Правильный пятиугольник как нарисовать: Как нарисовать пятиугольник с помощью окружности

Разное

Содержание

Как нарисовать пятиугольник с помощью окружности

Последние события

Раскраски к Хеллоуину для мальчиков

В России – празднование Хэллоуина ни с чем не связано. Это, скорее всего дань моде, чем традиции предков. Интересное яркое шоу, о значении и первоисточнике которого многие даже не догадываются.

Коллекция раскрасок к Хеллоуину

Скоро Хеллоуин. Праздник страшилка, праздник пугалка. Не зря его так любят дети всех стран.

На сайте я уже как-то выкладывала подборку раскрасок к Хеллоуину.

Осень. Деревья и листья

Как выглядят деревья осенью? Рассмотрите картинки и раскрасьте осенние листики.

Кто такие мишки Гамми?

Посмотрите с детьми этот мультсериал про мишек Гамми, затем скачайте раскраски и раскрасьте героев.

Несколько раскрасок для самых маленьких

Совсем простенькие раскраски с крупными деталями для самых маленьких художников.

Осеннее настроение. Раскраски

В разгаре золотая осень. В этом году она в наших краях как никогда поздняя и ослепительно красивая.

Рассказы про осень. Читаем и раскрашиваем картинки

Что такое осень? Какая осенью погода? Что делают птицы осенью? Задайте эти и другие вопросы про осень своему малышу.

Архив

Как нарисовать правильную звездочку? Как нарисовать правильный пятиугольник? Как разделить круг на пять равных частей? На все эти вопросы вы сможете найти ответ, если проделаете вслед за мной эти шаги.

Как нарисовать правильную звездочку?

Как нарисовать правильный пятиугольник?

Как разделить круг на пять равных частей?

На все эти вопросы вы сможете найти ответ, если проделаете вслед за мной вот эти шаги.

Конечно же, нам понадобится циркуль с карандашом и линейка.

Для начала нарисуйте циркулем круг.

Разделите его на четыре части линиями сверху вниз и справа налево.

Можно сразу объяснить ребенку, что отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через ее центр, называется диаметр.

А отрезок, соединяющий центр и точку на окружности, называется радиус.

С помощью линейки измерьте и разделите пополам один из радиусов.

У меня это отрезок слева от центра.

Серединку радиуса я обозначила

Нам понадобится точка сверху окружности.

Ее я обозначила цифрой 0.

Устанавливаем иголку циркуля

в точку 1, а карандашик в точку 0.

Рисуем дугу до пересечения с горизонтальным диаметром.

Обозначаем точку пересечения

Сейчас устанавливаем иголку циркуля

в точку 0, а карандашик в точку 2.

И рисуем дугу до пересечения с окружностью, причем с двух сторон.

Точки пересечения помечены

Не меняя ширину циркуля, устанавливаем иголку

в точку 3 и отмеряем кусочек окружности.

Точку 6 можно отмерить и от

точки 5 и от точки 4.

Главное, не изменять ширину (раствор) ножек циркуля.

Вот, практически и все.

Если соединим точки, получим правильный пятиугольник.

Здравствуйте коллеги.
Сегодня построим правильный пятиугольник в окружности, попробуем начертить циркулем и линейкой фигуру.

Рисунки художников очень тесно связаны с черчением и геометрией. Если мы задумали какую-то композицию, а в ней есть геометрические фигуры, то нам необходимо знать, как изобразить предмет, что бы он не выглядел смешно, и что бы вы не выглядели дилетантом и смогли нарисовать пятиконечную звезду циркулем или в фотошопе. От этого зависит ваш авторитет художника, а значит и заказы.

Построение правильного пятиугольника не так часто встречается в рисунке, но все же есть моменты, когда нам это необходимо.

Например, нам нужно нарисовать пятиконечную звезду (пентаграмму) для картины о Советском прошлом или о настоящем Китая. Правда для этого нужно уметь создать рисунок звезды в перспективе. Это посмотрите в другом уроке.

Мы попробуем нарисовать звезду в фотошопе фронтально. Точно так же вы сможете нарисовать фигуру карандашом на бумаге. Всего лишь с помощью таких инструментов:

Как правильно нарисовать звезду, что бы она выглядела ровно и красиво, сразу не ответишь. Количество углов не четное, поэтому просто разделить окружность на равные части циркулем или линейкой не получится.

Что бы вписанный пятиугольник в окружность был пропорциональный, нам необходимо точно вычислить одну из сторон, а затем отложить этот отрезок пять раз на теле овала.

Как выглядит пятиугольник и звезда

Внизу на фото разберем, как нарисовать звезду поэтапно.
Для начала рисуем окружность с центром О.

Дальше отложим отрезок OA равный радиусу и разделим его пополам точкой B, как показано на фото внизу.

Теперь от точки В до точки С проведем прямую.

Отложим расстояние отрезка ВС на диаметральной линии окружности. Для этого можно воспользоваться циркулем. Таким образом у нас появилась точка D.

И отрезок DB. Картинка внизу.

Дальше, проведя линию от точки D к точке С, Мы получи длину равную стороне пятиугольника.

Дальше этот отрезок можно отложить на окружности. У нас появилась точка Е. Смотрим фото ниже.

Итак, одна из сторон пятиугольника у нас есть, это линия ЕС.

Такие же отрезки наносим на всей части круга. Смотрим картинку.

На этом построение правильного пятиугольника можно закончить. Что бы нарисовать звезду нужно просто соединить углы через один.

Нарисовать пятиконечную звезду циркулем можно так же, как и на нашем уроке в программе Photoshop, весь процесс такой же, только вместо программы графического редактора используем инструменты для черчения.

Так же можно посмотреть уроки построения шестиугольника, разделение на восемь частей, деление круга на семь частей, десять равных частей.

Правильный пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру, которая образовывается пересечением пяти прямых, создающих пять одинаковых углов. Такая фигура носит название — пентагон. С пятиугольником тесно связана работа художников — их рисунки строятся на основе правильных геометрических фигур. Для этого необходимо знать то, как быстро построить пентагон.

Чем интересна эта фигура? Форму пентагона имеет здание Министерства обороны Соединенных Штатов Америки. Это можно увидеть на фото, сделанных с высоты полета. В природе не существует кристаллов и камней, форма которых напоминала бы пентагон. Только в этой фигуре количество граней совпадает с числом диагоналей.

Параметры правильного пятиугольника

Прямоугольный пятиугольник, как и каждая фигура в геометрии, имеет свои параметры. Зная необходимые формулы, можно рассчитать эти параметры, что облегчит процесс построения пентагона. Способы и формулы расчетов:

сумма всех углов в многоугольниках равна 360 градусам. В правильном пятиугольнике все углы равны, соответственно, центральный угол находится таким способом: 360/5 = 72 градуса;
внутренний угол находится таким образом: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 градусов. Сумма всех внутренних углов: 108*5 = 540 градусов.

Сторона пентагона находится с помощью параметров, которые уже даны в условии задачи:

если вокруг пятиугольника описана окружность и известен ее радиус, сторона находится по такой формуле: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1,1756*R.
Если известен радиус вписанной в пентагон окружности, то формула расчета стороны многоугольника: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r.
При известной величине диагонали пентагона его сторона рассчитывается таким образом: а = D/1,618.

Площадь пентагона так же, как и его сторона, зависит от уже найденных параметров:

с помощью известного радиуса вписанной окружности площадь находится так: S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r.
описанная вокруг пятиугольника окружность позволяет найти площадь по такой формуле: S = (n*R2*sin α)/2 = 2,3776*R2.
в зависимости от стороны пентагона: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Построение пентагона

Построить правильный пятиугольник можно с помощью линейки и циркуля, на основе вписанной в него окружности или одной из сторон.

Как начертить пятиугольник на основе вписанной окружности? Для этого необходимо запастись циркулем и линейкой и сделать такие шаги:

Сначала необходимо начертить окружность с центром О, после чего на ней выбрать точку, А — вершину пентагона. От центра к вершине проводится отрезок.
Затем строится перпендикулярная прямой ОА отрезок, который также проходит через О — центр окружности. Его пересечение с окружностью обозначается точкой В. Отрезок О. В. делится пополам точкой С.
Точка С станет центром новой окружности, проходящей через А. Точка D — это ее пересечение с прямой ОВ в границах первой фигуры.
После этого проводится третья окружность через D, центром которой является точка А. Она пересекается с первой фигурой в двух точках, их необходимо обозначить буквами Е и F.
Следующая окружность имеет центр в точке Е и проходит через А, а ее пересечение с первоначальной находится в новой точке G.
Последняя окружность в этом рисунке проводится через точку, А с центром F. На ее пересечении с начальной ставится точка Н.
На первой окружности после всех проделанных шагов появились пять точек, которые необходимо соединить отрезками. Таким образом получился правильный пятиугольник АЕ G Н F.

Как построить правильный пятиугольник иным способом? С помощью линейки и циркуля пентагон можно построить немного быстрее. Для этого необходимо:

Cначала необходимо с помощью циркуля нарисовать окружность, центр которой — точка О.
Чертится радиус ОА — отрезок, который откладывается на окружность. Его делят пополам точкой В.
Перпендикулярно радиусу ОА начерчивается отрезок ОС, точки В и С соединяются прямой.
Следующим шагом является отложение длины отрезка ВС с помощью циркуля на диаметральной линии. Перпендикулярно отрезку ОА появляется точка D. Точки В и D соединяются, образуя новый отрезок.
Для того, чтобы получить величину стороны пентагона, необходимо соединить точки С и D.
D с помощью циркуля переносится на окружность и обозначается точкой Е. Соединив Е и С, можно получить первую сторону правильного пятиугольника. Следуя этой инструкции можно узнать о том, как быстро построить пятиугольник с равными сторонами, продолжая построение остальных его сторон подобно первой.

Интересные факты

В пятиугольнике с одинаковыми сторонами диагонали равны и образуют пятиконечную звезду, которая называется пентаграммой. Золотое сечение — это отношение величины диагонали к стороне пентагона.

Пентагон непригоден для полного заполнения плоскости. Использование любого материала в этой форме оставляет промежутки или образует наложения. Хотя природных кристаллов этой формы не существует в природе, но при образовании льда на поверхности гладких медных изделий возникают молекулы в виде пентагона, которые соединены в цепочки.

Наиболее простой способ получить правильный пятиугольник из полоски бумаги — завязать ее узлом и немного придавить. Этот способ полезен для родителей детей-дошкольников, которые хотят научить своих малышей распознавать геометрические фигуры.

Видео

Посмотрите, как можно быстро начертить пятиугольник.

Построение правильного пятиугольника — Сведения, необходимые при выполнении росписи

Первый способ — по данной стороне S с помощью транспортира.

Проводим прямую и откладываем на ней AB = S; принимаем эту линию за радиус и этим радиусом из точек A и В описываем дуги: далее с помощью транспортира строим в этих точках углы в 108°, стороны которых пересекутся с дугами в точках С и D; из этих точек радиусом АВ = 5 описываем дуги, которые пересекутся в Е, и прямыми линиями соединяем точки Л, С, Е, D, В.

Полученный пятиугольник — искомый.

Первый способ построения пятиугольника

Второй способ. Проведем окружность радиусом r. Из точки А циркулем проводим дугу радиуса AM до пересечения в точках В и С с окружностью. Соединяем В и С линией, которая пересечет горизонтальную ось в точке Е.

Затем из точки Е проводим дугу, которая пересечет горизонтальную линию в точке О. Описываем, наконец, из точки F дугу, которая пересечет окружность в точках Н и К. Отложив по окружности расстояние FO = FH = FK пять раз и соединив точки деления линиями, получим правильный пятиугольник.

Второй способ построения пятиугольника

Третий способ. В данный круг вписать правильный пятиугольник. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и МС. Делим радиус АО точкой Е пополам. Из точки Е, как из центра, проводим дугу окружности радиуса ЕМ и засекаем ею диаметр АВ в точке F. Отрезок MF равен стороне искомого правильного пятиугольника. Раствором циркуля, равным MF, делаем засечки N₁, Р₁, Q₁, К₁ и соединяем их прямыми.

Третий способ построения пятиугольника

На рисунке построен шестиугольник по данной стороне.

Построение шестиугольника

Прямой АВ = 5, как радиусом, из точек А и В описываем дуги, которые пересекутся в С; из этой точки тем же радиусом описываем окружность, на которой сторона А В отложится 6 раз.

Шестиугольник ADEFGB — искомый.

«Отделка комнат при ремонте»,
Н.П.Краснов

необходимый минимум информации. Построение правильных многоугольников по заданной стороне

Без изучения техники этого процесса не обойтись. Существует несколько вариантов выполнения работы. Как нарисовать звезду с помощью линейки, помогут понять самые известные методы этого процесса.

Разновидности звезд

Существует множество вариантов внешнего вида такой фигуры, как звезда.

Еще с древних времен пятиконечная ее разновидность использовалась для начертания пентаграмм. Это объясняется ее свойством, которое позволяет сделать рисунок, не отрывая ручки от бумаги.

Существуют также шестиконечные, хвостатые кометы.

Пять вершин традиционно имеет морская звезда. Такой же формы нередко встречаются изображения рождественского варианта.

В любом случае, чтобы нарисовать пятиконечную звезду поэтапно, необходимо прибегнуть к помощи специальных инструментов, так как изображение от руки вряд ли будет выглядеть симметрично и красиво.

Выполнение чертежа

Чтобы понять, как нарисовать ровную звезду, следует осознать суть этой фигуры.

Основой для ее начертания является ломаная линия, концы которой сходятся в начальной точке. Она образовывает правильный пятиугольник — пентагон.

Отличительными свойствами такой фигуры являются возможности вписания ее в окружность, а также окружности в этот многоугольник.

Все стороны пентагона равны между собой. Понимая, как правильно выполнить чертеж, можно осознать суть процесса построения всех фигур, а также разнообразных схем деталей, узлов.

Для достижения такой цели, как нарисовать звезду с помощью линейки, необходимо владеть знаниями о простейших математических формулах, являющихся основополагающими в геометрии. А также потребуется умение считать на калькуляторе. Но самое главное — это логическое мышление.

