Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Основные определения и свойства

ФигураРисунокОпределения и свойства
Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

      Определение 1. Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Определение 2. Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Замечание 1. Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

      Определение 3. Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

      Замечание 2. Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

      Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

Формулы для длины окружности и её дуг

Площадь круга

      Рассмотрим две окружности с общим центром (концентрические окружности) и радиусами радиусами 1 и R, в каждую из которых вписан правильный   n – угольник (рис. 1).

      Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1.

Рис.1

      Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна

      Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна

      Следовательно,

      Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, стремится к π, то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, стремится к числу   πR2.

      Таким образом, площадь круга радиуса R, обозначаемая S, равна

S = πR2.

Длина окружности

      Рассмотрим правильный   n – угольник   B1B2Bn , вписанный в окружность радиуса радиуса R, и опустим из центраO окружности перпендикуляры на все стороны многоугольника (рис. 2).

Рис.2

      Поскольку площадь n – угольника   B1B2Bn   равна

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C, мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R:

C = R.

      Следствие. Длина окружности радиуса 1 равна   2π.

Длина дуги

      Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Рис.3

      В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

      В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

      Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Рис.4

      В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

      В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

      Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Рис.5

      Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

      Следовательно,

      В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

      Следовательно,

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Формулы геометрии

     
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Формулы геометрии  
   
   
 

    1.Признаки параллельности прямых.
    2.Признаки равенства треугольников.
    3.Теорема Пифагора.
    4.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
    5.Теорема синусов. Теорема косинусов.
    6.Радиус вписанной и описанной окружностей треугольника.

 

 
   
 
1 2 3 4 5 6 7 8
     


Признаки параллельности прямых

 
   
 

 

Признаки равенства треугольников

 
   
 

 

Теорема Пифагора

 
 
 
 

Рассчитать стороны прямоугольного треугольника

Катет a      Катет b                    Гипотенуза c =    

 

 
  Гипотенуза c      Катет a                    Катет b =      
     
   
 
 

 

Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников

 
 
 
 
     
 

Рассчитать радиус вписанной и описанной окружностей

Сторона a     Число углов n          Радиус R =        Радиус r =    
 
     
 

 

Теорема синусов

 
   
 

Рассчитать сторону треугольника

Сторона а    sin (α= °)    sin (β= °)     Сторона b =    

Рассчитать угол треугольника

Сторона а    sin (α= °)    Сторона b       Угол β =     °

 

 
     
     
 

Теорема косинусов

 
   
 

Рассчитать сторону треугольника

Сторона b    Сторона с    cos (α= °)     Сторона a =    

Рассчитать угол треугольника

Сторона а     Сторона b     Сторона c       Угол α =     °
 
     
   

Радиус вписанной и описанной окружностей

 
   
     
 

Рассчитать радиус описанной и вписанной окружности

Сторона а     Сторона b     Сторона c

       

Площадь S =        Радиус R =        Радиус r =    

 
     

 
1 2 3 4 5 6 7 8
 
     
 

Формула Герона — геометрия и искусство

Герон Александрийский — греческий математик и механик.

Он первым изобрёл автоматические двери, автоматический театр кукол, автомат для продаж, скорострельный самозаряжающийся арбалет, паровую турбину, автоматические декорации, прибор для измерения протяжённости дорог (древний одометр) и др. Первым начал создавать программируемые устройства (вал со штырьками с намотанной на него верёвкой).

Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой. Основные произведения: Метрика, Пневматика, Автоматопоэтика, Механика (произведение сохранилось целиком в арабском переводе), Катоптрика (наука о зеркалах; сохранилась только в латинском переводе) и др. В 1814 году было найдено сочинение Герона «О диоптре», в котором изложены правила земельной съёмки, фактически основанные на использовании прямоугольных координат. Герон использовал достижения своих предшественников: Евклида, Архимеда, Стратона из Лампсака. Многие из его книг безвозвратно утеряны (свитки содержались в Александрийской библиотеке).

В трактате «Механика»  Герон описал пять типов простейших машин: рычаг, ворот, клин, винт и блок.

В трактате «Пневматика» Герон описал различные сифоны, хитроумно устроенные сосуды, автоматы, приводимые в движение сжатым воздухом или паром. Это эолипил, представлявший собой первую паровую турбину — шар, вращаемый силой струй водяного пара; автомат для открывания дверей, автомат для продажи «святой» воды, пожарный насос, водяной орган, механический театр марионеток.

В книге «О диоптре» описан диоптр — простейший прибор, применявшийся для геодезических работ. Герон излагает в своём трактате правила земельной съёмки, основанные на использовании прямоугольных координат.

В «Катоптрике» Герон обосновывает прямолинейность световых лучей бесконечно большой скоростью их распространения.  Герон рассматривает различные типы зеркал, особое внимание уделяя цилиндрическим зеркалам.


«Метрика» Герона и извлечённые из неё «Геометрика» и «Стереометрика» представляют собой справочники по прикладной математике. Среди содержащихся в «Метрике» сведений:

  • Формулы для площадей правильных многоугольников.

  • Объёмы правильных многогранников, пирамиды, конуса, усечённого конуса, тора, шарового сегмента.

  • Формула Герона для расчёта площади треугольника по длинам его сторон (открытая Архимедом).

  • Правила численного решения квадратных уравнений.

  • Алгоритмы извлечения квадратных и кубических корней.


Книга Герона «Определения» представляет собой обширный свод геометрических определений, по большей части совпадающих с определениями «Начал» Евклида.

Простая геометрия

Греческий термин «

геометрия» («geometria») объединяет два понятия – «geо», и «metro», что означает «Земля» и «Мерить». В математике геометрией называется раздел, содержащий в себе накопленные человечеством знания в области изучения плоскостных и пространственных фигур, а также законов их соотношения с другими, схожими по структуре, формами.

Целью изучения геометрии является получение знаний о взаимодействии фигур, отличающихся размерами составных частей и имеющих различное пространственное расположение, а также о возможности их преобразования в другие формы.

Линии треугольника

Длина окружности

Площадь плоских фигур

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

Площадь треугольника

Площадь круга

Площадь ромба

Площадь треугольника

Площадь кольца

Площадь параллелограмма

Равнобедренный

Равносторонний

Площадь трапеции

Через две стороны и угол

Многоугольник

Сегмент круга

Объем тел

Геометрия в природе

В окружающей действительности геометрия присутствует повсеместно. Природа щедро внедрила правильные геометрические формы практически во все свои творения. В затейливых узорах снежинок, составленных из многоугольников, отчетливо просматриваются шестиосные симметричные формы, объединенные общим центром.

Вообще, легкие зимние снежинки – это яркое воплощением красоты и порядка окружающей нас природы, на каждом шагу являющей примеры многообразия геометрических форм, объединенных принципом единства.

Распускающиеся нежные цветы и колючие ветвистые кустарники – при внимательном рассмотрении содержат в своей структуре правильные линии, взаимодействующие по геометрическим законам.

На пропорциях золотого сечения основано строение тела человека, а в форме головки цветной капусты отчетливо просматривается сочетание фрактальных фигур.

Архитектура и геометрия

Геометрические принципы внедрены во все проекты архитектурных сооружений. Неоспорима решающая роль геометрии при строительстве любых зданий.

Строительное проектирование всегда производится с учетом пространственных форм, влияющих на зрительное восприятие и относящихся к важнейшим характеристикам любого здания.

Геометрический вид, являющийся важным свойством сооружения и определяемый трехмерными размерами (ширина, глубина, высота), зависим от их соотношения. При равных размерах – форма архитектурного сооружения выглядит объемной, при одном из размеров значительно меньшем, чем два остальных – сооружение выглядит плоским, а в случае, когда два размера намного менее одного, сооружение приобретает линейный вид.

Архитектурные свойства определяются протяженностью по трем координатным осям и характеризуются размерами по высоте, ширине и глубине относительно размеров человека или смежных строений.

Положение архитектурного сооружения по отношению к наблюдателю имеет ряд пространственных характеристик: фронтальное или профильное, вертикальное или горизонтальное, удаленное или приближенное, а также по отношению к линии горизонта.

Геометрия деталей в машиностроении

Все многообразие существующих на планете механизмов состоит из множества деталей различной геометрической формы.

