Построить квадрат по стороне с помощью циркуля: Как с помощью циркуля построить квадрат?

Разное

Содержание

Как циркулем нарисовать квадрат — MOREREMONTA

Здесь легко и интересно общаться. Присоединяйся!

хм. рисуем круг, от центра на окружности отмечаем 4 точки, соединяем внутри круга по заданному радиусу между собой точки, вуаля!

С помощью нитей

в правую руку берешь циркуль, левую ложишь на лист и аккуратно рисуешь квадрат. можно внаоборот.

Если менять положение

Передвигать иглу вдоль линии до нужного размера)

Спроси у Малевича. Он мастер рисовки квадрата.

рисуй с великого бодуна, может и многогранник получиться

Ох, это искусство!)) И оно требует жертв.

Положить его и обвести.

Только круглый квадрат

Дело по всей видимости упирается в два круга.

А зачем?есть циркуль,но нет линейки?

Положить раскрытый циркуль на бумагу, обрисовать его карандашом, потом снять его и приложить к нарисованному с другой стороны, предварительно соединив с нарисованными линиями, опять обрисовать карандашом, убрать циркуль с бумаги.

и вуаля . квадрат перед вами.

проще 4 шага сделать

Войдите на сайт,
чтобы увидеть изображение.

Мы в академиях не кончали.

Я вообще нигде не учился, и то вонял.

Также как ручкой стиреть,что написал

Потому что

Почему бы и нет))

шлепнуть по нему

Снять цыркуль взять линейку и начертить

Молча. Берём и рисуем)

квадратуРА круга= форма живой клетки 3-Д

Войдите на сайт,
чтобы увидеть изображение.

с помощью линейки

а линейкой круг?

Нарисуйте круг и откусите с 4 сторон

Не смогу,не умею.

Войдите на сайт,
чтобы увидеть изображение.

Путем подтягивания ножки с карандашом к ножке с иглой

это не его функция.

Берёшь линейку и карандаш от циркуля

Ну как??берёшь циркуль. и рисуешь)))

ути умница какая)

Ага. я такая. я линейкой могу окружность нарисовать от руки)))))

А нечего ерундой заниматься. ты билеты взял? Конская морда. Заметь, тебя царская морда спрашивает!?

надо бы как-то назваться. нам.

Пипец и пипецка))))

у меня получилось. Когда я подвыпивший племяннику что-то чертил

Легко. Использовать его как карандаш.

просто взять и нарисовать, не усложняй

надо взять линейку

я не узнаю вас в гримме)

))) Ворона-альбинос) прелестна, прелестна)

Это я как бы блондинка?? Ну,спасибо,конь.

Задачу задали, Коняга? Доброе утро!

Да) доброе утречко)

из каждого угла восставлять перпендикуляр. То есть из двух углов перпендикуляры, а дальше проще. Ну или пересечением двух 6-ти-гранников в круге

Сначала прямую. Потом циркулем построить ей перпендикулярную. Потом в пересечение поставить иглу и нарисовать окружность. Точки пересечения -углы квадрата. А теперь окружность легко делится на 12 частей.

4 раза прошли по периметру сложенным циркулем. Или -окружность.далее через центр диаметры и одинаковое расстояние от центра .

Войдите на сайт,
чтобы увидеть изображение.

Картинки не видно.

Вокруг одного круга нарисовать ещё четыре паралельно друг другу и соеденить точки соприкосновения

Основы черчения

Строительное

Машиностроительное

Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего проводим стороны 5—6 и 3—2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, проведённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ

основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4—1 и 3—2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диаметров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до взаимного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные прямые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересечения с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), производим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вершины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, проводим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересечение которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно производить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэффициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

Квадрат — это четырехугольник с прямыми углами и равными сторонами. Кажется, что такую фигуру легко нарисовать, не правда ли? Но не будьте так самоуверенны. Чтобы начертить идеальный квадрат, необходимо располагать кое-чем еще, кроме твердой руки. Умение чертить квадрат при помощи циркуля и транспортира вполне может пригодиться.

Как начертить квадрат в окружности

Построе́ния с по́мощью ци́ркуля и лине́йки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён.

В задачах на построение циркуль и линейка предполагаются идеальными инструментами, в частности:

Линейка не имеет делений и имеет сторону бесконечной длины, но только одну.
Циркуль может иметь какой угодно большой или малый раствор (то есть может чертить окружность произвольного радиуса).

Содержание

Примеры [ править | править код ]

Задача на бисекцию. С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке:

Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB.
Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг).
По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q.
Находим искомую середину отрезка AB — точку пересечения AB и PQ.

Формальное определение [ править | править код ]

В задачах на построение рассматривается множество следующих объектов: все точки плоскости, все прямые плоскости и все окружности плоскости. В условиях задачи изначально задается (считается построенными) некоторое множество объектов. К множеству построенных объектов разрешается добавлять (строить):

произвольную точку;
произвольную точку на заданной прямой;
произвольную точку на заданной окружности;
точку пересечения двух заданных прямых;
точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности;
точки пересечения/касания двух заданных окружностей;
произвольную прямую, проходящую через заданную точку;
прямую, проходящую через две заданные точки;
произвольную окружность с центром в заданной точке;
произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками;
окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками.

Требуется с помощью конечного количества этих операций построить другое множество объектов, находящееся в заданном соотношении с исходным множеством.

Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:

Описание способа построения заданного множества.
Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.
Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.

Известные задачи [ править | править код ]

Задача Аполлония о построении окружности, касающейся трех заданных окружностей. Если ни одна из заданных окружностей не лежит внутри другой, то эта задача имеет 8 существенно различных решений.cdot p_<1>cdots p_> , где p i <displaystyle p_> — различные простые числа Ферма. В 1836 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Неразрешимые задачи [ править | править код ]

Следующие три задачи на построение были поставлены ещё древними греками:

трисекция угла — разбить произвольный угол на три равные части;
удвоение куба — построить ребро куба вдвое большего по объёму, чем данный куб;
квадратура круга — построить квадрат, равный по площади данному кругу.

Лишь в XIX веке было строго доказано, что все эти три задачи неразрешимы при использовании только циркуля и линейки. Доказательство неразрешимости этих задач построения было достигнуто с помощью алгебраических методов, основанными на теории Галуа [1] . В частности, невозможность построения квадратуры круга следует из трансцендентности числа π.

Другая известная и неразрешимая с помощью циркуля и линейки задача — построение треугольника по трём заданным длинам биссектрис [2] . Эта задача остаётся неразрешимой даже при наличии инструмента, выполняющего трисекцию угла, например томагавка. [3]

Допустимые отрезки для построения с помощью циркуля и линейки [ править | править код ]

С помощью этих инструментов возможно построение отрезка, который по длине:

равен сумме длин нескольких отрезков;
равен разности длин двух отрезков;
численно равен произведению длин двух отрезков;
численно равен частному от деления длин двух отрезков;
численно равен квадратному корню из длины заданного отрезка (следует из возможности построения среднего геометрического двух отрезков, см. иллюстрацию). [4]

Для построения отрезка с длиной численно равной произведению, частному и квадратному корню из длин заданных отрезков необходимо задание на плоскости построения единичного отрезка (то есть отрезка длины 1), иначе задача неразрешима из-за отсутствия масштаба. Извлечение корней из отрезков с иными натуральными степенями, не являющимися степенью числа 2, невозможны с помощью циркуля и линейки. Так, например, невозможно при помощи циркуля и линейки из единичного отрезка построить отрезок длиной 2 3 <displaystyle <sqrt[<3>]<2>>> . Из этого факта, в частности, следует неразрешимость задачи об удвоении куба. [5]

Возможные и невозможные построения [ править | править код ]

С формальной точки зрения, решение любой задачи на построение сводится к графическому решению некоторого алгебраического уравнения, причем коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому можно сказать, что задача на построение сводится к отысканию действительных корней некоторого алгебраического уравнения.

Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определенного типа.

Исходя из возможных построений отрезков возможны следующие построения:

Построение решений линейных уравнений.
Построение решений уравнений, сводящихся к решениям квадратных уравнений.

Иначе говоря, возможно строить лишь отрезки, равные арифметическим выражениям с использованием квадратного корня из исходных чисел (заданных длин отрезков).<3>-2=0,> связанное со знаменитой задачей на удвоение куба, сводящаяся к этому кубическому уравнению. Как было сказано выше, решение этого уравнения ( 2 3 <displaystyle <sqrt[<3>]<2>>> ) невозможно построить циркулем и линейкой.

Возможность построить правильный 17-угольник следует из выражения для косинуса центрального угла его стороны:

cos ⁡ ( 2 π 17 ) = − 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 − 2 17 + <displaystyle cos <left(<frac <2pi ><17>>
ight)>=-<frac <1><16>>;+;<frac <1><16>><sqrt <17>>;+;<frac <1><16>><sqrt <34-2<sqrt <17>>>>;+;> + 1 8 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 , <displaystyle +<frac <1><8>><sqrt <17+3<sqrt <17>>-<sqrt <34-2<sqrt <17>>>>-2<sqrt <34+2<sqrt <17>>>>>>,> что, в свою очередь, следует из возможности сведения уравнения вида x F n − 1 = 0 , <displaystyle x^>-1=0,> где F n <displaystyle F_> — любое простое число Ферма, с помощью замены переменной к квадратному уравнению.

Основы черчения

Строительное

Машиностроительное

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), производим следующие построения.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Анализируя различные положения квадрата и окружности относительно точки зрения и линии горизонта а также правила их изображения в перспективе легко обнаружить общие закономерности. Геометрическая связь этих фигур определяется тем, что вокруг любой окружности можно описать квадрат, а также в любой квадрат можно вписать окружность.

Как вписать окружность в квадрат?

Рассмотрите рисунок 48. Квадрат и вписанная в него окружность имеют общий центр — точку пересечения диагоналей квадрата. Окружность касается сторон квадрата в точках 1,2,3,4.Точки касания делят стороны квадрата пополам. Для того чтобы изобразить вписанную в квадрат окружность (в перспективном рисунке — эллипс) необходимо определить положение осей эллипса и найти точки, задающие его размеры (точки 1 — 4).

Горизонтальный квадрат.

Найдите точки касания на перспективном рисунке горизонтально расположенного квадрата (рис.49): для этого через точку пересечения диагоналей проведите прямые, параллельные сторонам квадрата и уходящие с ними в одну точку схода.

Окружность, лежащая в горизонтальной плоскости, изображается в виде эллипса с вертикальной и горизонтальной осями. Проведите через точку пересечения диагоналей вертикальную линию — малую ось эллипса. Большая ось эллипса перпендикулярна малой оси и проходит через точку, смещенную от пересечения диагоналей квадрата (центра окружности) ближе к зрителю (рис.50). Таким образом, мы получили две оси эллипса и четыре точки, определяющие его габариты. Продолжите рисунок: сначала легкими движениями карандаша наметьте эллипс, затем уточните линию, добиваясь того, чтобы она действительно касалась сторон квадрата в точках 1,2,3,4. Проверьте симметричность полученного эллипса относительно его осей (рис. 51).

перспективный рисунок простых геометрических тел

Вертикальный квадрат.

При вертикальном положении квадрата точки 1,2,3,4найдите, как и в предыдущем примере: проведите через точку пересечения диагоналей квадрата прямые, параллельные его сторонам (рис.52). Несколько сложнее определить направление осей эллипса. Для решения этой задачи представьте, что изображаемый нами эллипс является основанием цилиндра, лежащего на горизонтальной плоскости (рис. 53). Ось цилиндра всегда перпендикулярна большой оси эллипса основания и совпадает с его малой осью. Проведите ось цилиндра через точку пересечения диагоналей квадрата. Ее направление можно найти, опираясь на знание и опыт рисования куба, или взять с натуры, если таковая имеется. Таким образом, мы определили положение малой оси эллипса. А большая ось будет ей перпендикулярна и пройдет через точку, смещенную от пересечения диагоналей — центра окружности — ближе к зрителю (рис.54). На двух осях и по четырем точкам сначала наметьте эллипс легкими линиями, а затем уточните рисунок (рис.55).

Заметим, что эллипс, вписанный в квадрат, часто получается несимметричным относительно осей, а потому его приходится уточнять и, как следствие, изменять очертания квадрата. В этом случае работа идет как бы методом последовательных приближений и исправлений, что трудно и долго. Часто на рисунках остаются не вполне правильные квадраты и не вполне правильные эллипсы, а лишь фигуры, близкие к ним. Правильный эллипс нарисовать легче, чем построить правильный квадрат в перспективе, поэтому задачу грамотного изображения квадрата современная методика рисования предлагает решать с помощью эллипса, вокруг которого описывается квадрат.

