Как узнать градус угла без транспортира — MOREREMONTA
1. Для того, чтобы узнать угол между двумя стенами делаем отметки на стенах на одинаковом расстоянии от угла (например 50 или 100 см от угла, чем больше, тем точнее). Обозначим это расстояние ‘a’. Дальше.
2. Дальше меряем расстояние между отметками (т.е диагональ угла) — обозначим ‘С’.
3. Потом расчёты —
Осталось рассчитать, сколько градусов в вашем угле по формуле: cos(γ) = (a 2 + a 2 – c 2 ) / (2 • a • a)
Получив cos(γ) угла, далее через функцию arccos узнаём сколько это будет в градусах: arccos (cos(γ)) = угол.
Т.е. по примеру это: (50 2 + 50 2 – 71,5 2 ) / (2 • 50 • 50) = -0,02245 отсюда arccos (-0,02245)= 91.28 градусов.
Здесь можно посчитать сразу!
Наш калькулятор:
Доступ к калькулятору платный!
На неделю — 37 р!
Что нужно сделать?
1. Зарегистрироваться — здесь!
2. Войти — здесь!
3. Пополнить счёт, кликнув по картинке (виза, master card, мобильные операторы) —
При отделочных работах и строительстве бывает нужна четкая геометрия: перпендикулярные стены и иные конструкции, требующие прямого угла в 90 градусов. Обыкновенный угольник не может позволить проверить или разметить углы со сторонами в несколько метров. Описываемый же метод превосходно подходит для разметки или проверки любых углов — длинна сторон не ограничена. Основной инструмент для измерений — рулетка.
Мы будем рассматривать точную разметку прямого угла, а также метод проверки уже размеченных углов на стенах и других объектах.
Теорема Пифагора
Теорема основана на утверждении, что у прямоугольного треугольника сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. В виде формулы записывается это так:
Стороны a и b — катеты, между которыми угол равен ровно 90 градусов. Следовательно, сторона c — гипотенуза. Подставляя в эту формулу две известные величины, мы можем вычислить третью, неизвестную. А следовательно можем размечать прямые углы, а также проверять их.
Теорема Пифагора известна еще под названием «египетский треугольник». Это треугольник со сторонами 3, 4 и 5, причем совершенно не важно, в каких единицах длинны. Между сторонами 3 и 4 — ровно девяносто градусов. Проверим данное утверждение вышеприведенной формулой: a²+b²=c² = (3×3)+(4×4) = 9+16 = (5×5) = 25 — все сходится!
А теперь применим теорему на практике.
Проверка прямого угла
Начнем с самого простого — проверки прямого угла с помощью теоремы Пифагора. Самым частым примером в отделке и строительстве является проверка перпендикулярности стен. Перпендикулярные стены — это стены, расположенные друг к другу под прямым углом 90°.
Итак, берем любой проверяемый внутренний угол. На стенах (на одной высоте) или на полу отмечаем на обоих стенах отрезки произвольных длин. Длинна этих отрезков произвольная, по возможности нужно отмечать как можно больше, но чтобы между отметками на стенах удобно было мерить диагональ. Например, мы отметили 2,5 метра (или 250 см.) на одной стене и 3 метра (или 300 см.) на другой. Теперь длину отрезка каждой стены возводим в квадрат (умножаем саму на себя) и получившиеся произведения складываем. Выглядит это так: (2,5×2,5)+(3×3)=15,25 — это диагональ в квадрате. Теперь нужно извлечь из этого числа квадратный корень √15,25≈3,90 — 3,9 метра должна составлять диагональ между нашими отметками. Если измерение рулеткой показывает другую длину диагонали — проверяемый угол развернут и имеет отклонение от 90°.
Калькулятор расчета диагонали прямого угла
Извлечение квадратного корня никогда меня не привлекало — простому человеку не обойтись без калькулятора, к тому же, не на всех мобильных устройствах калькуляторы умеют извлекать его. Поэтому можно пользоваться упрощенным методом. Нужно лишь запомнить: у прямого угла со сторонами ровно 100 сантиметров, диагональ равна 141,4 см. Таким образом, у прямого угла со сторонами 2 м. — диагональ равна 282,8 см. То есть на каждый метр плоскости приходится 141,4 см. У этого метода один недостаток: от измеряемого угла нужно откладывать одинаковые расстояния на обеих стенах и отрезки эти должны быть кратны метру. Не буду утверждать, но по моей скромной практике — это гораздо удобнее. Хотя не стоит забывать о первоначальном способе совсем — в некоторых случаях он очень актуален.
Сразу же возникает вопрос: какое отклонение от вычисленной длинны диагонали считать нормой (погрешностью), а какое нет? Если проверяемый угол с отмеченными сторонами по 1 м. будет 89°, то диагональ уменьшится до 140 см. Из понимания этой зависимости можно сделать объективный вывод, что погрешность диагонали 141,4 см. в несколько миллиметров не даст отклонения в один целый градус.
Как проверить внешний угол? Проверка внешнего угла по сути не отличается, нужно лишь продлить линии каждой стены на полу (или земле, при помощи шнура) и получившийся внутренний угол измерить обычным способом.
Как разметить прямой угол рулеткой
Разметка может основываться как на общей теореме Пифагора, так и на принципе «египетского треугольника». Однако это только в теории линии просто чертятся на бумаге, «ловить» же все выбранные размеры растянутыми шнурами или линиями на полу — задача посложнее.
Поэтому я предлагаю упрощенный способ, основанный на диагонали 141,4 см. у треугольника со сторонами 100 см. Вся последовательность разметки изображена на картинках ниже. Важно не забывать: диагональ 141,4 см. нужно умножать на количество метров в отрезке А-Б. Отрезки А-Б и А-В должны быть равны и соответствовать целому числу в метрах. Картинки увеличиваются по клику!
Как разметить острый угол
Гораздо реже возникает надобность в создании острых углов, в частности 45°. Для формирования подобных фигур формулы более сложные, однако это не самое проблематичное. Гораздо сложнее свести все линии, начерченные или натянутые шнурами — дело это непростое. Поэтому я предлагаю использовать упрощенный метод. Сначала размечается прямой угол 90°, а затем диагональ 141,4 делится на нужное количество равных частей. Например, чтобы получить 45°, диагональ нужно поделить пополам и от точки А провести линию через место деления. Таким образом мы получим два угла по 45 градусов. Если поделить диагональ на 3 части, то получится три угла по 30 градусов. Думаю алгоритм вам понятен.
Собственно я рассказал все, что мог рассказать, надеюсь все изложил понятным языком и у вас больше не возникнет вопросов как размечать и проверять прямые углы. Стоит добавить, что уметь делать это должен любой отделочник или строитель, ведь полагаться на строительный угольник небольшого размера — непрофессионально.
Измерить угол – значит найти его величину. Величина угла показывает, сколько раз угол, выбранный за единицу измерения, укладывается в данном углу.
Обычно за единицу измерения углов принимают градус. Градус – это угол, равный части развёрнутого угла. Для обозначения градусов в тексте, используется знак °, который ставится в правом верхнем углу числа, показывающего количество градусов (например, 60°).
Измерение углов транспортиром
Для измерения углов используют специальный прибор – транспортир:
У транспортира две шкалы – внутренняя и внешняя. Начало отсчёта у внутренней и у внешней шкал располагается с разных сторон. Чтобы получить правильный результат измерения, отсчёт градусов должен начинаться с правильной стороны.
Измерение углов производится следующим образом: транспортир накладывают на угол так, чтобы вершина угла совпала с центром транспортира, а одна из сторон угла прошла через нулевое деление на шкале. Тогда другая сторона угла укажет величину угла в градусах:
Говорят: угол BOC равен 60 градусов, угол MON равен 120 градусов и пишут: ∠BOC = 60°, ∠MON = 120°.
Для более точного измерения углов используют доли градуса: минуты и секунды. Минута – это угол, равный части градуса. Секунда – это угол, равный части минуты. Минуты обозначают знаком ‘, a секунды – знаком ». Знак минут и секунд ставится в правом верхнем углу числа. Например, если угол имеет величину 50 градусов 34 минуты и 19 секунд, то пишут:
Свойства измерения углов
Если луч делит данный угол на две части (на два угла), то величина данного угла равна сумме величин двух полученных углов.
Рассмотрим угол AOB:
Луч OD делит его на два угла: ∠AOD и ∠DOB. Таким образом, ∠AOB = ∠AOD + ∠DOB.
Развёрнутый угол равен 180°.
Любой угол имеет определённую величину, большую нуля.
Урок 27. углы. измерение углов — Математика — 5 класс
Математика
5 класс
Урок № 27
Углы. Измерение углов
Перечень рассматриваемых вопросов:
— понятие «угол», «величина угла»;
— виды углов;
— построение углов;
— измерение величины угла.