Работа не является сложной, но она потребует точности и скрупулезности. Потраченные усилия будут вознаграждены хорошим симметричным, а потому и красивым изображением пятиконечной звезды.

Классическая техника

Самый известный способ того, как нарисовать звезду при помощи циркуля, линейки и транспортира, является достаточно несложным.

Для этой методики понадобится несколько инструментов: циркуль или транспортир, линейка, простой карандаш, ластик и лист белой бумаги.

Чтобы понять, как красиво нарисовать звезду, действовать следует последовательно, этап за этапом.

Можно в работе воспользоваться специальными вычислениями.

Расчет фигуры

На этом этапе рисования правильной звезды проступают контуры готовой фигуры.

Если все сделано правильно, полученное изображение будет ровным. Это можно проверить визуально, вращая лист бумаги и оценивая форму. Она будет неизменной при каждом повороте.

Основные контуры наводятся при помощи линейки и простого карандаша более четко. Все вспомогательные линии убираются.

Чтобы понять, как нарисовать звезду поэтапно, следует проводить все действия вдумчиво. В случае ошибки можно подправить рисунок ластиком или провести все манипуляции заново.

Оформление работы

Готовую форму можно украсить самыми разнообразными способами. Главное — не нужно бояться экспериментировать. Фантазия подскажет оригинальный и красивый образ.

Можно разукрасить нарисованную ровную звезду простым карандашом или использовать самые разнообразные цвета и оттенки.

Чтобы разобраться в том, как нарисовать правильную звезду, необходимо придерживаться идеальных линий во всем. Поэтому самый популярный вариант оформления заключается в разделении каждого луча фигуры на две равные части линией, исходящей от вершины до центра.

Можно не разделять стороны звезды линиями. Допускается просто закрасить каждый луч фигуры более темным оттенком с одного бока.

Такой вариант также будет ответом на вопрос о том, как нарисовать правильную звезду, ведь все ее линии будут симметричны.

По желанию при эстетическом оформлении фигуры можно добавить орнамент или другие всевозможные элементы. Добавив кружочки к вершинам, можно получить звезду шерифа. Применив плавную растушевку теневых сторон, можно получить морскую звезду.

Эта техника является самой распространенной, так как без особых усилий позволяет понять, как нарисовать пятиконечную звезду поэтапно. Не прибегая к сложным математическим вычислениям, возможно получить правильное, красивое изображение.

Рассмотрев все способы того, как нарисовать звезду с помощью линейки, можно выбрать для себя более подходящий. Наиболее популярным является геометрический поэтапный метод. Он достаточно несложный и эффективный. Применив фантазию и воображение, можно из полученной правильной, красивой формы создать оригинальную композицию. Вариантов оформления рисунка существует великое множество. Но ведь всегда можно придумать свой собственный, самый необычный и запоминающийся сюжет. Главное — не стоит бояться экспериментировать!

Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 -6, 4-3, 4-5 и 7-2, после чего проводим стороны 5-6 и 3-2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника . Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

1-2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0-1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1-2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину-точку 1 и проводим диаметральную линию 1-4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность . Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4-1 и 3-2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1-2 и 4-3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диаметров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до взаимного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные прямые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересечения с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), производим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вершины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Получим точку 1-вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, проводим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересечение которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые.

Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно производить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэффициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

Уровень сложности: Несложно

1 шаг

Сначала, выбирайте, где разместить центр окружности. Там нужно поставить начальную точку, пусть она называется О. С помощью циркуля вычерчиваем вокруг нее окружность заданного диаметра или радиуса.

2 шаг

Затем проводим две оси через точку О, центр окружности, одна горизонтальная, другая под 90 градусов по отношению к ней – вертикальная. Точки пересечения по горизонтали назовем слева на право А и В, по вертикали, сверху вниз – М и Н. Радиус, который лежит на любой оси, например, на горизонтальной в правой части, делим пополам. Это можно сделать так: циркуль с радиусом известной нам окружности устанавливаем острием в точку пересечения горизонтальной оси и окружности – В, отчеркиваем пересечения с окружностью, полученные точки называем, соответственно сверху вниз – С и Р, соединяем их отрезком, который будет пересекать ось ОВ, точку пересечения называем К.

3 шаг

Соединяем точки К и М и получаем отрезок КМ, устанавливаем циркуль в точку М, задаем на нем расстояние до точки К и очерчиваем метки на радиусе ОА, эту точку называем Е, далее ведем циркуль до пересечения с левой верхней частью окружности ОМ. Эту точку пересечения называем F. Расстояние равное отрезку МЕ является искомой стороной равностороннего пятиугольника. При этом точка М будет являться одной вершиной встраиваемого в окружность пятиугольника, а точка F – другой.

4 шаг

Далее из полученных точек по всей окружности отчерчиваем циркулем расстояния, равные отрезку МЕ, всего точек должно получиться 5. Соединяем все точки отрезками – получаем пятиугольник, вписанный в окружность.

При черчении будьте аккуратны в измерениях расстояний, не допускайте погрешностей, чтобы пятиугольник действительно полчился равносторонним

Чем интересна эта фигура? Форму пентагона имеет здание Министерства обороны Соединенных Штатов Америки . Это можно увидеть на фото, сделанных с высоты полета. В природе не существует кристаллов и камней, форма которых напоминала бы пентагон. Только в этой фигуре количество граней совпадает с числом диагоналей.

Параметры правильного пятиугольника

сумма всех углов в многоугольниках равна 360 градусам. В правильном пятиугольнике все углы равны, соответственно, центральный угол находится таким способом: 360/5 = 72 градуса;
внутренний угол находится таким образом: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 градусов. Сумма всех внутренних углов: 108*5 = 540 градусов.

Сторона пентагона находится с помощью параметров, которые уже даны в условии задачи:

если вокруг пятиугольника описана окружность и известен ее радиус, сторона находится по такой формуле: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1,1756*R.
Если известен радиус вписанной в пентагон окружности, то формула расчета стороны многоугольника: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r.
При известной величине диагонали пентагона его сторона рассчитывается таким образом: а = D/1,618.

Площадь пентагона так же , как и его сторона, зависит от уже найденных параметров:

с помощью известного радиуса вписанной окружности площадь находится так: S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r.
описанная вокруг пятиугольника окружность позволяет найти площадь по такой формуле: S = (n*R2*sin α)/2 = 2,3776*R2.
в зависимости от стороны пентагона: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Построение пентагона

Сначала необходимо начертить окружность с центром О, после чего на ней выбрать точку, А — вершину пентагона. От центра к вершине проводится отрезок.
Затем строится перпендикулярная прямой ОА отрезок, который также проходит через О — центр окружности. Его пересечение с окружностью обозначается точкой В. Отрезок О. В. делится пополам точкой С.
Точка С станет центром новой окружности, проходящей через А. Точка D — это ее пересечение с прямой ОВ в границах первой фигуры.
После этого проводится третья окружность через D, центром которой является точка А. Она пересекается с первой фигурой в двух точках, их необходимо обозначить буквами Е и F.
Следующая окружность имеет центр в точке Е и проходит через А, а ее пересечение с первоначальной находится в новой точке G.
Последняя окружность в этом рисунке проводится через точку, А с центром F. На ее пересечении с начальной ставится точка Н.
На первой окружности после всех проделанных шагов появились пять точек, которые необходимо соединить отрезками. Таким образом получился правильный пятиугольник АЕ G Н F.

Cначала необходимо с помощью циркуля нарисовать окружность, центр которой — точка О.
Чертится радиус ОА — отрезок, который откладывается на окружность. Его делят пополам точкой В.
Перпендикулярно радиусу ОА начерчивается отрезок ОС, точки В и С соединяются прямой.
Следующим шагом является отложение длины отрезка ВС с помощью циркуля на диаметральной линии. Перпендикулярно отрезку ОА появляется точка D. Точки В и D соединяются, образуя новый отрезок.
Для того, чтобы получить величину стороны пентагона, необходимо соединить точки С и D.
D с помощью циркуля переносится на окружность и обозначается точкой Е. Соединив Е и С, можно получить первую сторону правильного пятиугольника. Следуя этой инструкции можно узнать о том, как быстро построить пятиугольник с равными сторонами, продолжая построение остальных его сторон подобно первой.

Видео

Посмотрите, как можно быстро начертить пятиугольник.

Толковый словарь Ожегова гласит, что пятиугольник представляет собой ограниченную пятью пересекающимися прямыми, образующими пять внутренних углов, а также любой предмет подобной формы. Если у данного многоугольника все стороны и углы одинаковые, то он называется правильным (пентагоном).

Чем интересен правильный пятиугольник?

Именно в такой форме было построено всем известное здание Минобороны Соединенных Штатов. Из объемных правильных многогранников лишь додекаэдр имеет грани в форме пентагона. А в природе напрочь отсутствуют кристаллы, грани которых напоминали бы собой правильный пятиугольник. Кроме того, эта фигура является многоугольником с минимальным количеством углов, которым невозможно замостить площадь. Только у пятиугольника количество диагоналей совпадает с количеством его сторон. Согласитесь, это интересно!

Основные свойства и формулы

Воспользовавшись формулами для произвольного правильного многоугольника, можно определить все необходимые параметры, которые имеет пентагон.

Центральный угол α = 360 / n = 360/5 =72°.
Внутренний угол β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Соответственно, сумма внутренних углов составляет 540°.
Отношение диагонали к боковой стороне равно (1+√5) /2, то есть (примерно 1,618).
Длина стороны, которую имеет правильный пятиугольник, может быть рассчитана по одной из трех формул, в зависимости от того, какой параметр уже известен:

если вокруг него описана окружность и известен ее радиус R, то а = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
в случае, когда окружность c радиусом r вписана в правильный пятиугольник, а = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
бывает так, что вместо радиусов известна величина диагонали D, тогда сторону определяют следующим образом: а ≈ D/1,618.

Площадь правильного пятиугольника определяется, опять-таки, в зависимости от того, какой параметр нам известен:
если имеется вписанная или описанная окружность, то используется одна из двух формул:

S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r либо S = (n*R 2 *sin α)/2 ≈ 2,3776*R 2 ;

площадь можно также определить, зная лишь длину боковой стороны а:

S = (5*a 2 *tg54°)/4 ≈ 1,7205* a 2 .

Правильный пятиугольник: построение

Данную геометрическую фигуру можно построить по-разному. Например, вписать его в окружность с заданным радиусом либо построить на базе заданной боковой стороны. Последовательность действий была описана еще в «Началах» Евклида примерно 300 лет до н.э. В любом случае, нам понадобятся циркуль и линейка. Рассмотрим способ построения с помощью заданной окружности.

1. Выберите произвольный радиус и начертите окружность, обозначив ее центр точкой O.

2. На линии окружности выберите точку, которая будет служить одной из вершин нашего пятиугольника. Пусть это будет точка А. Соедините точки О и А прямым отрезком.

3. Проведите прямую через точку О перпендикулярно к прямой ОА. Место пересечения этой прямой с линией окружности обозначьте, как точку В.

4. На середине расстояния между точками О и В постройте точку С.

5. Теперь начертите окружность, центр которой будет в точке С и которая будет проходить через точку А. Место ее пересечения с прямой OB (оно окажется внутри самой первой окружности) будет точкой D.

6. Постройте окружность, проходящую через D, центр которой будет в А. Места ее пересечения с первоначальной окружностью нужно обозначить точками Е и F.

7. Теперь постройте окружность, центр которой будет в Е. Сделать это надо так, чтобы она проходила через А. Ее другое место пересечения оригинальной окружности нужно обозначить

8. Наконец, постройте окружность через А с центром в точке F. Обозначьте другое место пересечения оригинальной окружности точкой H.

9. Теперь осталось только соединить вершины A, E, G, H, F. Наш правильный пятиугольник будет готов!

Как начертить пятиугольник с помощью транспортира

Первый способ — по данной стороне S с помощью транспортира.

Первый способ построения пятиугольника

Второй способ построения пятиугольника

Третий способ построения пятиугольника

На рисунке построен шестиугольник по данной стороне.

Построение шестиугольника

«Отделка комнат при ремонте»,
Н.П.Краснов

Мы уже говорили, что для исполнения некоторых видов малярных работ необходимо уметь рисовать. А умение рисовать, в свою очередь, предполагает знание правил построения геометрических фигур. Эскизы на бумаге вычерчивают при помощи треугольников, рейсшин, транспортаpa и циркуля, а на плоскости стен и потолков построения выполняются при помощи веска, линейки, деревянного циркуля и шнура. При этом надо…

Прямой угол, т. е. равный 90°, образуется двумя взаимно перпендикулярными линиями. Перпендикуляр строится следующим образом. Опустить перпендикуляр. Из данной точки С (лежащей вне прямой), как из центра, произвольным радиусом описываем дугу так, чтобы она пересекла данную прямую в двух точках D и Е из этих точек, как из центров, одинаковыми радиусами описываем дуги, чтобы они…

Построение угла, равного данному Угол, равный данному, строится следующим образом. Из вершины А данного угла произвольным радиусом проводим дугу тем же радиусом из точки D на данной прямой описываем дугу EF; величину дуги ВС откладываем по дуге EF до точки F и проводим DE. Угол EDF — искомый. Построение угла, равного данному Параллельные линии Линии,…

Деление прямых линий и углов может быть произведено двояким образом: на глаз и с помощью геометрического построения. При делении прямой на две равные части поступают следующим образом. Половину данной прямой берут циркулем на глаз и откладывают эту половину от обоих концов прямой. Если концы половинок сходятся, то, значит, данная прямая разделена правильно, если нет, то…

Маляру часто приходится иметь дело с правильными многоугольниками, а также треугольниками и четырехугольниками, т. е. такими фигурами, у которых все стороны и, соответственно, углы равны между собой. Может встретиться необходимость построить правильный многоугольник по данной стороне, или вписать правильный многоугольник в окружность данного радиуса, или описать его вокруг окружности. Первый вопрос сводится к нахождению внутреннего…

Последние события

Раскраски к Хеллоуину для мальчиков

Коллекция раскрасок к Хеллоуину

Скоро Хеллоуин. Праздник страшилка, праздник пугалка. Не зря его так любят дети всех стран.

