Как из треугольника двумя отрезками сделать пятиугольник: как разделить треугольник, двумя отрезками, что бы вышел один пятиугольник, один

Разное

Содержание

Как понять Геометрию? Основы с нуля

Идеальные объекты

Геометрия — раздел математики, который изучает пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Основные геометрические объекты: окружность, квадрат, ромб, прямоугольник, равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник, правильный многоугольник, эллипс и другие.

Все эти фигуры обладают двумя свойствами:

симметрия
равенство или подобие составных частей.

Равенство частей можно заметить у квадрата, ромба или равностороннего треугольника — равенство сторон. Также у них есть одна или несколько линий симметрии.

У шара бесконечное количество осей симметрии и плоскостей симметрии, но отсутствует равенство или подобие составных частей.

Все типы правильных многогранников обладают симметрией, при этом составлены из некоторого количества одинаковых фигур (треугольников, квадратов, пятиугольников).

Из всего этого можно сделать вывод, что отличить правильную геометрическую фигуру от произвольной совсем не сложно. Достаточно выяснить, имеет ли данная фигура оси или плоскости симметрии, а также из каких повторяющихся частей она состоит.

Таким образом, именно по наличию или отсутствию симметрии и равенства или подобия составных частей можно оценивать различные объекты окружающего мира на соответствие правильному геометрическому виду.

Например, возьмем два треугольника. На первый взгляд, они похожи, но у одного из них одна сторона вогнутая, вторая — выпуклая. А у другого наоборот.

Математика занимается идеальными объектами и делает о них некие заключения, которые называют теоремами. Эти треугольники похожи, и о них можно сделать близкое заключение, которое будет описывать свойства обоих.

Например, теорема Пифагора звучит так: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. А затем это свойство можно применять при решении задач и составлении чертежей.

Запомнить все свойства и правила бывает не просто. В онлайн-школе Skysmart сделали все, чтобы учиться было комфортно и в удовольствие: интерактивная платформа с онлайн-доской, захватывающие математические комиксы, поддержка учителей и даже стикеры для настроения.

Приходите на бесплатный вводный урок и попробуйте сами!

Базовые геометрические объекты

Базовые геометрические фигуры — это точки, отрезки, лучи, прямые, плоскости.

Точка — это идеальный математический объект, у которого нет длины и ширины.

Отрезок — это часть прямой, у которого есть начало и конец.

Смежные отрезки — это отрезки, которые не лежат на одной прямой и имеют один общий конец. На рисунке изобразили смежные отрезки АВ и АС, где точка А — общий конец.

Прямая — это «не кривая». Более точное определение вряд ли можно сформулировать.

Когда мы рисуем прямую на листе бумаги, мы изображаем только ее часть, потому что прямая не имеет начала и конца.

Обозначать прямые принято малыми латинскими буквами (a, b,c), но можно и большими латинскими буквами (АВ, CD, MN). Точки всегда обозначают большими латинскими буквами (А, В, С).

Два варианта расположения точек относительно прямой:

Точки лежат на данной прямой. Или еще говорят, что прямая проходит через эти точки — на рисунке выше такими точками являются А и В. При решении задач для краткости используют запись A ∈ a (читается так: точка А принадлежит прямой a или точка А лежит на прямой a), аналогично будет и для точки В (B ∈ b).

Точки не лежат на данной прямой. Говорят так: прямая не проходит через эти точки — на рисунке такими точками являются С и D. При решении задач для краткости используют запись C ∉ a (читается так: точка С не принадлежит прямой a или точка С не лежит на прямой a), аналогично будет и для точки D (D ∉ a).

Важно знать

Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Если рассмотреть две прямые, то возможны два варианта их расположения:

Прямые пересекаются, то есть имеют одну общую точку.
Для записи пересекающихся прямых используют специальный знак — ∩ , то есть a ∩ b (читают: прямая a пересекает прямую b).

Прямые не пересекаются, то есть не имеют общих точек.
Для записи не пересекающихся прямых используют специальный знак — ,
то есть m n (читают: прямая m не пересекает прямую n).

Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Луч имеет начало, но не имеет конца.

На рисунке точка О разбивает прямую АВ на две части:

Каждая из этих частей называется лучом, а точка О является началом одного и другого луча.

Назовем получившиеся лучи:

Луч ОА, точка О — начало луча ОА; конца у луча ОА нет.
Луч ОВ, точка О — начало луча ОВ; конца у луча ОВ нет.

Лучи ОА и ОВ принадлежат одной прямой АВ. Лучи ОА и ОВ имеют общее начало (точка О). Лучи ОА и ОВ противоположно направлены. При таких условиях лучи ОА и ОВ называются дополнительными.

Плоскость — это бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, которые проходят через какие-либо две точки плоскости

Комбинации простейших объектов

Поговорим про комбинации простейших объектов. Например, две прямые, которые мы уже разглядели — либо пересекаются на плоскости, либо нет (тогда они параллельны).

Когда прямые пересекаются, можно ввести понятие отношения между двумя прямыми. Аналогично мы поступали с числами: ввели натуральные числа — количество предметов в множестве. А после этого изучали отношения между этими числами: дроби, возведение в степень.

Точно так же мы изучали множества, а после — отношения между множествами, функции.

Две прямые образуют углы. По сути,

угол — это отношение между прямыми. Если один из них нулевой, то прямые параллельны. Если нет — прямые пересекаются.

Максимальный угол – это полный оборот, он составляет 360 градусов.

Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Углы измеряются в градусах. Углов бесконечно много, так как от 0° до 360° угол может принимать бесконечное множество значений.

Есть разные виды углов, выделим самые часто встречающиеся:

Если градусная мера угла меньше 90° — угол острый.
Если градусная мера угла равна 90° — угол прямой.
Если градусная мера угла больше 90°, но меньше 180° — угол тупой.
Если градусная мера угла равна 180° — угол развернутый.

Точка называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла.

Два угла называются вертикальными, если их стороны являются дополнительными лучами. Свойство вертикальных углов звучит так: вертикальные углы равны.

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами. Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.

Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, который делит угол на две равные части.

А теперь посмотрим на взаимное расположение трех прямых.

Первый случай: все три прямые параллельны.

Второй случай: две прямые параллельны, а третья их пересекает.

Третий случай: если провести три прямые на плоскости случайным образом, велика вероятность образования треугольника. Поэтому этой фигуре мы уделяем так много времени в школе на уроках геометрии.

Треугольник

Треугольник образуют три прямые. Но на треугольник также можно посмотреть, как на фигуру, которая состоит из трех отрезков.

Из треугольников можно получить остальные многоугольники и к треугольникам можно приближать другие фигуры. Например, пятиугольник состоит из трех треугольников.

Треугольник можно использовать для измерения расстояний. А еще треугольник можно рассматривать в отношениях с окружностью, которая тоже является элементарной конструкцией. Читайте про вписанные и описанные углы.

Треугольник можно легко вычислить, то есть найти его площадь по трем элементам:

две стороны и угол между ними;
два угла и сторону;
три стороны.

Свойства треугольников

Раз треугольник можно задать тремя элементами, значит их можно классифицировать. Если два треугольника похожи, значит у них есть общие свойства.

Треугольник можно составить совсем не из любых трех отрезков: они должны удовлетворять важному свойству — неравенству треугольника.

Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который их соединяет. Из этого следует, что любой другой путь между двумя точками будет длиннее, чем этот отрезок.

Неравенство треугольника

Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.

Еще одно свойство верное для всех треугольников: сумма всех углов треугольника составляет половину полного оборота. Или по-другому: сумма углов треугольника — два прямых угла.

Мы знаем, что две геометрические фигуры считают равными, если их можно совместить наложением. Это справедливо и для треугольников. Равные фигуры имеют равные размеры и формы. Значит, если два треугольника равны — элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

Равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁ обозначается так: ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Есть даже специальные теоремы про равенство треугольников.

Первый признак равенства треугольников звучит так:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны

ΔABC = ΔA₁B₁C₁, так как AC = A₁C₁, AB = A₁B₁ и ∠A = ∠A₁ (∠A лежит между сторонами AC и AB, а ∠A₁ между A₁C₁ и A₁B₁).

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

ΔABC = ΔA₁B₁C₁, так как AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

ΔABC = ΔA₁B₁C₁, так как AC = A₁C₁, AB = A₁B₁ и BC = B₁C₁.

Из теоремы следует, что треугольник — жесткая фигура, то есть фигура, которую невозможно деформировать.

Подобные треугольники

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Треугольники АВС и A₁B₁C₁ будут подобны, если

∠ А = A₁, ∠ В = B₁, ∠ С = C₁,

Число k, которое равно отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.

Подобие треугольников обозначают специальным символом — ∾. На рисунке треугольники АВС и A₁B₁C₁ подобны, это можно записать так: ΔАВС ∾ ΔA₁B₁C₁.

Теорема о первом признаке подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такое треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны — такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. В каждом треугольнике можно провести три средних линии, при пересечении которых получается четыре равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом подобия 1/2.

На рисунке изображен треугольник АВС. Отрезки МЕ, МК и КЕ — средние линии данного треугольника, ΔВМЕ = ΔАМК = ΔСЕК = ΔМЕК.

Теорема о средней линии звучит так:

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Важно понимать, что подобие в математике — это то, что в обычной жизни мы называем схожестью. Нарисовали треугольники или прямоугольники и говорим, что они похожи потому, что их стороны пропорциональны.

Пример подобия — карта. Она подобна местности, которую отражает. А масштаб — это и есть коэффициент подобия. С треугольниками или другими фигурами точно также.

Классификация треугольников по их сторонам

Для классификации треугольников можно использовать их типологию.

Один из распространенных типов — прямоугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это накладывает определенные свойства на треугольник. Прямоугольный треугольник — это также половина прямоугольника.

Свойства прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора: сумма длин квадратов катетов равна квадрату гипотенузы

Свойство медианы: медиана, проведенная из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.

С прямоугольных треугольников начинается изучение тригонометрии. Можно измерять углы с помощью отношений, использовать понятия синуса, косинуса. Помним, что угол можно задать двумя числами, их отношением.

Если две стороны треугольника равны, то это равнобедренный треугольник — и тогда у него есть ось симметрии. Если нарисовать такой треугольник и сложить лист пополам, то две части треугольника совпадут. Эта особенность дает треугольнику определенные свойства.

Симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны — это равносторонний треугольник. У таких треугольников три оси симметрии. Это значит, что если мы повернем треугольник на 60 градусов, то получим точно такой же треугольник.

Такой треугольник задается одним параметром — длиной стороны. Она полностью определяет все другие значения и размеры в этом треугольнике.

От правильного треугольника может плавно перейти к правильным многоугольникам. У треугольника 3 угла, у четырехугольника — 4, а у пятиугольника — 5 углов. У многоугольника много углов🙃

Четырехугольники

Про четырехугольники мы много говорим на уроках в школе: прямоугольник, квадрат, ромб.

Но говорим о них не в общем случае, как для треугольников (такие вещи, как теорема синусов, косинусов), а можем формулировать только какие-то свойства для определенных видов четырехугольников.

Четырехугольникам лучше уделить побольше времени — у каждого из них есть особые свойства, которые не пригодятся для других фигур. Поэтому каждый четырехугольник лучше внимательно изучить на уроке или почитать в наших материалах:

Окружность

Окружность — это еще один объект, который полезно изучить. Ее легко описать, она задается одним параметром — радиусом. А еще часто встречается в физике и в обычной жизни. Например, когда капля падает в воду, от нее остаются следы — маленткие окружности.

Взаимодействие объектов

Следующий уровень — это взаимодействие всех-всех объектов, о которых мы говорили раньше.

Например, окружность и прямая. Прямая может находиться где-то в стороне от окружности, может ее пересекать, а может касаться, то есть пересекать в одной точке.

Если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра, который лежит на на этой прямой.

На рисунке прямая a проходит через центр окружности (точку О) и пересекает ее в двух точках А и В, которые являются концами диаметра АВ данной окружности.

Если прямая a не проходит через центр О окружности радиуса r, то возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности — в зависимости от соотношения между радиусом r этой окружности и расстоянием d от центра окружности до прямой a. Вот эти случаи:

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d < r), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (d = r), то прямая и окружность имеют только одну общую точку. В этом случае прямая называется касательной по отношению к окружности.
Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d > r), то прямая и окружность не имеют общих точек.

Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность.

На рисунке четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.

В любой треугольник можно вписать только одну окружность, и вокруг любого ее можно описать.

Все это верно только для треугольников. Не в любой четырехугольник можно вписать окружность, и не вокруг любого можно описать. Более подробно эту тему можно изучить на уроках математики: признаки, теоремы и правила.

Практическая сторона геометрии

Название «геометрия» переводится с греческого, как «гео» — земля и «метрео» — мерить. Изначально геометрию использовали для разметки земли и других работ с землей. Но, оказалось, что сфера ее влияния безгранична.

Чтобы понять, зачем нам нужны знания по геометрии, просто оглянитесь вокруг: геометрия окружает нас в предметах разных форм. Взять хотя бы круг: его используют в искусстве, строительстве, технике. То же самое и с другими фигурами: чтобы сконструировать автомобиль или айфон, сшить одежду или построить дом — не обойтись без геометрии.

