвключает в себя зада­чи на построение сопряжений, где участвуют прямые линии. Это может быть непосредствен­ное касание прямой и окружности, сопряжение двух прямых дугой заданного радиуса, а также проведение касательной прямой к двум окружностям.

Построение окружности, каса­тельной к прямой, связано с нахождени­ем точки касания и центра окружности.

Задана горизонтальная прямая АВ, требует­ся построить окружность радиусом R, касательную к данной прямой (рис. 128). Точка касания выбирается произвольно. Так как точка касания не задана, то окружность ра­диуса R может коснуться данной прямой в любой точке. Таких окружностей можно про­вести множество. Центры этих окружностей (O1, О2и т. д.) будут находиться на одина­ковом расстоянии от заданной прямой, т. е. на линии, расположенной параллельно заданной прямой АВ на расстоянии, равном радиусу заданной окружности (рис. 128). Назовем эту линию линией центров. Проведем линию центров параллельно прямой АВ на расстоя­нии R. Так как центр касательной окруж­ности не задан, возьмем любую точку на линии центров, например точку О. Прежде чем про­водить касательную окружность, следует опре­делить точку касания. Точка касания будет лежать на перпендикуляре, опущенном из точ­ки О на прямую АВ. В пересечении перпендику­ляра с прямой АВ получим точку К, которая будет точкой касания. Из центра О радиусом R от точки К проведем окружность. Задача решена.

В детали, которая изображена на рис. 129, а, пластина плавно переходит в цилиндр. При выполнении чертежа этой детали необходимо построить плавный переход прямой в окруж­ность.

Задача аналогична предыдущей, но до­полнена условием, что точка касания задана, так как задан размер А (рис. 129, б), который определяет величину прямолинейного участка.

Отложив размер Л, находят точку касания (точку /С), затем из точки К восставляют пер­пендикуляр, на котором откладывают радиус R заданной окружности, и находят центр ок­ружности (точку О). При обводке сначала от точки касания проводится дуга заданного ра­диуса, а потом — прямая.

Из сказанного следует:

1) центр окружности, касательной к прямой, лежит на прямой (линия центров), проведенной параллельно заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу данной окружности;

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Ответ

Проверено экспертом

Вспомогательная задача:
Разделить данный отрезок АВ пополам или провести серединный перпендикуляр к отрезку (рис. 1 внизу)
Из концов отрезка АВ одним и тем же радиусом, большим половины отрезка АВ провести две дуги. Через точки их пересечения проводим прямую. Это серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Построение правильного восьмиугольника:
Проводим диаметр АВ. Строим CD – серединный перпендикуляр к АВ.
Хорду СВ делим пополам – прямая KL.
Хорду АС делим пополам – прямая MN.
Соединяем точки A, M, C, K, B, N, D и L. Получили правильный восьмиугольник.

Построение правильного пятиугольника.
Строим два перпендикулярных диаметра АВ и CD.
Делим пополам отрезок ОА – точка Е.
Из Е радиусом ЕС проводим дугу, которая пересекает ОВ в точке F.
Из С радиусом CF проводим дугу, которая пересекает окружность в точке G. CG – сторона правильного пятиугольника.
Проводим радиусом CG из точки G как из центра дугу, которая пересекает окружность в точке K. GK – вторая сторона.
И т.д.
Получаем правильный пятиугольник CGKLM.

Есть ли поблизости от Вас карандаш? Взгляните-ка на его сечение – оно представляет собой правильный шестиугольник или, как его еще называют, гексагон. Такую форму имеет также сечение гайки, поле гексагональных шахмат, кристаллическая решетка некоторых сложных молекул углерода (к примеру, графит), снежинка, пчелиные соты и другие объекты. Гигантский правильный шестиугольник был недавно обнаружен в атмосфере Сатурна. Не кажется ли странным столь частое использование природой для своих творений конструкций именно этой формы? Давайте рассмотрим эту фигуру поподробнее.

