Содержание

ОБЪЁМНЫЕ ТЕЛА И МНОГОГРАННИКИ. - презентация по Геометрии

Презентация на тему: ОБЪЁМНЫЕ ТЕЛА И МНОГОГРАННИКИ.

Скачать эту презентацию

Скачать эту презентацию

№ слайда 1 Описание слайда: № слайда 2 Описание слайда:

Оглянись вокруг себя, и ты всюду обнаружишь объёмные тела. Это такие геометрические фигуры, которые имеют три измерения: длину, ширину и высоту. Например, чтобы представить многоэтажный дом, достаточно сказать: "Этот дом длиной в три подъезда, шириной в два окна и высотой в шесть этажей". Оглянись вокруг себя, и ты всюду обнаружишь объёмные тела. Это такие геометрические фигуры, которые имеют три измерения: длину, ширину и высоту. Например, чтобы представить многоэтажный дом, достаточно сказать: "Этот дом длиной в три подъезда, шириной в два окна и высотой в шесть этажей". Известные тебе из начальной школы прямоугольный параллелепипед и куб полностью описываются тремя измерениями. Все окружающие нас предметы имеют три измерения, но далеко не у всех можно назвать длину, ширину и высоту. Например, для дерева мы можем указать только высоту, для верёвки – длину, для ямы – глубину. А для шара? Имеет ли он тоже три измерения? Мы говорим, что тело имеет три измерения (является объёмным), если в него можно поместить кубик или шарик.

№ слайда 3 Описание слайда:

Тело, которое ограничено плоскими многоугольниками, называется многогранником. Многоугольники, образующие поверхность многогранника, называются гранями. Стороны этих многоугольников — рёбра многогранников. Вершины многоугольников — вершины многогранников.

№ слайда 4 Описание слайда: № слайда 5 Описание слайда:

Грани: Грани: АBСD, АА1В1В, АА1D1D, СС1В1В, СС1D1D, А1В1С1D1 Ребра: АB, ВС, СD, DA, АА1, ВВ1, СС1 , DD1, А1В1 , В1С1, С1D1 , D1A1 Вершины: А, B, С, D, А1, В1, С1, D1

№ слайда 6 Описание слайда:

Многоугольники, как мы уже знаем, бывают выпуклые и невыпуклые. Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей любую сторону многоугольника. А у невыпуклого можно найти такую сторону, что содержащая её прямая "разрежет" многоугольник на части. Многоугольники, как мы уже знаем, бывают выпуклые и невыпуклые. Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей любую сторону многоугольника. А у невыпуклого можно найти такую сторону, что содержащая её прямая "разрежет" многоугольник на части. На рисунке жёлтый многоугольник — выпуклый, а голубой — невыпуклый. Многогранники тоже бывают выпуклыми и невыпуклыми. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от любой плоскости, содержащей любую его грань. А у невыпуклого многогранника можно отыскать такую грань, что проходящая через неё плоскость "разрежет" его на части. Жёлтый многогранник на рисунке — выпуклый. Голубой многогранник — невыпуклый. Под какими номерами на рисунке изображены выпуклые многогранники, а под какими — невыпуклые?

№ слайда 7 Описание слайда: № слайда 8
Описание слайда:

Многогранник справа имеет специальное название: правильная четырёхугольная пирамида. Именно такую форму имеет знаменитая пирамида Хеопса: в её основании лежит квадрат, а боковые грани — равные треугольники. Многогранник справа имеет специальное название: правильная четырёхугольная пирамида. Именно такую форму имеет знаменитая пирамида Хеопса: в её основании лежит квадрат, а боковые грани — равные треугольники. Сколько граней, рёбер и вершин у этого многогранника? Некоторые из фигур на картинке являются многогранниками, а некоторые — нет. Под какими номерами изображены многогранники?

№ слайда 9 Описание слайда:

Еги петские пирами ды — величайшие архитектурные памятники Древнего Египта, среди которых одно из «семи чудес света» — пирамида Хеопса. Пирамиды представляют собой огромные каменные сооружения пирамидальной формы, использовавшиеся в качестве гробниц для фараонов Древнего Египта. Слово «пирамида» — греческое. По мнению одних исследователей, большая куча пшеницы и стала прообразом пирамиды. По мнению других учёных, это слово произошло от названия поминального пирога пирамидальной формы. Всего в Египте около 100 пирамид Еги петские пирами ды — величайшие архитектурные памятники Древнего Египта, среди которых одно из «семи чудес света» — пирамида Хеопса. Пирамиды представляют собой огромные каменные сооружения пирамидальной формы, использовавшиеся в качестве гробниц для фараонов Древнего Египта. Слово «пирамида» — греческое. По мнению одних исследователей, большая куча пшеницы и стала прообразом пирамиды. По мнению других учёных, это слово произошло от названия поминального пирога пирамидальной формы. Всего в Египте около 100 пирамид

№ слайда 10 Описание слайда:

Пирамида это многогранник, одна грань которого является произвольным многоугольником (треугольником, или четырёхугольником, или пятиугольником, или шестиугольником и т.д.), а остальные грани — треугольники с общей вершиной. При этом, одна его грань — произвольный многоугольник — называется основанием, а остальные грани — треугольники с общей вершиной — называются боковыми гранями. Стороны боковых граней называются боковыми рёбрами. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды. Пирамида это многогранник, одна грань которого является произвольным многоугольником (треугольником, или четырёхугольником, или пятиугольником, или шестиугольником и т.д.), а остальные грани — треугольники с общей вершиной. При этом, одна его грань — произвольный многоугольник — называется основанием, а остальные грани — треугольники с общей вершиной — называются боковыми гранями. Стороны боковых граней называются боковыми рёбрами. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.

№ слайда 11 Описание слайда:

HXYZ — треугольная пирамида. HXYZ — треугольная пирамида. У неё четыре грани (один треугольник в основании и три треугольника — боковые грани), шесть рёбер и четыре вершины. В качестве основания можно рассматривать любую его грань, например, треугольник XYZ. Тогда точка H будет вершиной пирамиды. Треугольники XYH, YZH и ZXH — боковые грани пирамиды. Отрезки XH, YH и ZH — боковые рёбра пирамиды.

№ слайда 12 Описание слайда:

GRSTQ — четырёхугольная пирамида. GRSTQ — четырёхугольная пирамида. У неё пять граней (четырёхугольник RSTQ в основании и четыре боковых грани — треугольники GRS, GST, GTQ и GQR), восемь рёбер (отрезки RS, ST, TQ и QR — рёбра в основании, отрезки GR, GS, GT и GQ — боковые рёбра) и пять вершин. Точка G — вершина пирамиды.

№ слайда 13 Описание слайда:

PKLMNO — пятиугольная пирамида. PKLMNO — пятиугольная пирамида. У неё шесть граней: в основании лежит пятиугольник KLMNO, а треугольники PKL, PLM, PMN, PNO и POK — боковые грани. Эта пирамида имеет десять рёбер: отрезки KL, LM, MN, NO и OK — рёбра в основании, отрезки PK, PL, PM, PN и PO — боковые рёбра) и шесть вершин (точки P, K, L, M, N и O). Точка P— вершина пирамиды.

№ слайда 14 Описание слайда:

На рисунке слева расположена невыпуклая пятиугольная пирамида. На рисунке слева расположена невыпуклая пятиугольная пирамида. В её основании лежит невыпуклый пятиугольник. Все пирамиды на рисунках выше являются выпуклыми.

№ слайда 15 Описание слайда: № слайда 16 Описание слайда:

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник OK – высота пирамиды ON – апофема

№ слайда 17 Описание слайда: № слайда 18 Описание слайда:

- это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников (основания призмы) и параллелограммов (боковые грани призмы). Например, на рисунке справа расположена шестиугольная призма: в её основаниях — два равных шестиугольника, боковые грани — шесть параллелограммов. - это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников (основания призмы) и параллелограммов (боковые грани призмы). Например, на рисунке справа расположена шестиугольная призма: в её основаниях — два равных шестиугольника, боковые грани — шесть параллелограммов. Если все боковые грани призмы не просто параллелограммы, а прямоугольники, то такой многогранник называется прямой призмой. У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основанию. Призма на рисунке слева является невыпуклой. Её основания — невыпуклые пятиугольники. В отличие от неё все призмы на рисунках выше являются выпуклыми.

№ слайда 19 Описание слайда:

Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников (граней). Площадь поверхности многогранника есть сумма площадей всех его граней. Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников (граней). Площадь поверхности многогранника есть сумма площадей всех его граней.

№ слайда 20 Описание слайда:

Параллелепипед тоже является призмой, в основании которой лежит параллелограмм. Противолежащие грани параллелепипеда равны. Параллелепипед тоже является призмой, в основании которой лежит параллелограмм. Противолежащие грани параллелепипеда равны. Если все грани параллелепипеда не просто параллелограммы, а прямоугольники, то такой многогранник называется прямоугольным параллелепипедом. Такую форму обычно имеют коробки, комнаты, книги. Если все грани параллелепипеда — равные квадраты, то такое тело называется кубом. Все двенадцать рёбер куба — равные отрезки.

МНОГОГРАННИКИ (объемные геометрические фигуры): определения, формулы

Многогранники (объемные геометрические фигуры) :

определения, формулы периметра поверхности и площади. Виды: призма, параллелепипед ( в т.ч. прямоугольный параллелепипед , куб), пирамида ( в т.ч. усеченная пирамида).

Призма
  • Призма — многогранник, у которого две грани — равные многоугольники (основания), лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы, имеющие общие стороны с этими многоугольниками.
  • Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма, четырёхугольник — четырёхугольная призма; пятиугольник — пятиугольная призма (пентапризма) и т. д.
  • Прямая призма – призма, у которой боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания (если нет – наклонная).
  • Правильна призма – призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.
  • Высота призмы
    – перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания. на плоскость другого.

Формулы для призмы:

Объем призмы: V = So∙h
Площадь поверхности: S = 2∙So + Sбок
Где: V — объем призмы, So — площадь основания, h – высота, Sбок — площади всех боковых граней.

Параллелепипед

Параллелепипед — это призма, основание которой — параллелограмм.

Свойства параллелепипеда:

  • Параллелепипед имеет шесть граней и все они параллелограммы.
  • Противоположные грани попарно равны и параллельны.
  • Параллелепипед имеет четыре диагонали.
  • Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
  • Основанием параллелепипеда может быть любая грань.

Типы параллелепипеда

  • Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники.
  • Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.
  • Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
  • Ромбоэдр — параллелепипед, грани которого являются равными ромбами.
  • Куб — параллелепипед, грани которого являются квадратами. Все грани куба равны.

Формулы для параллелепипеда:

Объем параллелепипеда: V = So∙h
Площадь поверхности: S = 2∙So + Sбок
Где: V — объем параллелепипеда, So — площадь основания, h – высота, Sбок — площади всех боковых граней.

Формулы для прямоугольного параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда: V = a∙b∙c =  So∙ c
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда:
S = 2·(Sa+Sb+Sc)  или  S= 2· (a·b+ b·c+ a·c)
Диагональ: d =√(a2+b2+c2)
Где: V — объем прямоугольного параллелепипеда, a — длина, b — ширина, с – высота, So  — площадь основания, Sa,Sb,Sc — площади соответствующих сторон. 

Формулы для куба:

Объем куба: V = a3
Площадь поверхности куба: S = 6·a2
Диагональ: d = a√3
Где: V — объем куба, a — длина грани куба.

Пирамида
  • Пирамида — многогранник, одна из граней которого (основание) — произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.
  • По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д.
  • Вершина пирамиды – общая точка для всех треугольников.
  • Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание.
  • Правильная пирамида – пирамида, у которой основание — правильный многоугольник, высота опускается в центр основания. В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани — равнобедренные треугольники. Высота треугольника боковой грани правильной пирамиды называется — апофема правильной пирамиды.
  • Правильная треугольная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — правильный треугольник, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины.
  • Правильный тетраэдр – это тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники.
  • Правильная четырехугольная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — квадрат, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр пересечения диагоналей квадрата основания из вершины.

Формулы для правильной пирамиды:

Объем правильной пирамиды: V = 1/3 · (So · h)
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: Sбок = ½ · Pо· a
Где: V — объем пирамиды, So — площадь основания пирамиды, Sбок — площадь боковой поверхности, Pо — периметр основания правильной пирамиды, h — высота пирамиды. a — апофема правильной пирамиды.

Формулы для правильной треугольной пирамиды:

Объем правильной треугольной пирамиды: V =  h·a2 / (4/√3) 
Где: a — сторона правильного треугольника — основания правильной треугольной пирамиды, h — высота правильной треугольной пирамиды

Формулы для правильной четырехугольной пирамиды:

Объем правильной четырехугольной пирамиды: V = 1/3 · h · a2
Где: a — сторона квадрата — основания правильной четырехугольной пирамиды, h — высота правильной четырехугольной пирамиды.

Формулы для тетраэдра:

Объем тетраэдра: V = (√2 / 12) · a3
Где: V — объем тетраэдра, a — длина ребра тетраэдра.

Усеченная пирамида
  • Усеченная пирамида — часть пирамиды между ее основанием и сечением (сечение параллельно основанию пирамиды и делит ее на две части).
  • Основание пирамиды и сечение — два основания усеченной прамиды.
  • Высота усеченной пирамиды — расстояние между основаниями усеченной пирамиды.
  • Правильная усеченная пирамида — пирамида, которая получена из правильной пирамиды. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — это равные равнобокие трапеции. Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды называется — апофема правильной усеченной пирамиды.

Формулы для усеченной пирамиды:

Объем усеченной пирамиды равен разности двух полных пирамид.
Объем правильной усеченной пирамиды:
V = 1/3 · h · (Sосн1 + Sосн2 + √(Sосн1Sосн2))
Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды:
Sбок = ½ (Pосн1 + Pосн2) · a
Где: Sосн1, Sосн2  — площади верхнего и нижнего основания усеченной пирамиды, h — высота усеченной пирамиды, Pосн1, Pосн2 — периметры верхнего и нижнего оснований правильной усеченной пирамиды, a — апофема правильной усеченной пирамиды.

 

Урок 16. правильные многогранники - Геометрия - 10 класс

Геометрия, 10 класс

Урок № 16. Правильные многогранники

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • определение правильного многогранника;
  • виды правильных многогранников;
  • симметрия в пространстве;
  • элементы симметрии правильных многогранников.

Глоссарий по теме

Правильный многогранник – выпуклый многогранник, все грани которого равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Правильный тетраэдр – многогранник, составленный из четырех равносторонних треугольников.

Правильный октаэдр – многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников.

Правильный икосаэдр – многогранник, составленный из двадцати равносторонних треугольников.

Куб (гексаэдр) – многогранник, составленный из шести квадратов.

Правильный додекаэдр – многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников.

Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1.

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.

Точки Аи А1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Основная литература:

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 368 с.: ил. (128 с. – 131 с.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. (68 с. – 73 с.) 

Открытые электронные ресурсы:

Многогранники.ru – сайт о создании моделей многогранников из бумаги  https://www.mnogogranniki.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Отметим, что поскольку все грани - равные правильные многоугольники, то все ребра правильного многогранника равны.

Вам уже известны примеры некоторых правильных многогранников. Например, куб. Все его грани - равные квадраты и к каждой вершине сходится три ребра.

Также нам уже знаком правильный тетраэдр.

Заметьте, что правильный тетраэдр и правильная треугольная пирамида – это различные многогранники!

Напомним, что пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром многоугольника. Таким образом, в правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны друг другу, но могут быть не равны ребрам основания пирамиды, а в правильном тетраэдре все ребра равны.

Правильных многогранников существует всего 5. Перечислим их.

Правильный тетраэдр – многогранник, составленный из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников, значит сумма плоских углов при каждой вершине равна 180.

Рисунок 1 - Правильный тетраэдр

Правильный октаэдр – многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников, значит, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240.

Рисунок 2 - Правильный октаэдр

Куб (гексаэдр) – многогранник, составленный из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов, значит, сумма плоских углов при

каждой вершине равна 270.

Рисунок 3 - Куб

Правильный икосаэдр – многогранник, составленный из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников, значит, сумма плоских углов при каждой равна 300.

Рисунок 4 – Правильный икосаэдр

Правильный додекаэдр – многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников, значит, сумма плоских углов при каждой равна 324.

Рисунок 5 – Правильный додекаэдр

Название каждого правильного многогранника происходит от греческого наименования «эдра» - грань; «тетра» - 4; «гекса» - 6; «окта» - 8; «икоса» - 20; «додека» -12.

Докажем, что правильных многогранников существует ровно 5, то есть что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n≥6. 

Действительно, угол правильного n-угольника при n≥6 не меньше 1200. С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани - правильные n-угольники при n≥6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше 3600. Но это не возможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 3600

По этой причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, либо четырех, либо пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников.

Симметрия в пространстве

Одно из интересных свойств правильных многогранников – это элементы симметрии.

Прежде чем мы их выделим давайте определим симметрию в пространстве.

Вам уже знакома симметрия из курса планиметрии. Там мы рассматривали фигуры симметричные относительно прямой и точки. В стереометрии же рассматривают симметрию относительно точки, прямой и плоскости.

Будем говорить, что точки А и А1 симметричны относительно точки О (рис. 6), если О – середина отрезка АА1. В таком случае О будет являться центром симметрии и будет симметрична сама себе.

Рисунок 6 – Центральная симметрия

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этом отрезку (рис. 7). Прямая а называется осью симметрии, а каждая ее точка считается симметричной самой себе.

Рисунок 7 – Осевая симметрия

Точки АА1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку (рис. 8). Плоскость α называется плоскостью симметрии, а каждая ее точка считается симметричной самой себе.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией.