На сайте я уже как-то выкладывала подборку раскрасок к Хеллоуину.

Осень. Деревья и листья

Как выглядят деревья осенью? Рассмотрите картинки и раскрасьте осенние листики.

Кто такие мишки Гамми?

Посмотрите с детьми этот мультсериал про мишек Гамми, затем скачайте раскраски и раскрасьте героев.

Несколько раскрасок для самых маленьких

Совсем простенькие раскраски с крупными деталями для самых маленьких художников.

Осеннее настроение. Раскраски

В разгаре золотая осень. В этом году она в наших краях как никогда поздняя и ослепительно красивая.

Рассказы про осень. Читаем и раскрашиваем картинки

Архив

Как нарисовать правильную звездочку?

Как нарисовать правильный пятиугольник?

Как разделить круг на пять равных частей?

На все эти вопросы вы сможете найти ответ, если проделаете вслед за мной вот эти шаги.

Конечно же, нам понадобится циркуль с карандашом и линейка.

Для начала нарисуйте циркулем круг.

Разделите его на четыре части линиями сверху вниз и справа налево.

А отрезок, соединяющий центр и точку на окружности, называется радиус.

С помощью линейки измерьте и разделите пополам один из радиусов.

У меня это отрезок слева от центра.

Серединку радиуса я обозначила

Нам понадобится точка сверху окружности.

Ее я обозначила цифрой 0.

Устанавливаем иголку циркуля

в точку 1, а карандашик в точку 0.

Рисуем дугу до пересечения с горизонтальным диаметром.

Обозначаем точку пересечения

Сейчас устанавливаем иголку циркуля

в точку 0, а карандашик в точку 2.

И рисуем дугу до пересечения с окружностью, причем с двух сторон.

Точки пересечения помечены

Не меняя ширину циркуля, устанавливаем иголку

в точку 3 и отмеряем кусочек окружности.

Точку 6 можно отмерить и от

точки 5 и от точки 4.

Главное, не изменять ширину (раствор) ножек циркуля.

Вот, практически и все.

Если соединим точки, получим правильный пятиугольник.

Как выглядит пятиугольник и звезда

Внизу на фото разберем, как нарисовать звезду поэтапно.
Для начала рисуем окружность с центром О.

Дальше отложим отрезок OA равный радиусу и разделим его пополам точкой B, как показано на фото внизу.

Теперь от точки В до точки С проведем прямую.

И отрезок DB. Картинка внизу.

Дальше, проведя линию от точки D к точке С, Мы получи длину равную стороне пятиугольника.

Дальше этот отрезок можно отложить на окружности. У нас появилась точка Е. Смотрим фото ниже.

Итак, одна из сторон пятиугольника у нас есть, это линия ЕС.

Такие же отрезки наносим на всей части круга. Смотрим картинку.

Пятиугольник — Картины и живопись художников. Графика и галереи.

Циркуль
Карандаш
Линейка
Резинка

Как выглядит пятиугольник и звезда

Внизу на фото разберем, как нарисовать звезду поэтапно.
Для начала рисуем окружность с центром О.

Дальше отложим отрезок OA равный радиусу и разделим его пополам точкой B, как показано на фото внизу.

Теперь от точки В до точки С проведем прямую.

И отрезок DB. Картинка внизу.

Дальше, проведя линию от точки D к точке С, Мы получи длину равную стороне пятиугольника.

Дальше этот отрезок можно отложить на окружности. У нас появилась точка Е. Смотрим фото ниже.

Итак, одна из сторон пятиугольника у нас есть, это линия ЕС.

Такие же отрезки наносим на всей части круга. Смотрим картинку.

Как начертить пятиугольник с помощью циркуля. Правильный пятиугольник. Получение с помощью полоски бумаги

Если под руками нет циркуля, то можно нарисовать простую звезду с пятью лучами затем просто соединить эти лучи. как видим на картинке ниже получается абсолютно правильный пятиугольник.

Математика сложная наука и у нее много своих секретиков, некоторые из них весьма забавны. Если вы увлекаетесь такими вещами советую найти книгу Забавная математика.

Окружность можно нарисовать не только при помощи циркуля. Можно, например, использовать карандаш и нитку. Отмеряем нужный диаметр на нитке. Один конец плотно зажимаем на листе бумаги, где будем чертить окружность. А на другой конец нитки устанавливаемые карандаш и одержим. Теперь действует как с циркулем: натягиваем нить и по окружности слегка надавливая карандашом чкртим окружность.

Внутри окружности рисуем крестьян от центра: вертикальная линия и горизонтальная линия. Точка пересечения вертикальной линии и окружности будет вершиной пятиугольника (точка 1). Теперь правую половину горизонтальной линии делим пополам (точка 2). Измеряем расстояние от этой точки до вершины пятиугольника и этот отрезок откладывает влево от точки 2 (точка 3). При помощи нитки и карандаша проводим от точки 1 радиусом до точки 3 дугу, пересекающую первую окружность слева и справа — точки пересечения будут вершинами пятиугольника. Обозначим их точка 4 и 5.

Теперь от точки 4 делаем дугу, пересекающую окружность в нижней части, радиусом равной длине от точки 1 до 4 — это будет точкой 6. Точно так же и от точки 5 — обозначим точкой 7.

Остатся соединить наш пятиугольник с вершинами 1, 5, 7, 6, 4.

Я знаю как построить простой пятиугольник с помощью циркуля: Строим окружность, отмечаем пять точек, соединяем их. Можно построить пятиугольник с равными сторонами, для этого нам еще понадобится транспортир. Просто те же самые 5 точек ставим по транспортиру. Для этого отмечаем углы по 72 градуса. После чего также соединяем отрезками и получаем нужную нам фигуру.

Зеленую окружность можно чертить произвольным радиусом. В эту окружность будем вписывать правильный пятиугольник. Без циркуля начертить точно окружность нельзя, но это не обязательно. Окружность и все дальнейшие построения можно выполнять от руки. Далее через центр окружности О нужно провести две взаимно перпендикулярные прямые и одну из точек пересечения прямой с окружностью обозначить А. Точка А будет вершиной пятиугольника. Радиус ОВ разделим пополам и поставим точку С. Из точки С проводим вторую окружность радиусом АС. Из точки А проводим третью окружность радиусом АD. Точки пересечения третьей окружности с первой (Е и F)будут также вершинами пятиугольника. Из точек Е и F радиусом АЕ делаем засечки на первой окружности и получаем остальные вершины пятиугольника G и H.

Адептам черного искусства: что бы просто, красиво и быстро нарисовать пятиугольник, следует начертить правильную, гармоничную основу для пентаграммы (пятиконечная звезда) и соединить окончания лучей этой звезды посредством прямых, ровных линий. Если все было сделано верно — соединительная черта вокруг основы и будет искомым пятиугольником.

(на рисунке — завершенная, но незаполненная пентаграмма)

Для тех, кто неуверен в правильности начертания пентаграммы: возьмите за основу витрувианского человека Да Винчи (см. ниже)

Если нужен пятиугольник — тыкаете произвольным образом 5 точке и их внешний контур будет пятиугольником.

Если нужен правильный пятиугольник, то без математического циркуля это построение совершить невозможно, поскольку без него нельзя провести два одинаковых, но не параллельных отрезка. Любой другой инструмент, который позволяет провести два одинаковых, но не параллельных отрезка эквивалентен математическому циркулю.

Сначала надо надо начертить круг, потом направляющие, потом второй пунктирный круг, находим верхнюю точку, потом отмеряем два угла верхние, от них чертим нижние. Заметьте, радиус циркуля один и тот же при всем построении.

Вс зависит от того, какой пятиугольник вам необходим. Если любой, то ставите пять точек и соединяете их между собой(естествено точки ставим не по прямой линии). А если нужен пятиугольник правильно формы, возьмите любые пять по длине(полосок бумаги, спичек, карандашей и т.п), выложите пятиугольник и обчертите его.

Пятиугольник можно начертить, к примеру, из звезды. Если умеете чертить звезду, но не умеете пятиугольник, начертите звезду карандашом, затем соедините между собой соседние концы звезды, а саму звезду потом сотрите.

Второй способ. Вырежьте полосочку из бумаги, длиной, равной желаемой стороне пятиугольника, а шириной узкой, допустим 0.5 — 1 см. Как по шаблону, вырежьте по этой полосочке ещ четыре таких же полосочки, чтобы их получилось всего 5.

Затем положите лист бумаги (лучше его закрепить на столе при помощи четырх кнопок или иголочек). Затем наложите эти 5 полосочек на листок так, чтобы они образовали пятиугольник. Приколите эти 5 полосочек к листку бумаги кнопками или иголочками, чтобы они оставались неподвижными. Затем обведите полученный пятиугольник и снимите эти полосочки с листка.

Если нет циркуля и нужно построить пятиугольник, то я могу посоветовать следующее. Я и сама так строила. Можно начертить правильную пятиконечную звезду. И после этого, чтобы получить пятиугольник, просто нужно соединить все вершины звезды. Вот так и получится пятиугольник. Вот что мы получим

Ровными чрными линии мы соединили вершины звезды и получили пятиугольник.

Эта фигура является многоугольником с минимальным количеством углов, которым невозможно замостить площадь. Только у пятиугольника количество диагоналей совпадает с количеством его сторон. Воспользовавшись формулами для произвольного правильного многоугольника, можно определить все необходимые параметры, которые имеет пентагон. Например, вписать его в окружность с заданным радиусом либо построить на базе заданной боковой стороны.

Как правильно начертить луч и какие принадлежности для черчения вам понадобятся? Возьмите листок бумаги и отметьте в произвольном месте точку. Затем приложите линейку и проведите линию, начиная с указанной точки и до бесконечности. Чтобы начертить ровную линию, нажмите клавишу «Shift»и проведите линию нужной длины. Сразу после начертания откроется вкладка «Формат». Уберите выделение с линии и увидите, что в начале линии появилась точка. Для создания надписи нажмите кнопку «Нарисовать надпись» и создайте поле, где будет находиться надпись.

Первый способ построения пятиугольника считается более «классическим». Получившаяся в результате построения фигура будет правильным пятиугольником. Двенадцатиугольник не является исключением, поэтому его построение будет невозможным без применения циркуля. Задача построения правильного пятиугольника сводится к задаче деления окружности на пять равных частей. Начертить пентаграмму можно с использованием простейших инструментов.

Я долго бился пытаясь этого добиться и самостоятельно найти пропорции и зависимости, но мне этого не удалось. Оказалось, что есть несколько различных вариантов построения правильного пятиугольника, разработанных известными математиками. Инересным моментов является то, что арифметически эту задачу решить только приблизительно точно, поскольку придется использовать иррациональные числа. Зато ее можно решить геометрически.

Деление окружностей. Точки пересечения этих линий с окружностью и являются вершинами квадрата. В окружности радиуса R (Шаг 1) следует провести вертикальный диаметр. В точке сопряжения N прямой и окружности прямая является касательной к окружности.

Получение с помощью полоски бумаги

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника. Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

А на другой конец нитки устанавливаемые карандаш и одержим. Если умеете чертить звезду, но не умеете пятиугольник, начертите звезду карандашом, затем соедините между собой соседние концы звезды, а саму звезду потом сотрите. Затем положите лист бумаги (лучше его закрепить на столе при помощи четырёх кнопок или иголочек). Приколите эти 5 полосочек к листку бумаги кнопками или иголочками, чтобы они оставались неподвижными. Затем обведите полученный пятиугольник и снимите эти полосочки с листка.2}{4}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5

{2}};

Правильный пятиугольник (греч. πενταγωνον ) — геометрическая фигура , правильный многоугольник с пятью сторонами.

Свойства

Додекаэдр — единственный из правильных многогранников , грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
Пентагон — здание Министерства обороны США имеет форму правильного пятиугольника.
Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника.
Пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией 4-симплекса.

См. также

Напишите отзыв о статье «Правильный пятиугольник»

Примечания



По числу сторон

Правильные

Треугольники

Четырёхугольники

См. также



Многоугольники

Звёздчатые многоугольники

Паркеты на плоскости

Правильные многогранники и сферические паркеты

Многогранники Кеплера — Пуансо

Соты

Четырёхмерные многогранники

Отрывок, характеризующий Правильный пятиугольник

Петя не знал, как долго это продолжалось: он наслаждался, все время удивлялся своему наслаждению и жалел, что некому сообщить его. Его разбудил ласковый голос Лихачева.
– Готово, ваше благородие, надвое хранцуза распластаете.
Петя очнулся.
– Уж светает, право, светает! – вскрикнул он.
Невидные прежде лошади стали видны до хвостов, и сквозь оголенные ветки виднелся водянистый свет. Петя встряхнулся, вскочил, достал из кармана целковый и дал Лихачеву, махнув, попробовал шашку и положил ее в ножны. Казаки отвязывали лошадей и подтягивали подпруги.
– Вот и командир, – сказал Лихачев. Из караулки вышел Денисов и, окликнув Петю, приказал собираться.