  • Длина его сторон соответствует радиусу описанной окружности. Из всех геометрических фигур это свойство имеет лишь правильный шестиугольник.
  • Углы равны между собой, и величина каждого составляет 120°.
  • Периметр гексагона можно найти по формуле Р=6*R, если известен радиус описанной вокруг него окружности, или Р=4*√(3)*r, если окружность в него вписана. R и r – радиусы описанной и вписанной окружности.
  • Площадь, которую занимает правильный шестиугольник, определяется следующим образом: S=(3*√(3)*R 2 )/2. Если радиус неизвестен, вместо него подставляем длину одной из сторон – как известно, она соответствует длине радиуса описанной окружности.

Теперь рассмотрим построение правильного шестиугольника. Есть несколько способов, самый простой из которых предполагает использование циркуля, карандаша и линейки. Вначале рисуем циркулем произвольную окружность, затем в произвольном месте на этой окружности делаем точку. Не меняя раствора циркуля, ставим острие в эту точку, отмечаем на окружности следующую насечку, продолжаем так до тех пор, пока не получим все 6 точек. Теперь остается лишь соединить их между собой прямыми отрезками, и получится искомая фигура.

Наверняка каждому из нас приходилось сталкиваться с тем, что нужно срочно что-то начертить, точный угол или многоугольник, а транспортира как нарочно под рукой нет, или Вы вообще никогда раньше ничего не чертили. Сегодня я хочу поделиться с Вами простыми схемами построения фигур на плоскости. Думаю, этот навык пригодится всем. Продолжение статьи:
http://www.livemaster.ru/topic/383001-postroenie-na-ploskosti-chast-2?ins >

Нам понадобятся: карандаш, линейка, циркуль.

Построение угла в 60

1. Проведём прямую и отметим на ней точку А.

2. Из точки А проведём дугу произвольного радиуса и получим точку В.

3. Из точки В проведём дугу радиуса АВ, чтобы она пересекла ранее начерченную дугу.

4. Проведённая через точку пересечения (С) и точку А прямая будет второй стороной требуемого угла.

Построение угла в 45

1. Построим угол 60, кака описано выше.

2. Разделим полученный угол пополам.

3. Угол между лучами 60 и 30 разделим пополам. В результате получим угол в 45.

Построение угла в 75

1. Построим угол в 60, как описано выше, и разделим его пополам.

2. В ходе дальнейшего деления надвое получим угол в 15.

3. Отразим угол в 15 через луч 60 и так получим угол в 75.

Построение угла в 90


1. Построим угол в 60, как описано выше, и разделим его пополам.

2. Получившийся угол в 30 через луч 60 и так получим угол точно в 90.

Разделение отрезка на равные части.

1. Проведём прямую и отметим на ней отрезок АВ.

2. Из точки А проведём вспомогательную прямую и разделим её на столько одинаковых частей, на сколько требуется разделить отрезок АВ. Делить будем при помощи циркуля. Последнюю точку обозначим буквой С.

3. Последнюю точка (С) соединим с концом отрезка АВ. Построим рад параллельных отрезку СВ прямых по всей длине отрезка АВ. Точки пересечения параллельных прямых с отрезком АВ и будут точками раздела отрезка на несколько равных частей.

Построение правильного пятиугольника.

1. Проведём окружность радиусом 50 мм. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии.

2. Разделим пополам расстояние ОВ. Разведём ножки циркуля на расстояние FC . Из точки F проведём дугу через С. Дуга пересечёт горизонтальную линию в точке G .

3. Расстояние CG будет длиной стороны пятиугольника. Из вершины С отложим пять раз расстояние CG .

Построение правильного шестиугольника.

1. Проведём окружность радиусом 50 мм.

2. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии.

3. Из точки А на линии окружности отложим шесть раз радиус нашей окружности. Соединив прямыми точки пересечения, получим шестиугольник.