А еще геометрия помогает научиться рассуждать логически, искать связи и противоречия — полезный навык в диджитал-мире, когда информация окружает нас повсюду.

Вот, в каких профессиях пригодится геометрия: архитектор, айтишник, дизайнер, инженер, конструктор, строитель, smm-менеджер, декоратор, летчик, водитель, художник, проектировщик, астроном, спортсмен, музыкант и другие.

Почему изучать геометрию просто: мы видим объемный мир каждый день и регулярно прикасаемся к предметам, строим планы, размышляем и считаем в уме. В геометрии все знания подкреплены научными теориями — это помогает взаимодействовать с пространством по-другому, более осознанно.

Почему изучать геометрию сложно: некоторые правила придется учить наизусть.

Чтобы понять геометрию, двигайтесь от простого к сложному. Многие теоремы могут показаться очевидными. Но эта видимость может быть верной только для одного рисунка. Невозможно нарисовать все ситуации, ведь их их бесконечное множество. Именно поэтому важно доказать истину, чтобы никогда не сомневаться в ней.

В детской онлайн-школе Skysmart ученики занимаются геометрией в интерактивном формате. Занятия проходят в удобное время и по личной программе, а еще можно отслеживать прогресс в личном кабинете и получать порцию мотивации.

Запишите ребенка на бесплатный вводный урок: покажем, как все устроено и поставим вдохновляющие цели!

Разделите квадрат двумя отрезками на два треугольника и два пятиугольника.

Разделите квадрат двумя отрезками на три треугольника.

В 12 часов положение часовой и минутной стрелки совпадают, а потом минутная стрелка опережает часовую. Когда они встретятся вновь?

У Вас на левой щеке родинка. А в зеркале она будет на какой щеке?

Что общего у кофейной чашечки и бублика?

Переложив четыре спички, сделайте из этой фигуры три квадрата равной величины.

Ответы.

Часов.

И 11часов.

Три.

Палатка, трехгранная призма.

Один отрезок диагональ, второй отрезок соединяет вершину с диагональю.

Примерно через 65 минут.

Останется на левой.

Дырка.

Должно получиться три квадрата, имеющих два касания по вершинам.

Воспроизведите по памяти

Тестируемому показывают 5 объектов и предлагают их нарисовать «по памяти».

В качестве объектов для рисования по памяти могут быть геометрические фигуры, животные, растения, рукотворные и нерукотворные предметы.

2. Тестируемому в течение 30 секунд показывают рисунки 10 объектов и предлагают их запомнить и нарисовать. В качестве объектов для рисования по памяти могут быть геометрические фигуры, животные, растения, рукотворные и нерукотворные предметы…

Воспроизведите по памяти начертания цифр, принятых на почтовых конвертах. Каждая правильная цифра оценивается 1 баллом.

Воспроизведите по памяти дорожные знаки. Например: “Дети”, “Переход”, “Спуск в тоннель”, «Обгон воспрещен”, «Въезд воспрещен”.

Задачи для развития объемного представления

Если все точки геометрической фигуры принадлежат в одной плоскости, как она называется?

Она называется плоской.

Сколько можно провести прямых линий через две точки? На основании решения и проверок выведите закон.

Ответ: одну прямую. На этом основании можно сформулировать закон: «Через две точки можно провести только одну прямую линию»!

Похвалите малыша: «Молодец, я тебя поздравляю, в пять лет ты вывел важнейший геометрический закон!!! Ура!!!»

А сколько кривых линий можно провести через точку? Много. Сколько хочешь.

Как разрезать квадрат на четыре равных треугольника?

5. Используя семь палочек, выложите два квадрата.
6. В фигуре, состоящей из четырех сомкнутых квадратов, уберите такие две палочки, чтобы осталось три квадрата.

Возьмите четыре карандаша. Какие фигуры можно из них сложить?

Можно ли три соприкасающихся попарно своими концами спички разместить не в одной плоскости? (Нельзя).

Можно ли четыре соприкасающиеся попарно своими концами спички разместить не в одной плоскости? (Можно).

Какие фигуры можно сложить из трех равносторонних треугольников?

Выполните следующие упражнения, сделайте четкие рисунки. Попробуйте решить мысленно .

Нарисуйте пятиугольник. Соедините отрезками все вершины (из каждой вершины должно выходить 4 луча). Сколько получилось треугольников? 14.

Представьте себе окружность. Перечеркните эту окружность двумя линиями. На сколько частей поделилась окружность? А тремя линиями?

Нарисуйте квадрат. Мысленно перечеркните его двумя диагоналями и двумя отрезками, соединяющими середины противоположных сторон. Сколько получилось треугольников?

Представьте себе два равносторонних треугольника. Наложите их друг на друга и разверните один треугольник относительного центра другого на 60 градусов. Какая фигура получилась?

Сколько точек соприкосновения у пяти колец – эмблемы олимпийских игр – и сколько областей выделяют пересекающиеся кольца?

Назовите как можно больше объемных геометрических фигур.

Возраст 8 лет, надо назвать 5 фигур

Возраст 10 лет, надо назвать 10 фигур, каждое правильно названная фигура одно очко..

Возраст 16 лет, надо назвать 20 фигур.

Шар, цилиндр, конус, усеченный конус, пирамида (в основании какой-либо многоугольник, боковые грани – треугольники, сходящиеся в одной вершине), призма, параллелепипед, куб, торойд (бублик), шайба, болид, бочка, усеченный конус, линза, труба, тетраэдр (треугольная пирамида),. усеченная пирамида, обелиск (отличается от правильной пирамиды тем, что его плоскости боковых граней не пересекаются в одной точке), шаровой сегмент (часть шара отсеченная плоскостью), шаровой сектор (участок, ограниченный радиальными линиями). Здесь приведено 20 фигур.

Построение треугольника по трем элементам и правильного пятиугольника

Гнатко И.В. 1

1МБОУ «Лицей №159»

Бутакова В.И. 1

1МБОУ «Лицей №159»

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Гипотеза исследования построена на предположении о том, что задачи на построение правильного пятиугольника имеют достаточно широкое распространение в архитектуре, живописи и других, смежных с математикой, науках.

Методы исследования:

Поисковый;

Анализ;

Дедуктивный метод.

Объект исследования — задачи на построение с помощью циркуля и линейки.

Предмет исследования — решение задач повышенной сложности на построение треугольников по трем элементам, построение правильного пятиугольника различными способами.

Проблема — задачи на построение правильного пятиугольника и задачи повышенной сложности на построение треугольника по трем элементам почти не изучаются в школьном курсе математики.

Цель исследования — поиск решения задач на построение правильного пятиугольника, на построение треугольников по трем элементам.
Задачи исследования:

1. Определить в математике понятие задачи на построение с помощью циркуля и линейки, изучить основную литературу по данной теме;

2. Решение задач повышенной сложности на построение треугольников по трем элементам;

3.Исследовать архитектурные сооружения, при проектировании которых использовались правильные пятиугольники;

4.Рассмотреть наиболее интересные способы построения правильных пятиугольников;

5. Создание творческих проектов.

Актуальность исследования — данная тема очень актуальна, так как, выбирая профессию инженера, ученик сталкивается с множеством вопросов, например одним из них: «Где мы можем применить знания математики?» Исследования в данной области приводят к выводу о том, что математика имеет большое практическое применение, как в архитектуре, живописи, дизайне так и в других науках.

История возникновения

Первые задачи на построение возникли в глубокой древности. Уже древними архитекторами и землемерами приходилось решать простейшие задачи на построение, связанные с их профессией.

Самые первые задачи на построение, по-видимому, решались непосредственно на местности и заключались в проведении прямых линий и построения прямого угла.

Древнегреческие математики еще 3000 лет назад проводили свои построения с помощью двух приборов: гладкой дощечки с ровным краем и двух заостренных палок, связанных на одном конце.

К задачам на построение прибегали древние инженеры, когда составляли рабочий чертеж того или иного сооружения. Задачи на построение помогали людям в их хозяйственной жизни, их решения формулировались в виде «практических правил», исходя из наглядных соображений.

Первым греческим ученым, который рассматривал геометрические задачи на построение, был Фалес Милетский. Это он, пользуясь построением треугольника, определил расстояние, недоступное для непосредственного измерения. Это он вычислил и высоту египетской пирамиды по отбрасываемой ею тени.

Задачи на построение интересовали и Пифагора. Пифагор и его ученики потратили много сил, чтобы отдельным геометрическим сведениям, состоящим до того времени из набора интуитивных правил, придать характер настоящей науки. Задачи на построение интересовали Платона. Платон и его ученики считали построение геометрическим, если оно выполнялось при помощи циркуля и линейки. Если же в процессе построения использовались другие чертежные инструменты, то построение не считалось геометрическим. Уже в древности греческие математики встретились с тремя задачами на построение, которые не поддавались решению.

Первая задача. Задача об удвоении куба. Требуется построить ребро куба, который по объему был бы в два раза больше данного куба.

Вторая задача. Задача о трисекции угла. Требуется произвольный угол разделить на три равные части.

Третья задача. Задача о квадратуре круга. Требуется построить квадрат, площадь которого равнялась бы данному кругу. Эти три задачи на построение и носят название «знаменитых геометрических задач древности». Большую роль задачи на построение играют в «Началах» Эвклида , где существование фигур доказывается их построением при помощи циркуля и линейки. В «Началах» Эвклида находятся почти все задачи на построение, которые изучаются в настоящее время в школе.

Теоретическая часть

Что такое задачи на построение?

Задача на построение — это задача, в которой требуется построить геометрический объект, пользуясь только двумя инструментами: циркулем и линейкой (односторонней и без делений). Решение задач на построение состоит не в том, чтобы проделать «руками» соответствующие построения, а в том, чтобы найти алгоритм решения, то есть описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений, а также рассмотреть различные способы построения правильного пятиугольника. В этом и состоит цель моей работы.

К элементарным задачам на построение, которые рассматривают на начальных этапах изучения в школьном курсе геометрии, как правило, относят следующие:

1. Отложение на прямой отрезка, равного данному.

2. Отложение от заданной полупрямой в заданную полуплоскость угла, равного данному.

3. Построение прямой, проходящей через данную точку и параллельную данной прямой.

4. Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

5. Деление отрезка на две равные части.

6. Деление отрезка в заданном отношении.

7. Построение биссектрисы угла.

8. Построение угла, равного данному.

9. Построение треугольника по трём сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и прилежащим к ней углам.

10. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету, по гипотенузе и острому углу, по двум катетам.

11. Нахождение центра построенной окружности.

12. Построение касательной к окружности через заданную на ней точку. Заметим, что представленный перечень элементарных задач является условным, его можно дополнить.

Сколько бывает решений для задач на построение?

Решить задачу на построение — найти все её решения. Покажем на простейших примерах возможные случаи.

З адача имеет одно решение.

Рисунок 1

Пусть требуется построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе. Таких треугольников на плоскости можно построить множество, и они могут располагаться как угодно, но у всех равны соответственно две стороны два данных отрезка: гипотенуза и катет, а значит, эти треугольники равны. В этом случае говорят, что задача имеет одно решение «с точностью до равенства». Поэтому достаточно построить один треугольник.

Задача имеет конечное число решений.

Рисунок 2

Пусть требуется построить прямоугольный треугольник, катетом которого служит данный отрезок AC, а гипотенуза равна другому данному отрезку L. В этом случае условие задачи требует определённого расположения искомого треугольника относительно катета AC. Треугольник может оказаться в верхней полуплоскости и в нижней полуплоскости относительно отрезка AC. Поэтому задача имеет два решения: Δ и Δ (рис. 2), причём Δ = Δ . Важно отметить, что хотя здесь треугольники и равны, мы считаем их разными решениями (поскольку они расположены по-разному относительно отрезка AC).

Задача имеет бесконечно много решений.

Такого рода задачи называют неопределёнными. Конечно, мы не можем построить все решения неопределённой задачи. Когда же считают неопределённую задачу решённой? В том случае, когда указаны:

1) приём построения одной из искомых фигур задачи;

2) приём получения других искомых фигур.

Пример. Построить окружность данного радиуса и касающуюся данной прямой.

Рисунок 3

Р ешение. Через произвольную точку B прямой L проведём прямую L₁⊥L. Отложим на прямой L₁ от точки B, например, в верхнюю полуплоскость отрезок BO = r. Проведём окружность ω(O;OB=r). Через точку O проведём прямую L₂ параллельную L. Заметим, что при всевозможных положениях точки O на прямой L₂ возникают все решения данной задачи. Задача решена.

Задача не имеет решений.

Такие задачи называют переопределёнными.

Пример. Построить окружность, проходящую через три данные точки, лежащие на одной прямой. Если точки лежат на одной прямой, то провести через них окружность нельзя. Следовательно, задача не имеет решения.

О расположении данных в задаче ничего не сказано. В таких случаях задачу считают решённой, если рассмотрены всевозможные случаи расположения данных.

Пример. Провести через данную точку касательную к данной окружности.

Решение. Возможны три случая расположения данных (точки и окружности).

