Как понять Геометрию? Основы с нуля
Идеальные объекты
Геометрия — раздел математики, который изучает пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Математика занимается объектами и делает о них некие заключения, которые называют теоремами. Эти треугольники похожи, и о них можно сделать близкое заключение, которое будет описывать свойства обоих.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Демо урок по математике
Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.
Базовые геометрические объекты
Базовые геометрические фигуры — это точки, отрезки, лучи, прямые, плоскости.
Точка — это идеальный математический объект, у которого нет длины и ширины.
Отрезок — это часть прямой, у которого есть начало и конец.
Смежные отрезки — это отрезки, которые не лежат на одной прямой и имеют один общий конец. На рисунке изобразили смежные отрезки АВ и АС, где точка А — общий конец.
Прямая — это «не кривая». Более точное определение вряд ли можно сформулировать.
Когда мы рисуем прямую на листе бумаги, мы изображаем только ее часть, потому что прямая не имеет начала и конца.
Обозначать прямые принято малыми латинскими буквами (a, b, c), но можно и большими латинскими буквами (АВ, CD, MN). Точки всегда обозначают большими латинскими буквами (А, В, С).
Два варианта расположения точек относительно прямой:
Точки лежат на данной прямой. Или еще говорят, что прямая проходит через эти точки — на рисунке выше такими точками являются А и В.
При решении задач для краткости используют запись A ∈ a (читается так: точка А принадлежит прямой a или точка А лежит на прямой a), аналогично будет и для точки В (B ∈ b).Точки не лежат на данной прямой. Говорят так: прямая не проходит через эти точки — на рисунке такими точками являются С и D. При решении задач для краткости используют запись C ∉ a (читается так: точка С не принадлежит прямой a или точка С не лежит на прямой a), аналогично будет и для точки D (D ∉ a).
При решении задач для краткости используют запись A ∈ a (читается так: точка А принадлежит прямой a или точка А лежит на прямой a), аналогично будет и для точки В (B ∈ b).Важно знать
Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Если рассмотреть две прямые, то возможны два варианта их расположения:
Прямые пересекаются, то есть имеют одну общую точку.
Для записи пересекающихся прямых используют специальный знак — ∩, то есть a∩b (читают: прямая a пересекает прямую b).
Чтобы обозначить точку пересечения прямых, пишут a∩b = O (читается: прямая a пересекается с прямой - Прямые не пересекаются, то есть не имеют общих точек.
Для записи не пересекающихся прямых используют специальный знак — , то есть m n (читают: прямая m не пересекает прямую n). В дальнейшем для обозначения не пересекающихся прямых мы будем использовать знак параллельности ||.
Чтобы обозначить точку пересечения прямых, пишут a∩b = O (читается: прямая a пересекается с прямой Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Луч имеет начало, но не имеет конца.
На рисунке точка О разбивает прямую АВ на две части:
Каждая из этих частей называется лучом, а точка О является началом одного и другого луча.
Назовем получившиеся лучи:
Луч ОА, точка О — начало луча ОА; конца у луча ОА нет.
Луч ОВ, точка О — начало луча ОВ; конца у луча ОВ нет.
Лучи ОА и ОВ принадлежат одной прямой АВ. Лучи ОА и ОВ имеют общее начало (точка О). Лучи ОА и ОВ противоположно направлены. При таких условиях лучи ОА и ОВ называются дополнительными.
Плоскость — это бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, которые проходят через какие-либо две точки плоскости
Комбинации простейших объектов
Поговорим про комбинации простейших объектов. Например, две прямые, которые мы уже разглядели — либо пересекаются на плоскости, либо нет (тогда они параллельны).
Когда прямые пересекаются, можно ввести понятие отношения между двумя прямыми. Аналогично мы поступали с числами: ввели натуральные числа — количество предметов в множестве. А после этого изучали отношения между этими числами: дроби, возведение в степень.
Точно так же мы изучали множества, а после — отношения между множествами, функции.
Две прямые образуют углы. По сути, угол — это отношение между прямыми. Если один из них нулевой, то прямые параллельны. Если нет — прямые пересекаются.
Максимальный угол – это полный оборот, он составляет 360 градусов.
Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Углы измеряются в градусах. Углов бесконечно много, так как от 0° до 360° угол может принимать бесконечное множество значений.
