Содержание

Правильный пятиугольник — построение, свойства и формулы » Kupuk.net

Бывают задачи на построение и нахождение некоторых геометрических параметров правильного пятиугольника. Построить фигуру непросто. Для этого математики рекомендуют несколько методик, позволяющих выполнить операцию более точно или за короткий промежуток времени. У фигуры есть свойства, а также формулы, позволяющие найти ее геометрические характеристики.

Точное построение фигуры

Специалисты рекомендуют некоторую последовательность действий, по которым построить правильный пятиугольник очень просто. Для операции необходимы обыкновенная тетрадь в клеточку, циркуль, карандаш, резинка и линейка. Следует выполнить некоторые шаги:

  • Построить окружность с центром в некоторой точке О.
  • Провести два диаметра. Они должны пересекаться под прямым углом.
  • Поставить точку V (пересечение окружности с одним из диаметров), которая является вершиной фигуры.
  • По левой стороне поставить точку D. Это пересечение диаметра (оси симметрии) с окружностью.
  • Отметить на отрезке OD точку А, которая делит его пополам.
  • Выполнить построение вспомогательной окружности, центром которой является точка, полученная в 5 пункте. Кроме того, круг с радиусом CV должен проходить через V.
  • Точку, полученную при пересечении диаметра и окружности, нужно обозначить литерой B.
  • Нарисовать окружность с радиусом, равным CV, из точки V.
  • Отметить пересечение круга с первой окружностью, центром которой является точка О. Искомое место пересечения обозначить литерой F (вторая вершина пентагона).
  • Поставить иглу циркуля в точку F и провести окружность через Е.
  • Обозначить пересечение окружностей с центрами в F и O точкой G, которая будет вершиной пентагона.
  • Аналогичным образом проделать шаг 11, только центр выбрать не в F, а в G. Полученную точку следует обозначить литерой H (последняя вершина фигуры).
  • Соединить пять точек (СVEFG) между собой с помощью линейки.
  • Если все пункты алгоритма выполнены правильно, то должен получиться пентагон, изображенный на рисунке 1:

    Этот способ следует применять для точных построений и чертежей деталей. Однако для решения задач, в которых необходимо схематически изобразить пятиугольник, этот вариант не подойдет.

    Алгоритм Биона

    Прием Биона является менее точным методом, чем первый. Он позволяет построить любой правильный многоугольник, вписанный в произвольный круг. Для операции необходимо воспользоваться алгоритмом (шаблоном) Биона, имеющим такой вид:

  • Начертить окружность с центром в точке О и радиусом R.
  • Провести в ней диаметр АD.
  • Построить правильный (равносторонний) треугольник с одной из сторон, равной диаметру.
  • Поделить диаметр на несколько равных частей (АС = СE = ED), количество которых вычисляется по формуле: (n — 2). Переменная «n» эквивалентна количеству граней правильного многоугольника, то есть n = 3. Соотношение можно записать следующей зависимостью: АС = [1 / (n — 2)] * AD = AD / 3.
  • Провести из точек С и Е прямые, перпендикулярные диаметру.
  • Точки пересечения прямых с окружностью обозначить F и G.
  • Если соединить точки, то получится пентагон ABDFG.
  • Погрешность построения многоугольника с 5, 7, 9 и 10 сторонами при использовании алгоритма довольно маленькая. Ее значения равно 3,2%. Однако при n>10 погрешность составляет не более 11%.

    Приближенные методы

    Существует несколько методов, позволяющих приближенно изобразить фигуру. Однако оптимальным является построение пентагона (рис. 2), используя две окружности (описанную и вписанную).

    Метод известного математика А. Дюрера является оптимальным среди остальных, поскольку на построение затрачивается минимальное количество времени. Для его реализации следует выполнить определенные шаги алгоритма Дюрера:

  • Начертить произвольную окружность с центром в точке О.
  • Не вынимая иглу циркуля из точки О, выполнить построение другой окружности. Ее радиус нужно уменьшить таким образом, чтобы общий радиус R был равен стороне пятиугольника.
  • Отметить на окружности с большим радиусом две произвольные точки. При этом следует руководствоваться правилом: прямая, проходящая через них, должна касаться малой окружности в одной точке (касательная).
  • Отметить следующую точку, чтобы можно было соединить ее с предыдущей. Правило при этом должно соблюдаться.
  • Аналогично проделать операции с другими сторонами пентагона.
  • Существует еще один метод — построение пятиугольника из десятиугольника, который вписан в окружность. Для этого следует соединить его вершины через одну. Однако способ рекомендуется применять только в том случае, когда исходная фигура уже имеется. Кстати, его следует строить также методом А. Дюрера.

    Математики рекомендуют еще один простой способ. Для его реализации необходимо начертить окружность с диаметром АD. После этого его нужно поделить на 3 равные части, то есть AB = BC = CD. Затем из точки С следует опустить перпендикуляры на окружность. Обозначить места пересечения точками E и F. Проделать такую же процедуру с точкой B, обозначив пересечения точками G и H. Остается лишь соединить все точки отрезками.

    Признаки и свойства

    Не всегда получается верно идентифицировать пятиугольник. Для этого математики предлагают признаки, которые применимы только к правильной фигуре. К ним можно отнести следующие:

  • Стороны равны между собой.
  • Любой угол правильного пятиугольника равен остальным его углам.
  • Следует отметить, что признаки справедливы для любого правильного многогранника. Пять осей симметрии имеет правильный пятиугольник (сколько сторон, столько и осей). Пентагон обладает некоторыми свойствами, которые будут очень полезны при решении задач. (1/2)] / 2.

    Однако свойств недостаточно при решении задач, поскольку существуют некоторые формулы и соотношения для нахождения основных параметров пентагона.

    Расчет параметров

    С помощью соотношений можно легко найти необходимые характеристики любой фигуры. Однако в некоторых источниках не указаны условные обозначения известного параметра пентагона. Это существенно затрудняет понимание формулы, а также ее дальнейшее использование. Перед изучением следует нарисовать фигуру и обозначить некоторые величины, которыми могут быть диагонали, стороны, апофемы и радиусы.

    Рекомендуется использовать различные литеры или буквенные обозначения. Недопустимо пронумеровывать вершины, поскольку при вычислениях можно ошибиться. Нельзя использовать вместо букв цифры при обозначениях. Например, пентагон ABCDE является правильной записью. Допускается применение чисел в индексах, а именно, в пятиугольнике правильного типа ABCDE при пересечении его диагоналей образовался пентагон A1B1C1D1E1.

    Математики рекомендуют обозначать только промежуточные фигуры или их проекции литерами с индексами. Для каждой новой фигуры следует вводить другие обозначения. Не следует использовать зарезервированные переменные. Например, центр окружности в точке P является недопустимой записью, поскольку такой буквой обозначается периметр.

    Условные обозначения

    Для нахождения основных величин пентагона следует обозначить некоторые его параметры. Фигура имеет следующие обозначения:

  • Сторона: a.
  • Радиус вписанной и описанной окружностей: r и R соответственно.
  • Площадь: S.
  • Периметр и полупериметр: P и p соответственно.
  • Диагональ: d.
  • Отношение золотого сечения: Ф.
  • Значения сторон равны между собой. Площадь правильного пятиугольника — характеристика двумерной фигуры, которая показывает ее размерность. Периметром называется сумма всех 5 сторон. (1/2).

    Таким образом, при решении задач необходимо знать основные признаки, свойства, соотношения и формулы для нахождения основных характеристик пентагона. Практика обязательна, поскольку теоретические знания без практического применения бесполезны.

    Как построить пятиугольник, вписанный в окружность? – Обзоры Вики

    Чтобы вписать правильный пятиугольник в окружность, сначала проведите перпендикуляры радиусов OA и OB из центра O окружности. Пусть C будет серединой OB и проведет AC. Разделите угол ACO по биссектрисе с точкой OA в точке D. Проведите перпендикуляр DE к окружности OA.

    Как вписать правильный многоугольник в окружность? Процедура: Установите компас на радиус круга и проведите шесть равноудаленных дуг по его периметру.. Соедините два соседних перекрестка с центром круга. Разделите полученный угол пополам. Начиная с пересечения биссектрисы и окружности, проведите еще шесть дуг по окружности.

    Какой формы многоугольник, вписанный в окружность?

    Многоугольник, вписанный в окружность, называется циклический многоугольник, а окружность называется описанной окружностью или описанной окружностью. Внутренний радиус или радиус заполнения данной внешней фигуры является радиусом вписанной окружности или сферы, если они существуют.

    Как найти периметр пятиугольника с радиусом?

    Его также называют радиусом окружности. Если известна длина стороны, периметр этого пятиугольника можно рассчитать по формуле: Длина стороны = 2r × Sin(180/n), где «r» — радиус, а «n» — количество сторон.

    Как найти периметр пятиугольника с помощью Apothem? Как только вы вычислили длину одной стороны, используя уравнение апофемы, вы можете найти периметр пятиугольника. умножив ответ на количество сторон пятиугольника. Уравнение, которое вы решили с помощью апофемы, дало вам значение одной из сторон. Умножьте свой ответ на 5.

    Как найти периметр и площадь пятиугольника?

    Используя формулу. Площадь правильного пятиугольника = pa / 2, где p = периметр, а = апофема. Если вы не знаете периметр, рассчитайте его по длине стороны: p = 5s, где s — длина стороны.

    Есть ли у пятиугольников прямые углы?

    Таким образом, пятиугольник имеет максимум три прямых угла, как показано. Сумма углов = 720′. 5 прямых углов = 450′, получается 270′.

    Каковы 5 углов пятиугольника? Виды Пентагона

    Форма Стороны Каждый угол
    четырехугольник Стороны 4 90 градусов
    пятиугольник Стороны 5 108 градусов
    Hexagon Стороны 6 120 градусов
    Гептагон (или Септагон) Стороны 7 128. 57 градусов

    Сколько сторон у пятиугольника? Список других полигонов

    многоугольник Количество сторон
    пятиугольник 5
    Hexagon 6
    семиугольник 7
    Восьмиугольник 8

    Как нарисовать пятиугольник с равными сторонами?

    Что такое многоугольник, вписанный в окружность? В геометрии вписанная плоская форма или тело — это фигура, заключенная в другую геометрическую форму или тело и «плотно вписывающаяся» внутрь нее. … Многоугольник, вписанный в окружность, называется циклический многоугольник, а окружность называется описанной окружностью или описанной окружностью.

    Как построить пятиугольник по внешнему углу?

    Как начертить угол с помощью пятиугольника?

    Как нарисовать центр пятиугольника?

    В какой пятиугольник можно вписать окружность

    Можно ли вписать окружность в пятиугольник ?

    Рассмотрим все пятиугольники, последовательные стороны которых равны 2, 3, 4, 5 и 6.

    Есть ли среди них такой, что в него можно вписать окружность?

    Похоже, что нельзя. Прилагаю рисунок. Пятиугольник делится радиусами на 5 четырехугольников.
    Я постарался нарисовать так, чтобы стороны были каждая больше предыдущей.
    Выделенные жирные линии равны между собой, причем на всех 4-угольниках.
    Получается: сторона 2 см делится на куски а и 2 — а, сторона 3 см — на а и 3 — а,
    сторона 4 см — на 3 — а и 4 — (3 — а) = 1 + а, сторона 5 см — на 1 + а и 5 — (1 + а) = 4 — а,
    сторона 6 см — на 4 — а и 6 — (4 — а) = 2 + а.
    Получается, что 2 — а = 2 + а, а это невозможно, если а > 0, то есть решений нет.

    Правильный пятиугольник

    Правильный пятиугольник (или пентагон от греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

    Свойства

    • У правильного пятиугольника угол равен
    • Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:
    • Высота правильного пятиугольника:
    • Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
    • Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу 1 + 5 2 >>>> .

    Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

    • Сторона:
    • Радиус вписанной окружности:
    • Радиус описанной окружности:
    • Диагональ:
    • Площадь:
    • Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
    • Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)

    Построение

    Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

    Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

    Построение правильного пятиугольника

    Построение правильного пятиугольника

    Построение правильного пятиугольника

    Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля

    Получение с помощью полоски бумаги

    Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

    В природе

    Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры. Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская. Пентасимметрией обладают иглокожие (например морские звёзды) и некоторые растения. См. также Закономерности в природе.

    Пятиугольный узел на полоске бумаги

    Иглокожие, например морские звёзды, обладают пентасимметрией

    Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как мушмула германская

    Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них

    Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.

    Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

    Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

    Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.

    Центр описанной окружности

    Теорема. Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечениясерединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

    Центр описанной около многоугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.

    Центр Вписанная окружность

    Определение. Вписанная в выпуклый многоугольник окружность — это окружность, которая касается всех сторон этого многоугольника (то есть каждая из сторон многоугольника является для окружностикасательной).

    Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника.

    Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным.

    В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если биссектрисы всех его внутренних углов пересекаются в одной точке.

    Центр вписанной в многоугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

    Центр вписанной окружности равноудален от сторон многоугольника. Расстояние от центра до любой стороны равно радиусу вписанной окружности По свойству касательных, проведённых из одной точки, любая вершина описанного многоугольника равноудалена от точек касания, лежащих на сторонах, выходящих из этой вершины.

    В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной в треугольник окружности называется инцентром.

    В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. В частности, в трапецию можно вписать окружность, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон.

    В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Около любого правильного многоугольника можно также описать окружность. Центр вписанной и описанной окружностей лежат в центре правильного многоугольника.

    Для любого описанного многоугольника радиус вписанной окружности может быть найден по формуле

    где S — площадь многоугольника, p — его полупериметр.

    Правильный n-угольник — формулы

    Формулы длины стороны правильного n-угольника

    1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

    a = 2r · tg 180°
    n
    a = 2r · tg π
    n

    2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

    a = 2 R · sin 180°
    n
    a = 2 R · sin π
    n

    Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

    Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

    r = a : (2tg 180° )
    n
    r = a : (2tg π )
    n

    Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

    Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:

    R = a : (2sin 180° )
    n
    R = a : (2sin π )
    n

    Правильный треугольник

    Формулы правильного треугольника:

    1. Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности: a = 2r √3

    2. Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности: a = R√3

    3. Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

    r = a√3

    4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

    R = a√3

    5. Формула площади правильного треугольника через длину стороны:

    S = a 2 √3

    6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности: S = r 2 3√3

    7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:

    S = R 2 3√3

    8. Угол между сторонами правильного треугольника: α = 60°

    Правильный четырехугольнику — квадрат.

    Формулы правильного четырехугольника:

    1. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности: a = 2r

    2. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности: a = R√2

    3. Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

    4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

    R = a√2

    5. Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны: S = a 2

    6. Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности: S = 4 r 2

    7. Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности: S = 2 R 2

    8. Угол между сторонами правильного четырехугольника: α = 90°

    Формулы правильного шестиугольника:

    1. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

    a = 2√3 r

    2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности: a = R

    3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

    r = a√3

    4. Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны: R = a

    5. Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны:

    S = a 2 3√3

    6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности: S = r 2 2√3

    7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

    S = R 2 3√3

    8. Угол между сторонами правильного шестиугольника: α = 120°

    Значение числа (произносится «пи») — математическая константа, равная отношению

    длины окружности к длине её диаметра, оно выражается бесконечной десятичной дробью.

    Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Чему равно число пи? В простых случаях хватает знать первые 3 знака (3,14).

    53. Найдем длину дуги окружности радиуса R, отвечающей центральному углу в n°

    Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан.

    Градусная мера угла в 1 радиан равна:

    Так как дуга длиной πR (полуокружность), стягивает центральный угол в 180°, то дуга длиной R, стягивает угол в π раз меньший, т.е.

    Так как π = 3,14, то 1 рад = 57,3°

    Если угол содержит a радиан, то его градусная мера равна

    Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают.

    Например, 360° = 2π рад, пишут 360° = 2π

    В таблице указаны наиболее часто встречающиеся углы в градусной и радианной мере.

    Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

    Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

    Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

    Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

    необходимый минимум информации. Деление окружности на равные части и вписывание правильных многоугольников

      Если под руками нет циркуля, то можно нарисовать простую звезду с пятью лучами затем просто соединить эти лучи. как видим на картинке ниже получается абсолютно правильный пятиугольник.

      Математика сложная наука и у нее много своих секретиков, некоторые из них весьма забавны. Если вы увлекаетесь такими вещами советую найти книгу Забавная математика.

      Окружность можно нарисовать не только при помощи циркуля. Можно, например, использовать карандаш и нитку. Отмеряем нужный диаметр на нитке. Один конец плотно зажимаем на листе бумаги, где будем чертить окружность. А на другой конец нитки устанавливаемые карандаш и одержим. Теперь действует как с циркулем: натягиваем нить и по окружности слегка надавливая карандашом чкртим окружность.

      Внутри окружности рисуем крестьян от центра: вертикальная линия и горизонтальная линия. Точка пересечения вертикальной линии и окружности будет вершиной пятиугольника (точка 1). Теперь правую половину горизонтальной линии делим пополам (точка 2). Измеряем расстояние от этой точки до вершины пятиугольника и этот отрезок откладывает влево от точки 2 (точка 3). При помощи нитки и карандаша проводим от точки 1 радиусом до точки 3 дугу, пересекающую первую окружность слева и справа — точки пересечения будут вершинами пятиугольника. Обозначим их точка 4 и 5.

      Теперь от точки 4 делаем дугу, пересекающую окружность в нижней части, радиусом равной длине от точки 1 до 4 — это будет точкой 6. Точно так же и от точки 5 — обозначим точкой 7.

      Остатся соединить наш пятиугольник с вершинами 1, 5, 7, 6, 4.

      Я знаю как построить простой пятиугольник с помощью циркуля: Строим окружность, отмечаем пять точек, соединяем их. Можно построить пятиугольник с равными сторонами, для этого нам еще понадобится транспортир. Просто те же самые 5 точек ставим по транспортиру. Для этого отмечаем углы по 72 градуса. После чего также соединяем отрезками и получаем нужную нам фигуру.

      Зеленую окружность можно чертить произвольным радиусом. В эту окружность будем вписывать правильный пятиугольник. Без циркуля начертить точно окружность нельзя, но это не обязательно. Окружность и все дальнейшие построения можно выполнять от руки. Далее через центр окружности О нужно провести две взаимно перпендикулярные прямые и одну из точек пересечения прямой с окружностью обозначить А. Точка А будет вершиной пятиугольника. Радиус ОВ разделим пополам и поставим точку С. Из точки С проводим вторую окружность радиусом АС. Из точки А проводим третью окружность радиусом АD. Точки пересечения третьей окружности с первой (Е и F)будут также вершинами пятиугольника. Из точек Е и F радиусом АЕ делаем засечки на первой окружности и получаем остальные вершины пятиугольника G и H.

      Адептам черного искусства: что бы просто, красиво и быстро нарисовать пятиугольник, следует начертить правильную, гармоничную основу для пентаграммы (пятиконечная звезда) и соединить окончания лучей этой звезды посредством прямых, ровных линий. Если все было сделано верно — соединительная черта вокруг основы и будет искомым пятиугольником.

      (на рисунке — завершенная, но незаполненная пентаграмма)

      Для тех, кто неуверен в правильности начертания пентаграммы: возьмите за основу витрувианского человека Да Винчи (см. ниже)

      Если нужен пятиугольник — тыкаете произвольным образом 5 точке и их внешний контур будет пятиугольником.

      Если нужен правильный пятиугольник, то без математического циркуля это построение совершить невозможно, поскольку без него нельзя провести два одинаковых, но не параллельных отрезка.

      Любой другой инструмент, который позволяет провести два одинаковых, но не параллельных отрезка эквивалентен математическому циркулю.

      Сначала надо надо начертить круг, потом направляющие, потом второй пунктирный круг, находим верхнюю точку, потом отмеряем два угла верхние, от них чертим нижние. Заметьте, радиус циркуля один и тот же при всем построении.

      Вс зависит от того, какой пятиугольник вам необходим. Если любой, то ставите пять точек и соединяете их между собой(естествено точки ставим не по прямой линии). А если нужен пятиугольник правильно формы, возьмите любые пять по длине(полосок бумаги, спичек, карандашей и т.п), выложите пятиугольник и обчертите его.

      Пятиугольник можно начертить, к примеру, из звезды. Если умеете чертить звезду, но не умеете пятиугольник, начертите звезду карандашом, затем соедините между собой соседние концы звезды, а саму звезду потом сотрите.

      Второй способ. Вырежьте полосочку из бумаги, длиной, равной желаемой стороне пятиугольника, а шириной узкой, допустим 0. 5 — 1 см. Как по шаблону, вырежьте по этой полосочке ещ четыре таких же полосочки, чтобы их получилось всего 5.

      Затем положите лист бумаги (лучше его закрепить на столе при помощи четырх кнопок или иголочек). Затем наложите эти 5 полосочек на листок так, чтобы они образовали пятиугольник. Приколите эти 5 полосочек к листку бумаги кнопками или иголочками, чтобы они оставались неподвижными. Затем обведите полученный пятиугольник и снимите эти полосочки с листка.

      Если нет циркуля и нужно построить пятиугольник, то я могу посоветовать следующее. Я и сама так строила. Можно начертить правильную пятиконечную звезду. И после этого, чтобы получить пятиугольник, просто нужно соединить все вершины звезды. Вот так и получится пятиугольник. Вот что мы получим

      Ровными чрными линии мы соединили вершины звезды и получили пятиугольник.

    Без изучения техники этого процесса не обойтись. Существует несколько вариантов выполнения работы. Как нарисовать звезду с помощью линейки, помогут понять самые известные методы этого процесса.

    Разновидности звезд

    Существует множество вариантов внешнего вида такой фигуры, как звезда.

    Еще с древних времен пятиконечная ее разновидность использовалась для начертания пентаграмм. Это объясняется ее свойством, которое позволяет сделать рисунок, не отрывая ручки от бумаги.

    Существуют также шестиконечные, хвостатые кометы.

    Пять вершин традиционно имеет морская звезда. Такой же формы нередко встречаются изображения рождественского варианта.

    В любом случае, чтобы нарисовать пятиконечную звезду поэтапно, необходимо прибегнуть к помощи специальных инструментов, так как изображение от руки вряд ли будет выглядеть симметрично и красиво.

    Выполнение чертежа

    Чтобы понять, как нарисовать ровную звезду, следует осознать суть этой фигуры.

    Основой для ее начертания является ломаная линия, концы которой сходятся в начальной точке. Она образовывает правильный пятиугольник — пентагон.

    Отличительными свойствами такой фигуры являются возможности вписания ее в окружность, а также окружности в этот многоугольник.

    Все стороны пентагона равны между собой. Понимая, как правильно выполнить чертеж, можно осознать суть процесса построения всех фигур, а также разнообразных схем деталей, узлов.

    Для достижения такой цели, как нарисовать звезду с помощью линейки, необходимо владеть знаниями о простейших математических формулах, являющихся основополагающими в геометрии. А также потребуется умение считать на калькуляторе. Но самое главное — это логическое мышление.

    Работа не является сложной, но она потребует точности и скрупулезности. Потраченные усилия будут вознаграждены хорошим симметричным, а потому и красивым изображением пятиконечной звезды.

    Классическая техника

    Самый известный способ того, как нарисовать звезду при помощи циркуля, линейки и транспортира, является достаточно несложным.

    Для этой методики понадобится несколько инструментов: циркуль или транспортир, линейка, простой карандаш, ластик и лист белой бумаги.

    Чтобы понять, как красиво нарисовать звезду, действовать следует последовательно, этап за этапом.

    Можно в работе воспользоваться специальными вычислениями.

    Расчет фигуры

    На этом этапе рисования правильной звезды проступают контуры готовой фигуры.

    Если все сделано правильно, полученное изображение будет ровным. Это можно проверить визуально, вращая лист бумаги и оценивая форму. Она будет неизменной при каждом повороте.

    Основные контуры наводятся при помощи линейки и простого карандаша более четко. Все вспомогательные линии убираются.

    Чтобы понять, как нарисовать звезду поэтапно, следует проводить все действия вдумчиво. В случае ошибки можно подправить рисунок ластиком или провести все манипуляции заново.

    Оформление работы

    Готовую форму можно украсить самыми разнообразными способами. Главное — не нужно бояться экспериментировать. Фантазия подскажет оригинальный и красивый образ.

    Можно разукрасить нарисованную ровную звезду простым карандашом или использовать самые разнообразные цвета и оттенки.

    Чтобы разобраться в том, как нарисовать правильную звезду, необходимо придерживаться идеальных линий во всем. Поэтому самый популярный вариант оформления заключается в разделении каждого луча фигуры на две равные части линией, исходящей от вершины до центра.

    Можно не разделять стороны звезды линиями. Допускается просто закрасить каждый луч фигуры более темным оттенком с одного бока.

    Такой вариант также будет ответом на вопрос о том, как нарисовать правильную звезду, ведь все ее линии будут симметричны.

    По желанию при эстетическом оформлении фигуры можно добавить орнамент или другие всевозможные элементы. Добавив кружочки к вершинам, можно получить звезду шерифа. Применив плавную растушевку теневых сторон, можно получить морскую звезду.

    Эта техника является самой распространенной, так как без особых усилий позволяет понять, как нарисовать пятиконечную звезду поэтапно. Не прибегая к сложным математическим вычислениям, возможно получить правильное, красивое изображение.

    Рассмотрев все способы того, как нарисовать звезду с помощью линейки, можно выбрать для себя более подходящий.

    Наиболее популярным является геометрический поэтапный метод. Он достаточно несложный и эффективный. Применив фантазию и воображение, можно из полученной правильной, красивой формы создать оригинальную композицию. Вариантов оформления рисунка существует великое множество. Но ведь всегда можно придумать свой собственный, самый необычный и запоминающийся сюжет. Главное — не стоит бояться экспериментировать!

    Толковый словарь Ожегова гласит, что пятиугольник представляет собой ограниченную пятью пересекающимися прямыми, образующими пять внутренних углов, а также любой предмет подобной формы. Если у данного многоугольника все стороны и углы одинаковые, то он называется правильным (пентагоном).

    Чем интересен правильный пятиугольник?

    Именно в такой форме было построено всем известное здание Минобороны Соединенных Штатов. Из объемных правильных многогранников лишь додекаэдр имеет грани в форме пентагона. А в природе напрочь отсутствуют кристаллы, грани которых напоминали бы собой правильный пятиугольник.

    Кроме того, эта фигура является многоугольником с минимальным количеством углов, которым невозможно замостить площадь. Только у пятиугольника количество диагоналей совпадает с количеством его сторон. Согласитесь, это интересно!

    Основные свойства и формулы

    Воспользовавшись формулами для произвольного правильного многоугольника, можно определить все необходимые параметры, которые имеет пентагон.

    • Центральный угол α = 360 / n = 360/5 =72°.
    • Внутренний угол β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Соответственно, сумма внутренних углов составляет 540°.
    • Отношение диагонали к боковой стороне равно (1+√5) /2, то есть (примерно 1,618).
    • Длина стороны, которую имеет правильный пятиугольник, может быть рассчитана по одной из трех формул, в зависимости от того, какой параметр уже известен:
    • если вокруг него описана окружность и известен ее радиус R, то а = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
    • в случае, когда окружность c радиусом r вписана в правильный пятиугольник, а = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
    • бывает так, что вместо радиусов известна величина диагонали D, тогда сторону определяют следующим образом: а ≈ D/1,618.
    • Площадь правильного пятиугольника определяется, опять-таки, в зависимости от того, какой параметр нам известен:
    • если имеется вписанная или описанная окружность, то используется одна из двух формул:

    S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r либо S = (n*R 2 *sin α)/2 ≈ 2,3776*R 2 ;

    • площадь можно также определить, зная лишь длину боковой стороны а:

    S = (5*a 2 *tg54°)/4 ≈ 1,7205* a 2 .

    Правильный пятиугольник: построение

    Данную геометрическую фигуру можно построить по-разному. Например, вписать его в окружность с заданным радиусом либо построить на базе заданной боковой стороны. Последовательность действий была описана еще в «Началах» Евклида примерно 300 лет до н.э. В любом случае, нам понадобятся циркуль и линейка. Рассмотрим способ построения с помощью заданной окружности.

    1. Выберите произвольный радиус и начертите окружность, обозначив ее центр точкой O.

    2. На линии окружности выберите точку, которая будет служить одной из вершин нашего пятиугольника. Пусть это будет точка А. Соедините точки О и А прямым отрезком.

    3. Проведите прямую через точку О перпендикулярно к прямой ОА. Место пересечения этой прямой с линией окружности обозначьте, как точку В.

    4. На середине расстояния между точками О и В постройте точку С.

    5. Теперь начертите окружность, центр которой будет в точке С и которая будет проходить через точку А. Место ее пересечения с прямой OB (оно окажется внутри самой первой окружности) будет точкой D.

    6. Постройте окружность, проходящую через D, центр которой будет в А. Места ее пересечения с первоначальной окружностью нужно обозначить точками Е и F.

    7. Теперь постройте окружность, центр которой будет в Е. Сделать это надо так, чтобы она проходила через А. Ее другое место пересечения оригинальной окружности нужно обозначить

    8. Наконец, постройте окружность через А с центром в точке F. Обозначьте другое место пересечения оригинальной окружности точкой H.

    9. Теперь осталось только соединить вершины A, E, G, H, F. Наш правильный пятиугольник будет готов!

    5.3. Золотой пятиугольник; построение Евклида.

    Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый (рис. 5).

    Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник.

    Пусть О — центр окружности, А — точка на окружности и Е — середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

    Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

    Есть и золотой кубоид- это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

    Теперь рассмотрим доказательство, предложенное Евклидом в «Началах».