Как начертить квадрат с диагоналями

Построение разнообразных геометрических фигур – занятие не только увлекательное, но и полезное. Эллипсы, круги, прямоугольники, многоугольники и квадраты могут потребоваться вам для воплощения в жизнь каких-то дизайнерских решений, оформительских задач. Перед тем как начертить квадрат с диагоналями, проверьте, все ли необходимое для этого у вас имеется в наличии.Вам понадобится

Подготовьте необходимые инструменты, отточите карандаш и грифель, вставленный в школьный циркуль. Убедитесь, что квадрат необходимого вам размера, поместится на приготовленном листе бумаги.

Возьмите линейку и с ее помощью начертите прямую линию АВ, длина которой равна стороне того квадрата, который вам необходимо нарисовать. Линию начертите, отступив на 1 см от края листа бумаги, приблизительно параллельно ему.

Теперь возьмите циркуль. Его иглу поместите в точку А, а острие грифеля – в точку В, таким образом, расстояние между его ножками будет равно длине стороны квадрата. Отчертите им дугу длиной несколько сантиметров, восстановив мысленно перпендикуляр из точки А. Затем перенесите острие в точку В и такую же дугу отчертите над ней, ножки циркуля не сдвигайте, расстояние между ними по-прежнему должно быть равно длине стороны квадрата — АВ.

Сделайте небольшой арифметический расчет, чтобы определить неизвестный диаметр квадрата, зная длину его стороны. Воспользуйтесь теоремой Пифагора. Для этого возведите длину стороны АВ в квадрат, умножьте на два и из полученного значения извлеките квадратный корень. Или умножьте значение длины стороны квадрата АВ на корень квадратный из 2. Он равен 1,414.

Отложите циркулем полученное значение диагонали квадрата по линейке. Установите острие иглы в точку А и отчертите небольшую дугу над точкой В, она должна пересечься с той дугой, которою вы начертили ранее. Это точка D. Затем перенесите острие иглы циркуля в точку В и отчертите дугу над точкой А. Пересечением двух дуг будет точка С.

Чтобы начертить квадрат с диагоналями, просто соедините последовательно точки А, С , D и В. У вас получилась геометрическая фигура – идеальный квадрат с прямыми углами и четырьмя сторонами, равными друг другу.

Математика по полочкам: 29. Задачи на построение

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Задача на построение — это задача, в которой требуется построить геометрический объект, пользуясь только двумя инструментами: циркулем и линейкой.

Решение задач на построение состоит не только в том, чтобы проделать соответствующие построения, но и описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений.

Этапы решения задачи на построение

Анализ

На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру.

Построение

1. перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выполнить, согласно анализу, для решения задачи;

2. непосредственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов.

Доказательство

После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементов определенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи.

Основные задачи на построение

Задача 1. Построить треугольник с данными сторонами а, b, с.

Построение:

1) Проведем произвольную прямую и возьмем на ней произвольную точку А.

2) Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром А и радиусом а. Пусть В — точка ее пересечения с прямой.

3) Раствором циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным b — окружность из центра А. Пусть С — точка пересечения этих окружностей.

Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, c.

Задача 2. Построить угол, равный данному.

Построение:

1) Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла. Пусть В и С — точки пересечения окружности со сторонами угла.

2) Проведем луч с началом в точке О.

3) Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О. Точку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим М.

4) Опишем окружность с центром М и радиусом ВС. Точка К пересечения двух окружностей лежит на стороне искомого угла.

∠ВАС=∠КОМ т.к. Δ ABC = Δ ОКМ (третий признак равенства треугольников).

Задача 3. Построить биссектрису данного угла А.

Построение:
1) Из вершины А данного угла, как из центра, проводим окружность произвольного радиуса. Пусть В и С — точки ее пересечения со сторонами угла.
2) Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности. Пусть D — точка их пересечения, отличная от А.
3) Проведем луч AD. Луч AD делит угол А пополам.

∠ВАD=∠DAC т.к. Δ ABD = Δ ACD (третий признак равенства треугольников).
Задача 4. Провести серединный перпендикуляр к данному отрезку АВ.

Построение:
1) Из точки А проводим окружность, радиус которой больше половины отрезка АВ.
2) Из точки В проводим окружность того же радиуса, что и из точки А.
3) Окружности пересекутся между собой в точках С и D. Прямая CD — искомый перпендикуляр.

CD перпендикулярна АВ и АО=ОВ, т.к. из построения, каждая из точек С и D одинаково удалена от А и В, а следовательно, эти точки должны лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.
Задача 5. Разделить данный отрезок пополам.
Построение проводится также как и в задаче 4.
Задача 6. Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную данной прямой а. 1 случай: данная точка О лежит на данной прямой а.
Построение:
1) Из точки О проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую а в двух точках А и В.
2) Из точек А и В проводим окружности радиусом АВ. С и D — точки их пересечения.
3) Проведем прямую CO. Получаем ОС ⊥ AB.

ОС ⊥ AB, т.к. Δ АСВ — равнобедренный (СА = СВ). Отрезок СО — медиана этого треугольника (АО=ОВ), а следовательно, и высота.
2 случай: данная точка О не лежит на данной прямой а.

Построение:
1) Из точки О проводим произвольным радиусом окружность, пересекающую прямую а в точках А и В.
2) Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Точки О и С — точки их пересечения.
3) Проводим прямую ОС. ОС ⊥ AB.
ОС ⊥ AB, т.к.  точки О и С равноудалены от концов отрезка АВ и, следовательно, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
УПРАЖНЕНИЯ
1. а) При помощи циркуля и линейки разделите отрезок на 4 равные отрезка.
б) При помощи циркуля и линейки разделите угол на 4 равных угла.
Решение:
а) Дано: отрезок АВ

1. Из точки А проведем окружность, радиусом, большим 0,5АВ.
2. Из точки В проведем окружность с тем же радиусом.
3. Через точки пересечения окружностей проведем прямую, точка О — точка пересечения этой прямой и отрезка АВ. АО=ОВ.
4. Из точки А проведем окружность радиусом, большим 0,5АО.
5. Из точки О проведем окружность с тем же радиусом.
6. Через точки пересечения окружностей проведем прямую, точка О1 — точка пересечения этой прямой и отрезка АО. АО1=О1О.
7. Аналогично разделим отрезок ОВ на два равных: ОО2=О2В.
Доказательство:
Отрезок АВ разделен на четыре равных отрезка, т.к. АО=ОВ и АО1=О1О, и ОО2=О2В.

2. а) По катету и прилежащему к нему острому углу при помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник.
б) По гипотенузе и острому углу при помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник.
3. а) При помощи циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне. Заданные стороны возьмите произвольно.
б) При помощи циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к этому основанию. Заданные отрезки возьмите произвольно.
Решение:
а) Т.к. в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то построение треугольника сводится к построению по трем сторонам.
1. На прямой отметим точку А и от точки А отложим отрезок, равный отрезку а, отметим точку В.
2. Раствором циркуля, равным b, описываем окружность из центра В, и раствором циркуля, равным b — окружность из центра А. Пусть С — точка пересечения этих окружностей.
Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, b, т.е. треугольник АВС — равнобедренный и равен искомому по трем сторонам.

4. а) Постройте прямоугольник по диагонали и стороне. Заданные отрезки возьмите произвольно.
б) Постройте прямоугольник по двум сторонам. Заданные отрезки возьмите произвольно.
Решение:
а) Если известны диагональ и сторона прямоугольника, то можно построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

1. На прямой m отметим точку А и отложим отрезок AD, равный отрезку а.
2. Из точки А проведем окружность радиусом, равным отрезку d.
3. Из точки D построим прямую l, перпендикулярную прямой m.
4. Прямая l и окружность, построенная из точки А пересекаются в точке С.
5. Из точки D проведем окружность, радиусом d.
6. Из точки А проведем окружность радиусом СD.
7. Окружности пересекаются в точке В.
ABCD — прямоугольник.
Доказательство:
АВСD — параллелограмм (из равенства треугольников ABD и АCD: АВ=CD и AB||CD).
А т.к диагонали параллелограмма равны: АС=BD по построению, то он является прямоугольником.

5. а) Разделите данный отрезок на три равные отрезка.
б) Разделите данный отрезок на пять равных отрезков.
Решение:
а)

1. Из точки А проведем луч и отметим на нем с помощью циркуля три равных отрезка: АА1, А1А2, А2А3.
2. Соединим точки А3 и В.
3. На отрезке А3В возьмет произвольно точку О и построим через эту точку перпендикуляр m к прямой А3В.
4. Из точки А2 проведем прямую, перпендикулярную прямой m. В2 — точка пересечения этой прямой и отрезка АВ.
5. Из точки А1 проведем прямую, перпендикулярную прямой m. В1 — точка пересечения этой прямой и отрезка АВ.
АВ1=В1В2=В2В.
Доказательство:
Т.к. перпендикуляры к одной прямой параллельны между собой, то по обобщенной теореме Фалеса АВ1=В1В2=В2В.

6. а) При помощи циркуля и линейки провести касательную к окружности с заданным центром из точки, которая лежит не на окружности.
б) При помощи циркуля и линейки постройте центр заданной окружности.
Решение:
а) Т.к. касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то нам необходимо построить прямоугольный треугольник, зная гипотенузу и то, что прямой угол лежит на окружности. Если около этого треугольника описать окружность, то ее радиус равен половине гипотенузы.
Пусть О — центр окружности, А — данная точка.
1. Проведем отрезок ОА.
2. Найдем его середину К: ОК=КА.
3. Из точки К построим окружность радиусом ОК.
4. Окружности с центрами О и К пересекаются в точке В.
5. Проведем прямую АВ.
Прямая АВ является касательной к окружности.
Доказательство:
Треугольник ОАВ — прямоугольный (гипотенуза равна диаметру) по построению, а т.к. ОВ — радиус и сторона АВ перпендикулярна стороне АВ, то АВ — касательная.

7. а) При помощи циркуля и линейки постройте равнобедренную трапецию по двум основаниям и и диагонали.
б) При помощи циркуля и линейки постройте равнобедренную трапецию по двум основаниям и боковой стороне.
Решение:
а)

1. На прямой m отложим отрезок AD, равный b.
2. От точки D на прямой m отложим отрезок DK, равный а.
3. Из точек А и К как центров проведем окружности радиуса d, отметим точку пересечения этих окружностей С.
2. От точки А на прямой m отложим отрезок АМ, равный а.
3. Из точек M и D как центров проведем окружности радиуса d, отметим точку пересечения этих окружностей B.
ABCD — равнобедренная трапеция.
Доказательство:
ВСKD — параллелограмм по построению, следовательно, ВС=DK и BC||DK.
Треугольники MBA и KCD равны по построению, следовательно AB=CD.

8. а) При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по заданным проекциям катетов на гипотенузу.
б)  При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по заданным катету и его проекции на гипотенузу.
Решение:
а) Искомый треугольник — прямоугольный, т.к. известны проекции катетов a и b на гипотенузу, то гипотенуза равна a+b. Третья вершина треугольника лежит на описанной около этого треугольника окружности (R=(a+b)/2) и высоте, проведенной из точки пересечения проекций к гипотенузе.
1. На прямой m отложим отрезок АК, равный отрезку а.
2. От точки К на прямой m отложим отрезок КВ, равный отрезку b.
3. Найдем середину О отрезка АВ.
4. Проведем окружность с центром в точке О и радиусом АО.
4. Из точки К построим прямую, перпендикулярную прямой m/
5. Прямая пересекается с окружностью (центр — точка О) в точке С.
АСВ — искомый прямоугольный треугольник.
Доказательство:
Треугольник АСВ — прямоугольный, т.к. Точка С лежит на окружности, диаметром которой является гипотенуза треугольника. Также точка С лежит на высоте проведенной к гипотенузе, причем проекции равны отрезкам a и b по построению.

9.  а) При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по заданным гипотенузе и острому углу, синус которого равен 4/5.
б) При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по заданным высоте, опущенной на гипотенузу и острому углу, синус которого равен 4/5.
Решение:
а) Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, следовательно, если разбить гипотенузу на пять равных отрезков, то катет равен четырем из них. Найдем второй катет: пусть первый катет — 4х, гипотенуза — 5х, то по теореме Пифагора прилежащий катет равен 3х.
Построение сводится к построению треугольника по трем сторонам.