Есть разные виды углов, выделим самые часто встречающиеся:
Если градусная мера угла меньше 90° — угол острый.
Если градусная мера угла равна 90° — угол прямой.
Если градусная мера угла больше 90°, но меньше 180° — угол тупой.
Если градусная мера угла равна 180° — угол развернутый.
Общая точка, из которой исходят лучи, называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла.
Два угла называются вертикальными, если их стороны являются дополнительными лучами. Свойство вертикальных углов звучит так: вертикальные углы равны.
Два угла называются
Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, который делит угол на две равные части.
А теперь посмотрим на взаимное расположение трех прямых.
Первый случай: все три прямые параллельны.
Второй случай: две прямые параллельны, а третья их пересекает.
Третий случай: если провести три прямые на плоскости случайным образом, велика вероятность образования треугольника. Поэтому этой фигуре мы уделяем так много времени в школе на уроках геометрии.
Бесплатные занятия по английскому с носителем
Занимайтесь по 15 минут в день. Осваивайте английскую грамматику и лексику. Сделайте язык частью жизни.
Треугольник
Треугольник образуют три прямые. Но на треугольник также можно посмотреть, как на фигуру, которая состоит из трех отрезков.
Из треугольников можно получить остальные многоугольники и к треугольникам можно приближать другие фигуры. Например, пятиугольник состоит из трех треугольников.
Треугольник можно использовать для измерения расстояний.
А еще треугольник можно рассматривать в отношениях с окружностью, которая тоже является элементарной конструкцией. Читайте про вписанные и описанные углы.
Треугольник можно легко вычислить, то есть найти его площадь по трем элементам:
Свойства треугольников
Раз треугольник можно задать тремя элементами, значит их можно классифицировать. Если два треугольника похожи, значит у них есть общие свойства.
Треугольник можно составить совсем не из любых трех отрезков: они должны удовлетворять важному свойству — неравенству треугольника.
Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который их соединяет. Из этого следует, что любой другой путь между двумя точками будет длиннее, чем этот отрезок.
|
Неравенство треугольника Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны. |
Один из распространенных типов — прямоугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это накладывает определенные свойства на треугольник. Прямоугольный треугольник — это также половина прямоугольника.
Если две стороны треугольника равны, то это равнобедренный треугольник — и тогда у него есть ось симметрии. Если нарисовать такой треугольник и сложить лист пополам, то две части треугольника совпадут. Эта особенность дает треугольнику определенные свойства.
Симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны — это равносторонний треугольник. У таких треугольников три оси симметрии. Это значит, что если мы повернем треугольник на 60 градусов, то получим точно такой же треугольник.
Такой треугольник задается одним параметром — длиной стороны.
Она полностью определяет все другие значения и размеры в этом треугольнике.
От правильного треугольника может плавно перейти к правильным многоугольникам. У треугольника 3 угла, у четырехугольника — 4, а у пятиугольника — 5 углов. У многоугольника много углов🙃
Четырехугольники
Про четырехугольники мы много говорим на уроках в школе: прямоугольник, квадрат, ромб.
Но говорим о них не в общем случае, как для треугольников (такие вещи, как теорема синусов, косинусов), а можем формулировать только какие-то свойства для определенных видов четырехугольников.
Четырехугольникам лучше уделить побольше времени — у каждого из них есть особые свойства, которые не пригодятся для других фигур. Поэтому каждый четырехугольник лучше внимательно изучить на уроке или почитать в наших материалах:
площадь фигуры
периметр фигуры
площадь прямоугольника
периметр прямоугольника
площадь квадрата
периметр квадрата
параллелограмм
прямоугольный параллелепипед.
Окружность
Окружность — это еще один объект, который полезно изучить. Ее легко описать, она задается одним параметром — радиусом. А еще часто встречается в физике и в обычной жизни. Например, когда капля падает в воду, от нее остаются следы — маленткие окружности.
Практическая сторона геометрии
Название «геометрия» переводится с греческого, как «гео» — земля и «метрео» — мерить. Изначально геометрию использовали для разметки земли и других работ с землей. Но, оказалось, что сфера ее влияния безгранична.