В свою очередь, собранные из деталей механические устройства также характеризуются конечными геометрическими параметрами и зачастую объединены в масштабные комплексы, имеющие собственные геометрические характеристики.

В основе машиностроительного производства, являющегося основной отраслью народного хозяйства, лежит использование знаний геометрических законов на всех этапах создания изделия.

Начертательная геометрия

Инженерное образование в обязательном порядке предполагает изучение начертательной геометрии наряду с другими важными дисциплинами.

Для отображения геометрических характеристик зданий, машин, механизмов создаются чертежи их конструкций, определяющие особенности формы и размеров будущего изделия.

Начертательная геометрия представляет собой теоретическую базу, без использования которой невозможно создание специальной документации, называемой техническими чертежами. Чертежи являются необходимым средством для визуального отображения идеи создания той или иной технической продукции. На чертежах, в графической форме доступной для понимания, определены точные размеры и конструкция будущего продукта, представлены методы исполнения и возможность исследования изделия и его составных частей.

Для правильного выражения своих мыслей и идей с помощью эскизов и чертежей, необходимо тщательное изучение начертательной геометрии, включающей в себя геометрические законы построения изображений различных объектов с учетом многообразия их свойств и пространственного расположения относительно друг друга.

Начертательная геометрия, являющаяся графическим средством отображения информации, нашла широкое применение в жизни человечества.

Геометрическим формам присущи образность, символичность, компактность, доступность понимания. Простота и лаконичность графических изображений способствуют их повсеместному применению во всех областях созидательной деятельности человека.

Графика используется в качестве международного языка при общении народов различной культуры и национальных особенностей. Знание графического языка является преимущественным показателем при поиске работы, способствует совершенствованию образования и расширяет возможности воплощения идей человека в жизнь.

Площадь треугольника

Площадь треугольника, формулы для вычисления площади различных видов треугольников в зависимости от известных исходных данных, калькулятор для нахождения площади онлайн и сводная таблица с формулами площадей треугольников.

Таблица с формулами площади треугольника (в конце страницы)

Скачать формулы площади треугольника в виде картинки или файла PDF (в конце страницы)

— Вычисления   (показано)   (скрыто)

— примечания   (показано)   (скрыто)

Для всех треугольников



1

Площадь треугольника по основанию и высоте

Сторона a

Высота h

Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.


2

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Сторона a

Сторона b

Угол α° между сторонами a и b

Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.


3

Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус r вписанной окружности


4

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус R описанной окружности


5

Площадь треугольника по формуле Герона

Полупериметр: 

Сторона a

Сторона b

Сторона c


6

Площадь произвольного треугольника по стороне и двум прилежащим углам

Сторона a

Угол β°

Угол α°


Для равнобедренных треугольников


7

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и основанию

Сторона a (a = b)

Сторона c


8

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Боковая сторона a (a = b)

Угол α° между боковыми сторонами


9

Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между ними

Боковая сторона a (a = b)

Основание треугольника c

Угол β° между основанием и стороной


10

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами

Основание треугольника c

Угол α° между боковыми сторонами


Для равносторонних треугольников


11

Площадь равнобедренного треугольника по высоте и основанию

Основание треугольника c

Высота h



12

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Сторона a (a = b = c)


13

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Высота h


14

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Радиус r вписанной окружности


15

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Радиус R описанной окружности


Для прямоугольных треугольников


16

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Катет a

Катет b


17

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол

Сторона c

Угол α


18

Площадь прямоугольного треугольника через катет и угол

Сторона b

Угол α


19

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Отрезок d

Отрезок e


20

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и вписанную окружность

Сторона с

Радиус r


21

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Полупериметр: 

Сторона a

Сторона b

Сторона c


Для вычисления площади треугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Выше приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь треугольника или проверить уже выполненные вычисления. Приведены общие формулы для всех типов треугольников, частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Наш калькулятор для вычисления площади поможет вам вычислить площадь разных видов треугольников или проверить уже выполненные вычисления.


В зависимости от вида треугольника и его известных исходных данных, площадь треугольника можно вычислить по различным формулам.


Таблица с формулами площади треугольника




Определения

Площадь треугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной тремя отрезками (сторонами), которые соединяют три точки (вершины), не лежащие на одной прямой.

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.


Скачать формулы площади треугольника в виде картинки


Квадрат. Формулы

Квадрат и окружность – две простые фигуры геометрии свойства которых должны знать все. Квадрат является частным случаем четырехугольников, прямоугольников, параллелограммов, ромбов, а отличается от них равными сторонами и прямыми углами.

Квадрат наиболее симметричная фигура среди всех четырехугольников.

Свойства квадрата

Свойства квадрата — это основные признаки которые позволяют распознать его среди прямоугольников, ромбов, четырехугольников:

  • В квадрата все стороны и углы равны AB=BC=CD=AD.
  • Противоположные стороны параллельны между собой
  • Углы между соседними сторонами прямые.
  • Диалонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали является одновременно биссектрисами углов квадрата.
  • Точка в которой пересекаются диагонали является центром квадрата, кроме этого — центром вписанной и описанной окружности.
  • Диагонали делят квадрат на четыре одинаковые равнобедренные прямоугольные треугольники .

Площадь квадрата

Больше примеров в школьном курсе при изучении квадрату связано с вычислением его площади и периметра. Вам может показаться что для вычисления площади достаточно знать одну формулу S=a*a и этого хватит для всех задач, однак это не так. Поскольку быстро информация воспринимается и изучается визуально, то мы объединили все величины квадрата которые Вам придется вычислять и нарисовали простые и понятные рисунки с формулами. Их без трудностей можете скачать по ссилке внизу статьи.

Большинство обозначений Вам понятна, но повторим их снова
a– сторона квадрата;
d– диагональ;
P– периметр;
S– площадь;
R– радиус описанной окружности;
r– радиус вписанной окружности;
l– отрезок изображен на рисунке (часто используется в сложных примерах).

Формулы площади квадрата которые приведены ниже дают возможность вычислять ее через периметр, сторону, диагонали, радиусы .






Они не слишком сложные и каждая из них может Вам пригодиться для вычисления площади квадрата.

Периметр квадрата

Что может быть проще вычисления периметра квадрата если конечно известно его стороны. Однако, если задана только диагональ, площадь, радиус то нахождение периметра не так очевидно. Приведенный ниже рисунок содержит самые необходимые формулы для вычисления параметра

Сами же формулы периметру от различных параметров квадрату привидены ниже






Диагональ квадрата

Диагональ квадрата может бить выражена через радиусы вписанной, описанной окружностей, сторону, периметр, площадь следующими формулам.






В качестве справочника формул диагонали квадрата можете использовать следующий рисунок.

Радиус описанной окружности

Простейшая для вычислений формула радиуса описанной окружности R=d/2, т.е. радиус равен половине диагонали квадрата. Все последующие формулы которые помогут определить радиус описанной окружности содержат корни, однако при вычислениях незаменимы.






Ниже изображен вспомогательный рисунок с приведенным всеми формулами.

Радиус вписанной окружности в квадрат

Радиус вписанной окружности из рисунка равный половине его стороны.

Также он равной одной восьмой части периметра. Зависимости для нахождения радиуса вписанной окружности через площадь, диагональ, радиус описанной окружности содержат иррациональности. Однако и в условиях примеров величины, известные для вычисления радиуса, как правило, заданны с корнями или такими которые легко упрощаются (например ).





Черновик-подсказка формул радиуса вписанной в квадрат окружности приведена ниже

Если же задано диаметр вписанной или описанной окружности то делим пополам (чтобы получить радиус) и можем применять в приведенных формулах. Это Вы думаю помните.

Бонус для всех школьников и студентов. Все цветные графики с формулами площади квадрата, его периметра, диагонали, радиусов вписанной и описанной окружности Вы можете скачать по ссылке внизу.
Распечатывайте формулы и пользуйтесь в обучении.

{jd_file file==18}

Понравился материал — поделись ссылкой с друзьями.

Посмотреть материалы:

{jcomments on}

8 класс. Геометрия. Площадь. Площадь треугольника и трапеции. — Формула Герона для нахождения площади треугольника.

Комментарии преподавателя

История формулы Герона

На данном уроке мы изучим формулу Герона, позволяющую вычислять площадь треугольника по его сторонам.