Построение правильного семиугольника.

1. Проведём окружность заданного радиуса. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии.

2. Из точки D проведём дугу радиусом равным радиусу окружности.

3. Дуга пересечёт окружность в точках E и G .

4. Длина отрезка EF на хорде EG равна длине стороны семиугольника. Из вершины С семь раз отложим расстояние EF .

Общий метод построения многоугольников.

1. Проведём окружность радиусом 50 мм. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии. Продолжим горизонтальную лини. За точки А и В.

2. Из точки D проведём дугу радиусом, равным радиусу окружности так, чтобы дуга пересекла горизонтальную линию.

3. При помощи вспомогательной прямой разделим вертикальную линию на столько равных частей, сколько сторон многоугольника требуется получить. Для примера показано построение одиннадцатиугольника.

4. Из точки Е проведём прямые через нечётные точки раздела вертикальной линии так, чтобы эти прямые пересекли окружность. Такую же операцию проведём из точки G . Полученные лучи пересекают окружность в точках, соединив которые прямыми получаем одиннадцатиугольник.

Первый способ — по данной стороне S с помощью транспортира.

Проводим прямую и откладываем на ней AB = S; принимаем эту линию за радиус и этим радиусом из точек A и В описываем дуги: далее с помощью транспортира строим в этих точках углы в 108°, стороны которых пересекутся с дугами в точках С и D; из этих точек радиусом АВ = 5 описываем дуги, которые пересекутся в Е, и прямыми линиями соединяем точки Л, С, Е, D, В.

Полученный пятиугольник
— искомый.

Первый способ построения пятиугольника

Второй способ. Проведем окружность радиусом r. Из точки А циркулем проводим дугу радиуса AM до пересечения в точках В и С с окружностью. Соединяем В и С линией, которая пересечет горизонтальную ось в точке Е.

Затем из точки Е проводим дугу, которая пересечет горизонтальную линию в точке О. Описываем, наконец, из точки F дугу, которая пересечет окружность в точках Н и К. Отложив по окружности расстояние FO = FH = FK пять раз и соединив точки деления линиями, получим правильный пятиугольник.

Второй способ построения пятиугольника

Третий способ. В данный круг вписать правильный пятиугольник. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и МС. Делим радиус АО точкой Е пополам. Из точки Е, как из центра, проводим дугу окружности радиуса ЕМ и засекаем ею диаметр АВ в точке F. Отрезок MF равен стороне искомого правильного пятиугольника. Раствором циркуля, равным MF, делаем засечки N1, Р1, Q1, К1 и соединяем их прямыми.

Третий способ построения пятиугольника

На рисунке построен шестиугольник по данной стороне.

Построение шестиугольника

Прямой АВ = 5, как радиусом, из точек А и В описываем дуги, которые пересекутся в С; из этой точки тем же радиусом описываем окружность, на которой сторона А В отложится 6 раз.

Шестиугольник ADEFGB
— искомый.

«Отделка комнат при ремонте»,
Н.П.Краснов

Маляру часто приходится иметь дело с правильными многоугольниками, а также треугольниками и четырехугольниками, т. е. такими фигурами, у которых все стороны и, соответственно, углы равны между собой. Может встретиться необходимость построить правильный многоугольник по данной стороне, или вписать правильный многоугольник в окружность данного радиуса, или описать его вокруг окружности. Первый вопрос сводится к нахождению внутреннего…

Построение вписанных и описанных правильных многоугольников сводится, как уже было сказано, к делению окружности на столько равных частей, сколько в многоугольнике сторон. Однако точное деление окружности путем геометрического построения возможно лишь на 3, 4, 5 и 15 равных частей, а также при делении на число частей, получаемое последовательным удвоением этих чисел. В остальных случаях приходится…