Быстро в полутьме разобрали лошадей, подтянули подпруги и разобрались по командам. Денисов стоял у караулки, отдавая последние приказания. Пехота партии, шлепая сотней ног, прошла вперед по дороге и быстро скрылась между деревьев в предрассветном тумане. Эсаул что то приказывал казакам. Петя держал свою лошадь в поводу, с нетерпением ожидая приказания садиться. Обмытое холодной водой, лицо его, в особенности глаза горели огнем, озноб пробегал по спине, и во всем теле что то быстро и равномерно дрожало.
– Ну, готово у вас все? – сказал Денисов. – Давай лошадей.
Лошадей подали. Денисов рассердился на казака за то, что подпруги были слабы, и, разбранив его, сел. Петя взялся за стремя. Лошадь, по привычке, хотела куснуть его за ногу, но Петя, не чувствуя своей тяжести, быстро вскочил в седло и, оглядываясь на тронувшихся сзади в темноте гусар, подъехал к Денисову.
– Василий Федорович, вы мне поручите что нибудь? Пожалуйста… ради бога… – сказал он. Денисов, казалось, забыл про существование Пети. Он оглянулся на него.
– Об одном тебя пг»ошу, – сказал он строго, – слушаться меня и никуда не соваться.
Во все время переезда Денисов ни слова не говорил больше с Петей и ехал молча. Когда подъехали к опушке леса, в поле заметно уже стало светлеть. Денисов поговорил что то шепотом с эсаулом, и казаки стали проезжать мимо Пети и Денисова. Когда они все проехали, Денисов тронул свою лошадь и поехал под гору. Садясь на зады и скользя, лошади спускались с своими седоками в лощину. Петя ехал рядом с Денисовым. Дрожь во всем его теле все усиливалась. Становилось все светлее и светлее, только туман скрывал отдаленные предметы. Съехав вниз и оглянувшись назад, Денисов кивнул головой казаку, стоявшему подле него.
– Сигнал! – проговорил он.
Казак поднял руку, раздался выстрел. И в то же мгновение послышался топот впереди поскакавших лошадей, крики с разных сторон и еще выстрелы.
В то же мгновение, как раздались первые звуки топота и крика, Петя, ударив свою лошадь и выпустив поводья, не слушая Денисова, кричавшего на него, поскакал вперед. Пете показалось, что вдруг совершенно, как середь дня, ярко рассвело в ту минуту, как послышался выстрел. Он подскакал к мосту. Впереди по дороге скакали казаки. На мосту он столкнулся с отставшим казаком и поскакал дальше. Впереди какие то люди, – должно быть, это были французы, – бежали с правой стороны дороги на левую. Один упал в грязь под ногами Петиной лошади.
У одной избы столпились казаки, что то делая. Из середины толпы послышался страшный крик. Петя подскакал к этой толпе, и первое, что он увидал, было бледное, с трясущейся нижней челюстью лицо француза, державшегося за древко направленной на него пики.
– Ура!.. Ребята… наши… – прокричал Петя и, дав поводья разгорячившейся лошади, поскакал вперед по улице.
Впереди слышны были выстрелы. Казаки, гусары и русские оборванные пленные, бежавшие с обеих сторон дороги, все громко и нескладно кричали что то. Молодцеватый, без шапки, с красным нахмуренным лицом, француз в синей шинели отбивался штыком от гусаров. Когда Петя подскакал, француз уже упал. Опять опоздал, мелькнуло в голове Пети, и он поскакал туда, откуда слышались частые выстрелы. Выстрелы раздавались на дворе того барского дома, на котором он был вчера ночью с Долоховым. Французы засели там за плетнем в густом, заросшем кустами саду и стреляли по казакам, столпившимся у ворот. Подъезжая к воротам, Петя в пороховом дыму увидал Долохова с бледным, зеленоватым лицом, кричавшего что то людям. «В объезд! Пехоту подождать!» – кричал он, в то время как Петя подъехал к нему.
– Подождать?.. Ураааа!.. – закричал Петя и, не медля ни одной минуты, поскакал к тому месту, откуда слышались выстрелы и где гуще был пороховой дым. Послышался залп, провизжали пустые и во что то шлепнувшие пули. Казаки и Долохов вскакали вслед за Петей в ворота дома. Французы в колеблющемся густом дыме одни бросали оружие и выбегали из кустов навстречу казакам, другие бежали под гору к пруду. Петя скакал на своей лошади вдоль по барскому двору и, вместо того чтобы держать поводья, странно и быстро махал обеими руками и все дальше и дальше сбивался с седла на одну сторону. Лошадь, набежав на тлевший в утреннем свето костер, уперлась, и Петя тяжело упал на мокрую землю. Казаки видели, как быстро задергались его руки и ноги, несмотря на то, что голова его не шевелилась. Пуля пробила ему голову.
Переговоривши с старшим французским офицером, который вышел к нему из за дома с платком на шпаге и объявил, что они сдаются, Долохов слез с лошади и подошел к неподвижно, с раскинутыми руками, лежавшему Пете.
– Готов, – сказал он, нахмурившись, и пошел в ворота навстречу ехавшему к нему Денисову.
– Убит?! – вскрикнул Денисов, увидав еще издалека то знакомое ему, несомненно безжизненное положение, в котором лежало тело Пети.
– Готов, – повторил Долохов, как будто выговаривание этого слова доставляло ему удовольствие, и быстро пошел к пленным, которых окружили спешившиеся казаки. – Брать не будем! – крикнул он Денисову.

Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника.

Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой.

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4, строим стороны 1 — 6, 4 — 3, 4 — 5 и 7 — 2, после чего проводим стороны 5 — 6 и 3 — 2.

Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля. Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, проведённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0 — 1 — 2 равен 30°, то для нахождения стороны 1 — 2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0 — 1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1 — 2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2 — 3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Для построения треугольника намечаем на диаметре вершину точку 1 и проводим диаметральную линию 1 — 4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.

Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4 — 1 и 3 -2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1 — 2 и 4 — 3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра. Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диаметров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до взаимного их пересечения.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник, производим следующие построения. Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вершины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую. Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB. Получим точку 1 -вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Длины сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй — коэффициенты. Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

Правильный пятиугольник — это многоугольник, у которого все пять сторон и все пять углов равны между собой. Вокруг него легко описать окружность. Построить пятиугольник и поможет именно эта окружность.

Инструкция

В первую очередь необходимо построить циркулем окружность. Центр окружности пусть совпадает с точкой O. Проведите оси симметрии перпендикулярные друг другу. В точке пересечения одной из этих осей с окружностью поставьте точку V. Эта точка будет вершиной будущего пятиугольник а. В точке пересечения другой оси с окружностью расположите точку D.

На отрезке OD найдите середину и отметьте в ней точку А. После этого нужно построить циркулем окружность с центром в этой точке. Кроме того, она должна проходить через точку V, то есть, радиусом CV. Точку пересечения оси симметрии и этой окружности обозначьте за В.

После этого при помощи циркуля проведите окружность такого же радиуса, поставив иголку в точку V. Пересечение этой окружности с первоначальной обозначьте как точку F. Эта точка станет второй вершиной будущего правильного пятиугольник а.

Теперь нужно провести такую же окружность через точку Е, но с центром в F. Пересечение только что проведенной окружности с первоначальной обозначьте как точку G. Эта точка так же станет еще одной из вершин пятиугольник а. Аналогичным образом необходимо построить еще один круг. Центр его в G. Точка пересечения его с первоначальной окружностью пусть будет H. Это последняя вершина правильного многоугольника.

У вас должно получиться пять вершин. Остается их просто соединить по линейке. В результате всех этих операций вы получите вписанный в окружность правильный пятиугольник .

Построение правильных пятиугольников можно с помощью циркуля и линейки. Правда, процесс это достаточно длительный, как, впрочем, и построение любого правильного многоугльника с нечетным количеством сторон. Современные компьютерные программы позволяют сделать это за несколько секунд.

Вам понадобится

— компьютер с программой AutoCAD.

Инструкция

Найдите в программе AutoCAD верхнее меню, а в нем — вкладку «Главная». Нажмите на нее левой клавишей мыши. Появится панель «Рисование». Появятся разные типы линий. Выберите замкнутую полилинию. Она и представляет собой многоугольник, остается только ввести параметры. AutoCAD. Позволяет рисовать самые разные правильне многоугольники. Число сторон может достигать 1024. Можно использовать и командную строку, в зависимости от версии набрав « _polygon» или «мн.-угол».

Вне зависимости от того, пользуетесь ли вы командной строкой или контекстными меню, на экране у вас появится окошко, в которое предлагается ввести количество сторон. Введите туда цифру «5» и нажмите Enter. Вам будет предложено определить центр пятиугольника. Вбейте в появившееся окошко координаты. Можно обозначить их как (0,0), но могут быть и любые другие данные.

Выберите нужный способ построения. . AutoCAD предлагает три варианта. Пятиугольник может быть описанным вокруг окружности или вписанным в нее, но можно построить его и по заданному размеру стороны. Выберите нужный вариант и нажмите на ввод. В случае необходимости задайте радиус окружности и тоже нажмите enter.

Пятиугольник по заданной стороне сначала строится точно так же. Выберите «Рисование», замкнутую полилинию и введите число сторон. Правой клавишей мыши вызовите контекстное меню. Нажмите команду «edge” или «сторона”. В командной строке наберите координаты начальной и конечной точек одной из сторон пятиугольника. После этого пятиугольник появится на экране.

Все операции можно выполнять с помощью командной строки. Например, для построения пятиугольника по стороне в русскоязычной версии программы введите букву «с». В англоязычной версии это будет «_e”. Чтобы построить вписанный или описанный пятиугольник, введите после определения количества сторон буквы «о» или «в» (либо же английские «_с» или «_i»)

Таким нехитрым способом можно построить не только пятиугольник. Для того чтобы построить треугольник, необходимо разведите ножки циркуля на расстояние, равное радиусу окружности. Затем в любую точку установите иглу. Проведите тонкую вспомогательную окружность. Две точки пересечения окружностей, а так же точка, в которой была ножка циркуля образуют три вершины правильного треугольника.

Как сделать правильный пятиугольник с помощью циркуля. Как построить и нарисовать правильный пятиугольник по окружности. Построение правильных многоугольников по заданной стороне

Инструкция

Вам понадобится

— компьютер с программой AutoCAD.

Инструкция

Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника.

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4, строим стороны 1 — 6, 4 — 3, 4 — 5 и 7 — 2, после чего проводим стороны 5 — 6 и 3 — 2.

Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Длины сторон правильных вписанных многоугольников.

{2}};

Свойства

Додекаэдр — единственный из правильных многогранников , грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
Пентагон — здание Министерства обороны США имеет форму правильного пятиугольника.
Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника.
Пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией 4-симплекса.

См. также

Напишите отзыв о статье «Правильный пятиугольник»

Примечания

\frac{{t^2 \sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{4} = \frac{5R^2}{4}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5



По числу сторон

Правильные

Треугольники

Четырёхугольники

См. также



Многоугольники

Звёздчатые многоугольники

Паркеты на плоскости

Правильные многогранники и сферические паркеты

Многогранники Кеплера — Пуансо

Соты

Четырёхмерные многогранники

Отрывок, характеризующий Правильный пятиугольник

8 июня 2011

Первый способ — по данной стороне S с помощью транспортира.

Третий способ. В данный круг вписать правильный пятиугольник. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и МС. Делим радиус АО точкой Е пополам. Из точки Е, как из центра, проводим дугу окружности радиуса ЕМ и засекаем ею диаметр АВ в точке F. Отрезок MF равен стороне искомого правильного пятиугольника. Раствором циркуля, равным MF, делаем засечки N 1 , Р 1 , Q 1 , К 1 и соединяем их прямыми.

На рисунке построен шестиугольник по данной стороне.

«Отделка комнат при ремонте»,
Н.П.Краснов

Первый способ построения. Проводим горизонтальную (АВ) и вертикальную (CD) оси и из точки их пересечения М откладываем в соответствующем масштабе полуоси. Наносим малую полуось от точки М на большой оси до точки Е. Эллипс, первый способ построения Делим BE на 2 части и одну наносим от точки М на большой оси (до F или H)…

Основанием для нанесения росписи служат полностью законченные окраской поверхности стен, потолков и других конструкций; роспись делается по высококачественным клеевым и масляным окраскам, сделанным под торцовку или флейц. Приступая к разработке эскиза отделки, мастер должен ясно представить себе всю композицию в бытовой обстановке и отчетливо осознать творческий замысел. Только при соблюдении этого основного условия можно правильно…

Обмер выполненных работ, за исключением особо оговоренных случаев, производится по площади действительно обработанной поверхности с учетом ее рельефа и за вычетом необработанных мест. Для определения действительно обработанных поверхностей при малярных работах следует пользоваться переводными коэффициентами, приведенными в таблицах. А. Деревянные оконные устройства (обмер производится по площади проемов по наружному обводу коробок) Наименование устройств Коэффициент при…

Положительный пятиугольник – это многоугольник, у которого все пять сторон и все пять углов равны между собой. Вокруг него легко описать окружность. Возвести пятиугольник и поможет именно эта окружность.

Инструкция

1. В первую очередь нужно возвести циркулем окружность. Центр окружности пускай совпадает с точкой O. Проведите оси симметрии перпендикулярные друг другу. В точке пересечения одной из этих осей с окружностью поставьте точку V. Эта точка будет вершиной грядущего пятиугольник а. В точке пересечения иной оси с окружностью расположите точку D.

2. На отрезке OD обнаружьте середину и подметьте в ней точку А. Позже этого надобно возвести циркулем окружность с центром в этой точке. Помимо того, она должна проходить через точку V, то есть, радиусом CV. Точку пересечения оси симметрии и этой окружности обозначьте за В.

3. Позже этого при помощи циркуля проведите окружность такого же радиуса, поставив иголку в точку V. Пересечение этой окружности с изначальной обозначьте как точку F. Эта точка станет 2-й вершиной грядущего верного пятиугольник а.

4. Сейчас необходимо провести такую же окружность через точку Е, но с центром в F. Пересечение только что проведенной окружности с изначальной обозначьте как точку G. Эта точка так же станет еще одной из вершин пятиугольник а. Аналогичным образом нужно возвести еще один круг. Центр его в G. Точка пересечения его с изначальной окружностью пускай будет H. Это последняя вершина верного многоугольника.

5. У вас должно получиться пять вершин. Остается их легко объединить по линейке. В итоге всех этих операций вы получите вписанный в окружность положительный пятиугольник .

Построение положительных пятиугольников дозволено с поддержкой циркуля и линейки. Правда, процесс это довольно долгий, как, однако, и построение всякого положительного многоугльника с нечетным числом сторон. Современные компьютерные программы разрешают сделать это за несколько секунд.

Вам понадобится

– компьютер с программой AutoCAD.