Случай 1. Точка находится вне окружности, но не принадлежит кругу. Здесь можно провести две касательные к окружности (рис. 4).

Случай 2. Точка находится на окружности. Здесь можно провести одну касательную (рис. 5).

Рисунок 4

Рисунок 5

Рисунок 6

С лучай 3. Точка находится вне окружности, но принадлежит кругу. Здесь касательную к окружности провести нельзя (рис. 6).

Что такое правильный пятиугольник? Правильный пятиугольник, или пентагон (от греческого πενταγωνον-пятиугольник) — выпуклая фигура, имеющая пять вершин, все стороны которой равны между собой (рис 7).

Также, можно заметить, что данная фигура делится в золотом сечении.

Рисунок 7. Правильный пятиугольник

Рисунок 8. Деление правильного пятиугольника в золотом сечении

Архитектурные сооружения, при проектировании которых использовались правильные пятиугольники

Пятиугольный храм (1475-1554) (рис. 10)
Дворец в крепости (1475-1554) (рис. 11)
Театр Советской армии (1934-1940) (рис. 12)
Цитадель в Кортрейке ( III-IV вв.) (рис. 13)
Укреплённая крепость Пиллау (начало XVIIв.) (рис. 14)

Схема типовой крепости из руководства по военному искусству(рис. 15)
Здание министерства обороны США (окончание строительства — январь 1943) (рис. 16)
Дом Советов в Махачкале (1927) (рис. 17)
План типового этажа( 2-9 этаж) 9-этажного дома башенного типа жилого комплекса Слоттсбергет в Гётеборге

Рисунок 9

Рисунок 10

Рисунок 11 Рисунок 12

Рисунок 13 Рисунок 14

Рисунок 15 Рисунок 16

Практическая часть. Приложение А

Заключение

Своеобразие геометрии,

выделяющее её среди

других разделов математики,

да и всех наук вообще,

заключается в неразрывном

органическом соединении живого

воображения со строгой логикой.

Геометрия в своей сути и есть

пространственное воображение,

пронизанное и организованное

строгой логикой.

В ходе моей работы цель исследования – поиск решений задач на построение треугольника по трем элементам и правильного пятиугольника была достигнута. В своей работе я рассмотрел архитектурные сооружения различных стилей, построенные в разные эпохи, и выявил, что при проектировании данных сооружений использовались правильные пятиугольники. Памятники архитектуры, получившие широкую известность как образцы пропорциональности и гармонии, буквально пронизаны математикой, численными расчетами и геометрией.

Практическая часть моей работы включает в себя различные задачи повышенной сложности на построение с помощью циркуля и линейки треугольника по трем элементам и правильного пятиугольника.

Я выбрал эту тему, так как она имеет большое практическое применение в нашей жизни, например, в архитектуре, геометрии, инженерной графике, проектировании.

Список использованной литературы

1.http://www.psciences.net/main/sciences/mathematics/articles/article-1.html
2.http://poisk-ru.ru/s5188t3.html

3.https://ru.wikipedia.org/wiki/Правильный_пятиугольник

4. В. Н. Литвинов «Правильный пятиугольник» 2012г.

5. Александров И.И. «Сборник геометрических задач на построение», 1950 г

Просмотров работы: 69

Решение задач по математике

ПРЕДИСЛОВИЕ
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
КОМБИНАТОРНЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ИГРОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ
ГОЛОВОЛОМКИ С ДОМИНО
ГОЛОВОЛОМКИ СО СПИЧКАМИ
РАЗНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ
ОТВЕТЫ

254. Построение пятиугольника. «Я собираюсь сшить одеяло из кусочков материи, имеющих форму пятиугольника,— сказала одна леди.— Как мне лучше вырезать из картона правильный пятиугольник со стороной 10 см? Разумеется, я могу начертить окружность и затем с помощью циркуля отметить на ней 5 равноотстоящих точек. Но если

мне не известен точный размер окружности, у моего пятиугольника стороны всегда будут получаться либо немного больше, либо немного меньше 10 см».

Не могли бы вы подсказать леди простой и надежный способ, с помощью которого можно было бы построить нужный пятиугольник с первого раза?

255. С помощью одного циркуля. Можете ли вы построить 4 вершины квадрата с помощью лишь одного циркуля? У вас имеется только лист бумаги и циркуль. Прибегать к разного рода трюкам, вроде складывания бумаги, не разрешается.

256. Прямые и квадраты. Вот один простой вопрос. Чему равно наименьшее число прямых линий, с помощью которых можно построить ровно 100 квадратов? На помещенном здесь рисунке слева с помощью девяти прямых построено 20 квадратов (12 со стороной, равной АВ, 6 со стороной, равной АС,

и 2 со стороной, равной AD). На том же рисунке справа прямых на одну больше, а число квадратов возросло до 17. Таким образом, важно не то, сколько всего прямых, а то, как они проведены. Помните, что требуется получить ровно 100 квадратов (не больше и не меньше).

257. Сад мистера Гриндла. Однажды за чашкой чая мистер Гриндл сказал:

— Мой сосед был так щедр, что пожертвовал для моего сада столько своей земли, сколько я смог огородить с помощью четырех прямых заборов длиной 70, 80, 90 и 100 м соответственно.

— Какую же наибольшую площадь ты смог огородить? — спросил мистера Гриндла приятель.

Быть может, читатель сумеет правильно ответить на этот вопрос. Дело в том, что площадь треугольника с тремя известными сторонами определяется однозначно, но в случае четырехугольника все обстоит совершенно иначе. Так, вполне очевидно, что площадь четырехугольника А больше площади четырехугольника В, хотя стороны в обоих случаях одинаковы.

258. Садовая ограда. Вот одна старая часто встречающаяся головоломка. Многим она кажется трудной, но на самом деле решить ее проще, чем представляется на первый взгляд.

У одного человека был прямоугольный сад со сторонами 55 и 40 м, и ему захотелось проложить в нем по диагонали дорожку шириной в 1 м, как показано на рисунке.

Чему равна площадь дорожки?

Обычно приводятся такие размеры сада, при которых получается лишь приближенный ответ. Однако я специально подобрал размеры, чтобы ответ был точный. Для большей наглядности ширина дорожки на рисунке изображена без соблюдения масштаба.

259. Садовая клумба. Вот очень простая маленькая головоломка.

У одного человека был треугольный газон, стороны которого пропорциональны сторонам треугольника, изображенного на рисунке. Человеку захотелось разбить на газоне предельно большую прямоугольную клумбу, на задев дерева.

Как ему следует поступить?

Эта головоломка поможет нам освоить простое правило, которое в некоторых случаях оказывается весьма полезным. Например, его с успехом можно приложить к задаче, в которой столяру требуется, не захватив сучка, вырезать из треугольной доски наибольшую прямоугольную крышку для стола.

260. Землемерная задача. В каждом деле есть свои маленькие хитрости, а в науке о числах их бесконечное множество. Почти в каждой профессии имеются полезные приемы, позволяющие быстро находить нужные ответы и очень

помогающие тем, кто с ними знаком. Приведем пример. Один человек купил небольшое поле, карта которого в масштабе 1 : 10000, попавшая мне в руки, изображена на рисунке. Я попросил своего знакомого землемера сказать мне, какова площадь поля, однако землемер ответил, что этого нельзя сделать без дополнительных измерений — знать длину лишь одной из сторон недостаточно. Каково же было его удивление, когда я через несколько минут сообщил, чему равна площадь поля, располагая длиной только одной его стороны, равной 70 м.

Не могли бы вы сказать, как это можно сделать?

261. Изгородь. Вот задача, которая трудна в общем случае, однако в том виде, в каком я ее здесь привожу, решение ее не составит труда для искушенного человека.

Некто имел квадратное поле 60 на 60 м и, кроме того, владел примыкавшей к шоссе землей (см. рисунок). По каким-то соображениям ему пришлось соединить изгородью три дерева, причем длина участка изгороди от среднего дерева до дерева на шоссе оказалась равной 91 м.

Чему равно (в целых метрах) точное расстояние от среднего дерева до калитки на шоссе?

262. Четыре шашки. Вот одна необычная головоломка, которая, я надеюсь, заинтересует моих читателей.

Четыре шашки стоят на клетках какой-то шахматной доски (не обязательно 8×8) точно в том положении, как это изображено на рисунке. Клетки доски нарисованы симпатическими чернилами, поэтому они не видны.

Сколько квадратов содержит доска и как их восстановить? Известно, что каждая из шашек стоит в середине своего квадрата, что шашки расположены по одной на каждой стороне доски и что все углы доски свободны.

Эта головоломка действительно трудна до тех пор, пока вы не угадаете метод решения; после этого получить ответ будет невероятно легко.

263. Военная головоломка. Офицер приказал солдатам построиться в 12 шеренг по 11 человек в каждой таким образом, чтобы самому встать в точке, равноотстоящей от каждой шеренги.

— Но нас всего 120 человек, сэр,— сказал один из солдат.

Возможно ли было выполнить приказ офицера?

264. Спрятанная звезда. На приведенном здесь рисунке вы видите скатерть, сшитую из шелковых лоскутов. Ее сшила вся семья в подарок одному из своих членов ко дню его рождения. Один из даривших сшил свою часть в виде совершенно симметричной звезды, точно подошедшей к остальной части скатерти. Но от треугольных лоскутков так рябит в глазах, что обнаружить эту спрятанную звезду не так-то просто.

Не могли бы вы найти звезду и, выдернув нужные нитки, отделить ее от остальной части скатерти?

265. Сад. Четыре стороны сада равны 20, 16, 12 и 10 м, а его площадь при таких размерах максимальна.

Чему она равна?

266. Головоломка с треугольником. В ответе к головоломке 227 мы говорили, что «существует бесконечно много рациональных треугольников, стороны которых выражаются последовательными целыми числами, как, например, 3, 4 и 5 или 13, 14 и 15». На помещенном здесь рисунке изображены эти два треугольника. В первом случае площадь (6) равна половине 3×4; во втором случае высота равна 12, а площадь (84) половине 12×14.

Было бы интересно найти треугольник со сторонами, выражающимися тремя наименьшими последовательными целыми числами, площадь которого делилась бы на 20 без остатка.

267. Окно темницы. Сэр Хьюг де Фортибус призвал к себе своего главного строителя и, показав на окно в башне, сказал:

— Мне кажется, что стороны вон того квадратного окна имеют по футу, а стороны просветов между прутьями в нем — по полфута (см. на рисунке случай А). Я хочу прорубить еще одно окно чуть повыше тоже с четырьмя сторонами тоже по футу каждая, но разделить его прутьями на восемь просветов, у которых все стороны тоже были бы равны.

Мастер не смог этого сделать, и тогда сэр Хьюг начертил окно сам (случай В), при этом он добавил:

— Я ведь не говорил тебе, чтобы новое окно непременно было квадратным, каждому как божий день ясно, что квадратным в данном случае оно не может быть.

Однако в условиях сэра Хьюга кое-что подразумеваемое явно не оговаривается, так что, следуя букве его распоряжения, можно сделать требуемое окно квадратным.

Каким образом?

268. Квадратное окно. Однажды за чашкой чая полковник Крэкхэм рассказал, что у одного человека было квадратное окно площадью 1 м², которое пропускало слишком много света. Владелец окна загородил половину его, но при этом у него снова осталось квадратное окно в метр шириной и метр высотой.

Как это могло получиться?

269. Как разделить доску? У столяра имеется доска длиной 120 см, ширина одного ее конца 6 см, а другого 12 см. На каком расстоянии от В следует произвести разрез А, чтобы разделить доску на два куска равной площади?

270. Головоломка с бегунами. ABCD —квадратное поле площадью в 19,36 га. BE — прямая дорожка, а Е отстоит от D на 110 м. Во время соревнований Адамc бежал по прямой от А к D, а Браун начинал бег в В, добегал до E и далее устремлялся к D. Каждый бежал с постоянной скоростью, и когда Браун достиг Е, он увидел Адамса на 30 м впереди себя.

Кто выиграл соревнование и с каким преимуществом?

271. Три скатерти. Однажды за завтраком миссис Крэкхэм объявила во всеуслышание, что подруга подарила ей три восхитительные скатерти, все они квадратные со стороной 144 см. Миссис Крэкхэм попросила присутствующих назвать максимальные размеры квадратного стола, который можно покрыть всеми тремя скатертями одновременно. Скатерти можно класть на стол как угодно, лишь бы вся его поверхность оказалась покрытой. Ответ требовалось дать с точностью до сантиметра.

272. Головоломка художника. Один художник решил приобрести холст для миниатюры, площадь которой должна составлять 72 см². Чтобы натянуть миниатюру на подрамник, сверху и снизу должны быть полосы чистого холста шириной 4 см, а по бокам 2 см.

Каковы наименьшие размеры необходимого холста?

273. В саду. Однажды за чашкой чая полковник Крэкхэм сказал:

— Мой приятель Томпкинс любит озадачивать нас неожиданными головоломками при всяком удобном случае, но они не слишком глубоки. Как-то мы гуляли с ним по саду, как вдруг, указав на прямоугольную клумбу, он заметил:

— Если бы я сделал ее на 2 м шире и на 3 м длиннее, то она стала бы на 64 м² больше; но если бы я сделал ее на 3 м шире и на 2 м длиннее, то она увеличилась бы на 68 м².