Построение овала (коробовой кривой) по данной длине АВ. Делим длину ЛВ на 3 равные части и из D и Е радиусом DF описываем дуги которые пересекутся в F и G; соединяем D и E c F и G и продолжаем эти прямые, как на фигуре; далее радиусом AD = BE из точек D и Е…

Первый способ построения. Проводим горизонтальную (АВ) и вертикальную (CD) оси и из точки их пересечения М откладываем в соответствующем масштабе полуоси. Наносим малую полуось от точки М на большой оси до точки Е. Эллипс, первый способ построения Делим BE на 2 части и одну наносим от точки М на большой оси (до F или H)…

Основанием для нанесения росписи служат полностью законченные окраской поверхности стен, потолков и других конструкций; роспись делается по высококачественным клеевым и масляным окраскам, сделанным под торцовку или флейц. Приступая к разработке эскиза отделки, мастер должен ясно представить себе всю композицию в бытовой обстановке и отчетливо осознать творческий замысел. Только при соблюдении этого основного условия можно правильно…

“>

ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ

ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Изображение пирамиды, призмы, цилиндра или конуса обычно начинается с изображения их оснований – многоугольника или круга. Именно на этом этапе чаще всего учащимися допускаются ошибки, поэтому необходимо особое внимание уделить построению изображений многоугольников и круга в параллельной проекции. После этого достроить изображение тела обычно не составляет особого труда.

Рассмотрим ряд задач, которые могут быть использованы учителем, как для совместного решения с учащимися, так и для самостоятельного решения учащимися, например, в виде практической работы.

Треугольник

Задание: построить изображение треугольника АВС (включая прямоугольный, равнобедренный и равносторонний треугольники) в параллельной проекции.

Любой произвольный треугольник А′В′С′ будет являться искомым изображением треугольника АВС.

Параллелограмм

Задание: построить параллелограмм ABCD (включая прямоугольник, квадрат, ромб) в параллельной проекции.

Любой параллелограмм А′В′С′D′ будет являться искомым изображением параллелограмма АВСD.

Трапеция

Задание: построить трапецию ABCD (включая равнобокую и прямоугольную трапеции) в параллельной проекции.

Любая трапеция А′В′С′D′ будет являться искомым изображением трапеции АВСD.

Правильный пятиугольник

Задание: построить сторону правильного пятиугольника с помощью циркуля и линейки (рис. 1).

  1. Проведем ω(О1; ОA5), (АВ) (A5D), О1 = (АВ) (A5D), ОA5= R.

  2. Находим середину [O1A]: E1O1 = AE1.

  3. Проводим E1A5.

  4. ω(Е1; Е1A5), засекаем G1: E1G1 = E1A5: G1 [O1B].

  5. G1A5 = a5 (сторона правильного пятиугольника).

  6. От точки A5 откладываем хорды, равные A5G1 последовательно: A1A4, A4A3, A3A2, A2A1, A1A5.

Задание: построить изображение правильного пятиугольника в параллельной проекции (рис. 2).

  1. Пусть две прямые пересекаются в точке N1.

  2. A′4N′1: N′1 A′1 ;

  3. A′5N′1: N′1 A′3 ;

  4. Строим параллелограмм A1A2A3N1;

  5. А1′А2′А3′А4′А5является искомым правильным пятиугольником.

Правильный шестиугольник

Задание: построить правильный шестиугольник (рис. 3).

1. Проведем ω(О; ОА1).

2. ω11; ОА1), засекаем А2: А1О = А1А2: А2ω.

3. ω22; ОА1), засекаем А3: А2О = А2А3: А3ω.

4. Построение проводится аналогично для А4, А5, А6.

5. Проводим А1А2, А2А3, А3А4, А4А5, А5А6, А6А1.

6. Многоугольник А1А2А3А4А5А6 является искомым правильным шестиугольником.

Задание: построить изображение правильного шестиугольника в параллельной проекции (рис. 4).