Рисунок 8 – Зеркальная симметрия

Рисунок 9 – Элементы симметрии куба

Примером фигуры, обладающей и центральной, и осевой и зеркальной симметрией является куб (рис. 9).

Фигура может иметь один или несколько центров (осей, плоскостей) симметрии. Так, например, у куба один центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии.

В геометрии центр, ось и плоскость симметрии многогранника называют элементами симметрии многогранников.

С симметрией мы часто можем встретиться в природе, архитектуре, быту.

Например, многие кристаллы имеют центр ось или плоскость симметрии.

Многие здания симметричны относительно плоскости. Примером такого здания является здание Московского государственного университета.

Рисунок 10 – Здание Московского государственного университета

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1 Выберите неверные утверждения  

1) правильный додекаэдр состоит из 8 правильных треугольников 

2) тетраэдр имеет 4 грани 

3) гексаэдр состоит из шести параллелограммов 

4) правильный октаэдр состоит из правильных пятиугольников 

Решение

Утверждение под номером 1 неверно, так как название «додекаэдр» с греческого означает «двенадцать граней». В действительности, додекаэдр состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

Утверждение 2 верно. Тетраэдр с греческого означает 4 грани и состоит тетраэдр из 4-х треугольников.

Гексаэдр, он же куб состоит из квадратов, которые в свою очередь являются параллелограммами, поэтому утверждение 3 верно.

С греческого «октаэдр» означает 8 граней, состоять в таком случае из пятиугольников он не может. Октаэдр состоит из восьми треугольников. Утверждение 4 неверно.

Ответ: 1 и 4

№ 2 Установите соответствие между правильными многогранниками и их развертками.

1) 2) 3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Решение

Для выполнения этого задания необходимо понять, из каких многоугольников составлен многогранник.

Итак, куб состоит из квадратов. Единственная развертка, состоящая из квадратов это развертка под номером 6. Проверить себя можно и мысленно сложив из развертки кубик.

Многогранник под номером 2 – тетраэдр, состоит из четырех треугольников. Поэтому ему будет соответствовать развертка под номером 7. Мысленно сложите из развертки тетраэдр.

Октаэдр состоит из 8 треугольников, в этом несложно убедиться исходя из изображения. Развертка под номером 8 как раз состоит из 8 треугольников.

Многогранник под номером 4 состоит также из треугольников, а единственная развертка, состоящая из треугольников, осталась под номером 10. Попробуйте вырезать такую развертку из бумаги и собрать свой икосаэдр!

Многогранник под номером 5 состоит из пятиугольников. Оставшаяся развертка 9 тоже состоит из пятиугольников. Осталось проверить, что количество совпадает.

Ответ: 1 и 6, 2 и 7, 3 и 8, 4 и 10, 5 и 9

Многогранники. Виды многогранников и их свойства

Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного коробка и заканчивая архитектурными элементами, в природе также встречаются кристаллы в форме куба (соль), призмы (хрусталь), пирамиды (шеелит), октаэдра (алмаз) и т. д.

Понятие многогранника, виды многогранников в геометрии

Геометрия как наука содержит раздел стереометрию, изучающую характеристики и свойства объёмных фигуры. Геометрические тела, стороны которых в трёхмерном пространстве образованы ограниченными плоскостями (гранями), носят название "многогранники". Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней.

Тем не менее у всех многогранников есть общие свойства:

  1. Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника), вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).
  2. Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по отношению друг к другу являются смежными.
  3. Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону плоскости, на которой лежит одна из граней. Правило применимо ко всем граням многогранника. Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином выпуклые многогранники. Исключение составляют звёздчатые многогранники, которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.

Многогранники можно условно разделить на:

  1. Виды выпуклых многогранников, состоящих из следующих классов: обычные или классические (призма, пирамида, параллелепипед), правильные (также называемые Платоновыми телами), полуправильные (второе название – Архимедовы тела).
  2. Невыпуклые многогранники (звёздчатые).

Призма и её свойства

Стереометрия как раздел геометрии изучает свойства трёхмерных фигур, виды многогранников (призма в их числе). Призмой называют геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани (их также называют основаниями), лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в виде параллелограммов. В свою очередь, призма имеет также несколько разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как:

  1. Параллелепипед - образуется, если в основании лежит параллелограмм - многоугольник с 2 парами равных противоположных углов и двумя парами конгруэнтных противоположных сторон.
  2. Прямая призма имеет перпендикулярные к основанию рёбра.
  3. Наклонная призма характеризуется наличием непрямых углов (отличных от 90) между гранями и основанием.
  4. Правильная призма характеризуется основаниями в виде правильного многоугольника с равными боковыми гранями.

Основные свойства призмы:

  • Конгруэнтные основания.
  • Все рёбра призмы равны и параллельны по отношению друг к другу.
  • Все боковые грани имеют форму параллелограмма.

Пирамида

Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке – вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник – это треугольная пирамида, четырёхугольник – четырёхугольная, и т. д.

Пирамиды – это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей:

  1. Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него.
  2. Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.

Свойства пирамиды:

  • В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.
  • Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Правильный многогранник: виды и свойства многогранников

В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур:

  1. Тетраэдр.
  2. Гексаэдр.
  3. Октаэдр.
  4. Додекаэдр.
  5. Икосаэдр.

Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу Платону, описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с природными стихиями: земли, воды, огня, воздуха. Пятой фигуре присуждали сходство со строением Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме напоминают виды правильных многогранников. Благодаря своему самому захватывающему свойству – симметричности, эти геометрические тела представляли большой интерес не только для древних математиков и философов, но и для архитекторов, художников и скульпторов всех времён. Наличие всего лишь 5 видов многогранников с абсолютной симметрией считалось фундаментальной находкой, им даже присуждали связь с божественным началом.

Гексаэдр и его свойства

В форме шестигранника преемники Платона предполагали сходство со строением атомов земли. Конечно же, в настоящее время эта гипотеза полностью опровергнута, что, однако, не мешает фигурам и в современности привлекать умы известных деятелей своей эстетичностью.

В геометрии гексаэдр, он же куб, считается частным случаем параллелепипеда, который, в свою очередь, является разновидностью призмы. Соответственно и свойства куба связаны со свойствами призмы с той лишь разницей, что все грани и углы куба равны между собой. Из этого вытекают следующие свойства:

  1. Все рёбра куба конгруэнтны и лежат в параллельных плоскостях по отношению друг к другу.
  2. Все грани – конгруэнтные квадраты (всего в кубе их 6), любой из которых может быть принят за основание.
  3. Все межгранные углы равны 90.
  4. Из каждой вершины исходит равное количество рёбер, а именно 3.
  5. Куб имеет 9 осей симметрии, которые все пересекаются в точке пересечения диагоналей гексаэдра, именуемой центром симметрии.

Тетраэдр

Тетраэдр – это четырёхгранник с равными гранями в форме треугольников, каждая из вершин которых является точкой соединения трёх граней.

Свойства правильного тетраэдра:

  1. Все грани тетраэда – это равносторонние треугольники, из чего следует, что все грани четырёхгранника конгруэнтны.
  2. Так как основание представлено правильной геометрической фигурой, то есть имеет равные стороны, то и грани тетраэдра сходятся под одинаковым углом, то есть все углы равны.
  3. Сумма плоских углов при каждой из вершин равняется 180, так как все углы равны, то любой угол правильного четырёхгранника составляет 60.
  4. Каждая из вершин проецируется в точку пересечения высот противоположной (ортоцентр) грани.

Октаэдр и его свойства

Описывая виды правильных многогранников, нельзя не отметить такой объект, как октаэдр, который визуально можно представить в виде двух склеенных основаниями четырёхугольных правильных пирамид.

Свойства октаэдра:

  1. Само название геометрического тела подсказывает количество его граней. Восьмигранник состоит из 8 конгруэнтных равносторонних треугольников, в каждой из вершин которого сходится равное количество граней, а именно 4.
  2. Так как все грани октаэдра равны, равны и его межгранные углы, каждый из которых равняется 60, а сумма плоских углов любой из вершин составляет, таким образом, 240.

Додекаэдр

Если представить, что все грани геометрического тела представляют собой правильный пятиугольник, то получится додекаэдр – фигура из 12 многоугольников.

Свойства додекаэдра:

  1. В каждой вершине пересекаются по три грани.
  2. Все грани равны и имеют одинаковую длину рёбер, а также равную площадь.
  3. У додекаэдра 15 осей и плоскостей симметрии, причём любая из них проходит через вершину грани и середину противоположного ей ребра.

Икосаэдр

Не менее интересная, чем додекаэдр, фигура икосаэдр представляет собой объёмное геометрическое тело с 20 равными гранями. Среди свойств правильного двадцатигранника можно отметить следующие:

  1. Все грани икосаэдра - равнобедренные треугольники.
  2. В каждой вершине многогранника сходится пять граней, и сумма смежных углов вершины составляет 300.
  3. Икосаэдр имеет так же, как и додекаэдр, 15 осей и плоскостей симметрии, проходящих через середины противоположных граней.

Полуправильные многоугольники

Кроме Платоновых тел, в группу выпуклых многогранников входят также Архимедовы тела, которые представляют собой усечённые правильные многогранники. Виды многогранников данной группы обладают следующими свойствами:

  1. Геометрические тела имеют попарно равные грани нескольких типов, например, усечённый тетраэдр имеет так же, как и правильный тетраэдр, 8 граней, но в случае Архимедова тела 4 грани будут треугольной формы и 4 - шестиугольной.
  2. Все углы одной вершины конгруэнтны.

Звёздчатые многогранники

Представители необъёмных видов геометрических тел – звёздчатые многогранники, грани которых пересекаются друг с другом. Они могут быть образованы путём слияния двух правильных трёхмерных тел либо в результате продолжения их граней.

Таким образом, известны такие звёздчатые многогранники, как: звёздчатые формы октаэдра, додекаэдра, икосаэдра, кубооктаэдра, икосододекаэдра.

Многогранная игра, или Как сделать ёжика из додекаэдра

Что вы подумаете, если в глухом лесу увидите на земле квадрат, выложенный из палочек или камней? Вряд ли у вас возникнет мысль, что это сделал какой-нибудь енот или что эта фигура образовалась сама собой. Скорее всего, вы решите, что к созданию квадрата приложил руки человек, ну или заподозрите вмешательство инопланетных существ. В любом случае это непременно должно быть разумное существо. Возможно, разум и вызывает у нас неосознанную симпатию ко всему симметричному. Вот висит на стене картина, вроде бы — какая разница, висит она ровно или один её край чуть выше другого. Но нет, нам это не нравится, и мы обязательно выровняем картину, потому что так красиво, так правильно.

Малый звёздчатый додекаэдр. Фото: Halixi72/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-03.

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Принцип построения звёздчатого пятиугольника из правильного пятиугольника.

Малый звёздчатый додекаэдр (вверху), большой додекаэдр (в центре) и большой звёздчатый додекаэдр (внизу).

Головоломка «Звезда Александера». Фото: Hellbus/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0.

Единственная форма звёздчатого октаэдра. Фото: Robert Webb’s Stella softwore/Wikimedia Commons/CC-SA-1.0.

Самая первая звёздчатая форма икосаэдра. Фото: Robert Webb/Wikimedia Commons.

Римляне отливали из бронзы додекаэдры. Правда, назначение этих геометрически правильных предметов до сих пор точно не определено. Фото: Lokilech/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0.

Стремлением к симметричному, ровному особенно сильна геометрия, она изучает, в частности, такие фигуры, как правильные треугольники, правильные многоугольники и правильные многогранники. Ведь куб и вправду смотрится лучше, чем какой-то «неправильный» параллелепипед. А икосаэдр или додекаэдр просто не могут не вызвать тёплых чувств у поклонников стереометрии. О многогранниках, правильных и не очень, мы сегодня и поговорим.

Начнём с «плоского» примера, с правильного многоугольника. Это, как известно, выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы между смежными сторонами. Сколько может быть правильных многоугольников? Да бесконечно много, только по форме они будут всё больше и больше приближаться к окружности. Если вы захотите изобразить правильный тысячеугольник, то просто возьмите в руки циркуль и нарисуйте окружность.

А что будет, если от плоских фигур перейти к объёмным, например попытаться построить разные правильные многогранники?

Тут полёт фантазии придётся ограничить — больше пяти правильных многогранников создать никак не получится. (Кстати, вы можете попробовать самостоятельно доказать столь простую теорему.) Этот факт установили ещё древние греки. Евклид описал все пять правильных многогранников, а Платон использовал их для описания своего представления о строении Вселенной, именно поэтому пятёрку правильных многогранников — тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр — называют «платоновы тела». Хотя некоторые из них, к примеру куб, были известны ещё за тысячу лет до древнегреческого мыслителя.

Ну а теперь самое интересное: как превратить додекаэдр в «ёжика»? Сначала нам придётся научиться строить звёздчатые формы многоугольников (рисунок внизу). Чтобы получить звёздчатый пятиугольник, нужно продолжить его стороны прямыми линиями до пересечения их друг с другом (новые области окрашены в синий цвет). Соединив между собой вершины звёздчатого пятиугольника, получим правильный пятиугольник (зелёный цвет). Такой процесс можно повторять бесконечное число раз, превращая пятиугольник в звезду и наоборот.

Применим ту же идею, но уже для объёмной фигуры: вместо продолжения линий будем продолжать плоскости граней. Линии пересечения этих плоскостей создадут рёбра нового многогранника. Для построения малого звёздчатого додекаэдра нужно построить правильную пятиугольную пирамиду на каждой грани исходного додекаэдра (рисунок в центре).

Проделав такую процедуру первый раз, мы получим так называемый малый звёздчатый додекаэдр. Его открыл в 1619 году Иоганн Кеплер. Многогранник представляет собой додекаэдр, на гранях которого построены двенадцать пятиугольных пирамид.

Не будем на этом останавливаться и, как в случае с плоским многоугольником, соединим вершины малого звёздчатого додекаэдра. У нас получится большой додекаэдр, честь открытия которого в 1809 году принадлежит Луи Пуансо. Кстати, головоломка, подобная кубику Рубика, — «звезда Александера» выполнена как раз в форме большого додекаэдра.

Продолжив построение подобным образом, получим многогранник с 20 лучами. Эта завершающая звёздчатая форма додекаэдра носит название «большой звёздчатый додекаэдр». Его тоже описал Иоганн Кеплер. Хотя стоит сказать, что подобные фигуры появились ещё до Кеплера, но полное математическое описание дал именно он. Эту фигуру можно назвать многогранным «ёжиком».

У додекаэдра всего три звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр. Если соединить вершины большого звёздчатого додекаэдра, то получится тот многогранник, с которого, собственно, и начались наши звёздчатые метаморфорзы, — обычный додекаэдр.

А что с «ёжиками» из других правильных многогранников? Два из нашей «великолепной пятёрки» — тетраэдр и куб — не имеют звёздчатых форм. Как бы вы ни пробовали продолжить грани этих объёмных фигур, ничего не получится. Октаэдру посчастливилось иметь только одну звёздчатую форму — так называемый звёздчатый октаэдр, или Stella octangula — звезда восьмиугольная. Изображение звёздчатого октаэдра, который, по сути, представляет собой два совмещённых тетраэдра, присутствует ещё в работах Леонардо да Винчи, но назвал эту фигуру именно так любитель многогранников Иоганн Кеплер. А вот икосаэдру в плане «звёздности» повезло — у него число звёздчатых форм больше, чем сумма этих форм у всех остальных его правильных многогранных собратьев, — целых 59! Перечислять все мы не будем, ограничимся лишь первой звёздчатой формой.

Красивые звёздчатые многогранники не встречаются в природе, но создать их модели вполне под силу любому школьнику, и бумага здесь — идеальный материал. Разрабатывать развёртку многогранника самому увлекательное, но трудоёмкое занятие, проще воспользоваться специальным конструктором «Волшебные грани». Выбор – 16 интереснейших моделей. Каждый набор содержит комплект деталей из лакированного цветного картона, уже вырезанных и подогнутых. Используя клей и инструкцию, можно создать свою занимательную коллекцию геометрических тел.

как сделать додекаэдр из бумаги

Додекаэдром называется объемная фигура, состоящая из двенадцати пятиугольников. Чтобы получить эту фигуру, необходимо вначале начертить ее развертку на плотной бумаге, а затем собрать ее из этой развертки в пространстве.

Вам понадобится

  • - плотная бумага;
  • - карандаш;
  • - циркуль;
  • - линейка;
  • - угольник;
  • - кусок тонкой проволоки;
  • - ножницы;
  • - клей.

Инструкция

  • Начните работу с черчения центрального правильного пятиугольника. Для этого начертите циркулем окружность. Проведите через ее центр диаметр. Теперь его необходимо разделить на три части. Существует теорема, доказывающая, что трисекция (то есть, разделение отрезка или угла на три одинаковые части) при помощи линейки без делений и циркуля невозможна. Поэтому либо измерьте диаметр линейкой и поделите его на три, а затем отметьте на нем соответствующие точки по делениями линейки, либо измерьте его куском тонкой проволоки, сложите ее втрое, затем распрямите, наложите на диаметр и отметьте точки в местах сгиба.
  • В результате деления диаметра на три части на нем получатся две точки. Через одну из них проведите к диаметру при помощи угольника перепендикуляр. Он пересечет окружность в двух местах. Из каждого из них проведите по лучу, проходящему через вторую точку на диаметре. Они пересекут окружность еще в двух местах, ну а пятое место пересечения образует сам диаметр. Останется лишь соединить их между собой, и получится правильный пятиугольник, вписанный в окружность.
  • Начертите тем же способом еще одиннадцать пятиугольников, расположив их таким образом, чтобы получилась фигура, подобная показанной на рисунке. Пририсуйте к ее граням сбоку небольшие лепестки, облегчающие склейку. Затем вырежьте ее и склейте. То, что должно получиться в результате, показано на иллюстрации в заголовке статьи.
  • Поскольку у додекаэдра ровно двенадцать граней, в виде этой фигуры можно изготавливать объемные, устойчивые настольные календари. Для этого сначала составьте на каждой из граней по календарю на один месяц, и лишь затем вырежьте и склейте фигуру. Также такой календарь можно сгенерировать автоматически, перейдя по указанной ниже ссылке. Год определится автоматически по встроенным часам сервера, а язык названий месяцев и дней недели - по настройкам вашего браузера.