Чему равны длина и ширина клумбы?

274. Перепись треугольников. Однажды профессор Рэкбрейн предложил мне головоломку, которая очень заинтересовала его гостей.

Нарисуйте пятиугольник и соедините все его вершины между собой, как показано на рисунке. Сколько в полученной фигуре содержится треугольников?

Чтобы пояснить задачу, укажем 6 таких треугольников: AFB, AGB, ACB, BFG, BFC и BGC. Ответ нетрудно получить, применив определенный метод; в противном случае вы рискуете потерять часть треугольников или сосчитать некоторые из них дважды.

275. Головоломка с загоном. Ответы к хорошо известным головоломкам, которые даются в старых книгах, часто бывают совершенно неверными. Тем не менее создается впечатление, что никто и никогда не замечает этих ошибок. Вот один пример подобного рода.

У фермера был загон, имевший ограду длиной в 50 жердей, в котором помещалось только 100 овец. Допустим, фермер захотел расширить загон настолько, чтобы в нем поместилось вдвое большее число овец.

Сколько фермеру потребуется дополнительных жердей?

276. Розарий. Однажды, попивая чай, профессор Рэкбрейн сказал:

— У моего приятеля есть сад прямоугольной формы, половину которого он хочет занять под розарий, окружив его гравиевой дорожкой постоянной ширины. Не могли бы вы найти общее правило, которое в равной степени было бы применимо к любому саду прямоугольной формы независимо от соотношения между его сторонами? Все измерения следует производить в самом саду. Единственным инструментом служит веревка, длина которой должна быть не меньше длины сада.

277. Исправьте ошибку. Математика — наука точная, но и первоклассные математики, как и все простые смертные, порой допускают ошибки. Заглянув в ценную работу Питера Барлоу «Теория чисел», мы вдруг встречаем следующую задачу:

«Найдите треугольник, у которого все стороны, а также высота и медиана, проведенные из вершины на основание, выражались бы рациональными числами».

В качестве ответа приводится треугольник со сторонами 480, 299, 209, что не только не верно, но и совершенно непонятно.

Быть может, читателю захочется найти правильнее решение, если мы скажем, что все пять измеряемых величин выражаются целыми числами, каждое из которых меньше ста. Такой треугольник, очевидно, не должен быть прямоугольным.

278. Мотоциклисты. Два мотоциклиста решили попасть из пункта А в пункт В. Один из них решил проехать 6 км до D, а затем еще 15 км прямо до В. Второй мотоциклист решил отправиться в В через С. К великому своему удивлению, проверив пройденное расстояние по спидометрам, мотоциклисты обнаружили, что в обоих случаях оно оказалось одинаковым. А смогли бы они быстро ответить на простой вопрос: чему равно расстояние от А до С?

Зная, как следует действовать, можно моментально получить ответ. Сумеет ли сделать это читатель?

279. Снова мотоциклисты. Вот еще один случай, происшедший с мотоциклистами, о которых говорилось в предыдущей головоломке. На участке карты (см. рисунок) показаны три дороги, образующие прямоугольный треугольник. Когда у мотоциклистов спросили, каково расстояние между A и В, один из них ответил, что, после того как он проехал от A до В, а оттуда к С и назад к A, на спидометре было 60 км. Второй мотоциклист добавил, что ему случайно известно о том, что С расположено в 12 км от дороги, соединяющей A с В, то есть от точки D (штриховая линия на рисунке). Тогда спросивший, проделав в уме очень простую выкладку, сказал:

— Все понятно, от A до В…

А не смог бы читатель столь же быстро определить это расстояние?

280. Стоимость сада. Однажды профессор Рэкбрейн поведал своим ученикам о том, что его соседу предложили садовый участок. Участок имеет форму треугольника, размеры которого указаны на рисунке.

Сколько соседу придется заплатить за него, если один квадратный метр стоит 10 долларов?

281. Выбор места. Один человек купил земельный участок, расположенный между тремя прямыми дорогами, которые образуют равносторонний треугольник. Ему захотелось построить дом таким образом, чтобы с каждой из дорог к нему вели три прямые подъездные аллеи, На рисунке изображен один из возможных вариантов.

Где следует построить дом, чтобы по возможности уменьшить расход на прокладку аллей?

282. Крест из фишек. Расположите 20 фишек в форме креста, как показано на рисунке. Сколько вы насчитаете различных случаев, когда четыре фишки сами по себе образуют правильный квадрат?

Например, квадраты образуют фишки, составляющие концы креста, фишки, расположенные в центре, а также фишки, которые отмечены буквами А и В.

Какие 6 фишек следует убрать, чтобы никакая четверка оставшихся фишек не располагалась в вершинах какого-нибудь квадрата?

283. Треугольные посадки. У одного человека было 21 дерево. Деревья были посажены в форме треугольника (см. рисунок).

Если владелец деревьев захочет огородить какой-нибудь треугольный участок своей земли с деревьями по углам, то сколькими способами он сможет это сделать?

Пунктирные линии показывают три возможных способа. А сколько их всего?

284. Круг и диски. Как-то на ярмарке мы увидели человека, который сидел за столом, покрытым клеенкой с большим красным кругом в центре. Человек предлагал публике закрыть круг пятью тонкими дисками, которые лежали рядом, обещая тому, кто сумеет это сделать, ценный приз. Все диски были одинакового размера, разумеется, меньшего, чем красный круг (на рисунке для наглядности изображены только три диска).

Человек утверждал, что справиться с заданием очень легко, и сам, играючи, покрывал круг дисками. Те же, кто пытался сделать это после него, неизменно терпели неудачу. Я забыл вам сказать об одном существенном уcловии: раз положив диск, его нельзя было больше сдвигать, иначе справиться с заданием удалось бы довольно просто. Предположим, что диаметр красного круга равен 6 дм. Каким должен быть наименьший диаметр (скажем, с точностью до дм) пяти дисков, чтобы с их помощью можно было бы закрыть круг?

285. Три изгороди. Однажды за чашкой чая полковник Крэкхэм сказал:

— У одного человека было круглое поле, и он захотел разделить его на 4 равные части тремя изгородями равной длины. Как это можно сделать?

— А для чего ему нужны были заборы одинаковой длины? — спросила Дора.

— Сведений об этом не сохранилось,— ответил полковник.— Нам не известно также ни того, зачем он делил поле на 4 части, ни того, деревянными или железными были изгороди, ни того, пастбище или пашню представляло собой поле. Я не могу даже назвать имя этого человека, не то что сказать, каков цвет его волос. Можно показать, что для решения головоломки все эти сведения не существенны.

286. Квадратура круга. Задача о квадратуре круга сводится к отысканию отношения диаметра к длине окружности. Его нельзя найти с абсолютной, но можно определить с достаточной точностью, чтобы использовать для практических целей.

Точно так же в евклидовой геометрии нельзя построить отрезок прямой, равный длине заданной окружности. Конечно, можно получить достаточно точный результат, поставив на ребро монету и аккуратно прокатив ее по прямой на листе бумаги, но прокатить подобным образом сад круглой формы не так-то просто.

На рисунке изображена ломаная линия, длина которой очень близка к длине изображенной окружности. Горизонтальное звено этой ломаной равно половине длины окружности. Не могли бы вы найти ее с помощью простого метода, в котором использовались бы только карандаш, циркуль и линейка?

287. Автомобиль и круг. Автомобиль едет по кругу. Его колеса, расположенные с внешней стороны круга, движутся вдвое быстрее колес, расположенных с внутренней стороны.

Чему равна длина окружности, которую проходят внешние колеса, если расстояние между колесами на обеих осях 1,5 м?

288. Точильный круг. Три человека купили точильный круг диаметром 20 см. Сколько должен сточить каждый из компаньонов, чтобы круг был разделен поровну, если исключить 4 см диаметра, которые пошли на отверстие? Практическая ценность каждой доли не учитывается, речь идет лишь о равном дележе общей массы круга.

289. Автомобильные колеса. «Видите ли, сэр,— сказал продавец автомобилей,— переднее колесо автомобиля, который вы покупаете, каждые 360 футов делает на 4 оборота больше заднего; но если бы вы уменьшили длину окружности каждого колеса на 3 фута, то переднее колесо на таком же расстоянии делало бы на целых 6 оборотов больше заднего».

Почему покупателю не захотелось, чтобы разность числа оборотов возрастала, нас не касается. Головоломка состоит в том, чтобы найти длину окружности каждого колеса. Это очень легко сделать.

290. Недоразумение с колесом. Вот одно любопытное недоразумение, которое многих крайне озадачивает. Колесо делает полный оборот, пройдя расстояние от А до В. Очевидно, что отрезок АВ равен именно длине окружности колеса. Хотя для произвольного диаметра мы не сможем точно определить эту длину¹⁶, тем не менее мы сумеем найти для нее приближенное значение с достаточной степенью точности. Так, если у нас колесо диаметром 28 см, мы можем умножить диаметр на 22, разделить на 7 и получим искомую длину — 88 см. Это, конечно, слишком грубое приближение, но если мы умножим его на 355 и разделим на 113, то получим 87,9646, что уже лучше, а умножив на 3,1416, мы получим 87,9648 — еще лучшее приближение. Но это между прочим.

Теперь заметим, что внутренний круг (ступица) тоже делает полный оборот вдоль воображаемой пунктирной линии CD, а так как CD равно АВ, длины меньшей и большей окружностей равны! Разумеется, даже младенцу с первого взгляда ясно, что это не верно. И все же, где именно допущена ошибка?

Попытайтесь ее найти. Не может быть и тени сомнения в том, что ступица за один полный оборот проходит расстояние от С до D. Тогда почему же CD не равно длине ее окружности?

291. Знаменитый парадокс. Есть такой вопрос, который задают постоянно, но на который я никогда не слышал удовлетворительного или достаточно убедительного для неискушенного человека ответа. Он состоит в следующем: «Движется ли на ходу верхняя часть велосипедного колеса быстрее нижней?»

Люди, не привыкшие к точному мышлению, неизменно встречают такой вопрос смехом и отвечают: «Разумеется, нет!» Они считают подобный вопрос совершенно нелепым и не достойным даже того, чтобы всерьез над ним призадуматься. «Колесо,—говорят они,— это твердое тело, вращающееся вокруг центральной оси, и если одна из его частей стала бы двигаться быстрее другой, то оно разлетелось бы вдребезги».

Тогда вы обращаете внимание .вашего скептика на проезжающий мимо экипаж и просите его заметить, что спицы в нижней части колеса ясно видны, их даже можно пересчитать; а вот в верхней части они движутся так быстро, что становятся неразличимыми. Движущееся колесо выглядит примерно так, как оно изображено на рисунке. Наш друг вынужден признать очевидное, но поскольку он не может дать объяснение тому, что видит, и не хочет отказываться от своей прежней точки зрения, то, вероятно, ответит: «Ну, возможно, это обман зрения».

Итак, повторяем вопрос: «Движется ли верхняя часть колеса быстрее нижней?»

292. Еще один парадокс с колесом. Два велосипедиста остановились на железнодорожном мосту где-то в Сассексе, когда мимо них проходил поезд.

— Этот поезд идет из Лондона в Брайтон,— сказал Хендерсон.

— Большая его часть,— заметил Бэнкс, — а остальная — движется по направлению к Лондону.

— О чем это, скажи на милость, ты говоришь?

— Я говорю, что если поезд идет из Лондона в Брайтон, то часть этого поезда все время движется в противоположном направлении — из Брайтона в Лондон.

— И ты всерьез утверждаешь, что, когда я еду из Кройдона в Истбурн, то часть моего велосипеда несется назад в Кройдон?

— Не горячись, старина,— сказал спокойно Бэнкс.— Я ничего не говорил о велосипедах. Мое утверждение касалось только железнодорожных поездов.

Хендерсон решил, что это просто шутка и речь идет о дыме или паре, но его приятель заметил, что сильный ветер может быть и в направлении движения поезда. Тогда он высказал предположение, что имелись в виду мысли пассажиров, но проверить этого не удалось и, кроме того, вряд ли их можно было назвать частью поезда! Наконец Хендерсон сдался.

Не смог бы читатель объяснить этот любопытный парадокс?

293. Механический парадокс. Знаменитый механический парадокс, придуманный Джеймсом Фергюсоном¹⁷ где-то около 1751 г., следовало бы знать каждому. Он предложил его скептику-часовщику в момент спора.

— Предположим,— сказал Фергюсон,— что я сделаю одно колесо толщиной в три других и на всех их нарежу зубцы. Затем я свободно надену три колеса на одну ось и помещу толстое колесо так, чтобы оно приводило их в движение и его зубцы входили в зубцы трех тонких колес. Если я поверну толстое колесо, то как повернутся тонкие колеса?

Часовщик ответил, что, очевидно, три колеса повернутся в противоположном направлении. Тогда Фергюсон смастерил простой механизм, который под силу сделать каждому, и показал, что при вращении толстого колеса в любом направлении одно из тонких колес вращается в том же самом направлении, другое — в противоположном, а третье остается неподвижным. Хотя часовщик и взял механизм домой, он так и не смог найти объяснение этому странному парадоксу.