Тезаурус
Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки, которая называется вершиной угла.
Градус – единица измерения углов, составляющая часть развёрнутого угла.
Градусная мера угла – число, которое показывает, сколько единиц измерения (градусов) содержится между сторонами этого угла.
Обязательная литература
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
Дополнительная литература
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия», – сказал в своё время французский архитектор Ле Корбюзье, и трудно с ним не согласиться. Геометрические фигуры постоянно встречаются в творениях природы и человека.
Сегодня мы рассмотрим ещё одну геометрическую фигуру – угол, разберём его виды и опишем процесс построения и измерения углов.
Для начала определим, что называют углом.
Углом называют геометрическую фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки.
Построим угол. Для этого отметим на плоскости точку О и проведём два луча – ОК и ОМ. Получим геометрическую фигуру, образованную точкой О и двумя лучами, исходящими из этой точки. Такую геометрическую фигуру и называют углом.
Лучи ОК и ОМ называют сторонами угла, точку О – общее начало этих лучей – называют вершиной угла.
Обозначается угол чаще всего тремя буквами. Например, ∠КОМ или ∠МОК. В середине пишется буква, которой обозначена вершина угла. Также угол можно обозначать и одной буквой, поставленной у вершины угла. Например, ∠О.
Начертим два луча, исходящих из точки О и принадлежащих одной прямой.
Лучи ОС и OК вместе с точкой О дополняют друг друга до прямой – это дополнительные лучи. Угол называют развёрнутым, если его стороны являются дополнительными лучами.
Угол СОК – развёрнутый.
Построим развёрнутый угол АОВ и полуокружность с центром в точке О. Полуокружность разделим на 180 равных частей. Если построим углы с вершиной в точке О, стороны которых проходят через точки деления полуокружности, то таких углов будет 180. Один такой угол будет составлять часть развёрнутого угла.
рисунок
Меру угла, составляющего часть развёрнутого угла, принимают за единицу измерения углов и называют градусом. Обозначают: 1º.
Градусной мерой угла называют число, которое показывает, сколько единиц измерения (градусов) содержится между сторонами этого угла.
Например, градусная мера угла КOВ равна 25 градусам, так как в нём единица измерения градус содержится двадцать пять раз. Записывают: ∠КОВ = 25º.
рисунок
Стоит отметить, что для более точного измерения угла используют доли градуса:
– минуты, которые обозначают одной чёрточкой сверху над цифрой справа,
– секунды, которые обозначаются двумя чёрточками над цифрой справа.
В одном градусе содержится 60 минут, а в одной минуте – 60 секунд.
Например, если угол А равен 10 градусам 5 минутам, записывают: ∠А = 10º5′.
Градусная мера развёрнутого угла равна 180º.
Для измерения углов в градусах пользуются прибором, который называется транспортиром. На транспортире имеется шкала – полуокружность, разделённая на 180 равных частей. На линейке транспортира чёрточкой отмечен центр полуокружности транспортира.
Чтобы найти градусную меру угла, например, угла АВС, нужно совместить центр транспортира с вершиной угла, в данном случае точкой В; расположить линейку транспортира так, чтобы одна из сторон угла прошла через начало отсчёта шкалы транспортира – ноль градусов(в данном случае сторона АВ), и найти на шкале транспортира деление, через которое проходит другая сторона угла – в данном случае сторона ВС.
Это деление шкалы покажет градусную меру угла. В нашем случае – это 120º.
Транспортир применяется также для построения угла, мера которого известна. Построим, например, угол KNM, равный 60º. Для этого:
— проведём луч NM;
— совместим центр транспортира с точкой N;
— расположим линейку транспортира так, чтобы луч NM прошёл через начало отсчёта шкалы транспортира;
— найдём на шкале транспортира деление, соответствующее шестидесяти градусам, и отметим напротив него точку К;
— проведём луч NK. Мы построили угол KNM, равный 60º.
Ответить на вопрос, равны ли углы, и, если не равны, то какой из них больше или меньше, можно, сравнивая их градусные меры. Углы с равными градусными мерами равны. Из двух углов больше тот, который имеет большую градусную меру; а меньше тот, который имеет меньшую градусную меру.
Углы можно сравнить также наложением. Если при этом они совпадают, то равны.
Помимо развёрнутого, углы можно разделить на следующие виды: прямой, острый и тупой.
Угол называют прямым, если его градусная мера равна 90º.
Острым – если его градусная мера меньше 90º.
Тупым – если его градусная мера больше 90ºи меньше 180º.
Рассмотрим ещё два вида углов, которые встречаются в геометрических задачах: это вертикальные углы, то есть пара углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Например, угол один и два.
И смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.
Например, угол САВ и угол САD.
Вместе смежные углы составляют развёрнутый угол. Следовательно, сумма величин смежных углов составляет 180º.
Итак, сегодня мы познакомились с разными видами углов и научились строить их с помощью транспортира.
Для определения величины углов используется прибор, который называют транспортир. Но существуют и более высокоточные приборы.
Так, гониометр использовался для определения положения судна в море или океане.
Теодолит – прибор для измерения горизонтальных и вертикальных углов при геодезических работах, в строительстве и т. п.
Секстант применялся для измерения высоты Солнца над горизонтом с целью определения географических координат той местности, в которой производится измерение, и на судах.
Посох Якова, служащий для измерения углов, – один из первых инструментов для астрономических наблюдений.
Измерение углов: градусы и радианы
Анна Малкова
Почему полный круг составляет 360 градусов? Что такое радиан и как перевести градусы в радианы? И при чем здесь число ? Статья для тех, кто сдает ЕГЭ или просто интересуется математикой.
Для измерения углов принято использовать две основные единицы: градусы и радианы.
Начнем с привычных градусов.
Полный круг составляет 360 градусов – это мы все знаем.
Да, но почему 360?
В метре 100 сантиметров. В рубле 100 копеек, в килограмме 1000 граммов. Мы привыкли к десятичной системе, и возникла она оттого, что на каждой руке у нас по 5 пальцев, а на двух руках — по 10.
А вот в часе 60 минут, в круге 360 градусов. И в сутках 24 часа. Древние шумеры умудрились придумать двенадцатеричную систему счисления! И при этом они тоже считали по пальцам. Нет, у них не было по 6 пальцев на каждой руке. Просто считали не пальцы, а фаланги четырех пальцев (кроме большого).
Кстати, круг легко делится именно на 6 частей (умеете?). А число 12 (дюжина) делится на 2, 3, 4, 6 и, собственно, 12.
И это не все. Древние шумерские астрономы обнаружили, что в день равноденствия Солнце встает почти точно на Востоке и заходит почти точно на Западе, причем от восхода до заката проходит по небу путь, в 360 раз больший, чем видимый с Земли диаметр Солнца. Небесную полуокружность разделили на 180 градусов.
Точнее, угловой диаметр Солнца равен примерно 32 угловых минуты, то есть чуть больше 0,5 градуса. Он еще и немного меняется в течение года из-за того, что орбита Земли не круговая, а эллиптическая.
Так что утверждение о том, что в День равноденствия Солнце проходит по небу путь, равный 360 своим «шагам» (то есть 360 видимым диаметрам солнца) – верно с некоторой точностью.
Конечно, древние астрономы наблюдали не только за движением Солнца. Они заметили, что яркая планета Юпитер совершает полный оборот вокруг Солнца за 12 лет. Точнее, не 12, а 11,86 лет, но уж очень им хотелось округлить до своего любимого числа.
Да что там Юпитер! Посмотрим на Луну. Юпитер на небе еще и не каждый найдет (а вы сможете?) – зато Луну, особенно полную, трудно не заметить! Месяц – промежуток от полнолуния до полнолуния – равен примерно 29,5 суток. Почти 30, верно?
Наша Земля совершает полный оборот вокруг Солнца за 365 дней (точнее, за 365,242 суток), и это – солнечный год.
И тогда лунный год – это 12 месяцев, в каждом месяце 30 дней (округлили), вот и получается 360 дней в году, почти столько же, сколько в солнечном, в котором 365 дней.
«Может быть, боги хотели сделать в году ровно 360 дней, но им кто-нибудь помешал, вот и получилось 365». Возможно, так и рассуждали древние астрономы, деля круг на 360 частей, 360 градусов. Тем более, что 360 – число, имеющее целых 24 делителя.
Число 360 делится на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 и 360. Очень удобно делить 360 градусов на части!
Обозначается: 360°. Этот кружок вверху – специальный символ для обозначения градуса.
Есть и другая мера измерения углов – радианная.
1 радиан – центральный угол, опирающийся на дугу, равную радиусу окружности.
Как перевести градусы в радианы и наоборот?