    Посмотрим теперь, как Евклид использует золотое сечение для того, чтобы построить угол в 72 градуса – именно под таким углом видна сторона правильного пятиугольника

    из центра описанной окружности. Начнем с

    отрезка АВЕ, разделенного в среднем и

    Итак, пусть АС=АЕ. Обозначим через a равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ, то угол АСЕ также равен a. Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, позволяет найти угол ВСЕ: он равен 180-2a, а угол ЕАС — 3a — 180. Но тогда угол АВС равен 180-a. Суммируя углы треугольника АВС получаем,

    180=(3a -180) + (3a-180) + (180 — a)

    Откуда 5a=360, значит a=72.

    Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕС вдвое больше угла при вершине, равного 36 градусов. Следовательно, чтобы построить правильный пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность с центром в точке Е, пересекающую ЕС в точке Х и сторону ЕВ в точке Y: отрезок XY служит одной из сторон вписанного в окружность правильного пятиугольника; Обойдя вокруг всей окружности, можно найти и все остальные стороны.

    Докажем теперь, что АС=АЕ. Предположим, что вершина С соединена отрезком прямой с серединой N отрезка ВЕ. Заметим, что поскольку СВ=СЕ, то угол СNЕ прямой. По теореме Пифагора:

    CN 2 = а 2 – (а/2j) 2 = а 2 (1-4j 2)

    Отсюда имеем (АС/а) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

    Итак, АС = jа = jАВ = АЕ, что и требовалось доказать

    5.4.Спираль Архимеда.

    Последовательно отсекая от золотых прямоугольников квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью окружности, мы получим довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали.

    В настоящее время спираль Архимеда широко используется в технике.

    6.Числа Фибоначчи.

    С золотым сечением косвенно связано имя итальянского математика Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищу Фибоначчи (Fibonacci — сокращенное filius Bonacci, то есть сын Боначчи)

    В 1202г. им была написана книга «Liber abacci», то есть «Книга об абаке» . «Liber abacci» представляет собой объемистый труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший заметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими («арабскими») цифрами.

    Сообщаемый в книге материал поясняется на большом числе задач, составляющих значительную часть этого трактата.

    Рассмотрим одну такую задачу:

    «Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?

    Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, дабы узнать, сколько пар кроликов родится в течение этого года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов воспроизведет другую, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения»

    Месяцы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    Пары кроликов 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

    Перейдем теперь от кроликов к числам и рассмотрим следующую числовую последовательность:

    u 1 , u 2 … u n

    в которой каждый член равен сумме двух предыдущих, т. е. при всяком n>2

    u n =u n -1 +u n -2 .

    Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.

    Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875… и через раз то превосходящая, то не достигающая его.

    Асимптотическое поведение последовательности, затухающие колебания ее соотношения около иррационального числа Ф могут стать более понятными, если показать отношения нескольких пеpвых членов последовательности. В этом примере приведены отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее:

    1:1 = 1.0000, что меньше фи на 0.6180

    2:1 = 2. 0000, что больше фи на 0.3820

    3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180

    5:3 = 1.6667, что больше фи на 0.0486

    8:5 = 1.6000, что меньше фи на 0.0180

    По мере продвижения по суммационной последовательности Фибоначчи каждый новый член будет делить следующий со все большим и большим приближением к недостижимому Ф.

    Человек подсознательно ищет Божественную пропорцию: она нужна для удовлетворения его потребности в комфорте.

    Пpи делении любого члена последовательности Фибоначчи на следующий за ним получается просто обратная к 1.618 величина (1: 1.618=0.618). Hо это тоже весьма необычное, даже замечательное явление. Поскольку пеpвоначальное соотношение – бесконечная дpобь, у этого соотношения также не должно быть конца.

    При делении каждого числа на следующее за ним через одно, получаем число 0.382

    Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор коэффициентов Фибоначчи: 4.235 ,2.618 ,1.618,0.618,0.382,0.236.Упомянем также 0.5.Все они играют особую роль в природе и в частности в техническом анализе.

    Тут необходимо отметить, что Фибоначчи лишь напомнил свою последовательность человечеству, так как она была известна еще в древнейшие времена под названием Золотое сечение.

    Золотое сечение, как мы видели, возникает в связи с правильным пятиугольником, поэтому и числа Фибоначчи играют роль во всем, что имеет отношение к правильным пятиугольникам — выпуклым и звездчатым.

    Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления. Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта (о решении Диофантовых уравнений). Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

    Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений. Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд чисел 1, 2, 4, 8, 16…(то есть ряд чисел до n , где любое натуральное число, меньшее n можно представить суммой некоторых чисел этого ряда) на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2…, во втором – это сумма двух предыдущих чисел 2 =1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2…. Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи?

    Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5… Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через S (n), то получим общую формулу S (n) = S (n – 1) + S (n – S – 1).

    Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 –ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.

    В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения x S+1 – x S – 1 = 0.

    Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 – знакомое классическое золотое сечение.

    Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! То есть золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

    7.Золотое сечение в искусстве.

    7.1. Золотое сечение в живописи.

    Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

    Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете».

    Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника..

    Также пропорция золотого сечения проявляется в картине Шишкина. На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны — освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали.

    В картине Рафаэля «Избиение младенцев» просматривается другой элемент золотой пропорции — золотая спираль. На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции — точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка — вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль золотую спираль или чувствовал её.

    Т.Кук использовал при анализе картины Сандро Боттичелли «рождение Венеры» золотое сеченеие.

    7.2. Пирамиды золотого сечения.

    Широко известны медицинские свойства пирамид, особенно золотого сечения. По некоторым наиболее распространенным мнениям, комната, в которой находится такая пирамида, кажется больше, а воздух — прозрачнее. Сны начинают запоминаться лучше. Также известно, что золотое сечение широко применялась в архитектуре и скульптуре. Примером тому стали: Пантеон и Парфенон в Греции, здания архитекторов Баженова и Малевича

    8. Заключение.

    Необходимо сказать, что золотое сечение имеет большое применение в нашей жизни.

    Было доказано, что человеческое тело делится в пропорции золотого сечения линией пояса.

    Раковина наутилуса закручена подобно золотой спирали.

    Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидов между Марсом и Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета.

    Возбуждение струны в точке, делящей её в отношении золотого деления, не вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации.

    На летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения.

    Джоконда построена на золотых треугольниках, золотая спираль присутствует на картине Рафаэля «Избиение младенцев».

    Пропорция обнаружена в картине Сандро Боттичелли «Рождение Венеры»

    Известно много памятников архитектуры, построенных с использованием золотой пропорции, в том числе Пантеон и Парфенон в Афинах, здания архитекторов Баженова и Малевича.

    Иоанну Кеплеру, жившему пять веков назад, принадлежит высказывание: «Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое — это теорема Пифагора, второе — деления отрезка в крайнем и среднем отношении»

    Список литературы

    1. Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979.

    2. Журнал «Наука и техника»

    3. Журнал «Квант», 1973, № 8.

    4. Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.

    5. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989.

    6. Стахов А. Коды золотой пропорции.

    7.Воробьев Н.Н. «Числа Фибоначчи» — М.: Наука 1964

    8. «Математика — Энциклопедия для детей» М.: Аванта +, 1998

    9. Информация из интернета.

    Матриц Фибоначчи и так называемых «золотых» матриц, новые компьютерные арифметики, новая теорию кодирования и новая теория криптографии. Суть новой науки, в пересмотре с точки зрения золотого сечения всей математики, начиная с Пифагора, что, естественно, повлечет в теории новые и наверняка очень интересные математические результаты. В практическом отношении – «золотую» компьютеризацию. А поскольку…



    Не повлияют на этот результат. 2}{4}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5

    {2}};

    Правильный пятиугольник (греч. πενταγωνον ) — геометрическая фигура , правильный многоугольник с пятью сторонами.

    Свойства

    • Додекаэдр — единственный из правильных многогранников , грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
    • Пентагон — здание Министерства обороны США имеет форму правильного пятиугольника.
    • Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
    • В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника.
    • Пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией 4-симплекса.

    См. также

    Напишите отзыв о статье «Правильный пятиугольник»

    Примечания

    Отрывок, характеризующий Правильный пятиугольник

    Петя не знал, как долго это продолжалось: он наслаждался, все время удивлялся своему наслаждению и жалел, что некому сообщить его. Его разбудил ласковый голос Лихачева.
    – Готово, ваше благородие, надвое хранцуза распластаете.
    Петя очнулся.
    – Уж светает, право, светает! – вскрикнул он.
    Невидные прежде лошади стали видны до хвостов, и сквозь оголенные ветки виднелся водянистый свет. Петя встряхнулся, вскочил, достал из кармана целковый и дал Лихачеву, махнув, попробовал шашку и положил ее в ножны. Казаки отвязывали лошадей и подтягивали подпруги.
    – Вот и командир, – сказал Лихачев. Из караулки вышел Денисов и, окликнув Петю, приказал собираться.

    Быстро в полутьме разобрали лошадей, подтянули подпруги и разобрались по командам. Денисов стоял у караулки, отдавая последние приказания. Пехота партии, шлепая сотней ног, прошла вперед по дороге и быстро скрылась между деревьев в предрассветном тумане. Эсаул что то приказывал казакам. Петя держал свою лошадь в поводу, с нетерпением ожидая приказания садиться. Обмытое холодной водой, лицо его, в особенности глаза горели огнем, озноб пробегал по спине, и во всем теле что то быстро и равномерно дрожало.
    – Ну, готово у вас все? – сказал Денисов. – Давай лошадей.
    Лошадей подали. Денисов рассердился на казака за то, что подпруги были слабы, и, разбранив его, сел. Петя взялся за стремя. Лошадь, по привычке, хотела куснуть его за ногу, но Петя, не чувствуя своей тяжести, быстро вскочил в седло и, оглядываясь на тронувшихся сзади в темноте гусар, подъехал к Денисову.
    – Василий Федорович, вы мне поручите что нибудь? Пожалуйста… ради бога… – сказал он. Денисов, казалось, забыл про существование Пети. Он оглянулся на него.
    – Об одном тебя пг»ошу, – сказал он строго, – слушаться меня и никуда не соваться.
    Во все время переезда Денисов ни слова не говорил больше с Петей и ехал молча. Когда подъехали к опушке леса, в поле заметно уже стало светлеть. Денисов поговорил что то шепотом с эсаулом, и казаки стали проезжать мимо Пети и Денисова. Когда они все проехали, Денисов тронул свою лошадь и поехал под гору. Садясь на зады и скользя, лошади спускались с своими седоками в лощину. Петя ехал рядом с Денисовым. Дрожь во всем его теле все усиливалась. Становилось все светлее и светлее, только туман скрывал отдаленные предметы. Съехав вниз и оглянувшись назад, Денисов кивнул головой казаку, стоявшему подле него.
    – Сигнал! – проговорил он.
    Казак поднял руку, раздался выстрел. И в то же мгновение послышался топот впереди поскакавших лошадей, крики с разных сторон и еще выстрелы.
    В то же мгновение, как раздались первые звуки топота и крика, Петя, ударив свою лошадь и выпустив поводья, не слушая Денисова, кричавшего на него, поскакал вперед. Пете показалось, что вдруг совершенно, как середь дня, ярко рассвело в ту минуту, как послышался выстрел. Он подскакал к мосту. Впереди по дороге скакали казаки. На мосту он столкнулся с отставшим казаком и поскакал дальше. Впереди какие то люди, – должно быть, это были французы, – бежали с правой стороны дороги на левую. Один упал в грязь под ногами Петиной лошади.
    У одной избы столпились казаки, что то делая. Из середины толпы послышался страшный крик. Петя подскакал к этой толпе, и первое, что он увидал, было бледное, с трясущейся нижней челюстью лицо француза, державшегося за древко направленной на него пики.
    – Ура!.. Ребята… наши… – прокричал Петя и, дав поводья разгорячившейся лошади, поскакал вперед по улице.
    Впереди слышны были выстрелы. Казаки, гусары и русские оборванные пленные, бежавшие с обеих сторон дороги, все громко и нескладно кричали что то. Молодцеватый, без шапки, с красным нахмуренным лицом, француз в синей шинели отбивался штыком от гусаров. Когда Петя подскакал, француз уже упал. Опять опоздал, мелькнуло в голове Пети, и он поскакал туда, откуда слышались частые выстрелы. Выстрелы раздавались на дворе того барского дома, на котором он был вчера ночью с Долоховым. Французы засели там за плетнем в густом, заросшем кустами саду и стреляли по казакам, столпившимся у ворот. Подъезжая к воротам, Петя в пороховом дыму увидал Долохова с бледным, зеленоватым лицом, кричавшего что то людям. «В объезд! Пехоту подождать!» – кричал он, в то время как Петя подъехал к нему.
    – Подождать?.. Ураааа!.. – закричал Петя и, не медля ни одной минуты, поскакал к тому месту, откуда слышались выстрелы и где гуще был пороховой дым. Послышался залп, провизжали пустые и во что то шлепнувшие пули. Казаки и Долохов вскакали вслед за Петей в ворота дома. Французы в колеблющемся густом дыме одни бросали оружие и выбегали из кустов навстречу казакам, другие бежали под гору к пруду. Петя скакал на своей лошади вдоль по барскому двору и, вместо того чтобы держать поводья, странно и быстро махал обеими руками и все дальше и дальше сбивался с седла на одну сторону. Лошадь, набежав на тлевший в утреннем свето костер, уперлась, и Петя тяжело упал на мокрую землю. Казаки видели, как быстро задергались его руки и ноги, несмотря на то, что голова его не шевелилась. Пуля пробила ему голову.
    Переговоривши с старшим французским офицером, который вышел к нему из за дома с платком на шпаге и объявил, что они сдаются, Долохов слез с лошади и подошел к неподвижно, с раскинутыми руками, лежавшему Пете.
    – Готов, – сказал он, нахмурившись, и пошел в ворота навстречу ехавшему к нему Денисову.
    – Убит?! – вскрикнул Денисов, увидав еще издалека то знакомое ему, несомненно безжизненное положение, в котором лежало тело Пети.
    – Готов, – повторил Долохов, как будто выговаривание этого слова доставляло ему удовольствие, и быстро пошел к пленным, которых окружили спешившиеся казаки. – Брать не будем! – крикнул он Денисову.

    Построение правильных многоугольников — техническое черчение. Как построить правильный восьмиугольник Как начертить правильный 8 угольник

    Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

    Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 -6, 4-3, 4-5 и 7-2, после чего прово­дим стороны 5-6 и 3-2.

    Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника . Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

    Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

    Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0-1-2 равен 30°, то для нахождения стороны

    1-2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0-1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1-2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

    Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

    Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину-точку 1 и проводим диаметральную линию 1-4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

    Построение квадрата, вписанного в окружность . Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

    Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4-1 и 3-2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1-2 и 4-3.

    Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

    Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

    Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

    Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

    Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

    Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

    Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

    Получим точку 1-вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

    Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

    Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

    Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

    Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

    Куклин Алексей

    Работа носит реферативный характер с элементами исследовательской деятельности. В ней рассматриваются различные способы построения правильных n-угольников. В работе содержится подробный ответ на вопрос о том, что всегда ли можно построить n-угольник с помощью циркуля и линейки. К работе прилагается презентация, которую можно найти на данном мини-сайте.

    Скачать:

    Предварительный просмотр:

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

    Предварительный просмотр:

    https://accounts.google.com


    Подписи к слайдам:

    Построение правильных многоугольников Работу выполнил: ученик 9 класса «В» МБОУ СОШ № 10 Куклин Алексей

    Правильные многоугольники Правильным многоугольником называют выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны. Перейти к примерам Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

    Назад Правильные многоугольники

    Основоположниками раздела математики о правильных многоугольниках являлись древнегреческие ученые. Одними из них были Архимед и Евклид.

    Доказательство существования правильного n-угольника Если n (число углов многоугольника) больше 2, то такой многоугольник существует. Попробуем построить 8ми угольник и доказать это. Доказательство

    Возьмем окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Разделим её на некоторое число равных дуг, в нашем случае 8. Для этого проведем радиусы так, чтобы получилось 8 дуг, и угол между двумя ближайшими радиусами был равен 360°: количество сторон (в нашем случае 8), соответственно каждый угол будет равен 45°.

    3. Получаем точки A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8. Поочередно соединяем их и получаем правильный восьмиугольник. Назад

    Построение правильного многоугольника по стороне с использованием поворота Правильный многоугольник можно построить, зная его углы. Мы знаем, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°(n — 2). Из этого можно вычислить угол многоугольника, разделив сумму на n. Углы Построение

    Угол правильного: 3-угольника равен 60° 4-угольника равен 90° 5-угольника равен 108° 6-угольника равен 120° 8-угольника равен 135° 9-угольника равен 140° 10-угольника равен 144° 12-угольника равен 150° Градусная мера углов правильных треугольников Назад

    Предварительный просмотр:

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


    Подписи к слайдам:

    В 1796 году одним из величайших математиков всех времён Карл Фридрих Гаусс показал возможность построения правильных n-угольников, если выполняется равенство, где n – количество углов, а k-любое натуральное число. Тем самым получилось, что в пределах 30 возможно деление окружности на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30 равных частей. В 1836 году Ванцель доказал, что правильные многоугольники, не удовлетворяющие данному равенству при помощи линейки и циркуля построить нельзя. Теорема Гаусса

    Построение треугольника Построим окружность с центром в точке О. Построим еще одну окружность того же радиуса проходящую через точку О.

    3. Соединим центры окружностей и одну из точек их пересечения, получив правильный многоугольник. Назад Построение треугольника

    Построение шестиугольника 1. Построим окружность с центром в точке О. 2. Проведем прямую линию через центр окружности. 3. Проведем дугу окружности того же радиуса с центром в точке пересечения прямой с окружностью до пересечения с окружностью.

    4. Проведем прямые через центр начальной окружности и точки пересечения дуги с этой окружностью. 5. Соединяем точки пересечения всех прямых с исходной окружностью и получаем правильный шестиугольник. Построение шестиугольника

    Построение четырёхугольника Построим окружность с центром в точке О. Проведем 2 взаимно перпендикулярных диаметра. Из точек в которых диаметры касаются окружности проводим другие окружности данного радиуса до их пересечения (окружностей).

    Построение четырёхугольника 4. Проводим прямые через точки пересечения окружностей. 5. Соединяем точки пересечения прямых и окружности и получаем правильный четырехугольник.

    Построение восьмиугольника Можно построить любой правильный многоугольник у которого в 2 раза больше углов, чем у данного. Построим восьмиугольник при помощи четырехугольника. Соединим противоположные вершины четырехугольника. Проведем биссектрисы углов образованных пересекающимися диагоналями.

    4. Соединим точки, лежащие на окружности, получив при этом правильный восьмиугольник. Построение восьмиугольника

    Предварительный просмотр:

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


    Подписи к слайдам:

    Построение десятиугольника Построим окружность с центром в точке О. Проведем 2 взаимно перпендикулярных диаметра. Разделим радиус окружности пополам и из получившейся на нем точки проведем окружность проходящую через точку О.

    Построение десятиугольника 4. Проведем отрезок из центра маленькой окружности к точки в которой большая окружность касается своего радиуса. 5. Из точки соприкосновения большой окружности и её радиуса проведем окружность так, что она будет соприкасаться с маленькой.

    Построение десятиугольника 6. Из точек пересечения большой и полученной окружностей проведем окружности построенные в прошлый раз и так будем проводить до тех пор пока соседние окружности не соприкоснутся. 7. Соединим точки и получим десятиугольник.

    Построение пятиугольника Для построения правильного пятиугольника нужно во время построения правильного десятиугольника соединить поочередно не все точки, а через одну.

    Приблизительное построение правильного пятиугольника методом Дюрера Построим 2 окружности проходящие через центр друг друга. Соединим центры прямой, получив одну из сторон пятиугольника. Соединим точки пересечения окружностей.

    Приблизительное построение правильного пятиугольника методом Дюрера 4. Проведем еще одну окружность того же радиуса с центром в точке пересечения двух других окружностей. 5. Проведем 2 отрезка как указано на рисунке.

    Приблизительное построение правильного пятиугольника методом Дюрера 6. Соединим точки соприкосновения этих отрезков с окружностями с концами построенной стороны пятиугольника. 7. Достроим до пятиугольника.

    Приблизительное построение правильного пятиугольника методами Коваржика, Биона

    В черчении зачастую требуется строить положительные многоугольники. Так, скажем, положительные восьмиугольники применяются на щитах дорожных знаков.

    Вам понадобится

    • – циркуль
    • – линейка
    • – карандаш

    Инструкция

    1. Пускай задан отрезок, равный длине стороны желанного восьмиугольника. Требуется возвести верный восьмиугольник. Первым шагом постройте равнобедренный треугольник на заданном отрезке, применяя отрезок, как основание. Для этого вначале постройте квадрат со стороной, равной отрезку, проведите в нем диагонали. Сейчас постройте биссектрисы углов при диагоналях (на рисунке биссектрисы указаны синим), на пересечении биссектрис образуется вершина равнобедренного треугольника, стороны которого равны радиусу окружности, описанной вокруг верного восьмиугольника.

    2. Постройте окружность с центром в вершине треугольника. Радиус окружности равен стороне треугольника. Сейчас разведите циркуль на расстояние, равное величине заданного отрезка. Отложите это расстояние на окружности, начиная от всякого конца отрезка. Объедините все полученные точки в восьмиугольник.

    3. Если же задана окружность, в которую должен быть вписан восьмиугольник, то построения будут еще проще. Постройте две перпендикулярные друг другу осевые линии, проходящие через центр окружности. На пересечении осевых и окружности получатся четыре вершины грядущего восьмиугольника. Осталось поделить расстояние между этими точками на дуге окружности напополам, дабы получить еще четыре вершины.

    Верный треугольник – тот, у которого все стороны владеют идентичной длиной. Исходя из этого определения, построение сходственной разновидности треугольник а является нетрудной задачей.

    Вам понадобится

    • Линейка, лист разлинованной бумаги, карандаш

    Инструкция

    1. Взять лист чистой бумаги, разлинованной в клеточку, линейку и подметить на бумаге три точки так, дабы они находились на идентичном друг от друга расстоянии (рис.1)

    2. С подмогой линейки объединить подмеченные на листе точки ступенчато, друг за ином так, как это показано на рисунке 2.

    Обратите внимание!
    В верном (равностороннем) треугольнике все углы равны 60 градусам.

    Полезный совет
    Равносторонний треугольник так же является и равнобедренным. Если треугольник равнобедренный, то это обозначает, что 2 из 3-х его сторон равны, а третья сторона считается основанием. Всякий положительный треугольник является равнобедренным, в то время как обратное заявление не правильно.

    Восьмиугольник – это, по своей сути, два квадрата, смещенных касательно друг друга на 45° и объединенных на вершинах цельной линией. А потому, для того дабы положительно изобразить такую геометрическую фигуру, нужно твердым карандашом дюже опрятно, по правилам начертить квадрат либо круг, с которыми и проводить последующие действия. Изложение ориентировано на длину стороны, равной 20 см. А значит, при расположении чертежа рассматривайте, дабы вертикальная и горизонтальная линии длиной 20 см умещались на листе бумаги.

    Вам понадобится

    • Линейка, прямоугольный треугольник, транспортир, карандаш, циркуль, лист бумаги

    Инструкция

    1. Метод 1. Начертите внизу горизонтальную линию длиной 20 см. После этого с одной стороны подметьте транспортиром прямой угол, тот, что составляет 90°. То же самое дозволено сделать с поддержкой прямого треугольника. Проведите вертикальную линию и подметьте 20 см. Проделайте те же самые манипуляции с иной стороны. Объедините две полученные точки горизонтальной линией. В итоге получилась геометрическая фигура – квадрат.

    2. Для того дабы возвести 2-й (смещенный) квадрат, потребуется центр фигуры. Для этого поделите всякую сторону квадрата на 2 части. Объедините вначале 2 точки параллельных верхней и нижней сторон, а потом точки боковых сторон. Проведите через центр квадрата 2 прямые линии, перпендикулярные касательно друг друга. Начиная от центра, отмерьте на новых прямых длину по 10 см, что в результате даст 4 прямые линии. Объедините 4 полученные наружные точки между собой, в итоге чего получится 2-й квадрат. Сейчас всякую точку из 8 полученных углов объедините между собой. Таким образом, будет начерчен восьмиугольник.

    3. Метод 2. Для этого потребуется циркуль, линейка и транспортир. От центра листа с поддержкой циркуля начертите круг диаметром 20 см (радиус 10 см). Через центральную точку проведите прямую линию. После этого начертите вторую перпендикулярную ей линию. То же самое дозволено исполнить с подмогой транспортира либо прямого треугольника. В итоге круг будет поделен на 4 равные части. Дальше всякий из секций поделите еще на 2 части. Для этого также дозволено воспользоваться транспортиром, отмеряя 45° либо прямоугольным треугольником, тот, что приложите острым углом в 45° и проведите лучи. От центра на всякой прямой линии отмерьте по 10 см. В итоге получатся 8 «лучиков», которые объедините между собой. В итоге получится восьмиугольник.

    4. Метод 3. Для этого так же начертите круг, проведите через середину линию. После этого возьмите транспортир, поставьте его на центр и отмеряйте углы, рассматривая, что всякий секция восьмиугольника имеет в центре угол 45° . Позже этого на полученных лучах отмерьте длину в 10 см. и объедините их между собой. Восьмиугольник готов.

    Полезный совет
    Делайте чертеж твердым карандашом, побочные линии на котором после этого легко дозволено будет удалить

    Верный восьмиугольник – это геометрическая фигура, у которой всякий угол составляет 135?, и все стороны между собою равны. Эта фигура дюже зачастую используется в архитектуре, к примеру, при постройке колон, а также при изготовлении дорожного знака STOP. Как же нарисовать положительный восьмиугольник?

    Вам понадобится

    • – альбомный лист;
    • – карандаш;
    • – линейка;
    • – циркуль;
    • – ластик.

    Инструкция

    1. Нарисуйте вначале квадрат. После этого проведите окружность так, дабы квадрат оказался внутри круга. Сейчас проведите две осевые серединные линии квадрата – горизонтальную и вертикальную до пересечения с кругом. Объедините прямыми отрезками точки пересечения осей с кругом и точки прикосновения описанной окружности с квадратом. Таким образом, получите стороны верного восьмиугольника.

    2. Нарисуйте верный восьмиугольник иным методом. Вначале начертите окружность. После этого проведите горизонтальную линию через ее центр. Подметьте точку пересечения крайней правой границы окружности с горизонталью. Эта точка будет являться центром еще одной окружности, радиусом равным предыдущей фигуре.

    3. Проведите вертикальную линию через точки пересечения 2-й окружности с первой. Поставьте ножку циркуля в точку пересечения вертикали с горизонталью и начертите небольшой круг радиусом, равным расстоянию от центра крошечной окружности до центра начального круга.

    4. Начертите прямую линию через две точки – центр начального круга и точку пересечения вертикали и крошечной окружности. Продолжите ее до пересечения с рубежом изначальной фигуры. Это будет точка вершины восьмиугольника. Циркулем подметьте еще одну точку, проведя окружность с центром в точке пересечения крайней правой рубежом начального круга с горизонталью и радиусом, равным расстоянию от центра к теснее имеющейся вершине восьмиугольника.

    5. Проведите прямую линию через две точки – центр начального круга и последнюю новообразованную точку. Продолжите прямую линию до пересечения с границами первоначальной фигуры.

    6. Объедините прямыми отрезками ступенчато: точку пересечения горизонтали с правой рубежом начальной фигуры, после этого по часовой стрелке все образовавшиеся точки, включая точки пересечения осей с первоначальной окружностью.

    Видео по теме

    Как построить пятиугольник с помощью циркуля

    Содержание

    Как нарисовать шестигранник без циркуля

    Построение шестигранника может производиться несколькими способами. Удобнее всего использовать стандартный набор чертежных инструментов: циркуль, линейку. Однако, в отсутствие циркуля, фигура этого типа может быть начерчена с помощью рейсшины, угольника заводского изготовления с углами 90/60/30°.

    Шестигранники применяются для откручивания и закручивания болтов при ремонте и сборке мебели.

    В обоих случаях особенностью построения является элементарное знание основ геометрии. В правильном шестиугольнике длина его стороны всегда равна радиусу окружности, описанной вокруг него, противоположные стороны параллельны, грани сопрягаются под углом 60°.

    Способ вычерчивания шестиугольника циркулем, линейкой

    Чтобы построить шестигранник при наличии циркуля, достаточно вычертить окружность, найти на ее дуге 6 точек, соединив их отрезками. Для этого достаточно настроить циркуль один раз, отложив на нем значение стороны многогранника. Линейка потребуется для строительства вспомогательных, основных линий.

    Метод выглядит следующим образом:

    Первый способ вычерчивания шестиугольника циркулем: 1,2,3,4,5,6 — углы, 0 — центр, D — радиус шестигранника.

    • циркулем вычерчивается окружность — радиус является размером стороны;
    • по линейке проводится радиус — точки пересечения этого отрезка будут углами многоугольника;
    • находятся два угла многоугольника — циркуль переставляется в одну из точек пересечения отрезка (проведенный на предыдущем этапе диаметр), на дуге делаются отметки;
    • находятся оставшиеся два угла — циркуль перемещается в противоположную точку пересечения отрезка с дугой окружности, создаются отметки пересечения на второй стороне окружности.