До этого мы умели вычислять площадь треугольника, зная его основание и высоту:  и катеты (для прямоугольного треугольника): . Формула Герона – это новая формула, которая связывает площадь треугольника и длины всех трёх его сторон.

Открыта эта формула была, по всей видимости, ещё Архимедом в  веке до н.э., но его доказательство не дошло до наших дней. А вот в «Метрике» Герона Александрийского ( век до н.э.) она есть.

Герона (см. Рис. 1) интересовали треугольники с целочисленными сторонами, площадь которых также является целым числом. Такие треугольники в его честь называют героновыми.

Простейший геронов треугольник – так называемый египетский треугольник (со сторонами 3, 4 и 5).

Рис. 1. Герон Александрийский (Источник)

Теорема

Площадь произвольного треугольника можно вычислить по формуле: , где  – полупериметр,  – длины сторон треугольника.

Доказательство

Рассмотрим призвольный треугольник  (пусть  – острые, напомним, что в треугольнике всегда есть хотя бы два острых угла). Обозначим в нём: . Проведём высоту , а также обозначим:  (см. Рис. 2.).

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Воспользуемся следствием из теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников :  (1), :  (2).

Приравняв правые части в формулах (1) и (2), получаем:

, откуда: . Так как  (3), то получаем:  (4).

 Сложим формулы (3) и (4):

.

Теперь вернёмся к формуле (1) и подставим в неё полученное выражение для :

.

Теперь вспомним, что полупериметр выражается формулой: . Отсюда: . Тогда преобразуем полученную формулу:

.

Отсюда высота равна: .

Запишем известную нам формулу для площади треугольника: .

Доказано.

Задача 1

Стороны треугольника равны . Найти высоты этого треугольника.

Доказательство

Рассмотрим треугольник . Проведём в нём высоты . Напомним, что все высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Формула Герона и её доказательство

Вычислим площадь треугольника с помощью формулы Герона.

.

Тогда площадь треугольника:

.

Теперь запишем формулу для площади треугольника через высоту:

.

Аналогично находим остальные высоты: , .

Ответ:.

Задачи на применение формулы Герона

Задача 2

Дан , его основание , боковые стороны  и  соответственно . Точка , лежащая внутри треугольника, находится на расстоянии  от стороны  и  от стороны . Найти расстояние от точки  до стороны  (см. Рис. 4).

Решение

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Рассмотрим треугольник : в нём – высота. Обозначим: . Тогда: .

Найдём площадь треугольника .

Для начала найдём площадь треугольника  через формулу Герона:

.

Теперь вычислим площадь треугольника : .

Площадь треугольника: : .

Теперь, учитывая следующее соотношение: , получаем: .

Теперь найдём расстояние от точки  до стороны : .

Ответ: .

ИСТОЧНИК

http://x-uni.com/geometriya/8-klass/video/formula-gerona-dlya-nahozhdeniya-ploschadi-treugolnika

http://www.youtube.com/watch?v=zp82OIuz93g

http://v.5klass.net/zip/823d1fb40b3ed49403a117ef8517c666.zip

http://kak-kak2.ru/img/605c9fb504028311913e985a5ea8d1e1.jpg

http://hijos.ru/2012/10/03/formula-gerona/

http://www.calc.ru/Formula-Gerona.html

 

 

геометрических формул и уравнений | Примеры, методы, таблица

Примечание: эта страница содержит устаревшие ресурсы, которые больше не поддерживаются. Вы можете продолжать использовать эти материалы, но мы можем поддерживать только наши текущие рабочие листы, доступные как часть нашего предложения членства.

Квадрат — это четырехугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами.

Для квадрата со стороной s:

Площадь квадрата = Сторона x Сторона = s 2 кв.ед.

Например, если у нас есть квадрат с одной стороной 6 см, его площадь будет рассчитана как:

Площадь = Сторона x Сторона = 6 x 6 = 36 см 2

Прямоугольник — это четырехугольник, равный противоположным сторонам и четырем прямым углам.

Площадь прямоугольника длиной « l » и шириной «b» равна l x b

Например, давайте рассмотрим прямоугольник длиной 8 см и шириной 7 см, как показано на рисунке ниже.

Треугольник — это многоугольник, состоящий из трех ребер и трех вершин. Вершины соединяются вместе, образуя три стороны треугольника. Площадь, занимаемая между этими тремя сторонами, называется площадью треугольника.

Площадь треугольника определяется как: 1/2 x b x h

Где b = основание треугольника (или любая сторона треугольника)

и

H = высота треугольника от основания (или стороны)

На следующем рисунке показаны основание и высота треугольника:

Приведенная выше формула применима независимо от того, является ли треугольник равнобедренным треугольником (имеющим разные стороны), равнобедренным треугольником (имеющим две равные стороны) или равносторонним треугольником (имеющим все стороны равными).

Давайте разберемся с этим подробнее на примере. Предположим, у нас есть треугольник с одной стороной 6 см и высотой 8 см на этом основании, как показано на следующем рисунке:

Площадь этого треугольника равна

.

1/2 x ширина x высота

Где b = 6 см и h = 8 см

Следовательно, Площадь = 1/2 x 6 x 8 = 24 см 2

Пространство, занятое кругом, называется его площадью.

Площадь круга, имеющего радиус «r» (расстояние от центра до точки на границе), определяется как πr 2 , где π = 22/7 или 3.14 (приблизительно)

Например, предположим, что у нас есть круг с радиусом 7 см, как показано на рисунке ниже.

Его площадь определяется по:

Площадь = πr 2 = (22/7) x 7 x 7 = 154 см 2

Предположим, что вместо радиуса нам дается диаметр круга, как мы вычисляем площадь?

Мы знаем, что радиус круга равен половине диаметра. Математически

r = d / 2, где «d» — диаметр, а «r» — радиус.

Итак, мы половину заданного диаметра и получаем радиус.

Пример

Предположим, нам нужно найти площадь круга диаметром 4,2 см.

Здесь диаметр (d) = 4,2 см

По соотношению между радиусом и диаметром r = d / 2.

Следовательно, r = 4,2 / 2 = 2,1 см

Теперь площадь этого круга = = πr 2 = (22/7) x 4,2 x 4,2 = 55,44 см 2

Длина, равная границе круга, называется его окружностью .Он задается как 2πr, где r — радиус. Другими словами, длина окружности равна периметру других геометрических фигур, таких как прямоугольник или квадрат.

Рассмотрим круг радиусом 7 см. Чтобы найти его окружность, нам нужно использовать формулу 2πr.

Следовательно, длина окружности этого круга = 2πr = 2 x (22/7) x 7 = 44 см.

Обратите внимание на единицы измерения периметра и площади. В то время как единицы площади всегда выражаются в квадратных единицах, в случае периметра они всегда выражаются в стандартных единицах длины, таких как м, см, дм, км и т. Д.

Многогранник, содержащий две пары совпадающих параллельных оснований, называется прямоугольной призмой. Считается призмой из-за ее поперечного сечения по длине. Основание прямоугольной призмы — прямоугольник. Он имеет три размера, как показано на рисунке ниже:

Объем прямоугольной призмы определяется как:

В = Д x Ш x В

Где

l = Длина основания призмы

w = ширина основания призмы

h = высота призмы

Например, у нас есть прямоугольная призма с длиной основания 6 см; ширина основания 5 см, высота 4 см.Тогда объем будет равен:

Объем (В) = Д x Ш x В

Где

l = 6 см, w = 5 см и h = 4 см

Объем = 6 х 5 х 4 = 120 куб. см

Не единицы объема. Объем любой геометрической фигуры всегда указывается в кубических единицах.

Количество (в любой форме), которое может удерживаться в цилиндре, называется его объемом. Другими словами, объем цилиндра — это занимаемое им пространство.Основание правого кругового цилиндра — это окружность на обоих концах, параллельная друг другу, как показано на рисунке ниже.

Объем правого кругового цилиндра определяется по:

Объем = Площадь его основания x Высота цилиндра

Поскольку основание — круг, его площадь определяется как πr 2

Следовательно, объем Правого Кругового Цилиндра равен πr 2 ч

Пример

Предположим, мы хотим найти объем правильного кругового цилиндра, радиус в основании которого равен 5 см, а высота цилиндра — 7 см.

На следующем рисунке показаны указанные размеры этого цилиндра.