Полный круг – это 360 градусов. Отношение длины окружности к ее диаметру равно числу , приближенно Значит, длина окружности равна где – радиус.
Составим пропорцию. Длина окружности так относится к длине дуги на нашем рисунке, как – к величине угла, опирающегося на эту дугу, то есть к углу в 1 радиан.
1 радиан –
Слева в нашей пропорции углы, справа – длина полной окружности и длина отмеченной на рисунке дуги.
Из этой пропорции получаем, что радиан. Значит, полный круг – это радиан. Тогда полкруга – это радиан, четверть круга (то есть ) – это радиан.
Любой угол, выраженный в градусах, можно перевести в радианы. И наоборот, 1 радиан приблизительно равен 57 градусам.
Как и чем измеряются углы.
Методы и средства контроля и измерения углов
Углы и измерение углов
Угловые размеры определяют положение плоскостей, осей, линий, центров отверстий и т. д. Угловые размеры бывают зависимые и назависимые.
Независимые углы не связаны с другими параметрами изделия; зависимые углы определяются основными параметрами изделий, к которым они относятся.
В качестве единицы измерения плоских углов Международной системой единиц (СИ) принят радиан — угол между двумя радиусами круга, вырезающими на его окружности дугу, длина которой равна радиусу данного круга.
Измерение углов в радианах на практике связано с значительными трудностями, так как ни один из современных угломерных приборов не имеет градуировки в радианах.
По этой причине в машиностроении для угловых измерений в основном применяются внесистемные единицы: градус, минута и секунда. Эти единицы связаны между собой следующими соотношениями:
- 1 рад = 57°17׳45״ = 206 265″
- 1° = π/180 рад = 1,745329 × 10-2 рад;
- 1‘ = π /10800 рад = 2,908882 × 10-1 рад;
- 1” = π/648000 рад = 4,848137 × 10-6 рад.
Значение угла при измерении определяют сравнением его с известным углом. Известный угол может быть задан так называемыми жесткими (с постоянным значением угла) мерами — аналогами формы элементов детали: угловыми мерами, угольниками, угловыми шаблонами, коническими калибрами, многогранными призмами.
Измеряемый угол можно сравнивать также с многозначными угломерными штриховыми мерами и различными видами круговых и секторных шкал. Еще одним методом получения известного угла является его расчет по значениям линейных размеров на основании тригонометрических зависимостей.
В соответствии с этим классификацию методов измерений углов производят в первую очередь по виду создания известного угла: сравнением с жесткой мерой, сравнением с штриховой мерой (гониометрические методы) и тригонометрическими методами (по значениям линейных размеров).
При сравнении углов с жесткой мерой отклонение измеряемого угла от угла меры определяют по просвету между соответствующими сторонами углов детали и меры, по отклонению показаний прибора линейных размеров, измеряющих несовпадение этих сторон или при контроле «по краске», т.е. по характеру тонкого, слоя краски, перенесенного с одной поверхности на другую.
В приборах для гониометрических измерений имеются штриховая угломерная шкала, указатель и устройство для определения положения сторон угла. Это устройство связано с указателем или шкалой, а измеряемая деталь — соответственно со шкалой или указателем. Определение положения сторон угла можно производить как контактным, так и бесконтактным (оптическим) способом. При соответствующих измеряемому углу положениях узлов прибора определяют угол относительного поворота шкалы и указателя.
При косвенных тригонометрических методах определяют линейные размеры сторон прямоугольного треугольника, соответствующего измеряемому углу, и по ним находят синус или тангенс этого угла (координатные измерения). В других случаях (измерение с помощью синусных или тангенсных линеек) воспроизводят прямоугольный треугольник с углом, номинально равным измеряемому, и устанавливая его как накрест лежащий с измеряемым углом, определяют линейные отклонения от параллельности стороны измеряемого угла основанию прямоугольного треугольника.
При всех методах измерений углов должно быть обеспечено измерение угла в плоскости, перпендикулярной к ребру двугранного угла. Перекосы приводят к погрешности измерения.
При наличии наклона плоскости измерения в двух направлениях погрешность измерения угла может быть и положительной и отрицательной. При измерениях малых углов эта погрешность не превысит 1% значения угла при углах наклона плоскости измерения до 8°. Такая же зависимость погрешности измерения угла от углов перекоса получается и в случаях неточного базирования деталей на синусной линейке, несовпадения направления ребра измеряемого угла или оси призмы с осью поворота на гониометрических приборах (при фиксации положения граней по автоколлиматору), при измерениях с помощью уровней и т.п.
Угол наклона плоскостей обычно определяется уклоном, численно равным тангенсу угла наклона.
Малые значения уклонов часто указывают в микрометрах на 100 мм длины, в промилле или миллиметрах на метр длины (мм/м).
Например, в мм/м указывается цена деления уровней. Пересчет уклонов в угол обычно производится по приближенной зависимости: уклон 0,01 мм/м (или 1 мкм/100 мм) соответствует углу наклона в 2″ (погрешность подсчета угла по этой зависимости составляет — 3%).
Как было показано выше в машиностроении в зависимости от используемых средств и методов различают три основных способа измерения углов:
Сравнительный метод измерения углов с помощью жестких угловых мер. При этом измерении определяется отклонение измеряемого угла от угла меры.
Абсолютный гониометрический метод измерения углов, при котором измеряемый угол определяется непосредственно по угломерной шкале прибора.
Косвенный тригонометрический метод: угол определяется расчетным путем по результатам измерения линейных размеров (катетов, гипотенузы), связанных с измеряемым углом тригонометрической функцией (синусом или тангенсом).
Сравнительный метод измерения углов обычно сочетается с косвенным тригонометрическим методом, последним определяется разница сравниваемых углов в линейных величинах на определенной длине стороны угла.
***
Угловые призматические меры и угольники
Угловые призматические меры служат для хранения и передачи единицы плоского угла. Их применяют для проверки шаблонов и угловых размеров различных изделий; для градиуровки угломерных приборов, а также для непосредственных измерений.
Угловые меры, предназначенные для проверки угломерных приборов и рабочих мер, называют образцовыми.
По точности аттестации образцовые угловые меры делят на четыре разряда (1,2,3 и 4). Предельные погрешности аттестации рабочих углов не должны превышать для угловых мер 1-го разряда — ±0,5”; 2-го разряда — ±1”; 3-го — ±3”; 4-го — ±6”.
Угловые меры собирают в блоки с помощью специальных державок.
Контроль углов угольниками осуществляют, оценивая просвет между угольником и контролируемой деталью на глаз, или сравнивают с образцовой щелью, созданной с помощью концевых мер длины и лекальной линейки.
При использовании крупных угольников просвет оценивают с помощью щупов.
Погрешность проверки углов угольником зависит от погрешности самого угольника, длины сторон угла, по которой производится проверка, и других факторов.
Угломеры с нониусами
Угломеры с нониусами применяют для измерения профиля угла на деталях контактным методом с отсчетом по угловому нониусу с точностью 2‘ и 5‘. Состоит угломер из круглого угломерного диска, скрепленного с корпусом зажимной гайкой. На основании смонтированы установочная планка и нониус с нанесенными 30 делениями с двух сторон от нулевого штриха; каждое деление соответствует 2 мин.
Линейка с лицевой стороны имеет продольный ласточкообразный паз, по которому перемешается (в процессе установки линейки на угол) хвостовик прижима.
При измерении угломер накладывают на проверяемую плоскость детали так, чтобы линейка и рабочая плоскость корпуса были совмещены со сторонами измеряемого угла. Целое число градусов отсчитывают по шкале диска до нулевого деления (штриха) нониуса. Затем определяют деление нониуса, совпадающего с делениями основной шкалы (диска).
После этого определяют по нониусу сколько минут и градусов совпадают с делениями нониуса.
Оптический угломер
В корпусе оптического угломера закреплен стеклянный диск со шкалой, имеющей деления в градусах и минутах. Цена малых делений 10 ‘. С корпусом жестко скреплена основная (неподвижная) линейка. На диске смонтированы лупа, рычаг и укреплена подвижная линейка.
Под лупой параллельно стеклянному диску расположена небольшая стеклянная пластинка, на которой нанесен указатель, ясно видимый через окуляр. Линейку можно перемещать в продольном направлении и с помощью рычага закреплять в нужном положении.
Во время поворота линейки в ту или другую сторону будет вращаться в том же направлении диск и лупа. Таким образом, определенному положению линейки будет соответствовать вполне определенное положение диска и лупы. После закрепления линеек зажимным кольцом через лупу отсчитывают показания угломера.
Оптическим угломером можно измерять углы от 0 до 180°. Допускаемые погрешности показания оптического угломера ±5‘.