1. На прямой m отложим отрезок АС, равный а.
2. Проведем произвольный луч из точки А, отметим на нем пять равных отрезков: АА1, А1А2, А2А3, А3А4, А4А5. Соединим точки А5 и С, проведем параллельные прямые к прямой А5С через точки А3 и А4, они пересекут отрезок АС в точках С3 и С4.
3. Из точки А проведем окружность радиусом АС3, из точки С проведем окружность радиусом АС4.
4. Точка В — точка пересечения окружностей.
АВС — искомый прямоугольный треугольник.

Доказательство:
Построенный треугольник равен искомому по трем сторонам.

10. При помощи циркуля и линейки постройте отрезок х, такой что:
(№ 5.5.62 [7]) Отрезки а и b выберите произвольно.
Решение:
а) Возведем обе части равенства в квадрат:
x²=a²+b²-ab,
ab можно заменить выражением 0,5ab*cos 60° и получим:
x²=a²+b²-ab= a²+b²-0.5ab*cos 60°- теорема косинусов.
Построение сводится к построению треугольника по двум сторонам а и b и углу между ними в 60°. Сторона х лежит против угла в 60°.
1. На прямой m отложим отрезок АВ, равный отрезку а.
2. Из точек А и В как из центров построим окружности радиуса АВ. D — точка пересечения окружностей. Треугольник АВD — равносторонний, следовательно, угол DАB равен 60°.
3. На стороне AD отложим отрезок АС, равный отрезку b.
Сторона СВ=х.
Доказательство:
СВ искомый отрезок, т.к. по теореме косинусов квадрат стороны равен сумме квадратов двух других его сторон без половины разности этих сторон на косинус угла между ними.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Постройте при помощи циркуля и линейки отрезок, равный данному. Заданный отрезок выберите произвольно.

2. При помощи циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник по его стороне.

3. В произвольном треугольнике при помощи циркуля и линейки постройте высоту треугольника из любой вершины.
«КРУГАТУРА» КВАДРАТА, ПОСТРОЕНИЕ И ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНСТАНТЫ πс
Алгоритм построения окружности равной периметру единичного квадрата
Арифметические знаки – это записанные геометрические фигуры, а геометрические фигуры — это нарисованные формулы.
Д.Гильберт
Задачи на построение «квадратуры круга» и «кругатуры квадрата» с помощью циркуля и линейки без делений пришли к нам со времен астрономической геометрии Платона (429 – 348 до н.э.). В согласии с учением Платона, в гармоничном самодвижении Космоса нет ничего кроме круговых движений звёздных пространств и их световой энергии, порождающих бесконечное многообразие геометрических структур материальных форм бытия и наше мышление о них, в том числе математическое. Как известно, мерой форм этого движения является числовая мера константы «пи» (число отношения длины окружности к ее диаметру). Мера данной константы является основанием для вычисления многих других констант мироустройства. Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими.
Обратной задачей «квадратуры» круга является задача «кругатуры» квадрата, т.е. задача построения круга равновеликого данному квадрату. Она была известна больше в Древней Индии в связи с построением алтарей. Индийские алтари имели самую разную форму: в виде квадрата, круга, полукруга, равностороннего треугольника, равнобедренной трапеции, даже сокола и черепахи. Но все эти алтари должны были иметь одну и ту же площадь. Решения этих задач приведены в книге Древней Индии «Сульвасутра». Практически с тех времен и до наших дней площади фигур разной формы принято измерять в квадратных единицах. В те времена уже было известно, что из прямоугольных фигур с равными периметрами наибольшая площадь принадлежит квадрату. А круг, периметр которого равен периметру квадрата, обладает площадью большей, нежели площадь квадрата.
Следовательно, проблема технического решения данных геометрических задач была обусловлена практической необходимостью установления единицы относительной меры для вычисления равенства площади круга и квадрата в квадратных единицах измерения. Такой абстрактной единичной мерой был принят раствор циркуля, посредством которого очерчивается периметр единичного круга. Мерой его длины, посредством линейки без делений, строятся стороны единичного квадрата (Рис.1). Единичная мера в математике принята равной арифметическому числу 1. Таким образом, требовалось построить и вычислить безразмерную константу отношения длины периметра единичного круга к длине его диаметра. Такой константой, как известно, является число 𝝅=с𝒅, где c – длина периметра круга, d – длина диаметра круга.
Первые сведения о вычислении константы π согласно описанию историка математики Ф.Рудио [1] известны из папируса Ринда, составленного писцом короля Раауса Ахмесом в промежутке между 2000 и 1700 гг. до новой эры.
В папирусе без всякого обоснования дано правило для определения площади круга. Она равна площади квадрата, сторона которого равна диаметру круга, уменьшенному на 1/9 своей длины. Достаточно сравнить величину (8/9)²𝑑²=64/81𝑑² и известную нам величину 1/4 π𝑑²,откуда для значения π получается приближенное значение 256/81 =3,1604…, обладающее порядочной точностью.
Математиком, который впервые поставил задачу измерения круга на вполне научную основу, был величайший математик древности Архимед. Он родился в 287 г. до н.э. в Сиракузах и был убит римским воином в 212 г. до н.э. при завоевании его родного города.
В своем сочинении «Измерение круга» он доказывает три предложения:
1. Каждый круг равновелик прямоугольному треугольнику, у которого один катет равен радиусу, а другой равен выпрямленной окружности круга.
2. Площадь круга относится к квадрату его диаметра (приблизительно), как 11 к 14.
3. Длина окружности превышает тройной диаметр меньше чем на 1/7, но больше чем на 10/71 частей диаметра.
Таким образом, первое предложение Архимеда является как бы гипотезой. Второе основано на третьем, которое представляет одно из основных математических и практических открытий древности.
Чтобы найти нижнюю границу отношения длины окружности к диаметру, Архимед пользовался соответствующими вписанными правильными многоугольниками, начиная с шестиугольника и кончая 96-угольником. В конечном итоге он вычислил для числа π верхнюю границу 3(1/7) = 3,14285… и нижнюю границу 3(10/71) = 3,14084…, среднее арифметическое которого близко к действительному значению π = 3,1415926…
Со времен Архимеда, применяя его метод в точном вычислении значения π, приняло участие множество известных истории математиков, беря за начало деления сторон разные правильные многоугольники. В конце 19 века значение π было вычислено уже с точностью 700 знаков после запятой. В настоящее время этим вычислением в Японии озадачен специальный компьютер, который вычислил иррациональное трансцендентное число π с точностью до многомиллионных знаков после запятой.
Переходя к теме данной статьи, следует указать, что в процессе многовековых исследований и бесчисленных попыток решить задачу «квадратуры круга» с помощью циркуля и линейки без делений, то есть геометрически, была доказана теорема.
Для того чтобы некоторое число могло быть построено с помощью циркуля и линейки без делений, необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем известного алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. То есть, чтобы квадратура круга была выполнима, не только нужно, чтобы π было алгебраическим числом, но необходимо, чтобы оно было корнем такого алгебраического уравнения, которое было бы разрешимо при помощи квадратных корней, т.е. нужно чтобы само число π могло быть получено путем извлечения квадратных корней.
В конечном итоге было доказано, что π является числом трансцендентным (бесконечным), а поэтому квадратура круга с абсолютной точностью геометрически невыполнима. Вместе с тем история математики знает множество сравнительно приблизительных решений задачи «квадратуры» круга геометрически.
Исходя из известного численного значения π = 3,1415926535897932384626433832795…, решая задачу «квадратуры круга» с помощью циркуля и линейки без делений, необходимо построить отрезок прямой, равный стороне единичного квадрата.
Исходя из известных численных значений π и периметра единичного квадрата, который равен 4, вычислим длину его стороны и длину периметра равновеликого круга. Возведя численное значение стороны в квадрат, мы получим площадь квадрата равновеликого площади круга, то есть х^𝟐=𝝅𝒓^𝟐, где х – сторона квадрата, r – радиус круга. При r = 1 площадь квадрата будет равна числу π. Рассмотрим полученные при этом их численные значения.
Длина стороны единичного квадрата вычисляется из отношения
π/4 = 0,785398163397448309615660 …≈ √ф , где
ф = 0,61803398874989484820458683436559…, а √ф = 0,78615137775742328606955858584293…
Длина диаметра окружности, периметр которой равен периметру единичного квадрата, вычисляется по формуле c = πd = 4, где c – периметр круга. То есть d = 𝟒/𝛑 = 4/3,1415926535897932384626433832795… = 1,2732395447351626861510701069801 ≈√Ф, где
Ф = 1,6180339887498948482045868343656…
Полученные приблизительные численные значения √ф и √Ф, в связи с открытием и точным геометрическим построением численных параметров прямоугольного метатреугольника, навели меня на мысль – геометрически точно построить и вычислить периметр круга равновеликого периметру единичного квадрата.
Известно, геометрическая и арифметическая мера числа ф впервые была построена Евклидом (около 300 года до н. э.) с помощью циркуля и линейки без делений при построении прямоугольника равновеликого квадрату. То есть построения на единичном отрезке прямой равновеликих квадрата и прямоугольника со сторонами: ф и ф² = 0,38196601125010515179541…
Автору статьи неизвестно, кто из математиков, решая задачу «квадратуры круга», смог ранее построить геометрически сторону квадрата (отрезок прямой) равную числу √ф. Вместе с тем, решая другие геометрические задачи, автор данной статьи построил высоту прямоугольного треугольника, вписанного в единичный круг, которая численно равна √ф. С алгоритмом ее построения можно познакомиться, открыв статью: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/010a/02320003.htm.
Однако, осуществить при этом корректное построение равновеликих периметров квадрата и круга не удалось. Такое построение с помощью циркуля и линейки без делений стало возможным только после открытия и построения автором прямоугольного метатреугольника. Чтобы читатель смог безошибочно понять и свободно ориентироваться в алгоритме геометрического решения задачи «кругатуры» квадрата, ему необходимо познакомиться с алгоритмом построения метатреугольника, описание которого дано в статье «Метатреугольник как математическая модель гармоничного мироустройства».
После того как мерой единичной окружности был построен прямоугольный метатреугольник, стало возможным решить геометрически задачу «кругатуры» квадрата. В этой связи рассмотрим численные параметры Δ6,0,7 (Рис.2):
катет 0-6 = √Ф, катет 0-7 = Ф, гипотенуза 6-7 = Ф√Ф = 2,0581710272714922503219810475804… Высота метатреугольника 0-8 = √7−8∗6−8= √√ф√Ф = 0,999999999999999999999999999999…, опущенная с его прямого угла на гипотенузу, равна с максимальным приближением стороне единичного квадрата, длина периметра которого численно равна 3,9999999999999999999999999999996…
Таким образом, построен прямоугольный Δ0,8,6 (Рис.2). Построены и вычислены его катет 6-8 = √ф и гипотенуза 0-6 = √Ф, являющаяся диаметром окружности, в которую он вписан.
Алгоритм построения единичного квадрата (Рис.3)
1. С помощью циркуля делим гипотенузу 0-6 Δ0,8,6 пополам в точке 01.
2. Ставим ножку циркуля в точку 01 и описываем вокруг Δ0,8,6 окружность.
3. Ставим ножку циркуля в точку 8 и его раствором 0-8 на продолжении гипотенузы 7-6 отмечаем точку 13, где 8-13 = 0-8.
4. С помощью циркуля и линейки строим
перпендикуляр в точке 13 к отрезку прямой линии
7-13 до его пересечения в точке 15 с продолжением
прямой 7-2.
5. С помощью циркуля и линейки строим
перпендикуляр к отрезку 0-8 до пересечения его в
точке 14 со стороной 13-15 треугольника 7,13,15.
Таким образом, квадрат 0,8,13,14 у которого каждая сторона равна 0,999999999999999…, а его периметр равен 4*0,9999999… = 3,9999999999…, максимально приближен к длине периметра единичного квадрата и, соответственно – к длине периметра построенного круга, у которого диаметр численно равен √Ф.
В конечном итоге численное отношение периметра построенного квадрата (Рис.3) к построенному диаметру окружности равному √Ф вычисляется по формуле: 3,99999999999999999999999999999996/√Ф = π𝒄 = 3,1446055110296931442782343433715…
Полученное численное значение данной константы я обозначил символом π𝒄 , поскольку оно больше численного значения константы π. То есть больше численного значения:
4/1,2732395447351626861510701069801… = π = 3,1415926535897932384626433832795… В результате π𝒄 больше численного значения π на 0,003012857… Отмечу, что данные вычисления не оспаривают численное значение константы π, вычисленное в тождественно согласованной метрике единичного круга и единичного квадрата, где периметр квадрата равен 4, а диаметр равновеликого ему круга d больше значения √Ф на число: 1,2732395447… — √Ф = 0,0012198952…
Из приведенных выше построений, вычислений и геометрических преобразований следует резюме. Метагеометрия является родственной геометрией геометрии Евклида. Численное значение π𝒄 является ее константой и численным коэффициентом преобразования фигур геометрии Евклида в разные равновеликие фигуры метагеометрии. В этой связи универсальность константы π𝒄 позволяет решать множество, ранее не решаемых задач, например, построения и вычисления: прямоугольника равновеликого равностороннему треугольнику, правильной пятиугольной пирамиды, у которой боковые грани являются равносторонними треугольниками, додекаэдра и преобразования др. геометрических объектов.
© Сергиенко Петр Якубович
e-mail: [email protected]
Основные задачи на построение [wiki.eduVdom.com]
В задачах на построение будем рассматривать построение геометрической фигуры, которое можно выполнить с помощью линейки и циркуля.
С помощью линейки можно провести:
произвольную прямую;
произвольную прямую, проходящую через данную точку;
прямую, проходящую через две данные точки.
С помощью циркуля можно описать из данного центра окружность данного радиуса.
Циркулем можно отложить отрезок на данной прямой от данной точки.
Рассмотрим основные задачи на построение.
Задача 1. Построить треугольник с данными сторонами а, b, с (рис.1).
Рис.1
Решение. С помощью линейки проведем произвольную прямую и возьмем на ней произвольную точку В. Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром В и радиусом а. Пусть С — точка ее пересечения с прямой. Раствором циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным b — окружность из центра С. Пусть А — точка пересечения этих окружностей. Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, c.
Замечание. Чтобы три отрезка прямой могли служить сторонами треугольника, необходимо, чтобы больший из них был меньше суммы двух остальных (а < b + с).
Задача 2. Отложить от данного луча угол, равный данному.
Рис.2
Решение. Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены на рисунке 2.
Рис.3
Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла. Пусть В и С — точки пересечения окружности со сторонами угла (рис.3, а). Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О — начальной точке данного луча (рис.3, б). Точку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим С₁. Опишем окружность с центром С₁ и радиусом ВС. Точка В₁ пересечения двух окружностей лежит на стороне искомого угла. Это следует из равенства Δ ABC = Δ ОВ₁С₁ (третий признак равенства треугольников).
Задача 3. Построить биссектрису данного угла (рис.4).