  1. Произвольно строим треугольник А1′ОА2 .

  2. Строим А′4 и А′5 симметрично точкам А1 и А2 относительно точки О.

  3. А1′А2′ А3′А6′, О А3′А6′,

О А6′= ОА3′ = А1′А2′.

  1. А1′А2′А3′А4′А5′А6 является искомым правильным шестиугольником.

Правильный восьмиугольник

Задание: построить правильный восьмиугольник (рис. 5).

  1. Строим квадрат А1А3А5А7.

  2. Поворачиваем квадрат А1А3А5А7 относительно центра О на угол 45о, получаем квадрат А2А4А6А8.

  3. Последовательно соединяем вершины квадратов, получаем искомый правильный восьмиугольник А1 А2А3 А4А5 А6А7 А8.

Задание: построить изображение правильного восьмиугольника в параллельной проекции (рис. 6).

  1. Произвольно строим параллелограмм A2′А4′А6′А8′.

  2. Находим О′ — центр этого параллелограмма.

  3. Проводим через О′ отрезки LKA4A6′, MNA4A6′.

  4. Находим точку А7: строим: О′К′ = К′Х (К′Х О′К′), тогда О′А7′ = О′Х.

  5. Аналогично находим точки А1′, А3′, А6′.

  6. А′1 А′2А′3 А′4А′5 А′6А′7 А′8 – искомый восьмиугольник.


Таблица 2

Обобщающая таблица.

Чертеж — оригинал

Изображение

Треугольники

произвольный

прямоугольный

равнобедренный

равносторонний

Четырехугольники

параллелограмм

ромб

квадрат


прямоугольник


произвольная трапеция

равнобокая трапеция

прямоугольная трапеция

Правильные многоугольники

правильный пятиугольник

правильный шестиугольник

правильный восьмиугольник

Окружность

пятиугольник Википедия

пятисторонняя форма

Пентагон

Равносторонний пятиугольник, то есть пятиугольник, все пять сторон которого имеют одинаковую длину

Ребра и вершины 5
Внутренний угол (градусы) 108 ° если равноугольный, включая правильный)

В геометрии пятиугольник (от греческого πέντε pente и γωνία gonia , что означает пять и угол [1] ) является любым пятиугольником. многоугольник или 5-угольник.Сумма внутренних углов в простом пятиугольнике составляет 540 °.

Пятиугольник может быть простым или самопересекающимся. Самопересекающийся правильный пятиугольник (или звездный пятиугольник ) называется пентаграммой.

Правильные пятиугольники []

Правильный пятиугольник имеет символ Шлефли {5}, а внутренние углы составляют 108 °.

Правильный пятиугольник имеет пять линий симметрии отражения и вращательную симметрию 5-го порядка (72 °, 144 °, 216 ° и 288 °).Диагонали выпуклого правильного пятиугольника находятся в золотой пропорции к его сторонам. Его высота (расстояние от одной стороны до противоположной вершины) и ширина (расстояние между двумя наиболее удаленными друг от друга точками, равное длине диагонали) задаются выражением

Высота = 5 + 252⋅ Сторона ≈ 1,539⋅ Сторона, {\ displaystyle {\ text {Высота}} = {\ frac {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} {2}} \ cdot {\ text {Side}} \ примерно 1,539 \ cdot {\ text {Side}},}
Ширина = Диагональ = 1 + 52 Сторона ≈ 1,618 Сторона, {\ displaystyle {\ text {Width}} = {\ text {Diagonal}} = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2 }} \ cdot {\ text {Side}} \ приблизительно 1. {\ circ})} {4}}}

с длиной стороны t .