Его объем определяется как πr 2 h = (22/7) x 5 x 5 x 7 = 550 куб. см

Конус — пирамида с круглым основанием. Его объем равен 1 / 3πr 2 ч, где «r» — радиус основания конуса, а «h» — его высота.

Предположим, мы хотим вычислить объем конуса радиусом 6 см и высотой 14 см.

Его объем можно определить как:

V = 1 / 3πr 2 h = (1/3) x (22/7) x 6 x 14 = 88 куб.см

Приведенные выше формулы можно резюмировать в таблице ниже

Формулы, перечисленные ниже, обычно требуются в геометрии для расчета длин, площадей и объемов. Вы можете использовать их, чтобы помочь детям с домашними заданиями по математике.

Список формул Обзор геометрической формулы

| Purplemath

Purplemath

Существует множество геометрических формул, которые связывают высоту, ширину, длину, радиус и т. Д. С периметром, площадью, площадью поверхности или объемом и т. Д.Некоторые формулы довольно сложны, и вы их почти никогда не видите, не говоря уже о том, чтобы их использовать. Но есть несколько основных формул, которые вам действительно стоит запомнить, потому что ваш инструктор может ожидать, что вы их знаете.

Например, очень легко найти площадь A прямоугольника: это просто длина l , умноженная на ширину w :

MathHelp.com

«Прямоугольник» в приведенной выше формуле — это нижний индекс, означающий, что найденная область « A » является областью прямоугольника. Поскольку я собираюсь обсудить формулу для различных форм площади, объема и т. Д., Я использую нижние индексы, чтобы прояснить форму, к которой относится конкретная формула (при использовании « A » для «площади», » SA «для» площади поверхности «,» P «для» периметра «и» V «для» объема «).Подстрочные символы такого рода могут быть полезным методом прояснения вашего смысла, поэтому постарайтесь держать это в уме для возможного использования в будущем.

Если вы посмотрите на изображение прямоугольника и вспомните, что «периметр» означает «длину по внешней стороне», вы увидите, что периметр прямоугольника P представляет собой сумму верхней и нижней длины l и длины ширина слева и справа w :

Квадраты еще проще, потому что их длина и ширина идентичны.Площадь A и периметр P квадрата со стороной s определяются по формуле:

Вы должны знать формулу площади треугольника; его легко запомнить, и он может неожиданно всплывать посреди словесных задач. Учитывая размеры основания b и высоты h треугольника, площадь треугольника A составляет:

Конечно, периметр P треугольника будет просто суммой длин трех сторон треугольника.


Вы должны знать формулу для длины окружности C и площади A окружности с учетом радиуса r :

(«π» — это число, приблизительно равное 3,14159 или дроби 22/7)

Помните, что радиус круга — это расстояние от центра до внешней стороны круга. Другими словами, радиус составляет половину диаметра. Если они дают вам длину диаметра, являющуюся длиной линии, проходящей через середину, проходящую через весь круг, тогда вам сначала нужно разделить это значение пополам, чтобы применить приведенные выше формулы.


Это все «плоские», двухмерные формы. Иногда вам придется иметь дело с объемными фигурами, например, кубиками или конусами. Для таких форм вы найдете площадь поверхности (если вы рисовали объект, это область, которую вам нужно было бы покрыть) и объем (внутреннее пространство, которое вы могли бы заполнить, если бы форма пустой).

Формула для объема V куба проста, так как длина, ширина и высота — одно и то же значение s :

Формула для площади поверхности (площади, которую вы бы измерили, если бы вам нужно было закрасить внешнюю сторону куба) тоже довольно проста, поскольку все стороны имеют одинаковую квадратную площадь s 2 .Имеется шесть сторон (верхняя, нижняя, левая, правая, передняя и задняя), поэтому площадь поверхности SA составляет:

Формулы немного усложняются для «прямоугольной призмы», технического термина, обозначающего кирпич. Объем V все еще довольно прост: длина умножена на ширину, умноженную на высоту:

.

Формула площади поверхности немного сложнее. (Постарайтесь следовать рассуждениям, которые я собираюсь использовать, потому что вы, вероятно, забудете формулу, но ее легко воссоздать, если вы просто потратите немного времени и подумаете над ней.) Верх и низ «кирпича» имеют одинаковую площадь: длина умножена на ширину. Левая и правая стороны кирпича имеют одинаковую площадь, равную ширине, умноженной на высоту. И передняя, ​​и задняя часть кирпича имеют одинаковую площадь, равную длине, умноженной на высоту. (Нарисуйте рисунок, обозначив размеры, если вы не уверены в этом.) Тогда формула для площади поверхности SA кирпича будет:

Цилиндры (похожие на трубки, но с крышками на концах) тоже иногда появляются.Объем цилиндра V прост: это площадь конца (которая является просто площадью круга), умноженная на высоту h :

.

Площадь поверхности SA — это площадь концов (которые представляют собой просто круги) плюс площадь стороны, которая равна длине окружности круга, умноженной на высоту h цилиндра:

В зависимости от класса, который вы изучаете, вам также может потребоваться формула для объема V конуса с радиусом основания r и высотой h :

…или объемом V сферы (шара) радиусом r :

Вы можете заметить, что в вашем домашнем задании или классных упражнениях появляются другие формулы. Возможно, вам придется запомнить эти другие формулы (их много!), Поэтому обязательно посоветуйтесь со своим инструктором перед тестом, чтобы узнать, какие из них вы должны знать.

Некоторые инструкторы предоставляют все геометрические формулы, поэтому в вашем тесте будет список всего, что вам может понадобиться.Но не все инструкторы таковы, и вы не можете ожидать, что каждый инструктор, каждый отдел или «общие», общекорпоративные или иным образом стандартизированные тесты предоставят вам всю эту информацию. Спросите своих инструкторов об их правилах, но помните, что наступает момент (средняя школа? SAT? ACT? Колледж? «Реальная жизнь»?), В котором вы должны будете выучить хотя бы некоторые из этих основных формул. Начни запоминать прямо сейчас!


URL: https: // www.purplemath.com/modules/geoform.htm

Формула геометрии

Добро пожаловать в область таблицы формул геометрии Math Salamanders.

Здесь вы найдете ряд различных формул геометрии для 2-х и 3-х фигур.

Здесь вы найдете нашу страницу поддержки о различных формулах геометрии, включая треугольники, круги, четырехугольники и многоугольники, а также трехмерные фигуры.Использование этих листов поможет вашему ребенку:
  • знать разные геометрические формулы;
  • применять ряд формул для решения проблем.

Все листы по математике в этом разделе соответствуют тестам по элементарной математике.

Для получения дополнительных формул геометрии треугольников, включая примеры, показывающие правила синуса и косинуса, используйте ссылку ниже.

Общая формула этого правила для n-стороннего правильного многоугольника:

Суммарные внутренние углы составляют (n-2) x 180 °

Каждый угол должен составлять 180 (n-2) ° / n

Взгляните на еще несколько наших рабочих листов, похожих на эти.

Здесь вы найдете ряд шпаргалок по геометрии, которые помогут вам ответить на ряд вопросов о геометрии.

Таблицы содержат информацию об углах, типах и свойствах двумерных и трехмерных фигур, а также общие формулы, связанные с двумерными и трехмерными фигурами.

На этой странице находятся:

  • изображений обычных 2D и 3D форм;
  • свойств 2D и 3D форм;
  • формул, включающих двумерные формы, такие как площадь и периметр, теорема Пифагора, законы тригонометрии и т. Д .;
  • формул, включающих трехмерные фигуры об объеме и площади поверхности.

Использование листов в этом разделе поможет вам понять и ответить на ряд вопросов о геометрии.

Здесь вы найдете список различных геометрических фигур.

К каждой форме прилагается небольшое изображение и описание свойств. форма имеет и как она соотносится с другими формами.

На этой странице представлены следующие формы:

  • треугольников
  • четырехугольников
  • правильных многоугольников
  • неправильные многоугольники
  • набор 3D фигур

Все печатные листы геометрии в этом разделе поддерживают Тесты по элементарной математике.

Здесь вы найдете наш ассортимент бесплатных сетей для трехмерных фигур.

Следующие печатные формы содержат сети распространенных трехмерных фигур. что ваш ребенок должен знать. Доступен каждый сетчатый лист как с язычками, так и без них для облегчения склеивания.