Инструкция

1. Обнаружьте в программе AutoCAD верхнее меню, а в нем — вкладку «Основная». Нажмите на нее левой клавишей мыши. Появится панель «Рисование». Появятся различные типы линий. Выберите замкнутую полилинию. Она и представляет собой многоугольник, остается только ввести параметры. AutoCAD. Дозволяет рисовать самые различные правильне многоугольники. Число сторон может добиваться 1024. Дозволено применять и командную строку, в зависимости от версии набрав « _polygon» либо «мн.-угол».

2. Вне зависимости от того, пользуетесь ли вы командной строкой либо контекстными меню, на экране у вас появится окошко, в которое предлагается ввести число сторон. Введите туда цифру «5» и нажмите Enter. Вам будет предложено определить центр пятиугольника. Вбейте в появившееся окошко координаты. Дозволено обозначить их как (0,0), но могут быть и всякие другие данные.

3. Выберите необходимый метод построения. . AutoCAD предлагает три варианта. Пятиугольник может быть описанным вокруг окружности либо вписанным в нее, но дозволено возвести его и по заданному размеру стороны. Выберите надобный вариант и нажмите на ввод. В случае необходимости задайте радиус окружности и тоже нажмите enter.

4. Пятиугольник по заданной стороне вначале строится верно так же. Выберите «Рисование», замкнутую полилинию и введите число сторон. Правой клавишей мыши вызовите контекстное меню. Нажмите команду «edge” либо «сторона”. В командной строке наберите координаты исходной и финальной точек одной из сторон пятиугольника. Позже этого пятиугольник появится на экране.

5. Все операции дозволено исполнять с поддержкой командной строки. Скажем, для построения пятиугольника по стороне в русскоязычной версии программы введите букву «с». В англоязычной версии это будет «_e”. Дабы возвести вписанный либо описанный пятиугольник, введите позже определения числа сторон буквы «о» либо «в» (либо же английские “_с” либо “_i”)

Видео по теме

Полезный совет
Таким нехитрым методом дозволено возвести не только пятиугольник. Для того дабы возвести треугольник, нужно разведите ножки циркуля на расстояние, равное радиусу окружности. После этого в всякую точку установите иглу. Проведите тонкую вспомогательную окружность. Две точки пересечения окружностей, а так же точка, в которой была ножка циркуля образуют три вершины положительного треугольника.

Печатные инструкции по построению пятиугольника, вписанного в заданный круг.

После этого	Ваша работа должна выглядеть так
Начинаем с данного круга, центр О. Примечание: Если вам не дали центр, вы можете найти его, используя метод, показанный на Нахождение центра круга с помощью циркуля и линейки.
1. Проведите диаметр круга через центральную точку и отметьте его конечные точки C и M.Он не обязательно должен быть вертикальным.
2. Постройте перпендикуляр к CM в точке O. Для получения дополнительной информации см. Построение перпендикуляра в точке на линии.
3. Отметьте точку S, где она пересекает круг.
4. Найдите середину L отрезка SO, построив его серединный перпендикуляр. Для получения дополнительной информации см. Построение серединного перпендикуляра отрезка прямой.
5. Установите циркуль на L, отрегулируйте его ширину на S или O и нарисуйте круг.
6. Проведите линию от M через L так, чтобы она пересекала маленький кружок в двух местах. Обозначьте их N и P.
7. Установите циркуль на M и отрегулируйте его ширину на P.
8. Нарисуйте широкую дугу, пересекающую заданный круг в двух местах. Обозначьте их A и E.
9. Установите циркуль на M и отрегулируйте его ширину на N.
10. Нарисуйте широкую дугу, пересекающую заданный круг в двух местах. Обозначьте их B и D.
11. Проведите линию от A до B, затем от B до C и т. Д., Пока не проведете все пять сторон пятиугольника.
Готово. ABCDE — правильный пятиугольник, вписанный в данную окружность.

Как нарисовать идеальный пятиугольник

Используя несколько простых математических и геометрических инструментов, мы покажем вам , как нарисовать идеальный пятиугольник . Не нужно сходить с ума или тратить два ластика целиком. Получение пятиугольника , где каждая сторона равна с углами, которые соприкасаются, возможно, как мы объясним ниже.

Следующие шаги:

Первый шаг, чтобы нарисовать идеальный пятиугольник , — это отметить точку в центре вашего листа. Поместите циркуль в точку и нарисуйте идеальный круг. Если у вас есть время, вот и другие способы нарисовать круг.

Используя центральную точку и транспортир, разделите круг на 5 точек. В круге 360 °, а 360/5 = 72 °. Итак, вы должны отмечать точку через каждые 72 градуса. Чтобы получить правильное измерение, используйте транспортир, чтобы получить точный размер для вашего пятиугольника .

Соединить каждую соседнюю точку. Теперь у вас есть пятиугольник.

Если вы хотите нарисовать пентаграмму вместо пятиугольника: вместо того, чтобы соединять соседние точки вместе, вы должны соединить каждую точку с двумя противоположными точками.

Сотрите круг, если он вам больше не нужен в качестве ориентира.

Можно также нарисовать пятиугольник с помощью циркуля и линейки, если дан круг. Это будет полезно для определенных упражнений, а также может применяться, когда вам не нужно иметь определенный размер для боков.

Нарисуйте круг, радиус циркуля — A, а центр — A B.
Нарисуйте второй круг с тем же радиусом, с центром на A.
Пересечение обоих кругов будет C.
Проведите линейкой прямую линию через точки A и C.
Нарисуйте еще одну прямую линию через B и C.
Эта вторая линия даст вам пересечение с первой окружностью, которая будет D.
Проведите прямую линию от A до D.
Это создаст третье пересечение между вторым кругом и этой последней линией. Это будет перекресток E.
Установите циркуль на расстоянии между C и E и нарисуйте круг с центром в B.
Этот третий круг будет пересекать первую прямую линию. Это пересечение будет F.
Нарисуйте исходный круг еще раз.
Установите циркуль на расстояние между E и F. Это даст вам длину кромки идеального пятиугольника.
С помощью циркуля нарисуйте линии заданной длины.
Объедините каждую отметку, которую вы создали с помощью компаса. Теперь у вас есть пятиугольник.

Этот метод может быть более сложным, но он точен на 100% и даст вам идеальный пятиугольник.

Если вы хотите прочитать статьи, похожие на статью Как нарисовать идеальный пятиугольник , мы рекомендуем вам посетить нашу категорию «Ремесла и досуг».

Matematicas Visuales | Рисование правильного пятиугольника с линейкой и циркулем

Если мы начнем с сегмента, мы сможем нарисовать правильный пятиугольник, используя только линейку и циркуль, у которого этот сегмент является одной стороной.

Мы уже знаем, что диагональ правильного пятиугольника находится в золотом сечении по отношению к его сторонам и что золотое сечение обозначается как и его значение:

Это основной шаг:

Тогда значение a равно:

Затем мы можем нарисовать отрезок, длина которого равна диагонали правильного пятиугольника:

А можно закончить работу и получить правильный пятиугольник:

Нарисовав двенадцать пятиугольников, мы получим сетку додекаэдра:

БОЛЬШЕ ССЫЛКИ

Демонстрация теоремы Пифагора, вдохновленная Евклидом.

В своей книге «Underweysung der Messung» Дюрер нарисовал неправильный пятиугольник с линейкой и неподвижным циркулем. Это простая конструкция, очень хорошо напоминающая правильный пятиугольник.

Золотой прямоугольник состоит из квадрата и другого золотого прямоугольника.

Золотой прямоугольник состоит из квадрата и другого золотого прямоугольника. Эти прямоугольники связаны расширяющимся вращением.

Золотая спираль — хорошее приближение к равноугольной спирали.

Две равноугольные спирали содержат все вершины золотых прямоугольников.

Двенадцать вершин икосаэдра лежат в трех золотых прямоугольниках. Тогда мы можем вычислить объем икосаэдра

Из трех золотых прямоугольников можно построить икосаэдр.

Некоторые свойства этого платонического тела и его отношение к золотому сечению. Построение додекаэдров разными методами.

Он изучал трансформации изображений, например, лиц.

Дюрер был первым, кто опубликовал на немецком языке метод рисования эллипсов в виде конических сечений.

Дюрер ошибся, объясняя, как рисовать эллипсы. Мы можем доказать, используя только основные свойства, что эллипс не имеет формы яйца.

Первый рисунок плоской сети правильного додекаэдра был опубликован Дрером в его книге «Underweysung der Messung» («Четыре книги измерений»), опубликованной в 1525 году.

Два преобразования равносторонней спирали с одним и тем же общим эффектом.

В равноугольной спирали угол между вектором положения и касательной постоянен.

Леонардо да Винчи сделал несколько рисунков многогранников для книги Луки Пачоли «De divina пропорционально». Здесь мы видим адаптацию додекаэдра.

Расширяющее вращение — это комбинация вращения и растяжения от одной и той же точки.

Эссе 2: Построение правильных многоугольников

Шона Д. Бродерика

Правильные многоугольники — это замкнутые плоские фигуры, состоящие из ребер равной длины и вершин равного размера.Самый простой правильный многоугольник — это равносторонний треугольник, который состоит из трех ребер равной длины и трех углов между каждой парой ребер, составляющих 60 градусов. Три ребра — это наименьшее количество ребер для построения многоугольника, потому что два ребра образуют угол, а одно ребро — сегмент. Полигоны — это замкнутые фигуры. Правильный многоугольник с четырьмя ребрами и есть квадрат. Пять ребер составляют пятиугольник, а шесть — шестиугольник.

Мы исследуем, как построить правильные многоугольники, используя циркуль и линейку, в сравнении с программой динамической геометрии, такой как Sketchpad Geometer.

Сначала рассмотрим построение равностороннего треугольника с помощью линейки и циркуля. Это простейший правильный многоугольник на плоскости. Он состоит из трех сторон.

1. Мы начинаем с рисования произвольной точки A.

2. Затем мы открываем наш компас на фиксированное расстояние и делаем небольшую отметку справа от нашей точки A. Это то место, где в конечном итоге будет наша точка B.

3. Не отрывая циркуль от бумаги, перемещаем конец карандаша вверх и к середине и делаем еще одну отметку.Это будет то место, куда в конечном итоге попадет точка C.

4. Теперь мы помечаем нашу точку B в любом месте отметки. (Почему мы можем отметить его где-нибудь на линии и при этом сохранить определенную длину?)

5. Теперь поместите конец циркуля в точку B и сделайте отметку вверх и до середины, пересекая место, куда пойдет точка C.

6. Отметьте пересечение как точку C.

7. Используя линейку, проведите первую сторону треугольника от A до B.

8. Снова, используя линейку, проведите вторую сторону треугольника от B к С.

9. Нарисуйте последнюю сторону. На этом мы закончили построение равностороннего треугольника.

Теперь мы сравним этот процесс с процессом, который можно использовать для построения равностороннего треугольника в GSP:

1. Начнем с рисования отрезка произвольной длины. Это будет одна из сторон нашего треугольника.

2. Обозначим точки A для левой точки и B для правой точки.

3. Теперь мы построим круг, используя точку B в качестве центра и точку A в качестве края.

4. Затем мы создаем еще один круг, используя точку A в качестве центра и точку B в качестве края.

5. Строим их пересечение и маркируем его точкой C.

6. Строим отрезок AC.

7. Строим отрезок ВС.

8. Если мы скроем наши круги, у нас теперь есть равносторонний треугольник.

1. Почему эти конструкции работают?

2. Что делает этот треугольник равносторонним в любой из сред?

3. Теряем ли мы что-нибудь или получаем что-то, если мы учим студентов делать это, используя один, другой или оба средства?

1 (и часть 2).В классе мы обсуждали, что эти равносторонние треугольники работают, потому что две окружности, которые построены, или отметки из двух окружностей, мы увидим, что сегменты треугольника являются радиусами окружностей. Если круги одинакового размера, то радиусы одинакового размера и их положение таково, что они пересекаются в трех точках (центры кругов и их пересечение). Вот диаграмма, которая может помочь:

Мы начали с одного круга и построили два радиуса. Затем мы отразили круг поперек линии, чтобы получилось два круга.

Мы выберем один круг и объединим его с другим, чтобы показать, как радиусы образуют равносторонний треугольник.

По мере приближения мы видим, что радиусы образуют треугольник.

Поскольку круги слились и теперь имеют общий радиус, образующий основу, мы можем видеть, что, поскольку все радиусы равны, если они перекрываются, образуя основание, а два других соединяются наверху, у нас должен быть равносторонний треугольник.

Остальные части 2. Мы видели, что составляет равносторонний треугольник в GSP, но что касается конструкции из карандаша и бумаги, мы видим, что они такие же, но вместо того, чтобы использовать круги, чтобы показать конгруэнтность радиусов, компас (открытость которого остается постоянной) используется для создания конгруэнтных радиусов.

3. Мы можем немного потерять конструкцию из карандаша и бумаги, потому что круги полностью проиллюстрированы в GSP, а с карандашом и бумагой мы видим только дуги кругов, а равномерное расстояние, созданное компасом, скрыто. Однако я считаю, что оба типа конструкций полезны для того, чтобы у учащихся было более полное представление о конструкциях.

Давайте посмотрим, как построить квадрат. Снова начнем с построения по циркулю и линейке:

1.Мы отмечаем точку А, выставляем циркуль на определенную длину и делаем отметку. Нам нужно сохранить эту длину, поэтому не теряйте ее.

2. Мы отмечаем точку на отметке компаса, B.

3. Затем мы проводим прямую линию через точку A и точку B.

4. Используя компас при текущих настройках, отметьте отметку слева от точки A и справа от точки B.

5. Если мы хотим сделать квадрат, нам нужно построить перпендикулярные линии, идущие вверх от точек A и B. Итак, чтобы сделать это, нам нужно продлить компас от нашей произвольной длины совсем чуть-чуть.Затем мы размещаем точку на самом левом пересечении и делаем дугу, как показано выше. Затем мы помещаем конец циркуля в точку B и делаем еще одну дугу вокруг точки A, чтобы они пересекались, как показано на рисунке. Повторите этот процесс, чтобы сделать аналогичные дуги вокруг точки B. Начните с точки циркуля на точке A и сделайте дугу вокруг B. Затем поместите точку циркуля на крайнее правое пересечение и сделайте дугу, соединяющуюся с другим. , охватывающую точку B.