Inradius []

Как и любой правильный выпуклый многоугольник, правильный выпуклый пятиугольник имеет вписанную окружность. Апофема, представляющая собой радиус r вписанной окружности правильного пятиугольника, связана с длиной стороны t соотношением

r = t2tan⁡ (π / 5) = t25−20≈0,6882⋅t. {\ Displaystyle r = {\ frac {t} {2 \ tan (\ pi / 5)}} = {\ frac {t} {2 {\ sqrt {5 — {\ sqrt {20}}}}}} \ приблизительно 0,6882 \ cdot t.}

Хорды ​​от описанной окружности до вершин []

Как любой правильный выпуклый многоугольник, правильный выпуклый пятиугольник имеет описанную окружность.Для правильного пятиугольника с последовательными вершинами A, B, C, D, E, если P — любая точка на описанной окружности между точками B и C, то PA + PD = PB + PC + PE.

Точка на плоскости []

Для произвольной точки на плоскости правильного пятиугольника с радиусом описанной окружности R {\ displaystyle R}, расстояние от которого до центроида правильного пятиугольника и его пяти вершин равно L {\ displaystyle L} и di {\ displaystyle d_ {i} } соответственно имеем [2]

∑i = 15di2 = 5 (R2 + L2), {\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {5} d_ {i} ^ {2} = 5 (R ^ {2} + L ^ {2}),}
∑i = 15di4 = 5 ((R2 + L2) 2 + 2R2L2), {\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {5} d_ {i} ^ { 4} = 5 ((R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {2} + 2R ^ {2} L ^ {2}),}
∑i = 15di6 = 5 ((R2 + L2) 3 + 6R2L2 (R2 + L2)), {\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {5} d_ {i} ^ {6} = 5 ((R ^ {2} + L ^ { 2}) ^ {3} + 6R ^ {2} L ^ {2} (R ^ {2} + L ^ {2})),}
∑i = 15di8 = 5 ((R2 + L2) 4 + 12R2L2 (R2 + L2) 2 + 6R4L4).{4}.}

Строительство правильного пятиугольника []

Правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, так как 5 — простое число Ферма. Известно множество методов построения правильного пятиугольника. Некоторые обсуждаются ниже.

Метод Ричмонда []

ГЕОМЕТРИЯ — Тематические тексты

Главная → ГЕОМЕТРИЯ — Тематические тексты

Текст 1

Геометрия позволяет нам исследовать свойства пространства в терминах плоских (двухмерных) фигур и твердых (трехмерных) фигур.Мы можем использовать геометрические методы, чтобы нарисовать линию точной длины, разрезать линию пополам, разделить пополам угол, построить треугольник и вычислить площадь сферы. Принципы геометрии были заложены греческим математиком Евклидом (ок. 330 г. до н.э. — 275 г. до н.э.) и с тех пор почти не изменились. Картографирование; Геодезия, проектирование, архитектура и компьютерные схемы — все зависит от геометрии в точном использовании углов, фигур и объема.

Текст 2

Треугольники, квадраты и пятиугольники — все это примеры многоугольников.У правильного многоугольника стороны равной длины и внутренние углы равны. Чем больше сторон у правильного многоугольника, тем больше он будет напоминать круг. Есть два вида многоугольников: выпуклые и входящие. У выпуклого многоугольника все углы направлены внутрь. У входящего многоугольника один или несколько углов направлены внутрь.

Текст 3

Углы образуются в месте пересечения двух прямых линий. Их можно измерить с помощью транспортира или указателя угла. Углы измеряются в единицах, называемых градусами.Градус получается делением окружности круга на 360 частей равного размера. Математики используют маленький кружок как символ для обозначения градусов. Угол, который образует углы квадратов и других прямоугольников, составляет 90 градусов и называется прямым углом. Углы меньше 90 называются острыми углами. Углы от 90 до 180 называются тупыми углами. Углы от 180 до 360 называются углами отражения.