Рис.4
Решение. Из вершины А данного угла, как из центра, проводим окружность произвольного радиуса. Пусть В и С — точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности. Пусть D — точка их пересечения, отличная от А. Луч AD делит угол А пополам. Это следует из равенства Δ ABD = Δ ACD (третий признак равенства треугольников).
Задача 4. Провести серединный перпендикуляр к данному отрезку (рис.5).

Рис.5
Решение. Произвольным, но одинаковым раствором циркуля ( большим 1/2 АВ ) описываем две дуги с центрами в точках А и В, которые пересекутся между собой в некоторых точках С и D. Прямая CD будет искомым перпендикуляром. Действительно, как видно из построения, каждая из точек С и D одинаково удалена от А и В; следовательно, эти точки должны лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.
Задача 5. Разделить данный отрезок пополам. Решается так же, как и задача 4 (см. рис.5).

Рис.5

Задача 6. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
Решение. Возможны два случая:
1) данная точка О лежит на данной прямой а (рис. 6).

Рис.6
Из точки О проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую а в двух точках А и В. Из точек А и В проводим окружности радиусом АВ. Пусть С — точка их пересечения. Получаем ОС ⊥ AB. В самом деле, Δ АСВ — равнобедренный, СА = СВ. Отрезок СО есть медиана этого треугольника, а следовательно, и высота;
2) данная точка О не лежит на данной прямой а (рис.7).

Рис.7
Из точки О проводим произвольным радиусом окружность, пересекающую прямую а в точках А и В. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Пусть О₁ — точка их пересечения, отличная от О. Получаем ОО₁ ⊥ AB. В самом деле, точки О и О₁ равноудалены от концов отрезка АВ и, следовательно, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
2.4.2 Построение правильных многоугольников по данной стороне
Построение квадрата по данной его стороне L (рисунок 34). На произвольной прямой откладывают отрезокAB, равный стороне квадратаL. Из любого конца отрезка, например из точкиA, восстанавливают перпендикуляр и на нем откладывают отрезокAD = L. Затем из точекB иDкак из центров проводят дуги радиусомR = Lи на пересечении их отмечают точкуС. Соединив прямыми точку Cс точкамиB иD, получают квадрат с заданной сторонойL.
Рисунок 34
Построение правильного шестиугольника по данной его сторонеL(рисунок 35). Известно, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу окружности, описанной вокруг него. Поэтому, построив на произвольной прямой отрезокAB=L (рисунок 35, а), из концов его как из центров проводят две дуги радиусом R=L до взаимного пересечения их в точке О. Приняв точку О за центр, проводят окружность тем же радиусом R=L и делят ее на шесть равных частей. Точки деления являются вершинами правильного шестиугольника со стороной L (рисунок 35, б).
а б
Рисунок 35
Построение правильного шестиугольника с помощью линейки и угольника с углами 60 и 30° показано на рисунке 36.
Рисунок 36
Приближенный способ построения правильных многоугольников данной сторонеAB (рисунок 37). Изложенный ниже способ заключается в том, что правильный многоугольник строят как вписанный в окружность. Из концов отрезкаАВрадиусом, равным этому отрезку, проводят две дуги до взаимного пересечения их в точкахОиО₆. Из точекA иВк отрезкуAB восстанавливают перпендикуляры, и на пересечении их с проведенными дугами получают две вершины квадрата (на рисунке 37 отмечена одна из них). ЦентрO₄окружности, описанной около квадрата, расположен в точке пересечения диагонали квадрата с вертикальной прямойOO₆. Для построения вписанного пятиугольника отрезокO₄O₆делят пополам в точкеO₅и из нее как из центра описывают окружность радиусом, равным отрезкуO₅A. СторонаAB пять раз уложится на этой окружности. Центры окружностей, в которые сторонаAB укладывается 8, 10, 12 и т. д. раз, расположены в точках пересечения прямойOO₆с окружностями соответственно радиусовO₄A,О₅А,О₆Аи т. д. Разделив пополам отрезкиO₆O₈,O₈O₁₀,O₁₀O₁₂и т.д., получают точкиO₇,O₉, O₁₁и т. д., являющиеся центрами окружностей, в которые сторонаAB укладывается 7, 9, 11 и т. д. раз. Радиусы этих окружностей равныO₇A, O₉A, O₁₁A и т.д.
Рисунок 37
2.4.3 Построение правильных многоугольников, описанных около окружности
Правильный описанный треугольник строят следующим образом(рисунок 38). Из центра заданной окружности радиусаR₁ проводят окружность радиусом R₂ = 2R₁ и делят ее на три равные части. Точки деления А, В, С являются вершинами правильного треугольника, описанного около окружности радиуса R₁.
Рисунок 38
Правильный описанный четырехугольник (квадрат)можно построить с помощью циркуля и линейки (рисунок 39). В заданной окружности проводят два взаимно перпендикулярных диаметра. Приняв точки пересечения диаметров с окружностью за центры, радиусом окружностиR описывают дуги до взаимного их пересечения в точкахА, В, С,D. ТочкиA,B,C,D и являются вершинами квадрата, описанного около данной окружности.
Рисунок 39
Для построения правильного описанного шестиугольниканеобходимо вначале построить вершины описанного квадрата указанным выше способом (рисунок 40, а). Одновременно с определением вершин квадрата заданную окружность радиуса R делят на шесть равных частей в точках 1, 2, 3, 4, 5, 6 и проводят вертикальные стороны квадрата. Проведя через точки деления окружности 2–5 и 3–6 прямые до пересечения их с вертикальными сторонами квадрата (рисунок 40, б), получают вершины А, В, D, Е описанного правильного шестиугольника.
а б
Рисунок 40
Конструкции линейки и циркуля
Вы можете следить за этапами построения, нажимая на кнопки. Сброс показывает указанные объекты.
1. Серединный перпендикуляр данного отрезка.
2. Линия, перпендикулярная данной линии, проходит через данную точку, а не на данной линии.
3. Прямой угол в данной точке на заданной линии.
4. Квадрат с заданным отрезком стороной.
5. Равносторонний треугольник, стороной которого является отрезок.
6. Шестиугольник с данным сегментом сбоку.
7. Копирует заданный угол в заданный сегмент.
8. Линия, параллельная данной линии, проходит через точку, не входящую в данную линию.
9. Разделение данного отрезка на N равных частей.
10. Деление пополам заданного угла.
11. Построить угол 30 градусов на данном сегменте.
12. Найдите центр круга через три заданные точки.
13. Найдите описанную окружность данного треугольника.
14. Найдите вписанную окружность данного треугольника.
15. Постройте прямоугольник с двумя заданными длинами сторон.
16. Постройте треугольник, подобный заданному на заданном отрезке.
17. Дана точка P на отрезке QR, найдите точку C, которая делит данный отрезок AB. в таком же соотношении.
18А. Постройте медианы заданного треугольника.
18Б. Постройте высоты заданного треугольника.
19. Постройте золотой прямоугольник.
20. Постройте квадрат, площадь которого в два раза больше данного квадрата.
21. Постройте круг, площадь которого в два раза больше данного круга.
22. Постройте линию, параллельную заданной линии, на заданном расстоянии от нее.
23. Постройте окружность заданного радиуса по касательной к двум линиям, проходящим через точку.
24. Постройте квадрат такой же площади, что и данный прямоугольник.
25. Дана точка на одной стороне линии, найдите ее зеркальное отображение относительно линии.
26. Дайте две точки на одной стороне прямой, найдите путь луча свет между точками, который отражается от линии.
27. Для точки вне круга найдите две прямые, проходящие через точку касательная к окружности.
28. Из двух окружностей построить окружность заданного радиуса, касательную к два круга.
29. Постройте линию посередине между двумя заданными параллельными линиями.
30. Из четырех произвольных точек постройте квадрат, каждая из которых расширена. стороны проходят через одну из указанных точек.
31А. Из двух окружностей постройте внешние линии, касающиеся окружностей.
31Б. Из двух окружностей постройте внутренние касательные к окружностям.
32. Дайте две параллельные прямые и окружность, постройте окружность, касательную ко всем три.
33. Дан угол и окружность, центр которой находится на биссектрисе угла, построить окружности, касательные к сторонам угла и окружности.
34. Учитывая угол и точку внутри угла, постройте точка, касательная к сторонам угла и проходящая через точку.
35. По заданному углу и произвольной окружности построить касательные окружности. к кругу и двум сторонам угла.
36. Учитывая прямую и две точки с одной стороны от нее, постройте обведите точки и касайтесь линии.
37. Дан отрезок, окружность и точка, постройте окружность через точку и касательную к прямой и окружности.
38. По прямой и двум окружностям постройте окружности, касательные ко всем трем.
39. Для трех произвольных окружностей постройте окружности, касательные ко всем трем. (Проблема Аполлония)
40. Постройте правильный пятиугольник. (Теорема Гаусса-Вантцеля: правильный N-угольник конструктивно, если множители N являются различными простыми числами среди 2,3,5,17,257,65537, …)
41. Постройте правильный 17-угольник.
42. Постройте правильный 257-угольник и правильный 65537-угольник.
Джейн Грисволд Радоккья: Практическая геометрия
Еще 4 способа начертить квадрат циркулем.
Часть 1 см .: https://www.jgrarchitect.com/2019/12/practical-geometry-drawing-square-with.html
Как нарисовать квадрат циркулем # 3
Питер Николсон написал о практической геометрии в 1793 году. Его первые пластины представляют собой введение в первые правила геометрии: использование циркуля для разделения линии пополам,
Моя запись в блоге о нем: https://www.jgrarchitect.com/2016/08/ Практическая-геометрия-как-описано-by_16.html
Включает изображения пластины 2 и пластины 3.
Здесь я скопировал только изображение квадрата. Николсон включает инструкции по нахождению квадрата abcd, разделив дугу a-e (черное пятно) пополам, затем прибавив эту половину к a-e и b-e, найдите d и c.
Ашер Бенджамин и Оуэн Биддл в своих выкройках копируют Николсона.
Они меняют порядок букв, что упрощает выполнение шагов: a и b — это 2 угла квадрата. Дуги из a и b создают c .Половина arc a-c равна d. Добавьте длину b-c к дугам a-c и b-c , чтобы получить e и f : квадрат имеет 4 угла.
Как нарисовать квадрат с помощью циркуля, # 4
Треугольник 3/4/5 всегда имеет прямой угол (90 *) в месте пересечения отрезков 3 и 4.
2 3/4/5 треугольника — это прямоугольник, составляющий 3/4 квадрата.
Я нарисовал это на миллиметровой бумаге для ясности.
Когда плотницкие углы стали широко доступными и точными, квадратные углы стало легко устанавливать. Компас нужен был только для определения длины.
До этого — примерно до 1830 года — плотник мог выложить свой квадрат так:
Его длина делится на 4 единицы.
Он приблизительно знает, где будут две стороны. Он не знает, равен ли его угол 90 *.
Здесь я нарисовал дугу длиной 4 единицы — с правой стороны. Затем дуга из 5 единиц с центром в 3 единицы на левой стороне.там, где они встречаются, будет треугольник 3/4/5.
Плотнику не нужно было раскладывать полные дуги, как я их нарисовал.
Если бы он держал свою Линию на нужной длине, он мог бы отметить часть обеих дуг там, где, по его мнению, они пересекаются, а затем поставить колышек там, где они пересекаются. Он бы проверил свой квадрат, сопоставив диагонали.