Использование этих листов поможет вашему ребенку:

  • знать свойства различных трехмерных форм;
  • распознает разные 2D-формы внутри 3D-фигур;
  • построить трехмерную фигуру из сетки;
  • распознает трехмерные формы в разных ориентациях и размерах;
  • испытайте удовольствие и чудо создания трехмерной формы из сети.

Саламандры по математике надеются, что вам понравятся эти бесплатные распечатываемые рабочие листы по математике. и все другие наши математические игры и ресурсы.

Мы приветствуем любые комментарии о нашем сайте или рабочие листы в поле комментариев Facebook внизу каждой страницы.


Уголки четырехугольные

Углы в четырехугольнике в сумме составляют 360 °

а + б + в + г = 360 °

Углы в прямоугольнике

Все углы в прямоугольнике прямые (равны 90 °).

Площадь и периметр прямоугольника

Площадь прямоугольника

= а х б

Периметр прямоугольника

= 2a + 2b

, где a и b — длины двух соседних сторон.

Углы в параллелограмме

Углы в параллелограмме

противоположных угла равны (противоположные стороны также равны).

Кроме того, поскольку 2a + 2b = 360 °, это означает, что a + b = 180 °.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма

= b x h = bh

, где b — длина основания, а h — высота перпендикуляра параллелограмма.

Окружность круга

Окружность круга — это расстояние по всей окружности внешняя сторона круга или периметр круга.

Окружность круга

= 2πr или πd

где r — радиус круга, а d — диаметр круга.

Площадь круга

Площадь круга

= πr 2

где r — радиус окружности.

Длина дуги окружности

Длина L дуги окружности составляет:

где θ — угол (в градусах), а r — радиус.

Площадь дуги окружности

Площадь A дуги окружности:

где θ — угол (в градусах), а r — радиус.

Треугольник по полукругу

Треугольник, нарисованный внутри круга, одна сторона которого проходит по диаметру, и две другие стороны встречаются в любой точке на краю круга. всегда будет под прямым углом.

Треугольник всегда будет прямоугольным.

Кубики

Объем куба:

= а х а х а = а 3

Площадь куба:

= 6a 2

, где a — длина каждой стороны.

Кубоид

Объем кубоида:

= длина x ширина x высота = lwh

Площадь кубоида:

= 2lw + 2wh + 2lh

Сфера

Объем шара:

знак равно 4 / 3 πr 3

Площадь поверхности шара:

= 4πr 2

где r — радиус сферы.

Цилиндр

Объем цилиндра

= πr 2 ч

Площадь открытого цилиндра:

= 2πrh

Площадь закрытого цилиндра:

= 2πrh + 2πr 2 = 2πr (r + h)

где r — радиус цилиндра, h — высота.

Конус

Объем конуса

где r — радиус самой широкой части конуса, а h — высота конуса.

Площадь конуса (включая основание):

= πr 2 + πrs

Площадь конуса (без основания):

= πrs

Квадратная пирамида
(квадратная пирамида)

Объем квадратной пирамиды

Площадь квадратной пирамиды (включая основание):

= b 2 + 2bs

Площадь квадратной пирамиды (без основания):

= 2bs

, где b — длина одной стороны основания, h — вертикальная высота пирамиды, а s — наклонная высота одного из треугольников.

Пирамида (общая)

Объем пирамиды

= 1 3 (площадь основания x высота) = 1 3 Ач

где A — площадь основания, а h — высота.

Эта формула работает для любой пирамиды с прямоугольным или треугольным основанием и треугольными сторонами.

Все формулы геометрии GMAT, которые вам нужно знать • PrepScholar GMAT

Если вы похожи на меня, вы, вероятно, провели много времени в старшей школе, запоминая разницу между синусом и косинусом и вздыхая над длинными, многоступенчатыми доказательствами, только чтобы забыть все эти с трудом заработанные знания в ту секунду, когда классы уволили на перерыв.

Если вы забыли много школьных правил геометрии или просто хотите освежить свои знания перед сдачей GMAT, то вы нашли нужную статью. В этой статье я дам вам исчерпывающий обзор геометрии GMAT.

Во-первых, я расскажу о том, что и сколько на самом деле геометрии на GMAT. Далее я дам вам обзор наиболее важных формул и правил геометрии GMAT, которые вам необходимо знать. Затем я покажу вам четыре типовых вопроса о геометрии и объясню, как их решать.Наконец, я расскажу о , как изучать геометрию, с которой вы столкнетесь на GMAT, и дам вам советы, как пройти тестовый день.

Геометрия GMAT: чего ожидать

Если вы чувствуете, что забыли многое из геометрии, которую выучили в старшей школе, не волнуйтесь. GMAT охватывает только часть геометрии, которую вы, вероятно, изучали в средней школе. В следующем разделе я расскажу о концепциях геометрии, которые вы действительно найдете в GMAT.

Вы найдете концепции геометрии как в вопросах достаточности данных, так и в вопросах решения проблем. Вопросы о геометрии составляют чуть менее четверти всех вопросов в секции количественного анализа GMAT. Как и в случае со всеми вопросами по GMAT, вам не нужно просто уметь применять принципы геометрии изолированно. Вам нужно будет уметь сочетать свои знания геометрии со знанием других концепций (например, числовых свойств), чтобы получить правильный ответ. Я расскажу больше о том, что это на самом деле означает, когда я отвечу на некоторые примеры вопросов по геометрии.

Не знаете, как и что изучать? Не знаете, как улучшить свой результат в кратчайшие сроки? Мы создали единственную онлайн-программу подготовки к GMAT, которая определяет ваши сильные и слабые стороны, настраивает учебный план, обучает вас на уроках и викторинах и адаптирует ваш учебный план по мере вашего совершенствования.

Мы считаем, что PrepScholar GMAT — это лучшая доступная программа подготовки к GMAT , особенно если вам сложно организовать свой учебный график и вы не хотите тратить кучу денег на универсальное исследование других компаний. планы.

Как я упоминал ранее, GMAT охватывает только часть геометрии, которую вы изучали в средней школе. Как и в случае с остальной частью раздела GMAT Quant, вам нужно только знать, как применять школьные геометрические концепции, что может стать облегчением для некоторых тестируемых.

К сожалению, в отличие от некоторых других стандартизированных тестов (например, SAT), GMAT не предоставляет вам никаких формул. Вам нужно будет запомнить все формулы и правила, которые вам нужно знать для теста.

В следующем разделе я расскажу вам о наиболее важных правилах и формулах, которые вам нужно знать, чтобы ответить на вопросы о решении геометрических задач и о достаточности данных.

Самые важные геометрические формулы и правила GMAT

Хорошая новость о геометрии GMAT заключается в том, что вам не нужно освежить в памяти целый ряд тем, чтобы преуспеть. Плохая новость о геометрии GMAT заключается в том, что вам придется запоминать все правила и формулы, которые вам нужно знать для теста, потому что в день теста вам не будут даны никакие правила. Вы также не можете приносить с собой какие-либо вспомогательные средства, чтобы помочь вам с экзаменом.

В этом разделе я расскажу об основных формулах и правилах геометрии GMAT, которые вам следует изучить и запомнить при подготовке к экзамену.

Линии и углы

  • Линия — это одномерная абстракция, которая продолжается вечно.
  • Любые две точки проходят через одну прямую (только одну!).
  • Линейный участок — это сегмент прямой, имеющий две конечные точки.Средняя точка — это точка, которая делит отрезок линии на две равные части.
  • Две прямые параллельны, если они лежат в одной плоскости и никогда не пересекаются. Две прямые перпендикулярны, если они пересекаются под углом 90 °.

  • Угол образуется, когда две прямые пересекаются в точке. Эта точка называется вершиной угла.
  • Углы измеряются в градусах (°).
  • Острый угол — это угол, градус которого меньше 90 °.
  • Градус прямого угла равен точно 90 °.
  • Степень тупого угла больше 90 °.
  • Градус прямого угла составляет 180 °.

  • Сумма углов на прямой составляет 180 °.
  • Сумма углов вокруг точки (составляющих круг) составляет 360 °.
  • Два угла являются дополнительными, если их суммы составляют прямой угол.
  • Два угла дополняют друг друга, если их суммы составляют прямой угол.