294. Четыре домовладельца. Вы видите на рисунке квадратный участок земли с четырьмя домами, четырьмя деревьями, колодцем (W ) в центре, а также изгородями с четырьмя калитками (G).

Можете ли вы разделить этот участок так, чтобы каждому домовладельцу досталось поровну земли, по одному дереву, по одной калитке, по куску изгороди равной длины и по свободному проходу к колодцу, который не пересекал бы участок соседа?

295. Пять заборов. У одного человека было большое квадратное огороженное поле, на котором росло 16 дубов (см. рисунок). Владелец из каких-то эксцентричных соображений пожелал поставить на нем 5 прямых заборов таким образом, чтобы каждое дерево оказалось на отдельном участке.

Как он сможет это сделать? Возьмите карандаш и перечеркните поле пятью прямыми так, чтобы каждое дерево было отделено от всех остальных.

296. Сыновья фермера. У одного фермера был квадратный участок земли, на котором росли 24 дерева. В своем завещании он пожелал, чтобы каждый из его восьми сыновей получил одинаковое количество земли и равное число деревьев.

Как наипростейшим образом разделить землю?

297. Минуя мины. Перед нами небольшой заминированный участок моря. Крейсер, благополучно минуя мины, прошел его с юга на север двумя прямыми курсами.

Проведите от нижнего края до любой точки на карте прямую линию, а затем от этой точки до верхнего края карты еще одну прямую, проложив путь между минами.

298. Шесть прямых заборов. У одного человека была небольшая плантация, состоявшая из 36 деревьев, посаженных в виде квадрата. Часть из них засохла (на рисунке засохшие деревья изображены точками) и должна быть спилена.

Как можно поставить 6 прямых заборов, чтобы каждое из оставшихся 20 деревьев оказалось отгороженным от остальных? Кстати говоря, подобным образом можно было бы разгородить шестью прямыми заборами 22 дерева, если бы они были расположены поудобнее, но нам приходится иметь дело с деревьями, посаженными регулярным образом, и в этом вся разница.

Возьмите карандаш и подумайте, сумеете ли вы провести 6 прямых так, чтобы каждое дерево оказалось отгороженным от остальных.

299. Разрезание полумесяца. На какое максимальное число частей можно разрезать пятью прямыми разрезами полумесяц? Куски полумесяца нельзя ни складывать стопкой, ни передвигать.

300. Начертите прямую. Если нам нужно провести окружность, мы пользуемся циркулем. Однако, если мы хотим провести прямую, нам требуется линейка или какой-нибудь другой предмет с прямолинейным краем. Иными словами, чтобы начертить прямую, мы ищем другую прямую, что эквивалентно тому, как если бы мы использовали монетку, блюдце или другой круглый предмет при проведении окружности. Представьте теперь, что у вас под рукой нет ни прямолинейных предметов, ни даже куска нитки. Не могли бы. вы придумать простой инструмент, который позволял бы проводить прямые линии подобно тому, как проводятся циркулем окружности?

Этот вопрос интересен сам по себе, но не имеет практической ценности. Мы по-прежнему будем пользоваться прямолинейным краем.

Магнитный конструктор.

Магнитный конструктор, в данном исполнении, представляет собой набор палочек, разных цветов с магнитами на обоих концах, и металлических шариков. Путём нехитрых действий можно составлять различные геометрические фигуры, как плоские, так и объёмные.

Пример работы с плоскими геометрическими фигурами:

Составь из палочек квадрат:

Сколько палочек тебе для этого нужно? (4).
Сколько шариков потребовалось для составления квадрата? (4).
Что обозначает палочка в квадрате? (сторона).
Чем является шарик в квадрате? (вершина).
Сколько квадратов на изображении? (5).
Сколько маленьких квадратов? (4).
Сколько больших квадратов? (1).
Сколько палочек нужно убрать, чтобы квадратов стало 3? (2).
Сколько палочек нужно добавить к одному квадрату, чтобы их получилось 2? (3).
Как из квадрата сделать ромб? (повернуть вершиной вверх-вниз).
Сколько палочек тебе для ромба нужно? (4).
Сколько шариков потребовалось для составления ромба? (4).
Что обозначает палочка в ромбе? (сторона).
Чем является шарик в ромбе? (вершина).
Всегда ли ромб является квадратом? (нет).
Чем ромб отличается от квадрата? (углами).
Какие углы у квадрата? (прямые).
А какие у ромба (разные) или (2 тупых и 2 острых).
Сколько треугольников нужно для составления ромба? (2).
Сколько маленьких ромбов в большом ромбе? (4).
Сколько треугольников вы видите в большом ромбе? (4).

Из скольких треугольников состоит шестиугольник?

Сколько палочек нужно для составления одного треугольника? (3).
Сколько у треугольника вершин? (3).
Что обозначает вершину треугольника? (шарик).

Составь из магнитных палочек пятиугольник:

Сколько тебе понадобится палочек и шариков для этого? (5 и 5).
Как из пятиугольника сделать пятиконечную звезду? (к каждой стороне добавить по треугольнику).
Какая фигура должна быть в основе шестиконечной звезды? (шестиугольник).
Как из шестиугольника сделать шестиконечную звезду? (добавить треугольники к каждой из сторон шестиугольника).

Собери шестиугольную звезду:

Пример работы с объёмными геометрическими фигурами:

Как из квадрата сделать куб?

Чем плоская фигура отличается от объёмной? Чем квадрат отличается от куба? Сколько сторон у куба? (6).
Какой фигурой является сторона куба? (квадратом).
Какой фигурой является сторона квадрата? (отрезком).
Такой же отрезок у куба называется ребром. Сколько рёбер у куба? (12).
Что можно сказать о сторонах куба? (они все одинаковые квадраты).
Сколько вершин у куба? (8) Почему сторон 6, а вершин 8? (потому что есть общие вершины у каждой из сторон).

Покажи любую вершину и скажи для каких сторон она общая. Примерно такие же вопросы вы задаёте ребёнку при работе с треугольником.

Внимательно посмотри на пирамиду, какая она бывает? (в основании треугольник, в основании четырехугольник, в основании пятиугольник и т.д.).

Что общего у всех этих пирамид? (всегда одна вершина и стороны треугольники).
Что разного у всех этих пирамид? (основание).

Далее можно сравнивать куб и параллелепипед, шар и эллипсоид, пирамиду и конус, цилиндр и призму. Призма может быть трехгранная, четырёхгранная и т.д. (зависит от фигуры основания). Можно сравнить несколько призм и посчитать грани, стороны, вершины. Определить какая геометрическая фигура лежит в основании призмы, какая в стороне.

С помощью магнитного конструктора можно составлять красивые сложные орнаменты или различные объёмные фигуры. Главное помнить, что с вашей помощью ребёнок должен научиться видеть геометрические тела и фигуры, различать их и знать свойства и характеристики каждой. Благодаря этой игре ребёнок наглядно видит как из плоской геометрической фигуры, путём добавления различных фигур появляются геометрические тела отличные друг от друга.

Пример:

У тебя есть 5 отрезков и 5 шариков. Какую плоскую фигуру ты можешь составить? (пятиугольник).
Как из пятиугольника сделать пятиконечную звезду? (добавить к каждой стороне по треугольнику).
Сколько палочек нужно взять для каждого треугольника? (2).
Почему две? Ведь треугольник состоит из трёх сторон? (потому что одна сторона уже есть, это сторона пятиугольника).
Что нужно сделать, чтобы создать пирамиду из этого пятиугольника? (из каждой вершины пятиугольника вверх прикрепить по одной палочке и закрепить их одним шариком).
Какая это будет пирамида? (пятиугольная).
Почему? (потому что в основании лежит пятиугольник).
Какую форму имеет сторона пирамиды? (треугольник).
Сколько у этой пирамиды сторон? (пять).
Сколько потребовалось палочек для этих пяти треугольных сторон? (5).
Почему? Ведь в треугольнике три стороны, а у нас 5 треугольников? (потому что есть общие стороны с основанием и двумя другими сторонами).

Учите видеть детей различные фигуры в орнаментах: треугольники, трапеции, ромбы, четырёхугольники, квадраты и др. Хорошо, если ребёнок начнёт видеть в различных предметах объёмные геометрические тела и формы. Мяч-шар, яйцо-эллипсоид, коробка-параллелепипед, свеча-цилиндр, кубик Рубика-куб, юбка-трапеция, ель-конус и другие…

Вопросов может быть огромное количество и разнообразие. Включайте своё воображение, а ребёнок вас всегда поддержит. Весёлых и познавательных вам поездок!

Консультация →

24.12.2019 | Категория: Развивающие игры

Задачи по физике и математике с решениями и ответами

Задача по математике — 3636

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, длины всех сторон и диагоналей которого рациональны. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Докажите, что длина отрезка $AO$ — рациональное число. Подробнее

Задача по математике — 3646

Рассматривается выпуклый пятиугольник, у которого длины всех сторон равны.
а) Докажите, что внутри него найдется такая точка, лежащая на наибольшей диагонали, из которой все стороны видны под углами, не превышающими прямого.
б) Докажите, что круги, построенные на его сторонах как на диаметрах, не покрывают пятиугольник целиком. Подробнее

Задача по математике — 3651

Дана окружность, ее диаметр $AB$ и точка $C$ на этом диаметре. Постройте на окружности две точки $X$ и $Y$, симметричные относительно диаметра $AB$, для которых прямая $YC$ перпендикулярна прямой $XA$. Подробнее

Задача по математике — 3660

В треугольнике $ABC$ через середину $M$ стороны $BC$ и центр $О$ вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая $MO$, которая пересекает высоту $AH$ в точке $E$. Докажите, что отрезок $AE$ равен радиусу вписанной окружности. Подробнее

Задача по математике — 3662

Два равных между собой прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Докажите, что площадь общей части этих прямоугольников больше половины площади каждого из них. Подробнее

Задача по математике — 3665

Вершины правильного $n$-угольника покрашены несколькими красками (каждая одной краской) так, что точки одного и того же цвета служат вершинами правильного многоугольника. Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных. Подробнее

Задача по математике — 3667

а) Дан треугольник $A_1A_2A_3$. На его стороне $A_1A_2$ взяты точки $B_1$ и $D_2$, на стороне $A_2A_3$ — точки $B_2$ и $D_3$, на стороне $A_3A_1$ — точки $B_3$ и $D_1$ так, что если построить параллелограммы $A_1B_1C_1D_1, A_2B_2C_2D_2$ и $A_3B_3C_3D_3$, то прямые $A_1C_1, A_2C_2$ и $A_3C_3$ пересекутся в одной точке $О$. Докажите, что если $A_1B_1 = A_2D_2$ и
$A_2B_2 = A_3B_3$, то $A_3B_3 = A_1D_1$ (рис.).
б) Дан выпуклый многоугольник $A_1A_2 \cdots A_n$. На его стороне $A_1A_2$ взяты точки $B_1$ и $D_2$, на стороне $A_2A_3$ — точки $B_2$ и $D_3$, на стороне $A_2A_3$ — точки $B_n$ и $D_1$ так, что если построить параллелограммы $A_1B_1C_1D_1, A_2B_2C_2D_2, \cdots, A_nB_nC_nD_n$, то прямые $A_1C_1, A_2C_2, A_3C_3, \cdots, A_nC_n$ пересекутся в одной точке $О$. Докажите, что равны произведения длин

$A_1B_1 \cdot A_2B_2 \cdot A_3B_3 \cdot \cdots \cdot A_nB_n = A_1D_1 — A_2D_2 \cdot \cdots \cdot A_nD_n$.

Подробнее

Задача по математике — 3669

В квадрате со стороной 1 расположено несколько кругов, диаметр каждого из которых меньше 0,001. Расстояние между любыми двумя точками любых двух кругов не равно 0,001. Докажите, что общая площадь, покрытая кругами, не превышает 0,34. Подробнее

Задача по математике — 3674

а) Докажите, что прямая, разбивающая данный треугольник на два многоугольника равной площади и равного периметра, проходит через центр окружности, вписанной в треугольник.
б) Докажите аналогичное утверждение для произвольного многоугольника, в который можно вписать окружность.
в) Докажите, что все прямые, делящие одновременно и площадь, и периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке. Подробнее

Задача по математике — 3681

В прямоугольнике $ABCD$ точка $M$ — середина стороны $AD, N$ — середина стороны $BC$. На продолжении отрезка $DC$ за точку $D$ берется точка $P$. Обозначим точку пересечения прямых $PM$ и $AC$ через $Q$. Докажите, что $\angle QNM = \angle MNP$. Подробнее

Задания на построение — Студопедия

Задания на построение составляют важную часть системы формирования геометрических знаний и умений ребенка в начальной школе. Эти задания создают базу для развития пространственного воображения у ребенка, умения наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать и абстрагировать.