Индикаторный угломер
В индикаторном угломере обычная шкала и нониус заменены индикаторным циферблатом. Отсчет угловых размеров производится по показаниям стрелки на большой шкале через 10°. Цена деления 5‘, предел измерения угломера 0…360°.
Портативный оптический угломер-шаблон
Портативный оптический угломер-шаблон предназначен для проверки профиля резцов. Он состоит из стандартной восьмикратной лупы, неподвижно закрепленной на прозрачном диске из органического стекла. Вокруг оси, запрессованной в этот диск, свободно поворачивается стальной диск, по периметру которого с высокой точностью выполнены шаблоны наиболее часто встречающихся в практике углов, радиусов и кривых. Нужный профиль шаблона накладывают на затачиваемый резец и под лупой проверяют точность доводки.
Прибор отличается точностью и удобством, так как им можно пользоваться непосредственно на рабочем месте.
***
Допуски и посадки конических соединений
Главная страница
Дистанционное образование
Специальности
Учебные дисциплины
Олимпиады и тесты
Урок математики в начальной школе. Тема: «Градус. Измерение углов транспортиром»
Тип урока: формирование новых знаний.
Цели и задачи:
- проверить знания учащихся по теме “Угол”;
- познакомить с новой единицей измерения (градус) и прибором для измерения углов — транспортиром;
- составить алгоритм измерения угла;
- используя алгоритм измерения угла, научиться измерять разные виды углов;
- составить алгоритм для построения угла;
- используя алгоритм построения угла, научиться строить разные виды углов;
- классифицировать углы по видам;
Оборудование: презентация SMART Notebook к уроку по заданной теме, транспортир, угольники, карточки для самостоятельной работы
Проблемный вопрос: как измерить углы с помощью транспортира? (Какие нужно выполнять условия, чтобы точно измерить градусную меру угла транспортиром?)
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Название темы урока, постановка цели.(слайд 1)
Введение
Французский писатель XIX столетия Анатоль Франц однажды заметил, что: “Учиться можно только весело. Чтобы переваривать эти знания, нужно поглощать эти знания с аппетитом”.
Давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету. Будем активны, будем поглощать знания с большим желанием, потому что они пригодятся вам в дальнейшей жизни. (слайд 2)
III. Устная работа.
1. Математическая карусель. (слайд 2)
2. Назовите углы, изображенные на рисунке. Найдите среди этих углов прямые и развернутые. (слайд 3)
3. Какие углы образуют на циферблате часов минутная и часовая стрелки в:
а) 6 ч; б) 13 ч; в) 15 ч; г) 16 ч 30 мин; д) 8 ч 15 мин? (слайд 5)
IV. Объяснение нового материала.
В соответствии с п. 5.2 учебника, рассмотреть вопросы;
Единица измерения углов.
Классификация углов по градусной мере.
Специальный измерительный прибор — транспортир. Сравнить шкалы транспортира со шкалой линейки, обращая внимание на сходства и различия: цена наименьшего деления на линейке — 1 мм, на транспортире — 1°, большее деление на линейке — 10 мм, на транспортире — 10°. ( слайды 6-8)
V. Доклад на тему “ История возникновения транспортира”.
(рассказ заранее подготовленного ученика) (слайд 9)
4. Измерение углов с помощью транспортира.
Дать алгоритм измерения углов с помощью транспортира (сдайды 11,12)
VI. Формирование умений и навыков. (слайды 13)
РТ, часть 2, № 49, 50, 51;
№49
- < AOC=400
- <AOM=1200
- < AOB =760
- <AOK =1650
№50 самостоятельно
- АОС=900,
- <AOB=450,
- <AOD=1300
№ 51
- <A= 600;
- <B=550 ;
- <C= 850 ;
- <D= 300 ;
- <E= 1100 ;
- <F=1500 .
2. У, № 478, 481 (а).
Физкультминутка “Истинно — ложно” (слайд 14)
Если утверждение верно, ученики должны встать, если ложно — присесть, руки на пояс: угол, равный 45°, — острый;
- угол, равный 170°, — острый;
- угол, равный 89°, — тупой;
- угол, равный 55°, — прямой;
- угол, равный 100°, — тупой;
- угол, равный 1°, — острый;
- угол, равный 137°, — острый;
- угол, равный 70°, — острый;
- угол, равный 890, — развернутый;
- угол, равный 155°, — прямой;
- угол, равный 100°, — тупой;
- угол, равный 1°,— прямой.
VII. Самостоятельная работа по карточкам (слайд 15,16)
Измерить выделенные углы.
Класс делится на 2 группы мальчиков и девочек. Мальчикам раздаются карточки с “ракетами”, а девочкам с “солнышком”.
VIII. Итоги урока. (слайд 17)
ВЫЧЕРКНИТЕ НЕВЕРНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ
1) Углы измеряют с помощью линейки.
2) Углы измеряют с помощью транспортира.
3) Единицы измерения углов — килограммы.
4) Единицы измерения углов — градусы.
5) 1о равен 1/180 части развернутого угла.
6) Развернутый угол имеет градусную меру 180°.
7) Острый угол меньше развернутого.
8) Прямой угол имеет градусную меру 90°.
9) Тупой угол больше развернутого.
10) Острый угол меньше прямого.
11) Прямой угол больше тупого.
12) Тупой угол больше прямого, но меньше развернутого.
IХ. Домашнее задание. У, № 479, 481 (б), 482 (б), 289 (в). (слайд 18)
градус [°] в минута [‘] • Плоский угол • Популярные конвертеры единиц • Компактный калькулятор • Онлайн-конвертеры единиц измерения
Конвертер длины и расстоянияКонвертер массыКонвертер мер объема сыпучих продуктов и продуктов питанияКонвертер площадиКонвертер объема и единиц измерения в кулинарных рецептахКонвертер температурыКонвертер давления, механического напряжения, модуля ЮнгаКонвертер энергии и работыКонвертер мощностиКонвертер силыКонвертер времениКонвертер линейной скоростиПлоский уголКонвертер тепловой эффективности и топливной экономичностиКонвертер чисел в различных системах счисления.Конвертер единиц измерения количества информацииКурсы валютРазмеры женской одежды и обувиРазмеры мужской одежды и обувиКонвертер угловой скорости и частоты вращенияКонвертер ускоренияКонвертер углового ускоренияКонвертер плотностиКонвертер удельного объемаКонвертер момента инерцииКонвертер момента силыКонвертер вращающего моментаКонвертер удельной теплоты сгорания (по массе)Конвертер плотности энергии и удельной теплоты сгорания топлива (по объему)Конвертер разности температурКонвертер коэффициента теплового расширенияКонвертер термического сопротивленияКонвертер удельной теплопроводностиКонвертер удельной теплоёмкостиКонвертер энергетической экспозиции и мощности теплового излученияКонвертер плотности теплового потокаКонвертер коэффициента теплоотдачиКонвертер объёмного расходаКонвертер массового расходаКонвертер молярного расходаКонвертер плотности потока массыКонвертер молярной концентрацииКонвертер массовой концентрации в раствореКонвертер динамической (абсолютной) вязкостиКонвертер кинематической вязкостиКонвертер поверхностного натяженияКонвертер паропроницаемостиКонвертер плотности потока водяного параКонвертер уровня звукаКонвертер чувствительности микрофоновКонвертер уровня звукового давления (SPL)Конвертер уровня звукового давления с возможностью выбора опорного давленияКонвертер яркостиКонвертер силы светаКонвертер освещённостиКонвертер разрешения в компьютерной графикеКонвертер частоты и длины волныОптическая сила в диоптриях и фокусное расстояниеОптическая сила в диоптриях и увеличение линзы (×)Конвертер электрического зарядаКонвертер линейной плотности зарядаКонвертер поверхностной плотности зарядаКонвертер объемной плотности зарядаКонвертер электрического токаКонвертер линейной плотности токаКонвертер поверхностной плотности токаКонвертер напряжённости электрического поляКонвертер электростатического потенциала и напряженияКонвертер электрического сопротивленияКонвертер удельного электрического сопротивленияКонвертер электрической проводимостиКонвертер удельной электрической проводимостиЭлектрическая емкостьКонвертер индуктивностиКонвертер реактивной мощностиКонвертер Американского калибра проводовУровни в dBm (дБм или дБмВт), dBV (дБВ), ваттах и др. единицахКонвертер магнитодвижущей силыКонвертер напряженности магнитного поляКонвертер магнитного потокаКонвертер магнитной индукцииРадиация. Конвертер мощности поглощенной дозы ионизирующего излученияРадиоактивность. Конвертер радиоактивного распадаРадиация. Конвертер экспозиционной дозыРадиация. Конвертер поглощённой дозыКонвертер десятичных приставокПередача данныхКонвертер единиц типографики и обработки изображенийКонвертер единиц измерения объема лесоматериаловВычисление молярной массыПериодическая система химических элементов Д. И. Менделеева
Общие сведения
Плоский угол — геометрическая фигура образованная двумя пересекающимися линиями. Плоский угол состоит из двух лучей с общим началом, и эта точка называется вершиной луча. Лучи называются сторонами угла. У углов много интересных свойств, например, сумма всех углов в параллелограмме — 360°, а в треугольнике — 180°.
