координационная ось — это… Что такое координационная ось?
- координационная ось
координационная ось: Одна из координационных линий, определяющих членение здания или сооружения на модульные шаги и высоты этажей.
[ГОСТ 28984-91, приложение, статья 13]
координационная ось: Одна из координационных линий, определяющих членение здания или сооружения на модульные шаги и высоты этажей.
[ГОСТ 28984-2011, статья 3.12]
3.12 координационная ось: Одна из координационных линий, определяющих членение здания или сооружения на модульные шаги и высоты этажей.
13. Координационная ось
Одна из координационных линий, определяющих членение здания или сооружения на модульные шаги и высоты этажей
Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации. academic.ru. 2015.
- координационная линия
- координационная плоскость
Смотреть что такое «координационная ось» в других словарях:
ось координационная — Одна из координационных линий, определяющая членение здания или сооружения на модульные шаги и высоты этажей [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя СССР)] Координационные оси На изображении каждого здания или… … Справочник технического переводчика
ОСЬ КООРДИНАЦИОННАЯ — одна из координационных линий, определяющая членение здания или сооружения на модульные шаги и высоты этажей (Болгарский язык; Български) координационна ос (Чешский язык; Čeština) vztažná čára [přímka] (Немецкий язык; Deutsch) gestalterische… … Строительный словарь
ГОСТ 28984-91: Модульная координация размеров в строительстве. Основные положения — Терминология ГОСТ 28984 91: Модульная координация размеров в строительстве. Основные положения оригинал документа: 21. Вставка Пространство между двумя смежными основными координационными плоскостями в местах разрыва модульной координационной… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
ГОСТ 28984-2011: Модульная координация размеров в строительстве. Основные положения — Терминология ГОСТ 28984 2011: Модульная координация размеров в строительстве. Основные положения оригинал документа: 3.22 вставка (немодульный размер, нейтральная зона): Пространство между координационными плоскостями в местах разрыва модульной… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
ГОСТ Р 21.1101-2009: Система проектной документации для строительства. Основные требования к проектной и рабочей документации — Терминология ГОСТ Р 21.1101 2009: Система проектной документации для строительства. Основные требования к проектной и рабочей документации оригинал документа: координационная ось: Одна из координационных линий, определяющих членение здания или… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
ГОСТ Р 21.1101-2013: Система проектной документации для строительства. Основные требования к проектной и рабочей документации — Терминология ГОСТ Р 21.1101 2013: Система проектной документации для строительства. Основные требования к проектной и рабочей документации оригинал документа: атрибут документа: Идентифицированная (именованная) характеристика части реквизита.… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Хиральность (химия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Хиральность (значения). Хиральность (молекулярная хиральность) в химии свойство молекулы быть несовместимой со своим зеркальным отражением любой комбинацией вращений и перемещений в трёхмерном… … Википедия
Как правильно ставить оси на чертеже здания. Координационные оси. На изображении каждого здания или сооружения указывают координационные оси и присваивают им самостоятельную систему обозначений
Здание, или какое либо сооружение в плане разделяется условными осевыми линиями на ряд сегментов. Данные линии определяющие положение основных несущих конструкций, называются продольными и поперечными координационными осями.
Интервал между координационными осями в плане здания называют шагом, а по преобладающему направлению шаг может быть продольным или поперечным.
Маркировка координационных осей
В том случае если расстояние, между координационными продольными осями, совпадает с пролётом, перекрытием или покрытием, основной несущей конструкции, то этот интервал называют пролетом.
Высота этажа в многоэтажном жилом доме
За высоту этажа Н эт принимается расстояние от уровня пола выбранного этажа до уровня пола вышерасположенного этажа. По тому же принципу определяют и высоту верхнего этажа, при чём толщину перекрытия чердака принимают условно равной толщине междуэтажного перекрытия с. В промышленных одноэтажных строениях высота этажа равна расстоянию от пола до нижней поверхности конструкции покрытия.
С целью определения взаимного расположения частей здания используют сетку координационных осей, определяющую несущие конструкции данного строения.
Координационные оси наносятся штрих пунктирными тонкими линиями и маркируются внутри окружностей диаметром от 6 до 12 мм.
Высота этажа в одноэтажном здании
Маркировка координационных осей производится арабскими цифрами и прописными буквами, за исключением символов: 3 , Й, О, X , Ы, Ъ, Ь.
Высота шрифта обозначающего координационные оси выбирается на один-два номера больше, чем величина чисел на этом же листе.
Цифрами обозначают оси по стороне здания с наибольшим количеством координационных осей.
Направление маркировки осей наносят с лева на право, по горизонтали и снизу вверх, по вертикали.
Маркировка осей располагается, как правило, по левой и нижней сторонам плана здания.
Координационную ось наружной стены располагают на расстоянии, а = 100 мм , соблюдая отступ для установки плит перекрытия.
Координационные оси наружных и внутренних стен
Координационные оси наносят на изображения здания, сооружения тонкими штрих-пунктирными линиями с длинными штрихами, обозначают арабскими цифрами и прописными буквами русского алфавита (за исключением букв: Ё, З, Й, О, X, Ц, Ч, Щ, Ъ, Ы, Ь) в кружках диаметром 6 – 12 мм.
Пропуски в цифровых и буквенных (кроме указанных) обозначениях координационных осей не допускаются.
Цифрами обозначают координационные оси по стороне здания и сооружения с большим количеством осей. Если для обозначения координационных осей не хватает букв алфавита, последующие оси обозначают двумя буквами.
Пример — АА; ББ; ВВ.
Последовательность цифровых и буквенных обозначений координационных осей принимают по плану слева направо и снизу вверх (рисунок 10а ) или как показано на рисунках10б ,в .
Обозначение координационных осей, как правило, наносят по левой и нижней сторонам плана здания и сооружения.
При несовпадении координационных осей противоположных сторон плана, обозначения указанных осей в местах расхождения дополнительно наносят по верхней и/или правой сторонам.
Для отдельных элементов, расположенных между координационными осями основных несущих конструкций, наносят дополнительные оси и обозначают их в виде дроби:
Над чертой указывают обозначение предшествующей координационной оси;
Под чертой — дополнительный порядковый номер в пределах участка между смежными координационными осями в соответствии с рисунком 10г .
Допускается координационным осям фахверковых колонн присваивать цифровые и буквенные обозначения в продолжение обозначений осей основных колонн без дополнительного номера.
Рисунок 10 – Обозначения координационных осей
На изображении повторяющегося элемента, привязанного к нескольким координационным осям, координационные оси обозначают в соответствии с рисунком 11:
— «а» — при числе координационных осей не более 3;
— «б» — « « « « более 3;
— «в» — при всех буквенных и цифровых координационных осях.
При необходимости, ориентацию координационной оси, к которой привязан элемент, по отношению к соседней оси, указывают в соответствии с рисунком 11г .
Рисунок 11 – Ориентация координационных осей
Для обозначения координационных осей блок-секций жилых зданий применяют индекс «с».
Пример — 1с, 2с, Ас, Бс.
На планах жилых зданий, скомпонованных из блок-секций, обозначения крайних координационных осей блок-секций указывают без индекса в соответствии с рисунком 12.