Отношения между треугольником 3/4/5 и квадратом хорошо распознать. Однако треугольник 3/4/5 обычно является единственной геометрией.Планировка у плотницкой площади, широко доступная в 1840-х годах, была проще и требовала меньшего обучения, чем использование компаса.

Этот небольшой простой дом, построенный ок. 1840 год для сапожника, вероятно, был выложен с использованием столярной площади. Я пробовал другие геометрические формы, которые почти подходят. Треугольник 3/4/5 подходит.
Я написал исходный пост в 2014 году. Пришло время вернуться и просмотреть.
Вот ссылка на сообщение:
https://www.jgrarchitect.com/2014/10/the-cobblers-house-c-1840.html

Как нарисовать квадрат циркулем, # 5
Проведите перпендикуляр через линию . Нарисуйте круг с центром в месте пересечения линий .
Нарисуйте линии — здесь штриховых / пунктирных линий — между точками, где круг пересекает линии.

Этот квадрат, как ромб, часто использовался плотниками, потому что он легко превращается в более сложные схемы.
Ниже находится крыльцо входа в Ганстон-холл, спроектированное Уильямом Баклендом, ок.1761. Повернутые квадраты определяют размер крыльца. Они также определяют пол, фронтон, уклон крыши, размер арки и высоту перил.
Мой пост в Gunston Hall: https://www.jgrarchitect.com/2014/05/gunston-hall-ason-neck-virginia.html

Здесь стеклянный фасад
г. Массовый пр-т, вход в Массачусетский технологический институт. Для получения дополнительной информации см .:
https://www.jgrarchitect.com/2018/04/a-little-bit-of-geometry-of-mit.html