Виды углов
Прямые углы равны 90°, острые — меньше 90°, а тупые — наоборот, больше 90°. Углы, равные 180° называются развернутыми, углы в 360° называются полными, а углы больше развернутых но меньше полных называются невыпуклыми. Когда сумма двух углов равна 90°, то есть один угол дополняет другой до 90°, они называются дополнительными. Если они дополняют друг друга до 180°, они называются смежными, а если же до 360° — то сопряженными. В многоугольниках углы внутри многоугольника называются внутренними, а сопряженные с ними — внешними.
Когда сумма двух углов равна 90°, то есть один угол дополняет другой до 90°, они называются дополнительными. Если они дополняют друг друга до 180°, они называются смежными, а если же до 360° — то сопряженными. В многоугольниках углы внутри многоугольника называются внутренними, а сопряженные с ними — внешними.
Два угла, образованные при пересечении двух прямых и не являющихся смежными, называются вертикальными. Они равны.
Измерение углов
Два транспортира: обычный и цифровой
Углы измеряют с помощью транспортира или вычисляют по формуле, измерив стороны угла от вершины и до дуги, и длину дуги, которая эти стороны ограничивает. Углы обычно измеряют в радианах и градусах, хотя существуют и другие единицы.
Можно измерять как углы, образованные между двумя прямыми, так и между кривыми линиями. Для измерения между кривыми используют касательные в точке пересечения кривых, то есть в вершине угла.
Транспортир
Транспортир — инструмент для измерения углов. Большинство транспортиров имеют форму полукруга или окружности и позволяют измерить углы до 180° и до 360° соответственно. В некоторых транспортирах встроена дополнительная вращающаяся линейка для удобства в измерении. Шкалы на транспортирах наносят чаще в градусах, хотя иногда они бывают и в радианах. Транспортиры чаще всего используют в школе на уроках геометрии, но их также применяют в архитектуре и в технике, в частности в инструментальном производстве.
Использование углов в архитектуре и искусстве
Дом с лофтами и квартирами «Pure Spirits» в центре Торонто, Онтарио, Канада
Художники, дизайнеры, мастера и архитекторы издавна используют углы для создания иллюзий, акцентов и других эффектов. Чередование острых и тупых углов или геометрические узоры из острых углов часто используются в архитектуре, мозаике и витражах, например в строении готических соборов и в исламской мозаике.
Музей Турецкого и исламского искусства. Стамбул, Турция. Фотография помещается с разрешения автора.
Одна из известных форм исламского изобразительного искусства — украшение с помощью геометрического орнамента гирих. Этот рисунок применяют в мозаике, резьбе по металлу и дереву, на бумаге и на ткани. Рисунок создается с помощью чередования геометрических фигур. Традиционно используют пять фигур со строго определенными углами из комбинаций в 72°, 108°, 144° и 216°. Все эти углы делятся на 36°. Каждая фигура разделена линиями на несколько более маленьких симметричных фигур, чтобы создать более тонкий рисунок. Изначально гирихом назывались сами эти фигуры или кусочки для мозаики, отсюда и пошло название всего стиля. В Марокко существует похожий геометрический стиль мозаики, зулляйдж или зилидж. Форма терракотовых изразцов, из которых складывают эту мозаику, не соблюдается так строго, как в гирихе, и изразцы часто более причудливой формы, чем строгие геометрические фигуры в гирихе. Несмотря на это, мастера зулляйджа также используют углы для создания контрастных и причудливых узоров.
Руб аль-хизб и звезда аль-кудс
В исламском изобразительном искусстве и архитектуре часто используется руб аль-хизб — символ в форме одного квадрата, наложенного на другой под углом в 45°, как на иллюстрациях. Он может быть изображен как сплошная фигура, или в виде линий — в этом случае этот символ называется звездой Al-Quds (аль кудс). Руб аль-хизб иногда украшают небольшими кругами на пересечении квадратов. Этот символ используют в гербах и на флагах мусульманских стран, например на гербе Узбекистана и на флаге Азербайджана. Основания самых высоких в мире на момент написания (весна 2013) башен близнецов, башен Петро́нас построены в форме руб аль-хизба. Эти башни находятся в Куала-Лумпуре в Малайзии и в их проектировании участвовал премьер-министр страны.
«Флэтайрон-билдинг» или здание «Утюг», Нью-Йорк
Острые углы часто используют в архитектуре как декоративные элементы. Они придают зданию строгую элегантность. Тупые углы, наоборот, придают зданиям уютный вид. Так, например, мы восхищаемся готическими соборами и замками, но они выглядят немного печально и даже устрашающе. А вот дом себе мы скорее всего выберем с крышей с тупыми углами между скатами. Углы в архитектуре также используют для укрепления разных частей здания. Архитекторы проектируют форму, размер и угол наклона в зависимости от нагрузки на стены, нуждающиеся в укреплении. Этот принцип укрепления с помощью наклона использовали еще с древних времен. Например, античные строители научились строить арки без цемента и иных связующих материалов, укладывая камни под определенным углом.
Обычно здания строят вертикально, но иногда бывают исключения. Некоторые здания специально строят с наклоном, а некоторые наклоняются из-за ошибок. Один из примеров наклонных зданий — Тадж-Махал в Индии. Четыре минарета, которые окружают главное строение, построены с наклоном от центра, чтобы в случае землетрясения они упали не вовнутрь, на мавзолей, а в другую сторону, и не повредили основное здание. Иногда здания строят под углом к земле в декоративных целях. Например, Падающая башня Абу-Даби или Capital Gate наклонена на 18° к западу. А одно из зданий в Мире Головоломок Стюарта Лэндсборо в городе Ванка в Новой Зеландии наклоняется к земле на 53°. Это здание так и называется, «Падающая башня».
Иногда наклон здания — результат ошибки в проектировании, как например наклон Пизанской башни. Строители не учли структуру и качество почвы, на которой ее возводили. Башня должна была стоять прямо, но плохой фундамент не смог поддерживать ее вес и здание осело, покосившись на один бок. Башню много раз реставрировали; самая последняя реставрация в 20-м веке остановила ее постепенное оседание и увеличивающийся наклон. Ее удалось выровнять с 5.5°до 4°. Башня церкви СуурХусен в Германии тоже наклонена из-за того, что ее деревянный фундамент прогнил с одной стороны после осушения болотистой почвы, на которой она построена. На данный момент эта башня наклонена больше, чем Пизанская — примерно на 5°.
Литература
Автор статьи: Kateryna Yuri
Вы затрудняетесь в переводе единицы измерения с одного языка на другой? Коллеги готовы вам помочь. Опубликуйте вопрос в TCTerms и в течение нескольких минут вы получите ответ.
Измерение углов. Градусы и радианы
Рассмотрим тригонометрические круги, изображенные на рисунке 1 и рисунке 2.
Рис.1
Рис.2
На тригонометрическом круге, изображенном на рисунке 1, центральные углы измерены в градусах, а на тригонометрическом круге, изображенном на рисунке 2, те же центральные углы измерены в радианах.
Углом в 1 градус называют угол, составляющий полного угла. Углом в k° называют угол в k раз больший угла в 1° .
Углом в 1 радиан называют центральный угол тригонометрического круга, которому соответствует дуга окружности тригонометрического круга длиной 1 . Углом в k радиан называют центральный угол тригонометрического круга в k раз больший угла в 1 радиан.
СЛЕДСТВИЕ 1. Углом в k радиан является центральный угол тригонометрического круга, которому соответствует дуга окружности тригонометрического круга длиной k .
СЛЕДСТВИЕ 2. Полный угол является углом в 2π радиан.
Для того, чтобы найти формулы, связывающие градусную и радианную меры угла, рассмотрим рисунки 3 и 4
| Рис.3 | Рис.4 |
| Рис.3 |
| Рис.4 |
На этих рисунках изображены прямые углы, причем на рисунке 3 прямой угол измерен в градусах и равен 90° , а на рисунке 4 прямой угол измерен в радианах и равен радиан. Следовательно,
Таким образом, формулы, связывающие градусную и радианную меры угла, имеют вид
Поскольку , то
По этой причине углы, составляющие целое число радиан, изображаются на тригонометрическом круге так, как это показано на рисунке 5.
