Построение правильный пятиугольник: Построение пятиугольника подробно. — Чертежик — Интернет магазин мебели "МебПилот.ру"

Разное

{circ }}

Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:

S = 5 4 t 2 c t g π 5 = 5 5 + 2 5 4 t 2 = 5 12 R d = 5 2 R 2 sin ⁡ 2 π 5 = 5 r 2 t g π 5 {displaystyle S={frac {5}{4}}t^{2}mathop {mathrm {ctg} } ,{frac {pi }{5}}={frac {{sqrt {5}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}={frac {5}{12}}Rd={frac {5}{2}}R^{2}sin {frac {2pi }{5}}=5r^{2}mathop {mathrm {tg} } ,{frac {pi }{5}}} , где R {displaystyle R} — радиус описанной окружности, r {displaystyle r} — радиус вписанной окружности, d {displaystyle d} — диагональ, t {displaystyle t} — сторона.

{circ }}{2}}t={frac {sqrt {5+2{sqrt {5}}}}{2}}tapprox 1{,}539t}

Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу 1 + 5 2 {displaystyle {frac {1+{sqrt {5}}}{2}}} .

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

Сторона:

t = R 5 − 5 2 ≈ 1,175 57 R {displaystyle t=R{sqrt {frac {5-{sqrt {5}}}{2}}}approx 1{,}17557~R}

Радиус вписанной окружности:

r = 5 5 + 2 5 10 t ≈ 0,688 191 t {displaystyle r={frac {{sqrt {5}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}{10}}tapprox 0{,}688191~t}

Радиус описанной окружности:

R = 1 0 5 + 5 10 t = ( 5 − 1 ) r ≈ 0,850 651 t ≈ 1,236 07 r {displaystyle R={frac {{sqrt {1}}0{sqrt {5+{sqrt {5}}}}}{10}}t=({sqrt {5}}-1)~rapprox 0{,}850651~tapprox 1{,}23607~r}

Диагональ:

d = Φ 5 R = 5 + 1 2 t ≈ 1,902 R ≈ 1,618 t {displaystyle d={sqrt {Phi {sqrt {5}}}}R={frac {{sqrt {5}}+1}{2}}tapprox 1{,}902~Rapprox 1{,}618~t}

Площадь:

S = 5 5 + 2 5 4 t 2 ≈ 1,720 48 t 2 {displaystyle S={frac {{sqrt {5}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}approx 1{,}72048~t^{2}}

Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. {4}=3Phi +2={frac {3{sqrt {5}}+7}{2}}approx 6{,}8541} где Φ {displaystyle Phi } — отношение золотого сечения.
Содержание
Построение
Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.
Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:
Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
Постройте точку C посередине между O и B.
Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Воспроизвести медиафайл
Построение правильного пятиугольника
Построение правильного пятиугольника
Построение правильного пятиугольника
Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля

Получение с помощью полоски бумаги

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

В природе

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры. Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская. Пентасимметрией обладают иглокожие (например морские звёзды) и некоторые растения. См. также Закономерности в природе.

Пятиугольный узел на полоске бумаги
Иглокожие, например морские звёзды, обладают пентасимметрией
Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как мушмула германская
Пентагон — здание Министерства обороны США

Интересные факты

Додекаэдр — единственный из правильных многогранников, грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
Пентагон — здание Министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.
Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника.
Правильный пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией правильного пятиячейника (4-симплекса).

Алексеенко, Валентина Харитоновна
Биллевич, Леон
Брохвайл Искитрог
Димитрий (Устимович)
Шумахер, Генрих Христиан

Построение ⭐ правильных многоугольников: формулы геометрии

Что такое правильный многоугольник

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Ниже перечислены некоторые правильные многоугольники

Правильный треугольник: все углы правильного треугольника равны 60°.

Правильный четырехугольник (квадрат): все углы квадрата равны 90°.

Правильный пятиугольник: все углы правильного пятиугольника равны 108°.

Правильный шестиугольник: все углы правильного шестиугольника равны 120°.

Правильный семиугольник: все углы правильного семиугольника равны 128,57°.

Правильный восьмиугольник: все углы правильного восьмиугольника равны 135°.

Признак правильного многоугольника: многоугольник будет правильным, если все его стороны равны и все его углы равны .

Свойства правильного многоугольника

Все стороны равны. .
Все углы равны. .
Центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности. Центр вписанной и описанной окружностей является центром многоугольника.
Сумму всех углов правильного многоугольника можно найти по формуле: . Где n — количество вершин правильного многоугольника, — внутренние углы многоугольника.
Сумма внешних углов правильного многоугольника равна 360°. . Где n — количество вершин правильного многоугольника, — внешние углы многоугольника.
Количество диагоналей правильного многоугольника равно произведения количества вершин многоугольника на количество диагоналей, которые можно провести из одной вершины. Из одной вершины n-угольника можно провести n-3 диагонали, так как нельзя провести диагонали в две соседние вершины (они будут совпадать со сторонами) и в эту же вершину. . Где — количество диагоналей правильного многоугольника, n — количество вершин правильного многоугольника.
Биссектрисы всех углов многоугольника равны и проходят через центр вписанной и описанной окружностей.

Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника

Вписанная окружность — это окружность, лежащая внутри многоугольника и касающаяся всех его сторон.

Радиус вписанной в правильный многоугольник окружности равен:

где r — радиус окружности, описанной около правильного многоугольника,