Как нарисовать квадрат с помощью циркуля, # 6
На линии выберите длину — см. Точки.
Используя длину в качестве радиуса, нарисуйте круг, используя одну точку в качестве центра.
Теперь есть 3 точки. Нарисуйте 3 круга, используя все 3 точки в качестве центров.
Проведите перпендикулярную линию в центре первого круга.
Теперь есть 2 новые точки для центров большего количества окружностей.
Соедините лепестки там, где пересекаются 4 круга.
А кв.
Этот скромный фермерский дом, гр. 1840 г., использовался квадрат, пересеченный, как квадраты выше, для крыльца Ганстон-холла.
https: //www.jgrarchitect.ru / 2014/09 / how-to-construct-square.html
Последнее замечание: диаграмма из круга в квадрат # 6 также может стать диаграммой для # 5.
У каждого мастера-строителя, вероятно, был свой предпочтительный способ использования компаса, даже когда он практиковал в рамках традиции.
Тем не менее, точно так же, как треугольник 3/4/5 является частью квадрата, эти диаграммы также просто разные варианты, разные восприятия одной и той же геометрии.
Планшет Геометра
ОПРЕДЕЛЕНИЯ:
Key означает Key Curriculum Press, Inc., 1150 65th Street, Emeryville, CA 94608, США.
Программа
означает компьютерную программу Geometer Sketchpad версии 5, полученную вами из любого источника.
Документация означает печатные или электронные справочные материалы и другие печатные или электронные материалы, сопровождающие Программное обеспечение.
Продукт означает Программное обеспечение и Документацию.
Использование означает установку, использование, доступ, отображение, запуск или иное взаимодействие с Продуктом.
Лицензия
означает лицензию на одного пользователя, лицензию для учебного заведения / учебного заведения, студенческую лицензию, студенческую лицензию на 1 год или любую другую лицензию, которая время от времени определяется ключом.
Лицензиат означает физическое или юридическое лицо, получившее Лицензию на законных основаниях и имеющее законное право на использование Продукта в соответствии с условиями этой Лицензии, или любое физическое лицо, которое использует Продукт в рамках Лицензии с ограниченным предварительным просмотром.
Название лицензии
означает имя, присвоенное Лицензии Лицензиатом или Ключом с целью идентификации Лицензии, обычно это название учебного заведения или учреждения или имя отдельного Лицензиата, если Лицензиат не решит использовать другое идентифицирующее имя.
Администратор лицензии означает лицо, назначенное Лицензиатом для администрирования Лицензии от имени Лицензиата.
Код авторизации
означает уникальный код, предоставленный Лицензиату вместе с Лицензией и позволяющий использовать Программное обеспечение в соответствии с условиями Лицензии.
Preview Mode означает ограниченное и ограниченное по времени состояние Программного обеспечения до регистрации Программного обеспечения с помощью кода авторизации, необходимого для использования по лицензии.
Лицензия с ограниченным предварительным просмотром означает лицензию на использование Программного обеспечения в режиме предварительного просмотра.
Подтверждение заказа
или Подтверждение лицензии означает распечатанную или электронную копию счета-фактуры или записи подтверждения счета, полученную Лицензиатом от Key или от одного из авторизованных образовательных дилеров или дистрибьюторов Key, или любое другое печатное или электронное подтверждение Лицензии, полученное Лицензиатом от Ключ или отображается Программным обеспечением при регистрации.
Срок действия лицензии
означает период времени, связанный с Лицензией, если таковая имеется.
ПРЕДОСТАВЛЕНИЕ ЛИЦЕНЗИИ
Key предоставляет Лицензиату ограниченную неисключительную лицензию на Использование Продукта на одном или нескольких компьютерах Лицензиата в соответствии с условиями, изложенными ниже. Если будет установлено, что Лицензиат нарушил эти условия использования, Key может аннулировать Лицензию Лицензиата и расторгнуть настоящее Соглашение. Все остальные права прямо принадлежат Key.
Однопользовательские лицензии: Лицензиат с однопользовательской лицензией может использовать Продукт максимум на трех персональных компьютерах при условии, что одновременно используется только одна копия Продукта.
Лицензии для учебного заведения / учреждения: Лицензиат с лицензией для учебного заведения / учреждения может использовать Программное обеспечение или разрешить Использование Программного обеспечения на количестве физических или виртуальных компьютеров, как указано в Подтверждении заказа или Подтверждении лицензии. Использование инструктором на персональном или домашнем компьютере считается одним из случаев использования согласно школьной / институциональной лицензии.
Студенческие лицензии: Студенческий Лицензиат со Студенческой лицензией может использовать Продукт максимум на трех личных или семейных компьютерах при условии, что одновременно используется только одна копия Продукта.Учащийся, который получает Продукт и / или код авторизации от школы или учебного заведения для использования Программного обеспечения на личном или семейном компьютере, считается Лицензиатом и должен соблюдать условия Студенческой лицензии. Пользователь Студенческой лицензии должен быть студентом образовательного учреждения на момент покупки или получения лицензии.
Срок действия лицензии: Если Лицензия имеет Срок действия лицензии или если Подтверждение заказа или Подтверждение лицензии указывает Срок действия лицензии, Лицензиат может использовать Программное обеспечение в течение указанного Срока действия лицензии, начинающегося в день выдачи лицензии (дата, на которую Код авторизации был сгенерирован).Использование Программного обеспечения вне Срока действия лицензии или вмешательство в программное обеспечение с целью его использования вне Срока действия лицензии является нарушением настоящего Соглашения.
ПРЕДОСТАВЛЕНИЕ ОГРАНИЧЕННОЙ ЛИЦЕНЗИИ НА ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ПРОСМОТР: Key предоставляет каждому, кто устанавливает Продукт на компьютер, ограниченную неисключительную лицензию на Использование Продукта в режиме предварительного просмотра на компьютере, на котором он установлен.
ПРОВЕРКА ЛИЦЕНЗИИ: Лицензиат должен зарегистрировать Продукт на компьютере с действующим именем лицензии и кодом авторизации, чтобы разблокировать полный набор функций Продукта.При запуске Продукт может связываться через Интернет с сервером лицензий, поддерживаемым Key, с целью проверки лицензии. Это сообщение содержит название лицензии и код авторизации, связанные с лицензией, а также соответствующую информацию о компьютерах, на которых зарегистрирована и используется лицензия. Чтобы помочь администраторам лицензий в устранении проблем с регистрацией, если они возникнут, в случае лицензий для учебных заведений / учебных заведений и специальных лицензий, обмен данными включает в себя адрес управления доступом к среде (MAC) каждого компьютера, другую информацию, относящуюся к компьютеру, и адрес Интернет-протокола (IP).Чтобы защитить конфиденциальность лицензиатов с однопользовательской лицензией или студенческой лицензией, вся информация, идентифицирующая конкретный компьютер, на котором используется Sketchpad, зашифрована таким образом, чтобы создать уникальную подпись, обеспечивая при этом конфиденциальность. Key будет использовать эту информацию только для проверки действительности Лицензии, помощи Лицензиатам в решении технических проблем и для улучшения Продукта. Эта информация не будет передана сторонам, кроме назначенного Лицензиатом Администратора лицензий и лиц, отвечающих за обслуживание Продукта, а также проверку и администрирование Лицензий на продукт.
ОГРАНИЧЕНИЯ НА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ: Продукт лицензируется как единый продукт, и его составные части не могут быть разделены для использования на большем количестве компьютеров, чем указано в Лицензии и / или как указано в Подтверждении заказа или Подтверждении лицензии. Права, предоставленные по настоящему Соглашению, являются личными для Лицензиата. Ни Продукт, ни права, предоставленные по настоящему Соглашению, не могут быть перепроданы, сублицензированы, назначены, сданы в аренду, одолжены или сданы в аренду, за вознаграждение или иным образом, кроме как предварительно утвержденными Ключевыми торговыми посредниками или в соответствии с условиями настоящего Соглашения.Название лицензии и код авторизации, связанные с лицензией, не могут публиковаться для публичного доступа и использования, включая, помимо прочего, веб-сайты в Интернете. Продукт не должен использоваться в рамках соглашения о таймшеринге или сервисном бюро. Продукт нельзя модифицировать, реконструировать, декомпилировать или разбирать. Обозначения прав собственности, содержащиеся на Продукте и в нем, нельзя удалять или скрывать.
ПЕРЕДАЧА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ШКОЛАМИ: Школы или образовательные учреждения, которые приобретают либо лицензию школы / учреждения, либо студенческую лицензию на домашнее использование, могут передать или продать сублицензию на такой Продукт для использования инструктором или студентом, зачисленным в школу или образовательное учреждение.Для целей данной Лицензии такой преподаватель или студент считается Лицензиатом при соблюдении всех условий использования Продукта в качестве первоначального Лицензиата.
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЛИЦЕНЗИАТА: Лицензиат заявляет, что он получил все необходимое согласие и полномочия для импорта и использования Продукта в юрисдикции, в которой Лицензиат намеревается использовать Продукт.
ПРАВА НА ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНУЮ СОБСТВЕННОСТЬ: Ключевые и / или правообладатели, указанные в Продукте, являются владельцами и сохраняют за собой право собственности на все права собственности и интеллектуальной собственности на Продукт, включая авторские права, коммерческую тайну, товарные знаки и защищенные ноу-хау. законами США и Канады об авторском праве, а также положениями международных договоров.Копирование Продукта, за исключением случаев, явно указанных в данном документе, представляет собой нарушение прав правообладателей на интеллектуальную собственность. Лицензиат признает вышесказанное и соглашается с тем, что он не имеет никаких прав, титулов или интересов в отношении Продукта, за исключением случаев, специально оговоренных в настоящем документе, и что Лицензиат не имеет прав на какие-либо товарные знаки, определенные как принадлежащие правообладателям.
УСЛУГИ ПОДДЕРЖКИ
: Key может предоставлять Лицензиату услуги поддержки, связанные с Продуктом («Услуги поддержки»).Использование Служб поддержки регулируется политиками и программами Key, описанными в справочном руководстве по программному обеспечению пользователя, в онлайн-документации и / или в других материалах, предоставленных Key. Любое дополнительное программное обеспечение, предоставленное Лицензиату в рамках Услуг поддержки, считается частью Продукта и регулируется положениями настоящего Соглашения. В случае, если Лицензиат предоставляет Key техническую информацию в связи с предоставлением Услуг поддержки, Key может использовать эту информацию в своих деловых целях, включая поддержку и разработку продукта.
ПРЕКРАЩЕНИЕ: Без ущерба для любых других прав, Key может прекратить действие настоящего Соглашения, если Лицензиат не соблюдает условия настоящего Соглашения. В таком случае Лицензиат соглашается удалить все копии Продукта со всех компьютеров, на которых они были установлены, и уничтожить все такие копии.
ОГРАНИЧЕННАЯ ГАРАНТИЯ: ПРОДУКТ ПРЕДОСТАВЛЯЕТСЯ «КАК ЕСТЬ», БЕЗ КАКИХ-ЛИБО ГАРАНТИЙ, ЯВНЫХ ИЛИ ПОДРАЗУМЕВАЕМЫХ, ВКЛЮЧАЯ, НЕ ОГРАНИЧЕННАЯ ПОДРАЗУМЕВАЕМЫМИ ГАРАНТИЯМИ ТОВАРНОЙ ЦЕННОСТИ, ПРИГОДНОСТИ ДЛЯ КОНКРЕТНОЙ ЦЕЛИ, НАЗВАНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНО НАИМЕНОВАНИЯ. ПРОДУКТ, И ПРЕДОСТАВЛЕНИЕ ИЛИ ОТСУТСТВИЕ УСЛУГ ПОДДЕРЖКИ.В НЕКОТОРЫХ ЮРИСДИКЦИЯХ НЕ ДОПУСКАЕТСЯ ИСКЛЮЧЕНИЕ ПОДРАЗУМЕВАЕМЫХ ГАРАНТИЙ, ПОЭТОМУ ВЫШЕУКАЗАННОЕ ИСКЛЮЧЕНИЕ МОЖЕТ НЕ ОТНОСИТЬСЯ К ВАМ.
ОГРАНИЧЕНИЕ ОТВЕТСТВЕННОСТИ: В СЛУЧАЕ ИСКЛЮЧЕНИЯ ПОДРАЗУМЕВАЕМЫХ ГАРАНТИЙ НЕ ПРИМЕНЯЕТСЯ, И В СЛУЧАЕ НАРУШЕНИЯ ТАКИХ ГАРАНТИЙ КЛЮЧЕВЫЕ И ЕГО ДИЛЕРЫ И ДИСТРИБЬЮТОРЫ ДЕЙСТВУЮТ ВСЯ ОТВЕТСТВЕННОСТЬ И ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ЗАЩИТЫ A) ВОЗВРАТ УПЛАЧЕННОЙ ЦЕНЫ, ЕСЛИ ЕСТЬ ЕСТЬ; ИЛИ (B) РЕМОНТ ИЛИ ЗАМЕНА ИЗДЕЛИЯ, ВОЗВРАЩЕННОГО НА КЛЮЧ С ЧЕТОМ ПОКУПКИ.В МАКСИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ, РАЗРЕШЕННОЙ ДЕЙСТВУЮЩИМ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВОМ, НИ ПРИ КАКИХ ОБСТОЯТЕЛЬСТВАХ KEY ИЛИ ЕГО ПОСТАВЩИКИ НЕ НЕСЕТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ ЗА ЛЮБЫЕ ОСОБЫЕ, СЛУЧАЙНЫЕ, КОСВЕННЫЕ ИЛИ КОСВЕННЫЕ УБЫТКИ (ВКЛЮЧАЯ, БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЙ, УБЫТКИ, ПОТЕРЯ ДЕЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ, ПОТЕРЮ БИЗНЕС-ИНФОРМАЦИИ ИЛИ ЛЮБЫЕ ДРУГИЕ УБЫТКИ), ВЫЗВАННЫЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИЛИ НЕВОЗМОЖНОСТЬЮ ИСПОЛЬЗОВАТЬ ПРОДУКТ, ИЛИ ПРЕДОСТАВЛЕНИЕМ ИЛИ НЕОБХОДИМОМ ПРЕДОСТАВЛЕНИЯ УСЛУГ ПОДДЕРЖКИ, ДАЖЕ ЕСЛИ КЛЮЧ БЫЛ ПРЕДЪЯВЛЯЕТСЯ О ВОЗМОЖНОСТИ ТАКИХ УБЫТКОВ. Поскольку НЕКОТОРЫЕ ЮРИСДИКЦИИ НЕ ДОПУСКАЮТ ИСКЛЮЧЕНИЯ ИЛИ ОГРАНИЧЕНИЯ ОТВЕТСТВЕННОСТИ, ВЫШЕУКАЗАННОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ МОЖЕТ НЕ ПРИМЕНЯТЬСЯ В ОПРЕДЕЛЕННЫХ ЮРИСДИКЦИЯХ.
ПОЛНОЕ СОГЛАШЕНИЕ: Лицензиат соглашается с тем, что настоящее Соглашение является полным и единственным заявлением соглашения между Лицензиатом, Key и дистрибьюторами и дилерами Key и заменяет все заявления, сделанные в отношении Продукта, и все другие соглашения (письменные или устные). ) в отношении предмета настоящего Соглашения.
ЧАСТИЧНАЯ НЕЗАКОННОСТЬ: Если какие-либо положения настоящего Соглашения будут истолкованы как незаконные или недействительные, это не повлияет на законность или действительность любого другого его положения, а незаконные или недействительные положения будут считаться перечеркнутыми и удаленными из него в той же степени. и действуют, как если бы они никогда не включались в настоящий документ, но все остальные положения остаются в полной силе.
ПРИМЕНИМОЕ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВО: Права и обязанности сторон по настоящему Соглашению не регулируются Конвенцией Организации Объединенных Наций о договорах международной купли-продажи товаров. Вместо этого, если это прямо не запрещено местным законодательством, права и обязанности сторон по настоящему Соглашению регулируются штатом Калифорния и применимыми законами Соединенных Штатов.
Key Curriculum Press 1150 65th Street Emeryville, CA 94608 Телефон: 510-595-7000 Факс: 510-595-7040 Интернет: www.keypress.com
Открытые учебники | Сиявула
Математика
Наука
Читать онлайн
Учебники
Английский
Класс 7A
Марка 7Б
7 класс (A и B вместе)
Африкаанс
Граад 7А
Граад 7Б
Граад 7 (A en B saam)
Пособия для учителя
Читать онлайн
Учебники
Английский
Марка 8A
Марка 8Б
Оценка 8 (вместе A и B)
Африкаанс
Граад 8А
Граад 8Б
Граад 8 (A en B saam)
Пособия для учителя
Читать онлайн
Учебники
Английский
Марка 9А
Марка 9Б
9 класс (A и B вместе)
Африкаанс
Граад 9А
Граад 9Б
Граад 9 (A en B saam)
Пособия для учителя
Читать онлайн
Учебники
Английский
Класс 4A
Класс 4Б
Класс 4 (вместе A и B)
Африкаанс
Граад 4А
Граад 4Б
Граад 4 (A en B saam)
Пособия для учителя
Читать онлайн
Учебники
Английский
Марка 5A
Марка 5Б
Оценка 5 (вместе A и B)
Африкаанс
Граад 5А
Граад 5Б
Граад 5 (A en B saam)
Пособия для учителя
Читать онлайн
Учебники
Английский
Класс 6A
Марка 6Б
6 класс (A и B вместе)
Африкаанс
Граад 6А
Граад 6Б
Граад 6 (A en B saam)
Пособия для учителя
Наша книга лицензионная
Эти книги не просто бесплатные, они также имеют открытую лицензию! Один и тот же контент, но разные версии (брендированные или нет) имеют разные лицензии, как объяснено:
CC-BY-ND (фирменные версии)
Вам разрешается и поощряется свободное копирование этих версий.Вы можете делать ксерокопии, распечатывать и распространять их сколько угодно раз. Вы можете скачать их на свой мобильный телефон, iPad, ПК или флешку. Вы можете записать их на компакт-диск, отправить по электронной почте или загрузить на свой веб-сайт. Единственным ограничением является то, что вы не можете адаптировать или изменять эти версии учебников, их содержание или обложки каким-либо образом, поскольку они содержат соответствующие бренды Siyavula, спонсорские логотипы и одобрены Департаментом базового образования. Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution-NoDerivs 3.0 Непортированный.
Узнайте больше о спонсорстве и партнерстве с другими, которые сделали возможным выпуск каждого из открытых учебников.
CC-BY (версии без марочного знака)
Эти небрендированные версии одного и того же контента доступны для вас, чтобы вы могли делиться, адаптировать, трансформировать, модифицировать или дополнять их любым способом, с единственным требованием — дать соответствующую оценку Siyavula. Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution 3.0 Unported.
Страница не найдена | ЗННХС
Страница не найдена | ЗННХС | Официальный сайт
Этот веб-сайт принимает Руководство по обеспечению доступности веб-контента (WCAG 2.0) в качестве стандарта доступности для всех связанных с ним веб-разработок и услуг. WCAG 2.0 также является международным стандартом ISO 40500. Это подтверждает его как стабильный технический стандарт, на который можно ссылаться. WCAG 2.0 содержит 12 руководств, организованных по 4 принципам: воспринимаемый, работоспособный, понятный и надежный (сокращенно POUR). Для каждого руководства есть проверяемые критерии успеха. Соответствие этим критериям оценивается по трем уровням: A, AA или AAA. Руководство по пониманию и применению рекомендаций по доступности веб-контента 2.0 доступен по адресу: https://www.w3.org/TR/UNDERSTANDING-WCAG20/. Специальные возможности Комбинация клавиш быстрого доступа Активация Комбинированные клавиши, используемые для каждого браузера. Chrome для Linux нажмите (Alt + Shift + shortcut_key) Chrome для Windows нажмите (Alt + shortcut_key) Для Firefox нажмите (Alt + Shift + shortcut_key) Для Internet Explorer нажмите (Alt + Shift + shortcut_key), затем нажмите (ввод) В Mac OS нажмите (Ctrl + Opt + shortcut_key) Заявление о доступности (комбинация + 0): страница утверждения, на которой будут показаны доступные ключи доступности.Домашняя страница (комбинация + H): клавиша доступа для перенаправления на домашнюю страницу. Основное содержимое (комбинация + R): ярлык для просмотра раздела содержимого текущей страницы. FAQ (комбинация + Q): ярлык для страницы часто задаваемых вопросов. Контакт (комбинация + C): ярлык для страницы контактов или формы запросов. Отзыв (комбинация + K): ярлык для страницы обратной связи. Карта сайта (комбинация + M): ярлык для раздела карты сайта (нижний колонтитул) на странице. Поиск (комбинация + S): ярлык для страницы поиска. Нажмите esc или нажмите кнопку закрытия, чтобы закрыть это диалоговое окно.×
Запрошенная вами страница могла быть перемещена в новое место или удалена с сайта.
Вернитесь на ГЛАВНУЮ СТРАНИЦУ или найдите то, что ищете, в поле поиска ниже.
ГЛАВНЫЙ ЛАГЕРЬ:
Используйте компас для разметки
Мы можем получать комиссию, когда вы используете наши партнерские ссылки. Однако это не влияет на наши рекомендации.
Все формы и размеры. С циркулем, линейкой и карандашом у вас есть деревообрабатывающий трифект, с помощью которого вы можете рисовать множество геометрических фигур.
Сдвиг дуги — решение многих проблем компоновки и строительства.
Если вы думаете, что компас предназначен только для рисования кругов, подумайте еще раз. Это простое и недорогое устройство может разделить практически все на точные и равные части, построить сложные многоугольники и найти точные настройки для изготовления митров под любым углом. Большинство плотников владеют этим невероятно мощным инструментом компоновки, дизайна и решения проблем или имеют к нему доступ, но они не осознают его возможностей.
Достаньте компас из ящика с инструментами и играйте вместе с ним. Если нужно, возьмите один у ближайшего ученика начальной школы или купите дешевый.К тому времени, как вы дочитаете эту статью до конца, вы наверняка захотите получить хорошую. По крайней мере, вы почувствуете уважение к этому простому устройству.
Разделите на два, Докажите квадрат
Выше и ниже. Поверните дуги над и под линией с обоих концов так, чтобы они пересекались. Соедините эти точки, чтобы разделить линию прямо на два равных сегмента.
Люди часто обращаются к числам, когда им это не нужно, и это может их замедлить или привести к разочарованию. Где действительно сияет компас, так это деление вещей пополам.Многие геометрические конструкции основаны на том, что две точки находятся на равном расстоянии от чего-то другого. Важной частью является равенство, а не фактическое измерение.
Несмотря на то, что вы, возможно, думали в старшей школе, геометрия полезна, актуальна и вдохновляет. Начнем с прямой любой длины. Прикрепите кончик циркуля к одному концу линии, а другой конец установите в любом месте за середину. Неважно, как далеко. Не беспокойтесь об этом; просто установите расстояние на глаз и проведите по дуге выше и ниже исходной линии.Не меняя настроек, прикрепите точку циркуля на другом конце линии и раскачивайте дуги вверх и вниз оттуда.
Соедините точки. Установите циркуль между центром и концом линии, затем поверните дугу, чтобы пересечь вертикальную линию. Соедините эти точки, чтобы получился угол 45 °.
Пересечения дуг находятся на равных расстояниях от каждого конца линии, и когда вы используете линейку для рисования от пересечения до пересечения, новая линия пересекает исходную линию точно в средней точке.Более того, он расположен под прямым углом к оригиналу.
Прикрепите кончик циркуля к пересечению двух линий и сбросьте расстояние, чтобы грифель карандаша попадал в конец исходной линии. Теперь проведите дугу через перпендикулярную линию. Соедините это пересечение с концом первой линии, и вы только что нарисовали идеальный угол в 45 °.
Теперь квадрат. Держите компас и поверните дуги с каждого конца наклонной линии. Проведите линии до концов диагонали, чтобы получился идеальный квадрат.
Не меняя настройки компаса, поверните дуги от концов линии 45 ° так, чтобы они пересекались. Возьмите линейку и соедините это пересечение с концами наклонной линии. Одна линия параллельна первой линии, а другая параллельна перпендикулярной линии. В результате получился идеальный квадрат.
Полигоны по Компасу
Если вам нужно сделать равносторонний треугольник, установите расстояние между точками циркуля равным длине одной стороны. Нарисуйте линию такой длины и с каждого конца поверните дуги, которые пересекаются над линией.Соедините точки, чтобы получился треугольник.
Чтобы создать шестиугольник, сначала нарисуйте круг и, не меняя настройки компаса, установите его точку в любом месте периметра. Сойдите по периметру и соедините пересечения линиями, чтобы получился шестиугольник. Если вы отодвинетесь от точек периметра шестиугольника к центру круга, вы создадите шесть равносторонних треугольников вместе с визуальным объяснением того, как (и почему) работает этот метод.
Вы можете легко обрезать углы квадрата и превратить его в идеальный восьмиугольник.Найдите центр, проведя диагональные линии от угла к углу. Там, где пересекаются эти линии, находится точный центр квадрата. Прикрепите кончик циркуля к одному углу и установите его в центральную точку. Поверните по две дуги от каждого угла, чтобы пересечь каждую горизонтальную и вертикальную линию. Соедините эти точки, и вы получите восьмиугольник.
Если вы хотите сделать скошенную рамку любой из этих форм, вы можете определить углы резки, используя метод, описанный в статье, но еще более простой способ — нарисовать линии, параллельные форме.Этот метод также работает, если вы хотите скосить две детали разной ширины. Рисуйте от угла к углу и установите датчик угла наклона в соответствии с рисунком. Используйте это для настройки разреза и не беспокойтесь о том, сколько градусов находится под каждым углом.
Два способа получения идеального угла
Помимо разделения линий точно пополам, вы также можете использовать циркуль для разделения углов пополам. Это будет палочкой-выручалочкой, когда вам нужно будет уклониться от дурацкого угла.
Для практики нарисуйте две линии из одной точки под любым углом.Установите компас на любое разумное расстояние и поверните дуги от пересечения между двумя линиями, чтобы пересечь каждую линию. Переместите точку циркуля на каждое пересечение и поверните дуги в отверстие между линиями. Проведите линию от точки пересечения дуг до пересечения двух линий.
Он разделяет угол на две равные части, и нарисованный угол можно использовать для настройки датчика угла наклона. Датчик угла наклона, в свою очередь, настраивает пилу на выполнение разрезов и проверяет разрезы после того, как вы их сделали.Простое решение, никакие числа не использовались, и при этом никакие клетки мозга не пострадали.