Рис.5
ЗАМЕЧАНИЕ. Тригонометрическая формула sin α означает, что рассматривается синус угла в α радиан, а тригонометрическая формула sin α° означает, что рассматривается синус угла в α градусов. По такому же правилу определяются значения косинуса, тангенса и котангенса.
ПРИМЕР. Найти наименьшее из чисел:
РЕШЕНИЕ. Поскольку
то наименьшим числом является число cos 3 .
градусов и радианы — объяснение и примеры
Как и любая другая величина, у углов также есть единицы измерения. Радианы и Градусы — две основные единицы измерения углов . Существуют и другие единицы измерения углов (например, градуса и MRAD), но в старшей школе вы увидите только эти две единицы.
Что такое градусы и радианы?
Самая популярная единица измерения углов, с которой знакомо большинство людей, — это градус ( ° ).Единицы градуса — минуты и секунды. Есть 360 градусов, 180 градусов для полукруга (полукруга) и 90 градусов для четверти круга (прямоугольный треугольник) в полном круге или одном полном вращении.
Градусы в основном указывают направление и размер угла . Лицом к северу означает, что вы смотрите в направлении 0 градусов. Если вы повернете на юг, вы окажетесь лицом к лицу в направлении 90 градусов. Если вы вернетесь на север после полного поворота, вы повернетесь на 360 градусов.Обычно положительным считается направление против часовой стрелки. Если повернуть на запад с севера, угол будет либо -90 градусов, либо +270 градусов.
В геометрии есть еще одна единица измерения углов, известная как радиан ( рад ).
Итак, зачем нам радианы, если мы уже привыкли к углам?
Большинство математических вычислений связаны с числами. Поскольку градусы на самом деле не являются числами, предпочтительнее использовать радианы, которые часто требуются для решения проблем.
Хороший пример , который похож на эту концепцию, использует десятичные дроби, когда у нас есть проценты . Хотя процент может быть показан с помощью числа, за которым следует знак%, мы преобразуем его в десятичную дробь (или дробь).
Концепция нахождения угла по длине дуги использовалась давно. Радиан был введен значительно позже. Роджер Котес дал понятие радиан в 1714 году, но не дал ему такого названия, а просто назвал его круговой мерой угла.
Термин « радиана » впервые был использован в 1873 году.Это имя впоследствии привлекло всеобщее внимание и получило авторизацию.
Из этой статьи вы узнаете, как преобразовать градусы в радианы и наоборот (радианы в градусы). Давайте взглянем.
Как перевести градусы в радианы?
Чтобы преобразовать градусы в радианы, мы умножаем заданный угол (в градусах) на π / 180.
Угол в градусах (°) x π / 180 = угол в радианах (рад)
Где π = 22/7 или 3,14
Пример 1
Преобразование следующих углов из градусов в радианы
- 0 °
- 30 °
- 45 °
- 60 °
- 90 °
- 120 °
- 150 °
- 180 °
- 210 °
- 240 °
- 360 °
Решение
Угол в градусах (°) x π / 180 = Угол в радианах (рад)
1.0 ° x π / 180
= 0 Rad
2. 30 ° x π / 180
= π / 6
= 0,5 Rad
3. 45 ° x π / 180
= π / 4
= 0,785 рад
4. 60 ° x π / 180
= π / 3
= 1,047 рад
5. 90 ° x π / 180
= π / 2
= 1,571рад
6. 120 ° x π / 180
= 2π / 3
= 2,094 Rad
7. 150 ° x π / 180
= 5π / 6
= 2,618 Rad
8. 180 ° x π / 180
= π
= 3.14 Rad
9. 210 ° x π / 180
= 7π / 6
= 3.665 Rad
10. 240 ° x π / 180
= 3π / 2
= 4.189 Rad
11. 360 ° x π / 180
= 2π
= 6,283 Rad
Пример 2
Преобразование 700 градусов в радианы.
Решение
Угол в градусах (°) x π / 180 = Угол в радианах (Rad)
Путем подстановки,
Угол в радианах (Rad) = 700 x π / 180.
= 35 π / 9
= 12,21 рад.
Пример 3
Преобразовать — 300 ° в радианы.
Решение
Угол в радианах = -300 ° x π / 180.
= — 5π / 3
= — 5,23 Rad
Пример 4
Преобразовать — 270 ° в радианы.
Решение
Угол в радианах = -270 ° x π / 180.
= — 3π / 2
= -4,71 Рад.
Пример 5
Преобразование 43 градусов, 6 минут и 9 секунд в радианы.
Решение
Первый экспресс 43 градуса, 6 минут и 9 секунд только до градусов.
43 ° 6 ′ 9 ″ = 43,1025 °
43,1025 ° x π / 180 = угол в радианах
= 0,752 рад.
Пример 6
Преобразовать 102 ° 45 ’54 ″ в радианы.
Решение
102 ° 45 ’54 ″ равно 102,765 °
Угол в радианах = 102,765 ° x π / 180.
= 1,793 Рад.
Как преобразовать радианы в градусы?
Чтобы преобразовать радианы в градусы, умножьте радиан на 180 / π.Итак, формула имеет вид,
Угол в радианах x 180 / π = Угол в градусах.
Пример 7
Преобразуйте каждый из следующих углов в радианах в градусы.
- 1,46
- 11π / 6
- π / 12
- 3,491
- 7,854
- -8,14
- π / 180
Решение
Угол в радианах x 180 / π = Угол в градусах.
- 46 x 180 / π
= 83.69 градусов.
- 11π / 6 x 180 / π
= 330 градусов.
- π / 12 x 180 / π
= 15 градусов.
- 491 x 180 / π
= 200,1 градуса
- 854 x 180 / π
= 450,2 градуса.
- -8,14 x 180 / π
= — 466,6 градуса.
- π / 180 x 180 / π
= 1 градус.
Пример 8
Преобразуйте угол π /5 радиан в градусы.
Решение
Угол в радианах x 180 / π = Угол в градусах.
Путем замены
π /5 x 180 / π = 36 градусов.
Пример 9
Преобразование угла — π /8 радиан в градусы
Решение
-π /8 x 180 / π = — 22,5 градуса.
Пример 10
Радиус куска пиццы составляет 9 см.Если периметр куска составляет 36,850 см, найдите угол куска пиццы в радианах и градусах.
Решение
Пусть длина дуги детали = x
Периметр = 9 + 9 + x
36,850 см = 18 + x
Вычтите 18 с обеих сторон.
18,85 = x
Итак, длина дуги детали составляет 18,85 см.
Но, длина дуги = θr
Где θ = угол в радианах, а r = радиус.
18,85 см = 9 θ
Разделим обе стороны на 9
θ = 2.09 Rad
θ в градусах:
Угол в радианах x 180 / π = Угол в градусах.
= 2,09 x 180 / π
= 120 градусов.
Пример 11
Радиус сектора 3 м, а его площадь 3π / 4 м 2 . Найдите центральный угол сектора в градусах и радианах.
Решение
Учитывая, что
Площадь сектора = (r 2 θ) / 2
Где θ = центральный угол в радианах.
Заменитель.
3π / 4 = (3 2 θ) / 2
3π / 4 = 9θ / 2
Перекрестное умножение.
6 π = 36 θ
Разделите обе части на 36, чтобы получить
θ = 0,52 рад.
Преобразует угол в градусы.
= 0,52 x 180 / π
= 29,8 градуса.
Пример 12
Найдите центральный угол сектора с радиусом 56 см и площадью 144 см 2 .
Решение
A = (θ / 360) πr 2
144 = (θ / 360) x 3.14 x 56 x 56.
144 = 27,353 θ
Разделите обе стороны на θ.
θ = 5,26
Таким образом, центральный угол равен 5,26 градуса.
Пример 13
Площадь сектора 625 мм 2 . Если радиус сектора равен 18 мм, найдите центральный угол сектора в радианах.
Решение
Площадь сектора = (θ r 2 ) / 2
625 = 18 x 18 x θ / 2
625 = 162 θ
Разделите обе стороны на 162.
θ = 3,86 радиан.
Практические вопросы
- Преобразование 330 ° в радианы.
- Преобразовать -750 ° в радианы
- Преобразовать каждый из следующих углов в радианах в градусы:
a. 21π / 5
б. -15π / 2
Измерение углов в градусах, минутах и секундах
Угол определяется апертурой его сторон.\ circ} \ cdot \ frac {60 \ \ mbox {секунды}} {1 \ \ mbox {minute}} = 21 \ cdot 60 \ cdot 60 \ \ mbox {секунды} = 75600 \ \ mbox {секунды} $$$
Наконец, мы увидим пример, который позволяет нам выражать в градусах величины, выраженные в секундах или минутах.