Необходимость формирования у ребенка практических умений построения геометрических фигур с помощью циркуля, угольника и линейки и подготовки к обучению рассуждениям и доказательству является важнейшей задачей курса начальной математики с точки зрения дальнейшего математического образования ребенка. Как доказано психологами, возраст ученика начальной школы является наиболее благоприятным в жизни человека возрастом для развития образного (а значит, и пространственного) мышления, формирования приемов умственных действий (сравнения, обобщения, абстрагирования и др.). Анализ особенностей этапов развития математического мышления ребенка показывает также необходимость организации подготовки к обучению доказательствам в период обучения в начальной школе.

Рассмотрим виды заданий на построение по годам обучения и покажем возможности их использования для развития указанных компонентов мышления.

1 класс

1. Начерти в тетради ломаную, состоящую из четырех звеньев. Сколько вершин у этой ломаной?

Выполнение:

По определению, концы каждого звена — это вершины ломаной. Таким образом, ломаная из 4 звеньев будет иметь 5 вершин.

2. Вырежи из приложения нужные фигуры и составь из них домик, кораблик, рыбку (по рисунку, данному в учебнике).

Выполнение:

Задания такого вида представляют собой конструктивные задачи на развитие операции синтеза (конструирование целого из частей). В учебнике эти задания встречаются вплоть до 4 класса, но особенно важны они в 1 классе. Если у ребенка возникают затруднения, следует сделать для него увеличенный вариант рисунка, чтобы можно было складывать заданную фигуру, накладывая ее части прямо на рисунок.

Эти задания являются подготовительными для заданий вида: сколько на чертеже треугольников, четырехугольников и т. п.

В их основе лежит операция анализа (умение мысленно «разобрать» объект на составные части и выделить каждую из них). Практика показывает, что при хорошей подготовке посредством выполнения заданий на конструирование (синтез), задания данного вида даются ребенку намного легче.

3. Начерти один четырехугольник. Проведи 1 отрезок, чтобы получилось 2 треугольника.

Выполнение:

При выполнении данного задания полезно рассмотреть разные варианты его выполнения — это развивает гибкость мышления и пространственное воображение. Полезно сравнить полученные результаты, сделав обобщение: для того чтобы получилось 2 треугольника, нужно проводить в четырехугольнике диагональ.

4. Как можно провести в треугольнике 1 отрезок так, чтобы получилось 3 треугольника?

Выполнение:

Достаточно провести 1 отрезок так, чтобы разделить данный треугольник на 2 треугольника. В качестве третьего рассматриваем исходный треугольник (содержащий два меньших).

5. Составь из 7 палочек 2 одинаковых квадрата, а из 10 палочек 1 большой квадрат и 1 маленький.

Выполнение:

Задание на конструирование из палочек (см. характеристику задания 2).

6. Начерти одну ломаную, у которой 4 звена и 5 вершин, а другую — у которой 4 звена и 4 вершины.

Выполнение:

См. характеристику задания 1.

7. Начерти любой четырехугольник и проведи в нем 2 отрезка так, чтобы получилось 8 треугольников.

Выполнение:

При выполнении данного задания полезно рассмотреть разные варианты его выполнения — это развивает гибкость мышления и пространственное воображение. Полезно сравнить полученные результаты, сделав обобщение: для того, чтобы получилось 8 треугольников, нужно проводить в четырехугольнике две диагонали.

Каждый четырехугольник содержит 4 маленьких треугольника, а также 4 треугольника, составленных из двух расположенных рядом маленьких треугольников.

2 класс

1. Проведи прямую, отметь на ней 3 точки. Сколько всего отрезков получилось?

Выполнение:

Задание аналитического характера: всего отрезков три: два меньших, обозначенных точками, и в качестве третьего рассматриваем отрезок, содержащий оба меньших отрезка (фактически: два отрезка являются частями третьего).

2. Начерти и дополни до прямоугольника:

Выполнение:

Задание развивает воссоздающее воображение, требует воссоздания целого по его частям. Поскольку в учебнике эти задания даны на клетчатой основе, их выполнение не требует применения инструментов при построении, достаточно производить ориентировку на количество клеточек, восстанавливая форму заданной фигуры.

3. Как провести в каждом из этих четырехугольников 1 отрезок, чтобы получился квадрат?

Выполнение:

Задание обратное по типу заданию 2. Требует анализа и выделения части из целого. Оно также дано в учебнике на клетчатой основе, поэтому не требует применения инструментов. Для его выполнения достаточно ориентировки по клеточкам и соблюдения равенства сторон квадрата.

4. Сложи из треугольников нарисованные фигуры (по рисунку в учебнике).

Выполнение:

См. выше характеристику задания 2 из 1 класса.

3 класс

1. Начерти два отрезка так, чтобы длина одного была в два раза больше длины данного отрезка, а длина другого — в 2 раза меньше длины данного.

Выполнение:

Чтобы начертить отрезок в 2 раза больше данного, можно измерить его циркулем, и отложить на прямой последовательно два таких отрезка:

Полученный таким образом отрезок будет в два раза больше данного.

Чтобы начертить отрезок в два раза меньше данного, нужно разделить данный отрезок пополам, и построить отрезок, равный половине данного. Поскольку техника деления отрезка пополам с помощью циркуля предлагается детям для знакомства только на последней странице учебника 4 класса, очевидно, предполагается, что для выполнения этого задания следует использовать измерение и вычисление длины искомого отрезка, а потом его построение по известной длине.

Можно познакомить ребенка с техникой деления отрезка пополам с помощью циркуля:

2. Начерти на клетчатой бумаге и вырежи прямоугольник и два треугольника, как на чертеже.

Составь из этих фигур: четырехугольник, пятиугольник. Сравни площади составленных фигур.

Выполнение:

Задание конструктивного характера. Цель задания — показать ребенку, что равносоставленные фигуры имеют равные площади. Полезно составить различные по форме четырехугольники и убедиться в том, что пятиугольник получается только одной формы:

3. Начерти три таких четырехугольника. В каждом из них проведи один отрезок так, чтобы он разделил четырехугольник:

1) на два треугольника;

2) на треугольник и прямоугольник;

3) на квадрат и четырехугольник.

Выполнение:

См. характеристику задания 3 из 2 класса.

4. Начерти в тетради пятиугольник и покажи на чертеже, как можно двумя взмахами ножниц разрезать этот пятиугольник так, чтобы получилось 2 четырехугольника и 1 треугольник.

Выполнение:

Полезно рассмотреть разные варианты выполнения задания:

5. Начерти в тетради любую фигуру, кроме прямоугольника, так, чтобы ее площадь была 12 см2.

Выполнение:

По условию фигура не может быть прямоугольником (а значит, и квадратом). Площади фигур другой формы ученики 3 класса умеют находить только способом подсчета квадратных сантиметров. Значит, следует рисовать фигуру произвольной формы, составленную из квадратиков по 1 см².

Другой, более сложный вариант: начертить прямоугольник площадью 24 см2. Разделить его пополам — получится треугольник площадью 12 с см².

4 класс

1. Начерти в тетради прямой, острый и тупой углы с общей вершиной в точке В разными цветными карандашами.

Выполнение:

Полезно обратить внимание ребенка на то, что получается 2 тупых угла:

2. Начерти в тетради четырехугольник АВСО, как на рисунке. Проведи в нем отрезок ВМ так, чтобы угол ВМС был прямым.

Выполнение:

Для выполнения задания фактически требуется умение опускать перпендикуляр из точки на прямую, однако здесь предполагается, что ребенок, используя угольник, ищет позицию совмещения его сторон с отрезком СО и точкой В.

3. Начерти отрезки, как показано на чертеже. Соедини точки так, чтобы получился четырехугольник. Проверь, квадрат ли это.

Выполнение:

Рисунок в учебнике дан на клетчатой основе, поэтому его копирование требует только подсчета клеток. Получившаяся фигура будет квадратом. Задание иллюстрирует свойство диагоналей квадрата: диагонали квадрата при пересечении образуют прямой угол и делятся в точке пересечения пополам.

4. Рассмотри чертеж и начерти в тетради квадрат, диагональ которого равна 4 см. Проведи окружность так, чтобы она прошла через все вершины квадрата.

Выполнение:

Задание, аналогичное заданию 3 с добавлением заданной длины диагонали. Выполняется на основе подсчета клеток и свойств диагоналей квадрата. Точка пересечения диагоналей квадрата является центром описанной (и вписанной) окружности.

5. Начерти окружность, проведи в ней диаметр и соедини концы диаметра с любой точкой окружности. Какого вида треугольник получился?

Выполнение:

Получится прямоугольный треугольник. Задание иллюстрирует свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр.

6. Начерти прямой угол с вершиной в точке О. Отложи от точки О на сторонах угла равные отрезки ОА и ОВ длиной по 3 см. Соедини отрезком точки Аи В., Какого вида треугольник получился? Дай два ответа.

Выполнение:

Получится равнобедренный треугольник, который также является прямоугольным.

7. Начерти разносторонний прямоугольный треугольник; равнобедренный тупоугольный треугольник.

Выполнение:

Задание проверяет умение ребенка соблюдать два заданных признака при выполнении чертежа:

Следует обратить внимание на то, что построение равнобедренного тупоугольного треугольника требует также знания способа построения равнобедренных треугольников.

8. Начерти любой прямоугольник, проведи в нем диагонали. Построй окружность с центром в точке их пересечения, которая проходит через все его вершины. (На полях дан полный чертеж.)

Выполнение:

Поскольку в учебнике дан на полях полный чертеж задания, оно требует лишь копирования образца.

Задание иллюстрирует следующее свойство прямоугольника: точка пересечения диагоналей прямоугольника является центром описанной окружности.

9. Начерти в тетради прямоугольник АВСО со сторонами 3 см и 4 см. Проведи в нем 2 отрезка так, чтобы получилось 8 треугольников.

Выполнение: См. характеристику задания 7 из 1 класса.

10. Построить равносторонний треугольник.

Выполнение:

В учебнике приведен полный чертеж, требуется лишь копирование образца.

11. Построить равнобедренный треугольник.

Выполнение:

См. характеристику задания 10.

12. Построить треугольник по трем заданным сторонам.

Выполнение:

См. характеристику задания 10.

13. Раздели отрезок пополам с помощью циркуля.

Выполнение:

См. характеристику задания 10.

Сравнение количества и качества заданий на построение и заданий на измерение и вычисление показывает, что заданиям на измерение и вычисление уделено в учебниках намного больше внимания. С качественной (а также перспективной) точки зрения, в дальнейшем ребенку будут необходимы в большей мере умения по построению и доказательству правильности построения, поскольку они лежат в основе умения решать задачи и доказывать теоремы в курсе геометрии и выполнять чертежи в курсе черчения.

правильных пятиугольников

правильных пятиугольников Углы в равнобедренных треугольниках

В треугольнике ABC с AB = AC углы между равными сторонами равны. Пусть a = угол BAC и пусть b = угол ABC = угол ACB.

Используя теорему о сумме углов, если известно a, то определяется b, а если b задано, то определяется a.

Запишите отношения:

а =

б =

Некоторые важные примеры

а	б
90
	60
	36
72

Сумма углов в выпуклых многоугольниках (неофициальная версия)
Мы знаем, что сумма углов при вершинах треугольника на плоскости всегда равна 180 градусам.Теорема о суммах углов для многоугольников в целом будет тщательно разработана позже, а пока это будет краткое неформальное введение.
Четырехугольники
Пусть ABCD — четырехугольник. Если диагональ AC (продолженная до прямой) такова, что B находится с одной стороны от AC, а D — с другой, то ABCD делится на объединение двух треугольников ABC и CDA.
В этом случае сумма углов ABCD составляет 360 градусов, что является суммой углов двух треугольников, поскольку 180 + 180 = 360 градусов.
Для выпуклого четырехугольника, такого как левый, это работает для любого выбора диагонали. Для невыпуклого четырехугольника справа мы выбрали одну диагональ, которая делит четырехугольник на два треугольника.
Пентагоны
Если мы разделим пятиугольник на треугольники, как показано на рисунке слева внизу, пятиугольник состоит из трех треугольников, поэтому сумма углов составит 180 + 180 + 180 = 3 * 180 = 540 градусов.
Однако невыпуклый пятиугольник справа — более сложный случай.Если у нас есть фигура на странице, мы всегда можем найти способ нарисовать сегменты, чтобы разделить пятиугольник на 3 треугольника, но как мы можем доказать это во всех случаях? Как мы можем доказать разбиение треугольников на многоугольники с большим количеством вершин? Это не только теоретическая проблема, но и практическая проблема информатики. Если многоугольник задан на плоскости с помощью координат, как можно указать компьютеру разделить его на треугольники? Мы вернемся к этому вопросу позже. На данный момент мы делаем разумное предположение, что любые встречающиеся нам пятиугольники можно разделить на 3 треугольника.Это, безусловно, верно для выпуклых, как мы видим на рисунке слева.
Вопрос : Правильный пятиугольник определяется как пятиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Какой должен быть угол в каждой вершине?
Ответ :

Равнобедренные треугольники в правильном пятиугольнике
Для правильного многоугольника мы видели, что угол каждой вершины равен 108 = 3 * 180/5 градусов.
На этом рисунке начертите диагональ переменного тока.
Объясните, почему треугольник ABC равнобедренный.