Рекомендации по продукту
Вот некоторые расходные материалы и инструменты, которые нам необходимы в повседневной работе в магазине. Мы можем получать комиссию с продаж по нашим ссылкам; однако мы тщательно отбирали эти продукты на предмет их полезности и качества.
Конструкции линейки и компаса | NZ Maths
Сессия 1
На этом занятии мы исследуем линейки и компасы и подтверждаем, на что они способны.
Записки учителя
Все конструкции, которые используются в этом сеансе, можно найти в copymaster под названием «Иллюстрированные конструкции».
На этом занятии мы призываем студентов поэкспериментировать со своими линейками и циркулем (не циркулем), чтобы составить различные формы. Конструкции, которые могут предложить группы, включают:
треугольник с заданными длинами сторон
равносторонних треугольников
правильных шестиугольников с заданной длиной стороны
неправильные пятиугольники с заданными сторонами
квадратов заданного размера (невозможно сделать точно, пока они не научатся строить прямой угол).
Последовательность обучения
Проведите обсуждение конструкций.
Какие формы вы можете сделать, если просто воспользуетесь линейкой? Вы можете составить их список?
Они должны уметь видеть, что здесь можно создавать только формы с прямыми линиями и измеренной длиной. Это означает, что они могут построить любой полигон.
Какие формы вы можете сделать, если просто воспользуетесь циркулем? Можете составить их список?
Конечно, мы можем строить круги, но мы не можем указать их радиус, если у нас нет линейки.
Какие фигуры можно сделать, если использовать и линейку, и циркуль? Можете составить их список?
Два вместе должны позволить нам получить намного больше форм.
Предложите учащимся работать в парах, чтобы составить список фигур, которые они могут сделать, используя линейки и циркуль. Они должны убедить вас, что они действительно могут создавать эти формы. Старайтесь держать их подальше от конструкций, которые вы собираетесь представить на более поздних занятиях.
Группы также должны составлять задачи для других групп. Опять же, эти проблемы должны требовать только применения инструментов.
Работайте с каждой группой, чтобы держать их в курсе и помогать им там, где это необходимо. Не беспокойтесь на этом этапе, если список не является полностью исчерпывающим или точным. Цель этого упражнения — заставить их задуматься и поощрить их творчество.
Снова соберите класс и позвольте различным группам изложить свои проблемы.Дайте разным группам / студентам возможность либо сказать, как решить конкретную проблему, либо сказать, что форму невозможно сделать.
Сделайте вывод, что можно сделать точно с помощью линейки и циркуля простым способом. Это будет включать любой треугольник с заданной длиной стороны; правильные шестиугольники с заданной длиной стороны; и многоугольники с заданной длиной сторон, которые не обязательно должны быть правильными.
Дайте классу возможность построить две из этих фигур, приведя им конкретные примеры из задач учащихся на шаге 3.
Приведите практическое применение навыков, рассмотренных на этом занятии. Эта задача может быть следующей: Тетраэдр — это платоновое твердое тело, состоящее из четырех равносторонних треугольников. С помощью линейки и циркуля соорудите сетку для тетраэдра с ребрами длиной 6 см.
Сессия 2
На этом занятии мы представляем метод построения прямоугольного треугольника и используем его для построения квадратов и прямых углов.
Заметки учителя
Все конструкции, которые используются в этом сеансе, можно найти в copymaster под названием «Иллюстрированные конструкции».
Обсудите получение прямого угла без транспортира.
Обсудите, как развить это (управляемое открытие), чтобы не только учитель говорил им, что им делать. Попробуйте следующие шаги:
С чего начать? Что мы можем построить? Конечно, мы можем строить треугольники.
Все ли треугольники имеют прямой угол? Не обязательно, но у них есть рост. Как это может помочь?
Как построить их высоту?
С двумя похожими треугольниками проще.Чтобы получить перпендикуляр, нам нужно иметь под ним еще одну копию первого треугольника.
Итак, используйте линейки и циркуль, чтобы построить треугольник с одной горизонтальной стороной. Теперь нарисуйте такой же треугольник, отраженный на горизонтальной стороне.
J oв верхней вершине первого треугольника до нижней вершины нижнего треугольника. Эта линия представляет собой высоту двух треугольников и, следовательно, перпендикулярна основанию обоих.
Но как поставить перпендикуляр там, где мы хотим? С помощью того метода, который мы используем, он может оказаться где угодно.
Продемонстрируйте, используя разные треугольники.
Как мы можем это контролировать? Как насчет того, чтобы использовать равносторонний треугольник?
Равносторонние треугольники — единственные, которые нам подходят? На самом деле подойдет любой равнобедренный треугольник.
Так нужно ли нам измерять стороны треугольника? Оказывается, этот перпендикуляр делит исходную линию пополам! И это помещает его туда, где мы этого хотим.
Вот несколько четырехугольников, которые нужно построить:
Квадраты со стороной 5 см, 7 см и 10 см.
Прямоугольники с длиной стороны 3 см и 5 см; 4 см и 6 см; и 5 см и 8 см.
Прямоугольные треугольники с длиной стороны 3 см, 4 см и 5 см; 6 см, 8 см и 10 см; и 5 см, 12 см и 13 см.
Прямоугольный треугольник можно получить, используя конструкцию прямого угла или построив треугольник со сторонами длиной 3, 4, 5 или 5, 12, 13 и т. Д.
Последовательность обучения
На первом занятии мы могли создавать фигуры с помощью линейок и циркуля, но у нас были проблемы с квадратами, потому что мы не могли образовать прямой угол. Итак, как мы можем сделать прямой угол?
Обсудите в классе пошаговые инструкции по построению перпендикуляра к заданной линии (см. Шаги 1–10 в заметках для учителя). Повторите это пару раз, чтобы они увидели логику. Затем еще раз просмотрите окончательную конструкцию, чтобы они могли увидеть, как она работает.
Дайте учащимся возможность самостоятельно поработать над правильными углами. Настаивайте на том, чтобы они делали это, начиная с линии фиксированной длины (выбранной учеником), которая должна располагаться под разными углами к горизонтали. (Это сделает их более гибкими в использовании конструкции.) Здесь им следует сделать около трех примеров. Попросите их измерить расстояние прямого угла от конца их фиксированных линий. Им следует проверить свои углы с помощью транспортира.
Обсудите со всем классом любые проблемы, которые у них были.Следите за этим, отмечая, где появляется прямой угол. Вы можете составить таблицу с двумя столбцами: один для длины исходной линии, а другой — для расстояния прямого угла от конца этой линии. Тогда должно быть ясно, что прямой угол находится на полпути между двумя концами линии. Перпендикуляр делит прямую пополам .
Теперь вернемся к вопросу о создании квадратов.
Легко нарисовать линию, которая является первой стороной квадрата, но как мы можем поставить прямой угол точно на конец этой линии? (удлинить линию вдвое)
Затем предложите учащимся индивидуально строить квадраты с заданной длиной сторон.Настаивайте на том, что не все квадраты должны иметь стороны, параллельные краям бумаги, которую они используют.
Проверить их работу. Когда учащиеся выполнят это задание, предложите им построить прямоугольники с заданной длиной сторон. Им следует сделать как минимум три из них.
Продолжаю проверять их работу. Когда учащиеся завершат задание на прямоугольник, предложите им построить прямоугольные треугольники с заданной длиной стороны двумя способами .
Дайте ученикам задачу о локусах, которую можно решить, используя навыки и знания, изучаемые на этом занятии. Пример такой задачи: Постройте локусы точек, которые находятся на расстоянии 16 мм от прямоугольника размером 45 мм на 65 мм.
Сессия 3
Здесь мы рассмотрим проблему деления угла пополам и используем это для построения углов заданного размера.
Записки учителя
Все конструкции, которые используются в этом сеансе, можно найти в копировщике под названием «Иллюстрированные конструкции».
Предложите классу подумать о том, как можно разделить угол пополам. Возможно, нам снова удастся построить подобные треугольники. Но как? (См. Диаграмму.)
Мы можем построить эти треугольники, сделав равные дуги на линиях, образующих угол с острием циркуля на самом угле; затем делает дуги из этих двух точек. Они встретятся в другой общей вершине двух подобных треугольников. Общая сторона двух одинаковых треугольников делит заданный угол пополам.
Чтобы образовать угол 30º, постройте равносторонний треугольник и разделите пополам один из его углов. Теперь легко создавать углы 15 ° и 7,5 °.
Чтобы получить угол 45º, постройте прямой угол и разделите его пополам. Теперь легко получить угол 22,5 градуса.
Можно ли сделать углы, которые не являются половинками или половинками и половинками или… углами 60º или 90º? Как насчет 62,5º?
Обратите внимание, что греки очень хотели разделить угол пополам линейкой и циркулем. Оказывается, это невозможно.Доказать это очень сложно и требует довольно много математики.
Последовательность обучения
Напомним построение последнего сеанса.
Что он сделал? (создайте прямой угол, разделите линию пополам)
Можем ли мы распространить эти идеи на другие конструкции? (разделите угол пополам)
Как мы можем разделить пополам любой угол ?
Обсудите свои предложения.
Пройдите развитие конструкции, как указано в «Записках учителя».
Предложите учащимся поработать индивидуально, чтобы разделить пополам несколько углов. Пусть они получат углы с помощью транспортира и точно так же проверит их конструкцию. Настаивайте на том, чтобы линии, составляющие исходный угол, иногда не были параллельны краю бумаги. Им следует сделать как минимум три примера.
Проверить их работу. Когда они закончат свои три бесплатных примера, предложите им создать углы 30º и 45º без использования транспортира .
Продолжаю следить за своей работой. Когда они закончат последнее задание, спросите их, какие еще углы они могут получить без использования транспортира .
Обсудите в классе два последних задания.
Есть ли шаблоны?
Можно ли разрезать линию или угол пополам?
Обсудите свои идеи.
Предложите студентам применить все навыки и знания, полученные на этих первых трех занятиях.Пример такой проблемы: архитектор проектирует прямоугольную комнату размером 5 на 8 м с диагональной трубой, обеспечивающей полы с подогревом, идущей из двух противоположных углов. Необходимо добавить еще две трубы, каждая из которых делит пополам угол между трубой и стеной 8 м. Постройте схему расположения трубопроводов для этой комнаты в масштабе 1: 100.
Сессия 4
Теперь пришло время построить параллельные линии и использовать их, чтобы сделать параллелограммы и трапеции.
Записки учителя
Все конструкции, которые используются в этом сеансе, можно найти в копировщике под названием «Иллюстрированные конструкции».
Снова предложите студентам подумать о том, как они могли бы построить параллельные линии. Мы показываем метод в разделе «Строительство» ниже.
Но что, если мы хотим убедиться, что параллельная линия проходит через данную точку, а не на исходной линии? Как это изменит ситуацию?
Теперь у нас есть эта конструкция, и мы можем решать параллелограммы и трапеции.
Последовательность обучения
Освежите память учащихся о том, что было сделано за последние три занятия. Попросите их описать каждую из конструкций, которые использовались до сих пор, и то, как они использовались для создания различных фигур.
Какие виды фигур с прямыми сторонами мы не можем построить методами, которые мы использовали до сих пор? (параллелограммы, трапеции)
Что еще было бы полезно иметь для построения этих фигур? (параллельные линии)
Обсудите, что было бы хорошо иметь возможность построить и как эту конструкцию можно использовать для создания большего количества фигур.
Пусть учащиеся разделятся на пары, чтобы попытаться нарисовать пару параллельных линий с помощью линейки и циркуля. Скажите им, чтобы они записали свой метод. Попросите их подумать, как они будут проверять, что две нарисованные ими линии параллельны. Если они могут провести параллельные линии в одном направлении, попросите их найти другой способ.
Проведите сеанс отчетности. Обсудите различные способы построения параллельных линий, которые нашли учащиеся.
Какой из них самый аккуратный?
Какой самый эффективный?
Может ли любой из этих методов построить линию, параллельную данной линии и проходящую через определенную точку? Почему это может быть важно?
Снова отправьте их попарно, чтобы построить любые два параллелограмма.Затем ограничьте их двумя параллелограммами с заданной длиной сторон и заданным углом между соседними линиями.
Как только пара правильно выполнит это задание и сможет объяснить, что они сделали, переместите их на две произвольные трапеции, а затем на две трапеции с определенной длиной сторон.
Дайте ученикам задачу о локусах, в которой используются эти навыки. Пример: козу привязана 3-метровая цепь, которая свободно проходит по 12-метровому тросу, натянутому между двумя варатами.Постройте масштабную диаграмму участка загона, в котором коза может бродить.
Сессия 5
Теперь ученики применяют то, что они открыли, для создания как можно большего количества различных правильных многоугольников.
Записки учителя
Все конструкции, которые используются в этом сеансе, можно найти в копировщике под названием «Иллюстрированные конструкции».
На этом занятии учащимся необходимо знать формулу внутреннего угла для правильных многоугольников.
Какие правильные многоугольники можно построить с помощью линейок и циркуля? Конечно, вы можете получить равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Но что еще можно сделать? Если вы знаете, как разделить сторону на две части, вы можете получить правильные восьмиугольники и правильные додекаэдры. Общая проблема того, какие правильные многоугольники могут быть построены, была решена Гауссом. Оказывается, ответ связан с некоторыми интересными простыми числами.
Используя описанные выше методы, учащиеся теперь могут создавать как регулярные, так и нерегулярные мозаики.Возможно, это то, что они могут сделать для домашнего задания.
Последовательность обучения
Просмотрите, что было сделано на данный момент со строительством. Попросите их вспомнить, что такое правильный многоугольник и насколько велики внутренние углы правильного n-стороннего многоугольника в единицах n.
Какие углы можно построить?
Обсудите (180 ° — прямая линия; 90 ° — по перпендикуляру пополам; 60 ° — в равностороннем треугольнике; любой угол, который составляет половину любого из этих углов или половину половины любого из этих углов и т. Д.)
Какие правильные многоугольники вы можете построить?
Обсуди это. (Пока они построили правильный многоугольник с тремя сторонами — равносторонний треугольник, с четырьмя сторонами — квадрат и с шестью сторонами — правильный шестиугольник.)
Как вы построили эти многоугольники?
Обсудить.
Отправьте их попарно, чтобы посмотреть, смогут ли они построить правильный восьмиугольник. Убедитесь, что группы идут по плану. Если им требуется много времени для создания правильного восьмиугольника, спросите их, каковы внутренние углы правильного восьмиугольника.Как они могли построить такой угол?
Возможно, тогда им следует построить еще один правильный восьмиугольник с заданной длиной стороны, скажем, 5 см.
Когда ученики закончат это задание, попросите их составить список всех правильных многоугольников, которые можно построить с помощью линейки и циркуля, и всего того, что нельзя.
Обсудите их результаты и роль Гаусса в проблеме.
Расскажите о практическом применении навыков, описанных в этом модуле.