Если у нас есть $$ 460 $$ секунд, то мы имеем: $$$ 39600 \ \ mbox {секунды} = 39600 \ \ mbox {секунды} \ dfrac {1 \ \ mbox {минута}} {60 \ \ mbox {секунды}} = \ dfrac {39600} {60} \ \ mbox {minutes} = 660 \ \ mbox {minutes} $$$
Если мы хотим выразить это в градусах: $$$ 39600 \ \ mbox {секунды} = \ dfrac {39600} {60} \ \ mbox {минуты} \ cdot \ dfrac {1 \ \ mbox {градус}} {60 \ \ mbox {минуты}} = \ dfrac {39600} {60 · 60} \ \ mbox {градусы} = 11 \ \ mbox {градусы} $$$
Измерение углов вытянутой
Углы можно измерять с помощью таких инструментов, как гониометр, квадрант, секстант, поперечина или транспортир.\ circ $$.
Углы треугольника — Бесплатная справка по математике
Углы могут быть добавлены
Как и обычные числа, углы можно складывать для получения суммы, возможно, с целью определения меры неизвестного угла. Иногда мы можем определить недостающий угол, потому что знаем, что сумма должна быть определенным значением. Помните — сумма градусов углов в любом треугольнике равна 180 градусам.Ниже изображен треугольник ABC, где угол A = 60 градусов, угол B = 50 градусов и угол C = 70 градусов.
Если сложить все три угла в любом треугольнике, мы получим 180 градусов. Итак, мера угла A + угол B + угол C = 180 градусов. Это верно для любого треугольника в мире геометрии. Мы можем использовать эту идею, чтобы найти величину угла (углов), для которой градус отсутствует или не указан.
Нахождение недостающего угла
В треугольнике ABC ниже угол A = 40 градусов и угол B = 60 градусов.Какова мера угла C?
Мы знаем, что сумма мер любого треугольника равна 180 градусам. Используя тот факт, что угол A + угол B + угол C = 180 градусов, мы можем найти меру угла C.
угол A = 40
угол B = 60
угол C = мы не знаем.
Чтобы найти угол C, мы просто подставляем формулу выше и решаем относительно C.
А + В + С = 180
С = 180 — А — В
С = 180-40-60
С = 80
Чтобы проверить правильность 80 градусов, давайте сложим все три угловые меры.Если мы получим 180 градусов, то наш ответ для угла C правильный.
Поехали:
40 + 60 + 80 = 180
180 = 180 … Проверяет!
Не всегда нужно подставлять эти значения в уравнение и решать. Как только вы освоитесь с подобными проблемами, вы сможете сказать: «Хорошо, 40 + 60 = 100, поэтому другой угол должен быть 80!» и это намного быстрее.
Равносторонние треугольники
Если треугольник равносторонний, каков градус каждого из его углов?
Помните, что все стороны равностороннего треугольника имеют равной меры .У них также, как вы узнаете, равные углы! Пусть x = градус каждого угла. У треугольников три угла, поэтому мы прибавим x ТРИ раза.
У нас это:
х + х + х = 180
3х = 180
х = 60
Имеет смысл, правда? Если все углы равны и в сумме они равны 180, то это должно быть 60 градусов!
Соотношение углов
Углы треугольника в градусах находятся в соотношении 4: 5: 9.
Каков градус НАИБОЛЬШЕГО угла треугольника?
Обратите внимание, что наименьший угол представлен наименьшим числом в данном соотношении. Наименьшее из приведенных чисел — 4, верно? Поскольку это соотношение, мы должны умножить все эти значения (4,5,9) на некоторый общий коэффициент, чтобы получить фактические углы. (Например, 60 и 80 находятся в соотношении 3: 4 с коэффициентом 20)
Пусть 4x = мера наименьшего угла треугольника. Теперь мы можем сказать, что 5x и 9x = градусы остальных углов треугольника.Мы просто складываем 4x + 5x + 9x, приравниваем сумму к 180 градусам и решаем относительно x. Найдя x, мы подставляем значение x в 4x и упрощаем, чтобы найти меру наименьшего угла треугольника.
4x + 5x + 9x = 180
9х + 9х = 180
18x = 180
х = 180/18
х = 10
Мы нашли значение x, но это НЕ означает, что мы закончили.
Чтобы найти величину наименьшего угла треугольника, умножаем 4 на 10.Итак, 4 x 10 = 40.
Ответ — 40 градусов.
Помните, сумма углов треугольника равна 180 градусам. Просто возьмите то, что вам дано в задаче, и попытайтесь определить, в результате чего итоговый угол в сумме составит 180 градусов.
Урок, проводимый г-ном Фелизом
Воспользуйтесь «Калькулятором треугольников» ниже:
Измерение
Пифагорейский Теорема.
Используйте Java апплет для построения доказательства теоремы Пифагора. |
Пи — греческая буква, которая представляет число, примерно равное 3.141592654. Пи — иррациональное число, поэтому указанное выше число не является точное, но приблизительное. Чтобы увидеть число, представленное как расширенное до большего количества десятичных знаков, щелкните здесь или здесь (две разные версии).
Архимед, великий математик древности, использовал метод, называемый «Истощение», которое нужно попытаться найти ценность. Нам следует знать, что это за ценность представляет.
Проще говоря, представляет собой отношение длины окружности к диаметру. круга. Таким образом, = c / d. Метод «истощения», используемый Архимеда, для которого можно найти приближение, можно посмотреть на веб-сайте, на который можно получить доступ, щелкнув здесь.
Мы также сделаем это сами…..Теперь .
Углы и их измерение
Определение угла.
| Угол состоит из двух половинных линий (лучей) с общей начальной точкой, называемой вершиной. Мы согласны что конечная сторона получается поворотом начальной стороны против часовой стрелки на угол t. Угол находится в стандартном положении с вершиной в начале координат, а его начальная сторона вдоль положительной оси абсцисс. |
Угол положительной меры получается, когда
сторона клеммы повернута против часовой стрелки, а угол отрицательный
мера получается при повороте угла по часовой стрелке. Углы, полученные
разные повороты, имеющие одинаковые начальную и конечную стороны, называются котерминальными.
Измерение угла
Есть разница между углом (геометрический объект) и его мера (число).Однако правильно сказать, что «угол равен x единиц», так что наша работа не становится слишком утомительным.
Степень
Классическая единица измерения углов — градус. Полный оборот так, чтобы конечная сторона лежит на начальной стороне под углом 360, поэтому 1 — это 1/360 единицы полное вращение. Части угла измеряются в минутах и секундах.
Далее будут использоваться следующие символы:
= градусы
‘= Минут
«= секунды
На основании определения степени (в предыдущем абзаце) следующие эквиваленты должно иметь смысл:
| 1 = 60 ‘ | 1 = 60 дюймов |
| Отсюда следует, что 1 = (60) (60) » = 3600 « | |
| (1/60) = 1 ‘ | (1/60) ‘= 1 дюйм |
| Итак, 1 «= (1/60) (1/60) = (1/3600) | |
Теперь, используя преобразования на основе эквивалентностей, отмеченных в
в таблице выше, мы можем изменить единицы измерения с градусов, минут и секунд на десятичные
эквиваленты:
| 42 25 48 |
| = 42 + 25 (1/60) + 48 (1/3600) |
| = 42 + (25/60) + (48/3600) |
| = 42+.4167 + 0,0133 |
| = 42,4300 |
Радианы
Более удобной единицей измерения углов в приложениях является радиан.
| Рассмотрим круг с радиусом 1 единицу. Начните с точку (1,0) и отмерьте 1 единицу против часовой стрелки по окружность круга. Отметьте эту точку и присоедините ее к исходной точке, чтобы сделать концевую сторону угла.Этот угол составляет 1 радиан. |
На окружности радиусом 1 единицу (единичная окружность) угол 1 радиан отсекает дугу в 1 единицу по окружности круга.
Длина окружности равна 2 (радиус).
2 радиана = 360 или
радианы = 180
Угол в радианах — это отношение длины дуги на
окружности равной длине начальной стороны угла, поэтому он не имеет размерных единиц.
Изменение единиц измерения между градусами и радианами. С использованием
эквивалентность
радианы = 180
мы можем записать это как отношение: радианы к 180, как x радианы к t
Или, говоря математически:
радиан = x радианы
180 т
Введите заданный угол (градусы или радианы) в пропорции и решите для
неизвестный.
Измерение углов
Измерение угловИзмерение углов
При изучении геометрии угловые меры часто рассматриваются как степень разделения между двумя лучами с общей конечной точкой, или, возможно, связанный с размером данного сектора круга. Обе эти интерпретации неявно накладывают ограничения на допустимые углы измерения.{\ circ} $. В конце концов, как можно иметь сектор круга, превышающий сам круг? Следующее обсуждение обеспечивает переинтерпретацию углов как поворота на , что позволяет нам обобщить углы так, чтобы их меры могли принимать любое реальное значение, независимо от его знака или величины. {\ circ} $.{\ circ} $.