Чтобы понять, зачем нам нужны знания по геометрии, просто оглянитесь вокруг: геометрия окружает нас в предметах разных форм. Взять хотя бы круг: его используют в искусстве, строительстве, технике. То же самое и с другими фигурами: чтобы сконструировать автомобиль или айфон, сшить одежду или построить дом — не обойтись без геометрии.
А еще геометрия помогает научиться рассуждать логически, искать связи и противоречия — полезный навык в диджитал-мире, когда информация окружает нас повсюду.
Вот, в каких профессиях пригодится геометрия: архитектор, айтишник, дизайнер, инженер, конструктор, строитель, smm-менеджер, декоратор, летчик, водитель, художник, проектировщик, астроном, спортсмен, музыкант и другие.
Почему изучать геометрию просто: мы видим объемный мир каждый день и регулярно прикасаемся к предметам, строим планы, размышляем и считаем в уме. В геометрии все знания подкреплены научными теориями — это помогает взаимодействовать с пространством по-другому, более осознанно.
Почему изучать геометрию сложно: некоторые правила придется учить наизусть.
Чтобы понять геометрию, двигайтесь от простого к сложному. Многие теоремы могут показаться очевидными. Но эта видимость может быть верной только для одного рисунка. Невозможно нарисовать все ситуации, ведь их их бесконечное множество. Именно поэтому важно доказать истину, чтобы никогда не сомневаться в ней.
Геометрия на ЕГЭ по математике. Что нужно знать?
Геометрия на профильном ЕГЭ по математике — одна из сложных тем для абитуриентов. Дело в том, что когда-то экзамен по геометрии в школе был обязательным, а сейчас — нет. В результате у большинства абитуриентов знания по геометрии близки к нулю.
Геометрия на профильном ЕГЭ — это три задачи в части 1 (сюда входит и планиметрия, и стереометрия), а также задача 14 (стереометрия) и для многих недосягаемая задача 16 (геометрия) из второй части. Как же научиться их решать?
Начнем с планиметрии. Прежде всего, выучите основные формулы геометрии.
На нашем сайте вы найдете курс геометрии с нуля — основные определения, формулы и теоремы, а также разбор множества экзаменационных задач по геометрии из части 1.
Для решения задач по геометрии из части 2 нужна более серьезная подготовка.
Первый этап — теория. Необходимый материал есть в учебнике по геометрии за 7-9 класс (автор — А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян).
Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.
Программа по геометрии.
1. Треугольники. Элементы треугольника. Вершины и стороны. Высоты, медианы, биссектрисы (определения).
2. Построение треугольника: практические задания.
а) Три стороны треугольника равны и сантиметров соответственно. Постройте треугольник с помощью циркуля и линейки.
б) В треугольнике угол равен градусов, сторона равна , равна . Постройте треугольник .
в) В треугольнике сторона равна , угол равен , угол равен . Постройте треугольник .
3. Три признака равенства треугольников. Неравенство треугольника.
4. Постройте с помощью циркуля и линейки:
а) серединный перпендикуляр к отрезку;
б) биссектрису угла.
5. Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Их определение и свойства.
6. Теорема о сумме углов треугольника.
7. Внешний угол треугольника.
8. Постройте в одном и том же треугольнике
а) Три высоты. Рассмотрите также случаи тупоугольного и прямоугольного треугольника.
б) Три биссектрисы.
в) Три медианы.
9. Равнобедренный треугольник. Определение и свойства. Высота в равнобедренном треугольнике.
10. Средняя линия треугольника и ее свойства.
11. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
12. Определения синуса, косинуса и тангенса:
— для острого угла прямоугольного треугольника;
— для произвольного угла.
13. Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника.
14. Параллелограмм. Определение и свойства. Площадь параллелограмма.
15. Виды параллелограммов и их свойства (ромб, прямоугольник, квадрат).
16. Трапеция. Средняя линия трапеции. Площадь трапеции.
17. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников.
18. Площадь треугольника. Формулы и .
19. Теоремы синусов и косинусов.
20. Чему равно отношение площадей подобных фигур.
21. Свойство медианы (в каком отношении делятся медианы в точке пересечения?)
22. Свойство биссектрисы (в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону?)
23. Окружность и круг. Длина окружности. Площадь круга. Длина дуги и площадь сектора.
24. Теорема о радиусе, проведенном в точку касания.
25. Центральный и вписанный углы. Связь между ними.