6. Сначала сделайте две отметки над точками A и B, используя исходный циркуль произвольной длины.Это будет означать высоту квадрата. Он будет точно такой же длины, как и от A до B, поэтому он будет квадратным. Далее нам нужно выяснить, где будет вершина квадрата. Вот почему мы сделали дуги. Используя линейку, проведите линию от A вверх через две дуги вокруг A и пересеките ее с отметкой сверху. На иллюстрации показано, как это могло теперь выглядеть.

7. Теперь мы закончим построение, проведя перпендикулярную линию вверх от B до отметки и обозначив эту точку пересечения C.Наконец, мы соединяем точку D и точку C, чтобы закончить квадрат.

Теперь мы проиллюстрируем, как можно построить квадрат, используя GSP:

1. Постройте отрезок произвольной длины.

2. Постройте круг, используя A как центр и B как край. В верхней части круга мы отметили расстояние, такое же, как и от A до B.

3.Итак, теперь мы строим перпендикулярную линию через A к отрезку AB. Пересечение этой линии через вершину круга мы обозначим как точка D.

4. Построим перпендикулярную линию через точку D к прямой AD.

5. Затем мы строим еще одну перпендикулярную линию, на этот раз через точку B к прямой AB.

6.Мы обозначаем эту точку C.

.
7. Если мы скроем объекты, которые помогли нам в построении, мы получим построенный квадрат ABCD.
Комментарий:
Похоже, что причина, по которой это работает, аналогична объяснению равностороннего треугольника. Вот несколько эскизов:
Здесь мы имеем тот же тип конструкции, что и у треугольника.Теперь наши радиусы перпендикулярны и имеют одинаковую длину. Это похоже на атрибуты квадрата.
Теперь мы выделяем две точки на одном круге и объединяем их с другим.
Как только они объединятся, мы увидим квадрат. Просто соединяем верхние точки и у нас будет наш квадрат.
Теперь обратим наше внимание на построение пятиугольника с помощью циркуля и линейки. Сначала я понятия не имел, как это сделать, поэтому мне пришлось использовать Интернет.Есть много разных способов построить пятиугольник. Основное внимание в этом эссе уделяется тому, чтобы показать способ сделать это и обсудить, почему этот подход работает. Что за математика стоит за этим?
1. Пятиугольник состоит из круга. Каждая из вершин будет пересекаться с краем круга. Итак, сначала строим круг с помощью циркуля. Далее мы проводим линию по центру круга, разделяя его пополам.
2.Нам нужно построить еще одну линию, разделяющую левую половину круга пополам. На рисунке мы сделали это, разделив пополам угол 180 градусов, идущий вниз по середине круга. Для этого выставляем компас на определенную точку открытия. Мы помещаем конец циркуля в центр круга и делаем отметки на обоих лучах на произвольном расстоянии. Затем мы помещаем конец циркуля в сделанные отметки и делаем еще одну отметку в области, где будет проходить деление угла пополам.Создает X, пересечение которого — это то место, где должен пройти луч круга. Проведите линейкой биссектрису.
3. Следующая цель — построить середину отрезка, который мы только что нарисовали. Для этого мы открываем компас на произвольное расстояние, которое чуть больше, чем приблизительная средняя точка сегмента. Помещаем конец циркуля в центр круга и делаем отметку дуги как на картинке.Затем мы сохраняем измерение компаса как есть и помещаем точку компаса на пересечение сегмента и края круга и делаем аналогичную отметку. Если компас открыт достаточно далеко, дуги должны пересекаться, как показано. Если эти новые пересечения соединены, пересечение обоих сегментов является средней точкой сегмента.
4. Затем соедините середину найденного сегмента с вершиной круга и с пересечением разделительной линии и края круга.Наша следующая цель — разделить пополам угол, образованный отрезком, от центра к краю и средней точки к краю, как показано на рисунке. Используем те же методы, что и в начале. Раскрываем циркуль на произвольную длину, которая меньше длины отрезков угла. Поместив острие циркуля в вершину угла, делаем отметки на отрезках угла. Затем мы немного закрываем циркуль и помещаем его конец на сделанные нами отметки и делаем новые отметки в направлении центра угла.Эти отметки должны пересекаться под биссектрисой угла. Проведена линия биссектрисы угла от вершины угла через точку X до линии, разделяющей круг на две равные части. (На самом деле, как показано на следующем рисунке, вам нужно продлить биссектрису угла за вертикальную линию.)
5. Следующая цель — построить линию, параллельную горизонтальному сегменту, в точке пересечения вертикального сегмента и биссектрисы угла.Это делается путем размещения точки циркуля в вершине угла, разделенного пополам, и разметки угла дугой, как показано. Там, где биссектриса угла пересекает вертикальный сегмент, поместите точку циркуля и сделайте еще одну дугу, как и раньше. Затем мы открываем компас ровно настолько, чтобы переходить от углового сегмента к угловому сегменту на сделанной вами отметке. Затем сделайте еще одну отметку вниз от дуги, которую вы делаете выше, и это пересечение является точкой, где параллельная линия может быть проведена через пересечение биссектрисы угла и вертикальной линии.Давай, сделай так.
6. Соедините точку пересечения нового сегмента и края круга с верхним пересечением вертикальной линии и края круга, и мы построили первую сторону нашего пятиугольника.
7. Теперь нам нужно повторить весь этот процесс, чтобы построить еще три стороны. Четвертую сторону можно соединить с пятой, не делая конструкции.Однако мы все равно делаем его, чтобы убедиться, что фигура построена правильно. Теперь нам просто нужно определиться, с чего начать. Поскольку мы построили сторону, начинающуюся сверху и наклоненную вниз влево, мы делаем наш сегмент, проходящий через центр круга, начиная с последней точки, которую мы только что построили.
8. Повторим этот процесс в другой раз.
9.Повторяем этот процесс еще раз.
10. Теперь мы закончим построением последней стороны, хотя в этом нет необходимости. Теперь у нас есть пятиугольник ABCDE.
Мне также любопытно, что есть математические побочные продукты построения пятиугольника, которые можно наблюдать. Это большой круг на внешней стороне конструкции, прежде чем мы его скроем.Кроме того, внутри пятиугольника есть небольшой круг, если дуги, определяющие середину сегмента, были немного более согласованными. Внутри большого тоже есть маленький пятиугольник. Однако регулярно ли это? Это пропорционально большому пятиугольнику? Если бы конструкция была нарисована идеально, был бы маленький пятиугольник правильным? Означает ли это, что большой пятиугольник не совсем правильный?
Теперь мы покажем тот же процесс, используя GSP:
1.Строим круг произвольной длины. Затем мы проводим линию по центру круга.
2. Затем мы строим перпендикулярную линию к вертикальной линии, проходящей через центр круга. Мы делаем отрезок из только что созданной линии от центра к левому краю. Затем мы строим середину этого отрезка.
3. Оттуда мы проводим линию, соединяющую среднюю точку с вершиной круга.Это создает угол, а затем мы строим биссектрису угла.
4. Мы строим линию, параллельную предыдущей горизонтальной линии, и пересечение новой линии с краем круга является точкой для создания первой стороны нашего пятиугольника. Теперь рисуем эту сторону. Этот процесс будет повторяться с разными цветами, начиная с боковой точки, которую мы только что построили.
5.Теперь повторяем этот процесс для второй стороны бордового цвета.
6. Повторяем этот процесс еще раз с оранжевым.
7. Мы повторяем этот процесс с розовым или темно-синим цветом, каким бы он ни был. На этом этапе мы можем просто соединить последние две стороны, но, поскольку меня интересовала внутренняя геометрия, я повторил процесс еще раз, чтобы посмотреть, поможет ли точность GSP.
8. Кажется, что в середине этого строительства происходит много вещей. Однако пятиугольник, который, как я думал, находится прямо внутри, не так идеально расположен, как я думал.
9. Если мы скроем все тонкие линии, мы увидим наш пятиугольник.
Вопрос:
Почему это работает?
Ответ:
В классе мы обсуждали использование золотого сечения.В пятиугольнике,
отношение длины красной диагонали к длине стороны равно специальному числу.
Мы будем использовать эту демонстрацию, чтобы показать, как конструкция выше представляет собой пятиугольник. Теперь сделаем круг радиуса с одной стороной единицы длины:
Затем мы добавили несколько ярлыков, чтобы облегчить обсуждение:
Во-первых, мы замечаем, что треугольник ABF похож на треугольник AEB .Из этого можно сделать вывод, что:
Тогда через подстановку получаем следующее:
Что дает:
Мы знаем, что фи — это золотое сечение. Таким образом, мы имеем утверждение, что отношение длины диагонали правильного пятиугольника к длине его стороны есть золотое сечение. Теперь посмотрим на нашу конструкцию:
Чтобы обсудить причину, по которой эта конструкция представляет собой пятиугольник, мы используем указанные выше метки.Наша цель — доказать, что отношение диагонали пятиугольника (EF) к стороне (AE) равно фи или золотому сечению, тогда фигура оказывается пятиугольником. Конструкция, изображенная выше, является той же конструкцией, которую мы использовали, за исключением того, что я построил сегмент EO, чтобы облегчить вычисление EF.
Начну с того, что нам дано, что отрезки AO, BO и EO имеют длину 2 единицы. Сегменты BC и CO имеют длину одну единицу, потому что C является средней точкой BO. Если AO равно 2, а CO равно единице, то AC:
Теперь мы можем найти угол ACO с помощью тригонометрии.Следовательно, угол ACO равен:
Таким образом, угол DCO равен половине угла, по определению:
Сегмент DO / 1 равен:
Поскольку мы знаем, что EO равно 2, мы используем теорему Пифагора, чтобы найти ED. Таким образом, ED ² + DO ² = EO ². Итак, имеем:
Следовательно, ED =
Мы умножаем это выражение на 2, чтобы получить длину EF.Итак, EF =
Мы на полпути к нашей цели. Помните, что мы рассчитываем соотношение длины стороны нашей фигуры к длине диагонали. У нас есть диагональ EF. Теперь мы ищем длину стороны, скажем AE. Мы планируем использовать теорему Пифагора, чтобы найти AE. Мы будем использовать уравнение AE ² = ED ² + AD ². Мы знаем ED и можем найти AD с выражением 2 — DO. Следовательно, решаем:
Когда мы находим AE и используем наш калькулятор для получения десятичного приближения, мы получаем AE = 2.35114100917. Десятичное приближение для EF = 3,80422606518. Тогда EF / AE = 1,61803398875. Десятичное приближение для золотого сечения — это то же самое, что и мое приближение для EF / AE. Следовательно, эта конструкция дает правильный многоугольник.
Теперь перейдем к разделу о построении шестиугольника с помощью линейки и циркуля:
1. Начнем с построения круга произвольного размера.
2. Делаем отметку на краю круга с правой стороны.Сохраняя исходный произвольный размер компаса, мы помещаем точку циркуля на эту отметку и отмечаем пересечения круга сверху и снизу.
3. Теперь мы рисуем диаметр круга от верхнего пересечения кругов через центр и продолжаем через противоположный край внизу с помощью нашей линейки.
4. Проделаем то же самое на противоположном перекрестке.
5.Теперь мы можем приступить к построению сторон шестиугольника. Наша первая сторона идет от отмеченной нами правой точки до верхнего пересечения круга.
6. Наша вторая сторона соединяет верхние перекрестки. Но подождите, куда пойдет наша третья сторона?
7. Сделаем нашу третью сторону, построив линию, соединяющую отметки центров наших двух кругов. Если мы продолжим эту линию через другую сторону, у нас будет пересечение слева, которое отмечает точку, где наша третья сторона закончится.Теперь мы можем построить эту третью сторону.
8. Мы рисуем четвертую сторону, начиная с только что созданного пересечения и заканчивая левым нижним пересечением.
9. Наша пятая сторона построена путем соединения нижних перекрестков.
10. Мы закончили конструирование сторон шестиугольника, соединив точки пересечения от правого нижнего до крайней правой отметки.
11.У нас есть шестиугольник!
Хм … Похоже, верх немного криво … Не знаю, почему так получилось. Мы снова спрашиваем, как эта конструкция дает шестиугольник. Связано ли это с умением создавать внутренние или дополнительные углы?
Мы выполняем этот процесс в GSP:
1. Сначала построим круг произвольного размера.
2. Затем мы строим горизонтальную линию от центра круга до края.
3. Затем мы строим еще один круг, используя край первого круга в качестве центра и центр первого круга в качестве края.
4. Затем мы строим линию через центр первого круга и верхнее пересечение обоих кругов.
5. Затем мы строим еще одну линию через центр первой окружности, которая проходит через нижнее пересечение окружностей.
6.Теперь мы готовы нарисовать стороны нашего шестиугольника. Первая сторона начинается от нижнего пересечения обоих кругов и идет к центру второго круга.
7. Вторая сторона идет от нижнего пересечения двух кругов до нижнего пересечения первой линии, которую мы нарисовали, и первого круга.
8. Третья сторона идет от нижнего пересечения первой окружности и первой линии до левого пересечения горизонтальной линии и первой окружности.
9. Четвертая сторона идет от пересечения первой окружности и горизонтальной линии до верхнего пересечения первой окружности и второй линии.
10. Пятая сторона идет от верхнего пересечения первого круга и второй линии до верхнего пересечения обоих кругов.
11. Шестая сторона соединяет пятую сторону с первой стороной, и у нас есть шестиугольник.
12.Когда мы скрываем линии и помечаем вершины, мы получаем чистое изображение нашего построенного шестиугольника.
Теперь мы подошли к вопросу о том, как построить семиугольник. Невозможно построить идеально правильный семиугольник, используя только линейку и циркуль, как мы делали раньше. Итак, мой вопрос: почему это так?
Поскольку это невозможно, я считаю, что сейчас самое время закончить это эссе.
geometry — Как нарисовать правильный пятиугольник с помощью циркуля и линейки
geometry — Как нарисовать правильный пятиугольник с помощью циркуля и линейки — Mathematics Stack Exchange
Сеть обмена стеков
Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.
Посетить Stack Exchange
0
+0
Авторизоваться Зарегистрироваться
Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.
Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу
Кто угодно может задать вопрос
Кто угодно может ответить
Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх
Спросил 4 года, 4 месяца назад
Просмотрено 6к раз
$ \ begingroup $
Я помню, как читал, что Гауссу удалось построить правильный пятиугольник с помощью только циркуля и линейки, но я не помню подробностей того, как он это сделал.Может ли кто-нибудь помочь мне и дать мне инструкции, как это сделать?
Конкан
6,78222 золотых знака1919 серебряных знаков4444 бронзовых знака
Создан 18 янв.
$ \ endgroup $ 4 $ \ begingroup $
Я думаю, что это самый простой способ нарисовать правильный пятиугольник с помощью циркуля и линейки.