Додекаэдром называется правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Эта эффектная объемная фигура обладает центром симметрии, называемым центром додекаэдра. Кроме того, в ней присутствуют пятнадцать плоскостей симметрии (в каждой грани любая из них проходит через середину противоположного ребра и вершину) и пятнадцать осей симметрии (пересекающих середины параллельных противолежащих ребер). Каждая из вершин додекаэдра является вершиной трех пятиугольников правильной формы.

Свое название конструкция получила по количеству входящих в нее граней (традиционно древние греки давали многогранникам имена, отображающие число граней, составляющих структуру фигуры). Таким образом, понятие «додекаэдр» образовано из значений двух слов: «додека» (двенадцать) и «хедра» (грань). Фигура относится к одному из пяти Платоновых тел (наряду с тетраэдром, октаэдром, гексаэдром (кубом) и ). Интересно, что согласно многочисленным историческим документам, все они активно использовались жителями Древней Греции в виде настольных игральных костей и изготавливались из самого различного материала.

Правильные многогранники всегда привлекали людей своей красотой, органичностью и необыкновенным совершенством форм, но додекаэдр имеет особую историю, которая из года в год обрастает все новыми, иногда совершенно мистическими, фактами. Представители многих цивилизаций усматривали в нем сверхъестественную и таинственную сущность, утверждая, что: «Из числа двенадцать произрастает многое». На территориях древних разрушенных государств до сих пор находят маленькие фигурки в виде додекаэдров, выполненные из бронзы, камня или кости. Кроме того, при раскопках на землях современной Англии, Франции, Германии, Венгрии, Италии археологи обнаружили несколько сотен так называемых «римских додекаэдров», датирующихся II-III-м веками нашей эры. Основные размеры фигурок составляют от четырех до одиннадцати сантиметров, причем отличаются они самыми невероятными узорами, текстурами и техникой исполнения. Выдвинутая еще во времена Платона версия о том, что Вселенная представляет собой огромного размера додекаэдр, нашла подтверждение уже в начале XXI -го века. После тщательного анализа данных, полученных при помощи WMAP(многофункционального космического аппарата NASA), ученые согласились с предположением древнегреческих астрономов, математиков и физиков, в свое время занимавшихся вопросами изучения небесной сферы и ее строением. Более того, современные исследователи считают, что наша Вселенная представляет собой бесконечно повторяющийся набор додекаэдров.

Как сделать правильный додекаэдр своими руками

Сегодня конструкция данной фигуры нашла свое отображение во многих вариантах художественного творчества, архитектуре и строительстве. Народные умельцы изготавливают из цветной или белой бумаги необыкновенные по красоте оригами в виде ажурных додекаэдров, а из картона делают оригинальные и прочее). В продаже можно приобрести уже готовые наборы, содержащие все необходимое для изготовления сувениров, но наиболее интересно произвести весь процесс работы своими руками, начиная от построения отдельных деталей и заканчивая сборкой готовой конструкции.

Материалы:

Для того, чтобы сделать правильный додекаэдр из картона, необходим собственно сам материал и подручные средства:

  • ножницы,
  • карандаш,
  • ластик,
  • линейка,
  • клей.

Хорошо иметь тупой нож или какое-либо приспособление для загибания припусков, но если их нет, то вполне подойдет металлическая линейка или те же ножницы.

Как сделать звездчатый додекаэдр

Звездчатые додекаэдры имеют более сложную конструкцию по сравнению с обычными. Эти многогранники подразделяются на малый (первого продолжения), средний (второго продолжения) и большой (последняя звездчатая форма правильного додекаэдра). Каждый из них отличается своими особенностями построения и сборкой. Для работы Вам потребуются те же материалы и инструменты, что и для изготовления стандартного додекаэдра. Если Вы решили сделать первый вариант (малый додекаэдр), то необходимо построить чертеж первого элемента, который станет основой для всей конструкции (в дальнейшем производится ее склеивание или сборка деталей при помощи скрепок).

Создавать поделки своими руками интересно не только детям, но и взрослым. Однако для взрослых придумано достаточное количество моделей, которые отличаются сложностью выполнения и временем, затраченным на их создание. В последнее время у взрослых и детей появился интерес к созданию сложных геометрических фигур. К такому виду фигур относится икосаэдр, который представляет собой правильный многоугольник и является одним из платоновых тел – правильных многогранников. Эта фигура имеет 20 треугольных граней (равносторонних треугольников), 30 ребер и 12 вершин, которые являются местом стыка 5 ребер. Правильный икосаэдр из бумаги собрать достаточно сложно, но интересно. Если вы увлечены оригами, то сделать икосаэдр бумажный своими руками вам не составит труда. Его сделать из цветной, гофрированной бумаги, фольги, упаковочной бумаги для цветов. Используя разнообразные материалы, можно придать еще большую красоту и эффектность своему икосаэдру. Все зависит только от фантазии его создателя и подручного материала, имеющегося на столе.

Предлагаем вам несколько вариантов разверток икосаэдра, которые можно распечатать, перенести на плотную бумагу и картон, согнуть по линиям и склеить.

Как сделать икосаэдр из бумаги: схема

Для того чтобы собрать икосаэдр из листа бумаги или картона, необходимо предварительно подготовить следующие материалы:

  • макет икосаэдра;
  • клей ПВА;
  • ножницы;
  • линейка.

Во время создания икосаэдра важно обратить особое внимание на процесс сгиба всех деталей: для того, чтобы ровно согнуть бумагу, можно использовать обычную линейку.

Примечательно, что икосаэдр можно встретить и в повседневной жизни. Например, в форме усеченного икосаэдра (многогранник, состоящий из 12 пятиугольников и 20 шестиугольников правильной формы) выполнен футбольный мяч. Это особенно видно, если раскрасить получившийся икосаэдр в черно-белый цвет, как и сам мяч.

Такой футбольный мяч можно сделать самостоятельно, распечатав предварительно развертку усеченного икосаэдра в 2 экземплярах:

Создание икосаэдра своими руками представляет интересный процесс, который требует вдумчивости, терпения и большого количества бумаги. Однако результат, полученный в итоге, будет радовать глаз еще долгое время. Икосаэдр можно дать поиграть ребенку, если он достиг уже трехлетнего возраста. Играя с такой сложной геометрической фигурой, он будет развивать не только образное мышление, пространственные навыки, но и знакомиться с миром геометрии. Если же взрослый решил создать икосаэдр самостоятельно, то такой творческий процесс по конструированию икосаэдра позволит скоротать время, а также похвастаться перед близкими своим умением создавать сложные фигуры.

Додекаэдр - это многогранник, состоящий из 12 одинаковых пятиугольников. Это базовая фигура для множества поделок: от настольных календарей до ажурных подвесных фонариков.

Есть и другие методы. Например, пятиугольник можно построить с помощью транспортира, но точности он не гарантирует. Наиболее легий способ - взять готовую схему, распечатать ее и по этой "выкройке" уже мастерить из подходящей бумаги поделку. Но этот способ, несмотря на простоту, подходит не всегда - ведь иногда нужно сделать додекаэдр какого-то конкретного размера. Можно увеличить один пятиугольник до нужного масштаба и распечатать только его, затем построить фигуру по схеме ниже.

Но "выкройка" - это еще не готовая поделка. Как сделать додекаэдр из бумаги? Для этого понадобятся:

1. Бумага, подходящая по плотности. Она не должна быть слишком тонкой или же слишком толстой - желательно 220 г/м², именно такой плотностью обладает картон, который продают в детских наборах. Хотя из толстого картона вполне можно создавать объемные фигуры, нужно только предварительно обработать все сгибы - слегка надрезать или хорошо продавить, чтобы они хорошо и ровно сгибались.

2. Ножницы, вязальная спица или канцелярский нож

Советы по изготовлению додекаэдра

Бумагу в местах сгибов желательно слегка продавить спицей, тупой стороной или чем-то острым, но не режущим. Аккуратные ровные сгибы - половина успеха.

Если клея под рукой нет, додекаэдр можно собрать, как конструктор, сделав надрезы по сгибам, а затем просто вставив стороны одна в другую.

Если вы собираете додекаэдр в модульной технике (инструкция ниже), то места соединений желательно проклеивать или закреплять скрепками, поскольку конструкция станет устойчивой только после закрепления последнего модуля.

Додекаэдр в технике оригами

Модуль оригами - отличная основа для додекаэдра. Как сделать додекаэдр из бумаги в модульной технике? Понадобится 30 прямоугольных или квадратных листов бумаги. Каждый из листочков складывается пополам, затем каждую половинку нужно отогнуть в противоположную сторону - получится "гармошка" в четыре сложения. Иногда, если лист не квадратный, делают "гармошку" в три сложения. В итоге у вас в руках узкая промоугольная полоска. Затем с каждой стороны прямоугольника по узкой стороне нужно отогнуть уголок. Уголки складываются в одну сторону - это будущие крепления, которые будут заправляться в "гармошку". Затем согните модуль вовнутрь наискосок по диагонали от маленьких боковых уголков. Таким образом, один модуль для оригами додекаэдра - трехмерный, он включает два ребра будущей фигуры и уголки. Когда все модули готовы, можно начинать сборку.

Сборка начинается с одного узла, для которого необходимо взять три модуля. На рисунке ниже это голубой, розовый и желтый модули оригами. Схемы сборки достаточно просты, и с такими фигурами легко справляются даже начинающие.

Какие поделки можно сделать на основе додекаэдра?

Каждая сторона додекаэдра из бумаги - это плоский пятиугольник, который сам по себе может являться основой для самых разных и причудливых форм. Например, на фото ниже пятиугольник заменен пятиконечнй звездой. Ребра в такой фигуре отсутствуют, хотя предполагаются. Как сделать додекаэдр из бумаги в виде звезды? Замените в развертке, представленной выше, каждый пятиугольник необходимой пятиконечной фигурой и соедините их не по ребрам, а по вершинам.

На этом фото представлен звездчатый додекаэдр. В основе каждого "луча" лежит все тот же пятиугольник.

Вместо пятиугольных пирамид может быть выполнена любая объемная фигура.

На фото ниже в качестве пятиугольников выступают более сложные модули оригами, схемы которых заинтересовавшиеся этой техникой смогут найти в специальной литературе.

В любом случае освоение даже простейшей схемы сборки додекаэдра уже даст огромные возможности для творчества и поиска своих собственных вариантов.

Додекаэдром именуется объемная фигура, состоящая из двенадцати пятиугольников. Дабы получить эту фигуру, нужно сначала начертить ее развертку на плотной бумаге, а после этого собрать ее из этой развертки в пространстве.

Вам понадобится

  • – плотная бумага;
  • – карандаш;
  • – циркуль;
  • – линейка;
  • – угольник;
  • – кусок тонкой проволоки;
  • – ножницы;
  • – клей.

Инструкция

1. Начните работу с черчения центрального положительного пятиугольника. Для этого начертите циркулем окружность. Проведите через ее центр диаметр. Сейчас его нужно поделить на три части. Существует теорема, доказывающая, что трисекция (то есть, распределение отрезка либо угла на три идентичные части) при помощи линейки без делений и циркуля немыслима. Следственно либо измерьте диаметр линейкой и поделите его на три, а после этого подметьте на нем соответствующие точки по делениями линейки, либо измерьте его куском тонкой проволоки, сложите ее втрое, после этого распрямите, наложите на диаметр и подметьте точки в местах сгиба.

2. В итоге деления диаметра на три части на нем получатся две точки. Через одну из них проведите к диаметру при помощи угольника перепендикуляр. Он пересечет окружность в 2-х местах. Из всякого из них проведите по лучу, проходящему через вторую точку на диаметре. Они пересекут окружность еще в 2-х местах, ну а пятое место пересечения образует сам диаметр. Останется лишь объединить их между собой, и получится положительный пятиугольник, вписанный в окружность.

3. Начертите тем же методом еще одиннадцать пятиугольников, расположив их таким образом, дабы получилась фигура, сходственная показанной на рисунке. Пририсуйте к ее граням сбоку небольшие лепестки, облегчающие склейку. После этого вырежьте ее и склейте. То, что должно получиться в итоге, показано на иллюстрации в заголовке статьи.

4. От того что у додекаэдра ровно двенадцать граней, в виде этой фигуры дозволено производить объемные, устойчивые настольные календари. Для этого вначале составьте на всей из граней по календарю на один месяц, и лишь после этого вырежьте и склейте фигуру. Также такой календарь дозволено сгенерировать механически, перейдя по указанной ниже ссылке. Год определится механически по встроенным часам сервера, а язык наименований месяцев и дней недели – по настройкам вашего браузера.

Додекаэдром именуется положительный многогранник, грани которого представляют собой двенадцать положительных пятиугольников. Простейшим для построения положительным многогранником является гексаэдр либо куб, все остальные многогранники дозволено возвести, вписав либо описав их около него. Додекаэдр дозволено возвести, описав его около куба.

Инструкция

1. Постройте куб с длиной ребра a. Вычислите длину строящегося додекаэдра по формуле:m = -a/2 +av5/2, где a – длина ребра куба.

2. На краю SPRQ проведите линию K1L1, соединяющую середины ребер. На этой линии отложите отрезок длиной m, равноотстоящий от ребер куба. Через концы отрезка проведите перпендикуляры к грани SPRQ.

3. Постройте пятиугольник ABCDE с диагоналями AC и BE. AB = BC = a. Вычислите высоту треугольника ABC и обозначьте ее s = BN.

4. На перпендикулярах обнаружьте точки, расстояние от которых до середин ребер равно s, т.е LL1 = KK1 = s. Объедините сейчас обнаруженные точки с вершинами куба.

5. Повторойте построения 2 и 4 для всякой грани, в итоге у вас получится положительный многогранник описанный около куба – додекаэдр.

Видео по теме

Объемные фигуры - Классификации

Тело — связная часть пространства, ограниченная замкнутой поверхностью. Иногда телом называют только компактное множество, имеющее внутренние точки.

Геометрическое тело — часть пространства, со всех сторон ограниченная. Если поверхность, ограничивающая тело, состоит из плоскостей, то тело называют многогранником. Эти плоскости пересекаются по прямым, наз. рёбрами, и образуют грани тела. Каждая из граней есть многоугольник, стороны которого суть рёбра многогранника; вершины этого многоугольника наз. вершинами многогранника.

Представим себе плоскость, составляющую продолжение одной из граней. Если всё тело окажется по одну сторону этой плоскости, то такое тело называется выпуклым. Всякая прямая его пересекает не более, чем в двух точках. 

Многогранник, у которого все углы равны между собой и грани, равные между собой, — правильные многоугольники, называютмя правильными. Выпуклых правильных многогранников только пять. Многогранник называется призмой (фиг. 1), если две его грани суть равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а другие грани - параллелограммы. Параллельные грани наз. основаниями, а расстояние между ними - высотой призмы. Боковые ребра призмы всегда параллельны и равны между собой. Призма наз. прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны к основаниям. Если же боковые ребра не перпендикулярны к основаниям, то призма наз. наклонной. Параллелепипед (фиг. 2) есть призма, основания которой суть параллелограммы. Если же эта призма прямая и основания прямоугольники, то она наз. прямоугольным параллелепипедом. Многогранник называется пирамидой (фиг. 3), если одна из его граней многоугольник (основание пирамиды), а другие грани треугольники, имеющие общую вершину (вершина пирамиды). Расстояние от вершины до основания наз. высотой пирамиды.

Укажем еще следующие геометрические Т. Шар получается при вращении окружности около одного из диаметров. Все точки поверхности, ограничивающей это Т., находятся на одном и том же расстоянии от одной точки, наз. центром шара. Прямой круговой цилиндр получается при вращении прямоугольника около одной из его сторон. Это Т. ограничено плоскостями двух кругов (основания цилиндра) и боковой цилиндрической поверхностью. Прямой круговой конус получается при вращении прямоугольного треугольника около одного из катетов (см.). Эллипсоид (фиг. 9) есть Т., в сечении которого плоскостью получается эллипс (см.) или круг.

Геометрические тела изучаются в геометрии и в кристаллографии. 

Как рассчитать объем пятиугольных призм

Обновлено 22 декабря 2019 г.

Кевин Бек

Призма может быть элегантным декоративным элементом, инструментом в физике или просто заманчивой геометрической конструкцией, которая также может оказаться полезной. Человеческий глаз и разум жаждут симметрии в искусстве и в природе, и они находят привлекательность в трехмерных формах, которые являются правильными, многогранными и пропускают, а также отражают свет.

Объекты с партиями сторон - например, додекаэдр, имеющий 12 одинаковых пятисторонних граней, составляющих его поверхность - интересно смотреть, но математика, лежащая в основе их геометрии, может быть в лучшем случае утомительной.

Пятиугольная (то есть пятиугольная) призма - полезная отправная точка для студентов, пытающихся научиться вычислять объемы правильных многогранников , из которых являются призмами одного из многих распространенных типов и бесконечного числа теоретических типов. .

Мир многогранников

«Многогранники», возможно, звучат как монстры из мира греческой мифологии. Фактически, «греческая» часть этого слова верна: слово многогранник (единственное число многогранник ) означает «много оснований», и в мире математики вы можете многое сделать с этими основаниями, учитывая их размеры. и углы.

Многогранник - это любое трехмерное тело, состоящее из плоских граней. Грань, на которой изображен «покоящийся» многогранник, является его основанием, которое может быть идентичным всем, некоторым или ни одной из других граней. Самый простой пример - пирамида , имеющая четыре треугольные грани. Куб имеет шесть одинаковых граней и является частным случаем кубоида , который представляет собой любую шестигранную фигуру, состоящую из прямых углов.

