Правильный шестиугольник, площадь правильного шестиугольника
Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.
Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.
Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.
Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?
Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.
Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .
Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.
, где — сторона правильного шестиугольника.
Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.
Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен .
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .
Радиус такой окружности равен .
Ответ: .
. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.
Ответ: .
Шестиугольник, виды, свойства и формулы
Шестиугольник, виды, свойства и формулы.
Шестиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.
Шестиугольник, выпуклый и невыпуклый шестиугольник
Правильный шестиугольник (понятие и определение)
Свойства правильного шестиугольника
Формулы правильного шестиугольника
Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре
Звездчатый шестиугольник
Восьмиугольник
Шестиугольник, выпуклый и невыпуклый шестиугольник:
Шестиугольник – это многоугольник с шестью углами.
Шестиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.
Шестиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.
Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.
Соответственно
Рис. 1. Выпуклый шестиугольник
Рис. 2. Невыпуклый шестиугольник
Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 720°.
.
Правильный шестиугольник (понятие и определение):
Правильный шестиугольник (гексагон) – это правильный многоугольник с шестью сторонами.
В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Правильный шестиугольник – это шестиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 120°.
Рис. 3. Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник имеет 6 сторон, 6 углов и 6 вершин.
Углы правильного шестиугольника образуют шесть равносторонних треугольников.
Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки.
Свойства правильного шестиугольника:
1. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой.
a1 = a2 = a3 = a4= a5= a6.
2. Все углы равны между собой и составляют 120°.
α1 = α2 = α3 = α4 = α5 = α6 = 120°.
Рис. 4. Правильный шестиугольник
3. Сумма внутренних углов любого правильного шестиугольника равна 720°.
4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного шестиугольника O.
Рис. 5. Правильный шестиугольник
5. Количество диагоналей правильного шестиугольника равно 9.
Рис. 6. Правильный шестиугольник
6. Центр вписанной окружности O1 совпадает с центром описанной окружности O2, что и образуют центр многоугольника O.
Рис. 7. Правильный шестиугольник
7. Правильные шестиугольники замощают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).
8. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника и его сторона равны.
Рис. 8. Правильный шестиугольник
R = a
Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре:
Пчелиные соты имеют форму правильного шестиугольника.
Графит, графен имеют гексагональную кристаллическую решетку.
Гигантский гексагон – атмосферное явление на Сатурне – имеет форму правильного шестиугольника.
Рис. 9. Гигантский гексагон на Сатурне
Сечение гайки и многих карандашей имеет вид правильного шестиугольника.
Игровое поле гексагональных шахмат составляют шестиугольники, в отличие от квадратов традиционной шахматной доски.
Панцирь черепахи состоит из шестиугольников.
Гексагоном иногда называют материковую часть Франции, потому что её географические очертания напоминают данную геометрическую фигуру.
Рис. 10. Материковая часть Франции
Формулы правильного шестиугольника:
Пусть a – сторона шестиугольника, r – радиус окружности, вписанной в шестиугольник, R – радиус описанной окружности шестиугольника, P – периметр шестиугольника, S – площадь шестиугольника.
Формулы периметра правильного шестиугольника:
Формулы площади правильного шестиугольника:
Формула радиуса окружности, вписанной в правильный шестиугольник:
Формула радиуса окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника:
R = a
Звездчатый шестиугольник:
Звездчатый шестиугольник (гексаграмма) – это многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника.
Гексаграмма (др.-греч. ἕξ – «шесть» и γραμμή – «черта, линия») – это звезда с шестью углами, которая образуется из двух наложенных друг на друга равносторонних треугольников.
Прямоугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Шестиугольник
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
Найти что-нибудь еще?
Похожие записи:
карта сайта
Коэффициент востребованности 1 835
Гексагон
фывафыва
Гексагон — правильный выпуклый многоугольник с шестью сторонами или шестиугольник.