Запишите размеры углов треугольника ABC. На рисунке обозначьте каждый угол треугольника ABC числом градусов в угле.

Затем нарисуйте диагональ AD и аналогичным образом обозначьте размеры углов в треугольнике ADE. Почему треугольник ADE конгруэнтен треугольнику ABC?

Объясните, почему треугольник CAD является равнобедренным треугольником.

Наконец, используя то, что вы сейчас знаете обо всех углах с вершиной в точке A, запишите величину угла CAD, а затем обозначьте размеры других углов треугольника ACD.

Пусть s = || AB | и пусть d = | AC |. Назовите углы в треугольнике, подобном (1) треугольнику со сторонами s-s-d и (2) треугольнику со сторонами d-d-s.

Углы в пятиугольнике и пентаграмме

Знакомая пятиконечная звезда или пентаграмма также является правильной фигурой с равными сторонами и одинаковыми углами.
Пентаграмму можно нарисовать, нарисовав все диагонали правильного пятиугольника.
На предыдущей странице мы видели углы некоторых равнобедренных треугольников. В частности, появились углы 36, 72 и 108 градусов. На этом рисунке выше отметьте все углы в 36 градусов одиночной меткой, отметьте углы в 72 градуса двойной меткой и все углы в 108 градусов тройной меткой.
Передаточные числа в правильном пятиугольнике

Обозначим пересечение AC и BD буквой F.
Теперь, временно игнорируя остальную часть фигуры, сконцентрируйтесь на этом треугольнике с подтреугольником. Обозначьте все углы на рисунке их размерами.
Объясните, исходя из углов, почему каждый из подтреугольников представляет собой равнобедренный треугольник.
При условии, что | AC | = d и | CD | = s, что такое | CD |?

Используя аналогичные треугольники, найдите уравнение, связывающее s и d.

Пусть теперь отношение r = d / s.Перепишите уравнение как уравнение относительно r. (Других переменных не должно быть.) Затем решите относительно r.

Построение многоугольников из треугольников
Построение многоугольников из треугольников
Построение многоугольников из треугольников
по

Дженнифер Рот
По отрезку AB постройте равнобедренный треугольник

Постройте окружность радиуса AB из точки на прямой и окружность из другая точка C на той же прямой с радиусом AB (AC должно быть больше, чем или равно 2AB).Где эти два круга пересекаются, это ваша третья точка для вашего равнобедренного треугольника (таких точек две).
Щелкните здесь, чтобы просмотреть файл GSP, демонстрирующий это.
Теперь, как мы можем построить параллелограмм, используя этот равнобедренный треугольник.
Если отразить треугольник ABC в AC, получится следующий параллелограмм
Щелкните здесь, чтобы просмотреть файл GSP, демонстрирующий это. У этого параллелограмма стороны равной длины.
Это особый вид параллелограмма, ромба, у которого все четыре стороны конгруэнтны, а его диагонали перпендикулярны.
Следовательно, вы получите квадрат, если начнете с треугольника 45-45-90.
Как мы могли создать прямоугольник, используя любой прямоугольный треугольник. Простая конструкция использование перпендикулярных линий приведет к следующему, если вы начнете с треугольника ABC. (Как еще мы можем сделать это, используя отражения и переводы?)
Теперь, как мы можем использовать любой прямоугольный треугольник для создания параллелограмма.
Щелкните здесь, чтобы просмотреть сценарий, демонстрирующий это.Если вы сначала отразите треугольник ABC в AC, вы получите треугольник ACD. Тогда, если вы отразите треугольник BCD в БД, вы получите параллелограмм BCDE. У этого параллелограмма снова равные стороны. (Как еще мы можем это сделать?)
Как мы можем построить параллелограмм, используя любой треугольник. Это даст получим параллелограмм с разной длиной стороны. Построить треугольник ABC и постройте линию, параллельную AC через B. Используйте ее как линию отражение для треугольника ABC. Затем постройте отрезок AA ‘и отрезок CC’.У вас получится особый параллелограмм, еще один прямоугольник.
Щелкните здесь, чтобы просмотреть файл GSP, демонстрирующий это. Как еще мы можем использовать любой треугольник для создания параллелограмма?
А теперь, как построить любой четырехугольник из треугольников. Размышлять вместе одна из сторон треугольника, кроме прямоугольного, и вы получится четырехугольник.
Как построить трапецию из треугольников.
Постройте треугольник ABC и постройте любую точку на AC.Затем построить линия, параллельная BC через эту точку, D. Если вы начали с равнобедренного треугольник, получится равнобедренная трапеция. По мере приближения линейного сегмента ED длина 0, предел — ваш исходный треугольник.
Итак, как мы можем построить другие многоугольники, используя треугольники. Я просто сосредоточусь на правильных фигурах (фигурах равносторонних и равносторонних).