Знак меры указывает направление вращения и определяется выражением:
| $ (+) $, если вращение против часовой стрелки |
| $ (-) $, если вращение по часовой стрелке |
Угол в стандартном положении
Примеры
Практика
Терминальные уголки
Когда два угла имеют одинаковую начальную и конечную стороны, они называются концевыми углами.2 = 1 \} $$ Мы измеряем угол расстоянием $ t $, пройденным по окружности единичной окружности, поскольку угол образуется при повороте от начальной стороны к конечной стороне в стандартном положении.
Условные обозначения знаков остались прежними:
- $ (+) $, если вращение против часовой стрелки
- $ (-) $, если вращение по часовой стрелке
Радианная мера угла, образованного одним полным вращением против часовой стрелки, равна длине окружности единичной окружности, которая равна $ 2 \ pi $.{\ circ}}
долл. СШАУглы: знакомство | SkillsYouNeed
После того, как вы усвоили представление о точках, линиях и плоскостях, следующая вещь, которую нужно рассмотреть, — это то, что происходит, когда две линии или лучи встречаются в точке, образуя между ними угол .
Углы используются во всей геометрии для описания таких форм, как многоугольники и многогранники, а также для объяснения поведения линий, поэтому рекомендуется ознакомиться с некоторой терминологией, а также с тем, как мы измеряем и описываем углы.
Что такое угол?
Углы образуются между двумя лучами, выходящими из одной точки:
Углы обычно рисуются в виде дуги (части круга), как указано выше.
Свойства углов
Углы измеряются в градусах , что является мерой округлости или вращения.
Полный оборот, который вернет вас лицом к лицу в том же направлении, составляет 360 °. Таким образом, полукруг составляет 180 °, а четверть круга или прямой угол — 90 °.
Два или более угла на прямой в сумме составляют 180 °. На приведенной выше диаграмме круг слева разделен на три сектора, причем углы зеленого и белого секторов равны 90 °, а в сумме — 180 °.
На рисунке справа показано, что сумма углов a и b также составляет 180 °. Когда вы смотрите на диаграмму вот так, это легко увидеть, но на практике об этом также удивительно легко забыть.
Обозначение различных углов
Угол меньше 90 ° считается острым , а угол больше 90 °, но меньше 180 ° — тупой .
Угол ровно 180 ° считается прямым . Углы, превышающие 180 °, называются углами рефлекса и .
Циферблат часов может быть показан под разными углами. Часовая стрелка часов вращается по мере того, как время идет в течение дня. Угол поворота выделен зеленым цветом.
Противоположные углы: пересекающиеся линии
Когда две линии пересекаются, противоположные углы равны. В этом случае не только a и a совпадают, но, конечно же, a и b в сумме дают 180 °:
Перекрестки с параллельными линиями: особый случай
Наша страница Знакомство с геометрией вводит понятие параллельных линий: линий, которые всегда идут бок о бок и никогда не пересекаются, как железнодорожные пути.
Углы вокруг любых прямых, пересекающих параллельные прямые, также обладают некоторыми интересными свойствами.
Если две параллельные прямые (A и B) пересекаются третьей прямой (C), то угол пересечения пересекающейся прямой будет одинаковым для обеих параллельных прямых.
Говорят, что два угла a и два угла b равны .
Вы также сразу увидите, что a и b в сумме дают 180 °, так как они находятся на прямой линии.
Угол c, который, как вы поймете из предыдущего раздела, идентичен a, называется , альтернативным с a.
Углы Z и F
c и a называются z-углами , потому что, если вы проследите линию от вершины c к основанию a, она образует форму z (выделена красным на диаграмме выше).
a и a называются F-углами , потому что линия образует F-образную форму от нижней части верхнего угла a вниз и вокруг нижней части нижнего угла a (на диаграмме выделено зеленым цветом)
Измерительные углы
Транспортир обычно используется для измерения углов.Транспортиры обычно круглые или полукруглые и сделаны из прозрачного пластика, так что их можно размещать поверх фигур, нарисованных на листе бумаги, что позволяет измерять угол.
В этом примере показано, как использовать транспортир для измерения трех углов треугольника, но тот же метод применяется к другим формам или любым углам, которые вы хотите измерить.
- Совместите центральную метку на основании транспортира с вершиной , или точкой, в которой линии пересекаются.Треугольник имеет три вершины, по одной на каждый угол, который необходимо измерить.
- Большинство транспортиров имеют двунаправленную шкалу, что означает, что вы можете проводить измерения в любом направлении. Убедитесь, что вы используете правильную шкалу — вы должны легко определить, больше или меньше ваш угол 90 °, и поэтому используйте правильную шкалу. Если вы не уверены, взгляните на наш раздел, посвященный углам именования.
В этом примере зарегистрированные углы равны A = 90 °, B = 45 ° и C = 45 °.
Многоугольники часто определяются их внутренними углами, а сумма внутренних углов зависит от количества сторон. Например, внутренние углы треугольника всегда составляют 180 °. Подробнее об этом см. На нашей странице Polygons .
градуса или радиана?
Когда нам нужно измерить или описать угол, мы обычно используем «градусы» в качестве единицы измерения. Однако изредка можно встретить углы, указанные в радианах .
Радиан — это международная стандартная единица измерения углов (СИ), которая используется во многих областях науки и математики.
Выше мы говорили, что полный поворот углов по дуге окружности равен 360 °. Он также равен 2π радиан, где π (пи) — специальное число, равное (приблизительно) 3,142 (больше о π можно найти на нашей странице в Special Numbers and Concepts ).
Один радиан равен 360 / 2π = 57,3 °. Мы также используем число Пи, когда нам нужно вычислить площадь или длину окружности круга или объем сферы (подробнее об этом читайте на нашей странице Curved Shapes ).
Двигаемся дальше…
Как только вы поймете, что такое углы и как их измерять, вы можете применить это на практике с многоугольниками и многогранниками всех видов, а также использовать свои знания для вычисления площади (подробнее об этом читайте на нашей странице Расчет площади).
Обзор тригонометрии градусов, радиана и измерения углов
Обзор
Хотя многие студенты лучше всего знакомы с измерением углов по градусам, существуют и другие способы измерения углов.В исчислении, продвинутой тригонометрии и приложениях исчисления в науке углы измеряются в радианах. Град — это единица измерения угла, используемая при геодезии и как часть метрической системы, а угловые минуты и секунды используются для измерения углов для навигации и в астрономии.
Градусов
Многие люди знакомы с измерением угла в градусах с помощью транспортира. Один градус равен 1/360 окружности, так как у окружности 360 градусов. Углы меньше 90 o — острые, углы 90 o — прямые, а углы больше 90 o — тупые.Измерение полного круга как 360 o происходит от вавилонян, которые использовали в своей математической системе число, кратное 60.
Радианы
Радианы менее знакомы. Они измеряют длину дуги, деленную на ее радиус. Они являются частью системы СИ и используются во многих научных приложениях, а также в математике. Один радиан равен 180 / π градусов, поэтому, чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте градус на π / 180. Чтобы преобразовать радианы в градусы, умножьте радиан на 180 / π градусов.Например, 1 радиан, умноженный на 180 / π, равен примерно 57,296 o . Угол 23 o составляет около 0,401 рад.
Грады
Грады, сокращенно от градиана, тесно связаны с радианами. Полный оборот или 2π равен 400 градусам. Это альтернативная мера углов, используемая во Франции и некоторых других европейских странах, и используется геодезистами. Угол 45 o равен 50 градусам, угол 90 o равен 100 градусам, угол 135 o составляет 150 градусов, а прямая линия составляет 180 o или 200 градусов.Во Франции общепринятой мерой угла является сантиград или 1/100 градуса. Этот термин настолько похож на термин для шкалы Цельсия для измерения температуры, что название шкалы температуры было изменено на Цельсий, чтобы отметить ее разработчика и избежать путаницы.
дуговые минуты
Угловая минута равна 1/60 -й угловой минуты, а угловая секунда равна 1/60 -й угловой минуты. Он используется в приложениях, требующих очень малых углов, таких как астрономия, оптика, офтальмология, оптометрия и навигация.
Заинтересованы в услугах репетиторства по тригонометрии? Узнайте больше о том, как мы помогаем тысячам студентов каждый учебный год.
SchoolTutoring Academy — ведущая компания в сфере образовательных услуг для школьников и школьников. Мы предлагаем учебные программы для учащихся K-12, AP и колледжей. Чтобы узнать больше о том, как мы помогаем родителям и ученикам в Ливане, NH: посетите: Репетиторство в Ливане, NH
.