Шестиугольник — это многоугольник, имеющий шесть сторон и шесть углов. В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы образуют шесть равносторонних треугольников.
Выпуклый шестиугольник — это многоугольник, с общим количеством вершин, равным шести, при этом все точки такого шестиугольника лежат по одну сторону от прямой, которая проведена между двумя любыми соседними его вершинами.
Правильный шестиугольник — это шестиугольник, все стороны которого равны между собой.
Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле 180°(n-2) и равна 180 ( 6 — 2 ) = 720 градусов.
При решении задач для нахождения площади произвольного (неправильного) шестиугольника используют метод трапеций, который заключается в разбиении фигуры на отдельные трапеции, площадь каждой из которых можно найти по известным всем формулам.
Свойства правильного шестиугольника
- все внутренние углы равны между собой
- каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
- все стороны равны между собой
- сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
- большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам
- меньшая диагональ правильного шестиугольника в \( \sqrt{3} \)раз больше его стороны.
- vеньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне
- правильный шестиугольник заполняет плоскость без пробелов и наложений
- диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности. 6.
- инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями)
- nреугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60°.
Внутренние углы Внутренние углы в правильном шестиугольнике равны \(120^\circ\):
\(\alpha = 120^\circ\)
Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)
\(m = a\large\frac{{\sqrt 3 }}{2}\normalsize\)
Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)
\(m = a\large\frac{{\sqrt 3 }}{2}\normalsize\)
Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен апофеме:
\(r = m = a\large\frac{{\sqrt 3 }}{2}\normalsize\)
Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:
\(R = a\)
Периметр правильного шестиугольника
\(P = 6a\)
Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
\(S = pr = {a^2}\large\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\normalsize\),
где \(p\) − полупериметр шестиугольника.
Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
\( S = r^{2}\cdot 2\sqrt{3} \)
Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
\( S = \frac{R^{2}\cdot 3\sqrt{3}}{2} \)
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Правильный шестиугольник — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Правильный шестиугольник (гексагон) — правильный многоугольник с шестью сторонами.
Свойства
- Шестиугольники замощают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).
- Правильный шестиугольник со стороной 13{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} является универсальной покрышкой, то есть всякое множество диаметра 1 можно покрыть правильным шестиугольником со стороной 13{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} (лемма Пала)[1].
Построение
Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.
Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре
Примечания
- ↑ А. М. Райгородский. Проблема Борсука. — М.: Издательство МЦНМО, 2006. — С. 9. — 56 с. — (Библиотека „Математическое просвещение“). — ISBN ISBN 5-94057-249-9.
См. также
Ссылки
| Многоугольники | |
|---|---|
| Звёздчатые многоугольники | |
| Паркеты на плоскости | |
| Правильные многогранники и сферические паркеты | |
| Многогранники Кеплера — Пуансо | |
| Соты | |
| Четырёхмерные многогранники |
|
правильный шестиугольник PNG образ | Векторы и PSD-файлы
градиент абстрактный шестиугольник синий бизнес граница
1200*1200
знак социального дистанцирования с людьми не находящимися друг от друга с указанием правильного расстояния или разрыва между ними
2100*2100
аннотация с рисунком шестиугольников
3000*3000
знак социального дистанцирования с людьми не находящимися друг от друга с указанием правильного расстояния или разрыва между ними
2100*2100
деревянная панель в форме шестиугольника висит на веревке
2000*2000
дизайн по сравнению с формой шестиугольника с l
4167*4167
как правильно мыть руки шаг за шагом