26. Теоремы о вписанных углах.
27. Теорема о пересекающихся хордах.
28. Теорема об отрезках длин касательных, проведенных из одной точки.
29. Теорема о секущей и касательной.
30. Дан треугольник . Постройте:
а) окружность, вписанную в данный треугольник;
б) окружность, описанную вокруг данного треугольника.
Где находятся центры этих окружностей?
31. Еще три формулы площади треугольника (через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формула Герона).
32. Когда можно вписать окружность в четырехугольник? Когда — описать вокруг четырехугольника?
Программа по стереометрии
Разбирая и решая задания ЕГЭ по геометрии, вы заметите очень интересную вещь.
Простые задачи из части 1, разобранные на нашем сайте, часто оказываются базовыми схемами, на которых строятся сложные задачи из части 2 профильного ЕГЭ.
Решая на ЕГЭ задачи по геометрии, обращайте особое внимание на оформление. Помните совет, который дал абитуриентам автор бестселлера «Математика — абитуриенту» В. В. Ткачук. Вот он, этот ценнейший совет:
«Подробность решения должна быть такова, чтобы его мог понять человек в 10 (десять) раз глупее вас».
Что такое геометрия? — Определение Факты и примеры
Что такое геометрия
Геометрия — это раздел математики, изучающий размеры, формы, положение, углы и размеры вещей.
2D-фигуры в геометрии
Плоские фигуры, такие как квадраты, круги и треугольники, являются частью плоской геометрии и называются 2D-фигурами. Эти формы имеют только 2 измерения: длину и ширину.
Примеры 2D-форм плоской геометрии показаны ниже.
2D-формы могут быть дополнительно классифицированы как открытые и закрытые формы.
Открытые формы могут быть определены как формы или фигуры, чьи отрезки линий и/или кривые не пересекаются. Они не начинаются и не заканчиваются в одной и той же точке. Замкнутые фигуры — это геометрические фигуры, которые начинаются и заканчиваются в одной и той же точке.
Трехмерные фигуры в геометрии
В геометрии трехмерная фигура может быть определена как сплошная фигура, объект или форма, имеющая три измерения: длину, ширину и высоту. В отличие от двумерных фигур трехмерные фигуры имеют толщину или глубину.
Атрибутами трехмерной фигуры являются грани, ребра и вершины. Три измерения составляют края трехмерной геометрической формы.
Куб, прямоугольная призма, сфера, конус и цилиндр — основные трехмерные формы, которые мы видим вокруг себя.
Угол
В геометрии угол можно определить как фигуру, образованную двумя лучами, сходящимися в одной точке. Угол обозначается символом ∠. Углы измеряются в градусах (°) с помощью транспортира. Например, 45 градусов представляются как 45°.
Углы классифицируются на основе их размеров как:
- Острый угол меньше 90°.
- Тупой угол составляет от 90° до 180°.
- Прямой угол точно равен 90°.
- Угол, равный точно 180°, является прямым углом.
- Угол рефлекса составляет от 180° до 360°.
- Полный угол равен 360°.
Вершина фигуры, где два ребра встречаются, образуя угол. Различные фигуры в геометрии имеют разные меры угла.
Например, :
- Треугольник — это трехсторонняя фигура, а сумма трех его внутренних углов равна 180˚
- Квадрат, прямоугольник или четырехугольник — это четырехсторонняя фигура, а сумма их четырех внутренних углов составляет 360˚
- Другие многоугольники, такие как пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник, имеют соответственно 5, 6, 7, 8 сторон и различные углы.
Примеры различных многоугольников с их углами и сторонами показаны ниже.
Мы изучаем различные аспекты форм, такие как измерение углов, длины сторон, площади, объема и т. д. в геометрии. Подобие и конгруэнтность — два важных аспекта геометрии.
Сходство : Сходство — это когда две формы одинаковы, но их размеры могут различаться.
Конгруэнтность : Конгруэнтность — это когда две фигуры совершенно одинаковы по форме и размеру.
Координатная плоскость:
- Координатная плоскость — это двумерная поверхность, образованная с помощью двух числовых линий, которые пересекают друг друга под прямым углом.
- Горизонтальная числовая линия — это ось x, а вертикальная числовая линия — ось y.
- Пересечение двух осей — это координата (0,0).
- Используя координатную плоскость, мы наносим точки, линии и т. д. Соединяя различные точки на координатной плоскости, мы можем создавать фигуры.
Мы используем формулу и теорему для решения задач по геометрии.
Формула — это математическое уравнение для решения задачи геометрии, а теорема — это утверждение, доказываемое с использованием ранее известных фактов.
Например, « Теорема Пифагора » доказала, что a2+b2=c2 для прямоугольного треугольника, где a и b — стороны прямоугольного треугольника, а c — гипотенуза.
Однако, a2+b2=c2 — это формула для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника.
Интересные факты
— Слово «геометрия» образовано от греческих слов «гео», означающих «земля», и «метрия», означающих «измерение».
Решенные примеры
- Является ли данная фигура примером простой замкнутой кривой, которая также является многоугольником?
Решение:
Замкнутая фигура, которая не пересекает сама себя, является простой замкнутой кривой. Многоугольники — это замкнутые формы, образованные только прямыми линиями, такие как треугольники, прямоугольники, пятиугольники и т.
д.
Данная фигура изогнута и состоит не только из прямых линий, это не многоугольник.
- В треугольнике ABC с прямым углом в точке B, если ∠C=45°, какова мера ∠A?
Решение: △ ABC – заданный прямоугольный треугольник с ∠B=90°.
Сумма углов треугольника = 180°
∠A+∠B+∠C=180°
∠A+∠C=180°-90°=90° =90°-45°=45°
- Определите плоские поверхности в данной призме.
Решение:
Плоские поверхности призмы представлены ниже:
Прямоугольник AECB, прямоугольник DCEF, прямоугольник ABDF образуют прямоугольные грани призмы.
△ BCD и △ AEF образуют треугольные грани призмы.
Практические задачи
A
B
C
D
Правильный ответ: B
Замкнутая фигура, которая не пересекает сама себя, является простой замкнутой кривой.
У него одинаковые начальная и конечная точки.
A
B
C
D
Правильный ответ: D
Данная фигура является трехмерной и называется кубом.
10 сторон и 10 углов
12 сторон и 10 углов
5 сторон и 5 углов
18 сторон и 5 углов
Правильный ответ: 10 сторон и 10 углов
Звездообразная фигура 0 состоит из 1 прямых линий . Таким образом, у него 10 сторон и 10 углов.
Часто задаваемые вопросы
Какая связь между математикой и геометрией?
Математика — это общий термин для различных дисциплин, в которых основное внимание уделяется логике и абстрактным понятиям. Геометрия — один из разделов математики, изучающий формы и размеры фигур и их свойства.
Каковы некоторые приложения геометрии?
Геометрия может применяться во многих областях, таких как архитектура, электроника, машиностроение и строительство.
Его также можно использовать в таких областях, как наука, для разработки проектов или программ по исследованию космоса.
В чем основное различие между 2D и 3D формами?
Основное различие между 2D- и 3D-фигурами заключается в отсутствии глубины или высоты в 2D-фигурах. Это плоские фигуры. Трехмерные формы существуют в трех измерениях с длиной, шириной и высотой и не кажутся плоскими.
В чем разница между алгеброй и геометрией?
Алгебра — это раздел математики, в котором переменные в виде букв используются в качестве чисел или величин в уравнениях и формулах. Геометрия — это раздел математики, изучающий размеры, формы, положение, углы и размеры вещей.
геометрия | Определение, история, основы, отрасли и факты
математиков греко-римского мира
Смотреть все СМИ
- Ключевые люди:
- Блез Паскаль Евклид Птолемей Пьер де Ферма Бернхард Риманн
- Похожие темы:
- топология Евклидова геометрия аналитическая геометрия дифференциальная геометрия проективная геометрия
Просмотреть весь соответствующий контент →
геометрия , раздел математики, изучающий форму отдельных объектов, пространственные отношения между различными объектами и свойства окружающего пространства.
Это одна из старейших областей математики, возникшая в ответ на такие практические задачи, как геодезия, и ее название происходит от греческих слов, означающих «измерение Земли». В конце концов стало понятно, что геометрия не должна ограничиваться изучением плоских поверхностей (геометрия плоскостей) и жестких трехмерных объектов (геометрия тел), но что даже самые абстрактные мысли и образы могут быть представлены и развиты в геометрических терминах.
Эта статья начинается с краткого описания основных разделов геометрии, а затем переходит к обширному историческому анализу. Для получения информации о конкретных разделах геометрии см. Евклидова геометрия, аналитическая геометрия, проективная геометрия, дифференциальная геометрия, неевклидовы геометрии и топология.
Основные разделы геометрии
В некоторых древних культурах была разработана форма геометрии, приспособленная к отношениям между длинами, площадями и объемами физических объектов. Эта геометрия была систематизирована Евклидом в Элементы около 300 г.
до н.э. на основе 10 аксиом или постулатов, из которых с помощью дедуктивной логики было доказано несколько сотен теорем. Элементы олицетворяли аксиоматико-дедуктивный метод на протяжении многих веков.
Аналитическая геометрия была инициирована французским математиком Рене Декартом (1596–1650), который ввел прямоугольные координаты для определения местоположения точек и для представления линий и кривых с помощью алгебраических уравнений. Алгебраическая геометрия — это современное расширение предмета на многомерные и неевклидовы пространства.
Britannica Quiz
Числа и математика
A-B-C, 1-2-3… Если вы считаете, что считать числа — это то же самое, что читать алфавит, проверьте, насколько свободно вы владеете языком математики в этом тесте.
Проективная геометрия была создана французским математиком Жираром Дезаргом (1591–1661) для изучения тех свойств геометрических фигур, которые не изменяются при проецировании их изображения или «тени» на другую поверхность.
Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) в связи с практическими задачами геодезии и геодезии положил начало дифференциальной геометрии. Используя дифференциальное исчисление, он охарактеризовал внутренние свойства кривых и поверхностей. Например, он показал, что внутренняя кривизна цилиндра такая же, как у плоскости, в чем можно убедиться, разрезав цилиндр вдоль его оси и сплющив, но не такая, как у сферы, которую нельзя сплющить без искажение.
Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас
Начиная с 19-го века, различные математики заменяли альтернативами постулат параллельности Евклида, который в его современной форме гласит: «данные линия и точка, не лежащие на прямой, можно провести ровно одну прямую через данная точка параллельна прямой». Они надеялись показать, что альтернативы логически невозможны. Вместо этого они обнаружили, что существуют непротиворечивые неевклидовы геометрии.
Топология
Топология, самый молодой и самый сложный раздел геометрии, фокусируется на свойствах геометрических объектов, которые остаются неизменными при непрерывной деформации — сжатии, растяжении и складывании, но не разрыве.
Непрерывное развитие топологии началось с 1911 г., когда голландский математик Л.Э.Й. Брауэр (1881–1966) представил методы, обычно применимые к этой теме.
История геометрии
Самые ранние известные недвусмысленные примеры письменных источников — датируемые Египтом и Месопотамией около 3100 г. до н. контейнеры. Начиная примерно с VI века до н.0232 гео («Земля») и метрон («мера») для измерения Земли.
В дополнение к описанию некоторых достижений древних греков, в частности логического развития Евклидом геометрии в Элементах , в этой статье рассматриваются некоторые приложения геометрии в астрономии, картографии и живописи от классической Греции до средневекового ислама и Европы эпохи Возрождения. . Он завершается кратким обсуждением расширений неевклидовой и многомерной геометрии в современную эпоху.
Древняя геометрия: практическая и эмпирическая
Происхождение геометрии лежит в заботах повседневной жизни. Традиционное описание, сохранившееся в «Истории » Геродота (5 век до н.
э.), приписывает египтянам изобретение геодезии для восстановления стоимости собственности после ежегодного разлива Нила. Точно так же стремление узнать объемы твердых цифр проистекало из необходимости оценивать дань, хранить масло и зерно, строить плотины и пирамиды. Даже три непонятные геометрические задачи древности — удвоить куб, разделить угол на три части и возвести в квадрат круг — все они будут обсуждаться позже — вероятно, возникли из практических вопросов, из религиозного ритуала, хронометража и конструирования, соответственно, в догреческих обществ Средиземноморья. И главный предмет позднейшей греческой геометрии, теория конических сечений, обязан своим общим значением, а может быть, и своим происхождением, своему применению к оптике и астрономии.