    Построение правильного шестигранника завершается соединением получившихся углов по линейке. Это самый точный способ, требующий минимального количества чертежного инструмента.

    При значительном размере сторон (например, крой листового металла, деревянных заготовок) можно использовать шнур с карандашом.

    Один край шнура крепится к карандашу/маркеру, второй неподвижно фиксируется в центре окружности, затем в точках пересечения диаметра с дугой окружности.

    Построение занимает минимальное количество времени, точность целиком зависит от заточки карандаша, наличия фиксатора на циркуле.

    Способ вычерчивания шестиугольника без циркуля

    Построение правильного шестигранника без циркуля требует обязательного наличия рейсшины — специального инструмента в виде линейки, внутри корпуса которой расположен массивный вал с резиновыми элементами, препятствующими проскальзыванию.

    Он создан для быстрого изготовления параллельных прямых, обеспечивая высокую точность построений. Качество вычерчивания в данном методе полностью зависит от точности угла 60° в угольнике заводского изготовления, градуирования шкалы линейки.

    Способ построения выглядит следующим образом:

    Второй способ вычерчивания шестиугольника циркулем: 1,2,3,4,5,6 — углы, 0 — центр, D — радиус шестигранника.

    • к одной стороне отрезка прикладывается угольник — короткая сторона совмещена с линией, угол 60° примыкает к концу отрезка изнутри, по гипотенузе угольника проводится линия произвольного размера, который корректируется впоследствии по шкале линейки;
    • на листе/заготовке вычерчивается линия — длина ее равна двум размерам стороны многоугольника, края автоматически становятся центрами многогранника;
    • операция повторяется при развороте угольника — угол 60° перемещается к противоположной стороне отрезка, центром вращения является длинный катет угольника;
    • разворот угольника — теперь центром вращения становится короткий катет угольника, вычерчиваются еще две грани;
    • уточнение размеров сторон — на четырех получившихся сторонах многоугольника по линейке откладывается их точный размер;
    • строительство двух оставшихся сторон — они расположены параллельно линии, с которой было начато черчение, проводятся по линейке, затем уточняется их размер;
    • контроль параллельности — шкала рейсшины совмещается с линией, от которой началось построение фигуры, затем инструмент перемещается вверх/вниз для удостоверения параллельности двух противоположных граней между собой, с этим отрезком

    Шестигранник в этом случае вычерчивается дольше, чем в первом способе. Однако так можно построить необходимую фигуру, в отсутствие циркуля, угольником. Технология основана на параллельности противоположных сторон правильного шестиугольника, одинаковых внутренних углах 60°.

    Промышленность выпускает угольники как с острыми углами, удобными для данного метода, так и со скругленными.

    Третий способ вычерчивания шестиугольника циркулем: a — диаметр, b — сторона шестигранника.

    В последнем случае удобнее несколько изменить технологию:

    • после вычерчивания центрального отрезка по нему выравнивается рейсшина;
    • инструмент откатывается вниз на произвольную величину;
    • короткая гипотенуза угольника совмещается с линейкой рейсшины, а не с центральным отрезком;
    • скругленный край инструмента не участвует в построении, линия проводится по цельной части гипотенузы.

    Операция повторяется с противоположной стороны отрезка, после чего рейсшина разворачивается на 180°, опять совмещается с центральной линией, откатывается вверх для построения двух других сторон многогранника.

    Это стандартные способы вычерчивания равностороннего многоугольника с шестью углами, гранями. Они удобны для кроя заготовок любых размеров из разных материалов, в стандартном черчении на ватмане. Обе методики имеют исключительно прикладное значение, так как в профессиональных графических редакторах (AutoCAD, Компас-3D) подобные фигуры создаются автоматически заданием нужных параметров.

    Машиностроительное

    Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

    Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего прово­дим стороны 5—6 и 3—2.

    Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

    Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

    Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

    1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

    Источник: https://planshet-info.ru/kompjutery/kak-narisovat-shestigrannik-bez-cirkulja

    Пятиугольник, виды, свойства и формулы

    Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.

    Пятиугольник, выпуклый и невыпуклый пятиугольник

    Правильный многоугольник

    Свойства правильного пятиугольника

    Построение правильного пятиугольника

    Формулы правильного пятиугольника

    Правильный пятиугольник в природе, технике и культуре

    Пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник

    Пятиугольник, выпуклый и невыпуклый пятиугольник:

    Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.

    Пятиугольник – фигура, состоящая из пяти углов (вершин), которые образуются пятью отрезками (сторонами).

    Пятиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

    Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

    Соответственно выпуклый пятиугольник – это пятиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

    Рис. 1. Выпуклый пятиугольник

    Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 540°.

    Невыпуклый пятиугольник – это пятиугольник, у которого одна часть его точек лежат по одну сторону, а другая часть – по другую от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

    Рис. 2. Невыпуклый пятиугольник

    Звёздчатый пятиугольник(пентаграмма) – пятиугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного семиугольника многоугольника. Стороны звёздчатого пятиугольника могут пересекаться между собой.

    Правильный многоугольник:

    Правильный пятиугольник (пентагон) – это правильный многоугольник с пятью сторонами.

    В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

    Правильный пятиугольник – это пятиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 108°.

    Рис. 3. Правильный пятиугольник

    Правильный пятиугольник имеет 5 сторон, 5 углов и 5 вершин.

    Углы правильного семиугольника образуют семь равнобедренных треугольников.

    Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны.

    Свойства правильного пятиугольника:

    1. Все стороны правильного пятиугольника равны между собой.

    a1 = a2 = a3 = a4= a5.

    2. Все углы равны между собой и каждый угол равен 108°.

    α1 = α2 = α3 = α4 = α5 = 108°.

    Рис. 4. Правильный пятиугольник

    3. Сумма внутренних углов правильного пятиугольника равна 540°.

    4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного пятиугольника O.

    Рис. 5. Правильный пятиугольник

    5. Количество диагоналей правильного пятиугольника равно 5.

    Рис. 6. Правильный пятиугольник

    6. Центр вписанной окружности O1 совпадает с центром описанной окружности O2, что и образуют центр пятиугольника O.

    Рис. 7. Правильный пятиугольник

    7. Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.

    Рис. 8. Правильный пятиугольник

    8. Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.

    a / c ≈ 5 / 8 ≈ 0,618.

    Рис. 9. Правильный пятиугольник

    Построение правильного пятиугольника:

    Метод построения правильного пятиугольника вписыванием его в заданную окружность:

    1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O.

    2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.

    3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.

    4. Постройте точку C посередине между O и B.

    5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.

    6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.

    7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.

    8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.

    9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

    Формулы правильного пятиугольника:

    Пусть a – сторона пятиугольника, r – радиус окружности, вписанной в пятиугольник, R – радиус описанной окружности пятиугольника, S – площадь пятиугольника, h – высота пятиугольника, d – диагональ пятиугольника, Ф – отношение золотого сечения.

    Формулы площади правильного пятиугольника:

    Формулы высоты правильного пятиугольника:

    Формулы стороны правильного пятиугольника:

    Формулы диагонали правильного пятиугольника:

    Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный пятиугольник:

    Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника:

    Правильный пятиугольник в природе, технике и культуре:

    Пентасимметрию можно наблюдать в некоторых фруктах (например, у мушмулы германской), у иглокожих (например, у морских звёзд) и у некоторых растений.

    Математики рекомендуют еще один простой способ. Для его реализации необходимо начертить окружность с диаметром АD. После этого его нужно поделить на 3 равные части, то есть AB = BC = CD.

    Затем из точки С следует опустить перпендикуляры на окружность. Обозначить места пересечения точками E и F. Проделать такую же процедуру с точкой B, обозначив пересечения точками G и H.

    Остается лишь соединить все точки отрезками.

    Признаки и свойства

    Не всегда получается верно идентифицировать пятиугольник. Для этого математики предлагают признаки, которые применимы только к правильной фигуре. К ним можно отнести следующие:

    1. Стороны равны между собой.
    2. Любой угол правильного пятиугольника равен остальным его углам.

    Следует отметить, что признаки справедливы для любого правильного многогранника. Пять осей симметрии имеет правильный пятиугольник (сколько сторон, столько и осей). Пентагон обладает некоторыми свойствами, которые будут очень полезны при решении задач. К ним можно отнести следующие:

    1. Равенство сторон.
    2. Углы равны по 108 градусов.
    3. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
    4. Сумма внутренних углов равна 180 * (5 – 2) = 540 (градусов), а внешних – 360.
    5. Количество диагоналей соответствует 5.
    6. Значение площади кольца, которое образуется между вписанным и описанным кругами, эквивалентно произведению квадрата длины стороны на константу Pi / 4.
    7. Биссектрисы, проведенные через центр, равны.
    8. Диагонали — трисектрисы внутренних углов. Одна диагональ делит его на 1/3 и 2/3 части.
    9. Отношение диагонали к стороне эквивалентно «золотому сечению» и равно [1 + 5(1/2)] / 2.

    Однако свойств недостаточно при решении задач, поскольку существуют некоторые формулы и соотношения для нахождения основных параметров пентагона.

    Расчет параметров

    С помощью соотношений можно легко найти необходимые характеристики любой фигуры. Однако в некоторых источниках не указаны условные обозначения известного параметра пентагона.

    Это существенно затрудняет понимание формулы, а также ее дальнейшее использование.

    Перед изучением следует нарисовать фигуру и обозначить некоторые величины, которыми могут быть диагонали, стороны, апофемы и радиусы.

    Рекомендуется использовать различные литеры или буквенные обозначения. Недопустимо пронумеровывать вершины, поскольку при вычислениях можно ошибиться. Нельзя использовать вместо букв цифры при обозначениях.

    Например, пентагон ABCDE является правильной записью. Допускается применение чисел в индексах, а именно, в пятиугольнике правильного типа ABCDE при пересечении его диагоналей образовался пентагон A1B1C1D1E1.

    Математики рекомендуют обозначать только промежуточные фигуры или их проекции литерами с индексами. Для каждой новой фигуры следует вводить другие обозначения. Не следует использовать зарезервированные переменные. Например, центр окружности в точке P является недопустимой записью, поскольку такой буквой обозначается периметр.

    Условные обозначения

    Для нахождения основных величин пентагона следует обозначить некоторые его параметры. Фигура имеет следующие обозначения:

    1. Сторона: a.
    2. Радиус вписанной и описанной окружностей: r и R соответственно.
    3. Площадь: S.
    4. Периметр и полупериметр: P и p соответственно.
    5. Диагональ: d.
    6. Отношение золотого сечения: Ф.

    Значения сторон равны между собой. Площадь правильного пятиугольника — характеристика двумерной фигуры, которая показывает ее размерность. Периметром называется сумма всех 5 сторон. Полупериметр вычисляется по следующему соотношению: p = P / 2. Диагонали — отрезки, проведенные из одной вершины к противоположной (несмежной).

    Соотношения и формулы

    После обозначений следует переходить к рассмотрению основных формул, при помощи которых можно вычислять параметры фигуры. Сторону можно найти, воспользовавшись такими соотношениями:

    1. a = 2r * tg(36).
    2. a = 2R * sin(36).
    3. a = R * [(5 – (5)(1/2)) / 2](1/2).

    Радиус вписанной окружности в пентагон можно найти, используя тригонометрические функции. Однако существует также формула, позволяющая вычислить приближенное значение. Это необходимо в том случае, когда под рукой нет специального онлайн-калькулятора, компьютера или таблиц Брадиса. Формулы для нахождения радиуса вписанной окружности:

    1. r = a / (2tg(36)).
    2. r = a * [5(1/2) * [5 + 2 * 5(1/2)](1/2) / 10].

    Математики также рекомендуют описать вокруг пентагона окружность. Это расширит возможности по поиску его основных характеристик. Однако ее радиус следует вычислить. Формулы для его нахождения выглядят таким образом:

    1. R = a / (2sin(36)).
    2. R = a * [10(1/2) * [5 + 5(1/2)](1/2) / 10] = (5(1/2) – 1) * r.

    Периметр определяется просто: Р = 5а. Значение полупериметра эквивалентно половине периметра, то есть p = P / 2 = 5a / 2 = 2,5a. Площадь можно найти, используя такие формулы:

    1. S = (5a2 / 4) * ctg(36).
    2. S = 5r2 * tg(36).
    3. S = 2,5 * R2 * sin(72).
    4. S = (5/12) * R * d.

    Высота правильного пятиугольника (h) — отрезок, проведенный из центра на любую из сторон. Она делит ее на две равные части, поскольку является биссектрисой и медианой равнобедренного треугольника. У последнего две стороны — радиусы описанной окружности, а третья — сторона пентагона. Высота называется также апофемой и проекцией на «а». Вычисляется ее значение по формуле h = a * tg(72) / 2.

    Величина Ф является отношением площади пентагона (S) к площади (S1) правильного пятиугольника, полученного при пересечении диагоналей первого: S / S1 = Ф4 = 3Ф + 2 = (3 * 5(1/2) + 7) / 2. Длина диагонали находится по такому соотношению: d = [Ф * 5(1/2) * R](1/2).

    Таким образом, при решении задач необходимо знать основные признаки, свойства, соотношения и формулы для нахождения основных характеристик пентагона. Практика обязательна, поскольку теоретические знания без практического применения бесполезны.

    Источник: https://nauka.club/matematika/geometriya/pravilnyy-pyatiugolnik.html

    Как вписать в окружность пятиугольник

    / Отделка комнат при ремонте / Сведения, необходимые при выполнении росписи / Построение правильного пятиугольника

    Первый способ — по данной стороне S с помощью транспортира.

    Проводим прямую и откладываем на ней AB = S; принимаем эту линию за радиус и этим радиусом из точек A и В описываем дуги: далее с помощью транспортира строим в этих точках углы в 108°, стороны которых пересекутся с дугами в точках С и D; из этих точек радиусом АВ = 5 описываем дуги, которые пересекутся в Е, и прямыми линиями соединяем точки Л, С, Е, D, В.

    Полученный пятиугольник — искомый.

    Первый способ построения пятиугольника

    Второй способ. Проведем окружность радиусом r. Из точки А циркулем проводим дугу радиуса AM до пересечения в точках В и С с окружностью. Соединяем В и С линией, которая пересечет горизонтальную ось в точке Е.

    Затем из точки Е проводим дугу, которая пересечет горизонтальную линию в точке О. Описываем, наконец, из точки F дугу, которая пересечет окружность в точках Н и К. Отложив по окружности расстояние FO = FH = FK пять раз и соединив точки деления линиями, получим правильный пятиугольник.

    Второй способ построения пятиугольника

    Третий способ. В данный круг вписать правильный пятиугольник. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и МС. Делим радиус АО точкой Е пополам.

    Из точки Е, как из центра, проводим дугу окружности радиуса ЕМ и засекаем ею диаметр АВ в точке F. Отрезок MF равен стороне искомого правильного пятиугольника.

    Раствором циркуля, равным MF, делаем засечки N1, Р1, Q1, К1 и соединяем их прямыми.