3000*3000
отметьте и пометьте крестиком зеленая галочка в порядке а красный значок «x» изолирован на белом фоне простой графический дизайн «да» и «нет» символы кнопки для принятия решений о принятии решений и неодобрения правильных и неправильных отметок векторные
6250*6250
знак социального дистанцирования с людьми не находящимися друг от друга с указанием правильного расстояния или разрыва между ними
2100*2100
отметьте и пометьте крестиком зеленая галочка в порядке а красный значок «x» изолирован на белом фоне простой графический дизайн «да» и «нет» символы кнопки для принятия решений о принятии решений и неодобрения правильных и неправильных отметок векторные
6250*6250
зеленый правильный
1200*1200
Человеческий мозг Логика Наука Математика Правильное искусство Творчество
1200*1200
человек в маске правильный метод
2500*2500
отметьте и пометьте крестиком зеленая галочка в порядке а красный значок «x» изолирован на белом фоне простой графический дизайн «да» и «нет» символы кнопки для принятия решений о принятии решений и неодобрения правильных и неправильных отметок векторные
6250*6250
резюме шестиугольник фон
1390*1390
простой черный шестиугольник сотовая текстура сетки фон
2000*2000
Правильный и неправильный символ
2200*2200
в правильном направлении стрелка икона
1024*1024
правильный символ большой красный флажок стереоскопический рендеринг флажок
5000*5000
пастельная цветочная лаванда розовый геометрический шестиугольник свадебная рамка
1200*1200
абстрактный шестиугольник черный фон эффект текстуры шестиугольник
1200*1200
Красная ладонь и знак стоп в красном шестиугольнике
1200*1200
золотые листья рамки эвкалипта шестиугольника
4000*4000
свободная пряжка правильная неправильная проверка
1500*1000
свободная пряжка правильная неправильная проверка
1500*1500
технологическая окантовка круглая линия форма правильная форма шестиугольник геометрическая технология декорирования
4167*4167
инициалы буква s шестиугольник отрицательный вектор
3338*3338
Синяя логика наука математика правильно инфографики
1200*1200
разные цвета правильных и неправильных символов
3072*4107
футуристический красочный абстрактный шестиугольник кадр
2000*2000
правильная разметка векторного круга
1200*1200
Мультяшный логотип рисованной милый Мемфис поп стиль иллюстрация шестиугольник черный порошок
1200*1200
Виды параллельных проекций. Изображение плоских фигур в свободной параллельной проекции. Теорема Польке-Шварца, страница 3
Для доказательства достаточно достроить трапецию до параллелограмма.
В свободной параллельной проекции допустимо изображать:
— окружность любым эллипсом;
— треугольник любым треугольником;
— параллелограмм любым параллелограммом;
— четырехугольник любым четырехугольником с тем же отношением частей диагоналей;
— трапецию любой трапецией с тем же отношением оснований.
Приведем несколько примеров построения изображений правильных многоугольников, считая известными свойства каждого многоугольника.
Пример 1. Построить изображение правильного пятиугольника в свободной параллельной проекции.
Решение. Пусть A’B’C’D’E’ - правильный пятиугольник (рис. 8, а). Проведем диагонали A’C’ и B’D’ и опишем около него окружность.
Рис.8,а
DD’B’C’ ~ DB’M’C’, т.к.
1. ÐD’B’C’ - общий,
2. ÐB’C’A’ =ÐB’D’C’ - как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги.
Тогда (**)
Т.к. A’E’ || B’D’, E’D’ || A’C’, A’E’=E’D’ (из свойств правильного пятиугольника), то A’E’D’M’ - ромб, т.е. M’D’=A’E’-B’C’.
Обозначим B’C’=a, B’M’=x.
Из равенства (**) имеем , , поэтому квадратное уравнение
l2+l-1=0 имеет корни, из которых один не удовлетворяет условию задачи, тогда, следовательно .
Отсюда получаем правило изображения правильного пятиугольника:
Рис.8,б
Проведем произвольную пару прямых, пересекающихся в точке М (рис. 8, б). На одной прямой отложим от точки М три произвольных, но равных отрезка по одну сторону и два таких же — по другую. Получаем точки B и D. Аналогичные построения для другой прямой (в общем случае откладываемые отрезки на второй прямой имеют другую длину) — точки А и С. Затем строим параллелограмм на отрезках BM и AM. Четвертая вершина параллелограмма — точка E. ABCDE — изображение правильного пятиугольника.