Как мы знаем, размер каждого внутреннего угла правильного n-угольника составляет 1 / n (n-2) (180 градусов).Следовательно, пятиугольник выше был построен путем вращения линии сегмент 108 градусов, а шестиугольник был построен, вращая отрезок прямой 120 градусов и т. Д. Как видите, (n-2) — это количество используемых треугольников. чтобы составить каждый из многоугольников.
Щелкните здесь, чтобы просмотреть используемый сценарий GSP построить Пентагон.
Щелкните здесь, чтобы просмотреть сценарий GSP, используемый для построить шестиугольник.
Щелкните здесь, чтобы просмотреть сценарий GSP, используемый для построить Октагон.
Что, если бы мы использовали равнобедренный треугольник с углом основания, равным 1 / n (n-2) (180 градусов) и другие вершины в центре регулярного н-угольник? Мы могли бы повернуть этот треугольник на 1 / n (n-2) (180 градусов) вокруг центр, чтобы произвести н-угольник.
геометрия — Новая очень простая конструкция золотого сечения, включающая треугольник, квадрат и пятиугольник со сторонами равной длины. Есть ли предшествующий уровень техники?
Перенос моих мыслей из комментариев под моим ответом на другой вопрос …
Квадрат и треугольник здесь не имеют ничего общего с проявлением золотого сечения. Суть конструкции такова:
У фигуры есть две основные характеристики:
$ O $ лежит на серединном перпендикуляре ребра $ \ overline {RS} $ правильного пятиугольника; и,
$ B $ лежит на перпендикуляре к $ \ overline {RS} $ через $ S $.
Эта информация — все, что нам нужно , чтобы найти $ \ phi $.
Поскольку $ \ треугольник OAM \ sim \ треугольник OBN $, имеем $$ \ frac {a} {b} = \ frac {\ frac {1} {2} | \ overline {AQ} |} {\ frac {1} {2} | \ overline {RS} |} = \ frac {\ text {диагональ правильного пятиугольника}} {\ text {край правильного пятиугольника}} = \ phi = 1.618 \ dots $$
(используя хорошо известное свойство правильных пятиугольников), а затем золотистость отношения $ a / b $ переходит к целевому соотношению $ b / (a-b) $, потому что именно так работает золотое сечение.:) $ \ qquad \ square $
Как я пишу в своих ссылках на комментарии:
$$ \ text {[Эта] конструкция — это} \ textit {подлый} \ text {, в том смысле, что она заставляет думать} \\ \ text {, что квадрат и треугольник имеют значение, хотя на самом деле это не так.} $$
Конечно, четность и нечетность соответствующих счетчиков ребер квадрата и треугольника естественным образом гарантируют, что целевой сегмент имеет конечную точку на серединном перпендикуляре в соответствии с «характерной особенностью» $ (1) $; и наличие квадрата подходящего размера и положения делает перпендикуляр в $ (2) $ естественной частью конструкции.(К тому же, как упоминает OP, прогрессия от 3 до 4 — 5 долларов имеет некоторую привлекательность. Я также скажу, что мне нравится скрытый аспект . 🙂 Кроме того, ничего не говорится о конкретной геометрии этих элементов. в игру: треугольник может быть просто равнобедренным; квадрат мог быть просто прямоугольным; и / или любое количество дополнительных фигур может присоединиться к ним (или заменить их) в цепочке. Это просто не имеет значения; , пока выполняются $ (1) $ и $ (2) $, конструкция дает золотое сечение.
Например, вот сравнительно хитрая конструкция, которая может создать (ложное) впечатление, что прогрессия на $ 5 $ — $ 6 $ — $ 7 $ в количестве ребер компонентов имеет особую связь с $ \ phi $:
полигонов и треугольников — бесплатная справка по математике
Определение
Многоугольник — это замкнутая геометрическая фигура, стороны которой представляют собой простые отрезки прямых. Каждый угол многоугольника, где пересекаются две стороны, называется вершиной многоугольника.
Например, треугольник — это многоугольник с 3 сторонами. Также есть три вершины, по одной в каждой точке. Это простейший многоугольник, потому что вы не можете построить его с одной или двумя сторонами (попробуйте!).
Классификация полигонов
Многоугольник можно определить по количеству сторон.
(1) Многоугольник с 4 сторонами называется четырехугольником.
(2) Многоугольник с 5 сторонами называется пятиугольником .
Многоугольник с 8 сторонами называется восьмиугольником .
Многоугольник с 10 сторонами называется десятиугольником .
Многоугольник с 12 сторонами называется двенадцатигранником .
ПРИМЕЧАНИЕ. Есть еще много многоугольников, но перечисленные здесь являются одними из самых популярных и наиболее часто преподаются на уроках геометрии. Многоугольники с более чем 12 сторонами обычно называют n-угольниками. Например, многоугольник с 56 сторонами — это 56-угольник.
Прочие условия
В равностороннем многоугольнике каждый угол имеет одинаковую величину в градусах.Квадрат является примером равноугольного многоугольника, потому что каждый из 4 углов составляет 90 градусов. То же можно сказать и о прямоугольнике.
В равностороннем многоугольнике каждая сторона имеет одинаковую длину. В треугольнике ABC ниже все стороны равны 12 футам, что делает треугольник ABC равносторонним.
Правильный многоугольник является ОБОИМ равносторонним и равносторонним. Квадрат — это правильный многоугольник, потому что все стороны имеют одинаковую длину и все углы равны: 90 градусов.
Классификация треугольников
Треугольники можно классифицировать по
(A) их сторон, или
(В) их углы
Разносторонний треугольник имеет 3 стороны разной длины.
Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и одну не равную сторону.
Равносторонний треугольник имеет 3 равные стороны.
В остром треугольнике все углы будут меньше 90 градусов.
Прямоугольный треугольник всегда будет иметь один угол 90 градусов.
У тупого треугольника всегда будет один угол, размер которого больше 90 градусов, но в то же время меньше 180 градусов.
Медиана и высота (высота)
Медиана треугольника — это отрезок, проведенный от вершины треугольника до середины противоположной стороны.
Высота или высота треугольника — это отрезок, проведенный из вершины треугольника, перпендикулярной противоположной стороне или удлиненной противоположной стороне.
Расстояние
Слово «расстояние» в геометрии всегда понимается как кратчайший путь. Расстояние между точкой и линией — это длина перпендикулярного сегмента, проведенного от точки, которая не находится на линии, до точки на линии. Расстояние от A до линии BC ниже 6, потому что это длина высоты
Урок, проведенный г-ном.Фелиз
Как найти площадь Пентагона (Формула и видео)
Площадь Пентагона
Площадь пятиугольника — это пространство внутри его пяти прямых сторон. В большинстве случаев вам будет поручено найти площадь правильного пятиугольника, поэтому в этом уроке не будут рассмотрены неправильные пятиугольники.
Правильный пятиугольник имеет равные стороны и равные углы. Есть несколько методов, которые вы можете использовать для вычисления площади правильного пятиугольника.Один метод использует длину стороны и длину апофемы.
Апофема Пентагона
Апофема пятиугольника — это отрезок прямой, идущий от центра пятиугольника к стороне пятиугольника. Апофема перпендикулярна стороне. У всех правильных многоугольников есть апофема. Для многоугольника из n сторон существует n апофем.
Содержание
Площадь Пентагона
Площадь Формулы Пентагона
Как найти апофему и площадь пятиугольника
Площадь Формулы Пентагона
Чтобы найти площадь пятиугольника с апофемой a и длиной одной стороны s, вы используете формулу площади пятиугольника:
A = 12 × a × 5 (с)
Что делать, если вы не знаете апофему своего пятиугольника? Вы все еще можете найти площадь правильного пятиугольника, если знаете:
Немного тригонометрии
Длина одной стороны
Каждый внутренний угол составляет 108 °
Вы знаете, что каждый внутренний угол имеет размер 108 °, потому что вы знаете кое-что о внешних углах и многоугольниках.Вы знаете, что:
Сумма внешних углов любого многоугольника в сумме дает 360 °
Внешний угол является дополнением внутреннего угла (внутренний + внешний = 180 °)
Чтобы найти размер каждой внешней стороны правильного многоугольника, вы разделите 360 ° на количество сторон. Для пятиугольника, равного 360 ° 5. Это говорит нам, что каждый внешний угол равен 72 °.
Теперь мы можем использовать это для определения меры каждого внутреннего угла. Помните, что внешний угол и внутренний угол должны складываться в 180 °, поэтому мы получаем 180 ° — 72 ° = 108 °.Каждый внутренний угол равен 108 °.
Как найти апофему и площадь пятиугольника
Используя длину одной стороны и меру внутреннего угла, давайте вычислим длину апофемы и найдем площадь правильного пятиугольника.
Допустим, у нас есть пятиугольник с длиной стороны 4 см. Разделите пятиугольник на пять равнобедренных треугольников, основание каждого из которых образовано сторонами пятиугольника.
[вставить рисунок правильного пятиугольника, разделенного на пять равнобедренных треугольников]
Разделите любой из этих треугольников на два прямоугольных:
[тот же рисунок, но один равнобедренный треугольник разделен на два прямоугольных {апофема}]
Теперь вы все знаете о прямоугольном треугольнике:
Длина короткой ножки треугольника (12 сторона пятиугольника)
Прямой угол (угол 90 °) противоположен гипотенузе (серединный перпендикуляр стороны)
Острый угол 36 ° напротив короткой ножки 360 °, разделенный на 10 прямоугольных треугольников)
Острый угол 54 ° напротив длинной ножки (12 из внутреннего угла 108 °)
Тангенс угла (здесь наш угол 36 °) — это противоположная сторона (короткое плечо), разделенная на соседнюю сторону (длинное плечо, которое является одновременно высотой треугольника и апофемой треугольника). пятиугольник):
загар (36 °) = напротив соседнего
тангенса (36 °) = противоположно
h × tan (36 °) = напротив
h = противоположный (36 °)
Загар (36 °) приблизительно равен 0.727, поэтому у нас есть противоположная сторона (короткая ножка) 2 см, разделенная на 0,727:
h = 20,727 = 2,75 см
Установив высоту треугольника h и зная его основание (12; сторона пятиугольника) b, вы можете применить формулу для определения площади треугольника:
У нас есть 10 таких прямоугольных треугольников, поэтому мы модифицируем формулу площади треугольника и вычисляем площадь нашего правильного пятиугольника:
А = 12bh × 10
Половину и десять можно объединить:
А = 5 × ш × в
Теперь мы подставляем известные нам числа для основания и высоты:
А = 5 × 2 × 2.75
И мы приходим к нашему ответу:
A = 27,5 см2
Общая площадь пятиугольника 27,5 см2. Площадь всегда выражается в квадратах или квадратных единицах.
Следующий урок:
Площадь трапеции
Расчет углов и длин сторон многоугольника
Многоугольник — это любая фигура на замкнутой плоскости. Оно происходит от латинского poly, , что означает «много», и gōnia, , что означает «угол». «Замкнутый» в этом контексте означает, что стороны образуют замкнутый контур.Это определение не исключает такие формы, как песочные часы или звезда, стороны которых пересекаются друг с другом. Когда стороны не пересекаются, мы называем их «простыми многоугольниками». В этой статье мы будем использовать только простые многоугольники.
Многоугольники должны иметь как минимум три стороны, так как двусторонняя фигура не может быть закрыта. Точка, где встречаются две стороны, называется «вершиной» (множественное число: «вершины»). Когда вы рисуете отрезок линии, соединяющий одну вершину с другой, это называется «диагональю».
Многоугольник является «выпуклым», если любая диагональ проведена снаружи многоугольника.Логотип Красного Креста выпуклый, потому что диагональ от одного угла до другого находится снаружи. «Углы» многоугольника — это все внутренние углы. Таким образом, четыре угла стыка поперечин составляют 270 °, а не 90 °.
Именование полигонов
Именование полигонов обычно основано на количестве сторон или углах. Например, «равносторонний» треугольник имеет три равные стороны, а «равносторонний» треугольник — три равных угла. (Конечно, они такие же.) Однако обычно имена относятся к количеству сторон многоугольника.Шестиугольник имеет шесть сторон, восьмиугольник — восемь и т. Д. Общее название « n -угольник» — это многоугольник с n сторонами. Итак, шестиугольник — это 6-угольник.
Когда стороны многоугольника имеют одинаковую длину и углы равны одинаковому градусу, мы называем его «правильным» многоугольником. Квадрат правильный. Все стороны и все углы равны. Пентагон в Вашингтоне, округ Колумбия, представляет собой обычный 5-угольник. Вырез большинства карандашей представляет собой правильный шестиугольник, а знаки остановки обычно представляют собой правильные восьмиугольники. Прямоугольник имеет четыре равных угла (90 °), а ромб — четыре равные стороны, но они не являются «правильными».«
Угловые измерения
Сумма всех углов
Сумма углов любого треугольника всегда будет равна 180 °, независимо от его размера.
Вы можете разделить большие многоугольники на треугольники, нарисовав диагонали между вершинами, четырехугольники (4-сторонние многоугольники) на два треугольника, пятиугольники (5-сторонние многоугольники) на три треугольника и т. Д. Вы можете разделить любой n -угольник на n -2 треугольника. Сумма каждого треугольника равна 180 °.
Таким образом, сумма углов любого многоугольника равна:
S = ( n — 2) * 180
Например, сумма всех восьми углов восьмиугольника равна: S = (8-2) * 180 = 1080 °.
Эта формула работает независимо от того, является ли многоугольник правильным, и даже работает, если многоугольник выпуклый. Символ Красного Креста — выпуклый 12-угольник. Он имеет четыре угла 270 ° в месте пересечения поперечин и восемь углов 90 ° на внешних углах.
4 (270) + 8 (90) = 1800 °.
Используя нашу формулу многоугольника, (12-2) * 180 = 1800 °. Разве это не потрясающе?
Индивидуальные уголки
Эту формулу можно использовать для нахождения отдельных углов, если многоугольник правильный. Для правильного восьмиугольника, такого как знак остановки, сумма всех восьми углов составляет 1080 °, поэтому каждый угол должен быть 1080/8 = 135 °.Каждый угол в правильном шестиугольнике равен (6-2) * 180/6 = 120 °.
Для неправильных многоугольников, если вы знаете все углы, кроме одного, вы можете найти недостающий угол.
У садовника есть проходы, которые образуют почти пятиугольник — почти потому, что один из углов покрыт прудом. Форма имеет два прямых угла, а два других он измеряет на 65 ° и 58 °. Сумма известных углов составляет 303 °. Сумма всех углов пятиугольника составляет 540 °, поэтому угол под прудом составляет 540 — 303 = 237 °.Этот внутренний угол больше 180 °. Скорее всего, садовнику нужен внешний угол, который составляет 237 — 180 = 57 °.
Длина стороны
Правил для определения длин сторон многоугольника не так много, но обычно это не проблема. Длину сторон намного легче измерить, чем углы, особенно если вы работаете с правильным многоугольником. На правильных многоугольниках все стороны равны. Если вы измеряете одну сторону, вы узнаете длину остальных. У прямоугольников противоположные стороны равны.
Теорема Пифагора
Один из способов вычислить стороны прямоугольного треугольника — использовать теорему Пифагора. Прямоугольный треугольник — это треугольник с прямым углом (90 °), образованный двумя ножками. «Гипотенуза» — это сторона, лежащая напротив прямого угла. Если возвести в квадрат (умножить число на себя) длину двух катетов, а затем сложить суммы вместе, вы получите результат возведения в квадрат гипотенузы. Если длины участков представлены как a и b, , а длина гипотенузы равна c , тогда уравнение a2 + b2 = c2
Вот простой пример.Обычный лист фанеры имеет ширину 4 фута и длину 8 футов. Какова длина диагонали от одного угла до противоположного?
42 + 82 = c2
16 + 64 = с2
80 = с2
√ (80) = c ≈ 8,94
Вы могли бы выразить это в математике плотника как: 0,94 фута = 0,94 x 12 дюймов / фут = 11,28 дюйма. Длина диагонали составляет около 8 футов 11 дюймов.
Тригонометрические отношения
Тригонометрические соотношения полезны для соотношений прямоугольного треугольника.Они основаны на наблюдении схожих треугольников (одинаковой формы, но не одинакового размера). Если два треугольника имеют одинаковые три угла, то отношение двух сторон первого треугольника будет равно отношению соответствующих сторон второго треугольника.
Вот как работают триггерные функции. Рассмотрим треугольник с прямым углом в одном углу и углом 31 ° в другом углу. Третий угол должен быть 180 — 90 — 31 = 59 °. Все треугольники 31-59-90 подобны, и отношение двух сторон одного будет равно отношению соответствующих сторон всех остальных.
Помните, стороны, образующие прямой угол, называются «ножками» (обычно обозначаются a и b ), а сторона, противоположная прямому углу, называется «гипотенузой» (обычно обозначается c ). Более конкретно, сторона, противоположная обозначенному углу (в данном случае 31 °), равна a, , а сторона, прилегающая к ней, — b , а размеры угла — α и β соответственно.
Отношение a / b или противоположное / смежное, получило название «касательная».»Вы можете определить значение тангенса, измерив a и b , а затем разделив его. Но поскольку оно будет одинаковым для каждого треугольника 31-59-90, вы можете найти значение, используя таблицы триггеров или научные или онлайн калькуляторы.
Теорема Пифагора и триггерные функции применимы только к прямоугольным треугольникам, но очень часто вы можете разбить более сложные многоугольники на несколько прямоугольных треугольников. Затем вы можете использовать известные значения для вычисления неизвестных.
Оставьте первый комментарий ниже.\ circ $. Алгебраическая формула, которая встречается на этапе (c), может рассматриваться как обобщение частей (a) и (b), но аргумент, устанавливающий эту формулу, требует тонкого аргумента, который последовательно уменьшает количество сторон рассматриваемого многоугольника. В качестве альтернативы шаг (c) может быть выполнен путем явного разделения данного многоугольника на треугольники. Предоставляются оба решения, и важно отметить, что логика довольно различна: для первого решения случай многоугольника с $ n $ сторонами сводится к случаю многоугольника с одним меньшим числом, или $ n-1 $. стороны.Для этого аргумента требуются нижние индексы, и учитель может пожелать дать здесь рекомендации. Второй аргумент — это прямое обобщение, тщательное разделение на треугольники для частей (a) и (b) и требует гораздо меньше работы с индексами.
Когда многоугольник имеет углы, превышающие $ 180 градусов, результат остается верным, но требуется больше внимания, чтобы объяснить, почему. Например, на картинке ниже четырехугольник имеет один угол отражения (то есть один угол, превышающий 180 градусов):
Сумма четырех углов по-прежнему равна 360 градусам, как можно увидеть, нарисовав указанную вспомогательную линию, которая делит четырехугольник на два треугольника.Однако деление необходимо производить осторожно, если есть несколько углов, превышающих $ 180 градусов, что может иметь место для многоугольников с большим количеством сторон. Это может сделать классную работу сложной и интересной. Пятиугольник в части (b) был выбран с одним углом, превышающим 180 градусов, чтобы дать студентам возможность подумать о том, как поступить в этой ситуации.
Это задание иллюстрирует три математических практики. Первые две части требуют тщательного сочетания геометрического и алгебраического рассуждений (MP2), и, чтобы обеспечить убедительный аргумент (MP3), алгебру и геометрию необходимо тщательно связать.Эта ссылка осуществляется через картинку, которую студенты должны предоставить. Наконец, чтобы выполнить часть (c), учащиеся должны идентифицировать шаблон из частей (a) и (b), а затем объяснить, почему это работает для многоугольника с любым количеством сторон: это хороший пример MP8.
.

Как понять Геометрию? Основы с нуля

Идеальные объекты

Базовые геометрические объекты

Комбинации простейших объектов

Треугольник

Свойства треугольников

Подобные треугольники

Классификация треугольников по их сторонам

Свойства прямоугольного треугольника

Четырехугольники

Окружность

Взаимодействие объектов

Практическая сторона геометрии

Разделите квадрат двумя отрезками на два треугольника и два пятиугольника.

Построение треугольника по трем элементам и правильного пятиугольника

Построение треугольника по трем элементам и правильного пятиугольника

Решение задач по математике

Магнитный конструктор.

Пример работы с плоскими геометрическими фигурами:

Собери шестиугольную звезду:

Пример работы с объёмными геометрическими фигурами:

Задачи по физике и математике с решениями и ответами

Задача по математике — 3636

Задача по математике — 3646

Задача по математике — 3651

Задача по математике — 3660

Задача по математике — 3662

Задача по математике — 3665

Задача по математике — 3667

Задача по математике — 3669

Задача по математике — 3674

Задача по математике — 3681

Задания на построение — Студопедия

правильных пятиугольников

Построение многоугольников из треугольников

Построение многоугольников из треугольников

по

полигонов и треугольников — бесплатная справка по математике

Определение

Классификация полигонов

Прочие условия

Классификация треугольников

Медиана и высота (высота)

Расстояние

Как найти площадь Пентагона (Формула и видео)

Площадь Пентагона

Апофема Пентагона

Содержание

Площадь Формулы Пентагона

Как найти апофему и площадь пятиугольника

Следующий урок:

Расчет углов и длин сторон многоугольника

Именование полигонов

Угловые измерения

Сумма всех углов

Индивидуальные уголки

Длина стороны

Добавить комментарий Отменить ответ