    Третий способ построения пятиугольника

    На рисунке построен шестиугольник по данной стороне.

    Построение шестиугольника

    Прямой АВ = 5, как радиусом, из точек А и В описываем дуги, которые пересекутся в С; из этой точки тем же радиусом описываем окружность, на которой сторона А В отложится 6 раз.

    Шестиугольник ADEFGB — искомый. 

    «Отделка комнат при ремонте»,
    Н.П.Краснов

    Построение угла, равного данному и параллельные линии

    Построение угла, равного данному Угол, равный данному, строится следующим образом.

    Из вершины А данного угла произвольным радиусом проводим дугу тем же радиусом из точки D на данной прямой описываем дугу EF; величину дуги ВС откладываем по дуге EF до точки F и проводим DE.

    Угол EDF — искомый. Построение угла, равного данному Параллельные линии Линии,…

    Деление прямых линий и углов

    Деление прямых линий и углов может быть произведено двояким образом: на глаз и с помощью геометрического построения.

    При делении прямой на две равные части поступают следующим образом. Половину данной прямой берут циркулем на глаз и откладывают эту половину от обоих концов прямой.

    Если концы половинок сходятся, то, значит, данная прямая разделена правильно, если нет, то…

    Правильные многоугольники

    Маляру часто приходится иметь дело с правильными многоугольниками, а также треугольниками и четырехугольниками, т. е. такими фигурами, у которых все стороны и, соответственно, углы равны между собой.

    Может встретиться необходимость построить правильный многоугольник по данной стороне, или вписать правильный многоугольник в окружность данного радиуса, или описать его вокруг окружности.

    Первый вопрос сводится к нахождению внутреннего…

    Построение и деление вписанных и описанных правильных многоугольников

    Построение вписанных и описанных правильных многоугольников сводится, как уже было сказано, к делению окружности на столько равных частей, сколько в многоугольнике сторон.

    Однако точное деление окружности путем геометрического построения возможно лишь на 3, 4, 5 и 15 равных частей, а также при делении на число частей, получаемое последовательным удвоением этих чисел.

    В остальных случаях приходится…

    Построение овала (коробовой кривой) по данной длине АВ. Делим длину ЛВ на 3 равные части и из D и Е радиусом DF описываем дуги которые пересекутся в F и G; соединяем D и E c F и G и продолжаем эти прямые, как на фигуре; далее радиусом AD = BE из точек D и Е…

    Источник:

    Нарисовать правильный пятиугольник онлайн вписанный в окружность

    Здравствуйте коллеги.
    Сегодня построим правильный пятиугольник в окружности, попробуем начертить циркулем и линейкой фигуру.

    Рисунки художников очень тесно связаны с черчением и геометрией. Если мы задумали какую-то композицию, а в ней есть геометрические фигуры, то нам необходимо знать, как изобразить предмет, что бы он не выглядел смешно, и что бы вы не выглядели дилетантом и смогли нарисовать пятиконечную звезду циркулем или в фотошопе. От этого зависит ваш авторитет художника, а значит и заказы.

    Построение правильного пятиугольника не так часто встречается в рисунке, но все же есть моменты, когда нам это необходимо.

    Например, нам нужно нарисовать пятиконечную звезду (пентаграмму) для картины о Советском прошлом или о настоящем Китая. Правда для этого нужно уметь создать рисунок звезды в перспективе. Это посмотрите в другом уроке.

    Мы попробуем нарисовать звезду в фотошопе фронтально. Точно так же вы сможете нарисовать фигуру карандашом на бумаге. Всего лишь с помощью таких инструментов:

    1. Циркуль
    2. Карандаш
    3. Линейка
    4. Резинка

    Как правильно нарисовать звезду, что бы она выглядела ровно и красиво, сразу не ответишь. Количество углов не четное, поэтому просто разделить окружность на равные части циркулем или линейкой не получится.

    Что бы вписанный пятиугольник в окружность был пропорциональный, нам необходимо точно вычислить одну из сторон, а затем отложить этот отрезок пять раз на теле овала.

    Как выглядит пятиугольник и звезда

    Внизу на фото разберем, как нарисовать звезду поэтапно.
    Для начала рисуем окружность с центром О.

    Дальше отложим отрезок OA равный радиусу и разделим его пополам точкой B, как показано на фото внизу.

    Теперь от точки В до точки С проведем прямую.

    Отложим расстояние отрезка ВС на диаметральной линии окружности. Для этого можно воспользоваться циркулем. Таким образом у нас появилась точка D.

    И отрезок DB. Картинка внизу.

    Дальше, проведя линию от точки D к точке С, Мы получи длину равную стороне пятиугольника.

    Дальше этот отрезок можно отложить на окружности. У нас появилась точка Е. Смотрим фото ниже.

    Итак, одна из сторон пятиугольника у нас есть, это линия ЕС.

    Такие же отрезки наносим на всей части круга. Смотрим картинку.

    На этом построение правильного пятиугольника можно закончить. Что бы нарисовать звезду нужно просто соединить углы через один.

    Нарисовать пятиконечную звезду циркулем можно так же, как и на нашем уроке в программе Photoshop, весь процесс такой же, только вместо программы графического редактора используем инструменты для черчения.

    Так же можно посмотреть уроки построения шестиугольника,  разделение на восемь частей, деление круга на семь частей, десять равных частей.

    Источник:

    Многоугольник называют вписанным, если все его вершины лежат на окружности. Вписать в окружность можно любой правильный многоугольник, в том числе и тот, у которого пять сторон. В классическом черчении для этого требуются некоторые дополнительные расчеты. Программа AutoCAD позволяет это сделать довольно быстро.

    Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника. Дан правильный многоугольник, число сторон которого представляет собой произведение натуральных чисел k и m, где m>2. Как построить правильный m-угольник? Гаусс показал также возможность построения правильного 257-угольника с помощью циркуля и линейки.

    Подробнее: zvidalumkaser.ru

      Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой.

      Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°.

    Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный
    диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4, строим стороны 1 — 6, 4 — 3, 4 — 5 и 7 — 2, после чего проводим стороны 5 — 6 и 3 — 2.

    Проводим прямую и откладываем на ней AB = S; принимаем эту линию за радиус и этим радиусом из точек A и В описываем дуги: далее с помощью транспортира строим в этих точках углы в 108°, стороны которых пересекутся с дугами в точках С и D; из этих точек радиусом АВ = 5 описываем дуги, которые пересекутся в Е, и прямыми линиями соединяем точки Л, С, Е, D, В. Полученный пятиугольник — искомый.

    Подробнее: www.ktovdome.ru

    Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD (рис.1). Делим пополам радиус АО точкой Е. Из Е радиусом ЕС проводим дугу CF, пересекая ее диаметр АВ в точке F.

    Из С радиусом CF проводим дугу FG, пересекая ею данную окружность в точке G; CG(=CF) есть одна сторона искомой фигуры.

    Проводим тем же радиусом дугу mn из точки П как из центра, получаем еще одну вершину H искомой фигуры и т.д.

    Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой (фиг. 60, а).

    Подробнее: megapredmet.ru

    Если вы еще не сталкивались с такой геометрической задачкой, то стоит с ней познакомиться.

    Все ли стороны пятиугольника равны? У правильного пятиугольника все стороны и углы равны . В правильном пятиугольнике его внутренние углы равны 108 градусам, а внешние углы равны 72 градусам. Углы пятиугольника в сумме составляют 540 градусов. В неправильном пятиугольнике стороны и углы пятиугольника могут быть разных размеров.

    Как нарисовать вписанный пятиугольник?

    Какой формы многоугольник, вписанный в окружность?

    Многоугольник, вписанный в окружность, называется циклическим многоугольником , а окружность называется его описанной окружностью или описанной окружностью. Внутренний радиус или радиус заполнения данной внешней фигуры является радиусом вписанной окружности или сферы, если они существуют.

    Как найти периметр пятиугольника с радиусом?

    Его также называют радиусом описанной окружности. Периметр этого пятиугольника можно рассчитать, зная длину стороны, по формуле: Длина стороны = 2r × Sin(180/n) , где «r» — радиус, а «n» — количество сторон.

    Как найти периметр пятиугольника с помощью Apothem? Как только вы вычислили длину одной стороны, используя уравнение апофемы, вы можете найти периметр пятиугольника , умножив свой ответ на количество сторон в пятиугольнике . Уравнение, которое вы решили с помощью апофемы, дало вам значение одной из сторон. Умножьте ответ на 5.

    Как найти периметр и площадь пятиугольника?

    Использование формулы. Площадь правильного пятиугольника = pa/2 , где p = периметр и a = апофема. Если вы не знаете периметр, рассчитайте его по длине стороны: p = 5s, где s — длина стороны.

    Есть ли у пятиугольников прямые углы?

    Таким образом, пятиугольник имеет максимум три прямых угла , как показано на рисунке. Сумма углов = 720′. 5 прямых углов = 450′, получается 270′.

    Какие 5 углов у пятиугольника? Виды Пентагона

    Shape Sides Each Angle
    Quadrilateral 4 sides 90 degrees
    Pentagon 5 sides 108 degrees
    Hexagon 6 sides 120 градусов
    Семиугольник (или Септагон) 7 сторон 128,57 градусов

    Сколько сторон у пятиугольника? List of other polygons

    Polygon Number of Sides
    Pentagon 5
    Hexagon 6
    Heptagon 7
    Octagon 8

    Как нарисовать пятиугольник с равными сторонами?

    Как построить угол с помощью пятиугольника?

    Геометрические свойства пятиугольника | Calcresource

    СОДЕРЖАНИЕ

    -Определения

    -Свойства обычных пентагонов

    -Симметрия

    -Внутренний угол и центральный угол

    -Ограничение и инциденс

    -Переайтер

    -Bounding Boxle

    -HWARTIMER и PERIMETER 9000

    -Bounding Boxle

    -How нарисовать правильный пятиугольник

    — Примеры

    — Шпаргалка по правильному пятиугольнику

    — См. также

    Определения

    Пятиугольник — это многоугольник с пятью сторонами и пятью вершинами. Пятиугольник может быть выпуклым или вогнутым , как показано на следующем рисунке. В выпуклом состоянии пятиугольник (или любой замкнутый многоугольник в этом отношении) имеет все внутренние углы меньше 180°. Вогнутый многоугольник, напротив, имеет один или несколько внутренних углов больше 180°. Пятиугольник равен обычный , когда все его стороны и внутренние углы равны. Недостаточно иметь равные только стороны, потому что пятиугольник может быть вогнутым с равными сторонами. В этом случае пятиугольник называется равносторонним . На следующем рисунке показана классификация пятиугольников, а также представлены равносторонние вогнутые. Любой неправильный пятиугольник называется неправильным .

    Типы пятиугольников

    Сумма внутренних углов пятиугольника постоянна и равна 540°. Это верно как для правильных, так и для неправильных пятиугольников, выпуклых или вогнутых. Это легко доказать, разложив пятиугольник на отдельные непересекающиеся треугольники. Если мы попытаемся провести прямые линии между всеми вершинами, избегая любых пересечений, мы разделим пятиугольник на три отдельных треугольника. Есть много разных способов провести линии между вершинами, в результате чего получаются разные треугольники, однако их количество всегда равно трем. В одном треугольнике сумма внутренних углов равна 180°, следовательно, для 3-х треугольников, расположенных рядом, внутренние углы должны быть равны 3×180°=540°.

    Пятиугольник можно разделить на три треугольника

    Свойства правильных пятиугольников

    Симметрия

    Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии. Каждый из них проходит через вершину пятиугольника и середину противоположного ребра, как показано на следующем рисунке. Все оси симметрии пересекаются в одной точке — центре правильного пятиугольника. Фактически это его центр тяжести или центроид.

    Оси симметрии правильного пятиугольника
    Внутренний угол и центральный угол 9\circ

    Другими словами, \varphi и \theta дополняют друг друга.

    Внутренний и центральный угол правильного пятиугольника

    Правильный пятиугольник разделен на пять одинаковых равнобедренных треугольников, имеющих общую вершину — центр многоугольника.

    Окружность и вписанная окружность

    Можно нарисовать окружность, проходящую через все пять вершин правильного пятиугольника. Это так называемая описанная окружность или описанная окружность правильного пятиугольника (действительно, это общая характеристика всех правильных многоугольников). Центр этой окружности также является центром пятиугольника, где также пересекаются все оси симметрии. Радиус описанной окружности, R_c, обычно называют радиус окружности .

    Можно также нарисовать еще одну окружность, касающуюся по касательной всех пяти ребер правильного пятиугольника в средней точке (также общая характеристика всех правильных многоугольников). Это так называемая вписанная окружность или вписанная в окружность . Его центр совпадает с центром описанной окружности и касается всех пяти сторон правильного пятиугольника. Радиус вписанной окружности R_i обычно называют inradius .

    На следующем рисунке изображены как описанная окружность правильного пятиугольника, так и вписанная.

    Окружность и вписанная окружность правильного пятиугольника

    РЕКЛАМА

    Попробуем найти отношения между длиной стороны a правильного пятиугольника и его радиусом описанной окружности R_c и радиусом вписанной окружности R_i. Для этого рассмотрим треугольник со сторонами, равными радиусу описанной окружности, внутренний радиус и половину ребра пятиугольника, как показано на рисунке ниже. Это прямоугольный треугольник, так как по определению вписанная окружность касается всех сторон многоугольника.

    С помощью базовой тригонометрии находим:

    \begin{split} R_c & = \frac{a}{2 \sin{\frac{\theta}{2}}} \\ R_i & = \frac{a}{2 \tan{\frac{\ theta}{2}}} \\ R_i & = R_c \cos{\frac{\theta}{2}} \end{split}

    , где \theta — центральный угол, a — длина стороны. Оказывается, эти выражения справедливы для любого правильного многоугольника, а не только для пятиугольника. Мы можем получить конкретное выражение для правильного пятиугольника, установив θ = 72 °. Вот эти выражения:

    \begin{split} R_c & = \frac{a}{2 \sin{36^{\circ}}} \ приблизительно 0,851 a \\ R_i & = \frac{a}{2 \tan {36^{\circ}}} \приблизительно 0,688 a \\ \\ R_i & = R_c \cos{36^{\circ}} \приблизительно 0,809R_c \end{split}

    Площадь и периметр

    Чтобы найти площадь правильного пятиугольника, надо учесть, что его общая площадь разбита на пять одинаковых равнобедренных треугольников. Все. эти треугольники имеют одну сторону a и две стороны R_c, а их высота, отсчитанная от вершины, лежащей в центре пятиугольника, равна R_i (помните, что вписанная окружность касается всех сторон пятиугольника, касаясь их серединами). Тогда площадь каждого треугольника равна: \frac{1}{2}a R_i. Следовательно, общая площадь пяти треугольников находится: 92

    Периметр любого N-стороннего правильного многоугольника представляет собой просто сумму длин всех сторон: P = N a . Таким образом, для правильного пятиугольника:

    P = 5a

    Ограничивающий прямоугольник

    Ограничивающий прямоугольник плоской фигуры — это наименьший прямоугольник, полностью охватывающий фигуру. Для правильного пятиугольника ограничивающая рамка может быть нарисована интуитивно, как показано на следующем рисунке, но ее точные размеры требуют некоторых вычислений.