Пример 2. Построить изображение правильного шестиугольника.
Решение. Пусть A’B’C’D’E’F’ — правильный шестиугольник (рис. 9, а).
Рис.9,а
Опишем около него окружность и проведем отрезки A’D’, B’F’, C’E’. Тогда увидим, что диагональ A’D’ разделилась точками G’, H’, O’ (центр описанной окружности) на 4 равные части, причем B’C’||C’E’||F’E’, A’B’||E’D’, C’D’||A’F’, B’F’||C’E’. (1)
Тогда изобразить правильный шестиугольник можно следующим образом (рис. 9, б):
Рис.9,б произвольный отрезок AD делим на 4 равные части, получаем точки G, O, H. Учитывая условия (1), присущие оригиналу, достраиваем изображение ABCDEF.
Замечание 1.Существуют и другие способы построения правильного шестиугольника. Например, зная, что B’C’E’F’ - прямоугольник, изобразим его произвольным параллелограммом BCEF и достроим до шестиугольника, исходя из свойств оригинала A’B’C’D’E’F’, которые сохранятся при параллельном проектировании.
Выявив некоторые признаки, присущие оригиналу — это могут быть как алгебраические равенства (пример 1), так и геометрические свойства (пример 2) - мы переносим их на изображение. Это относится и к построению изображений многоугольников, вписанных в окружность (или описанных около нее).
Замечание 2.При построении фигур, вписанных или описанных около окружности, зная, что изображением окружности является эллипс, а взаимно перпендикулярные диаметры окружности перейдут в сопряженные диаметры эллипса, помещают вершины (одну или несколько) в концы сопряженных диаметров и рассматривают расположение многоугольника относительно сопряженных диаметров, а затем переносят эти свойства на изображение.
§3. Теорема Польке-Шварца.
Теорема Польке-Шварца. Любой плоский четырехугольник ABCD вместе с его диагоналями (сплошной и пунктирной) может служить параллельной проекцией тетраэдра A’B’C’D’, если только не все вершины четырехугольника лежат на одной прямой.
Доказательство. Пусть задан произвольный плоский четырехугольник ABCD (рис.10, а). Докажем, что он может служить параллельной проекцией тетраэдра A’B’C’D’ (рис.10, б). Выберем на ребрах тетраэдра B’C’ и A’D’ точки K’ и M’ из условий:
Правильный шестиугольник ≪ Scisne?
Правильный шестиугольник (гексагон) — это правильный многоугольник с шестью сторонами.Правильный шестиугольник |
Математические свойства
Особенность правильного шестиугольника — равенство его стороны и радиуса описанной окружности , поскольку .
Все углы равны 120°.
Радиус вписанной окружности равен:
.Периметр правильного шестиугольника равен:
Площадь правильного шестиугольника рассчитывается по формулам:,
.
Шестиугольники замощают плоскость, то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений, образуя так называемый паркет.
Шестиугольный паркет (шестиугольный паркетаж) — замощение плоскости равными правильными шестиугольниками, расположенными сторона к стороне.
Шахматная раскраска шестиугольного паркета |
Шестиугольный паркет является двойственным треугольному паркету: если соединить центры смежных шестиугольников, то проведённые отрезки дадут треугольный паркетаж. Символ Шлефли шестиугольного паркета — {6,3}, что означает, что в каждой вершине паркета сходятся три шестиугольника.
Шестиугольный паркет является наиболее плотной упаковкой кругов на плоскости. В двумерном евклидовом пространстве наилучшим заполнением является размещение центров кругов в вершинах паркета, образованного правильными шестиугольниками, в котором каждый круг окружен шестью другими. Плотность данной упаковки равна . В 1940 году было доказано, что данная упаковка является самой плотной.