Рисунок 12 – Обозначение координационных осей
в блок-секциях
Нанесение размеров, уклонов, отметок, надписей. Линейные размеры и предельные отклонения линейных размеров на чертежах указывают в миллиметрах, без обозначения единицы измерения .
Размерную линию на ее пересечении с выносными линиями, линиями контура или осевыми линиями ограничивают засечками в виде толстых основных линий длиной 2 – 4 мм, проводимых с наклоном вправо под углом 45° к размерной линии на 1 – 3 мм.
При нанесении размера диаметра или радиуса внутри окружности, а также углового размера размерную линию ограничивают стрелками. Стрелки применяют также при нанесении размеров радиусов и внутренних скруглений.
При нанесении размера прямолинейного отрезка размерную линию проводят параллельно этому отрезку, а выносные линии – перпендикулярно размерным.
Размеры предпочтительно наносить вне контура изображения, по возможности избегая пересечения выносных и размерных линий. Если необходимо нанести размер в заштрихованной зоне, соответствующее размерное число наносят на полке линии–выноски.
Минимальное расстояние между параллельными размерными линиями должно быть 7 мм, а между размерной линией и линией контура – 10 мм и выбрано в зависимости от размеров и формыизображения, а также насыщенности чертежа.
Размерные числа наносят над размерной линией возможно ближе к ее середине.
Отметки уровней (высоты, глубины) элементов конструкций, оборудования, трубопроводов, воздуховодов и др. от уровня отсчета (условной «нулевой» отметки) обозначают условнымзнаком в соответствии с рисунком13и указывают в метрах с тремя десятичными знаками, отделенными от целого числа запятой.
Рисунок 13 – Обозначение отметки уровня
«Нулевую» отметку, принимаемую, как правило, для поверхности какого-либо элемента конструкций здания или сооружения, расположенного вблизи планировочной поверхности земли, указывают без знака; отметки выше нулевой — со знаком «+»; ниже нулевой — со знаком «-».
На видах (фасадах), разрезах и сечениях отметки указывают на выносных линиях или линиях контура в соответствии с рисунком 14, на планах — в прямоугольнике в соответствии с рисунком15.
Рисунок 14 – Указание отметок уровней на разрезах
Рисунок 15 – Указание отметок на планах
На планах направление уклона плоскостей указывают стрелкой, над которой, при необходимости, проставляют величину уклона в процентах в соответствии с рисунком 16или в виде отношения высоты и длины (например, 1:7).
Допускается, при необходимости, величину уклона указывать в промилле, в виде десятичной дроби с точностью до третьего знака. На чертежах и схемах перед размерным числом, определяющим величину уклона, наносят знак «Ð», острый угол которого должен быть направлен в сторону уклона.
Обозначение уклона наносят непосредственно над линией контура или на полке линии-выноски.
Рисунок 16 – Указание направления и величины уклона плоскости
Около изображений на полках линий-выносок наносят только краткие надписи, относящиеся непосредственно к изображению предмета, например, указания о количестве конструктивных элементов (отверстий, канавок и т.п.), если они не внесены в таблицу, а также указания лицевой стороны, направления проката, волокон и т.п.
Линию-выноску, пересекающую контур изображения и не отводимую от какой-либо линии, заканчивают точкой (рисунок 17 а ).
Линию-выноску, отводимую от линий видимого и невидимого контура, а также от линий, обозначающих поверхности, заканчивают стрелкой (рисунок 17 б ,в ).
Рисунок 17 – Нанесение линий-выносок
Выносные надписи к многослойным конструкциям следует выполнять в соответствии с рисунком 18.
Рисунок 18 – Нанесение надписи к многослойным конструкциям
Номера позиций (марки элементов) наносят на полках линий-выносок, проводимых от изображений составных частей предмета, рядом с изображением без линии-выноски или в пределах контуров изображенных частей предмета в соответствии с рисунком 19.
При мелкомасштабном изображении линии-выноски заканчивают без стрелки и точки.
Рисунок 19 – Нанесение позиций элементов предметов
Линии-выноски не должны пересекаться между собой, быть непараллельными линиям штриховки (если линия-выноска проходит по заштрихованному полю) и не пересекать, по возможности, размерные линии и элементы изображения, к которым не относится помещенная на полке надпись.
Допускается выполнять линии-выноски с одним изломом (рисунок 20), а также проводить от одной полки две и более линии-выноски (рисунок 21).
Надписи, относящиеся непосредственно к изображению могут содержать не более двух строк, располагаемых над полкой линии-выноски и под ней.
Размер шрифта для обозначения координационных осей и позиций (марок) должен быть на один — два номера больше, чем размер шрифта, принятого для размерных чисел на том же чертеже.
Текстовую часть, помещенную на поле чертежа, располагают над основной надписью.
Между текстовой частью и основной надписью не допускается помещать изображения, таблицы и т.п.
На листах формата более А1 допускается размещение текста в две и более колонки. Ширина колонки должна быть не более 185 мм.
Таблицы размещают на свободном месте поля чертежа справа от изображения или ниже его.
Таблицы, помещенные на чертеже, нумеруют в пределах чертежа при наличии ссылок на них в технических требованиях. При этом над таблицей справа ставят слово «Таблица» с порядковым номером (без знака №).
Если на чертеже только одна таблица, то ее не нумеруют и слово «Таблица» не пишут.
При выполнении чертежа на двух и более листах текстовую часть помещают только на первом листе независимо от того, на каких листах находятся изображения, к которым относятся указания, приведенные в текстовой части.
Надписи, относящиеся к отдельным элементам предмета и наносимые на полках линий-выносок, помещают на тех листах чертежа, на которых они являются наиболее необходимыми для удобства чтения чертежа.
Надписи на чертежах не подчеркивают.
Для обозначения на чертеже изображений (видов, разрезов, сечений), поверхностей, размеров и других элементов изделия применяют прописные буквы русского алфавита, за исключением букв Й, О, Х, Ъ, Ы, Ь.
Буквенные обозначения присваивают в алфавитном порядке без повторения и, как правило, без пропусков, независимо от количества листов чертежа. Предпочтительно обозначать сначала изображения.
В случае недостатка букв применяют цифровую индексацию, например: «Вид А»; «Вид А 1 «; » Вид А 2 «; «Б-Б»; «Б 1 -Б 1 «; » Б 2 -Б 2 «. Буквенные обозначения подчеркивают.
Если обозначения наносятся машинным способом, то их разрешается не подчеркивать.
Размер шрифта буквенных обозначений должен быть больше размера цифр размерных чисел, применяемых на том же чертеже, приблизительно в два раза.
Масштаб изображения на чертеже, отличающийся от указанного в основной надписи, указывают непосредственно под надписью, относящейся к изображению, например:
Если на чертеже отыскание дополнительных изображений (сечений, размеров, дополнительных видов, выносных элементов) затруднено вследствие большой насыщенности чертежа или выполнения его на двух и более листах, то дополнительные изображения отмечают с указанием номеров листов или обозначений зон, на которых эти изображения помещены (рисунок 22).
Рисунок 22 – Указание номеров листов дополнительно к изображению
В этих случаях над дополнительными изображениями у их обозначений указывают номера листов или обозначения зон, на которых дополнительные изображения отмечены (рисунок 23).
Рисунок 23 – Выполнение надписей над дополнительными изображениями
Построение основных элементов зданий выполняется с использованием модульной координации размеров в строительстве(МКРС), в соответствии с которой размеры основных объёмно-планировочных элементов здания должны быть кратны модулю.
Основной модуль принят равным 100 мм.
Основные конструктивные элементы (несущие стены, колонны) здания располагаются вдоль модульных координационных осей (продольных и поперечных). Расстояние между координационными осями в малоэтажных зданиях принимаются кратными модулю 3М (300 мм).
Для определения взаимного расположения элементов здания применяется сетка координационных осей .
Координационные оси наносятся штрихпунктирными тонкими линиями и обозначаются, как правило, по левой и нижней сторонам плана, маркируются, начиная с левого нижнего угла арабскими цифрами (слева направо) и прописными буквами русского алфавита (снизу вверх) в кружках диаметром 6 … 12 мм (рис. 2).
Рис. 2. Пример маркировки координационных осей
Размеры на строительных чертежах проставляются в миллиметрах и наносятся, как правило, в виде замкнутой цепочки.
Размерные линии ограничиваются засечками – короткими штрихами длиной 2 … 4 мм, проводимыми с наклоном вправо под углом 45° к размерной линии. Размерные линии должны выступать за крайние выносные линии на 1 … 3 мм. Размерное число располагается над размерной линией на расстоянии 1 … 2 мм (рис. 3, а).
Для обозначения положения секущей плоскости разреза или сечения здания применяется разомкнутая линия в виде отдельных утолщённых штрихов с указанием стрелками направления взгляда. Линию разреза обозначают арабскими цифрами (рис. 3, в). Начальный и конечный штрихи не должны пересекать контур изображения.
Размеры зданий по высоте (высота этажей) назначаются кратными модулям. Высота этажа здания определяется как расстояние от уровня пола данного этажа до уровня пола вышележащего этажа. В проектах жилых зданий высота этажа принимается равной 2,8; 3,0; 3,3 м.
На фасадах и разрезах наносятся высотные отметки уровня элемента или конструкции здания от какого-либо расчётного уровня, принимаемого за нулевой. Чаще всего за нулевой уровень (отметка ±0,000) принимается уровень чистого пола (покрытия пола) первого этажа.
Отметки уровней указываются в метрах с тремя десятичными знаками без обозначения единиц длины и помещаются на выносных линиях в виде стрелки с полкой. Стороны прямого угла стрелки проводятся сплошной толстой основной линией под углом 45° к выносной линии (рис. 4).
Рис. 3. Начертание размеров и положения разрезов:
а – размеров и размерных линий; б – стрелок направления взгляда;
в – положений разрезов
Рис. 4. Нанесение отметок уровня на видах:
а – размеры знака отметки уровня; б – примеры расположения и оформления
знаков уровня на разрезах и сечениях; в – то же, с поясняющими надписями;
г – пример изображения знака уровня на планах
Знак отметки может сопровождаться поясняющими надписями: Ур.ч.п. – уровень чистого пола; Ур.з. – уровень земли.
Отметки на планах наносятся в прямоугольниках (рис. 4, г). Отметки выше нулевого уровня обозначаются со знаком плюс (например, + 2,700), ниже нуля – со знаком минус (например, – 0,200).
В строительных чертежах приняты следующие наименования видов зданий.
В наименовании планов здания указывается отметка чистого пола этажа, номер этажа или обозначение соответствующей плоскости; при выполнении части плана – осей, ограничивающих эту часть, например:
План на отм. +3,000;
План 2 этажа;
План 3–3;
План на отм. 0,000 в осях 21–39, А–Д.
В наименовании разрезов здания указывается обозначение соответствующей секущей плоскости (арабскими цифрами), например, Разрез 1–1.
В наименовании фасадов здания указываются крайние оси, между которыми фасад расположен, например:
Фасад 1–5;
Фасад 12–1;
Фасад А–Г.
К многослойным конструкциям выполняются выносные надписи , располагаемые на полках прямой линии,
заканчивающейся стрелкой (рис. 5). Последовательность надписей (материал или конструкция слоёв с указанием их толщины) к отдельным слоям должна соответствовать последовательности их расположения на чертеже сверху вниз и слева направо.
На линиях-выносках , заканчивающихся полкой, помещаются дополнительные пояснения к чертежу или номера позиций элементов в спецификации.
Рис. 5. Примеры выполнения выносных надписей
Графические обозначения материалов в сечениях и разрезах зданий и конструкций приведены в прил. 3. Расстояние между параллельными линиями штриховки выбираются в пределах 1 … 10 мм в зависимости от площади штриховки и масштаба изображения. Обозначения материалов не применяются на чертежах, если материал однороден, если размеры изображения не позволяют нанести условное обозначение.
Условные графические изображения элементов здания и санитарно-технических устройств приведены в прил. 4.
Приложение 3
ГРАФИЧЕСКОЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ В РАЗРЕЗАХ,
СЕЧЕНИЯХ И ВИДАХ
Приложение 4
ГРАФИЧЕСКИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ЗДАНИЙ
Categories: / /
Tags:
Омск – город будущего!. Официальный портал Администрации города Омска
Омск — город будущего!
Город Омск основан в 1716 году. Официально получил статус города в 1782 году. С 1934 года — административный центр Омской области.
Площадь Омска — 566,9 кв. км. Территория города разделена на пять административных округов: Центральный, Советский, Кировский, Ленинский, Октябрьский. Протяженность города Омска вдоль реки Иртыш — около 40 км.
Расстояние от Омска до Москвы — 2 555 км.
Координаты города Омска: 55.00˚ северной широты, 73.24˚ восточной долготы.
Климат Омска — резко континентальный. Зима суровая, продолжительная, с устойчивым снежным покровом. Лето теплое, чаще жаркое. Для весны и осени характерны резкие колебания температуры. Средняя температура самого теплого месяца (июля): +18˚С. Средняя температура самого холодного месяца (января): –19˚С.
Часовой пояс: GMT +6.
Численность населения на 1 января 2020 года составляет 1 154 500 человек.
Плотность населения — 2 036,7 человек на 1 кв. км.
Омск — один из крупнейших городов Западно-Сибирского региона России. Омская область соседствует на западе и севере с Тюменской областью, на востоке – с Томской и Новосибирской областями, на юге и юго-западе — с Республикой Казахстан.
©Фото Б.В. Метцгера
Герб города Омска
Омск — крупный транспортный узел, в котором пересекаются воздушный, речной, железнодорожный, автомобильный и трубопроводный транспортные пути. Расположение на пересечении Транссибирской железнодорожной магистрали с крупной водной артерией (рекой Иртыш), наличие аэропорта обеспечивают динамичное и разностороннее развитие города.
©Фото Алёны Гробовой
Город на слиянии двух рек
В настоящее время Омск — крупнейший промышленный, научный и культурный центр Западной Сибири, обладающий высоким социальным, научным, производственным потенциалом.
©Фото Б.В. Метцгера
Тарские ворота
Сложившаяся структура экономики города определяет Омск как крупный центр обрабатывающей промышленности, основу которой составляют предприятия топливно-энергетических отраслей, химической и нефтехимической промышленности, машиностроения, пищевой промышленности.
©Фото Б.В. Метцгера
Омский нефтезавод
В Омске широко представлены финансовые институты, действуют филиалы всех крупнейших российских банков, а также брокерские, лизинговые и факторинговые компании.
Омск имеет устойчивый имидж инвестиционно привлекательного города. Организации города Омска осуществляют внешнеторговые отношения более чем с 60 странами мира. Наиболее активными торговыми партнерами являются Испания, Казахстан, Нидерланды, Финляндия, Украина, Беларусь.
Город постепенно обретает черты крупного регионального и международного делового центра с крепкими традициями гостеприимства и развитой инфраструктурой обслуживания туризма. Год от года город принимает все больше гостей, растет число как туристических, так и деловых визитов, что в свою очередь стимулирует развитие гостиничного бизнеса.
©Фото Б.В. Метцгера
Серафимо-Алексеевская часовня
Омск — крупный научный и образовательный центр. Выполнением научных разработок и исследований занимаются более 40 организаций, Омский научный центр СО РАН. Высшую школу представляют более 20 вузов, которые славятся высоким уровнем подготовки специалистов самых различных сфер деятельности. Омская высшая школа традиционно считается одной из лучших в России, потому сюда едут учиться со всех концов России, а также из других стран.
©Фото А.Ю. Кудрявцева
Ученица гимназии № 75
Высок культурный потенциал Омска. У омичей и гостей нашего города всегда есть возможность вести насыщенную культурную жизнь, оставаясь в курсе современных тенденций и течений в музыке, искусстве, литературе, моде. Этому способствуют городские библиотеки, музеи, театры, филармония, досуговые центры.
©Фото В.И. Сафонова
Омский государственный академический театр драмы
Насыщена и спортивная жизнь города. Ежегодно в Омске проходит Сибирский международный марафон, комплексная городская спартакиада. Во всем мире известны такие омские спортсмены, как борец Александр Пушница, пловец Роман Слуднов, боксер Алексей Тищенко, гимнастка Ирина Чащина, стрелок Дмитрий Лыкин.
©Фото из архива управления информационной политики Администрации города Омска
Навстречу победе!
Богатые исторические корни, многообразные архитектурные, ремесленные, культурные традиции, широкие возможности для плодотворной деятельности и разнообразного отдыха, атмосфера доброжелательности и гостеприимства, которую создают сами горожане, позволяют говорить о том, что Омск — город открытых возможностей, в котором комфортно жить и работать.
©Фото из архива пресс-службы Ленинского округа
Омск — город будущего!
осей координат | Что такое координатные оси — примеры и решения
Координатные оси и прямые линии, скачать решенные вопросы
Координатная геометрия — это союз чистой геометрии и алгебры, и сегодня она незаменима во всех отраслях науки. Многие из вас, должно быть, хорошо знакомы с общим планом этого предмета.
На следующих страницах мы ограничимся двумерной (плоской) геометрией координат. Позже у нас также будет возможность изучать трехмерную координатную геометрию.
Основная идея координатной геометрии, как упоминалось ранее, состоит в изучении свойств геометрических фигур, таких как прямые линии, окружности, параболы и т. Д., С помощью чисел. Основная концепция заключается в том, что на 2-мерной (евклидовой) плоскости любая точка может быть представлена парой действительных чисел с использованием двух непараллельных прямых линий. Точка, где встречаются эти две непараллельные опорные линии, называется началом опорной оси. По соглашению одна ось называется осью x, а другая — осью y.Теперь можно определить любую точку на плоскости относительно этой опорной оси, как показано на рисунке ниже:
И наоборот, учитывая координаты x и y точки P, мы можем легко определить ее местоположение, перемещая единицы x вдоль оси x, а затем единицы y, параллельные оси y.
Обратите внимание, что до тех пор, пока две оси не параллельны, вся плоскость может быть представлена с использованием этих двух осей в качестве опорных. Эти две оси обычно могут находиться под любым ненулевым углом друг к другу.
Однако почти всегда (из соображений удобства) две оси взяты под прямым углом друг к другу. Такие оси называются прямоугольными осями. С этого момента мы всегда будем использовать прямоугольные оси в нашем обсуждении.
С этого введения мы начнем с самых элементарных геометрических фигур: отрезков и линий (и других геометрических фигур, получаемых из этих элементарных фигур, таких как многоугольники).
Система координат и упорядоченные пары (Преалгебра, Введение в алгебру) — Mathplanet
Система координат — это двумерная числовая линия, например, две перпендикулярные числовые линии или оси .
Это типичная система координат:
Горизонтальная ось называется осью X, а вертикальная ось называется осью Y
Центр системы координат (место пересечения линий) называется началом координат. Оси пересекаются, когда оба x и y равны нулю. Координаты начала координат (0, 0).
Упорядоченная пара содержит координаты одной точки в системе координат. Точка называется своей упорядоченной парой в виде (x, y).Первое число соответствует координате x, а второе — координате y.
Чтобы построить точку, вы рисуете точку в координатах, которые соответствуют упорядоченной паре. Всегда полезно начинать с начала. Координата x сообщает вам, сколько шагов вам нужно сделать вправо (положительно) или влево (отрицательно) по оси x. А координата y говорит о том, что у вас есть много шагов для перемещения вверх (положительное) или вниз (отрицательное) по оси y.
Пример
Упорядоченная пара (3, 4) находится в системе координат при перемещении на 3 шага вправо по оси x и на 4 шага вверх по оси y.
Упорядоченная пара (-7, 1) находится в системе координат при перемещении на 7 шагов влево по оси x и на 1 шаг вверх по оси y.
Чтобы узнать координаты точки в системе координат, вы делаете обратное. Начните с точки и проведите вертикальную линию вверх или вниз до оси x. Вот ваша координата x. Затем сделайте то же самое, но по горизонтальной линии, чтобы найти координату y.
Видеоурок
Нарисуйте следующие упорядоченные пары в координатной плоскости (0, 0) (3, 2) (0, 4) (3, 6) (6, 9) (4, 0)
Основы координатной геометрии — Вращение осей
В этом уроке мы обсудим поворот на осей координат относительно начала координат.
То есть как меняются координаты точки P (x, y) , если оси повернуты вокруг начала координат на угол θ ?
Вращение осей
Предположим, есть точка P (x, y) на плоскости XY .
И, предположим, мы повернем начало координат осей на угол θ против часовой стрелки.
Какими будут координаты P относительно новых осей?
Чтобы найти новые координаты, т.е.е. x ’ и y’ , нам нужно расстояние P от вращаемых осей в терминах x , y и θ .
Давайте проведем расчеты. Вот цифра, которая поможет.
Давайте немного увеличим масштаб и обозначим несколько точек.
Я также сбросил перпендикуляры с D на OX и PB . Хорошо, останься со мной.
Теперь, PA = x и PB = y (старые координаты).Кроме того, PC = x ’ и PD = y’ (новые координаты).