Что такое призма?

Призма - это многогранник, который можно было бы создать, «проталкивая» многоугольник или двумерную фигуру с тремя или более углами по прямой линии через пространство, чтобы сформировать два конца и соединить их, используя столько параллельные плоскости, поскольку призма имеет стороны.Простейшая призма состоит из двух равносторонних треугольников, грани которых параллельны друг другу, и разделены тремя одинаковыми прямоугольными гранями, ориентированными под углом 60 градусов к соседним граням.

Пятиугольная призма То же самое расширено и включает два дополнительных угла и еще две грани. Таким образом, он включает два пятиугольных основания и пять прямоугольных сторон. Следовательно, это гептаэдр , потому что у него семь сторон ( гепта - префикс Грека, означающий «семь»).

Площадь пятиугольника

Площадь любого правильного многоугольника (то есть, у которого все углы и стороны идентичны) с длиной стороны с можно найти по формуле:

A = (n) (s 2 ) / [4 tan (180 / n)]

Для пятиугольника (n = 5) это уменьшается до:

Площадь пятиугольной призмы

Если вы должны «развернуть» или «сплющить» a Пятиугольная призма из картона, у вас останутся две одинаковые грани пятиугольника (основания призмы) и пять одинаковых прямоугольных граней.

Две стороны каждого прямоугольника совпадают со сторонами пятиугольника; назовите эту длину с . Если вы назовете меткой две другие стороны (которые могут быть сколь угодно короткими или длинными, по крайней мере, теоретически) h , тогда площадь каждой прямоугольной стороны будет sh , а площадь всех сторон совмещенный .

Пятиугольные грани две, поэтому общая площадь пятиугольной призмы составляет:

A = 5 (sh) + 2 (1.72s 2 ) = 5 (sh) + 3.44s 2

Объем пятиугольной призмы

Для любой стандартной призмы объем равен площади основания, умноженной на высоту. Это означает умножение 1,72s 2 , значения площади пятиугольника из предыдущего уравнения, на высоту h в любых единицах измерения, которые вы используете. Формула объема:

Например, если у вас есть большая пятиугольная призма с высотой 30 см (0,3 м) и сторонами 10 см (0,1 м), площадь будет:

A = 5 (sh) + 2 (1.72s 2 ) = 5 (0,3 м) (0,1 м) + 2 (1,72) (0,1 м) 2

= 0,15 + 0,0344 = 0,1844 м 2

V = (1,72) (0,1 м) 2 (0,3 м) = 0,00516 = 5,16 × 10 -3 м 3

Периметр, площадь и объем

1. В периметр из многоугольник (или любая другая замкнутая кривая, например окружность) - это расстояние вокруг внешней стороны.

2. В площадь из простая замкнутая плоская кривая - это количество внутреннего пространства.

3. В объем из твердый 3 D shape - это количество перемещаемого им пространства.

Некоторые формулы для общих 2 -мерные плоские фигуры и 3 -мерные тела приведены ниже. Ответов один, два, или три измерения; периметр измеряется в линейные единицы , площадь измеряется в квадратные единицы , а также объем измеряется в кубические единицы .

Стол 1 . Формулы периметра

Форма

Формула

Переменные

Квадрат

п знак равно 4 s

s длина стороны квадрата.

Прямоугольник

п знак равно 2 L + 2 W

L а также W - длины сторон прямоугольника (длина и ширина).

Треугольник

а + б + c

а , б , а также c - длины сторон.

п знак равно а + б + а 2 + б 2

а а также б длины двух катетов треугольника

Круг

р это радиус и d это диаметр.

Таблица 2. Формулы площади

Форма

Формула

Переменные

Квадрат

s длина стороны квадрата.

Прямоугольник

L а также W - длины сторон прямоугольника (длина и ширина).

Треугольник

А знак равно 1 2 б час

б а также час основание и высота

Треугольник

А знак равно s ( s - а ) ( s - б ) ( s - c ) куда s знак равно а + б + c 2

а , б , а также c длины сторон и s полупериметр

Параллелограмм

б длина основания и час это высота.

Трапеция

А знак равно б 1 + б 2 2 час

б 1 а также б 2 - длины параллельных сторон и час расстояние (высота) между параллелями.

Круг

А знак равно π р 2

р это радиус.

Таблица 3. Формулы объема

Форма

Формула

Переменные

Куб

s длина стороны.

Правая прямоугольная призма

L это длина, W это ширина и ЧАС это высота.

Призма или цилиндр

А площадь основания, час это высота.

Пирамида или конус

А площадь основания, час это высота.

Сфера

р это радиус.

Объем пирамиды - объяснение и примеры

Пирамида представляет собой трехмерную диаграмму , многоугольное основание которой соединено с вершиной треугольными гранями в геометрии. Треугольные грани пирамиды известны как боковые грани, а расстояние по перпендикуляру от вершины (вершины) до основания пирамиды известно как высота.

Пирамиды названы в честь формы их оснований. Например, прямоугольная пирамида имеет прямоугольное основание, треугольная пирамида имеет треугольное основание, пятиугольная пирамида имеет пятиугольное основание и т. Д.

Как найти объем пирамиды?

В этой статье мы обсудим , как найти объем пирамид с различными типами оснований и решить задачи со словами, связанные с объемом пирамиды.

Объем пирамиды определяется как количество кубических единиц, занимаемых пирамидой.Как указывалось ранее, название пирамиды происходит от формы ее основания. Поэтому объем пирамиды зависит еще и от формы основания.

Чтобы определить объем пирамиды, вам нужны только размеры основания и высота.

Объем формулы пирамиды

Общий объем формулы пирамиды определяется как:

Объем пирамиды = 1/3 x площадь основания x высота.

V = 1/3 A b h

Где A b = площадь многоугольного основания, а h = высота пирамиды.

Примечание: Объем пирамиды незначительно варьируется в зависимости от многоугольного основания.

Пример 1

Рассчитайте объем прямоугольной пирамиды с основанием 8 см на 6 см и высотой 10 см.

Решение

Для прямоугольной пирамиды основанием является прямоугольник.

Площадь прямоугольника = l x w

= 8 x 6

= 48 см 2 .

А по объему формулы пирамиды имеем

Объем пирамиды = 1 / 3A b h

= 1/3 x 48 см 2 x 10 см

= 160 см 3 .

Пример 2

Объем пирамиды 80 мм 3 . Если основание пирамиды представляет собой прямоугольник длиной 8 мм и шириной 6 мм, найдите высоту пирамиды.

Раствор

Объем пирамиды = 1 / 3A b h

⇒ 80 = 1/3 x (8 x 6) xh

⇒ 80 = 15,9h

Разделив обе стороны на 15,9, получаем,

h = 5

Таким образом, высота пирамиды 5 мм.

Объем квадратной пирамиды

Чтобы получить формулу объема квадратной пирамиды, заменим площадь основания (A b ) площадью квадрата (Площадь квадрата = a 2 )

Следовательно, объем квадратной пирамиды определяется как:

Объем квадратной пирамиды = 1/3 xa 2 xh

V = 1/3 a 2 h

Где a = длина стороны основания (квадрат) и h = высота пирамиды.

Пример 3

Квадратная пирамида имеет длину основания 13 см и высоту 20 см. Найдите объем пирамиды.

Решение

Дано:

Длина основания, a = 13 см

высота = 20 см

Объем квадратной пирамиды = 1/3 a 2 h

При подстановке имеем,

Объем = 1/3 x 13 x 13 x 20

= 1126,7 см 3

Пример 4

Объем квадратной пирамиды составляет 625 кубических футов.Если высота пирамиды 10 футов, каковы размеры основания пирамиды?

Решение

Дано:

Объем = 625 кубических футов.

высота = 10 футов

По объему квадратной формулы

⇒ 625 = 1/3 a 2 h

⇒ 625 = 1/3 xa 2 x 10

⇒ 625 = 3,3a 2

⇒ a 2 = 187,5

⇒ a = = √187,5

a = 13,7 футов

Итак, размеры основания будут 13.7 футов на 13,7 футов.

Пример 5

Базовая длина квадратной пирамиды в два раза больше высоты пирамиды. Найдите размеры пирамиды, если она имеет объем 48 кубических ярдов.

Решение

Пусть высота пирамиды = x

длина = 3x

объем = 48 кубических ярдов

Но объем квадратной пирамиды = 1/3 a 2 h

Заменить .

⇒ 48 = 1/3 (3x) 2 (x)

⇒ 48 = 1/3 (9x 3 )

⇒ 48 = 3x 3

Разделите обе части на 3, чтобы получить,

⇒ x 3 = 16

⇒ x = 3 √16

x = 2.52

Следовательно, высота пирамиды = x ⇒ 2,53 ярда,

и каждая сторона основания равна 7,56 ярда

Объем трапециевидной пирамиды

Трапециевидная пирамида - это пирамида, основание которой представляет собой трапецию или трапецию. .

Поскольку мы знаем, площадь трапеции = h 1 (b 1 + b 2 ) / 2

Где h = высота трапеции

b 1 и b 2 являются длины двух параллельных сторон трапеции.

Учитывая общую формулу объема пирамиды, мы можем вывести формулу объема трапециевидной пирамиды как:

Объем трапециевидной пирамиды = 1/6 [h 1 (b 1 + b 2 )] H

Примечание: При использовании этой формулы всегда помните, что h - высота трапециевидного основания, а H - высота пирамиды.

Пример 6

Основание пирамиды представляет собой трапецию с параллельными сторонами длиной 5 м и 8 м и высотой 6 м.Если пирамида имеет высоту 15 м, найдите объем пирамиды.

Решение

Дано;

h = 6 м, H = 15 м, b 1 = 5 м и b 2 = 8 м

Объем трапециевидной пирамиды = 1/6 [h 1 (b 1 + b 2 )] h

= 1/6 x 6 x 15 (5 + 8)

= 15 x 13

= 195 м 3 .

Объем треугольной пирамиды

Как известно, площадь треугольника;

Площадь треугольника = 1/2 b h

Объем треугольной пирамиды = 1/3 (1/2 b h) H

Где b и h - длина основания и высота треугольника.H - высота пирамиды.

Пример 7

Найдите площадь треугольной пирамиды с площадью основания 144 дюйма, 2 и высотой 18 дюймов

Решение

Дано:

Площадь основания = 144 дюйма 2

H = 18 дюймов

Объем треугольной пирамиды = 1/3 (1/2 bh) H

= 1/3 x 144 x 18

= 864 дюйма 3

Практика Задачи
  1. Каков объем пирамиды высотой 12 единиц с прямоугольным основанием размером 8 единиц на 9 единиц?
  2. Рассмотрим пирамиду с основанием равнобедренного треугольника с двумя сторонами длиной 14 единиц каждая и 16 единиц.Найдите объем пирамиды, если ее высота 22 единицы.
  3. Рассмотрим пирамиду с квадратным основанием по 11 см каждая. Если объем этой пирамиды 520 см 3 , какова высота этой пирамиды?
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Кажется, мы не можем найти эту страницу

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}} *

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}} / 500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$ item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$ select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$ select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

Пентагон додекаэдр векторный клипарт в AI, SVG, EPS, PSD, PNG

Додекаэдр, платонический твердый шаблон. Бумажная модель додекаэдра, одного из пяти платоновых тел, для создания трехмерной поделки из зеленой пятиугольной сети.

Набор фигур конуса и пирамиды, плакат и коллекция геометрических фигур, шестиугольная призма и сложные элементы, векторные иллюстрации, изолированные на белом

набор словаря трехмерных фигур на английском языке с их названиями, коллекция картинок для обучения детей, красочные геометрические фигуры, флеш-карта детей дошкольного возраста, простые геометрические символы, трехмерные фигуры для детского сада

Бумажная модель додекаэдра, одного из пяти платоновых тел, созданная вручную из зеленой пятиугольной сети.Ниже все пять с номерами вершин, ребер и граней.

набор словаря трехмерных фигур на английском языке с их названиями, коллекция картинок для обучения детей, красочные геометрические фигуры, флеш-карта детей дошкольного возраста, простые геометрические символы, трехмерные фигуры для детского сада

зеленый куб основные простые трехмерные фигуры, изолированные на белом фоне, значок коробки геометрического куба, куб символа трехмерной формы, клип-арт геометрическая форма куба для обучения детей

Шаблон всех основных 3d фигур в темноте.Реалистично с тенью. Идеально для школы, учебы, дизайнеров

Платоновы тела - правильные выпуклые многогранники в евклидовой геометрии - тетраэдр, шестигранник, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Сфера и октаэдр, различные геометрические формы с оттенками и заголовками, помещенными под изображениями, значки на векторной иллюстрации, изолированные на белом

Октаэдр и икосаэдр, призмы додекаэдра, группа белых геометрических фигур, векторная иллюстрация, многоугольные призмы, треугольники и пятиугольники, фигуры

Векторная иллюстрация реалистичных геометрических фигур: куб, призма, цилиндр, конус, сфера, пирамида или тетраэдр и октаэдр, икосаэдр, додекаэдр на белом фоне

Основные трехмерные геометрические формы: многоугольник, труба, цилиндр белые изолированные шаблоны с тенями.Набор геометрических фигур и форм. Векторная иллюстрация

розовый икосаэдр основные простые трехмерные формы, изолированные на белом фоне, геометрическая иконка икосаэдра, символ трехмерной формы икосаэдр, клип-арт геометрическая форма икосаэдра для обучения детей

Платоновы тела формы и линии абстрактные геометрические бесшовные модели 3d. Красочные векторные иллюстрации в плоский на темном фоне.

Геометрические формы, коллекция 3D, баннер с фигурами, конус и куб, додекаэдр и гексагональная призма, набор форм векторные иллюстрации, изолированные на зеленом

Реалистичные белые основные 3d-формы сверху и спереди, изолированные на прозрачном альфа-фоне

3D-модели Платоновых тел серого цвета и каркасные модели черного цвета.Правильные выпуклые многогранники с одинаковым количеством одинаковых граней, пересекающихся в каждой вершине. Иллюстрация помечена английским языком над белой. Вектор.

Зеленые платоновые тела и каркасные модели, все тела с одинаковой длиной сторон. Правильные выпуклые многогранники с одинаковым количеством одинаковых граней, пересекающихся в каждой вершине. Английский. иллюстрация. Вектор.

Платоновы тела - правильные выпуклые многогранники в евклидовой геометрии - тетраэдр, шестигранник, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.Вектор, изолированные на белом, с использованием прозрачных пленок и градиентов.

зеленый додекаэдр основные простые трехмерные формы, изолированные на белом фоне, значок геометрического додекаэдра, символ трехмерной формы додекаэдр, клип-арт геометрическая форма додекаэдра для обучения детей

Каркасные модели Платоновых тел. Правильные выпуклые многогранники в трехмерном пространстве с одинаковым количеством идентичных граней, встречающихся в каждой вершине. Черно-белые иллюстрации с надписью на английском языке. Вектор

Додекаэдр трехмерной формы плоские грани, правильная сплошная фигура с двенадцатью равными пятиугольными гранями геометрические трехмерные формы в черно-белом векторе

синий октаэдр основные простые трехмерные формы, изолированные на белом фоне, значок геометрического октаэдра, октаэдр символа трехмерной формы, клип-арт геометрическая форма октаэдра для обучения детей

Вид сверху реалистичный белый математический базовый набор векторных фигур 3d.Трехмерные геометрические фигуры. Иллюстрация формы фигуры геометрической формы

Векторная иллюстрация EPS 10

Базовые трехмерные геометрические фигуры. Изолированные на белом фоне. Векторная иллюстрация наброски.

Белые геометрические 3d фигуры. Форма геометрии для обучения. Шестиугольная и треугольная призма, цилиндр и конус, сфера и пирамида, изолированные на белом, твердые тела набор векторные иллюстрации

Реалистичные черные базовые геометрические 3d-формы сверху и спереди, изолированные на темном прозрачном альфа-фоне

Векторная иллюстрация, линейный дизайн

фиолетовый тетраэдр основные простые трехмерные фигуры, изолированные на белом фоне, значок геометрического тетраэдра, трехмерный символ тетраэдра, клип-арт геометрическая форма тетраэдра для обучения детей

набор словаря трехмерных фигур на английском языке с их названиями, коллекция картинок для обучения детей, красочные геометрические фигуры, флеш-карта детей дошкольного возраста, простые геометрические символы, трехмерные фигуры для детского сада

Зеленый глянцевый фон из треугольников с темными и светлыми частями.

Пятиугольная призма

. Геометрическая фигура Элемент для мобильной концепции и веб-приложений на сером фоне

Пять платоновых тел, трехмерные фигуры и соответствующие сети. Отдельные векторные иллюстрации на белом фоне.

Платоново тело в геометрии, состоящее из двенадцати правильных пятиугольных граней, по три пересекающихся в каждой вершине. 3D структура, изолированные на белом фоне.