Наиболее плотная упаковка кругов на плоскости |
Правильный шестиугольник со стороной является универсальной покрышкой, то есть всякое множество диаметра можно покрыть правильным шестиугольником со стороной (лемма Пала).
Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.
Построение правильного шестиугольника с помощью циркуля и линейки |
Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре
Пчелиные соты показывают разбиение плоскости на правильные шестиугольники. Шестиугольная форма больше остальных позволяет сэкономить на стенках, то есть на соты с такими ячейками уйдёт меньше воска.
Пчелиные соты |
Некоторые сложные кристаллы и молекулы, например графит, имеют гексагональную кристаллическую решётку.
Кристаллическая решетка графита |
Снежинки образуется, когда микроскопические капли воды в облаках притягиваются к пылевым частицам и замерзают. Появляющиеся при этом кристаллы льда, не превышающие поначалу 0,1 мм в диаметре, падают вниз и растут в результате конденсации на них влаги из воздуха. При этом образуются шестиконечные кристаллические формы. Из-за структуры молекул воды между лучами кристалла возможны углы лишь в 60° и 120°. Основной кристалл воды имеет в плоскости форму правильного шестиугольника. На вершинах такого шестиугольника затем осаждаются новые кристаллы, на них — новые, и так получаются разнообразные формы звёздочек-снежинок.
Снежинки |
Гигантский гексагон — атмосферное явление на Сатурне.
Гигантский гексагон — устойчивое атмосферное образование на северном полюсе Сатурна, открытое аппаратом Вояджер-1 и наблюдаемое снова в 2006 году аппаратом Кассини-Гюйгенс. |
Учёные из Оксфордского университета смогли в лабораторных условиях смоделировать возникновение подобного гексагона. Чтобы выяснить, как возникает такое образование, исследователи поставили на вертящийся стол 30-литровый баллон с водой. Она моделировала атмосферу Сатурна и её обычное вращение. Внутри учёные поместили маленькие кольца, вращающиеся быстрее ёмкости. Это генерировало миниатюрные вихри и струи, которые экспериментаторы визуализировали при помощи зелёной краски. Чем быстрее вращалось кольцо, тем больше становились вихри, заставляя близлежащий поток отклоняться от круговой формы. Таким образом авторам опыта удалось получить различные фигуры — овалы, треугольники, квадраты и, конечно, искомый шестиугольник.
Вращение гексагона на северном полюсе Сатурна |
Дорога гигантов — памятник природы из примерно 40 000 соединённых между собой базальтовых (реже андезитовых) колонн, образовавшихся в результате древнего извержения вулкана. Расположен на северо-востоке Северной Ирландии в 3 км к северу от города Бушмилса.
Верхушки колонн образуют подобие трамплина, который начинается у подножья скалы и исчезает под поверхностью моря. Большинство колонн шестиугольные, хотя у некоторых четыре, пять, семь и восемь углов. Самая высокая колонна высотой около 12 м.
Около 50-60 миллионов лет назад, во время палеогенового периода, месторасположение Антрим подвергалось интенсивной вулканической активности, когда расплавленный базальт проникал через отложения, формируя обширные лавовые плато. По мере быстрого охлаждения происходило сокращение объёма вещества (подобное наблюдается при высыхании грязи). Горизонтальное сжатие приводило к характерной структуре шестигранных столбов.
Дорога гигантов |
Игровое поле зачастую составляют шестиугольники. Замощение плоскости правильными шестиугольниками является основой для гекса, гексагональных шахмат и других игр на клетчатом поле, полигексов, вариантов модели «Жизнь» и других двумерных клеточных автоматов, кольцевых флексагонов и т.п.
Гексагональные шахматы Глинского. Начальное положение фигур. |
Сечение гайки имеет вид правильного шестиугольника.
Гайки |
Звезда Давида (гексаграмма) — шестиконечная звезда, образованная двумя правильными треугольниками, символ иудаизма.