  • Вертикальные углы — это противоположные углы, образованные двумя пересекающимися отрезками прямых.
  • Прямая или отрезок делит угол пополам, если он разделяет угол на два меньших равных угла.
  • Вертикальные углы — это пара противоположных углов, образованных пересекающимися прямыми углами. Два угла в паре вертикальных углов имеют одинаковую градусную меру.

Треугольники

  • Треугольник — это замкнутая фигура с тремя углами и тремя прямыми сторонами.
  • Сумма внутренних углов треугольника равна 180 °.
  • Каждый внутренний угол является дополнительным к соседнему внешнему углу. Вместе они равны 180 °.
  • Формула для определения площади треугольника: $ ½bh $.

  • Равнобедренный треугольник имеет две стороны равной длины.

  • Равносторонний треугольник имеет три равные стороны и три угла в 60 °.

  • Есть два вида специальных прямоугольных треугольников:
    • Равнобедренные прямоугольные треугольники имеют соотношение сторон 1: 1: $ √2 $.
    • Треугольники
    • 30 ° 60 ° 90 ° имеют отношение сторон 1: $ √3 $: 2.
  • Прямоугольный треугольник имеет внутренний угол 90 °. Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой, и это самая длинная сторона треугольника.2
  • долл. США
  • Два треугольника подобны, если их соответствующие углы имеют одинаковый градус.
  • Два треугольника конгруэнтны, если соответствующие углы имеют одинаковую длину. и соответствующие стороны имеют одинаковую длину.

Круги

  • Диаметр круга — это отрезок прямой, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности.
  • Радиус — это отрезок прямой от центра круга до любой точки на нем.2 $.

Полигоны

  • Многоугольник — это замкнутая фигура, стороны которой состоят из отрезков прямых линий.
  • Периметр многоугольника — это расстояние вокруг многоугольника (сумма длин всех его сторон).
  • Сумма четырех внутренних углов четырехугольника составляет 360 °.
  • Площадь прямоугольника: $ l $$ w $
  • Площадь параллелограмма: $ b $$ h $

  • Площадь трапеции: 1/2 (a + b) h
  • $

Твердые

  • Цилиндр — это твердое тело, горизонтальное сечение которого представляет собой круг.
  • Объем цилиндра: $ Bh $, где $ B $ — площадь основания.
  • Площадь основания цилиндра:? R 2 (поскольку, помните, цилиндр имеет круглое поперечное сечение)
  • Куб — это твердое тело прямоугольной формы, все грани которого являются квадратами.
    • Объем куба: $ Bh $, где $ B $ — площадь основания.
  • Прямоугольное твердое тело — это твердое тело с шестью прямоугольными гранями.
    • Объем прямоугольного твердого тела: $ lwh $

Координатная геометрия

  • Наклон линии показывает, насколько круто эта линия идет вверх или вниз по координатной плоскости.
    • $ наклон $ = $ рост $ / $ бег $
    • $ наклон = изменение $ y $ / изменение $ x
  • Подъем — это разница между значениями $ y $ -координаты двух точек на линии; пробег — это разница между значениями x-координаты двух точек на линии.
  • Вы также можете найти наклон прямой с помощью уравнения пересечения наклона, которое имеет вид $ y = mx + b $, где наклон равен $ m $, а $ b $ — это значение $ y $ — перехватить.
  • Перпендикулярные линии имеют наклон, обратный друг другу.
  • Чтобы определить расстояние между любыми двумя точками на координатной плоскости, вы можете использовать теорему Пифагора.

4 совета по вопросам геометрии GMAT

Даже самые подготовленные тестируемые могут испытывать сильное беспокойство в день экзамена. Следуйте этим советам, чтобы повысить свой результат и помочь вам справиться с сложными вопросами по геометрии GMAT.

# 1: Используйте то, что вы знаете

Отвечая на все вопросы по геометрии GMAT, начните с определения того, что вы знаете и что вам нужно выяснить. Используйте информацию в вопросе и на любых диаграммах, чтобы лучше понять фигуру. Например, если вы знаете, что размер двух разных углов в треугольнике составляет 60 градусов и 80 градусов, соответственно, вы можете использовать то, что вы знаете, чтобы вычислить размер третьего угла. Чем больше у вас информации, тем больше вы сможете выяснить.

№ 2: Ищите взаимосвязи в вопросах с несколькими фигурами

Если на схеме присутствует более одной распознаваемой формы, между ними существует связь. Посмотрите, что одна из фигур говорит вам о другой. Возможно, диагональ квадрата такая же, как радиус круга. Или высота одного треугольника — гипотенуза другого. Какой бы ни была связь, это, вероятно, ключ к ответу на вопрос.

№ 3: Не предполагайте, что чертежи соответствуют масштабу

Вы не можете рассчитывать на то, что диаграммы на GMAT соответствуют масштабу. Если вы предполагаете, что фигура представляет собой квадрат, а на самом деле прямоугольник, вы можете совершить большие ошибки в своих вычислениях. Используйте только информацию, предоставленную вам на диаграмме или в самом вопросе. Никогда не предполагайте ничего такого, что вы не можете рассудить с помощью холодной и сложной математики.

# 4: Создайте свою собственную диаграмму

Если вы решаете вопрос, связанный с фигурой, но тест не дает вам диаграммы, создайте свою собственную. Создание собственной диаграммы поможет вам лучше визуализировать вопрос.Вы также можете перерисовать диаграмму на своем макулатуре, даже если тест предоставляет вам диаграмму для просмотра. Иногда повторное рисование диаграммы поможет вам лучше понять фигуру, чтобы вам было легче решить проблему.

Вопросы по геометрии GMAT

Одна из самых важных частей подготовки к GMAT — это практика решения реальных вопросов GMAT. Решение реальных вопросов по геометрии GMAT поможет вам подготовиться к тому содержанию, которое вы действительно увидите на тесте.В этом разделе я расскажу вам о четырех реальных типовых вопросах GMAT, в которых используются концепции геометрии: два вопроса о решении проблем и два вопроса о достаточности данных.

Решение проблем Пример вопроса 1

Прямоугольный пол размером 8 на 10 метров должен быть покрыт ковровыми покрытиями размером 2 на 2 метра каждый. Если ковровые квадраты стоят 12 долларов за штуку, какова общая стоимость количества ковровых квадратов, необходимых для покрытия пола?

  1. $ 200
  2. $ 240
  3. 480 долл. США
  4. $ 960
  5. $ 1920

Для начала, поскольку в этой задаче нет диаграммы, мы хотим нарисовать свою собственную на бумаге для вырезок.Составление собственной диаграммы поможет вам лучше представить себе проблему. Итак, нарисуйте прямоугольник и обозначьте стороны «8 м» и «10 м», поскольку мы знаем это из задачи.

Теперь давайте сделаем шаг назад и подумаем, о чем нам задает вопрос. Он просит выяснить, сколько стоит покрыть пол ковровыми покрытиями. Когда вы покрываете пол квадратами ковра, вам нужно покрыть всю площадь пола. Итак, наш следующий шаг — найти местность.

Мы знаем, что формула площади прямоугольника равна $ a = lw $.2 = 20 $ общих квадратов ковра, необходимых для покрытия пола.


Хотите определить сильные и слабые стороны ВАШЕГО GMAT?

Наш патентованный тест GMAT Diagnostic Assessment создает для вас индивидуальный план обучения, который проведет вас от регистрации до тестового дня! Он включен в каждую учетную запись, и доказали, что значительно увеличивают ваш счет .

Получите индивидуальную оценку в рамках 5-дневной безрисковой пробной версии:


Стоимость каждого квадрата ковра составляет 12, поэтому на последнем этапе мы умножим 20 (необходимое количество квадратов ковра) на 12 (стоимость квадратного ковра), чтобы получить в сумме 240 долларов.

Правильный ответ — Б.

Решение проблем Пример вопроса 2

На рисунке выше показан путь вокруг треугольного участка земли. Мэри прошла расстояние в 8 миль от $ P $ до $ Q $, а затем прошла расстояние в 6 миль от $ Q $ до $ R $. Если Тед прошел прямо от $ P $ до $ R $, на какой процент пройденное Мэри расстояние превышало расстояние, которое прошел Тед?