1.		Серединный перпендикуляр данного отрезка.
2.		Линия, перпендикулярная данной линии, проходит через данную точку, а не на данной линии.
3.		Прямой угол в данной точке на заданной линии.
4.		Квадрат с заданным отрезком стороной.
5.		Равносторонний треугольник, стороной которого является отрезок.
6.		Шестиугольник с данным сегментом сбоку.
7.		Копирует заданный угол в заданный сегмент.
8.		Линия, параллельная данной линии, проходит через точку, не входящую в данную линию.
9.		Разделение данного отрезка на N равных частей.
10.		Деление пополам заданного угла.
11.		Построить угол 30 градусов на данном сегменте.
12.		Найдите центр круга через три заданные точки.
13.		Найдите описанную окружность данного треугольника.
14.		Найдите вписанную окружность данного треугольника.
15.		Постройте прямоугольник с двумя заданными длинами сторон.
16.		Постройте треугольник, подобный заданному на заданном отрезке.
17.		Дана точка P на отрезке QR, найдите точку C, которая делит данный отрезок AB. в таком же соотношении.
18А.		Постройте медианы заданного треугольника.
18Б.		Постройте высоты заданного треугольника.
19.		Постройте золотой прямоугольник.
20.		Постройте квадрат, площадь которого в два раза больше данного квадрата.
21.		Постройте круг, площадь которого в два раза больше данного круга.
22.		Постройте линию, параллельную заданной линии, на заданном расстоянии от нее.
23.		Постройте окружность заданного радиуса по касательной к двум линиям, проходящим через точку.
24.		Постройте квадрат такой же площади, что и данный прямоугольник.
25.		Дана точка на одной стороне линии, найдите ее зеркальное отображение относительно линии.
26.		Дайте две точки на одной стороне прямой, найдите путь луча свет между точками, который отражается от линии.
27.		Для точки вне круга найдите две прямые, проходящие через точку касательная к окружности.
28.		Из двух окружностей построить окружность заданного радиуса, касательную к два круга.
29.		Постройте линию посередине между двумя заданными параллельными линиями.
30.		Из четырех произвольных точек постройте квадрат, каждая из которых расширена. стороны проходят через одну из указанных точек.
31А.		Из двух окружностей постройте внешние линии, касающиеся окружностей.
31Б.		Из двух окружностей постройте внутренние касательные к окружностям.
32.		Дайте две параллельные прямые и окружность, постройте окружность, касательную ко всем три.
33.		Дан угол и окружность, центр которой находится на биссектрисе угла, построить окружности, касательные к сторонам угла и окружности.
34.		Учитывая угол и точку внутри угла, постройте точка, касательная к сторонам угла и проходящая через точку.
35.		По заданному углу и произвольной окружности построить касательные окружности. к кругу и двум сторонам угла.
36.		Учитывая прямую и две точки с одной стороны от нее, постройте обведите точки и касайтесь линии.
37.		Дан отрезок, окружность и точка, постройте окружность через точку и касательную к прямой и окружности.
38.		По прямой и двум окружностям постройте окружности, касательные ко всем трем.
39.		Для трех произвольных окружностей постройте окружности, касательные ко всем трем. (Проблема Аполлония)
40.		Постройте правильный пятиугольник. (Теорема Гаусса-Вантцеля: правильный N-угольник конструктивно, если множители N являются различными простыми числами среди 2,3,5,17,257,65537, …)
41.		Постройте правильный 17-угольник.
42.		Постройте правильный 257-угольник и правильный 65537-угольник.

Как циркулем нарисовать квадрат — MOREREMONTA

Здесь легко и интересно общаться. Присоединяйся!

Popular

Основы черчения

Строительное

Машиностроительное

Как начертить квадрат в окружности

Содержание

Примеры [ править | править код ]

Формальное определение [ править | править код ]

Известные задачи [ править | править код ]

Неразрешимые задачи [ править | править код ]

Допустимые отрезки для построения с помощью циркуля и линейки [ править | править код ]

Возможные и невозможные построения [ править | править код ]

Popular

Основы черчения

Строительное

Машиностроительное

Как начертить квадрат с диагоналями

Математика по полочкам: 29. Задачи на построение

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Этапы решения задачи на построение

Анализ

Построение

Доказательство

Задача 1. Построить треугольник с данными сторонами а, b, с.

УПРАЖНЕНИЯ

«КРУГАТУРА» КВАДРАТА, ПОСТРОЕНИЕ И ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНСТАНТЫ πс

Основные задачи на построение [wiki.eduVdom.com]

2.4.2 Построение правильных многоугольников по данной стороне

2.4.3 Построение правильных многоугольников, описанных около окружности

Конструкции линейки и циркуля

Джейн Грисволд Радоккья: Практическая геометрия

Планшет Геометра

ОПРЕДЕЛЕНИЯ:

ПРЕДОСТАВЛЕНИЕ ЛИЦЕНЗИИ

Открытые учебники | Сиявула

Математика

Наука

Наша книга лицензионная

CC-BY-ND (фирменные версии)

CC-BY (версии без марочного знака)

Страница не найдена | ЗННХС

© 2019- Городское отделение Диполог.Все права защищены. | Разработано: Марожелу А. Магбухос, Джови Э. Абаа | Работает на: php 7.0.0 | MySQL 8.0

Используйте компас для разметки

Сдвиг дуги — решение многих проблем компоновки и строительства.

Разделите на два, Докажите квадрат

Полигоны по Компасу

Два способа получения идеального угла

Конструкции линейки и компаса | NZ Maths

Сессия 1

Записки учителя

Последовательность обучения

Сессия 2

Заметки учителя

Последовательность обучения

Сессия 3

Записки учителя

Последовательность обучения

Записки учителя

Последовательность обучения

Сессия 5

Записки учителя

Последовательность обучения

Добавить комментарий Отменить ответ