Звезда Давида |
| 6-сторонний многоугольник
Сотовый узор — почему 6-сторонняя форма так распространена в природе
Сотовый узор состоит из правильных шестиугольников, расположенных рядом . Они полностью заполняют всю покрываемую ими поверхность, поэтому между ними нет дыр. Этот сотовый узор встречается не только в сотах (сюрприз!), Но и в многих других местах в природе . Фактически, он настолько популярен, что можно сказать, что это форма по умолчанию, когда действуют конфликтующие силы, а сферы невозможны из-за характера проблемы.
От пчел «ульев» до трещин в горных породах через органическую химию (даже в строительных блоках жизни: белках) правильные шестиугольники являются наиболее распространенной многоугольной формой, существующей в природе. И тому есть причина: углы шестиугольника. Угол 120º является наиболее механически устойчивым из всех, и по совпадению это также угол , под которым стороны встречаются в вершинах , когда мы выстраиваем шестиугольники бок о бок. Для полного описания важности и преимуществ правильных шестиугольников рекомендуем посмотреть видео выше.Тем, кто заядлый читатель, читайте дальше (вы можете проверить, насколько быстро вы читаете, с помощью калькулятора скорости чтения).
То, как углы 120º распределяют силы (и, в свою очередь, напряжение) между двумя сторонами шестиугольника, делает его очень стабильной и механически эффективной геометрией. Это существенное преимущество шестиугольников. Еще одно важное свойство правильных шестиугольников состоит в том, что они могут заполнить поверхность без промежутков между ними (вместе с правильными треугольниками и квадратами). Вдобавок ко всему, обычная 6-сторонняя форма имеет наименьший периметр для наибольшей площади среди этих заполняющих поверхность многоугольников, что, очевидно, делает ее очень эффективной.
Очень интересный пример на видео выше — это мыльных пузырей . Когда вы создаете пузырь, используя воду, мыло и немного собственного дыхания, он всегда имеет сферическую форму. Это связано с тем, что объем сферы является самым большим из любого другого объекта для данной площади поверхности.
Однако, когда мы кладем пузыри вместе на плоскую поверхность, сфера теряет свое преимущество в эффективности , так как сечение сферы не может полностью покрыть двумерное пространство.Следующая лучшая форма с точки зрения объема и площади поверхности также лучше всего уравновешивает межпузырьковое натяжение, которое создается на поверхности пузырьков. Мы, конечно, говорим о нашем всемогущем шестиугольнике .
Пузыри представляют собой интересный способ визуализации преимуществ шестиугольника над другими формами, но это не единственный способ. В природе, как мы уже упоминали, существует примеров гексагональных образований , в основном из-за напряжений и напряжений в материале.К сожалению, мы не можем подробно остановиться на них. Тем не менее, можно назвать несколькими местами, где в природе можно встретить правильные шестиугольные узоры :
- Соты
- Органические соединения
- Стеки пузырей
- Скальные образования (например, Дорога гигантов)
- Глаза насекомых
- …
Богна Хапонюк и Альваро Диес
.Полигоны — шестиугольники
Свойства шестиугольников, внутренние углы шестиугольников
| Полигоны: свойства шестиугольников | |||
| |||
| Правильные шестиугольники: | |||
| Свойства правильных шестиугольников: | |||
| 9000 ) и все внутренние углы одинакового размера (совпадают). Чтобы найти меру внутренних углов, мы знаем, что сумма всех углов составляет 720 градусов (сверху) … И есть шесть углов … Итак, мера внутренний угол правильного шестиугольника составляет 120 градусов. | |||
| Измерение центральных углов правильного шестиугольника: | |
| Найти меру центрального угла правильного шестиугольника , сделайте круг посередине… Окружность составляет 360 градусов вокруг … Разделите это на шесть углов … Итак, размер центрального угла правильного шестиугольника составляет 60 градусов. Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников! | |
правильных многоугольников — свойства
Многоугольник
Многоугольник — это плоская форма (двухмерная) с прямыми сторонами. Примеры включают треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и так далее.
Обычный
«Правильный многоугольник» содержит: В противном случае это неправильный . |
|
Здесь мы смотрим только на правильных многоугольников .
Недвижимость
Итак, что мы можем знать о правильных многоугольниках? Прежде всего, мы можем проработать углы.
Внешний угол Внешний угол — это угол между любой стороной формы, |
Все внешние углы многоугольника в сумме составляют 360 °, поэтому:
Каждый внешний угол должен составлять 360 ° / n
(где n — количество сторон)
Нажмите кнопку воспроизведения, чтобы увидеть.
Внешний угол
(правильного восьмиугольника)
Пример: Каков внешний угол правильного восьмиугольника?
У восьмиугольника 8 сторон, поэтому:
Внешний угол = 360 ° / n
= 360 ° / 8
= 45 °
Внутренние углыВнутренний угол и Внешний угол измеряются от одной линии, поэтому в сумме получается 180 ° . |
Внутренний угол = 180 ° — Внешний угол
Мы знаем Внешний угол = 360 ° / n , поэтому:
Внутренний угол = 180 ° — 360 ° / n
Что можно переставить так:
Внутренний угол = 180 ° — 360 ° / n
= (п × 180 ° / п) — (2 × 180 ° / п)
= (п − 2) × 180 ° / п
Итак, у нас также есть это:
Внутренний угол = (n − 2) × 180 ° / n
Пример: Каков внутренний угол правильного восьмиугольника?
У правильного восьмиугольника 8 сторон, поэтому:
Внешний угол = 360 ° /8 = 45 °
Внутренний угол = 180 ° — 45 ° = 135 °
Внутренний угол
(правильного восьмиугольника)
Или мы могли бы использовать:
Внутренний угол = (n − 2) × 180 ° / n
= (8−2) × 180 ° / 8
= 6 × 180 ° / 8
= 135 °
Пример: Каковы внутренние и внешние углы правильного шестиугольника?
У правильного шестиугольника 6 сторон, поэтому:
Внешний угол = 360 ° /6 = 60 °
Внутренний угол = 180 ° — 60 ° = 120 °
А теперь несколько имен:
«Окружность, вписанная окружность, радиус и апофема… «
Звучит довольно музыкально, если повторить это несколько раз, но это просто названия «внешних» и «внутренних» кругов (и каждого радиуса), которые можно нарисовать на многоугольнике следующим образом:
«Внешний» круг называется описанной окружностью , и он соединяет все вершины (угловые точки) многоугольника.
Радиус описанной окружности также равен радиусу многоугольника.
«Внутренний» круг называется вписанной окружностью , и он просто касается каждой стороны многоугольника в его средней точке.
Радиус вписанной окружности равен апофемой многоугольника.
(Не все многоугольники обладают этими свойствами, но треугольники и правильные многоугольники обладают).
Разбиение на треугольники
Мы можем многое узнать о правильных многоугольниках, разбив их на треугольники следующим образом:
Обратите внимание, что:
- «основание» треугольника — это одна сторона многоугольника.
- «высота» треугольника — это «апофема» многоугольника
Итак, площадь треугольника равна половине основания, умноженного на высоту, поэтому:
Площадь одного треугольника = основание × высота / 2 = сторона × апофема / 2
Чтобы получить площадь всего многоугольника, просто сложите площади всех маленьких треугольников («n» из них):
Площадь многоугольника = n × сторона × апофема / 2
А так как периметр равен всем сторонам = n × сторона, получаем:
Площадь многоугольника = периметр × апофема / 2
Меньший треугольник
Разрезав треугольник пополам, получим:
(Примечание: углы указаны в радианах, а не в градусах)
Маленький треугольник является прямоугольным, поэтому мы можем использовать синус, косинус и тангенс, чтобы найти, как связаны между собой сторона , радиус , апофема и n (количество сторон):
| sin (π / n) = (Сторона / 2) / Радиус | Сторона = 2 × Радиус × sin (π / n) | |
| cos (π / n) = Апофема / Радиус | Апофема = Радиус × cos (π / n) | |
| загар (π / n) = (Сторона / 2) / Апофема | Сторона = 2 × Апофема × загар (π / n) |
Подобных отношений гораздо больше (большинство из них просто «перестановки»), но пока они подойдут.