Создан 18 янв.
Сейед
8,48544 золотых знака1818 серебряных знаков2929 бронзовых знаков
$ \ endgroup $ $ \ begingroup $
Я не уверен, что это Гаусса, но вот тот, который я использую:
Нарисуйте круг.Пусть центр будет $ O $.
Определите направление как «влево» и проведите линию от центра «влево», пока не коснетесь круга. Это сегмент $ OA $.
Нарисуйте еще один линейный сегмент, на этот раз идущий «вверх» (это совершенно законно — вы должны знать, как построить перпендикулярную линию к сегменту). Это сегмент $ OB $.
Найдите середину $ OA $, назвав ее $ M $.
Розыгрыш $ BM $.
Найдите биссектрису угла $ BMO $ и рисуйте, пока не достигнете $ OB $.Назовите это пересечение $ I $.
Нарисуйте перпендикулярную линию к $ OB $, идущую «влево», пока не коснетесь круга в точке $ C $. $ BC $ теперь представляет собой один линейный сегмент пятиугольника, а остальное относительно просто (просто нарисуйте круг с центром вокруг $ C $, проходящего через $ B $, чтобы получить третью вершину и т. Д.)
Примерно так:
grg
103711 золотой знак88 серебряных знаков1313 бронзовых знаков
Создан 18 янв.
пирог
1,96611 золотых знаков1010 серебряных знаков1919 бронзовых знаков
$ \ endgroup $ $ \ begingroup $
Мне известны только две конструкции.Первое, что я узнал в старшей школе, включает линейку и компас:
Другой я изучил в колледже, когда изучал конструкции только с компасом (Мора-Машерони). По иронии судьбы конструкция, состоящая только из компаса, — одна из самых простых конструкций, которые я когда-либо видел, для нее требуется всего 10 кругов, а отрезки линий на конце являются косметическими.

Создан 19 авг.
$ \ endgroup $ Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript
Ваша конфиденциальность
Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в отношении файлов cookie.
Принимать все файлы cookie Настроить параметры
Эссе 2: Построение правильных многоугольников
Шона Д.Broderick
Правильные многоугольники — это замкнутые плоские фигуры, состоящие из ребер равной длины и вершин равного размера. Самый простой правильный многоугольник — это равносторонний треугольник, который состоит из трех ребер равной длины и трех углов между каждой парой ребер, составляющих 60 градусов. Три ребра — это наименьшее количество ребер для построения многоугольника, потому что два ребра образуют угол, а одно ребро — сегмент. Полигоны — это замкнутые фигуры. Правильный многоугольник с четырьмя ребрами и есть квадрат. Пять ребер составляют пятиугольник, а шесть — шестиугольник.
Мы исследуем, как построить правильные многоугольники, используя циркуль и линейку, в сравнении с программой динамической геометрии, такой как Sketchpad Geometer.
Сначала рассмотрим построение равностороннего треугольника с помощью линейки и циркуля. Это простейший правильный многоугольник на плоскости. Он состоит из трех сторон.
1. Мы начинаем с рисования произвольной точки A.
2. Затем мы открываем наш компас на фиксированное расстояние и делаем небольшую отметку справа от нашей точки A.Это то место, где в конечном итоге будет наша точка B.
3. Не отрывая циркуль от бумаги, перемещаем конец карандаша вверх и к середине и делаем еще одну отметку. Это будет то место, куда в конечном итоге попадет точка C.
4. Теперь мы помечаем нашу точку B в любом месте отметки. (Почему мы можем отметить его где-нибудь на линии и при этом сохранить определенную длину?)
5. Теперь поместите конец циркуля в точку B и сделайте отметку вверх и до середины, пересекая место, куда пойдет точка C.
6. Отметьте пересечение как точку C.
7. Используя линейку, проведите первую сторону треугольника от A до B.
8. Снова, используя линейку, проведите вторую сторону треугольника от B по C.
9. Нарисуйте последнюю сторону. На этом мы закончили построение равностороннего треугольника.
Теперь мы сравним этот процесс с процессом, который можно использовать для построения равностороннего треугольника в GSP:
1. Начнем с рисования отрезка произвольной длины.Это будет одна из сторон нашего треугольника.
2. Обозначим точки A для левой точки и B для правой точки.
3. Теперь мы построим круг, используя точку B в качестве центра и точку A в качестве края.
4. Затем мы создаем еще один круг, используя точку A в качестве центра и точку B в качестве края.
5. Строим их пересечение и маркируем его точкой C.
6. Строим отрезок AC.
7. Строим отрезок ВС.
8. Если мы скроем наши круги, у нас теперь есть равносторонний треугольник.
1. Почему эти конструкции работают?
2. Что делает этот треугольник равносторонним в любой из сред?
3. Теряем ли мы что-нибудь или получаем что-то, если мы учим студентов делать это, используя один, другой или оба средства?
1 (и часть 2). В классе мы обсуждали, что эти равносторонние треугольники работают, потому что две окружности, которые построены, или отметки из двух окружностей, мы увидим, что сегменты треугольника являются радиусами окружностей. Если круги одинакового размера, то радиусы одинакового размера и их положение таково, что они пересекаются в трех точках (центры кругов и их пересечение).Вот диаграмма, которая может помочь:
Мы начали с одного круга и построили два радиуса. Затем мы отразили круг поперек линии, чтобы получилось два круга.
Мы выберем один круг и объединим его с другим, чтобы показать, как радиусы образуют равносторонний треугольник.
По мере приближения мы видим, что радиусы образуют треугольник.
Поскольку круги слились и теперь имеют общий радиус, образующий основу, мы можем видеть, что, поскольку все радиусы равны, если они перекрываются, образуя основание, а два других соединяются наверху, у нас должен быть равносторонний треугольник.
Остальные части 2. Мы видели, что составляет равносторонний треугольник в GSP, но что касается конструкции из карандаша и бумаги, мы видим, что они такие же, но вместо того, чтобы использовать круги, чтобы показать конгруэнтность радиусов, компас (открытость которого остается постоянной) используется для создания конгруэнтных радиусов.
3. Мы можем немного потерять конструкцию из карандаша и бумаги, потому что круги полностью проиллюстрированы в GSP, а с карандашом и бумагой мы видим только дуги кругов, а равномерное расстояние, созданное компасом, скрыто.Однако я считаю, что оба типа конструкций полезны для того, чтобы у учащихся было более полное представление о конструкциях.
Давайте посмотрим, как построить квадрат. Снова начнем с построения с помощью циркуля и линейки:
1. Мы отмечаем точку A, устанавливаем наш циркуль на определенную длину и делаем отметку. Нам нужно сохранить эту длину, поэтому не теряйте ее.
2. Мы отмечаем точку на отметке компаса, B.
3. Затем мы проводим прямую линию через точку A и точку B.
4. Используя циркуль при текущей настройке, сделайте отметку слева от точки A и справа от точки B.
5. Если мы хотим сделать квадрат, нам нужно построить перпендикулярные линии, идущие вверх от точек A и B. Итак, для этого нам нужно немного удлинить циркуль от нашей произвольной длины. Затем мы размещаем точку на самом левом пересечении и делаем дугу, как показано выше. Затем мы помещаем конец циркуля в точку B и делаем еще одну дугу вокруг точки A, чтобы они пересекались, как показано на рисунке.Повторите этот процесс, чтобы сделать аналогичные дуги вокруг точки B. Начните с точки циркуля на точке A и сделайте дугу вокруг B. Затем поместите точку циркуля на крайнее правое пересечение и сделайте дугу, соединяющуюся с другим. , охватывающую точку B.
6. Сначала сделайте две отметки над точками A и B, используя исходный циркуль произвольной длины. Это будет означать высоту квадрата. Он будет точно такой же длины, как и от A до B, поэтому он будет квадратным.Далее нам нужно выяснить, где будет вершина квадрата. Вот почему мы сделали дуги. Используя линейку, проведите линию от A вверх через две дуги вокруг A и пересеките ее с отметкой сверху. На иллюстрации показано, как это могло теперь выглядеть.
7. Теперь мы закончим построение, проведя перпендикулярную линию вверх от B до отметки и обозначив эту точку пересечения C. Наконец, мы соединяем точку D и точку C, чтобы закончить квадрат.
Теперь мы проиллюстрируем, как можно построить квадрат, используя GSP:
1.Постройте отрезок произвольной длины.
2. Постройте круг, используя A как центр и B как край. В верхней части круга мы отметили расстояние, такое же, как и от A до B.
3. Итак, теперь мы построим перпендикулярную линию через A к отрезку AB. Пересечение этой линии через вершину круга мы обозначим точкой D.
4. Построим перпендикулярную линию через точку D к прямой AD.
5. Затем мы строим еще одну перпендикулярную линию, на этот раз через точку B к прямой AB.
6. Мы обозначаем эту точку, C.
7.Если мы скроем объекты, которые помогли нам в строительстве, мы получим построенный квадрат ABCD.
Комментарий:
Похоже, что причина, по которой это работает, аналогична объяснению равностороннего треугольника. Вот несколько эскизов:
Здесь мы имеем тот же тип конструкции, что и у треугольника. Теперь наши радиусы перпендикулярны и имеют одинаковую длину. Это похоже на атрибуты квадрата.
Теперь мы выделяем две точки на одном круге и объединяем их с другим.
Как только они объединятся, мы увидим квадрат. Просто соединяем верхние точки и у нас будет наш квадрат.
Теперь обратим наше внимание на построение пятиугольника с помощью циркуля и линейки. Сначала я понятия не имел, как это сделать, поэтому мне пришлось использовать Интернет. Есть много разных способов построить пятиугольник. Основное внимание в этом эссе уделяется тому, чтобы показать способ сделать это и обсудить, почему этот подход работает.Что за математика стоит за этим?
1. Пятиугольник состоит из круга. Каждая из вершин будет пересекаться с краем круга. Итак, сначала строим круг с помощью циркуля. Далее мы проводим линию по центру круга, разделяя его пополам.
2. Нам нужно построить еще одну линию, разделяющую левую половину круга пополам. На рисунке мы сделали это, разделив пополам угол 180 градусов, идущий вниз по середине круга.Для этого выставляем компас на определенную точку открытия. Мы помещаем конец циркуля в центр круга и делаем отметки на обоих лучах на произвольном расстоянии. Затем мы помещаем конец циркуля в сделанные отметки и делаем еще одну отметку в области, где будет проходить деление угла пополам. Создает X, пересечение которого — это то место, где должен пройти луч круга. Проведите линейкой биссектрису.
3.Следующая цель — построить середину отрезка, который мы только что нарисовали. Для этого мы открываем компас на произвольное расстояние, которое чуть больше, чем приблизительная средняя точка сегмента. Помещаем конец циркуля в центр круга и делаем отметку дуги как на картинке. Затем мы сохраняем измерение компаса как есть и помещаем точку компаса на пересечение сегмента и края круга и делаем аналогичную отметку. Если компас открыт достаточно далеко, дуги должны пересекаться, как показано.Если эти новые пересечения соединены, пересечение обоих сегментов является средней точкой сегмента.
4. Затем соедините середину найденного сегмента с вершиной круга и с пересечением разделительной линии и края круга. Наша следующая цель — разделить пополам угол, образованный отрезком, от центра к краю и средней точки к краю, как показано на рисунке. Используем те же методы, что и в начале.Раскрываем циркуль на произвольную длину, которая меньше длины отрезков угла. Поместив острие циркуля в вершину угла, делаем отметки на отрезках угла. Затем мы немного закрываем циркуль и помещаем его конец на сделанные нами отметки и делаем новые отметки в направлении центра угла. Эти отметки должны пересекаться под биссектрисой угла. Проведена линия биссектрисы угла от вершины угла через точку X до линии, разделяющей круг на две равные части.(На самом деле, как показано на следующем рисунке, вам нужно продлить биссектрису угла за вертикальную линию.)
5. Следующая цель — построить линию, параллельную горизонтальному сегменту, в точке пересечения вертикального сегмента и биссектрисы угла. Это делается путем размещения точки циркуля в вершине угла, разделенного пополам, и разметки угла дугой, как показано. Там, где биссектриса угла пересекает вертикальный сегмент, поместите точку циркуля и сделайте еще одну дугу, как и раньше.Затем мы открываем компас ровно настолько, чтобы переходить от углового сегмента к угловому сегменту на сделанной вами отметке. Затем сделайте еще одну отметку вниз от дуги, которую вы делаете выше, и это пересечение является точкой, где параллельная линия может быть проведена через пересечение биссектрисы угла и вертикальной линии. Давай, сделай так.
6. Соедините точку пересечения нового сегмента и края круга с верхним пересечением вертикальной линии и края круга, и мы построили первую сторону нашего пятиугольника.
7. Теперь нам нужно повторить весь этот процесс, чтобы построить еще три стороны. Четвертую сторону можно соединить с пятой, не делая конструкции. Однако мы все равно делаем его, чтобы убедиться, что фигура построена правильно. Теперь нам просто нужно определиться, с чего начать. Поскольку мы построили сторону, начинающуюся сверху и наклоненную вниз влево, мы делаем наш сегмент, проходящий через центр круга, начиная с последней точки, которую мы только что построили.
8. Повторим этот процесс в другой раз.
9. Повторяем этот процесс еще раз.
10. Теперь мы закончим построением последней стороны, хотя в этом нет необходимости. Теперь у нас есть пятиугольник ABCDE.
Мне также любопытно, что есть математические побочные продукты построения пятиугольника, которые можно наблюдать.Это большой круг на внешней стороне конструкции, прежде чем мы его скроем. Кроме того, внутри пятиугольника есть небольшой круг, если дуги, определяющие середину сегмента, были немного более согласованными. Внутри большого тоже есть маленький пятиугольник. Однако регулярно ли это? Это пропорционально большому пятиугольнику? Если бы конструкция была нарисована идеально, был бы маленький пятиугольник правильным? Означает ли это, что большой пятиугольник не совсем правильный?
Теперь мы покажем тот же процесс, используя GSP:
1.Строим круг произвольной длины. Затем мы проводим линию по центру круга.
2. Затем мы строим перпендикулярную линию к вертикальной линии, проходящей через центр круга. Мы делаем отрезок из только что созданной линии от центра к левому краю. Затем мы строим середину этого отрезка.
3. Оттуда мы проводим линию, соединяющую среднюю точку с вершиной круга.Это создает угол, а затем мы строим биссектрису угла.
4. Мы строим линию, параллельную предыдущей горизонтальной линии, и пересечение новой линии с краем круга является точкой для создания первой стороны нашего пятиугольника. Теперь рисуем эту сторону. Этот процесс будет повторяться с разными цветами, начиная с боковой точки, которую мы только что построили.
5.Теперь повторяем этот процесс для второй стороны бордового цвета.
6. Повторяем этот процесс еще раз с оранжевым.
7. Мы повторяем этот процесс с розовым или темно-синим цветом, каким бы он ни был. На этом этапе мы можем просто соединить последние две стороны, но, поскольку меня интересовала внутренняя геометрия, я повторил процесс еще раз, чтобы посмотреть, поможет ли точность GSP.
8. Кажется, что в середине этого строительства происходит много вещей. Однако пятиугольник, который, как я думал, находится прямо внутри, не так идеально расположен, как я думал.
9. Если мы скроем все тонкие линии, мы увидим наш пятиугольник.
Вопрос:
Почему это работает?
Ответ:
В классе мы обсуждали использование золотого сечения.В пятиугольнике,
отношение длины красной диагонали к длине стороны равно специальному числу.
Мы будем использовать эту демонстрацию, чтобы показать, как конструкция выше представляет собой пятиугольник. Теперь сделаем круг радиуса с одной стороной единицы длины:
Затем мы добавили несколько ярлыков, чтобы облегчить обсуждение:
Во-первых, мы замечаем, что треугольник ABF похож на треугольник AEB .Из этого можно сделать вывод, что:
Тогда через подстановку получаем следующее:
Что дает:
Мы знаем, что фи — это золотое сечение. Таким образом, мы имеем утверждение, что отношение длины диагонали правильного пятиугольника к длине его стороны есть золотое сечение. Теперь посмотрим на нашу конструкцию:
Чтобы обсудить причину, по которой эта конструкция представляет собой пятиугольник, мы используем указанные выше метки.Наша цель — доказать, что отношение диагонали пятиугольника (EF) к стороне (AE) равно фи или золотому сечению, тогда фигура оказывается пятиугольником. Конструкция, изображенная выше, является той же конструкцией, которую мы использовали, за исключением того, что я построил сегмент EO, чтобы облегчить вычисление EF.
Начну с того, что нам дано, что отрезки AO, BO и EO имеют длину 2 единицы. Сегменты BC и CO имеют длину одну единицу, потому что C является средней точкой BO. Если AO равно 2, а CO равно единице, то AC:
Теперь мы можем найти угол ACO с помощью тригонометрии.Следовательно, угол ACO равен:
Таким образом, угол DCO равен половине угла, по определению:
Сегмент DO / 1 равен:
Поскольку мы знаем, что EO равно 2, мы используем теорему Пифагора, чтобы найти ED. Таким образом, ED ² + DO ² = EO ². Итак, имеем:
Следовательно, ED =
Мы умножаем это выражение на 2, чтобы получить длину EF.Итак, EF =
Мы на полпути к нашей цели. Помните, что мы рассчитываем соотношение длины стороны нашей фигуры к длине диагонали. У нас есть диагональ EF. Теперь мы ищем длину стороны, скажем AE. Мы планируем использовать теорему Пифагора, чтобы найти AE. Мы будем использовать уравнение AE ² = ED ² + AD ². Мы знаем ED и можем найти AD с выражением 2 — DO. Следовательно, решаем:
Когда мы находим AE и используем наш калькулятор для получения десятичного приближения, мы получаем AE = 2.35114100917. Десятичное приближение для EF = 3,80422606518. Тогда EF / AE = 1,61803398875. Десятичное приближение для золотого сечения — это то же самое, что и мое приближение для EF / AE. Следовательно, эта конструкция дает правильный многоугольник.
Теперь перейдем к разделу о построении шестиугольника с помощью линейки и циркуля:
1. Начнем с построения круга произвольного размера.
2. Делаем отметку на краю круга с правой стороны.Сохраняя исходный произвольный размер компаса, мы помещаем точку циркуля на эту отметку и отмечаем пересечения круга сверху и снизу.
3. Теперь мы рисуем диаметр круга от верхнего пересечения кругов через центр и продолжаем через противоположный край внизу с помощью нашей линейки.
4. Проделаем то же самое на противоположном перекрестке.
5.Теперь мы можем приступить к построению сторон шестиугольника. Наша первая сторона идет от отмеченной нами правой точки до верхнего пересечения круга.
6. Наша вторая сторона соединяет верхние перекрестки. Но подождите, куда пойдет наша третья сторона?
7. Сделаем нашу третью сторону, построив линию, соединяющую отметки центров наших двух кругов. Если мы продолжим эту линию через другую сторону, у нас будет пересечение слева, которое отмечает точку, где наша третья сторона закончится.Теперь мы можем построить эту третью сторону.
8. Мы рисуем четвертую сторону, начиная с только что созданного пересечения и заканчивая левым нижним пересечением.
9. Наша пятая сторона построена путем соединения нижних перекрестков.
10. Мы закончили конструирование сторон шестиугольника, соединив точки пересечения от правого нижнего до крайней правой отметки.
11.У нас есть шестиугольник!
Хм … Похоже, верх немного криво … Не знаю, почему так получилось. Мы снова спрашиваем, как эта конструкция дает шестиугольник. Связано ли это с умением создавать внутренние или дополнительные углы?
Мы выполняем этот процесс в GSP:
1. Сначала построим круг произвольного размера.
2. Затем мы строим горизонтальную линию от центра круга до края.
3. Затем мы строим еще один круг, используя край первого круга в качестве центра и центр первого круга в качестве края.
4. Затем мы строим линию через центр первого круга и верхнее пересечение обоих кругов.
5. Затем мы строим еще одну линию через центр первой окружности, которая проходит через нижнее пересечение окружностей.
6.Теперь мы готовы нарисовать стороны нашего шестиугольника. Первая сторона начинается от нижнего пересечения обоих кругов и идет к центру второго круга.
7. Вторая сторона идет от нижнего пересечения двух кругов до нижнего пересечения первой линии, которую мы нарисовали, и первого круга.
8. Третья сторона идет от нижнего пересечения первой окружности и первой линии до левого пересечения горизонтальной линии и первой окружности.
9. Четвертая сторона идет от пересечения первой окружности и горизонтальной линии до верхнего пересечения первой окружности и второй линии.
10. Пятая сторона идет от верхнего пересечения первого круга и второй линии до верхнего пересечения обоих кругов.
11. Шестая сторона соединяет пятую сторону с первой стороной, и у нас есть шестиугольник.
12.Когда мы скрываем линии и помечаем вершины, мы получаем чистое изображение нашего построенного шестиугольника.
Теперь мы подошли к вопросу о том, как построить семиугольник. Невозможно построить идеально правильный семиугольник, используя только линейку и циркуль, как мы делали раньше. Итак, мой вопрос: почему это так?
Поскольку это невозможно, я считаю, что сейчас самое время закончить это эссе.
Построение правильных многоугольников
Построение правильных многоугольников
Самый простой в построении правильный многоугольник — шестиугольник.
Чтобы построить шестиугольник, с помощью циркуля начертите круг. Теперь (сохраняя ту же точную настройку компаса), поместите точку компаса на окружность и проведите дугу на окружности. Затем поместите точку циркуля в только что нарисованную дугу и проведите другую дугу. Делайте это, пока не нарисуете шесть дуг. (См. Рисунок 1).
Теперь возьмите линейку и проведите линии от одной дуги к другой. 6 линий, которые вы только что нарисовали, представляют собой сторон правильного шестиугольника.(См. Рисунок 2).
Шестиугольник — это случай only , в котором стороны многоугольника будут точно равны радиусу, но с помощью циркуля, линейки и калькулятора ниже вы можете построить правильные многоугольники с любым числом сторон .
И Н С Т Р У К Т И Я Допустим, мы хотим построить пятиугольник.
Начните с рисования круга с помощью циркуля. (См. Рис. 3)
Радиус не нужно рисовать, но измерьте его как можно точнее.
(Мы измерили радиус 6,70 см.)
Используя калькулятор, мы определяем длину каждой стороны пятиугольника (линия AB), вводя «стороны многоугольника» 5, «radius =» 6,70 и затем нажимая «РАССЧИТАТЬ».
Калькулятор генерирует 3 числа. Для этой конструкции нам понадобится число «polygon side =», равное 7,8765.
Теперь как можно точнее установите ширину циркуля 7,8765 см (хорошо, 7,88 см более чем достаточно), поместите точку циркуля в точку A и проведите дугу в точке B.Затем, продолжая путь от точки B, проложите еще 4 дуги. Используя линейку, проведите стороны многоугольника от одной дуги к другой, и вы только что построили правильный пятиугольник! (см. рисунок 4)
Уравнение, используемое в этом калькуляторе
Допустим, вы хотите построить пятиугольник. Начните с рисования круга.
Глядя на график, нам нужно рассчитать, какой длины будет каждая сторона (красная линия).
Измерьте радиус как можно точнее.(Для этого примера допустим, что это 9,5 см).
Из тригонометрии мы знаем, что
синус (36 °) = ½ стороны ÷ радиус
½ стороны = 0,58779 × 9,5
½ стороны = 5,5840
Следовательно, каждая сторона = 2 * 5,584 = 11,168 см
Итак, уравнение для расчета длины стороны многоугольника:
длина = 2 × радиус × синус (n)
где n = 180 ° ÷ количество сторон многоугольника