В ΔPFD мы имеем ∠DPF = θ (выясните почему). Это означает, что
PF = y’cosθ … I
Также,
FD = y’sinθ
⇒ BE = y’sinθ (с FD = BE )… II
дюйм ΔDOE ,
OE = ODcosθ
⇒ OE = CPcosθ (с OD = CP )
⇒ OE = x’cosθ … III
Также,
DE = ODsinθ
⇒ DE = x’sinθ (поскольку OD = CP = x ’)
⇒ FB = x’sinθ (с FB = DE )… IV
Мы почти закончили.Вернем фигуру.
Сейчас,
PA = OB
⇒ x = OB (поскольку PA = x )
⇒ x = OE — BE
⇒ x = x’cosθ — y’sinθ (с использованием II и III)
Аналогично
y = PB
⇒ y = FB + PF
⇒ y = x’sinθ + y’cosθ (с использованием IV и I)
И все! Мы получили соотношение между старыми координатами ( x и y ) и новыми ( x ’ и y’ ):
x = x’cosθ — y’sinθ
y = x’sinθ + y’cosθ
Возможно, вы захотите еще раз вернуться к расчетам.Я предлагаю вам попробовать еще раз вывести это самостоятельно.
Мы также можем явно выразить x ’ и y’ в виде x и y . Я пропущу здесь расчеты. Получим:
x ’= xcosθ + ysinθ
y ’= ycosθ — xsinθ
Вот симуляция, которая показывает, как меняются координаты точки, когда оси вращаются вокруг начала координат.
Вы можете перетащить синюю точку, чтобы изменить угол поворота.Точку P тоже можно перетащить. Удовлетворяют ли старые и новые координаты полученному нами соотношению?
Краткое содержание урока
Пусть P (x, y) будет точкой на плоскости XY . Пусть оси повернуты вокруг начала координат на угол θ против часовой стрелки. Тогда относительно вращаемых осей координаты P , то есть (x ’, y’) , будут определены как:
x = x’cosθ — y’sinθ
y = x’sinθ + y’cosθ
В следующем уроке мы обсудим несколько примеров, связанных с перемещением и вращением осей.Увидимся там!
Координата оси— обзор
4.2.2.2 Проверка свойств массы твердого тела
Предположим, что оси координат (контрольная точка j), показанные для точки сетки j на рис. 4.1-1, находятся в центре масс и являются главными осями . Таким образом, матрица масс, связанная с этой точкой сетки, будет диагональной матрицей 6 на 6,
(4,2-29) [m] j, j = diag [mj, xmj, ymj, zIj, xxIj, yyIj, zz]
Первый индекс в [m] j, j — это точка сетки, а второй относится к контрольной точке, относительно которой описываются массовые свойства.В данном случае это одна и та же точка. Мы можем изменить опорную точку (точка j) матрицы масс с ее центра масс (также точка j) на точку p с преобразованием координат (векторы твердого тела) в уравнении. (4.1-1), т.е.
(4.2-30) [m] j, p = [ϕRB] j, pT [m] j, j [ϕRB] j, p
Подставляя преобразование, определенное в уравнении. (4.1-1) и массовая матрица в уравнении. (4.2-29) и выполнение указанных умножений дает
(4.2-31) [m] j, p = [mj, x000z¯jmj, x − y¯jmj, x0mj, y0 − z¯jmj, y0x¯jmj, y00mj, zy¯jmj, z − x¯jmj, z00 − z¯jmj, yy¯jmj, zIj, undefinedxx + z¯j2mj, y + y¯j2mj, z − x¯jy¯jmj, z − x¯jz¯ jmj, yz¯jmj, x0 − x¯jmj, z − x¯jy¯jmj, zIj, undefinedyy + z¯j2mj, x + x¯j2mj, z − y¯jz¯jmj, x − y¯jmj, xx¯ jmj, y0 − x¯jz¯jmj, y − y¯jz¯jmj, xIj, undefinedzz + y¯j2mj, x + x¯j2mj, y]
Для систем с несколькими точками сетки вышеуказанные вычисления должны выполняться для каждая точка сетки и результаты суммируются, чтобы получить матрицу масс твердого тела системы.Чтобы облегчить обсуждение, мы пока предположим, что главные оси всех узлов сетки и оси координат точки p находятся в одной и той же системе координат. В этом случае общая матрица масс твердого тела системы шесть на шесть, привязанная к точке p, будет просто суммой отдельных матриц масс точек сетки, привязанных к точке p. Мы проиллюстрируем это с помощью трехсеточной точечной системы, матрица масс и векторы твердого тела которой равны
(4,2-32) [м] = [[м] 1,1 [м] 2,2 [м] 3,3 ] [ϕRB] p = [[ϕRB] 1, p [ϕRB] 2, p [ϕRB] 3, p]
Матрица масс твердого тела размером шесть на шесть, [mRB] p, относительно точки p, это
(4.2-33) [mRB] p = [ϕRB] pT [m] [ϕRB] p = ∑i = 13 [ϕRB] i, pT [m] i, i [ϕRB] i, p
Независимо от количества точки сетки, [mRB] p будет иметь следующий вид:
(4.2-34) [mRB] p = [mx000z¯mx − y¯mx0my0 − z¯my0x¯my00mzy¯mz − x¯mz00 − z¯myy¯ mzIxx + z¯2my + y¯2mz − x¯y¯mz − x¯z¯myz¯mx0 − x¯mz − x¯y¯mzIyy + z¯2mx + x¯2mz − y¯z¯mx − y¯ mxx¯my0 − x¯z¯my − y¯z¯mxIzz + y¯2mx + x¯2my] p
Верхняя левая подматрица размером три на три будет диагональной, причем каждый член представляет собой полную массу системы. в соответствующем координатном направлении.Для безусловной хорошо сформулированной модели эти три значения должны быть равны. Верхняя правая и нижняя левая части размером три на три упоминаются как термины первого момента . Разделив их на общую массу, мы получим руки момента от исходной точки, в данном случае точки p, до центра масс всей системы. Следовательно, x¯, y¯ и z¯ — расстояния по соответствующим осям координат от точки p до центра масс системы. Сравнение этого местоположения с известным местоположением показывает, насколько хорошо общий центр масс модели совпадает с центром реальной системы.Нижнее правое разделение размером три на три содержит на диагонали массовые моменты инерции относительно точки p, а недиагональные члены являются соответствующими произведениями инерции.
Для модели, представляющей физическую структуру, сумма любых двух моментов инерции масс должна быть больше третьего. Кроме того, с помощью вычисленных моментов из членов первого момента мы можем проверить согласованность произведений инерции, а также вычислить Ixx, Iyy и Izz. Доказательство того, что сумма любых двух моментов инерции масс должна быть больше третьего, несложно.Любую физическую структуру можно разделить на большой (бесконечный) набор материальных точек. Для такой системы массовые моменты инерции относительно реперной точки p равны
(4.2-35) Ixx, p = ∑r = 1Rmr (yr2 + zr2) Iyy, p = ∑r = 1Rmr (xr2 + zr2) Izz, p = ∑r = 1Rmr (yr2 + xr2)
Чтобы показать, что, например, Ixx, undefinedp + Iyy, undefinedp> Izz, undefinedp мы просто подставляем из уравнения. (4.2-35) и выполните требуемые алгебраические операции:
(4.2-36) ∑r = 1nmr (yr2 + zr2) + ∑r = 1nmr (xr2 + zr2)> ∑r = 1nmr (yr2 + xr2) ∑r = 1nmr (yr2 + xr2 + 2zr2)> ∑r = 1nmr (yr2 + xr2) ∑r = 1nmr (2zr2)> 0
Приведенное выше утверждение верно, поскольку mr> 0, а для конструкции с физическими размерами zr ≠ 0 хотя бы для одной материальной точки.
Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie
Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.
Настройка вашего браузера для приема файлов cookie
Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:
- В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
- Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
- Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
- Дата на вашем компьютере уже в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
- Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.
Почему этому сайту требуются файлы cookie?
Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.
Что сохраняется в файле cookie?
Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.
Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.
Система координат
Важно: Этот документ может не отражать передовой опыт текущих разработок. Ссылки на загрузки и другие ресурсы могут быть недействительными.
Система координат — это двухмерное пространство, в котором вы размещаете, изменяете размер, трансформируете и рисуете видимые объекты вашего приложения, а также в котором вы размещаете пользовательские события. Приложения в iOS и OS X полагаются на систему координат, которая определяет местоположение точек с помощью горизонтальной и вертикальной осей (то есть оси x и оси y), которые пересекаются в общей исходной точке (0.0, 0,0). От начала координат положительные значения увеличиваются в одном направлении по любой оси; отрицательные значения увеличиваются в противоположных направлениях. Вы выражаете точку в этом координатном пространстве как пару чисел с плавающей запятой в единицах пользовательского пространства, которые не привязаны к любым единицам в пространстве устройства, например пикселям. Рисование почти всегда происходит в секторе координатного пространства, где значения оси x и оси y положительны.
Системы координат могут иметь разные ориентации чертежей
Система координат по умолчанию для видов в iOS и OS X отличается ориентацией вертикальной оси:
OS X. Система координат по умолчанию имеет начало в левом нижнем углу области рисования; положительные значения простираются вверх и вправо от него. Вы можете программно «перевернуть» систему координат представления в OS X.
iOS. Система координат по умолчанию имеет начало в верхнем левом углу области рисования, а положительные значения простираются вниз и вправо от нее. Вы не можете изменить ориентацию системы координат представления по умолчанию в iOS, то есть вы не можете «перевернуть» ее.
Окна и представления имеют свои собственные системы координат
Приложение имеет несколько систем координат, которые могут быть задействованы в любое время. Окно позиционируется и имеет размер в координатах экрана, которые определяются системой координат дисплея. Само окно представляет собой базовую систему координат для всего рисования и обработки событий, выполняемых его видами. Каждый вид в окне поддерживает свою собственную локальную систему координат для самого рисования; эта система координат определяется свойством bounds вида.Свойство frame представления выражает его расположение и размер в системе координат его супервизора; тот же вид, в свою очередь, обеспечивает базовую систему координат для позиционирования и изменения размеров его подвидов.
Платформы AppKit и UIKit предоставляют методы для преобразования точек и прямоугольников между системами координат представления и другого представления, представления и его окна, а также (в OS X) экрана и окна. Приложение находит события мыши, планшета, жестов и мультитач в системе координат окна, но представления могут легко преобразовать их в свои локальные системы координат.
Вы также можете отображать точки из одного координатного пространства в другое, используя двумерный математический массив, известный как преобразование. Используя преобразования, вы можете легко масштабировать, вращать и переводить контент в двухмерном пространстве.
Основы визуализации данных
Для создания любого вида визуализации данных нам необходимо определить шкалы позиций, которые определяют, где на графике расположены различные значения данных. Мы не можем визуализировать данные, не разместив разные точки данных в разных местах, даже если мы просто расположим их рядом друг с другом вдоль линии.Для обычных 2-мерных визуализаций требуются два числа, чтобы однозначно указать точку, и поэтому нам нужны две шкалы положения. Эти две шкалы обычно, но не обязательно, представляют собой ось x и y графика. Мы также должны указать относительное геометрическое расположение этих шкал. Обычно ось x проходит горизонтально, а ось y — вертикально, но мы могли бы выбрать другое расположение. Например, мы могли бы сделать так, чтобы ось y проходила под острым углом относительно оси x , или мы могли бы сделать так, чтобы одна ось проходила по кругу, а другая — радиально.Комбинация набора шкал положения и их относительного геометрического расположения называется системой координат .
Декартовы координаты
Наиболее широко используемой системой координат для визуализации данных является декартова система координат 2d , в которой каждое местоположение однозначно задается значениями x и y . Оси x и y проходят ортогонально друг другу, а значения данных размещаются на равном расстоянии по обеим осям (рисунок 3.1). Две оси представляют собой непрерывные шкалы положения, и они могут представлять как положительные, так и отрицательные действительные числа. Чтобы полностью указать систему координат, нам нужно указать диапазон чисел, охватываемый каждой осью. На рисунке 3.1 ось x проходит от -2,2 до 3,2, а ось y — от -2,2 до 2,2. Любые значения данных между этими пределами оси помещаются в соответствующее место на графике. Любые значения данных за пределами оси отбрасываются.
Рисунок 3.1: Стандартная декартова система координат.Горизонтальная ось условно называется x , а вертикальная ось — y . Две оси образуют сетку с равноудаленными интервалами. Здесь линии сетки x и y разделены единицами. Точка (2, 1) расположена на две единицы x справа и одну единицу y над началом координат (0, 0). Точка (-1, -1) расположена на одну единицу x слева и на одну единицу y ниже начала координат.
Однако значения данных обычно не просто числа.Они идут с агрегатами. Например, если мы измеряем температуру, значения могут быть измерены в градусах Цельсия или Фаренгейта. Точно так же, если мы измеряем расстояние, значения могут быть измерены в километрах или милях, а если мы измеряем продолжительность, значения могут быть измерены в минутах, часах или днях. В декартовой системе координат расстояние между линиями сетки вдоль оси соответствует дискретным шагам в этих единицах данных. В температурной шкале, например, у нас может быть линия сетки через каждые 10 градусов по Фаренгейту, а на шкале расстояний у нас может быть линия сетки через каждые 5 километров.
Декартова система координат может иметь две оси, представляющие две разные единицы. Такая ситуация возникает довольно часто, когда мы сопоставляем два разных типа переменных с x и y . Например, на рисунке 2.3 мы построили график зависимости температуры от дней в году. Ось y на рис. 2.3 измеряется в градусах Фаренгейта, с линией сетки каждые 20 градусов, а ось x измеряется в месяцах, с линией сетки в начале каждого третьего месяца.Когда две оси измеряются в разных единицах, мы можем растягивать или сжимать одну относительно другой и поддерживать достоверную визуализацию данных (рис. 3.2). Какой вариант предпочтительнее, может зависеть от истории, которую мы хотим передать. Высокая и узкая фигура подчеркивает изменение по оси y , а короткая и широкая фигура — противоположное. В идеале мы хотим выбрать соотношение сторон, которое гарантирует, что любые важные различия в положении будут заметны.
Рисунок 3.2: Нормы дневной температуры для Хьюстона, Техас. Температура отображается на оси y , а день года — на оси x . Части (a), (b) и (c) показывают одну и ту же фигуру в разных соотношениях сторон. Все три части представляют собой действительные визуализации данных о температуре. Источник данных: NOAA.