Другие формулы площади
Мы можем использовать это для вычисления площади, когда знаем только Апофему:
Площадь малого треугольника = ½ × Апофема × (Сторона / 2)
И мы знаем (из формулы «загар» выше), что:
Сторона = 2 × Апофема × загар (π / n)
Итак:
Площадь малого треугольника = ½ × Апофема × (Апофема × тангенс (π / n))
= ½ × Апофема 2 × tan (π / n)
И таких треугольников по 2 на каждую сторону, или 2n для всего многоугольника :
Площадь многоугольника = n × апофема 2 × tan (π / n)
Когда мы не знаем Апофему, мы можем использовать ту же формулу, но переработанную для Радиуса или Стороны:
Площадь многоугольника = ½ × n × радиус 2 × sin (2 × π / n)
Площадь многоугольника = ¼ × n × сторона 2 / tan (π / n)
Таблица значений
А вот таблица сторон, апофем и площадей по сравнению с радиусом «1» с использованием разработанных нами формул:
График
А вот график из таблицы выше, но с числом сторон («n») от 3 до 30.
Обратите внимание, что по мере увеличения «n» Апофема стремится к 1 (равному радиусу), а Площадь стремится к π = 3,14159 …, как круг.
К чему стремится длина стороны?
.{\ circ} $$Задача 3
Какова сумма внутренних углов многоугольника (пятиугольника)?
Покажи ответЗадача 4
Какова сумма размеров внутренних углов многоугольника (шестиугольника)?
Покажи ответВидео Учебное пособие
по внутренним углам многоугольника
Определение правильного многоугольника:
Правильный многоугольник — это просто многоугольник, все стороны которого имеют одинаковую длину, а все углы имеют одинаковую величину.Вы, наверное, слышали о равностороннем треугольнике — двух наиболее известных и наиболее часто изучаемых типах правильных многоугольников.Примеры правильных многоугольников
Обычный шестиугольник Обычный Пентагон Подробнее о правильных многоугольниках здесь .Измерение одного внутреннего угла
| Форма | Формула | Сумма внутренних углов |
|---|---|---|
| Обычный Пентагон | $$ (\ красный 3-2) \ cdot180 $$ | $$ 180 ^ {\ circ} $$ |
| $$ \ red 4 $$ многоугольник (четырехугольник) | $$ (\ красный 4-2) \ cdot 180 $$ | $$ 360 ^ {\ circ} $$ |
| $$ \ red 6 $$ многоугольник (шестигранник) | $$ (\ красный 6-2) \ cdot 180 $$ | $$ 720 ^ {\ circ} $$ |
Что делать, если вам нужен только 1 внутренний угол?
Чтобы найти размер одного внутреннего угла правильного многоугольника (многоугольника со сторонами равной длины и углами одинаковой меры) с n сторонами, мы вычисляем сумму внутренних углов или $$ (\ red n-2) \ cdot 180 $$ и затем разделите эту сумму на количество сторон или $$ \ red n $$.{\ circ}} {\ red 3} = \ fbox {60} $
Итак, наша новая формула для определения угла в правильном многоугольнике согласуется с правилами для углов треугольников, которые мы знаем из прошлых уроков.
Пример 2
Чтобы найти величину внутреннего угла правильного восьмиугольника, имеющего 8 сторон, примените формулу, приведенную выше, следующим образом: $ \ text {Используя наш
.