Текст 4

Преобразование — это изменение положения, размера или формы геометрической фигуры (например, треугольника).Основные преобразования — это отражение, увеличение, перемещение и вращение. Другие формы трансформации включают растяжение и сдвиг. Отражение, перемещение и вращение изменяют положение фигуры. Они не изменяют длину сторон или площадь фигуры, и поэтому называются изометриями. Растяжка увеличивает размер фигуры по одной оси. Стрижка похожа на растяжку, но площадь фигуры остается прежней. Увеличение увеличивает размер всей фигуры.

Текст 5

Топология — это современный раздел геометрии, который решает реальные проблемы, например, как спланировать перекресток автострад, и превращает их в пространственные головоломки. Пространственные головоломки можно использовать для двумерного представления трехмерных задач. Это часто упрощает решение проблемы. Топология выросла из попыток решить проблему Кенигсбергского моста.

Учебники по программированию на Python


Рисование и запись изображений OpenCV Python Tutorial

В этом руководстве по OpenCV с Python мы расскажем, как рисовать различные формы на изображениях и видео.Довольно часто возникает желание каким-либо образом пометить обнаруженные объекты, чтобы мы, люди, могли легко увидеть, работают ли наши программы так, как мы могли бы надеяться. Примером этого может быть одно из изображений, показанных ранее:

Для этого временного примера я буду использовать следующее изображение:

Вам предлагается использовать собственное изображение. Как обычно, наш начальный код может быть примерно таким:

 импортировать numpy как np
импорт cv2

img = cv2.imread ('watch.jpg', cv2.IMREAD_COLOR) 

Далее мы можем приступить к рисованию, например:

 cv2.строка (img, (0,0), (150,150), (255,255,255), 15)

cv2.imshow ('изображение', img)
cv2.waitKey (0)
cv2.destroyAllWindows () 

Функция cv2.line () принимает следующие параметры: где, координаты начала, координаты конца, цвет (bgr), толщину линии.

Результат здесь:

Хорошо, круто, давайте добавим еще форм абсурда. Далее прямоугольник:

 cv2. rectangle (img, (15,25), (200,150), (0,0,255), 15) 

Параметры здесь: изображение, координата слева вверху, координата справа внизу, цвет и толщина линии.

Как насчет круга?

 cv2.circle (img, (100,63), 55, (0,255,0), -1) 

Параметры здесь: изображение / рамка, центр круга, радиус, цвет и толщина. Обратите внимание, что у нас есть -1 для толщины. Это означает, что объект будет фактически закрашен, поэтому мы получим закрашенный круг.

Линии, прямоугольники и круги — это круто, но что, если нам нужен пятиугольник, восьмиугольник или восьмиугольник ?! Нет проблем!

 точек = np.array ([[10,5], [20,30], [70,20], [50,10]], np.int32)
# В документации OpenCV был этот код, который преобразовывал массив в 1 x 2. Я не делал
# сочтете это необходимым, но вы можете:
#pts = pts.reshape ((- 1,1,2))
cv2.polylines (img, [pts], True, (0,255,255), 3) 

Во-первых, мы называем pts, сокращенно от points, множественным массивом координат. Затем мы используем cv2.polylines для рисования линий. Параметры следующие: где нарисован объект, координаты, должны ли мы «соединить» конечную и начальную точки, цвет и снова толщину.

Последнее, что вы можете сделать, это написать на изображении. Это можно сделать так:

 font = cv2.FONT_HERSHEY_SIMPLEX
cv2.putText (img, 'OpenCV Tuts!', (0,130), шрифт, 1, (200,255,155), 2, cv2.LINE_AA) 

Полный код до этого момента будет примерно таким:

 импортировать numpy как np
импорт cv2

img = cv2.imread ('watch.jpg', cv2.IMREAD_COLOR)
cv2.line (img, (0,0), (200,300), (255,255,255), 50)
cv2.rectangle (img, (500,250), (1000,500), (0,0,255), 15)
cv2.circle (img, (447,63), 63, (0,255,0), -1)
pts = np.массив ([[100,50], [200,300], [700,200], [500,100]], np.	

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *