Момент балки: Как определить крутящий момент в балке

Как определить крутящий момент в балке

При расчете сборных или монолитных железобетонных балок (ригелей) всегда нужно внимательно относиться к крутящему моменту. Очень часто расчет на кручение требует увеличить сечение или армирование балки. Сечение балки при кручении эффективней увеличивать в ширину (увеличение балки по высоте дает малый эффект), оптимально при кручении уходить от прямоугольного сечения к квадратному.

В каких ситуациях в балке возникает крутящий момент?

1) Если на балку опирается перекрытие только с одной стороны – оно своим весом пытается крутить балку в сторону пролета перекрытия.

2) Если на балку опирается перекрытие с двух сторон, но пролет этих перекрытий разный – тогда нагрузка от перекрытия с большим пролетом перевешивает в свою сторону и крутит балку.

3) Если на балку опирается перекрытие равных пролетов, но нагрузки на этих перекрытиях отличаются (разное назначение помещений, наличие оборудования на перекрытии и т.

п.) – тогда балка также прокручивается в сторону большей нагрузки.

4) Если вдоль балки действует вертикальная нагрузка (например, от веса перегородки), сбитая в сторону от оси балки.

Рассмотрим определение крутящего момента на примерах.

Пример 1. Монолитное балочное перекрытие. Необходимо определить крутящий момент в крайней балке. Суммарная нагрузка от веса монолитного перекрытия и всех нагрузок на нем равна: qн = 675 кг/м² (нормативная) и qр =775 кг/м² (расчетная).

Расчет ведется на 1 погонный метр балки.

В монолитном перекрытии связь перекрытия с балками жесткая. При такой схеме расчетный пролет перекрытия равен пролету плиты в свету между балками L₀ = 2,8 м, а нагрузка от плиты на балку передается в месте примыкания балки к перекрытию.

Найдем нагрузку на 1 п.м балки от половины пролета плиты 2,8/2 = 1,4 м:

Рн = 675∙1,4 = 945 кг/м;

Рр = 775∙1,4 = 1085 кг/м.

Крутящий момент в балке рассчитывается умножением вертикальной нагрузки на эксцентриситет – расстояние от оси приложения этой нагрузки до оси, проходящей через центр тяжести балки.

В нашем случае эксцентриситет равен половине ширины балки, т.е. 100 мм = 0,1 м.

Итак, определяем крутящий момент в балке (на 1 п.м балки):

Мн = 945∙0,1 = 94,5 кг∙м/м;

Мр = 1085∙0,1 = 108,5 кг∙м/м.

Пример 2. Сборное перекрытие опирается на балку с двух сторон. С одной стороны пролет перекрытия 6 м и есть пригруз в виде перегородки, опирающейся параллельно балке; с другой стороны пролет перекрытия 3,6 м. Нагрузка от перегородки  0,65 т/м, расстояние от оси балки до перегородки 1,5 м. Нагрузка от собственного веса перекрытия 0,3 т/м². Нагрузка на перекрытии: постоянная 0,1 т/м²; временная 0,3 т/м². Ширина балки 0,3 м. Глубина опирания плит перекрытия на балку 0,14 м.

Расчет ведется на 1 п.м балки.

Определим расчетный пролет каждого перекрытия и найдем точку приложения нагрузки от перекрытия на балку.

Плита опирается на балку на 140 мм. Нагрузка от плиты на этой площади распределена не равномерно, а по треугольнику. Максимально плита давит со стороны пролета (с края балки), а к краю плиты нагрузка сходит к нулю. Чтобы привести эту распределенную нагрузку к сосредоточенной, нужно принять ось приложения этой сосредоточенной нагрузки – в центре тяжести треугольника, на расстоянии 1/3 от края балки. У нас получается, что расстояние от края балки до сосредоточенной нагрузки 140/3 = 47 мм, а расстояние от этой нагрузки до оси, проходящей через центр тяжести балки 150 – 47 = 103 мм. Расстояние между сосредоточенными нагрузками равно расчетному пролету плиты L₀, который для наших плит будет равен:

— для плиты 6 м: L₀ = 6000 – 2∙103 = 5794 мм;

— для плиты 3,6 м: L₀ = 3600 – 2∙103 = 3394 мм.

Построим эпюры поперечных сил для наших плит.

Равномерно-распределенная нагрузка на 1 погонный метр плиты равна:

— нормативная qн = 1∙(0,3 + 0,1 + 0,3) = 0,7 т/м;

— расчетная qр = 1∙(1,1∙0,3 + 1,1∙0,1 + 1,2∙0,3) = 0,8 т/м.

Сосредоточенная нагрузка от перегородки на плите Nн = 0,65 т/м (нормативная) и Nр = 1,1∙0,65 = 0,72 т/м (расчетная) находится на расстоянии 1500 мм от оси балки и на расстоянии 1500 – 103 = 1397 мм от принятой нами точки опоры плиты, через которую проходит ось передачи вертикальной нагрузки на балку.

Схема для нормативных нагрузок будет следующая (так как плиты опираются шарнирно, то каждую из них нужно посчитать по отдельной схеме):

Левая плита разбита на два участка: 1-2 и 2-3, правая плита представляет собой один участок 4-5.

В правой плите мы сразу можем найти значения поперечной силы:

Q = 0,5∙qL₀ = 0,5∙0,65∙3,394 = 1,1 т.

Построим эпюру для правой плиты:

Значение поперечной силы на опоре (в точке 4) равно искомой нагрузке, которую плита передает на балку: Р₄= 1,1 т (направлена вниз).

Теперь разберемся с эпюрой для левой плиты. Так как помимо распределенной нагрузки у нас есть сосредоточенная сила, у нас будет несколько больше операций.

Для удобства расчета левой плиты заменим равномерно распределенную нагрузку q равнодействующей силой N:

N_1-2 = 0.65∙4,397 = 2,86 т;

N_2-3 = 0,65∙1,397 = 0,91 т.

Зная, что в шарнирно-опирающейся плите моменты на опоре равны нулю, составим уравнение равновесия, чтобы найти реакции на опоре.

ΣМ₁ = 0:

2,86∙2,199 + 0,65∙4,397 + 0,91∙5,096 – R₃∙5,794 = 0, откуда найдем реакцию:

R₃ = -13.78/5,794 = 2,38 т.

ΣМ₃ = 0:

0,91∙0,698 + 0,65∙1,397 + 2,86∙3,595 – R₁∙5,794 = 0, откуда найдем реакцию:

R₁ = 11,82/5,794 = 2,04 т.

Строить эпюру поперечных сил в плите для определения крутящего момента в балке нам не нужно, т.к. найденная нами реакция на опоре R₃ равна максимальной поперечной силе и равна нагрузке, передаваемой плитой на балку: Р₃= 2,38 т (направлена вниз).

Теперь у нас есть все исходные данные для определения крутящего момента.

Определим нормативный крутящий момент путем умножения сил на плечо. Принимаем силу, вращающую балку против часовой стрелки со знаком «+», а по часовой – со знаком «-«:

Мн = 2,38∙0,103 – 1,1∙0,103 = 0,13 т∙м/м – нормативный крутящий момент, приходящийся на 1 п.м балки.

Расчетный крутящий момент находится точно так же.

Пример 3. Вдоль балки расположена перегородка, которая сбита относительно оси балки на 150 мм. Перекрытие опирается на балку с двух сторон, пролеты перекрытия и нагрузки – одинаковые. Толщина перегородки 0,12 м, материал кирпич (1,8 т/м³), высота 3 м.

Расчет ведем на 1 погонный метр балки.

Определим вертикальную нагрузку от перегородки:

0,12∙3∙1,8 = 0,65 т/м – нормативная нагрузка;

1,1∙0,65 = 0,72 т/м – расчетная нагрузка.

Определим крутящий момент в балке путем умножения силы на плечо:

Мн = 0,65∙0,15 = 0,1 т∙м/м;

Мр = 0,72∙0,15 = 0,11 т∙м/м.

Расчет балок переменного сечения (Лекция №30)

Подбор сечений балок равного сопротивления.

   Все предыдущие расчеты относились к балкам постоянного сечения. На практике мы имеем часто дело с балками, поперечные размеры которых меняются по длине либо постепенно, либо резко.

Ниже рассмотрено несколько примеров подбора сечения и определения деформаций балок переменного профиля.

   Так как изгибающие моменты обычно меняются по длине балки то, подбирая ее сечение по наибольшему изгибающему моменту, мы получаем излишний запас материала во всех сечениях балки, кроме того, которому соответствует . Для экономии материала, а также для увеличения в нужных случаях гибкости балок применяют балки равного сопротивления. Под этим названием подразумевают балки, у которых во всех сечениях наибольшее нормальное напряжение одинаково и должно быть равно допускаемому.

Условие, определяющее форму такой балки, имеет вид

и

   Здесь М(х) и W(x) — изгибающий момент и момент сопротивления в любом сечении балки;

W(х) для каждого сечения балки должен меняться пропорционально изгибающему моменту.

   Эти условия справедливы и для сечения с наибольшим изгибающим моментом; если обозначить — момент сопротивления балки в сечении с наибольшим изгибающим моментом , то можно написать:

(1)

   Покажем ход вычислений на примере. Рассмотрим балку пролетом l, защемленную концом А и нагруженную на другом конце силой Р (Рис.1). Выберем сечение этой балки в виде прямоугольника; задачу о надлежащем изменении момента сопротивления можно решать, меняя высоту или ширину балки или тот и другой размер вместе.

Рис.1. Расчетная схема балки равного сопротивления

 

   Пусть высота балки будет постоянной , а ширина переменной—. Момент сопротивления в сечении на расстоянии х от свободного конца будет , а изгибающий момент ; момент сопротивления опорного сечения , a наибольший изгибающий момент в опорном сечении . В расчете имеют значения лишь абсолютные величины М(х) и

По формуле (1) получаем:

откуда

т. е. ширина меняется по линейному закону в зависимости от х. При ширина равна .

   Вид балки в фасаде и плане показан на Рис.1. Такое очертание балки получается, если учитывать ее прочность только по отношению к нормальным напряжениям; ширина в сечении В обращается в нуль.

   Однако необходимо обеспечить прочность и по отношению к касательным напряжениям. Наименьшая ширина балки, требуемая этим условием, определится из уравнения

или, так как

   Таким образом, исправленное очертание балки предопределяет минимальный размер ширины и утолщение свободного края консоли.

 

Определение деформаций балок переменного сечения.

   При определении прогибов и углов поворота для балок с переменным сечением надлежит иметь в виду, что жесткость такой балки является функцией от х. Поэтому дифференциальное уравнение изогнутой оси принимает вид

где J(x) — переменный момент инерции сечений балки.

   До интегрирования этого уравнения можно выразить J(x) надлежащей подстановкой через J, т. е. через момент инерции того; сечения, где действует ; после этого вычисления производятся так же, как и.для балок постоянного сечения.

   Покажем это на примере, разобранном выше. Определим прогиб балки равного сопротивления, защемленной одним концом, нагруженной на другом конце силой Р и имеющей постоянную высоту. Начало координат выберем на свободном конце балки.

Тогда

Дифференциальное уравнение принимает вид:

Интегрируем два раза:

Для определения постоянных интегрирования имеем условия: точке А при прогиб и угол поворота или

и

отсюда

и

Выражения для у и принимают вид;

Наибольший прогиб на свободном конце балки В получится при : он равен

Если бы мы всю балку сделали постоянного сечения с моментом инерции J, то наибольший прогиб был бы

т. е. в 1 раза меньше.

   Таким образом, балки переменного сечения обладают большей гибкостью по сравнению с балками постоянной жесткости при одинаковой с ними прочности. Именно поэтому, а не только ради экономии материала, они и применяются в таких конструкциях, как рессоры.

Дальше…

Лучевые силы и моменты | Инженерная библиотека

На этой странице представлены разделы о силах и моментах балки из «Руководства по анализу напряжений», Лаборатория динамики полета ВВС, октябрь 1986 г.

Другие связанные главы из «Руководства по анализу стресса» ВВС можно увидеть справа.

А	=	площадь моментной диаграммы
и	=	линейный размер
и	=	расстояние от левого конца пролета до центра тяжести его диаграммы моментов
б	=	линейный размер
б	=	расстояние от правого конца пролета до центра тяжести его диаграммы моментов
С	=	центр тяжести моментной диаграммы
с	=	линейный размер
д	=	линейный размер

Е	=	модуль упругости
я	=	момент инерции
Л	=	длина
М	=	приложенный изгибающий момент
П	=	приложенная сосредоточенная нагрузка
Р	=	реакция
Вт	=	сосредоточенная поперечная нагрузка
с	=	распределенная поперечная нагрузка

1.

3.4 Введение в силы реакции и моменты на балки при поперечной нагрузке

На рис. 1-30 показана балка под поперечной нагрузкой. Можно применить два уравнения равновесия, чтобы найти реактивные нагрузки, действующие на такую ​​балку со стороны опор. Они состоят из суммы сил в вертикальном направлении и суммы моментов. Если балка имеет две реактивные нагрузки, создаваемые опорами, как в случае консольной балки или балки, просто опертой в двух точках, реактивные нагрузки могут быть найдены с помощью уравнений равновесия, и балка является статически определимой. Однако, если балка имеет более двух реактивных нагрузок, как в случае балки, закрепленной на одном конце и закрепленной или закрепленной на другом конце, она является статически неопределимой, и уравнения прогиба балки должны применяться в дополнение к уравнениям статика для определения реактивных нагрузок.

В разделе 1.3.4.1 представлен метод определения реактивных нагрузок на балки, закрепленные на одном конце и закрепленные в другой точке, а в разделе 1. 3.4.3 рассматриваются реактивные нагрузки для балок, закрепленных на обоих концах. Балки на трех и более опорах рассматриваются в разделе 1.3.4.5.

---

Нужен калькулятор луча?

Попробуйте этот калькулятор луча.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Построение диаграмм сдвига и моментов
• Можно указать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

---

1.3.4.1 Силы реакции и моменты на балках с одним закрепленным концом и одной шарнирной опорой

На рис. 1-31(а) показана однородная балка с одной неподвижной и одной шарнирной опорой. Следующая процедура может быть использована для определения опорных реакций на такой балке, если ее напряжения находятся в области упругости.

1. Разделите балку на штифтовой опоре, как показано на рис. 1-31(b), и найдите M 92 } — { M_A \более 2 } $$

   (1-38)

   Оценка первого члена этого уравнения может быть облегчена использованием Таблицы 1-10.
2. Оцените R _A и R _B , применяя уравнения статики к Рисунку 1-31(d).

После определения опорных реакций можно построить диаграммы момента и сдвига для балки. Если шарнирная опора находится на конце балки, M _A можно установить равным нулю.

1.3.4.2 Пример задачи — реакции на балку с одной фиксированной и одной шарнирной опорой

Дано : Балка, показанная на рис. 1-32.

Найдите : Моменты реакции и силы на балке.

Решение . Рисунок 1-33(a) можно получить, перерисовав луч, как показано на рисунке 1-31(b). Затем можно построить диаграмму моментов для правой части; и A, a и M _A можно определить, как показано на рис. 1-33(b).

Из уравнения (1-38) 92 } — { 5000 \более 2 } = -4,375 ~\text{in*lb} $$

Теперь, когда известно M _B , R _A и R _B можно найти, применяя уравнения статики к рисунку 1-33(c). Это дает R _A  = 781 фунт и R _B  = 219 фунт.

---

Нужен калькулятор луча?

Попробуйте этот калькулятор луча.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Построение диаграмм сдвига и моментов
• Можно указать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

---

1.3.4.3 Силы реакции и моменты на балках с закрепленными обоими концами

На рис. 1-34(а) показана однородная балка с закрепленными обоими концами. Следующая процедура может быть использована для определения опорных реакций на такой балке, если ее напряжения находятся в области упругости.