    Высота

    Высота h правильного пятиугольника — это расстояние от одной из его вершин до противоположного ребра. Он действительно перпендикулярен противоположному краю и проходит через центр пятиугольника. Хотя по определению расстояние от центра до вершины равно радиусу описанной окружности R_c пятиугольника, а расстояние от центра до края равно радиусу R_i. Поэтому получается следующее выражение: 9\ обр.

    Подставив значение \theta в последние выражения, получим следующие приближения:

    h\приблизительно 1,809 R_c

    h\приблизительно 2,236 R_i

    h\приблизительно 1,539 a

    Ширина w — это расстояние
    90 между двумя противоположными вершинами правильного пятиугольника (длина его диагонали). Чтобы найти это расстояние, мы будем использовать прямоугольный треугольник, выделенный пунктирной линией на рисунке выше. Гипотенуза треугольника на самом деле является длиной стороны пятиугольника, которая равна а. Кроме того, один из углов треугольника является дополнительным к соседнему внутреннему углу \varphi пятиугольника. Однако ранее объяснялось, что дополнение к \varphi действительно является центральным углом \theta. Следовательно, мы можем найти длину w_1 стороны треугольника: 9\circ получаем приближение последней формулы:

    w=1.618a

    Диагональ правильного пятиугольника связана золотой пропорцией с его стороной

    Как нарисовать правильный пятиугольник

    Можно нарисовать правильный пятиугольник учитывая длину стороны a, используя простые инструменты рисования. Выполните шаги, описанные ниже:

    1. Сначала нарисуйте линейный отрезок длиной a, равной желаемой длине стороны пятиугольника.
    2. Удлините линейный сегмент влево.
    3. Построить дугу окружности с центром на правом конце линейного сегмента и радиусом, равным длине сегмента.
    4. Повторите последний шаг, изменив центральную точку на левом конце линейного сегмента. Радиус тот же.
    5. Нарисуйте линию, перпендикулярную линейному отрезку a, проходящую через пересечение двух дуг. Он пересекает линейный отрезок в его середине.
    6. Также нарисуйте линию, перпендикулярную линейному сегменту, проходящую через левый конец линейного сегмента a. Отметьте точку пересечения дугой окружности (нарисованной на шаге 4)
    7. Начертите еще одну дугу окружности, поместив одну стрелку компаса в середину линейного отрезка а (найденного в шаге 5), а наконечник на пересечении, отмеченном в шаге 6. Вращайте компас, пока он не пересечет продолжение линейного сегмента, нарисованного на шаге 2. Отметьте и это новое пересечение.
    8. Нарисуйте еще одну дугу окружности, поместив одну стрелку компаса в правый конец линейного сегмента а, а наконечник на пересечении, отмеченном в шаге 7. Вращайте компас по часовой стрелке. Отметьте два пересечения, одно с дугой, нарисованной на шаге 4, а другое с линией, начерченной на шаге 5. Это две вершины пятиугольника.
    9. Поместив стрелку компаса на пересечение 2 и , а наконечник для рисования на пересечение 1 st (оба пересечения отмечены на последнем шаге), нарисуйте дугу окружности, пока она не пересечет дугу, нарисованную на шаге 3. Отметьте это новое пересечение, являющееся вершиной пятиугольника.
    10. Два конца линейного отрезка a, а также три пересечения, отмеченные на шагах 8 и 9, являются пятью вершинами правильного пятиугольника. Нарисуйте линейные сегменты между ними, чтобы построить окончательную форму.

    На следующем рисунке показана пошаговая процедура рисования.

    Рисование правильного пятиугольника по длине стороны a.

    Обратите внимание, что описанная процедура не является строго построением по «линейке и циркулю». В шагах 5 и 6 треугольник использовался для того, чтобы провести перпендикулярные линии из точек другой линии. Это было выбрано для простоты и для того, чтобы сократить количество необходимых шагов. Рисование перпендикулярной линии представляет собой простую геометрическую конструкцию с использованием только линейки и циркуля, и можно заменить использование треугольника в шагах 5 и 6, если требуется строгий геометрический рисунок с помощью «линейки и циркуля». 92

    Пример 2

    Каков диаметр самого большого правильного пятиугольника, который можно вписать внутрь:

    1. круг диаметром 25 дюймов
    2. квадрат со стороной 25 дюймов
    1.
    Фитинг a правильный пятиугольник в круге

    Самый большой правильный пятиугольник, который помещается в круг, должен касаться круга всеми своими вершинами. Другими словами, окружность должна быть описанной окружностью пятиугольника, и в результате ее радиус должен быть радиусом описанной окружности: 9\circ}{2}}=14,69»

    2. Соответствие правильного пятиугольника квадрату

    Высота h и ширина w правильного многоугольника аппроксимируются следующими выражениями:

    h\примерно 1,539 a

    w\приблизительно 1,618 a

    Из этих приближений видно, что ширина на самом деле является самым большим из двух измерений. Следовательно, самый большой правильный пятиугольник, чтобы поместиться внутри квадрата, должен быть ограничен только своей шириной. Другими словами, ширина пятиугольника должна быть равна стороне квадрата: 92

    См. также

    Видео-вопрос: Нахождение площади заштрихованной части между кругом и пятиугольником

    Стенограмма видео

    Найдите площадь заштрихованной области с точностью до десятых.

    В этом вопросе нам дана диаграмма, и нам нужно определить площадь области, которую мы только что заштриховали на этой диаграмме, и нам нужно дать ответ с точностью до десятых. Для этого начнем с нашей диаграммы. Мы видим, что у нас есть правильный пятиугольник, вписанный в окружность. Во-первых, мы знаем, что это правильный пятиугольник, потому что все его стороны одинаковы. И это гарантирует, что все его углы будут одинаковыми. Далее, если мы посмотрим на область заштрихованной области, мы увидим, что это область между нашим пятиугольником и нашим кругом. Другими словами, это площадь круга, а затем мы удаляем площадь этого пятиугольника. Таким образом, заштрихованная область будет площадью нашего круга за вычетом площади нашего пятиугольника.

    Итак, чтобы найти заштрихованную область, нам нужно найти две вещи. Нам нужно найти площадь круга и нам нужно найти площадь нашего правильного пятиугольника. Начнем с нахождения площади нашего круга. Напомним, что площадь круга радиуса 𝑟 будет равна 𝜋𝑟 в квадрате. И на самом деле нам дан радиус нашей окружности на диаграмме. Радиус нашей окружности равен 49,5. Следовательно, мы можем напрямую найти площадь нашего круга. Его площадь будет 𝜋 умножить на 49,5 в квадрате. И если мы оценим это, мы получим 2450,25, умноженное на 𝜋, и мы могли бы назвать это квадратными единицами. Однако, поскольку это не является технически необходимым, мы опустим это для места, но об этом стоит помнить.

    Теперь нам нужно найти площадь нашего пятиугольника, и сделать это можно несколькими способами. Одним из способов будет использование нашей формулы для нахождения площади любого правильного многоугольника. Мы помним, что площадь любого правильного 𝑛-стороннего многоугольника с длиной стороны 𝑥 равна 𝑛, умноженному на 𝑥 в квадрате над четырьмя, умноженному на 180 градусов по 𝑛 градусам. Используя эту формулу, мы можем вычислить площадь любого правильного 𝑛-стороннего многоугольника, найдя количество сторон нашего многоугольника и длину одной из его сторон. Мы можем видеть на нашей диаграмме, что наш многоугольник имеет пять сторон; это пятиугольник. Таким образом, наше значение 𝑛 будет равно пяти. Однако нам не сообщают длины сторон нашего пятиугольника, поэтому нам нужно их узнать.

    Есть несколько способов сделать это. Одним из способов будет добавление следующего радиуса к нашему кругу. Поскольку это радиус окружности, мы знаем, что эта длина будет равна 49,5, и нет необходимости делать это, чтобы ответить на наш вопрос. Тем не менее, это поможет нам увидеть, что происходит. Мы можем сделать это для остальных вершин нашего правильного пятиугольника. Теперь у нас есть пять треугольников, и все эти треугольники имеют одинаковую длину. Это пять равных треугольников.

    Причина, по которой мы это указываем, заключается в том, что мы хотим знать длину одной из сторон нашего пятиугольника. Прямо сейчас мы показали, что он находится в треугольнике, и мы знаем две длины нашего треугольника. Однако, чтобы найти значение 𝑥, нам также нужно знать один из углов в этом треугольнике. И то, что мы только что показали, находится в центре нашего круга, у нас есть пять равных углов, которые в сумме дают 360 градусов. Таким образом, каждый из этих углов равен 360, разделенному на пять градусов, и мы можем вычислить это. Он равен 72 градусам.

    Итак, теперь у нас есть треугольник, две стороны которого и один угол известны, и нам нужно найти длину другой стороны. И одним из способов найти это будет использование закона косинусов. Мы помним, что закон косинусов говорит нам, что если у нас есть треугольник с длинами сторон в нижнем регистре 𝑎, в нижнем регистре 𝑏 и в нижнем регистре 𝑐, а угол, противоположный стороне в нижнем регистре 𝑎, задается прописной 𝐴, то мы знаем, что следующее должно быть верно. Строчная 𝑎 в квадрате равна строчной 𝑏 в квадрате плюс строчная 𝑐 в квадрате минус удвоенная строчная 𝑏 умноженная на строчную 𝑐, умноженная на косинус заглавной 𝐴. Поскольку мы знаем угол, противоположный длине нашей стороны 𝑥, мы можем использовать это, чтобы найти выражение для 𝑥. Получаем, что 𝑥 в квадрате будет равно 490,5 в квадрате плюс 49,5 в квадрате минус два, умноженное на 49,5, умноженное на 49,5, умноженное на косинус 72 градусов.

    Затем мы можем вычислить выражение в правой части этого уравнения. Помните, что наш калькулятор должен быть установлен в режим градусов. Получаем, что 𝑥 в квадрате будет равно 3386,162, и это расширение продолжается. Тогда мы можем найти значение 𝑥, взяв квадратный корень из обеих сторон. Помните, что наше значение 𝑥 — это длина, поэтому оно должно быть положительным. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем 𝑥 равно 58,19.0, и это расширение продолжается.

    Здесь стоит отметить, что поскольку 𝑥 представляет собой длину, мы могли бы назвать это единицей длины. Однако отвечать на этот вопрос не обязательно. Хотя есть еще одна вещь, на которую стоит обратить внимание. На данный момент может возникнуть соблазн округлить наше значение 𝑥. Однако нам пока не следует этого делать. Мы всегда должны округлять наш ответ прямо в самом конце вопроса. В противном случае мы можем получить неверный ответ. Так что, вероятно, было бы очень полезно добавить точное значение 𝑥 в память нашего калькулятора.

    Теперь, когда мы знаем как значение 𝑛, так и значение 𝑥, мы можем подставить их в нашу формулу площади нашего пятиугольника. Подставив эти значения, мы получим площадь нашего пятиугольника, равную пяти, умноженным на 58,190, и это продолжается в квадрате на все четыре, умноженные на 180, деленное на пять градусов. И мы можем упростить это выражение. Во-первых, 180, деленное на пять, равно 36. Далее, напомним, умножение на котангенс угла равносильно делению на тангенс этого угла. Таким образом, мы можем вместо этого разделить на тангенс 36 градусов, что даст нам следующее выражение для площади нашего правильного пятиугольника. И если мы посчитаем это выражение, то получим 5825,815 и это продолжение квадратных единиц. И еще раз, важно не округлять здесь, потому что нам нужно округлить наше значение в конце. Так что, возможно, стоит поместить это в память нашего калькулятора.

    Теперь, когда мы нашли площадь нашего круга и площадь нашего пятиугольника, мы можем найти площадь заштрихованной области. Площадь заштрихованной области равна площади круга минус площадь нашего пятиугольника. Мы рассчитали это; это равно 2450,25𝜋 минус 5825,815, и так продолжается. И если мы посчитаем это, мы получим 1871,871, и это продолжает квадратные единицы. Но помните, вопрос требует, чтобы мы давали ответ с точностью до десятых. Поэтому нам нужно посмотреть на наш второй десятичный знак, чтобы определить, нужно ли округлять вверх или вниз. Мы видим, что второй десятичный знак в этом расширении равен семи, и это больше или равно пяти. Итак, это говорит нам о том, что нам нужно округлить, что дает нам 1871,9.квадратных единиц, что является нашим окончательным ответом.

    Таким образом, используя нашу формулу вычисления площади круга, нашу формулу вычисления площади многоугольника и закон косинусов, мы смогли найти площадь заштрихованной области, данной нам в вопросе ближайшая десятая. Мы получили, что это 1871,9 квадратных единиц.

    Вписанные и описанные круги и многоугольники на GMAT

    Автор Mike MᶜGarry, , 20 августа 2012 г. , ОБНОВЛЕНО 15 января 2020 г., GMAT Geometry

    Вписанный и описанный

    Еще один сложный тип геометрической диаграммы включает многоугольники «внутри» кругов или круги «внутри» многоугольников. Когда многоугольник находится «внутри» круга, каждая вершина должна лежать на круге:

    На этой диаграмме неправильный пятиугольник ABCDE — это , вписанный в окружность , а окружность — это , описанная вокруг пятиугольника. Мы также можем сказать: окружность описывает пятиугольник. Слово «вписанный» описывает внутреннюю форму, а слово «описанный» описывает внешнюю форму. Вот еще одна диаграмма с многоугольником снаружи.

     

    Заметьте теперь, что каждая сторона этого неправильного пятиугольника касается окружности. Теперь пятиугольник описан вокруг окружности , а окружность вписана в пятиугольник . В обоих случаях внешняя форма описывает, а внутренняя — вписанную.

     

    Треугольники

    Как это часто бывает при обсуждении многоугольников, треугольники являются особым случаем при обсуждении вписанных и описанных. Каждый возможный треугольник можно вписать в одну окружность и описать другую окружность . Эта «универсальная двойственность» не верна ни для каких других многоугольников более высокого порядка — она верна только для треугольников. Вот небольшая галерея треугольников, каждый из которых вписан в один круг и описывает другой круг.

    Обратите внимание, что когда один угол особенно тупой, близкий к 180°, разница в размерах между описанной и вписанной окружностями становится довольно большой. Обратите также внимание: в случае прямоугольного треугольника, на втором изображении, гипотенуза треугольника является диаметром описанной окружности. Мы вернемся к этому моменту.