красная сфера основные простые 3d формы, изолированные на белом фоне, значок геометрической сферы, сфера символа 3d формы, клип арт геометрическая форма сферы для обучения детей

коричневая шестиугольная пирамида основные простые трехмерные фигуры, изолированные на белом фоне, значок геометрической шестиугольной пирамиды, символ трехмерной формы, гексагональная пирамида, клип-арт, геометрическая трехмерная форма для обучения детей

набор словаря трехмерных фигур на английском языке с их названиями, коллекция картинок для обучения детей, красочные геометрические фигуры, флеш-карта детей дошкольного возраста, простые геометрические символы, трехмерные фигуры для детского сада

набор словаря трехмерных фигур на английском языке с их названиями, коллекция картинок для обучения детей, красочные геометрические фигуры, флеш-карта детей дошкольного возраста, простые геометрические символы, трехмерные фигуры для детского сада

оранжевая квадратная пирамида, основные 3d простые формы, изолированные на белом фоне, значок геометрической квадратной пирамиды, символ 3d-формы, квадратная пирамида, клип-арт, геометрическая форма трапеции для детей, обучающихся

набор словаря трехмерных фигур на английском языке с их названиями, коллекция картинок для обучения детей, красочные геометрические фигуры, флеш-карта детей дошкольного возраста, простые геометрические символы, трехмерные фигуры для детского сада

оранжевый конус основных простых трехмерных фигур, изолированных на белом фоне, значок геометрического конуса, конус символа трехмерной формы, клип-арт геометрическая форма конуса для обучения детей

набор словаря трехмерных фигур на английском языке с их названиями, коллекция картинок для обучения детей, красочные геометрические фигуры, флеш-карта детей дошкольного возраста, простые геометрические символы, трехмерные фигуры для детского сада

набор словаря трехмерных фигур на английском языке с их названиями, коллекция картинок для обучения детей, красочные геометрические фигуры, флеш-карта детей дошкольного возраста, простые геометрические символы, трехмерные фигуры для детского сада

пурпурная шестиугольная призма основные простые трехмерные фигуры, изолированные на белом фоне, значок геометрической шестиугольной призмы, символ трехмерной формы, шестиугольная призма, картинки геометрической формы шестиугольной призмы для обучения детей

Сплошные сети: подберите правильную сетку для каждой твердой формы.- Рабочий лист для образования.

фиолетовый тор основные простые трехмерные формы, изолированные на белом фоне, значок геометрического тора, символ трехмерной формы тор, клип арт геометрическая форма трапеции для обучения детей

розовый икосаэдр основные простые трехмерные формы, изолированные на белом фоне, геометрическая иконка икосаэдра, символ трехмерной формы икосаэдр, клип-арт геометрическая форма икосаэдра для обучения детей

значок треугольной призмы. Геометрическая фигура Элемент для мобильной концепции и веб-приложений на сером фоне

Векторная иллюстрация геометрических фигур различной формы, сфера и цилиндр, куб и кубоид, тетраэдр и октаэдр, квадратные и гексагональные пирамиды

Сфера и набор других геометрических фигур, включая призмы, конус и октаэдр с додекаэдром, фигуры с названиями под ними на векторной иллюстрации

Геометрическая форма для иллюстрации образования на прозрачном фоне.Набор векторных реалистичные белые основные 3d формы. Векторная иллюстрация Eps10

оранжевая квадратная пирамида, основные 3d простые формы, изолированные на белом фоне, значок геометрической квадратной пирамиды, символ 3d-формы, квадратная пирамида, клип-арт, геометрическая форма трапеции для детей, обучающихся

набор словаря трехмерных фигур на английском языке с их названиями, коллекция картинок для обучения детей, красочные геометрические фигуры, флеш-карта детей дошкольного возраста, простые геометрические символы, трехмерные фигуры для детского сада

желтая пентаграмма микрофонная призма основные простые трехмерные фигуры, изолированные на белом фоне, геометрическая пентаграмма микрофонная призма, символ в форме звезды в 3D, клип-арт геометрическая форма звезды для детей, обучающихся

набор словаря трехмерных фигур на английском языке с их названиями, коллекция картинок для обучения детей, красочные геометрические фигуры, флеш-карта детей дошкольного возраста, простые геометрические символы, трехмерные фигуры для детского сада

Векторные платонические формы.3D икосаэдр и додекаэдр векторные тела

значок геометрических фигур

Базовые трехмерные геометрические фигуры. Изолированные на белом фоне. Векторные иллюстрации.

геометрических фигур, значок прямоугольного контура. Элементы иллюстрации значок геометрические фигуры. Знаки и символы могут использоваться для Интернета, логотипа, мобильного приложения, пользовательского интерфейса, пользовательского интерфейса на белом фоне

Доступны в высоком разрешении и нескольких размерах, чтобы соответствовать потребностям вашего проекта.

набор словаря трехмерных фигур на английском языке с их названиями, коллекция картинок для обучения детей, красочные геометрические фигуры, флеш-карта детей дошкольного возраста, простые геометрические символы, трехмерные фигуры для детского сада

фиолетовый тор основные простые трехмерные формы, изолированные на белом фоне, значок геометрического тора, символ трехмерной формы тор, клип арт геометрическая форма трапеции для обучения детей

Абстрактный геометрический фон.Современный футуристический дизайн обложки. Состав 3D градиент формы. Красочная сетка градиента. Состав динамической абстрактной жидкости форм. Стиль техно 80-х. Вектор

Додекаэдр. Геометрическая фигура с основанием из шестиугольника. Декоративный элемент. Рубиновый кристалл. Плоская абстрактная форма. Изометрическая форма. Плоский дизайн, линейные и цветовые стили. Отдельные векторные иллюстрации

синяя пятиугольная призма, простая простая трехмерная форма, изолированная на белом фоне, значок геометрической пятиугольной призмы, символ трехмерной пятиугольной призмы, клип-арт, геометрическая форма пятиугольной призмы для обучения детей

Коллекция трехмерных геометрических фигур, эскизов различных форм, таких как треугольники и кубы, на векторных иллюстрациях, изолированных на белом

оранжевый конус основных простых трехмерных фигур, изолированных на белом фоне, значок геометрического конуса, конус символа трехмерной формы, клип-арт геометрическая форма конуса для обучения детей

синий цилиндр основные простые 3d-формы, изолированные на белом фоне, значок геометрического цилиндра, символ 3d-формы, цилиндр, клип-арт, геометрическая форма цилиндра для обучения детей

набор словаря трехмерных фигур на английском языке с их названиями, коллекция картинок для обучения детей, красочные геометрические фигуры, флеш-карта детей дошкольного возраста, простые геометрические символы, трехмерные фигуры для детского сада

набор словаря трехмерных фигур на английском языке с их названиями, коллекция картинок для обучения детей, красочные геометрические фигуры, флеш-карта детей дошкольного возраста, простые геометрические символы, трехмерные фигуры для детского сада

3d шаблон пирамид.Реалистично с тенью. Идеально для школы, учебы, дизайнеров

Пять платоновых тел плюс сети и имена. Отдельные векторные иллюстрации на черном фоне.

Базовые трехмерные геометрические фигуры. Изолированные на черном фоне. Векторная иллюстрация наброски. Диметрическая проекция.

синяя треугольная призма, простая простая трехмерная форма, изолированная на белом фоне, значок геометрической треугольной призмы, символ трехмерной формы, треугольная призма, клип-арт, геометрическая треугольная форма призмы для обучения детей

набор словаря трехмерных фигур на английском языке с их названиями, коллекция картинок для обучения детей, красочные геометрические фигуры, флеш-карта детей дошкольного возраста, простые геометрические символы, трехмерные фигуры для детского сада

набор словаря трехмерных фигур на английском языке с их названиями, коллекция картинок для обучения детей, красочные геометрические фигуры, флеш-карта детей дошкольного возраста, простые геометрические символы, трехмерные фигуры для детского сада

Синие платоновые тела и черные каркасные модели, все тела одного размера.Правильные выпуклые многогранники с одинаковым количеством одинаковых граней, пересекающихся в каждой вершине. Иллюстрация с надписью на английском языке. Вектор.

набор словаря трехмерных фигур на английском языке с их названиями, коллекция картинок для обучения детей, красочные геометрические фигуры, флеш-карта детей дошкольного возраста, простые геометрические символы, трехмерные фигуры для детского сада

Платоновы тела серого цвета 3D. Правильные выпуклые многогранники в трехмерном пространстве с одинаковым количеством идентичных граней, встречающихся в каждой вершине.Изолированная иллюстрация на белой предпосылке. Вектор

Додекаэдр с сеткой. Правильный многогранник. Векторная иллюстрация.

красная сфера основные простые 3d формы, изолированные на белом фоне, значок геометрической сферы, сфера символа 3d формы, клип арт геометрическая форма сферы для обучения детей

Икосаэдр, рисование линии вектор, сакральная геометрия, платонические геометрические твердые формы. Геометрический дизайн твердых форм. Набор геометрических фигур платоновых тел пирамиды и куба векторные иллюстрации.

пурпурная шестиугольная призма основные простые трехмерные фигуры, изолированные на белом фоне, значок геометрической шестиугольной призмы, символ трехмерной формы, шестиугольная призма, картинки геометрической формы шестиугольной призмы для обучения детей

Набор 3D объемных черных фигур. Реалистичные векторные примитивы с тенями

фиолетовый тетраэдр основные простые трехмерные фигуры, изолированные на белом фоне, значок геометрического тетраэдра, трехмерный символ тетраэдра, клип-арт геометрическая форма тетраэдра для обучения детей

Набор фигур, сфера и затупленный конус, куб и кубоид, векторная иллюстрация, квадратные и шестиугольные пирамиды, треугольная призма, цилиндрическая и конусная фигура

Основные трехмерные геометрические фигуры на белом фоне.Все основные 3D-формы шаблона в темноте. Реалистичные геометрические фигуры черного цвета. Векторная иллюстрация.

Шестиугольная пирамида и призма, рисунки додекаэдра, пятиугольник, баннер с геометрическими фигурами, многоугольная коллекция, образец текста, пунктирная линия

Коллекция фигур и текст, декаэдр и икосаэдр, конус и куб, кубоид с пятиугольником, призма, набор фигур, изолированные на векторной иллюстрации

Теменное вовлечение в конструктивную апраксию, как измерено с помощью задачи копирования Пентагона

Dement Geriatr Cogn Disord.2018 сен; 46 (1-2): 50–59.

Стефан Ван дер Стигчель

a Экспериментальная психология, Институт Гельмгольца, Утрехтский университет, Утрехт, Нидерланды

Йерун де Брессер

b Отделение радиологии, Медицинский центр Лейденского университета 9553 9000, Нидерланды c Отделение радиологии, Университетский медицинский центр Утрехта, Утрехт, Нидерланды

Rutger Heinen

d Отделение неврологии, Университетский медицинский центр Утрехта, Утрехт, Нидерланды

Huiberdina L.Koek

e Отделение гериатрии, Университетский медицинский центр Утрехта, Утрехт, Нидерланды

Яэль Д. Реймер

d Отделение неврологии, Университетский медицинский центр Утрехта, Утрехт, Нидерланды

Герт

Бисселс d Отделение неврологии, Университетский медицинский центр Утрехта, Утрехт, Нидерланды

Эстер ван ден Берг

f Отделение неврологии, Медицинский центр Университета Эразма MC, Роттердам, Нидерланды

a Experimental Psychology, Helmholtz Институт Утрехтского университета, Утрехт, Нидерланды

b Отделение радиологии, Медицинский центр Лейденского университета, Лейден, Нидерланды

c Отделение радиологии, Университетский медицинский центр Утрехта, Утрехт, Нидерланды

d Отделение неврологии, Университетский медицинский центр Утрехта, Утрехт, Нидерланды

e Отделение гериатрии, Университетский медицинский центр Утрехта, Утрехт, Нидерланды

f Отделение неврологии, Медицинский центр Университета Эразма MC, Роттердам, Нидерланды

* Стефан Ван дер Стигчель, Экспериментальная психология, Институт Гельмгольца , Heidelberglaan 1, NL-3584 CS Utrecht (Нидерланды), E-Mail [email protected]

Члены Утрехтской исследовательской группы по сосудистым когнитивным нарушениям перечислены в Приложении.

Поступило 23.03.2018 г .; Принято к печати 26 июня 2018 г.

Эта статья цитируется в других статьях в PMC.

Abstract

Дефицит копирования («конструктивная апраксия») обычно определяется как многогранный дефицит. Точные нейронные корреляты различных типов ошибок копирования неизвестны. Чтобы оценить, связаны ли разные категории ошибок на рисунке пятиугольника с разными нейронными коррелятами, мы исследовали рисунки пятиугольника MMSE у людей с субъективными когнитивными жалобами, легкими когнитивными нарушениями или ранним слабоумием из-за болезни Альцгеймера.Мы приняли качественный метод оценки для теста пятиугольника копирования (QSPT), который классифицирует различные возможные ошибки при копировании, а не дихотомические категории «правильные» или «неправильные». Мы коррелировали (региональные) объемы серого вещества с производительностью по различным категориям QSPT. Результаты показали, что общий балл QSPT был конкретно связан с объемом серого вещества в теменной области, а не с объемом серого вещества во фронтальной, височной и затылочной областях. Более детальный анализ ошибок показывает, что оценка пересечения и количество углов имеют общие нейронные корреляты и связаны с определенными подобластями теменной коры.Эти результаты согласуются с идеей о том, что конструктивная апраксия может быть связана с неспособностью правильно интегрировать визуальную информацию от одной фиксации к другой, процесс, называемый пространственным переназначением.

Ключевые слова: Конструктивная апраксия, Нейродегенеративное заболевание, Зрительное внимание

Копирование рисунка - сложная когнитивная операция, которая включает в себя различные когнитивные области, включая зрительное восприятие, визуальные образы и графическое производство (т.е. команда [1]).Дефицит копирования может возникнуть после инсульта [2, 3], но также наблюдается при болезни Альцгеймера (БА) [4, 5], деменции с тельцами Леви [4] и у пациентов с легкими когнитивными нарушениями (MCI) [5, 6 ]. Недостатки в копировании обычно называют «конструкционной апраксией», определяемой как приобретенный дефицит точного копирования даже простых рисунков без трудностей с выполнением индивидуальных двигательных движений [7]. Для конструкционной апраксии, помимо трудностей с копированием, также характерны проблемы со строительством и сборкой предметов.Ala et al. [4] сообщили, что 60% пациентов с БА, включенных в их исследование, испытывали трудности с рисованием, что было объективировано с помощью задачи копирования Пентагона в Краткой оценке психического состояния (MMSE).

Диапазон когнитивных функций, задействованных в копировании, подразумевает, что объединяющее объяснение всех конструктивных апраксий неправдоподобно. Учитывая, что для точного копирования требуется широко распространенная нейронная сеть [8], повреждение различных частей этой сети может привести к различным симптомам в задачах копирования.Поэтому было высказано предположение, что конструктивную апраксию не следует рассматривать как единичный дефицит, а лучше определять как многогранный дефицит, который может быть результатом различных нейронных коррелятов [9]. Действительно, было высказано предположение, что дефицит после лобного или теменного повреждения различается [обзор см. 10]. В этом объяснении повреждение лобных областей больше связано с ошибками в персеверации, в результате чего пациенты повторяют одну и ту же фигуру неоднократно, и с ошибками в планировании, что приводит к плохой общей организации [11].Повреждение теменной поверхности приводит к ошибкам вращения и ошибкам ориентации [12] из-за дефицита зрительно-пространственного и избирательного внимания. Недавно даже было высказано предположение, что ключевой недостаток конструктивной апраксии - это неспособность правильно интегрировать визуальную информацию от одной фиксации движения глаза к другой, что является важной функцией задней теменной коры [3]. Однако точные нейронные корреляты различных типов ошибок копирования в настоящее время неизвестны.

Копирование можно оценить с помощью широкого круга задач, в некоторых исследованиях используется задача пятиугольного копирования MMSE [e.g., 13] и другие исследования с использованием комплексной фигуры Рей-Остериет [например, 3]. Задача копирования пятиугольника особенно интересна, учитывая широкое использование MMSE для оценки общих когнитивных способностей и известные временные преимущества использования коротких тестов рисования на ранних этапах процесса болезни [14]. Однако качественные и воспроизводимые методы оценки подпункта пятиугольника давно отсутствуют. Это привело к дискуссии в литературе о критериях для рассмотрения копии нормальной или ненормальной [e.g., 15], что ставит под сомнение наблюдаемую диссоциацию между различными нейродегенеративными расстройствами, основанную на задаче копирования пятиугольника. Недавно был разработан качественный метод подсчета баллов для теста пятиугольника, обеспечивающий хорошую межэкспертную и внутрипредметную надежность [16]. Этот метод, получивший название «метод качественной оценки для теста пятиугольной копии» (QSPT), классифицирует различные возможные ошибки при копировании, что дает больше информации о качестве копии, чем дихотомические категории «правильный» или «неправильный».«Использование дихотомических категорий потенциально пропускает соответствующую информацию о когнитивных процессах, связанных с копированием фигур. Таким образом, этот новый подход является многообещающим, поскольку конкретные ошибки в этом тесте копирования могут указывать на определенные лежащие в основе нейронные корреляты. QSPT позволяет оценивать рисунок пятиугольника по различным конкретным категориям, таким как правильное количество углов, правильное расстояние между объектами и любое возможное неправильное вращение, которое может присутствовать в копии. Например, Mitolo et al.[17] предположили, что количество углов является оптимальным способом отличить деменцию с тельцами Леви от БА [см. Также 6].

В настоящее время отсутствуют различные нейронные корреляты отдельных категорий QSPT. Поэтому, чтобы оценить, связаны ли разные категории ошибок на рисунке пятиугольника с разными нейронными коррелятами, мы исследовали рисунки пятиугольника в популяции клиники памяти, в частности, у людей с субъективными когнитивными жалобами (SCC), MCI или ранней деменцией из-за AD.В частности, мы коррелировали (региональные) объемы серого вещества на 3Т МРТ с показателями различных категорий QSPT. Основываясь на предыдущей литературе, мы ожидали, что ошибки в персеверации и планировании будут связаны с более низкими объемами фронтального серого вещества, тогда как ошибки в пространственном соотношении между составляющими элементами будут связаны с более низкими объемами теменного серого вещества.