Для удобства чтения ответы отображаются в формате «значащих цифр», так что вы , а не , см. Ответы, например 77.3333333333333333.
Числа больше 1000 и меньше 0,001 будут отображаться в экспоненциальном представлении. и с таким же указанием количества значащих цифр. Вы можете изменить значащие цифры, отображаемые изменив номер в поле выше.
Большинство браузеров будут отображать ответы правильно, но есть несколько браузеров, которые вообще не выводят без вывода .
Prev post Кроватки детские своими руками чертежи: Детская кровать своими руками из дерева. 1000 фото, чертежи, пошаговые инструкции
Next post Сделать из кладовки гардеробную фото: 404 - Ошибка: 404
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт

Search for:
Рубрики
Гарнитур
Кухн
Мебел
Направляющ
Разное
Своими руками
Советы
Схем
Установк
Чертеж
Шкаф
2024 © Все права защищены.

Как нарисовать пятиугольник с помощью окружности

Последние события

Раскраски к Хеллоуину для мальчиков

Коллекция раскрасок к Хеллоуину

Осень. Деревья и листья

Кто такие мишки Гамми?

Несколько раскрасок для самых маленьких

Осеннее настроение. Раскраски

Рассказы про осень. Читаем и раскрашиваем картинки

Популярное

Архив

Как выглядит пятиугольник и звезда

Параметры правильного пятиугольника

Построение пентагона

Интересные факты

Видео

Построение правильного пятиугольника — Сведения, необходимые при выполнении росписи

необходимый минимум информации. Построение правильных многоугольников по заданной стороне

Разновидности звезд

Выполнение чертежа

Классическая техника

Расчет фигуры

Оформление работы

1 шаг

2 шаг

3 шаг

4 шаг

Параметры правильного пятиугольника

Построение пентагона

Видео

Как начертить пятиугольник с помощью транспортира

Последние события

Раскраски к Хеллоуину для мальчиков

Коллекция раскрасок к Хеллоуину

Осень. Деревья и листья

Кто такие мишки Гамми?

Несколько раскрасок для самых маленьких

Осеннее настроение. Раскраски

Рассказы про осень. Читаем и раскрашиваем картинки

Популярное

Архив

Как выглядит пятиугольник и звезда

Пятиугольник — Картины и живопись художников. Графика и галереи.

Как выглядит пятиугольник и звезда

Как начертить пятиугольник с помощью циркуля. Правильный пятиугольник. Получение с помощью полоски бумаги

Получение с помощью полоски бумаги

Свойства

См. также

Напишите отзыв о статье «Правильный пятиугольник»

Примечания

Отрывок, характеризующий Правильный пятиугольник

Инструкция

Инструкция

Инструкция

Инструкция

Свойства

См. также

Напишите отзыв о статье «Правильный пятиугольник»

Примечания

Отрывок, характеризующий Правильный пятиугольник

Инструкция

Инструкция

Печатные инструкции по построению пятиугольника, вписанного в заданный круг.

Как нарисовать идеальный пятиугольник

Matematicas Visuales | Рисование правильного пятиугольника с линейкой и циркулем

Эссе 2: Построение правильных многоугольников

geometry — Как нарисовать правильный пятиугольник с помощью циркуля и линейки

Сеть обмена стеков

Эссе 2: Построение правильных многоугольников

Построение правильных многоугольников

Добавить комментарий Отменить ответ