  1. 30%
  2. 40%
  3. 50%
  4. 60%
  5. 80%

Как всегда, давайте начнем с того, что выясним, о чем нас спрашивает.Он просит нас сравнить расстояние, которое прошла Мэри, с расстоянием, которое прошел Тед. Для этого нам нужно сначала выяснить, как далеко они на самом деле прошли.

Довольно легко определить, как далеко прошла Мэри. Мы можем просто добавить 8 + 6. Мэри прошла 14 миль.

Сложнее определить, как далеко прошел Тед. Обратите внимание, что диаграмма имеет форму прямоугольного треугольника. Это говорит нам о том, что мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину прогулки Теда, которая на самом деле является недостающей стороной этого треугольника.2 $. Затем мы можем найти квадратный корень из 100, который равен 10. Итак, $ PR = 10mi $.

Итак, мы знаем, что Мэри прошла 14 миль, а Тед прошел 10 миль. Следовательно, расстояние, которое прошла Мэри, превышало расстояние, которое прошел Тед, на 4 мили (14–10 = 4 доллара). 4 составляет 40% от 10, поэтому правильный ответ — B. Мэри превысила расстояние, которое прошел Тед, на 40%.

Пример вопроса 1 о достаточности данных

На рисунке выше точка D находится на переменном токе. Какова степень $ \ angle ∠ {BAC} $ в градусах?

  1. НМТ составляет 60 °.
  2. Градусная мера BAC меньше градусной меры $ \ angle ∠ {BCD} $.
  1. ТОЛЬКО утверждения (1) достаточно, но одного утверждения (2) недостаточно.
  2. ТОЛЬКО утверждения (2) достаточно, но одного утверждения (1) недостаточно.
  3. ОБЕИХ утверждений ВМЕСТЕ достаточно, но НИ ОДНОГО утверждения НЕОБХОДИМО.
  4. КАЖДОГО оператора ОДНОГО достаточно.
  5. Заявлений (1) и (2) ВМЕСТЕ НЕ достаточно.

Этот вопрос просит нас определить меру внутреннего угла треугольника. Что касается вопросов о достаточности данных, мы всегда хотим сначала обращаться к каждому утверждению отдельно. Начнем с утверждения (1).

В заявлении

(1) указано, что угол BDC составляет 60 градусов. Поскольку мы знаем, что $ \ angle ∠ {BDC} $ находится на прямой, мы знаем, что примыкающий к нему угол ($ \ angle ∠ {BDA} $) может быть добавлен к $ \ angle ∠ {BDC} $, чтобы он равнялся 180 °. Итак, мы можем найти меру угла BDA, используя уравнение: $ 180 — 60 $ = $ \ angle ∠ {BDA} $.Следовательно, мы знаем, что мера $ \ angle ∠ {BDA} $ равна 120 °.

Далее мы знаем, что все углы внутри треугольника составляют в сумме 180 °. Поскольку теперь мы знаем меру угла BDA (120) и меру $ \ angle ∠ {ABD} $ (20), мы можем найти третий угол в этом треугольнике, используя уравнение 180 — (20 + 120) = $ \ angle ∠ {BAC} $. Итак, утверждения (1) достаточно. Теперь мы можем исключить ответ B и ответить E.

Теперь перейдем к утверждению (2). Мы хотим сначала забыть все, что мы знаем об утверждении (1), и обратиться к оператору (2) отдельно.

Утверждение говорит нам, что градусная мера $ \ angle ∠ {BAC} $ меньше градусной меры $ \ angle ∠ {BCD} $. Однако у нас недостаточно информации, чтобы выяснить, какова на самом деле мера любого угла. Итак, утверждения (2) недостаточно.

Тогда правильный ответ — A; одного утверждения (1) достаточно.

Пример вопроса 2 о достаточности данных

Какое на рисунке выше значение $ z $?

  1. $ x = y = 1 $
  2. $ w = 2
  3. $
  1. ТОЛЬКО утверждения (1) достаточно, но одного утверждения (2) недостаточно.
  2. ТОЛЬКО утверждения (2) достаточно, но одного утверждения (1) недостаточно.
  3. ОБЕИХ утверждений ВМЕСТЕ достаточно, но НИ ОДНОГО утверждения НЕОБХОДИМО.
  4. КАЖДОГО оператора ОДНОГО достаточно.
  5. Заявлений (1) и (2) ВМЕСТЕ НЕ достаточно.

Помните, что при решении вопросов о достаточности данных вам нужно сначала рассматривать каждое утверждение отдельно. Также имейте в виду, что вы не можете предполагать, что какие-либо диаграммы даны в масштабе.У вас может возникнуть соблазн сказать, что изображенный на картинке треугольник — это равнобедренный прямоугольный треугольник, но вы не можете так предположить. Имея в виду все это, давайте посмотрим на утверждение (1).

Утверждение (1) говорит, что $ x = y = 1 $. Это означает, что и $ x $, и $ y $ = 1. Можем ли мы использовать это, чтобы найти значение z?

Ну, мы знаем, что значение z равно 1 + значение основания прямоугольного треугольника. В задаче нет информации, которая могла бы сказать нам, каково значение основания прямоугольного треугольника.Итак, значение базы может меняться, поэтому значение $ z $ может меняться.

Это означает, что утверждения (1) само по себе недостаточно.

Теперь давайте сначала рассмотрим утверждение (2). Утверждение (2) говорит, что $ w = 2 $. Однако, хотя мы знаем, что $ w = 2 $, мы ничего не знаем об остальных сторонах. Это означает, что все остальные стороны могут меняться, поэтому z тоже может меняться. Утверждения (2) также недостаточно.

Теперь давайте вместе рассмотрим эти два утверждения.

Взяв (1) и (2) вместе, мы знаем, что $ z = y + (z — y) $ [основание треугольника].2 $. Поскольку у нас есть только одна переменная в уравнении, мы можем решить для z.

Вам не нужно решать вопрос о достаточности данных. Вам нужно только знать, что вы можете! Итак, поскольку мы знаем, что можем решить вопрос, используя оба утверждения, правильный ответ — C. Оба утверждения вместе достаточно.

Как изучать геометрию на GMAT

Подготовка к GMAT может показаться утомительной, потому что нужно проверять много материала.Хорошая новость в том, что составление хорошо продуманного учебного плана поможет вам в достижении ваших целей. Вот несколько советов по геометрии для GMAT.

# 1: Используйте высококачественные практические материалы

Лучший способ подготовиться к GMAT — использовать настоящие вопросы по геометрии GMAT в процессе подготовки. вопросов по реальной геометрии GMAT будут моделировать стиль и содержание GMAT. Например, вам придется использовать более одного навыка в вопросе или вы попрактикуетесь в использовании своих геометрических навыков в вопросах достаточности данных, которые являются уникальными для GMAT. Использование таких ресурсов, как GMATPrep или Официальное руководство GMAT, предоставит вам доступ к реальным, устаревшим вопросам GMAT.

Как вы могли заметить из наших практических вопросов, вы редко встретите простой вопрос в GMAT, который просто просит вас использовать свои навыки геометрии. Вам, вероятно, придется объединить свои знания геометрии со знанием арифметики, числовых свойств или соотношений… или всего вышеперечисленного! Отработка вопросов в стиле GMAT (настоящие, устаревшие вопросы GMAT, если вы можете их получить) даст вам возможность использовать несколько навыков в одном вопросе.

# 2: Запомните важные формулы

Как я уже упоминал, вы не сможете использовать шпаргалку по формулам на GMAT. Вы запомните все формулы, которые вам понадобятся в день экзамена. Использование карточек — отличный способ пополнить свои знания, чтобы вы могли быстро вспомнить и использовать важные формулы в день экзамена.

Что дальше?

Вы прочитали все о формулах, которые необходимо знать для геометрии GMAT. Вы готовы их освоить? Использование карточек может стать отличным способом улучшить вашу память.Прежде чем приступить к работе с карточками, ознакомьтесь с нашим полным руководством по карточкам GMAT, чтобы узнать о лучших карточках GMAT и о том, как лучше всего учиться с карточками.

Чувствуете, что освоили геометрию GMAT? Ищете новый вызов в своем стремлении к абсолютному преобладанию квантов GMAT? Ознакомьтесь с нашим руководством по GMAT: вероятность овладения новым типом математики GMAT.