С другой стороны, если оси x и y измеряются в одних и тех же единицах, то интервалы сетки для двух осей должны быть одинаковыми, так что одинаковое расстояние по оси x или y ось соответствует одинаковому количеству единиц данных.Например, мы можем построить график зависимости температуры в Хьюстоне, штат Техас, от температуры в Сан-Диего, штат Калифорния, для каждого дня года (рис. 3.3a). Поскольку по обеим осям нанесена одна и та же величина, нам нужно убедиться, что линии сетки образуют идеальные квадраты, как в случае на рисунке 3.3.
Рисунок 3.3: Дневные температурные нормы для Хьюстона, Техас, в зависимости от соответствующих температурных норм в Сан-Диего, Калифорния. Первые дни января, апреля, июля и октября выделены для временной привязки.(а) Температуры указаны в градусах Фаренгейта. (b) Температуры указаны в градусах Цельсия. Источник данных: NOAA.
Вы можете задаться вопросом, что произойдет, если вы измените единицы измерения ваших данных. В конце концов, единицы измерения произвольны, и ваши предпочтения могут отличаться от чужих. Изменение единиц измерения — это линейное преобразование, при котором мы добавляем или вычитаем число ко всем значениям данных или из них и / или умножаем все значения данных на другое число. К счастью, декартовы системы координат инвариантны относительно таких линейных преобразований.Следовательно, вы можете изменить единицы измерения ваших данных, и результирующая цифра не изменится, если вы измените оси соответствующим образом. В качестве примера сравните рисунки 3.3a и 3.3b. Оба показывают одни и те же данные, но в части (а) единицы измерения температуры — градусы Фаренгейта, а в части (б) — градусы Цельсия. Несмотря на то, что линии сетки находятся в разных местах, а числа на осях различаются, две визуализации данных выглядят совершенно одинаково.
Нелинейные оси
В декартовой системе координат линии сетки вдоль оси равномерно распределены как в единицах данных, так и в результирующей визуализации.Мы называем шкалы позиций в этих системах координат как linear . Хотя линейные шкалы обычно обеспечивают точное представление данных, существуют сценарии, в которых предпочтительны нелинейные шкалы. В нелинейном масштабе ровный интервал в единицах данных соответствует неравномерному интервалу в визуализации или, наоборот, равномерный интервал в визуализации соответствует неравномерному интервалу в единицах данных.
Наиболее часто используемой нелинейной шкалой является логарифмическая шкала или логарифмическая шкала для краткости.Логарифмические шкалы линейны по умножению, так что единичный шаг на шкале соответствует умножению с фиксированным значением. Чтобы создать шкалу журнала, нам нужно преобразовать в журнал значения данных, возведя в степень числа, показанные вдоль линий сетки осей. Этот процесс показан на рис. 3.4, на котором числа 1, 3.16, 10, 31.6 и 100 нанесены на линейную и логарифмическую шкалы. Числа 3,16 и 31,6 могут показаться странным выбором, но они были выбраны, потому что они находятся ровно посередине между 1 и 10 и между 10 и 100 по логарифмической шкале.{0,5} \ приблизительно 31,6 \).
Рисунок 3.4: Соотношение между линейной и логарифмической шкалами. Точки соответствуют значениям данных 1, 3,16, 10, 31,6, 100, которые представляют собой числа с равным интервалом в логарифмической шкале. Мы можем отобразить эти точки данных в линейном масштабе, мы можем преобразовать их в логарифм, а затем отобразить в линейном масштабе, или мы можем показать их в логарифмическом масштабе. Важно отметить, что правильное название оси для логарифмической шкалы — это имя отображаемой переменной, а не логарифм этой переменной.
Математически нет никакой разницы между построением логарифмически преобразованных данных в линейном масштабе или построением исходных данных в логарифмическом масштабе (рис. 3.4). Единственное различие заключается в маркировке для отдельных отметок оси и для оси в целом. В большинстве случаев предпочтительнее использовать логарифмическую шкалу, поскольку она создает меньшую умственную нагрузку на читателя по интерпретации чисел, показанных в виде меток на оси. Также меньше риск запутаться относительно основания логарифма.При работе с данными, преобразованными в журнал, мы можем запутаться в том, были ли данные преобразованы с использованием натурального логарифма или логарифма по основанию 10. И нередко маркировка бывает неоднозначной, например, «Log (x)», который вообще не указывает основание. Я рекомендую вам всегда проверять базу при работе с данными, преобразованными в журнал. При построении данных, преобразованных в журнал, всегда указывайте основание в маркировке оси.
Поскольку умножение в логарифмической шкале выглядит как сложение в линейной шкале, логарифмические шкалы являются естественным выбором для любых данных, полученных умножением или делением.В частности, отношения обычно следует отображать в логарифмической шкале. В качестве примера я взял количество жителей в каждом округе Техаса и разделил его на среднее количество жителей по всем округам Техаса. Результирующее соотношение — это число, которое может быть больше или меньше 1. Отношение ровно 1 означает, что соответствующий округ имеет среднее количество жителей. Визуализируя эти соотношения в логарифмической шкале, мы можем ясно видеть, что численность населения в округах Техаса симметрично распределена вокруг медианы, и что в наиболее густонаселенных округах проживает в 100 раз больше, чем в среднем, в то время как в наименее населенных округах проживает более 100 человек. раз меньше жителей (рисунок 3.5). Напротив, для тех же данных линейная шкала скрывает различия между округом со средней численностью населения и округом с гораздо меньшей численностью населения, чем медиана (рис. 3.6).
Рисунок 3.5: Численность населения округов Техаса относительно их медианного значения. Выбранные округа выделяются по названию. Пунктирная линия указывает соотношение 1, соответствующее округу со средней численностью населения. В наиболее густонаселенных округах проживает примерно в 100 раз больше жителей, чем в среднем округе, а в наименее населенных округах примерно в 100 раз меньше жителей, чем в среднем округе.Источник данных: Десятилетняя перепись населения США 2010 г.
Рисунок 3.6: Размеры населения округов Техаса относительно их медианного значения. Отображая соотношение в линейном масштабе, мы переоцениваем отношения> 1 и затемняем отношения <1. Как правило, отношения не должны отображаться в линейном масштабе. Источник данных: Десятилетняя перепись населения США 2010 г.
В логарифмической шкале значение 1 является естественной средней точкой, аналогично значению 0 в линейной шкале. Мы можем думать о значениях больше 1 как о умножении, а о значениях меньше 1 деления.Например, мы можем написать \ (10 = 1 \ times 10 \) и \ (0,1 = 1/10 \). С другой стороны, значение 0 никогда не может отображаться в логарифмической шкале. Он лежит бесконечно далеко от 1. Один из способов убедиться в этом — считать, что \ (\ log (0) = — \ infty \). Или, в качестве альтернативы, предположите, что для перехода от 1 к 0 требуется либо бесконечное количество делений на конечное значение (например, \ (1/10/10/10/10/10/10 \ dots = 0 \)) или, альтернативно, одно деление на бесконечность (т.е. \ (1 / \ infty = 0 \)).