Методы

Участники

Девяносто четыре участника с когнитивными жалобами были набраны через клинику памяти в Университетском медицинском центре Утрехта в период с октября 2009 года по февраль 2013 года.Критериями отбора для стандартизованного исследования этих пациентов были: (1) балл по краткой шкале оценки психического статуса (MMSE) ≥20, (2) отсутствие других психических или неврологических расстройств, которые могли бы повлиять на когнитивное функционирование, кроме нейродегенеративных расстройств или цереброваскулярных заболеваний, ( 3) отсутствие недавнего инсульта, не приводящего к инвалидности (<2 лет), или любого инсульта, приводящего к инвалидности, большой депрессии или злоупотребления алкоголем или психоактивными веществами в анамнезе. Стандартизированная оценка включала анамнез, физикальное и неврологическое обследование, лабораторные исследования (общие измерения, такие как глюкоза, функция почек, гемоглобин и ТТГ, которые обычно выполняются в условиях клиники памяти), нейропсихологическое обследование (более подробно описанное ниже) и 3Т МРТ.Четыре участника были исключены из-за ненадежных измерений объема на МРТ (например, артефактов движения). В настоящее исследование были включены все участники с диагнозом ранней деменции из-за AD (eAD), амнестического MCI (aMCI) или SCC. Диагнозы устанавливались на многопрофильном совещании в соответствии с международно признанными критериями (критерии NINCDS-ADRDA для AD [18]; критерии Петерсена для aMCI, т.е. на 1,5 SD ниже нормативного среднего [19]).

Сорок один участник соответствовал критериям eAD (30 вероятных AD, 11 возможных AD).Пациенты с другими типами деменции ( n = 4) были исключены. Тридцать восемь участников соответствовали критериям aMCI. Участники с SCC ( n = 7) были включены, если они приобрели SCC, без объективных нарушений при нейропсихологическом тестировании. Для целей этого исследования были включены участники с SCC, чтобы обеспечить более широкий общий диапазон показателей нейропсихологической оценки и объемов серого вещества на МРТ. Исследование было проведено в соответствии с принципами Хельсинкской декларации и одобрено местным комитетом по этике.Все участники дали письменное информированное согласие.

Нейропсихологическое обследование

Участники выполнили стандартизированное нейропсихологическое обследование. Тесты проводились обученным нейропсихологом и охватывали основные когнитивные функции. Вкратце, набор тестов включал следующие тесты: для оценки внимания использовалось прямое состояние цифрового диапазона (шкала интеллекта Векслера, третье издание, WAIS-III). Рабочая память оценивалась с учетом обратного состояния WAIS-III Digit Span.Для запоминания использовались тест на визуальную ассоциацию и голландскую версию теста на слуховое вербальное обучение Рей (RAVLT, немедленное и отложенное воспроизведение). Тест на создание следа был включен как мера скорости обработки (часть A) и исполнительного функционирования (соотношение части B / части A). Аналогичным образом, тест цвета Струпа использовался для оценки скорости обработки (карта I и II) и исполнительного функционирования (соотношение карты III / карты II). Управленческое функционирование и речь дополнительно оценивались с помощью теста на беглость речи (наименование животных).Визуальное восприятие оценивалось с помощью субтестов «Неполные буквы и распознавание позиции» батареи «Визуальный объект и восприятие пространства» (VOSP). Краткий экзамен на психическое состояние (MMSE) был включен в качестве меры глобального когнитивного функционирования.

Переоценка баллов MMSE-Пентагон

Копирование перекрывающихся пятиугольников является стандартным подпунктом MMSE. Традиционно он оценивается дихотомически как правильный или неправильный. Правильная копия предполагает воспроизведение двух фигур с 5 углами, которые пересекаются, образуя четырехугольную фигуру.Качественная оценка копии пятиугольника, как правило, не выполняется, что исключает потенциально важную информацию о когнитивных процессах, связанных с копированием фигур. С этой целью Caffarra et al. [16] представили качественный и воспроизводимый метод оценки копии пятиугольника (качественный метод оценки копии пятиугольника; QSPT). Он учитывает пять критериев оценки (таблица): количество углов, расстояние / пересечение между двумя фигурами, замыкание / размыкание контура, поворот одного или обоих пятиугольников и замыкание.Общий балл также рассчитывается в соответствии с суммой индивидуальных баллов каждого параметра в диапазоне от 0 до 13. Все рисунки пятиугольника были собраны из исходных форм MMSE и были независимо переоценены в соответствии с критериями QSPT двумя авторами (SvdS , EvdB). Любые расхождения между оценками разрешались на консенсусной встрече. См. Примеры выставления оценок на рисунке.

Примеры оценки пятиугольной системы оценки QSPT.

Таблица 1

Метод качественной оценки теста пятиугольного копирования (QSPT) [16]

9114 9114 7–5 3139 9.Закрытие / открытие a Вращение b MRI Данные МРТ получали на сканере Philips 3T (Achieva; Philips, Best, Нидерланды). Для каждого участника был выполнен стандартизированный протокол сканирования МРТ, состоящий из трехмерной T1-взвешенной последовательности (192 среза, размер вокселя: 1.00 × 1,00 × 1,00 мм, время повторения / время эха: 7,9 / 4,5 мс). Трехмерные T1-взвешенные изображения были обработаны с использованием конвейера recon-all в Freesurfer (http://surfer.nmr.mgh.harvard.edu [20]). В рамках этого конвейера маска мозга и реконструированные корковые поверхности подвергались визуальному осмотру, а неточности сегментации корректировались вручную в соответствии с инструкциями пользователя Freesurfer. Кортикальный атлас на основе гирали Desikan-Killiany [21] был использован для разделения сегментов серого вещества на анатомические / функциональные области мозга.Объемы серого вещества на долю и на область мозга были извлечены и использованы для дальнейшего анализа.

Статистический анализ

Межгрупповые различия в характеристиках были проанализированы с помощью дисперсионного анализа для непрерывных переменных, U-критерия Манна-Уитни для непараметрических данных и критериев χ 2 для пропорций. Связь между общим баллом QSPT и объемом серого вещества в общей лобной, теменной, височной и затылочной долях была изучена в общей популяции исследования с помощью анализа линейной регрессии с поправкой на возраст, пол и общий внутричерепной объем.В случае статистически значимой связи, последующий линейный регрессионный анализ проводился для объема серого вещества в подобластях этой доли и суббаллов QSPT (с поправкой на возраст, пол и общий внутричерепной объем). Поскольку ни один из участников не продемонстрировал сближения с копией пятиугольника, эта переменная была исключена из анализа.

Кроме того, был проведен анализ чувствительности «классических» областей мозга, связанных с патологией типа Альцгеймера (например, медиальная височная доля, предклинье), и показателей памяти (тест визуальной ассоциации, немедленное и отсроченное воспроизведение RAVLT).Таким образом, мы могли определить, являются ли наблюдаемые ассоциации с суббаллами QSPT специфичными для конструкционной апраксии или обусловлены более общим влиянием тяжести заболевания. Все анализы были выполнены с помощью SPSS версии 21 (IBM Corp.).

Результаты

Характеристики исследуемой популяции представлены в таблице. Пациенты с aMCI и eAD были старше группы SCC ( F (2, 83) = 2,17, p <0,05). Группа eAD имела более низкий уровень образования ( p = 0.03). Значимых различий по полу между группами не было (χ 2 (2) = 5,0, p = 0,08). Как и ожидалось, оценка MMSE была значительно ниже для группы eAD по сравнению с aMCI и SCC ( p <0,01). Средний балл по шкале MMSE, равный 24,4 (стандартное отклонение 2,3) для пациентов с eAD, действительно указывает на раннюю стадию AD. Исходный дихотомический (правильный / неправильный) метод оценки пятиугольной копии дает высокий процент (> 78%) правильных ответов. Не было значимой разницы между группами по общему баллу QSPT ( F (2, 83) = 1.49, p <0,05).

Таблица 2

Характеристики исследуемой выборки

Параметр Производительность Оценка
1.Количество углов 10 4
10 ± 1 3
10 ± 2 2
9114 9114 9114 <5 или> 12 0

2. Расстояние / пересечение Правильное пересечение 4
Неправильное пересечение 4 2
Без контакта, расстояние <1 см 1
Без контакта, расстояние> 1 см 0

Закрытие обеих фигур 2
Закрытие только одной фигуры 1
Открытие обеих фигур 0
Правильная ориентация обеих фигур 2
Вращение одной фигуры (либо одна фигура отсутствует, либо это не пятиугольник, то ее невозможно оценить) 1
Вращение обеих фигур (или обеих невозможно оценить, как пятиугольники) 0

5.Закрытие Отсутствует 1
Присутствует 0

Всего Сумма 1–5 0–134

34

, лет V (1,3)
SCC MCI AD
Субъекты, n 69,3 (8,4) 75,1 (8,6) 76,4 (8,2)
Мужчины 6 (86%) 16 (42%) 23 (56%)
Образование a 5.1 (1,5) 5,2 (1,3) 4,7 (1,6)
Средний балл CDR (IQR) 0,5 (0–0,5) 0,5 (0,5–0,5) 1 (0,5–1,0)
MMSE 28,9 (0,7) 27,4 (1,8) 24,4 (2,3)

Пятиугольник копия
34 (90%) 32 (78%)
QSPT всего (диапазон 0–13) 11.9 (1,5) 11,6 (1,3) 10,9 (2,1)

Объемы серого вещества (в% ICV)
9,7 (1,1) 9,4 (1,2)
Теменная GMV 7,3 (1,0) 6,6 (0,7) 6,2 (0,7)
Временная GMV ) 5.9 (0,8) 5,5 (0,7)
Затылочная GMV 3,0 (0,4) 2,7 (0,3) 2,5 (0,3)

Связь между объемом серого вещества и оценкой пятиугольника QSPT

Общий балл QSPT показал значительную связь с объемом серого вещества в теменной области (скорректированный стандартизованный коэффициент регрессии бета 0,39 (95% доверительный интервал от 0,08 до 0,71, p <0,01), но не с объемами серого вещества лобной, височной или затылочные доли (0.28 [от -0,08 до 0,64]; 0,25 [от -0,06 до 0,57]; 0,25 [от -0,05 до 0,55], все p > 0,05). В таблице приведены результаты линейного регрессионного анализа объема серого вещества корковых субрегионов теменной доли и суббаллов QSPT. Эти анализы показывают, что верхний, нижний, супрамаргинальный и постцентральный теменные объемы серого вещества связаны с количеством углов и оценками пересечения пятиугольной копии (диапазон от 0,27 [0,01 до 0,53] до 0,45 [0,19 до 0.72], p <0,05). Кроме того, супрамаргинальный объем теменного серого вещества связан с вращением пятиугольника (0,30 [0,02–0,58], p <0,05), а объем серого вещества задней части поясной извилины связан с пересечением копии пятиугольника (0,29 [0,03-0,55], p <0,05). Критерий закрытия QSPT не был связан ни с одной из теменных частей коры (диапазон от -0,17 [-0,48 до 0,14] до 0,10 [-0,16 до 0,36], все p > 0.05). Из-за порядкового характера некоторых переменных QSPT все анализы были повторены с порядковым регрессионным анализом (PLUM). Эти анализы дали очень похожие результаты (данные не показаны).

Таблица 3

Линейный регрессионный анализ объема серого вещества в теменных подобластях и оценка пятиугольника QSPT

931 пересечение 9125
QSPT всего Углы QSPT QSPT пересечение QSPT QSPT 9114 931 931 поворот 931
Верхняя теменная 0.32 (от 0,07 до 0,57) * 0,31 (от 0,06 до 0,55) * 0,31 (от 0,06 до 0,56) * 0,10 (от -0,16 до 0,36) 0,16 (от -0,09 до 0,42)
Нижняя теменная 0,18 (от -0,09 до 0,45) 0,27 (от 0,01 до 0,53) * 0,28 (0,02 до 0,55) * -0,16 (от -0,44 до 0,11) 0 От −0,17 до 0,37)
Supramarginal 0,37 (0.От 10 до 0,65) * 0,45 (от 0,19 до 0,72) * 0,39 (0,11 до 0,66) * -0,07 (от -0,36 до 0,22) 0,30 (от 0,02 до 0,58) *
Постцентральный 0,28 (от -0,02 до 0,57) 0,33 (от 0,04 до 0,62) * 0,37 (0,08 до 0,66) * -0,12 (от -0,43 до 0,18) 0,2 От -0,07 до 0,51)
Precuneus 0,13 (-0.От 17 до 0,44) 0,25 (от -0,05 до 0,55) 0,21 (от -0,09 до 0,52) -0,17 (от -0,48 до 0,14) 0,10 (от -0,21 до 0,40)
Задняя поясная извилина 0,28 (От 0,02 до 0,54) * 0,24 (от -0,02 до 0,49) 0,29 (от 0,03 до 0,55) * 0,08 (от -0,19 до -0,35) 0,18 (от -0,08 до 0,44)
поясной перешеек 0,09 (от -0,20 до 0,39) 0,20 (от -0,08 до 0.49) 0,01 (от -0,29 до 0,30) 0,04 (от -0,26 до 0,34) 0,13 (от -0,16 до 0,42)

Анализ чувствительности

. ) теменная доля и качественные критерии оценки пятиугольника. В качестве анализа чувствительности мы дополнительно исследовали связь между областями мозга, которые обычно поражаются при БА, и показателями памяти (тест визуальной ассоциации, немедленное и отсроченное воспоминание RAVLT).Действительно, тест визуальной ассоциации достоверно связан с объемом предклинья (стандартизованный коэффициент регрессии 0,58 [0,30 до 0,88], p <0,01) и средним височным (0,32 [0,03 до 0,59], p <0,05). и объем парагиппокампа (0,31 [0,05–0,53], p <0,05), но также демонстрирует умеренные ассоциации с нижней височной и веретенообразной извилиной (см. таблицу). Тест на отложенное вспоминание RAVLT также показывает специфические ассоциации с предклиньем (0.46 [0,20–0,73], p <0,01), верхняя, средняя и нижняя височные области, а также объемы энторинальной и парагиппокампальной областей (диапазон стандартизованных коэффициентов регрессии от 0,22 [0,01 до 0,43] до 0,40 [0,13 до 0,64], все p <0,05). Тест на немедленное вспоминание RAVLT показал связь с более широким диапазоном как теменных, так и височных областей (таблица), что, возможно, указывает на дополнительное участие других (не связанных с памятью) процессов, таких как внимание и исполнительное функционирование.

Таблица 4

Линейный регрессионный анализ связи между объемом серого вещества и производительностью памяти

RAVLT немедленный RAVLT с задержкой Тест визуальной ассоциации
9000 серого вещества
Верхняя теменная 0,23 (от -0,03 до 0,50) 0,18 (от -0,05 до 0,41) 0.08 (от -0,17 до 0,33)
Нижняя теменная 0,51 (от 0,26 до 0,78) ** 0,26 (от 0,02 до 0,50) * 0,24 (от -0,07 до 0,50)
Sup 0,42 (от 0,15 до 0,71) ** 0,14 (от -0,12 до 0,40) -0,01 (от -0,29 до 0,26)
Постцентральный 0,37 (0,08 до 0,68) * 0,21 (От -0,06 до 0,48) 0,25 (от -0,03 до 0.53)
Precuneus 0,58 (от 0,30 до 0,88) ** 0,46 (от 0,20 до 0,73) ** 0,57 (0,30 до 0,53) **
Задний поясной корешок 0,15 (от -0,12 до 0,42) 0,17 (от -0,07 до 0,41) 0,10 (от -0,15 до 0,35)
поясной перешейка 0,19 (от -0,11 до 0,49) 0,14 (от -0,12 до 0,41) 0,16 (-0,12 до 0,44)
Объем серого вещества во времени
Верхний временной 0.59 (от 0,03 до 0,86) ** 0,30 (от 0,03 до 0,57) * 0,22 (от -0,07 до 0,49)
Средневисочная 0,50 (от 0,22 до 0,80) ** 0,36 (от 0,09 до 0,64) * 0,32 (от 0,03 до 0,59) *
Нижний височный 0,42 (от 0,13 до 0,68) ** 0,40 (от 0,13 до 0,64) ** 0,30 (от 0,02 до 0,54) *
Веретенообразный 0.38 (от 0,12 до 0,67) ** 0,18 (от -0,07 до 0,45) 0,27 (от 0,01 до -0,54) *
Височная поперечная 0,25 (0,01 до 0,49) * 0,15 (от -0,07 до 0,38) 0,18 (от -0,05 до 0,40)
Entorhinal 0,17 (от -0,06 до 0,40) 0,22 (0,01 до 0,43) * 0,09 (от -0,08 до 0,27)
Парагиппокамп 0,49 (от 0,22 до 0.73) ** 0,45 (от 0,22 до 0,68) ** 0,31 (от 0,05 до 0,53) *

Обсуждение

Дефицит копирования может возникнуть как после лобного, так и после теменного повреждения. Целью настоящего исследования было сопоставить различные категории ошибок на рисунке пятиугольника с нейронными коррелятами. Мы использовали новый метод классификации различных возможных ошибок при копировании - QSPT [16].

Результаты показали, что общая оценка QSPT была связана с объемом серого вещества в теменной области, а не с объемом серого вещества во фронтальной, височной и затылочной областях.Результаты общего выполнения задачи пятиугольника до сих пор были противоречивыми (и были сосредоточены конкретно на пациентах с болезнью Паркинсона): одно исследование конкретно указывало на объем серого вещества в лобной коре [22], а другое исследование выявляло дополнительное вовлечение височно-теменной области [23]. . Важно отметить, что в этих исследованиях не рассматривались различные категории ошибок. Мы включили пациентов с различными нервными расстройствами и / или когнитивными жалобами, чтобы обеспечить широкий диапазон объемов серого вещества на МРТ.