1. Считайте, что балка свободно поддерживается, как показано на рис. 1-34 (b). 92 } ~( 2 \bar{a} — \bar{b} ) $$

   (1-40)

   Оценка членов в этих уравнениях может быть облегчена использованием Таблицы 1-10.
2. Оцените R _A и R _B , применяя уравнения статики к Рисунку 1-34(d).

После определения концевых реакций можно построить диаграммы момента и сдвига для балки.

Вышеупомянутой процедуры можно избежать, используя Таблицу 1-9, в которой приведены уравнения для моментов реакции для балок, закрепленных с обоих концов при различных нагрузках. Правила знаков для этой таблицы показаны на рис. 1-34(d).

---

Нужен калькулятор луча?

Попробуйте этот калькулятор луча.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Построение диаграмм сдвига и моментов
• Можно указать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

---

1.3.4.4 Силы реакции и моменты на неразрезных балках

Неразрезная балка – это балка с тремя и более опорами. Такая балка является статически неопределимой, и для нахождения опорных реакций необходимо применять уравнения прогиба. Уравнение трех моментов является таким уравнением.

1.3.4.5 Применение уравнения трех моментов для решения реакций на сплошных балках

На рис. 1-35(а) показана однородная балка, свободно опертая в трех коллинеарных точках А, В и С. Чтобы получить реакции, балка разбита на две свободно опертые секции без концевых моментов, как показано на рис. 1-35(б). Затем для этих сечений находятся диаграммы моментов, а площадь А и центр тяжести С этих диаграмм находятся, как показано на рис. 1-35(с). Найденные величины теперь можно подставить в уравнение трех моментов:

$$ M_A L_1 + 2 M_B (L_1 + L_2) + M_C L_2 = { -6 A_1 \bar{a}_1 \over L_1 } — { 6 A_2 \bar{b}_2 \over L_2 } $$

(1-41)

Если известны M _A и M _C , это уравнение может быть решено на данный момент в B, M _B . Зная этот момент, опорные реакции в точках А, В и С можно найти, применяя уравнения статики.

Члены справа от уравнения (1-41) могут быть найдены для различных простых нагрузок с помощью таблицы 1-10. 92) $$

(1-42)

где P ₁ обозначает любую из нескольких сосредоточенных нагрузок, которые могут действовать на левый пролет на расстоянии a ₁ от опоры A. Аналогично, P ₂ обозначает любую нагрузку в правом пролете на расстоянии от опоры C.

Если балка просто опирается более чем в трех точках, уравнение трех моментов может быть записано для каждой промежуточной опоры. Затем уравнения можно решить одновременно, чтобы получить моменты на каждой опоре. Эта процедура иллюстрируется примером задачи в разделе 1.3.4.6.

---

Нужен калькулятор луча?

Попробуйте этот калькулятор луча.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Построение диаграмм сдвига и моментов
• Можно указать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

---

1.3.4.6 Пример задачи. Реакции на сплошных балках по уравнению трех моментов

Дано 93 \более 4 } $$

Упрощение дает 3M ₂ + 14M ₃  = -15 000.

Два только что полученных уравнения в M ₂ и M ₃ можно решить одновременно, чтобы найти, что M ₂  = -376 и M ₃  = -990.

Теперь можно применить уравнения статики, как показано на рис. 1-38, для нахождения сил реакции.

Теперь луч можно нарисовать, как показано на рис. 1-39.

---

---

Калькулятор балки онлайн (расчет реакций, рисование изгибающего момента, поперечной силы, осевой силы)

• Расчеты
• Период

Выберите необходимое количество расчетов:

2 расчета 5 расчетов 10 расчетов

Цена: 4,99$

Выбранный тариф позволяет сделать 2 расчета балок, рам или ферм. Бессрочно.

Выберите нужный период:

1 месяц 3 месяца 12 месяцев

Цена: 39 $

Непродлеваемая подписка. Выбранный тариф позволяет произвести расчет балки, каркаса или фермы за 1 месяц без ограничений по количеству расчетов.

Количество пользователей: 1 (3 IP-адреса в день)

Подробнее

Куда отправить код доступа ?

Согласитесь с условиями, чтобы продолжить.