Вас совсем сбивают с толку вопросы практики достаточности данных? Если так, не волнуйтесь. Вопросы о достаточности данных могут показаться странными, но наше полное руководство по достаточности данных на GMAT разберет все, что вам нужно знать, чтобы справиться с этим типом вопросов.

Было ли это полезно?

Подпишитесь на БЕСПЛАТНЫЕ гиды GMAT и MBA!

Связанные

Amazon.com: Печать формул плоской геометрии, Печать репродукций с геометрическими уравнениями для любителей математики и классных комнат: изделия ручной работы



Настраиваемый

Настроить сейчас Настроить сейчас

Что-то пошло не так.Пожалуйста, попробуйте еще раз.

Что-то пошло не так. Пожалуйста, попробуйте еще раз.

Этот плакат по математике включает 15 различных плоских геометрий от прямоугольника до круга, от конуса до тетраэдра. Каждая форма создана с математической точностью. Мы закодировали каждую форму цветом, чтобы выделить их, и считаем, что она выглядит великолепно. Вот формы, которые вы найдете на этом отпечатке:

  • Квадрат
  • Прямоугольник
  • Параллелограмм
  • Ромб
  • Трапеция
  • Треугольник Масштаба
  • Равносторонний треугольник
  • Прямой треугольник
  • Пятиугольник
  • Полукруг
  • Кольцо / кольцевое пространство
  • Сектор круга
  • Эллипс

ДЕТАЛИ ДЛЯ ПЕЧАТИ
  • Размеры, которые мы предлагаем, указаны в технических характеристиках продукта ниже.Все наши отпечатки включают белую кайму 1/4 дюйма для обрамления или матирования.
  • Готова к установке в раму стандартных размеров, которую можно найти в IKEA, Walmart или любом магазине обрамления.
  • Отпечатки имеют разрешение 300 точек на дюйм. Это обеспечивает очень четкие буквы, яркие и живые цвета. Ваши отпечатки будут устойчивы к выцветанию в течение очень долгого времени, если вы не будете подвергать их воздействию прямых солнечных лучей.
  • Отпечатки: без матирования и без рамки .
h3.default { цвет: # CC6600; размер шрифта: средний; маржа: 0 0 0.25em; } #productDescription_feature_div> h3.books { цвет: # 333! важно; размер шрифта: 21px! важно; высота строки: 1,3; padding-bottom: 4px; шрифт: нормальный; маржа: 0px; } #productDescription_feature_div> h3.softlines { цвет: # 333! важно; размер шрифта: 21px! важно; высота строки: 1,3; padding-bottom: 4px; font-weight: жирный; маржа: 0px; } #productDescription> p, #productDescription> div, #productDescription> table { маржа: 0 0 1em 0; } #productDescription p { маржа: 0em 0 1em 1em; } #productDescription h4 { шрифт: нормальный; цвет: # 333333; размер шрифта: 1.23em; ясно: слева; маржа: 0.75em 0px 0.375em -15px; } #productDescription table { граница-коллапс: наследование! важно; нижнее поле: 0; } #productDescription table img { максимальная ширина: наследовать! важно; } #productDescription table td { размер шрифта: маленький; вертикальное выравнивание: наследование! важно; } #productDescription ul li { маржа: 0 0 0 20 пикселей; } #productDescription ul li ul { тип-стиль-список: disc! important; маржа слева: 20 пикселей! важно; } #productDescription ul ul li { тип-стиль-список: disc! important; маржа слева: 20 пикселей! важно; } #productDescription> ul ul li { тип-стиль-список: disc! important; } #productDescription ul li ul li { маржа: 0 0 0 20 пикселей; } #Описание товара .aplus p { маржа: 0 0 1em 0; } #productDescription small { размер шрифта: меньше; } # productDescription.prodDescWidth { максимальная ширина: 1000 пикселей } ]]>

Формулы для вопросов о геометрии в тесте количественного мышления GRE®

Плоскость XY \ (Ах + В = С \) A, B, C = любое действительное число
y = зависимая переменная
x = независимая переменная
Стандартная форма
Плоскость XY \ (у = mx + b \) y = зависимая переменная
m = наклон
x = независимая переменная
b = точка пересечения оси y
Форма пересечения наклона:
Попробуйте преобразовать
любое заданное линейное уравнение
в этот формат
. 2 + Ax + By + C = 0 \)
x, y = переменные
A, B, C = константы
Общая форма
окружности
Круги \ (С = 2 \ пи г = \ пи д \) C = периметр окружности
r = радиус
d = диаметр
\ (\ pi \) = 3.2 \)
A = Площадь круга
r = радиус
Прямоугольные
Призмы
\ (V = l \ cdot w \ cdot h \) V = Объем прямоугольной призмы
l = длина
w = ширина
h = высота
Прямоугольные
Призмы
\ (SA = \ Sigma A_ {fi} \) SA = Площадь поверхности призмы
\ (A_ {fi} \) = Площадь грани i
Пирамиды \ (V = \ frac {1} {3} (lwh) \) V = Объем пирамиды
l = длина
w = ширина
h = высота
Пирамиды \ (SA = \ Sigma A_ {fi} \) SA = Площадь поверхности пирамиды
\ (A_ {fi} \) = Площадь грани i
Круглые
Цилиндры
\ (V = \ pi r ^ 2 h \) V = Объем цилиндра
r = радиус
h = высота
Круглые
Цилиндры
\ (SA = 2B + C \ cdot h \) SA = Площадь поверхности цилиндра
B = Площадь основания
C = Окружность основания
h = высота
Сферы \ (V = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 \) V = Объем сферы
r = радиус
Сферы \ (SA = 4 \ pi r ^ 2 \) SA = Площадь поверхности сферы
r = радиус сферы

Формулы геометрии для классов 12, 11, 10, 9, 8 — Learn Cram

Основные геометрические формулы

  • Периметр квадрата = P = 4a

Где a = длина сторон квадрата

  • Периметр прямоугольника = P = 2 (l + b)

Где l = длина; b = ширина

  • Площадь квадрата = A = a 2

Где a = длина сторон квадрата

  • Площадь прямоугольника = A = l × b

Где l = длина; b = ширина

  • Площадь треугольника = A = ½ × b × h

Где, b = основание треугольника; h = высота треугольника

  • Площадь трапеции = A = ½ × (b 1 + b 2 ) × h

Где, b1 и b2 — основания трапеции; h = высота трапеции

  • Площадь круга = A = π × r 2
  • Окружность круга = A = 2πr

Где, r = радиус окружности

  • Площадь поверхности куба = S = 6a 2

Где, a = длина сторон куба

  • Площадь криволинейной поверхности цилиндра = 2πrh
  • Общая площадь цилиндра = 2πr (r + h)
  • Объем цилиндра = V = πr 2 ч

Где, r = радиус основания цилиндра; h = Высота цилиндра

  • Площадь криволинейной поверхности конуса = πrl
  • Общая площадь поверхности конуса = πr (r + l) = πr [r + √ (h 2 + r 2 )]
  • Объем конуса = V = ⅓ × πr 2 ч

Где, r = радиус основания конуса, h = высота конуса

  • Площадь поверхности сферы = S = 4πr 2
  • Объем сферы = V = 4/3 × πr 3

Где, r = Радиус сферы

Геометрические формулы

Получите общие формулы геометрии для классов 8–12 для различных форм и фигур.Студенты могут бесплатно скачать шпаргалку по геометрическим формулам в формате PDF.

Часто задаваемые вопросы по формулам геометрии

1. Где взять все формулы Геометрии?

Формулу геометрии для классов 12, 11, 10, 9, 8 можно получить на нашей странице. Воспользуйтесь доступными здесь быстрыми ссылками в формате PDF и узнайте формулы для всех тем.

2. Вы можете дать несколько важных формул по геометрии?

Учащиеся с 8 по 12 классы найдут здесь информацию, относящуюся к основным и важным формулам геометрии, которая поможет вам получить более высокие оценки на экзамене.

3. Как скачать PDF формулы классовой геометрии?

Просмотрите прямые ссылки, доступные на нашей странице, коснитесь их, чтобы просмотреть или загрузить формулы геометрии для соответствующего класса. Все они организованы по классам, что может быть весьма кстати, чтобы улучшить вашу подготовку.

Заключение

Мы желаем, чтобы информация о формулах геометрии была полезной для вас.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.