Хотя многие древние люди, известные и неизвестные, внесли свой вклад в эту тему, никто не мог сравниться с влиянием Евклида и его Элементов геометрии, книги, которой уже 2300 лет и которая является объектом столь же болезненного и кропотливого изучения, как Библия.
Однако о Евклиде известно гораздо меньше, чем о Моисее. На самом деле, единственное, что известно с достаточной степенью достоверности, это то, что Евклид преподавал в Александрийской библиотеке во времена правления Птолемея I (323–285/283 до н. э.). Евклид писал не только по геометрии, но и по астрономии и оптике, а может быть, и по механике и музыке. Только Elements , который был тщательно скопирован и переведен, сохранился нетронутым.
« Элементы » Евклида были настолько полны и ясно написаны, что буквально стерли работу его предшественников. То, что известно о греческой геометрии до него, исходит главным образом из фрагментов, цитируемых Платоном и Аристотелем, а также более поздними математиками и комментаторами. Среди других ценных предметов они сохранили некоторые результаты и общий подход Пифагора ( ок. 580– ок. 9).0233 500 г. до н.э.) и его последователей. Пифагорейцы убедили себя, что все вещи являются числами или обязаны своими отношениями числам.
Учение придавало математике первостепенное значение в исследовании и понимании мира. Платон развил подобный взгляд, и философы, находившиеся под влиянием Пифагора или Платона, часто восторженно писали о геометрии как о ключе к толкованию вселенной. Таким образом, древняя геометрия ассоциировалась с возвышенным, дополняя свое земное происхождение и свою репутацию образца точного рассуждения.
Поиск прямого угла
Древние строители и геодезисты должны были уметь строить прямые углы в поле по требованию. Метод, применяемый египтянами, принес им в Греции прозвище «дергальщики каната», по-видимому, потому, что они использовали веревку для выкладки своих строительных инструкций. Один из способов, которым они могли использовать веревку для построения прямоугольных треугольников, заключался в том, чтобы пометить веревку с петлями узлами, чтобы, если ее удерживать за узлы и туго натягивать, веревка образовывала прямоугольный треугольник. Самый простой способ выполнить трюк — взять веревку длиной 12 звеньев, завязать 3 звена с одного конца и еще 5 звеньев с другого конца, а затем связать концы вместе, чтобы получилась петля.
Однако египетские писцы не оставили нам указаний об этих процедурах, а тем более намеков на то, что они знали, как их обобщить, чтобы получить теорему Пифагора: квадрат на прямой, противоположной прямому углу, равен сумме квадратов на двух других. стороны. Точно так же ведические писания древней Индии содержат разделы, называемые sulvasutra s, или «правила веревки», для точного расположения жертвенных алтарей. Требуемые прямые углы были сделаны из веревок, размеченных для получения триад (3, 4, 5) и (5, 12, 13).
В вавилонских глиняных табличках ( ок. 1700–1500 гг. до н. э.) современные историки обнаружили задачи, решения которых указывают на то, что теорема Пифагора и некоторые специальные триады были известны более чем за тысячу лет до Евклида. Однако случайный прямоугольный треугольник вряд ли будет иметь все стороны, измеряемые одной и той же единицей измерения, то есть каждая сторона будет целым числом, кратным некоторой общепринятой единице измерения.
Этот факт, который был шокирован, когда его обнаружили пифагорейцы, породил концепцию и теорию несоизмеримости.
Обнаружение недоступного
Согласно древней традиции, Фалес Милетский, живший до Пифагора в 6 веке до н.э., изобрел способ измерения недоступных высот, таких как египетские пирамиды. Хотя ни одно из его сочинений не сохранилось, Фалес, возможно, хорошо знал о вавилонском наблюдении, что для подобных треугольников (треугольников, имеющих одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер) длина каждой соответствующей стороны увеличивается (или уменьшается) на одно и то же кратное число. Древние китайцы пришли к измерению недоступных высот и расстояний другим путем, используя «дополнительные» прямоугольники, как показано на следующем рисунке, который, как можно показать, дает результаты, эквивалентные результатам греческого метода с использованием треугольников.
Оценка богатства
Вавилонская клинописная табличка, написанная около 3500 лет назад, описывает проблемы, связанные с плотинами, колодцами, водяными часами и раскопками.