    Четырехугольники

    Многие четырехугольники нельзя ни вписать в окружность, ни описать в окружности: то есть нельзя построить окружность, проходящую через все четыре вершины, а также невозможно построить окружность, к которой примыкают все четыре стороны. касательная.

    Некоторые четырехугольники, например продолговатый прямоугольник, можно вписать в окружность, но нельзя описать окружность. Другие четырехугольники, как и наклонный ромб, описывают окружность, но не могут быть вписаны в окружность.

    Несколько элитных четырехугольников могут как описывать одну окружность, так и вписываться в другую окружность. Конечно, квадрат (внизу слева), самый элитный из всех четырехугольников, обладает этим свойством. Другой пример — «правильный воздушный змей» (внизу справа), воздушный змей с парой противоположных прямых углов:

    Хотя это «двойное членство» верно для всех треугольников, оно ограничено некоторыми особыми случаями четырехугольников.

     

    Высшие полигоны

    То, что верно для четырехугольников, верно и для всех многоугольников более высокого порядка.

    а. Большинство, подавляющее большинство не может ни описать круг, ни быть вписанным в него.

    б. Некоторые можно вписать в круг, но нельзя описать круг.

    в. Некоторые могут описать круг, но не могут быть вписаны в круг.

    д. Немногие элиты могут как описывать круг, так и быть вписанными в него.

    Эта последняя категория, элитные участники, всегда включает в себя правильный многоугольник. Подобно тому, как все треугольники имеют эту «двойную принадлежность», так и все правильные многоугольники. Вот галерея правильных многоугольников с вписанной окружностью и описанной окружностью.

    Очевидно, что по мере увеличения числа сторон размеры двух кругов становятся все ближе и ближе.

    Вопросы

    GMAT о вписанных и описанных многоугольниках встречаются редко и могут проверить как ваше понимание терминологии, так и ваши навыки визуализации, описывая геометрическую ситуацию (например, «прямоугольник JKLM вписан в круг») и , а не , давая вам диаграмму. .

     

    Частный случай: треугольник, вписанный в полуокружность

    Это особый случай, который любят GMAT. Он появляется в OG13 (DS #118) и может легко появиться где-нибудь в разделе Quant вашего настоящего GMAT.

    Если все, что вы знаете, это то, что KL — это диаметр окружности, этого достаточно, чтобы установить, что ∠J = 90° и что треугольник JKL — прямоугольный с KL в качестве гипотенузы. С другой стороны, если все, что вы знаете, это то, что треугольник JKL — прямоугольный с гипотенузой KL, этого достаточно, чтобы установить, что дуга KJL — полуокружность, а KL — диаметр. Это мощный набор идей, потому что выводы работают в обоих направлениях и потому что он неразрывно связывает две, казалось бы, несопоставимые идеи.

     

    Кстати, этот пост является четвертым в серии из пяти статей. Вот и вся серия.

    1) Знакомство с кругами на GMAT

    2) Геометрия GMAT: окружности и углы

    3) Круговые и линейные диаграммы на GMAT

    4) Вписанные и описанные окружности и многоугольники на GMAT

    5) Разделение кругов GMAT на части: длины дуг, секторы и число Пи

     

    Практический вопрос

    1) На схеме выше S — центр круга. Если QS = 5 и QR = 6, что такое PQ?

    А. 7

    Б. 8

    С. 9

    Д. 10

    Э. 11

     

    Объяснение практического вопроса

    1) Во-первых, QS — это радиус, поэтому, если QS = 5, это означает, что PS = SR = 5, а диаметр PR = 10. Кроме того, поскольку PR — это диаметр, это означает, что треугольник PQR — прямоугольный, ∠PQR = 90°. Мы знаем две стороны этого прямоугольного треугольника: QR = 6 и PR = 10, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти третью сторону.

    92 = 100 – 36 = 64

    PQ = квадрат {64} = 8

    Ответ = Б

     

    Автор

    ← Предыдущий

    Следующий →

    Инженерная графика

    Показаны сообщения от января 2018 г.

    Показать все

    Орфографическая проекция — шаги и рекомендации

    Рассмотрим простой объект, как показано на рисунке ниже. Нарисуем его орфографические виды Нарисуйте тонкую опорную линию x-y. Сохраняя расстояние примерно 20 мм над базовой линией, нарисуйте вид спереди, как показано ниже. После завершения вида спереди нарисуйте линии проекции, перпендикулярные базовой линии x-y, из всех углов и краев вида спереди. Завершите вид сверху, сохраняя расстояние примерно 20 мм ниже x-y. После завершения вида сверху нарисуйте вертикальную опорную линию x 1 -y 1 , сохраняя расстояние примерно 20 мм слева или справа от вида спереди в зависимости от того, какой вид сбоку (левый или правый) должен быть нарисован. Нарисуйте горизонтальные линии проекции от вида спереди. Прожекторы на виде сверху могут быть нарисованы любым способом, показанным на рисунке ниже. Видимые контуры нарисованы жирными. Линии проекции нарисованы тонкими. Скрытые края нарисованы пунктирной линией.

    Орфографические проекции

    Начертить вид спереди с направления x, вид сверху и вид слева Решение  

    Вписать правильный восьмиугольник в круг

    Нарисуйте правильный восьмиугольник, вписанный в окружность диаметром 70 мм. Правильный восьмиугольник, вписанный в окружность Нарисуйте окружность диаметром 70 мм. Начертите четыре линии диаметра (AB, CD, EF и GH), образующие между собой угол 45°. Соедините последовательные концы линии прямыми линиями, чтобы получить полный пятиугольник.

    Вписать семиугольник в круг

    Вписать правильный семиугольник в окружность диаметром 60 мм. Семиугольник вписать в окружность Нарисовать окружность диаметром 60 мм. Проведите линию диаметра АВ. Взяв центр A и радиус AO, нарисуйте дугу EF. Проведите прямую EF, пересекающую линию AB в точке G. Длина GE или GF представляет собой длину сторон пятиугольника. Поэтому, приняв на компасе расстояние, равное EG, сделайте на окружности семь равных делений 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Соедините все деления прямыми линиями и получите семиугольник.

    Шестиугольник, вписанный в круг

    Впишите шестиугольник в окружность диаметром 60 мм. Нарисуйте круг диаметром 60 мм. С таким же радиусом и начиная с точки А в любом месте круга отложите шесть делений на круге. Соедините точки разделения в правильной последовательности и завершите шестиугольник.

    Пентагон, вписанный в круг

    Впишите пятиугольник в окружность диаметром 70 мм. Нарисуйте круг диаметром 70 мм. Начертите линии диаметра PQ и RS, взаимно перпендикулярные друг другу. Найдите середину T линии PO. Взяв радиус TS и центр T, нарисуйте дугу, пересекающую линию PQ в точке U. Взяв центр S и радиус SU, нарисуйте дугу, пересекающую окружность в точках C и E. Найдите точку D, пересекающуюся с S. Найдите точки A и B, взяв центры E и C и радиус CD соответственно. Соедините точки A, B, C, D, E и A, чтобы завершить пятиугольник.

    Квадрат, вписанный в круг

    Нарисуйте круг диаметром 60 мм и впишите в него окружность. Пусть квадрат ABCD. Нарисуйте круг диаметром 60 мм. Проведите две диагонали AC и BD, взаимно перпендикулярные друг другу. Соедините точки A, B, C, D и A прямыми линиями, чтобы завершить квадрат ABCD.

    Строительство площади

    Построить квадрат со стороной 30 мм по общему методу. Квадрат по общему методу   Нарисуйте линию AB длиной 30 мм. Из точки В проведите линию ВМ, перпендикулярную АВ. Нарисуйте линию, соединяющую A с M. С центром B и радиусом AB нарисуйте дугу AM. Проведите серединный перпендикуляр к AB. Он пересекает прямую AM в точке O и дугу AM в точке Q. Точка P является серединой OQ. В окружность, нарисованную с центром О и радиусом ОА, вписан квадрат АБМН. .

    Рисование многоугольника методом дуги

    1. Постройте правильный пятиугольник со стороной 30 мм дуговым методом   Этапы Нарисуйте линию AB длиной 30 мм. С центром A и радиусом AB начертите полукруг BM. Делителем разделите полукруг на пять равных частей (столько же, сколько сторон). Пронумеруйте точки деления 1, 2, 3, 4 и B. Нарисуйте линию, соединяющую точки A и 2. Нарисуйте и продолжите линии, соединяющие точки A и 4, а также точки A и 3. С центром B и радиусом AB нарисуйте дугу, пересекающую линию A4 в точке C. Нарисуйте линию, соединяющую точки B и C. С центром C и радиусом AB нарисуйте дугу, пересекающую линию A3 в точке D. Нарисуйте линию, соединяющую точки C и D. Соедините точки D и 2. Дайте назовите E до точки 2. Таким образом, завершите пятиугольник ABCDE. 2. Построить дуговым методом правильный шестиугольник со стороной 25 мм. Начертить линию АВ длиной 25 мм. С центром A и радиусом AB начертите полукруг BM. Делителем разделите полукруг на шесть равных частей (столько же, сколько сторон). Количество точек деления

    Нарисуйте многоугольник методом вписанной окружности

    Постройте правильный пятиугольник со стороной 30 мм методом вписанной окружности. Проведите линию АВ длиной 30 мм. С центром A и радиусом AB начертите полукруг BM. Делителем разделите полукруг на пять равных частей (столько же, сколько сторон). Пронумеруйте деления цифрами 1, 2, 3, 4 и 5, начиная с M. Проведите линию, соединяющую точки A и 2. Проведите биссектрисы прямых A2 и AB, пересекающиеся в точке O. С центром O и радиусом OA начертите круг. Вырежьте окружность радиусом AB, начиная с точки B, в точках C, D и E. Начертите линии BC, CD и DE. Таким образом, завершая требуемый пятиугольник.

    Делим угол пополам

      Используя O в качестве центра и любого радиуса, нарисуйте дугу, пересекающую линии OA и OB в точках C и D соответственно. С центрами C и D и любым удобным радиусом нарисуйте две дуги, пересекающиеся в точке E. Соедините O и E прямой линией. Прямая OE делит пополам угол AOB.

    Разделите прямую на любое количество равных частей

    Разделите линию АВ длиной 110 мм на 7 равных частей. Шаги Нарисуйте линию АВ длиной 110 мм. Начертите линию AC любой длины, наклоненную под некоторым удобным острым углом к ​​линии AB. Разделите с помощью делителя прямую АС на 7 равных частей (1’, 2’, ….7’) любой размерности. Соедините точки С и В прямой линией. Проведите линии от делений 6’, 5’, 4’…. .1’ параллельно линии CB или 7-7’, пересекая AB в точках 6, 5, 4, …..1. Точки 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 указывают на равные деления.

    Пентагон | Вики по математике | Fandom

    Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив ссылки на надежные источники. Неисходный материал может быть оспорен и удален.
    Правильный пятиугольник

    Правильный пятиугольник, {5}
    Ребра и вершины 5
    Символ Шлефли {5}
    Диаграмма Коксетера–Дынкина
    Группа симметрии Двугранный (D 5 )
    Площадь
    (с = длина края)

    Внутренний угол
    (градусы)
    108°

    Два других использования

    В геометрии пятиугольник — это любой пятиугольник с пятью сторонами. Пятиугольник может быть простым или самопересекающимся. Внутренние углы в простом пятиугольнике равны .

    Содержимое

    • 1 Правильные пятиугольники
      • 1.1 Строительство
    • 2 графика
    • 3 Пентагона в природе
      • 3.1 Растения
      • 3.2 Животные
    • 4 См. также
    • 5 Внешние ссылки

    Правильные пятиугольники

    Термин пятиугольник обычно используется для обозначения правильного выпуклого пятиугольника , у которого все стороны равны и все внутренние углы равны (до 108°). Его символ Шлефли {5}. Аккорды этого пятиугольника находятся в золотом отношении к его сторонам.

    Площадь правильного выпуклого пятиугольника с длиной стороны равна

    Пентаграмма или пятиугольник представляет собой правильный звездный пятиугольник . Его символ Шлефли равен {5/2}. Его стороны образуют диагонали правильного выпуклого пятиугольника — в таком расположении стороны двух пятиугольников находятся в золотом сечении.

    Когда правильный пятиугольник вписан в окружность с радиусом , длина его ребра определяется выражением

    Построение

    Правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, либо вписав один в заданный круг, либо построив его на заданном ребре. Этот процесс был описан Евклидом в его « элементах » около 300 г. до н.э.

    Один из способов построения правильного пятиугольника в данной окружности заключается в следующем:

    Построение правильного пятиугольника

    Альтернативный метод:

    Построение пятиугольника

    1. Нарисуйте круг, в который впишите пятиугольник и отметьте центральную точку. (Это зеленый кружок на диаграмме справа).
    2. Выберите точку на окружности, которая будет одной из вершин пятиугольника. Проведите линию через и .
    3. Построить прямую, перпендикулярную прямой, проходящей через . Отметьте его пересечение с одной стороной круга точкой.
    4. Построить точку как середину .
    5. Нарисуйте окружность с центром в точке . Отметьте его пересечение с линией (внутри исходного круга) как точку.
    6. Нарисуйте окружность с центром в точке . Отметьте его пересечения с исходным (зеленым) кругом точками и .
    7. Нарисуйте окружность с центром в точке . Отметьте его другое пересечение с исходным кругом как точку.
    8. Нарисуйте окружность с центром в точке . Отметьте его другое пересечение с исходным кругом как точку.
    9. Постройте правильный пятиугольник.

    После формирования правильного выпуклого пятиугольника, если соединить несмежные углы (проведя диагонали пятиугольника), получится пятиугольник с меньшим правильным пятиугольником в центре. Или, если вы расширите стороны до тех пор, пока не сойдутся несмежные, вы получите большую пентаграмму.

    Простой метод создания правильного пятиугольника из полоски бумаги заключается в том, чтобы завязать узел на полоске и аккуратно сгладить узел, потянув за концы полоски. Загнув один из концов обратно над пятиугольником, вы увидите пентаграмму при подсветке.

    Графики

    Полный граф часто рисуется как правильный пятиугольник со всеми 10 соединенными ребрами. Этот граф также представляет собой орфографическую проекцию 5 вершин и 10 ребер 5-ячейки. Выпрямленная 5-ячейка с вершинами на средних ребрах 5-ячейки проецируется внутрь пятиугольника.


    5-элементный (4D)

    Ректифицированный 5-элементный (4D)

    Пятиугольники в природе

    Растения

    Пятиугольный разрез бамии.

    Ипомея, как и многие другие цветы, имеет пятиугольную форму.

    Гинецей яблока содержит пять плодолистиков, расположенных в виде пятиконечной звезды.

    Звездчатка — еще один плод с пятикратной симметрией.

    Животные

    Морская звезда. Многие иглокожие имеют пятикратную радиальную симметрию.

    Иллюстрация хрупких звезд, а также иглокожих пятиугольной формы.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.