QSPT обеспечивает детальную категоризацию ошибок. При изучении корреляции различных категорий с объемом серого вещества мы наблюдали четкие ассоциации только с теменными областями. Хотя критерий закрытия не был связан с какой-либо областью, количество углов и оценка пересечения были связаны с различными подобластями теменной коры. Оценка вращения была единственной категорией, которая была связана с одной теменной областью, а именно надмаргинальной теменной корой.Достоверность этих результатов была подтверждена анализом чувствительности, в котором мы наблюдали связь между областями мозга, которые обычно поражаются при БА, и показателями памяти, что указывает на то, что наблюдаемая связь с суббаллами QSPT специфична для строительной апраксии, а не из-за более общий эффект тяжести заболевания.

Из различных категорий ошибок правильное количество углов представляет особый интерес. Предыдущие исследования с использованием QSPT показали, что количество углов позволяет отличить деменцию с тельцами Леви от БА [6, 17].Митоло и др. [17] утверждают, что правильное копирование количества ошибок требует от испытуемых создания визуального образа изображения, хранящегося в семантической памяти. Хотя это интересное предложение, трудно понять, как такой механизм будет зависеть от количества углов и не отражаться в правильном пересечении или правильном замыкании. Кроме того, наше исследование показало, что производительность при правильном количестве углов имеет те же нейронные корреляты, что и оценка пересечения.

Учитывая сильное участие задней теменной коры в объяснении различных категорий ошибок, Russell et al. Предложили одну интересную гипотезу, объясняющую дефицит копирования, наблюдаемый в нашем исследовании. [3]. Они предположили, что конструктивная апраксия может быть объяснена неспособностью правильно интегрировать визуальную информацию от одной фиксации к другой, процесс, называемый «пространственным переназначением». Для обработки визуальной информации зрительная система перенаправляет ямку с высокой степенью остроты зрения на интересующие объекты в поле зрения, быстро перемещая глаза, т.е.е. саккады. Хотя саккады резко изменяют визуальный ввод, мы субъективно воспринимаем стабильный визуальный мир, то есть мир, в котором интересующие предметы доступны для обработки как до, так и после саккады [24, 25]. Следовательно, с каждой новой фиксацией наш мозг должен интегрировать старые и новые изображения сетчатки с информацией о текущем положении глаз, а также величине и направлении, в котором взгляд был смещен последней саккадой. Сохранение, обновление и перемещение различных частей визуальной сцены, называемое пространственным переназначением, позволяет нам точно определять местоположение внешних целей и генерировать движения глаз или конечностей к этим целям [26, 27].Этот процесс был особенно связан с задней теменной корой [28]. После повреждения задней теменной коры у пациентов возникают трудности с пространственным переназначением [3, 29, 30], что может привести к затруднениям при копировании. В такой задаче пространственная информация о фигуре должна сохраняться через саккады, так как копирование требует выполнения саккад между исходной фигурой и рисунком участника. Когда пространственная информация теряется через саккады, конструкция исходной фигуры теряется, что приводит к потере памяти для правильного количества углов и правильного поворота.Кроме того, потеря связи между двумя отдельными пятиугольниками через саккады приведет к неправильному пересечению двух фигур. Единственная категория, не относящаяся к нейронной области, критерий закрытия, может тогда требовать только объектную память. Хорошая производительность по этому критерию связана только с памятью, которую необходимо закрыть объектам, и без пространственной информации.

Хотя мы стремились включить широкий спектр атрофии серого вещества, включив людей с SCC, MCI и ранней деменцией из-за AD, возможно, текущие результаты специфичны для текущей выборки.Что наиболее важно, мы включили пациентов с БА на относительно ранней стадии их заболевания. Это могло повлиять на то, что мы наблюдали ассоциации только с теменными областями. Например, мы исключили одну категорию ошибок, а именно закрытие, поскольку эти ошибки не наблюдались в нашей выборке. Интересно, что ошибки смыкания были связаны с лобной дисфункцией [например, 31], хотя эти ошибки смыкания не наблюдались в задаче копирования пятиугольника, а в других, более сложных задачах копирования.Поскольку наше исследование было специфичным для относительно простой задачи копирования пятиугольника, наши результаты могут не распространяться на задачи, затрагивающие более сложные зрительные конструкции, такие как задача Рея на сложную фигуру. Кроме того, наши группы не были одинаково большими, всего 7 пациентов с SCC, по сравнению с гораздо большими группами пациентов с MCI и ранней деменцией из-за AD (обе около 40). Поэтому важно отметить, что наше исследование не было направлено на сравнение производительности между этими группами, а скорее сосредоточено на нейронных коррелятах различных типов ошибок копирования.Наконец, наши диагнозы AD не были подтверждены биомаркерами патологии Альцгеймера.

Как упоминалось ранее, конструкционная апраксия не является однородным дефицитом. Текущее исследование показало, что задача копирования пятиугольника особенно чувствительна к париетальному повреждению и, следовательно, может быть слишком простой задачей, чтобы охватить весь спектр возможных ошибок рисования в результате нейродегенеративной атрофии серого вещества. Мы показали, что более детальный анализ ошибок в этой задаче показывает, что оценка пересечения и количество углов имеют общие нейронные корреляты и связаны с конкретными подобластями теменной коры.

Заявление о раскрытии информации

Конфликты интересов отсутствуют.

Приложение

Члены Утрехтской исследовательской группы по сосудистым когнитивным нарушениям (VCI), участвовавшие в настоящем исследовании (в алфавитном порядке по отделам).

Университетский медицинский центр Утрехта, Нидерланды, отделение неврологии: G.J. Biessels, C. Maher, S.M. Геринга, Л.Дж. Каппелле, Ю.Д. Реймер, Дж. Вервер; Отделение радиологии / Институт имидж-наук: Ж. де Брессер; Отделение гериатрии: Х.Л. Кук; Госпиталь Diakonessenhuis Zeist, Нидерланды: M. Hamaker, R. Faaij, M. Pleizier, E. Vriens; Медицинский центр Университета Эразмус MC, Нидерланды, отделение неврологии: Э. ван ден Берг.

Список литературы

1. Герен Ф, Ска Б., Бельвиль С. Когнитивная обработка способностей к рисованию. Brain Cogn. 1999; 40: 464–478. [PubMed] [Google Scholar] 2. Hier DB, Mondlock J, Caplan LR. Восстановление поведенческих аномалий после инсульта правого полушария. Неврология. 1983; 33: 345–350. [PubMed] [Google Scholar] 3.Рассел К., Дейдда С., Малхотра П., Кринион Дж. Т., Мерола С., Хусейн М. Дефицит пространственного переназначения при конструктивной апраксии после правополушарного инсульта. Головной мозг. 2010; 133: 1239–1251. [PubMed] [Google Scholar] 4. Ала Т.А., Хьюз Л.Ф., Кируак Г.А., Гобриал М.В., Эльбл Р.Дж. Копирование Пентагона более нарушено при деменции с тельцами Леви, чем при болезни Альцгеймера. J Neurol Neurosurg Psychiatry. 2001; 70: 483–488. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 5. Парси К.М., Шмиттер-Эджкомб М. Количественный и качественный анализ теста рисования часов при легких когнитивных нарушениях и болезни Альцгеймера: оценка модифицированной системы оценок.J Geriatr Psychiatry Neurol. 2011; 24: 108–118. [PubMed] [Google Scholar] 6. Cagnin A, Bussè C, Jelcic N, Gnoato F, Mitolo M, Caffarra P. Высокая специфичность оценки пятиугольника MMSE для диагностики продромальной деменции с тельцами Леви. Паркинсонизм, связанный с расстройством. 2015; 21: 303–305. [PubMed] [Google Scholar] 8. Trojano L, Grossi D, Flash T, Визуально-пространственные и зрительно-конструктивные нарушения. Справочник по клинической неврологии. В: Гольденберг Г., Миллер Б., редакторы. Амстердам: Эльзевир; 2008. С. 373–392. [Google Scholar] 9.Фарах М. Расстройства зрительно-пространственного восприятия и познания. Клиническая нейропсихология. В: Хейльман К.М., Валенштейн Э., редакторы. Нью-Йорк: издательство Оксфордского университета; 2003. С. 146–160. [Google Scholar] 10. Trojano L, Gainotti G. Расстройства рисунка при болезни Альцгеймера и других формах деменции. J Alzheimer Dis. 2016; 53: 31–52. [PubMed] [Google Scholar] 11. Томпсон Дж. К., Стопфорд К. Л., Сноуден Дж. С., Нири Д. Качественные нейропсихологические характеристики при лобно-височной деменции и болезни Альцгеймера.J Neurol Neurosurg Psychiatry. 2005. 76: 920–927. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 12. Молтени Ф., Трафиканте Д., Ферри Ф., Изелла В. Когнитивный профиль пациентов с повернутым рисунком при копировании или вспоминании: исследование в контролируемой группе. Brain Cogn. 2014; 85: 286–290. [PubMed] [Google Scholar] 13. Кормак Ф., Арсланд Д., Баллард С., Тови М.Дж. Рисунок Пентагона и нейропсихологические характеристики при деменции с тельцами Леви, болезни Альцгеймера, болезни Паркинсона и болезни Паркинсона с деменцией. Int J Geriatr Psychiatry.2004. 19: 371–377. [PubMed] [Google Scholar] 14. Эрикссон К., Форселл Л.Г., Холмен К., Виитанен М., Винблад Б. Способность к копированию и почерку при скрининге когнитивной дисфункции в пожилом возрасте. Arch Gerontol Geriatr. 1996. 22: 103–121. [PubMed] [Google Scholar] 15. Делла Сала С., Тернбулл О., Бещин Н., Перини М. Ориентационная агнозия при копировании пятиугольника. J Neurol Neurosurg Psychiatry. 2002. 72: 129–130. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 16. Caffarra P, Gardini S, Dieci F, Copelli S, Maset L, Concari L и др.Качественный оценочный пятиугольный тест MMSE (QSPT): новый метод дифференциации деменции с тельцами Леви от болезни Альцгеймера. Behav Neurol. 2013; 27: 213–220. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 17. Митоло М., Лосось Д. П., Гардини С., Галаско Д., Гросси Е., Каффарра П. Новый качественный балльный тест MMSE Пентагон (QSPT) в качестве действенного инструмента скрининга между подтвержденной аутопсией деменцией с тельцами Леви и болезнью Альцгеймера. J Alzheimer Dis. 2014; 39: 823–832. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 18.McKhann G, Drachman D, Folstein M, Katzman R, Price D, Stadlan EM. Клинический диагноз болезни Альцгеймера: отчет Рабочей группы NINCDS-ADRDA под эгидой Целевой группы Департамента здравоохранения и социальных служб по болезни Альцгеймера. Неврология. 1984; 34: 939–994. [PubMed] [Google Scholar] 19. Петерсен Р.К., Смит Г.Е., Варинг С.К., Ивник Р.Дж., Тангалос Е.Г., Кокмен Э. Легкие когнитивные нарушения: клиническая характеристика и исход. Arch Neurol. 1999; 56: 303–308. [PubMed] [Google Scholar] 21. Desikan RS, Ségonne F, Fischl B., Quinn BT, Dickerson BC, Blacker D, et al.Автоматическая система маркировки для разделения коры головного мозга человека на МРТ на интересующие области на основе гирали. Нейроизображение. 2006; 31: 968–980. [PubMed] [Google Scholar] 22. Филотео СП, Рид Дж. Д., Литван И., Харрингтон Д. Л.. Объемные корреляты когнитивных функций у недементных пациентов с болезнью Паркинсона. Mov Disord. 2014; 29: 360–367. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 23. Гарсиа-Диас А.И., Сегура Б., Баджо ХК, Марти М.Дж., Валльдеориола Ф., Компта Ю.и др. Структурная МРТ коррелирует с результатами теста MMSE и пятиугольного копирования при болезни Паркинсона.Паркинсонизм, связанный с расстройством. 2014; 20: 1405–1410. [PubMed] [Google Scholar] 24. Fabius JH, Fracasso A, Van der Stigchel S. Пространственное обновление облегчает восприятие сразу после саккад. Научный доклад 2016; 6: 1–11. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 25. Зерр П., Гайет С., Малдер К., Пинто Ю., Слигте И., Ван дер Стигчел С. Повторное отображение высокопроизводительной, пре-внимательной, хрупкой сенсорной памяти. Sci Rep. 2017; 7 15940. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 26. Ван дер Стигчел С., Холлингворт А. Визуально-пространственная рабочая память как фундаментальный компонент системы движения глаз.Curr Dir Psychol Sci. 2018; 27: 136–143. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 27. Schut MJ, Van der Stoep N, Postma A, Van der Stigchel S. Стоимость движения глаз: прямая связь между визуальной рабочей памятью и исполнением саккады. J Vis. 2017; 17:15. [PubMed] [Google Scholar] 28. Дюамель JR, Колби CL, Голдберг ME. Обновление представления зрительного пространства в теменной коре с помощью преднамеренных движений глаз. Наука. 1992; 255: 90–92. [PubMed] [Google Scholar] 29. Пизелла Л., Алахян Н., Бланжеро А., Тери Ф., Блан С., Пелиссон Д.Правополушарное доминирование для визуального переназначения у людей. Philos Trans R Soc Lond B Biol Sci. 2011; 366: 572–585. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 30. Пизелла Л., Мэттингли Дж. Б. Вклад нарушений пространственного переназначения в одностороннее игнорирование зрения. Neurosci Biobehav Rev.2004; 28: 181–200. [PubMed] [Google Scholar] 31. Де Люсия Н., Трояно Л., Витале С., Гросси Д., Бароне П., Сантанджело Г. Феномен закрытия при болезни Паркинсона. Паркинсонизм, связанный с расстройством. 2015; 21: 793–796. [PubMed] [Google Scholar]