Логарифмические шкалы часто используются, когда набор данных содержит числа очень разных величин.Для округов Техаса, показанных на рисунках 3.5 и 3.6, в наиболее густонаселенном округе (Харрис) по данным переписи населения США 2010 года было 4 092 459 жителей, а в наименее густонаселенном (Любящий) — 82. Таким образом, логарифмическая шкала была бы подходящей, даже если бы у нас не было разделили численность населения на их медианное значение, чтобы преобразовать их в соотношения. Но что бы мы делали, если бы был округ с 0 жителями? Этот округ нельзя было отобразить в логарифмической шкале, потому что он лежал бы на минус бесконечности. В этой ситуации иногда рекомендуется использовать шкалу квадратного корня, которая использует преобразование квадратного корня вместо преобразования журнала (рисунок 3.7). Так же, как логарифмическая шкала, шкала квадратного корня сжимает большие числа в меньший диапазон, но в отличие от логарифмической шкалы, она допускает присутствие 0.
Рисунок 3.7: Соотношение между линейной шкалой и шкалой квадратного корня. Точки соответствуют значениям данных 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, которые представляют собой числа с равномерным интервалом в масштабе квадратного корня, поскольку они представляют собой квадраты целых чисел от 0 до 7. Мы можем отображать эти точки данных в линейном масштабе, мы можем преобразовать их с помощью квадратного корня, а затем отобразить в линейном масштабе, или мы можем показать их в масштабе квадратного корня.
Я вижу две проблемы со шкалой квадратного корня. Во-первых, в то время как в линейной шкале один шаг единицы соответствует сложению или вычитанию постоянного значения, а в логарифмической шкале он соответствует умножению или делению на постоянное значение, такого правила не существует для шкалы квадратного корня. Значение шага единицы в шкале квадратного корня зависит от значения шкалы, с которой мы начинаем. Во-вторых, неясно, как лучше всего разместить отметки оси в масштабе квадратного корня. Чтобы получить равномерно расположенные отметки, нам пришлось бы разместить их в квадратах, но отметки оси, например, в позициях 0, 4, 25, 49, 81 (каждый второй квадрат) были бы крайне неинтуитивными.В качестве альтернативы, мы могли бы разместить их с линейными интервалами (10, 20, 30 и т. Д.), Но это привело бы либо к слишком малому количеству делений по оси около нижнего предела шкалы, либо к слишком большому числу к верхнему пределу. На рисунке 3.7 я разместил отметки оси в положениях 0, 1, 5, 10, 20, 30, 40 и 50 на шкале квадратного корня. Эти значения произвольны, но обеспечивают разумное покрытие диапазона данных.
Несмотря на эти проблемы со шкалами квадратного корня, они являются действительными шкалами положения, и я не исключаю возможности их подходящего применения.Например, так же, как логарифмическая шкала является естественной шкалой для соотношений, можно утверждать, что шкала квадратного корня является естественной шкалой для данных, которые представлены в квадратах. Один сценарий, в котором данные естественным образом представляют собой квадраты, относится к географическим регионам. Если мы показываем площади географических регионов в масштабе квадратного корня, мы выделяем линейную протяженность регионов с востока на запад или с севера на юг. Эти экстенты могут иметь значение, например, если нам интересно, сколько времени может потребоваться, чтобы проехать через регион.На рис. 3.8 показаны площади штатов на северо-востоке США как в линейной шкале, так и в масштабе квадратного корня. Несмотря на то, что области этих состояний сильно различаются (рис. 3.8a), время, необходимое для проезда через каждое состояние, будет больше напоминать цифру в масштабе квадратного корня (рисунок 3.8b), чем цифру в линейной шкале. (Рисунок 3.8а).
Рисунок 3.8: Районы северо-восточных штатов США. (а) Площади показаны в линейном масштабе. (b) Площади показаны в масштабе квадратного корня. Источник данных: Google.
Системы координат с криволинейными осями
Все системы координат, с которыми мы столкнулись до сих пор, использовали две прямые оси, расположенные под прямым углом друг к другу, даже если сами оси устанавливали нелинейное отображение значений данных в положения. Однако есть и другие системы координат, в которых сами оси искривлены. В частности, в полярной системе координат мы указываем позиции через угол и радиальное расстояние от начала координат, поэтому ось угла круговая (рисунок 3.9).
Рисунок 3.9: Связь между декартовыми и полярными координатами. (а) Три точки данных показаны в декартовой системе координат. (b) Те же три точки данных, показанные в полярной системе координат. Мы взяли координаты x из части (a) и использовали их как угловые координаты, а координаты y из части (a) и использовали их как радиальные координаты. В этом примере круговая ось проходит от 0 до 4, и поэтому x = 0 и x = 4 являются одними и теми же местоположениями в этой системе координат.
Полярные координаты могут быть полезны для данных периодического характера, так что значения данных на одном конце шкалы могут быть логически объединены со значениями данных на другом конце. Например, считайте дни в году. 31 декабря — последний день года, но он также за один день до первого дня года. Если мы хотим показать, как какое-то количество меняется в течение года, может быть целесообразно использовать полярные координаты с угловой координатой, определяемой каждый день. Давайте применим эту концепцию к температурным нормам на рисунке 2.3. Поскольку температурные нормы — это средние температуры, не привязанные к какому-либо конкретному году, 31 декабря можно рассматривать как 366 дней позже, чем 1 января (температурные нормы включают 29 февраля), а также на день раньше. Нанося температурные нормали в полярную систему координат, мы подчеркиваем это циклическое свойство, которым они обладают (рис. 3.10). По сравнению с рисунком 2.3 полярная версия показывает, насколько близки температуры в Долине Смерти, Хьюстоне и Сан-Диего с конца осени до начала весны.В декартовой системе координат этот факт не виден, поскольку значения температуры в конце декабря и начале января показаны в противоположных частях рисунка и, следовательно, не образуют единую визуальную единицу.
Рисунок 3.10: Суточные нормы температуры для четырех выбранных мест в США, показанные в полярных координатах. Радиальное расстояние от центральной точки указывает дневную температуру в градусах Фаренгейта, а дни года расположены против часовой стрелки, начиная с января.1 место на позиции 6:00.
Вторая настройка, в которой мы сталкиваемся с изогнутыми осями, связана с геопространственными данными, то есть картами. Местоположение на земном шаре определяется их долготой и широтой. Но поскольку Земля представляет собой сферу, рисование широты и долготы в виде декартовых осей вводит в заблуждение и не рекомендуется (рис. 3.11). Вместо этого мы используем различные типы нелинейных проекций, которые пытаются минимизировать артефакты и обеспечивают различный баланс между сохранением областей или углов относительно истинных линий формы на земном шаре (рисунок 3.11).
Рисунок 3.11: Карта мира, показанная в четырех разных проекциях. Декартова система долготы и широты отображает долготу и широту каждого местоположения в обычной декартовой системе координат. Это отображение вызывает существенные искажения как площадей, так и углов относительно их истинных значений на трехмерном глобусе. Прерванная гомолозиновая проекция Гуда идеально отображает истинные площади поверхности за счет разделения некоторых массивов суши на отдельные части, в первую очередь Гренландию и Антарктиду.Проекция Робинсона и тройная проекция Винкеля обеспечивают баланс между угловыми искажениями и искажениями площади, и они обычно используются для карт всего земного шара.
.