Конгресс.gov | Библиотека Конгресса

Секция записи Конгресса Ежедневный дайджест Сенат дом Расширения замечаний

Замечания участников Автор: Any House Member Адамс, Альма С.[D-NC] Адерхольт, Роберт Б. [R-AL] Агилар, Пит [D-CA] Аллен, Рик У. [R-GA] Оллред, Колин З. [D-TX] Амодеи, Марк Э. [R -NV] Армстронг, Келли [R-ND] Аррингтон, Джоди К. [R-TX] Auchincloss, Jake [D-MA] Axne, Cynthia [D-IA] Бабин, Брайан [R-TX] Бэкон, Дон [R -NE] Бэрд, Джеймс Р. [R-IN] Балдерсон, Трой [R-OH] Бэнкс, Джим [R-IN] Барр, Энди [R-KY] Барраган, Нанетт Диас [D-CA] Басс, Карен [ D-CA] Битти, Джойс [D-OH] Бенц, Клифф [R-OR] Бера, Ами [D-CA] Бергман, Джек [R-MI] Бейер, Дональд С., младший [D-VA] Байс , Стефани И. [R-OK] Биггс, Энди [R-AZ] Билиракис, Гас М.[R-FL] Бишоп, Дэн [R-NC] Бишоп, Сэнфорд Д., младший [D-GA] Блуменауэр, Эрл [D-OR] Блант Рочестер, Лиза [D-DE] Боберт, Лорен [R-CO ] Бонамичи, Сюзанна [D-OR] Бост, Майк [R-IL] Bourdeaux, Carolyn [D-GA] Bowman, Jamaal [D-NY] Бойл, Брендан Ф. [D-PA] Брэди, Кевин [R-TX ] Брукс, Мо [R-AL] Браун, Энтони Г. [D-MD] Браунли, Джулия [D-CA] Бьюкенен, Верн [R-FL] Бак, Кен [R-CO] Бакшон, Ларри [R-IN ] Бадд, Тед [R-NC] Берчетт, Тим [R-TN] Берджесс, Майкл К. [R-TX] Буш, Кори [D-MO] Бустос, Cheri [D-IL] Баттерфилд, GK [D-NC ] Калверт, Кен [R-CA] Каммак, Кэт [R-FL] Карбаджал, Салуд О.[D-CA] Карденас, Тони [D-CA] Карл, Джерри Л. [R-AL] Карсон, Андре [D-IN] Картер, Эрл Л. «Бадди» [R-GA] Картер, Джон Р. [ R-TX] Картер, Трой [D-LA] Картрайт, Мэтт [D-PA] Кейс, Эд [D-HI] Кастен, Шон [D-IL] Кастор, Кэти [D-FL] Кастро, Хоакин [D- TX] Cawthorn, Мэдисон [R-NC] Chabot, Стив [R-OH] Чейни, Лиз [R-WY] Чу, Джуди [D-CA] Cicilline, Дэвид Н. [D-RI] Кларк, Кэтрин М. [ D-MA] Кларк, Иветт Д. [D-NY] Кливер, Эмануэль [D-MO] Клайн, Бен [R-VA] Клауд, Майкл [R-TX] Клайберн, Джеймс Э. [D-SC] Клайд, Эндрю С. [R-GA] Коэн, Стив [D-TN] Коул, Том [R-OK] Комер, Джеймс [R-KY] Коннолли, Джеральд Э.[D-VA] Купер, Джим [D-TN] Корреа, Дж. Луис [D-CA] Коста, Джим [D-CA] Кортни, Джо [D-CT] Крейг, Энджи [D-MN] Кроуфорд, Эрик А. «Рик» [R-AR] Креншоу, Дэн [R-TX] Крист, Чарли [D-FL] Кроу, Джейсон [D-CO] Куэльяр, Генри [D-TX] Кертис, Джон Р. [R- UT] Дэвидс, Шарис [D-KS] Дэвидсон, Уоррен [R-OH] Дэвис, Дэнни К. [D-IL] Дэвис, Родни [R-IL] Дин, Мадлен [D-PA] ДеФазио, Питер А. [ D-OR] DeGette, Diana [D-CO] DeLauro, Rosa L. [D-CT] DelBene, Suzan K. [D-WA] Delgado, Antonio [D-NY] Demings, Val Butler [D-FL] DeSaulnier , Марк [D-CA] ДеДжарле, Скотт [R-TN] Дойч, Теодор Э.[D-FL] Диас-Баларт, Марио [R-FL] Дингелл, Дебби [D-MI] Доггетт, Ллойд [D-TX] Дональдс, Байрон [R-FL] Дойл, Майкл Ф. [D-PA] Дункан , Джефф [R-SC] Данн, Нил П. [R-FL] Эллзи, Джейк [R-TX] Эммер, Том [R-MN] Эскобар, Вероника [D-TX] Эшу, Анна Г. [D-CA ] Эспайлат, Адриано [D-NY] Эстес, Рон [R-KS] Эванс, Дуайт [D-PA] Фэллон, Пэт [R-TX] Feenstra, Рэнди [R-IA] Фергюсон, А. Дрю, IV [R -GA] Фишбах, Мишель [R-MN] Фицджеральд, Скотт [R-WI] Фитцпатрик, Брайан К. [R-PA] Флейшманн, Чарльз Дж. «Чак» [R-TN] Флетчер, Лиззи [D-TX] Фортенберри, Джефф [R-NE] Фостер, Билл [D-IL] Фокс, Вирджиния [R-NC] Франкель, Лоис [D-FL] Франклин, К.Скотт [R-FL] Фадж, Марсия Л. [D-OH] Фулчер, Расс [R-ID] Gaetz, Мэтт [R-FL] Галлахер, Майк [R-WI] Галлего, Рубен [D-AZ] Гараменди, Джон [D-CA] Гарбарино, Эндрю Р. [R-NY] Гарсия, Хесус Дж. "Чуй" [D-IL] Гарсия, Майк [R-CA] Гарсия, Сильвия Р. [D-TX] Гиббс, Боб [R-OH] Хименес, Карлос А. [R-FL] Гомерт, Луи [R-TX] Голден, Джаред Ф. [D-ME] Гомес, Джимми [D-CA] Гонсалес, Тони [R-TX] Гонсалес , Энтони [R-OH] Гонсалес, Висенте [D-TX] Гонсалес-Колон, Дженниффер [R-PR] Гуд, Боб [R-VA] Гуден, Лэнс [R-TX] Госар, Пол А. [R-AZ ] Gottheimer, Джош [D-NJ] Granger, Kay [R-TX] Graves, Garret [R-LA] Graves, Sam [R-MO] Green, Al [D-TX] Green, Mark E.[R-TN] Грин, Марджори Тейлор [R-GA] Гриффит, Х. Морган [R-VA] Гриджалва, Рауль М. [D-AZ] Гротман, Гленн [R-WI] Гость, Майкл [R-MS] Гатри, Бретт [R-KY] Хааланд, Дебра А. [D-NM] Хагедорн, Джим [R-MN] Хардер, Джош [D-CA] Харрис, Энди [R-MD] Харшбаргер, Диана [R-TN] Хартцлер, Вики [R-MO] Гастингс, Элси Л. [D-FL] Хейс, Джахана [D-CT] Херн, Кевин [R-OK] Херрелл, Иветт [R-NM] Эррера Бейтлер, Хайме [R-WA ] Хайс, Джоди Б. [R-GA] Хиггинс, Брайан [D-NY] Хиггинс, Клэй [R-LA] Хилл, Дж. Френч [R-AR] Хаймс, Джеймс А. [D-CT] Хинсон, Эшли [R-IA] Hollingsworth, Trey [R-IN] Horsford, Steven [D-NV] Houlahan, Chrissy [D-PA] Hoyer, Steny H.[D-MD] Хадсон, Ричард [R-NC] Хаффман, Джаред [D-CA] Хьюизенга, Билл [R-MI] Исса, Даррелл Э. [R-CA] Джексон, Ронни [R-TX] Джексон Ли, Шейла [D-TX] Джейкобс, Крис [R-NY] Джейкобс, Сара [D-CA] Jayapal, Pramila [D-WA] Джеффрис, Хаким С. [D-NY] Джонсон, Билл [R-OH] Джонсон, Дасти [R-SD] Джонсон, Эдди Бернис [D-TX] Джонсон, Генри К. «Хэнк» младший [D-GA] Джонсон, Майк [R-LA] Джонс, Mondaire [D-NY] Джордан, Джим [R-OH] Джойс, Дэвид П. [R-OH] Джойс, Джон [R-PA] Кахеле, Кайали [D-HI] Каптур, Марси [D-OH] Катко, Джон [R-NY] Китинг , Уильям Р.[D-MA] Келлер, Фред [R-PA] Келли, Майк [R-PA] Келли, Робин Л. [D-IL] Келли, Трент [R-MS] Кханна, Ро [D-CA] Килди, Дэниел Т. [D-MI] Килмер, Дерек [D-WA] Ким, Энди [D-NJ] Ким, Янг [R-CA] Кинд, Рон [D-WI] Кинзингер, Адам [R-IL] Киркпатрик, Энн [D-AZ] Кришнамурти, Раджа [D-IL] Кустер, Энн М. [D-NH] Кустофф, Дэвид [R-TN] ЛаХуд, Дарин [R-IL] Ламальфа, Дуг [R-CA] Лэмб, Конор [D-PA] Лэмборн, Дуг [R-CO] Ланжевен, Джеймс Р. [D-RI] Ларсен, Рик [D-WA] Ларсон, Джон Б. [D-CT] Латта, Роберт Э. [R-OH ] Латернер, Джейк [R-KS] Лоуренс, Бренда Л.[D-MI] Лоусон, Эл, младший [D-FL] Ли, Барбара [D-CA] Ли, Сьюзи [D-NV] Леже Фернандес, Тереза ​​[D-NM] Леско, Дебби [R-AZ] Летлоу , Джулия [R-LA] Левин, Энди [D-MI] Левин, Майк [D-CA] Льеу, Тед [D-CA] Лофгрен, Зои [D-CA] Лонг, Билли [R-MO] Лоудермилк, Барри [R-GA] Ловенталь, Алан С. [D-CA] Лукас, Фрэнк Д. [R-OK] Люткемейер, Блейн [R-MO] Лурия, Элейн Г. [D-VA] Линч, Стивен Ф. [D -MA] Мейс, Нэнси [R-SC] Малиновски, Том [D-NJ] Маллиотакис, Николь [R-NY] Мэлони, Кэролин Б. [D-NY] Мэлони, Шон Патрик [D-NY] Манн, Трейси [ R-KS] Мэннинг, Кэти Э.[D-NC] Мэсси, Томас [R-KY] Маст, Брайан Дж. [R-FL] Мацуи, Дорис О. [D-CA] МакБэт, Люси [D-GA] Маккарти, Кевин [R-CA] МакКол , Майкл Т. [R-TX] Макклейн, Лиза К. [R-MI] МакКлинток, Том [R-CA] МакКоллум, Бетти [D-MN] МакИчин, А. Дональд [D-VA] Макговерн, Джеймс П. [D-MA] МакГенри, Патрик Т. [R-NC] МакКинли, Дэвид Б. [R-WV] МакМоррис Роджерс, Кэти [R-WA] Макнерни, Джерри [D-CA] Микс, Грегори В. [D- NY] Мейер, Питер [R-MI] Мэн, Грейс [D-NY] Meuser, Daniel [R-PA] Mfume, Kweisi [D-MD] Миллер, Кэрол Д. [R-WV] Миллер, Мэри Э. [ R-IL] Миллер-Микс, Марианнетт [R-IA] Мооленаар, Джон Р.[R-MI] Муни, Александр X. [R-WV] Мур, Барри [R-AL] Мур, Блейк Д. [R-UT] Мур, Гвен [D-WI] Морелль, Джозеф Д. [D-NY ] Моултон, Сет [D-MA] Мрван, Фрэнк Дж. [D-IN] Маллин, Маркуэйн [R-OK] Мерфи, Грегори [R-NC] Мерфи, Стефани Н. [D-FL] Надлер, Джерролд [D -NY] Наполитано, Грейс Ф. [D-CA] Нил, Ричард Э. [D-MA] Негусе, Джо [D-CO] Нелс, Трой Э. [R-TX] Ньюхаус, Дэн [R-WA] Ньюман , Мари [D-IL] Норкросс, Дональд [D-NJ] Норман, Ральф [R-SC] Нортон, Элеонора Холмс [D-DC] Нуньес, Девин [R-CA] О'Халлеран, Том [D-AZ] Обернолти, Джей [R-CA] Окасио-Кортес, Александрия [D-NY] Омар, Ильхан [D-MN] Оуэнс, Берджесс [R-UT] Палаццо, Стивен М.[R-MS] Паллоне, Фрэнк, младший [D-NJ] Палмер, Гэри Дж. [R-AL] Панетта, Джимми [D-CA] Паппас, Крис [D-NH] Паскрелл, Билл, мл. [D -NJ] Пейн, Дональд М., младший [D-NJ] Пелоси, Нэнси [D-CA] Пенс, Грег [R-IN] Перлмуттер, Эд [D-CO] Перри, Скотт [R-PA] Питерс, Скотт Х. [D-CA] Пфлюгер, Август [R-TX] Филлипс, Дин [D-MN] Пингри, Челли [D-ME] Пласкетт, Стейси Э. [D-VI] Покан, Марк [D-WI] Портер, Кэти [D-CA] Поузи, Билл [R-FL] Прессли, Аянна [D-MA] Прайс, Дэвид Э. [D-NC] Куигли, Майк [D-IL] Радваген, Аумуа Амата Коулман [R- AS] Раскин, Джейми [D-MD] Рид, Том [R-NY] Решенталер, Гай [R-PA] Райс, Кэтлин М.[D-NY] Райс, Том [R-SC] Ричмонд, Седрик Л. [D-LA] Роджерс, Гарольд [R-KY] Роджерс, Майк Д. [R-AL] Роуз, Джон В. [R-TN ] Розендейл старший, Мэтью М. [R-MT] Росс, Дебора К. [D-NC] Роузер, Дэвид [R-NC] Рой, Чип [R-TX] Ройбал-Аллард, Люсиль [D-CA] Руис , Рауль [D-CA] Рупперсбергер, Калифорния Датч [D-MD] Раш, Бобби Л. [D-IL] Резерфорд, Джон Х. [R-FL] Райан, Тим [D-OH] Саблан, Грегорио Килили Камачо [ D-MP] Салазар, Мария Эльвира [R-FL] Санчес, Линда Т. [D-CA] Сан-Николас, Майкл FQ [D-GU] Сарбейнс, Джон П. [D-MD] Scalise, Steve [R-LA ] Скэнлон, Мэри Гей [D-PA] Шаковски, Дженис Д.[D-IL] Шифф, Адам Б. [D-CA] Шнайдер, Брэдли Скотт [D-IL] Шрейдер, Курт [D-OR] Шриер, Ким [D-WA] Швейкерт, Дэвид [R-AZ] Скотт, Остин [R-GA] Скотт, Дэвид [D-GA] Скотт, Роберт С. «Бобби» [D-VA] Сешнс, Пит [R-TX] Сьюэлл, Терри А. [D-AL] Шерман, Брэд [D -CA] Шерилл, Мики [D-NJ] Симпсон, Майкл К. [R-ID] Sires, Альбио [D-NJ] Slotkin, Элисса [D-MI] Смит, Адам [D-WA] Смит, Адриан [R -NE] Смит, Кристофер Х. [R-NJ] Смит, Джейсон [R-MO] Смакер, Ллойд [R-PA] Сото, Даррен [D-FL] Спанбергер, Эбигейл Дэвис [D-VA] Спарц, Виктория [ R-IN] Спейер, Джеки [D-CA] Стэнсбери, Мелани Энн [D-NM] Стэнтон, Грег [D-AZ] Stauber, Пит [R-MN] Стил, Мишель [R-CA] Стефаник, Элиза М.[R-NY] Стейл, Брайан [R-WI] Steube, В. Грегори [R-FL] Стивенс, Хейли М. [D-MI] Стюарт, Крис [R-UT] Стиверс, Стив [R-OH] Стрикленд , Мэрилин [D-WA] Суоззи, Томас Р. [D-NY] Swalwell, Эрик [D-CA] Такано, Марк [D-CA] Тейлор, Ван [R-TX] Тенни, Клаудия [R-NY] Томпсон , Бенни Г. [D-MS] Томпсон, Гленн [R-PA] Томпсон, Майк [D-CA] Тиффани, Томас П. [R-WI] Тиммонс, Уильям Р. IV [R-SC] Титус, Дина [ D-NV] Тлаиб, Рашида [D-MI] Тонко, Пол [D-NY] Торрес, Норма Дж. [D-CA] Торрес, Ричи [D-NY] Трахан, Лори [D-MA] Трон, Дэвид Дж. .[D-MD] Тернер, Майкл Р. [R-OH] Андервуд, Лорен [D-IL] Аптон, Фред [R-MI] Валадао, Дэвид Г. [R-CA] Ван Дрю, Джефферсон [R-NJ] Ван Дайн, Бет [R-Техас] Варгас, Хуан [D-CA] Визи, Марк А. [D-TX] Вела, Филемон [D-TX] Веласкес, Нидия М. [D-Нью-Йорк] Вагнер, Энн [R -MO] Уолберг, Тим [R-MI] Валорски, Джеки [R-IN] Вальс, Майкл [R-FL] Вассерман Шульц, Дебби [D-FL] Уотерс, Максин [D-CA] Уотсон Коулман, Бонни [D -NJ] Вебер, Рэнди К., старший [R-TX] Вебстер, Дэниел [R-FL] Велч, Питер [D-VT] Венструп, Брэд Р. [R-OH] Вестерман, Брюс [R-AR] Векстон, Дженнифер [D-VA] Уайлд, Сьюзан [D-PA] Уильямс, Nikema [D-GA] Уильямс, Роджер [R-TX] Уилсон, Фредерика С.[D-FL] Уилсон, Джо [R-SC] Виттман, Роберт Дж. [R-VA] Womack, Steve [R-AR] Райт, Рон [R-TX] Ярмут, Джон А. [D-KY] Янг , Дон [R-AK] Зельдин, Ли М. [R-NY] Любой член Сената Болдуин, Тэмми [D-WI] Баррассо, Джон [R-WY] Беннет, Майкл Ф. [D-CO] Блэкберн, Марша [ R-TN] Блюменталь, Ричард [D-CT] Блант, Рой [R-MO] Букер, Кори А. [D-NJ] Бузман, Джон [R-AR] Браун, Майк [R-IN] Браун, Шеррод [ D-OH] Берр, Ричард [R-NC] Кантуэлл, Мария [D-WA] Капито, Шелли Мур [R-WV] Кардин, Бенджамин Л. [D-MD] Карпер, Томас Р. [D-DE] Кейси , Роберт П., Младший [D-PA] Кэссиди, Билл [R-LA] Коллинз, Сьюзан М. [R-ME] Кунс, Кристофер А. [D-DE] Корнин, Джон [R-TX] Кортес Масто, Кэтрин [D -NV] Коттон, Том [R-AR] Крамер, Кевин [R-ND] Крапо, Майк [R-ID] Круз, Тед [R-TX] Дейнс, Стив [R-MT] Дакворт, Тэмми [D-IL ] Дурбин, Ричард Дж. [D-IL] Эрнст, Джони [R-IA] Файнштейн, Dianne [D-CA] Фишер, Деб [R-NE] Гиллибранд, Кирстен Э. [D-NY] Грэм, Линдси [R -SC] Грассли, Чак [R-IA] Хагерти, Билл [R-TN] Харрис, Камала Д. [D-CA] Хассан, Маргарет Вуд [D-NH] Хоули, Джош [R-MO] Генрих, Мартин [ D-NM] Гикенлупер, Джон В.[D-CO] Хироно, Мази К. [D-HI] Хувен, Джон [R-ND] Хайд-Смит, Синди [R-MS] Инхоф, Джеймс М. [R-OK] Джонсон, Рон [R-WI ] Кейн, Тим [D-VA] Келли, Марк [D-AZ] Кеннеди, Джон [R-LA] Кинг, Ангус С., младший [I-ME] Klobuchar, Amy [D-MN] Ланкфорд, Джеймс [ R-OK] Лихи, Патрик Дж. [D-VT] Ли, Майк [R-UT] Леффлер, Келли [R-GA] Лухан, Бен Рэй [D-NM] Ламмис, Синтия М. [R-WY] Манчин , Джо, III [D-WV] Марки, Эдвард Дж. [D-MA] Маршалл, Роджер В. [R-KS] МакКоннелл, Митч [R-KY] Менендес, Роберт [D-NJ] Меркли, Джефф [D -ИЛИ] Моран, Джерри [R-KS] Мурковски, Лиза [R-AK] Мерфи, Кристофер [D-CT] Мюррей, Пэтти [D-WA] Оссофф, Джон [D-GA] Падилла, Алекс [D-CA ] Пол, Рэнд [R-KY] Питерс, Гэри К.[D-MI] Портман, Роб [R-OH] Рид, Джек [D-RI] Риш, Джеймс Э. [R-ID] Ромни, Митт [R-UT] Розен, Джеки [D-NV] Раундс, Майк [R-SD] Рубио, Марко [R-FL] Сандерс, Бернард [I-VT] Sasse, Бен [R-NE] Schatz, Брайан [D-HI] Шумер, Чарльз Э. [D-NY] Скотт, Рик [R-FL] Скотт, Тим [R-SC] Шахин, Жанна [D-NH] Шелби, Ричард К. [R-AL] Синема, Кирстен [D-AZ] Смит, Тина [D-MN] Стабеноу, Дебби [D-MI] Салливан, Дэн [R-AK] Тестер, Джон [D-MT] Тьюн, Джон [R-SD] Тиллис, Том [R-NC] Туми, Пэт [R-PA] Тубервиль, Томми [R -AL] Ван Холлен, Крис [D-MD] Уорнер, Марк Р.[D-VA] Варнок, Рафаэль Г. [D-GA] Уоррен, Элизабет [D-MA] Уайтхаус, Шелдон [D-RI] Уикер, Роджер Ф. [R-MS] Уайден, Рон [D-OR] Янг , Тодд [R-IN]

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *