Правильный пятиугольник — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1
Правильный пятиугольник
Cтраница 1
Правильный пятиугольник не может быть построен с помощью указанных принадлежностей. Построение его по заданной стороне приводится ниже. [2]
Правильные пятиугольники также являются гранями лишь одного правильного многогранника. Этот многогранник называется додекаэдром. [3]
Правильный пятиугольник, расположенный в плоскости, параллельной плоскости V, во фронтальной диметрии рисуют следующим образом: задавшись радиусом описанной окружности R, строят окружность с помощью вписанного ( или описанного) в нее квадрата. [4]
Правильный пятиугольник ABCDE со стороной о вписан в окружность S. [5]
Около правильного пятиугольника AiAzA
Дан правильный пятиугольник Л1Л2Л3Л4 / 45, вписанный в окружность. [7]
Дан правильный пятиугольник Д ЛзЛ, вписанный в окружность. [8]
Из правильного пятиугольника со стороной 1 см удалены все точки, отстоящие от всех вершин пятиугольника на расстояние, меньшее 1 см. Найдите площадь оставшейся части. [9]
Построение правильного пятиугольника с помощью одной линейки ( о двух параллельных краях) требует построения выражения, содержащего радикал. [10]
Построение правильного пятиугольника с помощью подвижного прямого угла представляется особенно простым. [11]
Диагонали правильного пятиугольника в свою очередь образуют правильный пятиугольник. [12]
Пусть задан следующий правильный пятиугольник. [13]
Раскрасим стороны правильного пятиугольника в один цвет, а диагонали — в другой. [14]
Молекула циклопентана образует правильный пятиугольник, внутренний угол которого ( 108) близок к тетраэдрическому углу. Однако молекула циклопентана и его производных непланарна. Благодаря силам отталкивания между атомами водорода два атома углерода выходят из плоскости цикла. [15]
Страницы: 1 2 3 4
Как построить правильный пятиугольник
Построение правильных пятиугольников можно с помощью циркуля и линейки. Правда, процесс это достаточно длительный, как, впрочем, и построение любого правильного многоугльника с нечетным количеством сторон. Современные компьютерные программы позволяют сделать это за несколько секунд.Вам понадобитсяНайдите в программе AutoCAD верхнее меню, а в нем — вкладку «Главная». Нажмите на нее левой клавишей мыши. Появится панель «Рисование». Появятся разные типы линий. Выберите замкнутую полилинию. Она и представляет собой многоугольник, остается только ввести параметры. AutoCAD. Позволяет рисовать самые разные правильне многоугольники. Число сторон может достигать 1024. Можно использовать и командную строку, в зависимости от версии набрав « _polygon» или «мн.-угол».
Вне зависимости от того, пользуетесь ли вы командной строкой или контекстными меню, на экране у вас появится окошко, в которое предлагается ввести количество сторон. Введите туда цифру «5» и нажмите Enter. Вам будет предложено определить центр пятиугольника. Вбейте в появившееся окошко координаты. Можно обозначить их как (0,0), но могут быть и любые другие данные.
Выберите нужный способ построения. . AutoCAD предлагает три варианта. Пятиугольник может быть описанным вокруг окружности или вписанным в нее, но можно построить его и по заданному размеру стороны. Выберите нужный вариант и нажмите на ввод. В случае необходимости задайте радиус окружности и тоже нажмите enter.
Пятиугольник по заданной стороне сначала строится точно так же. Выберите «Рисование», замкнутую полилинию и введите число сторон. Правой клавишей мыши вызовите контекстное меню. Нажмите команду «edge” или «сторона”.В командной строке наберите координаты начальной и конечной точек одной из сторон пятиугольника. После этого пятиугольник появится на экране.
Все операции можно выполнять с помощью командной строки. Например, для построения пятиугольника по стороне в русскоязычной версии программы введите букву «с». В англоязычной версии это будет «_e”. Чтобы построить вписанный или описанный пятиугольник, введите после определения количества сторон буквы «о» или «в» (либо же английские «_с» или «_i» )
Золотое сечение | Рефераты KM.RU
«Золотое сечение»
Реферат выполнила: ученица 8 класса МОУ гимназия №9 Вьюшина Вероника
Екатеринбург
2002
1.Введение. Пропорция золотого сечения. Ф и φ.
«Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое — это теорема Пифагора, второе — деления отрезка в крайнем и среднем отношении»
Иоганн Кеплер
Правильные многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных ещё задолго да Архимеда. Пифагорейцы, выбравшие эмблемой своего союза пентаграмму — пятиконечную звезду, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, то есть о построении правильного вписанного многоугольника. Альбрехт Дюрер (1471-1527гг), ставший олицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способ построения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочинения Птолемея «Альмагест».
Интерес Дюрера к построению правильных многоугольников отражает использование их в Средние века в арабских и готических орнаментах, а после изобретения огнестрельного оружия — в планировке крепостей.
Средневековые способы построения правильных многоугольников носили приближенный характер, но были (или не могли не быть) простыми: предпочтение отдавалось способам построения, не требующим даже изменять раствор циркуля. Леонардо да Винчи также много писал о многоугольниках, но именно Дюрер, а не Леонардо, передал средневековые способы построения потомкам. Дюрер, конечно, был знаком с » Началами» Евклида, но не привел в своем «Руководстве к измерению» (о построениях при помощи циркуля и линейки) предложенный Евклидом способ построения правильного пятиугольника, теоретически точный, как и все евклидовы построения. Евклид не пытается разделить заданную дугу окружности на три равные части, и Дюрер знал, хотя доказательство было найдено лишь в XIX веке, что эта задача неразрешима.
Предложенное Евклидом построение правильного пятиугольника включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнем отношении, названное впоследствии золотым сечением и привлекавшим к себе внимание художников и архитекторов на протяжении нескольких столетий.
Точка В делит отрезок АВЕ в среднем и крайнем отношении или образует золотое сечение, если отношение большей части отрезка к меньшей равно отношению всего отрезка к большей части.
Записанное в виде равенства отношений золотое сечение имеет вид
АВ/ВЕ= АВ/АЕ
Если положить АВ=а, а ВЕ=а/Ф так, чтобы золотое отношение было равно АВ/ВЕ=Ф, то получается соотношение
Ф = 1+1/Ф
То есть Ф удовлетворяет уравнению
Ф2- Ф-1=0
Это уравнение имеет один положительный корень
Ф=(√5+1)/2=1.618034….
Заметим, что 1/Ф = (√5 -1 )/2, так как (√5-1)(√5+1) =5-1=4. За 1/Ф принято считать φ=0.618034….
Ф и φ — прописная и строчная формы греческой буквы «фи».
Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия (V век до н. э.) Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах. В пропорциях этого храма многократно присутствует число φ .
2.История золотого сечения
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.
Греки же были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических
прямоугольников.
Платон (427…347гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в
частности, вопросам золотого деления.
Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.
Рис.8. Парфенон |
В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др.. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж.Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, но недостаток знаний. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем.
Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок — бога отца, а весь отрезок — бога духа святого).
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».
Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица — ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.
Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).
Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m(φ), рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов
В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».
3. Построение пропорции.
Здесь приводится построение точки Е, делящий отрезок прямой в пропорции золотое сечение.
Рис. 1. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC |
Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.
Именно эти отрезки использовал Евклид при построении правильного пятиугольника, т.к. каждая из сторон пятиугольной звезды делится другими именно в такой пропорции.
Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.
Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.
В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пяти-лепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.
4.Второе золотое сечение.
Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56.
Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.<!DOCTYPE HTML PUBLIC «-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN»><!— saved from url=(0026)http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm —><DIV align=center>
Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56:44.
Рис. 2. Построение второго золотого сечения |
На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.
Рис. 3. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения |
Таким образом было доказано, что разделить отрезок в крайнем и среднем отношении можно не единственным способом.
5. «Золотые» фигуры.
5.1.Золотой прямоугольник:
Если построить квадрат со стороной АВ=а, найти середину М отрезка АВ и провести дугу окружности радиусом МС с центром в точке М до пересечения с продолжением стороны АВ в точке Е, то точка В разделит отрезок АЕ в крайнем и среднем отношении.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что по теореме Пифагора
МС2=а2+(а/2)2=5а2/4
В силу чего
АЕ=а/2 +МЕ=(√5+1)а/2=φАВ
Прямоугольник АЕFD со сторонами АЕ=φАD называется золотым прямоугольником. Четырехугольник АВСD — квадрат. Нетрудно видеть, что прямоугольник ВЕFС также золотой, поскольку BC=a=φВЕ. Это обстоятельство сразу наводит на мысль о дальнейшем разбиении прямоугольника ВЕFС.
Можно ли считать, что прямоугольник с отношением сторон, равным φ, выглядит изящнее, чем прямоугольники с отношением сторон, скажем, 2:1, 3:2 или 5:7? Чтобы ответить на этот вопрос, были проведены специальные эксперименты. Результаты их не вполне убедительны, но все же свидетельствуют о некотором предпочтении, отдаваемом золотому сечению. Впрочем, может ли прямоугольник сам по себе быть захватывающе прекрасным или отталкивающе безобразным?
5.2.Золотой треугольник:
Проводим прямую АВ. От точки А
откладываем на ней три раза отрезок О
произвольной величины, через
полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии
АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1
откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого»
прямоугольника.
5.3. Золотой пятиугольник; построение Евклида.
Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый (рис.5).
Рис.6. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы. |
Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник.
Пусть О — центр окружности, А — точка на окружности и Е — середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все иагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.
Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
Есть и золотой кубоид- это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.
Теперь рассмотрим доказательство, предложенное Евклидом в «Началах».
Посмотрим теперь, как Евклид использует золотое сечение для того, чтобы построить угол в 72 градуса – именно под таким углом видна сторона правильного пятиугольника из центра описанной окружности. Начнем с отрезка АВЕ, разделенного в среднем и крайнем отношении точкой В. Проведем далее дуги окружностей с центрами в точках В и Е и радиусах АВ, пересекающиеся в точке С. Чуть ниже докажем, что АС=АЕ, а пока примем это на веру.
Итак, пусть АС=АЕ. Обозначим через a равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ, то угол АСЕ также равен a. Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, позволяет найти угол ВСЕ: он равен 180-2a, а угол ЕАС — 3a — 180. Но тогда угол АВС равен 180-a. Суммируя углы треугольника АВС получаем,
180=(3a -180) + (3a-180) + (180 — a)
Откуда 5a=360, значит a=72.
Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕС вдвое больше угла при вершине, равного 36 градусов. Следовательно, чтобы построить правильный пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность с центром в точке Е, пересекающую ЕС в точке Х и сторону ЕВ в точке Y: отрезок XY служит одной из сторон вписанного в окружность правильного пятиугольника; Обойдя вокруг всей окружности, можно найти и все остальные стороны.
Докажем теперь, что АС=АЕ. Предположим, что вершина С соединена отрезком прямой с серединой N отрезка ВЕ. Заметим, что поскольку СВ=СЕ, то угол СNЕ прямой. По теореме Пифагора:
CN2 = а2 – (а/2j) 2= а2 (1-4j 2)
Отсюда имеем (АС/а) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2
Итак, АС = jа = jАВ = АЕ, что и требовалось доказать
5.4.Спираль Архимеда.
Последовательно отсекая от золотых прямоугольников квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью окружности, мы получим довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали.
В настоящее время спираль Архимеда широко используется в технике.
6.Числа Фибоначчи.
С золотым сечением косвенно связано имя итальянского математика Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищу Фибоначчи (Fibonacci — сокращенное filius Bonacci, то есть сын Боначчи)
В 1202г. им была написана книга «Liber abacci», то есть «Книга об абаке» . «Liber abacci» представляет собой объемистый труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший заметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими («арабскими») цифрами.
Сообщаемый в книге материал поясняется на большом числе задач, составляющих значительную часть этого трактата.
Рассмотрим одну такую задачу:
«Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?
Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, дабы узнать, сколько пар кроликов родится в течение этого года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов воспроизведет другую, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения»
Месяцы | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Пары кроликов | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
Табл.1 Ряд Фибоначчи при u1=1 |
Перейдем теперь от кроликов к числам и рассмотрим следующую числовую последовательность:
u1, u2 … un
в которой каждый член равен сумме двух предыдущих, т.е. при всяком n>2
un=un-1+un-2.
Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.
Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875… и через раз то превосходящая, то не достигающая его.
Асимптотическое поведение последовательности, затухающие колебания ее соотношения около иррационального числа Ф могут стать более понятными, если показать отношения нескольких пеpвых членов последовательности. В этом примере приведены отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее:
1:1 = 1.0000, что меньше фи на 0.6180
2:1 = 2.0000, что больше фи на 0.3820
3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180
5:3 = 1.6667, что больше фи на 0.0486
8:5 = 1.6000, что меньше фи на 0.0180
По мере продвижения по суммационной последовательности Фибоначчи каждый новый член будет делить следующий со все большим и большим приближением к недостижимому Ф.
Человек подсознательно ищет Божественную пропорцию: она нужна для удовлетворения его потребности в комфорте.
Пpи делении любого члена последовательности Фибоначчи на следующий за ним получается просто обратная к 1.618 величина (1 : 1.618=0.618). Hо это тоже весьма необычное, даже замечательное явление. Поскольку пеpвоначальное соотношение – бесконечная дpобь, у этого соотношения также не должно быть конца.
При делении каждого числа на следующее за ним через одно, получаем число 0.382
1:0.382=2.618
Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор коэффициентов Фибоначчи: 4.235 ,2.618 ,1.618,0.618,0.382,0.236.Упомянем также 0.5.Все они играют особую роль в природе и в частности в техническом анализе.
Тут необходимо отметить, что Фибоначчи лишь напомнил свою последовательность человечеству, так как она была известна еще в древнейшие времена под названием Золотое сечение.
Золотое сечение, как мы видели, возникает в связи с правильным пятиугольником, поэтому и числа Фибоначчи играют роль во всем, что имеет отношение к правильным пятиугольникам — выпуклым и звездчатым.
Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления. Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта (о решении Диофантовых уравнений). Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.
Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений. Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд чисел 1, 2, 4, 8, 16…(то есть ряд чисел до n , где любое натуральное число, меньшее n можно представить суммой некоторых чисел этого ряда) на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2…, во втором – это сумма двух предыдущих чисел 2 =1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2…. Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи?
Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5… Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через S (n), то получим общую формулу S (n) = S (n – 1) + S (n – S – 1).
Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 –ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.
В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения xS+1 – xS – 1 = 0.
Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 – знакомое классическое золотое сечение.
Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! То есть золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.
7.Золотое сечение в искусстве.
7.1. Золотое сечение в живописи.
Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».
Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете».
Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника..
Также пропорция золотого сечения проявляется в картине Шишкина. На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны — освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали.
В картине Рафаэля «Избиение младенцев» просматривается другой элемент золотой пропорции — золотая спираль. На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции — точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка — вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль золотую спираль или чувствовал её.
Т.Кук использовал при анализе картины Сандро Боттичелли «рождение Венеры» золотое сеченеие .
7.2. Пирамиды золотого сечения.
Широко известны медицинские свойства пирамид, особенно золотого сечения. По некоторым наиболее распространенным мнениям, комната, в которой находится такая пирамида, кажется больше, а воздух — прозрачнее. Сны начинают запоминаться лучше. Также известно, что золотое сечение широко применялась в архитектуре и скульптуре. Примером тому стали: Пантеон и Парфенон в Греции, здания архитекторов Баженова и Малевича
8. Заключение.
Необходимо сказать, что золотое сечение имеет большое применение в нашей жизни.
Было доказано, что человеческое тело делится в пропорции золотого сечения линией пояса.
Раковина наутилуса закручена подобно золотой спирали.
Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидов между Марсом и Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета.
Возбуждение струны в точке , делящей её в отношении золотого деления, не вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации.
На летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения.
Джоконда построена на золотых треугольниках, золотая спираль присутствует на картине Рафаэля «Избиение младенцев».
Пропорция обнаружена в картине Сандро Боттичелли «Рождение Венеры»
Известно много памятников архитектуры, построенных с использованием золотой пропорции, в том числе Пантеон и Парфенон в Афинах, здания архитекторов Баженова и Малевича.
Иоанну Кеплеру, жившему пять веков назад, принадлежит высказывание: «Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое — это теорема Пифагора, второе — деления отрезка в крайнем и среднем отношении»
Список литературы
1. Д. Пидоу.
Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979.
2. Журнал «Наука и техника»
3. Журнал
«Квант», 1973, № 8.
4. Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.
5. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989.
6. Стахов А. Коды золотой пропорции.
7.Воробьев Н.Н. «Числа Фибоначчи» — М.: Наука 1964
8. «Математика — Энциклопедия для детей» М.: Аванта +, 1998
9. Информация из интернета.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/
Дата добавления: 04.03.2003
геометрические построения | Справочник по математике
На отрезке ВК, равном 2а, как и на диаметре, строим (рис.1) полукруг. Этот полукруг делим на n равных частей точками C, D, E, F, G (вершинами правильного вписанного 2n-угольника; на нашем рисунке n=6). Центр А соединяем лучами со всеми полученными точками, кроме двух последних (K и G). Из точки В радиусом АВ проводим дугу ab, засекая на луче AD точку М и т.д. Точки B, L, M, N и т.д. последовательно соединяем прямыми. Многоугольник ABLMNF – искомый.
рис.1
Решить эту задачу с помощью циркуля и линейки можно не всегда; например, при n=7, n=9 этого сделать нельзя, так как полукруг с помощью циркуля и линейки на 7 или 9 точно не делится.
Запись опубликована автором admin в рубрике Геометрия с метками геометрические построения, многоугольник.Отметим на окружности (рис.1) вершины A, B, …, F правильного вписанного многоугольника с тем же числом сторон (см. §33 и §36). Проведем радиусы ОА, ОВ, …, OF и продолжим их. Дугу АВ разделим пополам точкой Е (см. §15). Через Е проведем JP⊥OE. Отрезок JP, заключенный между продолжениями соседних радиусов, есть сторона искомой фигуры. На продолжении остальных радиусов откладываем отрезки ОК, OL, …, ON, равные OP. Точки J, K, L, …, N, P последовательно соединяем. Многоугольник JKLM…NP – искомый.
рис.1
Запись опубликована автором admin в рубрике Геометрия с метками геометрические построения, многоугольник, окружность.Построим точку F (рис.1), как и в §33 OF есть сторона искомой фигуры. Раствором циркуля, равным OF, сделаем на окружности десять последовательных засечек. Получим вершины искомой фигуры
рис.1
Запись опубликована автором admin в рубрике Геометрия с метками геометрические построения, десятиугольник, круг, многоугольник, окружность.Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD (рис.1). Разделив пополам дуги AD, DB, BC, CA точками E, F, G, H (см. §15), последовательно соединяем полученные восемь точек.
рис.1
Запись опубликована автором admin в рубрике Геометрия с метками восьмиугольник, геометрические построения, круг, многоугольник, окружность.Раствором циркуля, равным радиусу круга, делаем на окружности засечки в точках A, B, C, D, E, F (рис.1). Соединяя точки A, B, C, D, E, F подряд, получим правильный шестиугольник. Соединяя их через одну, получим правильный (равносторонний) треугольник.
рис.1
Запись опубликована автором admin в рубрике Геометрия с метками геометрические построения, многоугольник, треугольник, шестиугольник.Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD (рис.1). Делим пополам радиус АО точкой Е. Из Е радиусом ЕС проводим дугу CF, пересекая ее диаметр АВ в точке F. Из С радиусом CF проводим дугу FG, пересекая ею данную окружность в точке G; CG(=CF) есть одна сторона искомой фигуры. Проводим тем же радиусом дугу mn из точки П как из центра, получаем еще одну вершину H искомой фигуры и т.д.
рис.1
Запись опубликована автором admin в рубрике Геометрия с метками геометрические построения, круг, многоугольник, окружность, пятиугольник.Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD (рис.1). Из их концов, как из центров, описываем четыре полуокружности радиусами, равными ОА. Точки F, G, H и E их пересечения – вершины искомого квадрата.
рис.1
Запись опубликована автором admin в рубрике Геометрия с метками геометрические построения, квадрат, круг, многоугольник, окружность.Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и СD; ACBD – искомый квадрат (рис.1)
рис.1
Запись опубликована автором admin в рубрике Геометрия с метками геометрические построения, квадрат, круг, многоугольник, окружность.Через середину АВ (рис.1) проводим к АВ перпендикуляр MN (см. п. §2). От точки О его пересечения с АВ откладываем на MN отрезки ОС и OD, равные ОА; соединяем точки С и D с точками А и В; ABCD – искомый квадрат.
рис.1
Запись опубликована автором admin в рубрике Геометрия с метками геометрические построения, квадрат, многоугольник.Поступаем как в пп. §27 и §28
Запись опубликована автором admin в рубрике Геометрия с метками геометрические построения, квадрат, многоугольник.
| ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||
Отрывок, характеризующий Правильный пятиугольник
Петя не знал, как долго это продолжалось: он наслаждался, все время удивлялся своему наслаждению и жалел, что некому сообщить его. Его разбудил ласковый голос Лихачева.– Готово, ваше благородие, надвое хранцуза распластаете.
Петя очнулся.
– Уж светает, право, светает! – вскрикнул он.
Невидные прежде лошади стали видны до хвостов, и сквозь оголенные ветки виднелся водянистый свет. Петя встряхнулся, вскочил, достал из кармана целковый и дал Лихачеву, махнув, попробовал шашку и положил ее в ножны. Казаки отвязывали лошадей и подтягивали подпруги.
– Вот и командир, – сказал Лихачев. Из караулки вышел Денисов и, окликнув Петю, приказал собираться.
Быстро в полутьме разобрали лошадей, подтянули подпруги и разобрались по командам. Денисов стоял у караулки, отдавая последние приказания. Пехота партии, шлепая сотней ног, прошла вперед по дороге и быстро скрылась между деревьев в предрассветном тумане. Эсаул что то приказывал казакам. Петя держал свою лошадь в поводу, с нетерпением ожидая приказания садиться. Обмытое холодной водой, лицо его, в особенности глаза горели огнем, озноб пробегал по спине, и во всем теле что то быстро и равномерно дрожало.
– Ну, готово у вас все? – сказал Денисов. – Давай лошадей.
Лошадей подали. Денисов рассердился на казака за то, что подпруги были слабы, и, разбранив его, сел. Петя взялся за стремя. Лошадь, по привычке, хотела куснуть его за ногу, но Петя, не чувствуя своей тяжести, быстро вскочил в седло и, оглядываясь на тронувшихся сзади в темноте гусар, подъехал к Денисову.
– Василий Федорович, вы мне поручите что нибудь? Пожалуйста… ради бога… – сказал он. Денисов, казалось, забыл про существование Пети. Он оглянулся на него.
– Об одном тебя пг»ошу, – сказал он строго, – слушаться меня и никуда не соваться.
Во все время переезда Денисов ни слова не говорил больше с Петей и ехал молча. Когда подъехали к опушке леса, в поле заметно уже стало светлеть. Денисов поговорил что то шепотом с эсаулом, и казаки стали проезжать мимо Пети и Денисова. Когда они все проехали, Денисов тронул свою лошадь и поехал под гору. Садясь на зады и скользя, лошади спускались с своими седоками в лощину. Петя ехал рядом с Денисовым. Дрожь во всем его теле все усиливалась. Становилось все светлее и светлее, только туман скрывал отдаленные предметы. Съехав вниз и оглянувшись назад, Денисов кивнул головой казаку, стоявшему подле него.
– Сигнал! – проговорил он.
Казак поднял руку, раздался выстрел. И в то же мгновение послышался топот впереди поскакавших лошадей, крики с разных сторон и еще выстрелы.
В то же мгновение, как раздались первые звуки топота и крика, Петя, ударив свою лошадь и выпустив поводья, не слушая Денисова, кричавшего на него, поскакал вперед. Пете показалось, что вдруг совершенно, как середь дня, ярко рассвело в ту минуту, как послышался выстрел. Он подскакал к мосту. Впереди по дороге скакали казаки. На мосту он столкнулся с отставшим казаком и поскакал дальше. Впереди какие то люди, – должно быть, это были французы, – бежали с правой стороны дороги на левую. Один упал в грязь под ногами Петиной лошади.
У одной избы столпились казаки, что то делая. Из середины толпы послышался страшный крик. Петя подскакал к этой толпе, и первое, что он увидал, было бледное, с трясущейся нижней челюстью лицо француза, державшегося за древко направленной на него пики.
– Ура!.. Ребята… наши… – прокричал Петя и, дав поводья разгорячившейся лошади, поскакал вперед по улице.
Впереди слышны были выстрелы. Казаки, гусары и русские оборванные пленные, бежавшие с обеих сторон дороги, все громко и нескладно кричали что то. Молодцеватый, без шапки, с красным нахмуренным лицом, француз в синей шинели отбивался штыком от гусаров. Когда Петя подскакал, француз уже упал. Опять опоздал, мелькнуло в голове Пети, и он поскакал туда, откуда слышались частые выстрелы. Выстрелы раздавались на дворе того барского дома, на котором он был вчера ночью с Долоховым. Французы засели там за плетнем в густом, заросшем кустами саду и стреляли по казакам, столпившимся у ворот. Подъезжая к воротам, Петя в пороховом дыму увидал Долохова с бледным, зеленоватым лицом, кричавшего что то людям. «В объезд! Пехоту подождать!» – кричал он, в то время как Петя подъехал к нему.
– Подождать?.. Ураааа!.. – закричал Петя и, не медля ни одной минуты, поскакал к тому месту, откуда слышались выстрелы и где гуще был пороховой дым. Послышался залп, провизжали пустые и во что то шлепнувшие пули. Казаки и Долохов вскакали вслед за Петей в ворота дома. Французы в колеблющемся густом дыме одни бросали оружие и выбегали из кустов навстречу казакам, другие бежали под гору к пруду. Петя скакал на своей лошади вдоль по барскому двору и, вместо того чтобы держать поводья, странно и быстро махал обеими руками и все дальше и дальше сбивался с седла на одну сторону. Лошадь, набежав на тлевший в утреннем свето костер, уперлась, и Петя тяжело упал на мокрую землю. Казаки видели, как быстро задергались его руки и ноги, несмотря на то, что голова его не шевелилась. Пуля пробила ему голову.
Переговоривши с старшим французским офицером, который вышел к нему из за дома с платком на шпаге и объявил, что они сдаются, Долохов слез с лошади и подошел к неподвижно, с раскинутыми руками, лежавшему Пете.
– Готов, – сказал он, нахмурившись, и пошел в ворота навстречу ехавшему к нему Денисову.
– Убит?! – вскрикнул Денисов, увидав еще издалека то знакомое ему, несомненно безжизненное положение, в котором лежало тело Пети.
– Готов, – повторил Долохов, как будто выговаривание этого слова доставляло ему удовольствие, и быстро пошел к пленным, которых окружили спешившиеся казаки. – Брать не будем! – крикнул он Денисову.
Толковый словарь Ожегова гласит, что пятиугольник представляет собой ограниченную пятью пересекающимися прямыми, образующими пять внутренних углов, а также любой предмет подобной формы. Если у данного многоугольника все стороны и углы одинаковые, то он называется правильным (пентагоном).
Чем интересен правильный пятиугольник?
Именно в такой форме было построено всем известное здание Минобороны Соединенных Штатов. Из объемных правильных многогранников лишь додекаэдр имеет грани в форме пентагона. А в природе напрочь отсутствуют кристаллы, грани которых напоминали бы собой правильный пятиугольник. Кроме того, эта фигура является многоугольником с минимальным количеством углов, которым невозможно замостить площадь. Только у пятиугольника количество диагоналей совпадает с количеством его сторон. Согласитесь, это интересно!
Основные свойства и формулы
Воспользовавшись формулами для произвольного правильного многоугольника, можно определить все необходимые параметры, которые имеет пентагон.
- Центральный угол α = 360 / n = 360/5 =72°.
- Внутренний угол β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Соответственно, сумма внутренних углов составляет 540°.
- Отношение диагонали к боковой стороне равно (1+√5) /2, то есть (примерно 1,618).
- Длина стороны, которую имеет правильный пятиугольник, может быть рассчитана по одной из трех формул, в зависимости от того, какой параметр уже известен:
- если вокруг него описана окружность и известен ее радиус R, то а = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
- в случае, когда окружность c радиусом r вписана в правильный пятиугольник, а = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
- бывает так, что вместо радиусов известна величина диагонали D, тогда сторону определяют следующим образом: а ≈ D/1,618.
- Площадь правильного пятиугольника определяется, опять-таки, в зависимости от того, какой параметр нам известен:
- если имеется вписанная или описанная окружность, то используется одна из двух формул:
S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r либо S = (n*R 2 *sin α)/2 ≈ 2,3776*R 2 ;
- площадь можно также определить, зная лишь длину боковой стороны а:
S = (5*a 2 *tg54°)/4 ≈ 1,7205* a 2 .
Правильный пятиугольник: построение
Данную геометрическую фигуру можно построить по-разному. Например, вписать его в окружность с заданным радиусом либо построить на базе заданной боковой стороны. Последовательность действий была описана еще в «Началах» Евклида примерно 300 лет до н.э. В любом случае, нам понадобятся циркуль и линейка. Рассмотрим способ построения с помощью заданной окружности.
1. Выберите произвольный радиус и начертите окружность, обозначив ее центр точкой O.
2. На линии окружности выберите точку, которая будет служить одной из вершин нашего пятиугольника. Пусть это будет точка А. Соедините точки О и А прямым отрезком.
3. Проведите прямую через точку О перпендикулярно к прямой ОА. Место пересечения этой прямой с линией окружности обозначьте, как точку В.
4. На середине расстояния между точками О и В постройте точку С.
5. Теперь начертите окружность, центр которой будет в точке С и которая будет проходить через точку А. Место ее пересечения с прямой OB (оно окажется внутри самой первой окружности) будет точкой D.
6. Постройте окружность, проходящую через D, центр которой будет в А. Места ее пересечения с первоначальной окружностью нужно обозначить точками Е и F.
7. Теперь постройте окружность, центр которой будет в Е. Сделать это надо так, чтобы она проходила через А. Ее другое место пересечения оригинальной окружности нужно обозначить
8. Наконец, постройте окружность через А с центром в точке F. Обозначьте другое место пересечения оригинальной окружности точкой H.
9. Теперь осталось только соединить вершины A, E, G, H, F. Наш правильный пятиугольник будет готов!
Построение правильных многоугольников — презентация онлайн
Геометрия, 9 классУстные упражнения
Построение правильных многоугольников
с помощью циркуля и линейки
Построение правильных многоугольников
с помощью компьютера
Практическая работа
Тестирование
Какие из утверждений верны?
1
Ромб является правильным
четырехугольником.
2
Квадрат является правильным
четырехугольником.
3
Любой четырехугольник с
равными сторонами
является правильным.
4
Прямоугольник является
правильным четырехугольником
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ
!
ПОДУМАЙ!
Установить соответствие между элементами
1 и 2 столбцов
R
R 3
R 2
№ 1091 Поперечное сечение деревянного бруска является
квадратом со стороной 6 см. Найдите наибольший диаметр
круглого стержня , который можно выточить из этого бруска
6см
6. № 1090 Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен быть минимальный диа
Проверка домашнего задания№ 1090
Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного
треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен быть минимальный
диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?
В геометрии выделяют задачи на построение, которые
можно решить только с помощью двух инструментов:
циркуля и линейки без масштабных делений.
Линейка позволяет провести произвольную
прямую, а также построить прямую, проходящую
через две данные точки; с помощью циркуля
можно провести окружность произвольного
радиуса, а также окружность с центром в
данной точке и радиусом, равным данному
отрезку.
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Пифагор
Еще в глубокой древности
была поставлена практическая
задача
построения
правильного многоугольника с помощью циркуля и
линейки.
Решение этой задачи можно
найти в трудах древнегреческих ученых Архимеда,
Евклида, Пифагора, математиков XYII — XIX веков
Карла Гаусса…
К.Ф.Гаусс (1777-1855)
(365-300 гг-IVв до
н.э. )
Основоположник
геометрии, описал
построение циркулем и линейкой 3, 4,
5, 6, 15 — угольников
ЕВКЛИД
Деление окружности на 5 равных частей
А1
А1
А1
А5
С
С
в
А1 А2
А1
А2
в
А4
А3
сторона
пятиугольника
К.Ф.Гаусс (1777-1855)-великий
немецкий математик. Открыл способ
построения правильного 17-угольника
и указал все значения n, при которых
возможно построение правильного nугольника с помощью циркуля и
линейки. Этими многоугольниками
оказались лишь многоугольники, у
которых количество сторон является
простым числом вида
где k -натуральное
или нуль
а также те, которые получаются из них
удвоением числа сторон.
3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20,24,30,32,34,40 … — угольники можно
построить!
7, 9,11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 28… – угольники невозможно
построить.
18. Моделирование в среде графического редактора.
• Модель – это упрощённое подобие предметаили процесса. Она повторяет какие-то
свойства оригинала и заменяет его в
некоторых случаях.
• Модель — способ замещения реального
объекта, используемый для его изучения.
• Моделирование – процесс создания модели
предмета.
19. Алгоритм построения правильного четырехугольника
1. Нарисовать сторону прямоугольника.2. Копировать сторону четырехугольника и вставить.
Рис. 1.
3. Копировать сторону и вставить. Рисунок повернуть
на 90 градусов, перенести и получить рис. 2.
4. Копировать рис. 2 и вставить. Повернуть на 180
градусов Перенести. И получить рисунок 3.
5. Полученный рисунок сохраните как «многоугольник»
в папке «Мои рисунки»
20. Алгоритм построения правильного шестиугольника
1. Нарисовать сторону шестиугольника.2. Копировать сторону шестиугольника и вставить. Рис 1.
3. Копировать сторону и вставить. Рисунок повернуть на
60 градусов, перенести 2 раза с помощью кнопки Ctrl
на клавиатуре и получить рис 2.
4. Копировать рис.2 и вставить. Рисунок отразить слева
направо, перенести и получить рис 3.
5. Получить рисунок 4.
6. Копировать половину правильного шестиугольника,
вставить. Повернуть на 180 градусов и совместить с
рисунком 4. Получить рисунок 5.
7. Стереть вспомогательные линии и получить
правильный шестиугольник.
8. Полученный рисунок сохраните как «многоугольник» в
папке «Мои рисунки»
• GstarCAD — полноценная,
самостоятельная система,
обладающая всем необходимым
функционалом для работы с графикой.
• GstarCAD — это программа для
создания чертежей в формате
DWG/DXF,
22. Пчелиные соты покрыты без просветов и перекрытий «правильными шестиугольниками»
23. Алгоритм покрытия плоскости без просветов и перекрытий:
• 1. Выделить выбранный многоугольник.• 2. Одновременно с нажатием кнопки Ctrl
передвигать многоугольник с помощью
мышки, вставляя так, чтобы исходный
многоугольник и его копия
соприкасались сторонами.
• 3. Сохранить работу.
n=3
P=
S=
n=4
P=
S=
n=6
P=
S=
Задание на дом:
1. Построить правильный пятиугольник.
2.№1095.
Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки
болта, верхнее основание которого имеет форму правильного
шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь верхнего
основания
1,5см
Мир геометрических знаний богат и
разнообразен. На самом деле
«геометрические хлеба» не являются
легкими. Геометрия требует не
меньшего трудолюбия, чем
крестьянские поля от их владельцев.
Счастливых вам геометрических
исканий!
Виды параллельных проекций. Изображение плоских фигур в свободной параллельной проекции. Теорема Польке-Шварца, страница 3
Для доказательства достаточно достроить трапецию до параллелограмма.
В свободной параллельной проекции допустимо изображать:
— окружность любым эллипсом;
— треугольник любым треугольником;
— параллелограмм любым параллелограммом;
— четырехугольник любым четырехугольником с тем же отношением частей диагоналей;
— трапецию любой трапецией с тем же отношением оснований.
Приведем несколько примеров построения изображений правильных многоугольников, считая известными свойства каждого многоугольника.
Пример 1. Построить изображение правильного пятиугольника в свободной параллельной проекции.
Решение. Пусть A’B’C’D’E’ - правильный пятиугольник (рис. 8, а). Проведем диагонали A’C’ и B’D’ и опишем около него окружность.
Рис.8,а
DD’B’C’ ~ DB’M’C’, т.к.
1. ÐD’B’C’ - общий,
2. ÐB’C’A’ =ÐB’D’C’ - как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги.
Тогда (**)
Т.к. A’E’ || B’D’, E’D’ || A’C’, A’E’=E’D’ (из свойств правильного пятиугольника), то A’E’D’M’ - ромб, т.е. M’D’=A’E’-B’C’.
Обозначим B’C’=a, B’M’=x.
Из равенства (**) имеем , , поэтому квадратное уравнение
l2+l-1=0 имеет корни, из которых один не удовлетворяет условию задачи, тогда, следовательно .
Отсюда получаем правило изображения правильного пятиугольника:
Рис.8,б
Проведем произвольную пару прямых, пересекающихся в точке М (рис. 8, б). На одной прямой отложим от точки М три произвольных, но равных отрезка по одну сторону и два таких же — по другую. Получаем точки B и D. Аналогичные построения для другой прямой (в общем случае откладываемые отрезки на второй прямой имеют другую длину) — точки А и С. Затем строим параллелограмм на отрезках BM и AM. Четвертая вершина параллелограмма — точка E. ABCDE — изображение правильного пятиугольника.
Пример 2. Построить изображение правильного шестиугольника.
Решение. Пусть A’B’C’D’E’F’ — правильный шестиугольник (рис. 9, а).
Рис.9,а
Опишем около него окружность и проведем отрезки A’D’, B’F’, C’E’. Тогда увидим, что диагональ A’D’ разделилась точками G’, H’, O’ (центр описанной окружности) на 4 равные части, причем B’C’||C’E’||F’E’, A’B’||E’D’, C’D’||A’F’, B’F’||C’E’. (1)
Тогда изобразить правильный шестиугольник можно следующим образом (рис. 9, б):
Рис.9,б произвольный отрезок AD делим на 4 равные части, получаем точки G, O, H. Учитывая условия (1), присущие оригиналу, достраиваем изображение ABCDEF.
Замечание 1.Существуют и другие способы построения правильного шестиугольника. Например, зная, что B’C’E’F’ - прямоугольник, изобразим его произвольным параллелограммом BCEF и достроим до шестиугольника, исходя из свойств оригинала A’B’C’D’E’F’, которые сохранятся при параллельном проектировании.
Выявив некоторые признаки, присущие оригиналу — это могут быть как алгебраические равенства (пример 1), так и геометрические свойства (пример 2) - мы переносим их на изображение. Это относится и к построению изображений многоугольников, вписанных в окружность (или описанных около нее).
Замечание 2.При построении фигур, вписанных или описанных около окружности, зная, что изображением окружности является эллипс, а взаимно перпендикулярные диаметры окружности перейдут в сопряженные диаметры эллипса, помещают вершины (одну или несколько) в концы сопряженных диаметров и рассматривают расположение многоугольника относительно сопряженных диаметров, а затем переносят эти свойства на изображение.
§3. Теорема Польке-Шварца.
Теорема Польке-Шварца. Любой плоский четырехугольник ABCD вместе с его диагоналями (сплошной и пунктирной) может служить параллельной проекцией тетраэдра A’B’C’D’, если только не все вершины четырехугольника лежат на одной прямой.
Доказательство. Пусть задан произвольный плоский четырехугольник ABCD (рис.10, а). Докажем, что он может служить параллельной проекцией тетраэдра A’B’C’D’ (рис.10, б). Выберем на ребрах тетраэдра B’C’ и A’D’ точки K’ и M’ из условий:
Геометрическая конструкция Правильного Пентагона
В молодости мне никогда особенно не нравились геометрические конструкции. Это может быть из-за того, что у меня была тенденция слишком сильно давить и испортить ширину, на которую был установлен мой компас. Как и во многих других вещах, у технологий есть решение этой проблемы.
Вы можете делать геометрические построения на нескольких сайтах, в том числе в геогебре. Мой любимый сайт, который я открыл около 5 лет назад, — это sciencevsmagic.net. Я рассказывал об этом студентам в течение многих лет и решил этим летом поиграть с ним снова, чтобы увидеть, насколько он мне все еще нравится.(Оказывается, много.)
Есть 40 испытаний в наборах по 4. На этот раз я получил любую форму, кроме пятиугольника. Я попросил подсказок (от друзей-математиков на facebook), которые потом избегал читать, потому что хотел сделать это сам. Я так ничего и не добился и, наконец, выполнил инструкции по его созданию. Любая другая форма, которую я построил, имеет смысл сама по себе, но построение правильного пятиугольника должно быть доказано с помощью алгебры. Хорошо, я не чувствую себя так плохо из-за «жульничества».
Я конструировал это снова и снова, пытаясь понять это лучше. В первый раз (который вы видите выше) я использовал эти инструкции (которые я нашел, перейдя по ссылкам из википедии) и сконструировал их в sciencevsmagic, выполнив свою финальную задачу по форме. Затем я сделал это снова с помощью геогебры. Мне нужно было понять, как это работает, и я был в растерянности. Cut-the knot, сайт, на который я много раз заходил со своими математическими вопросами, имел другую конструкцию, которой я следовал как в науке, магии, так и в геогебре, и объяснение (Скотта Броди), над которым я продолжал работать, пока писал. это.
[К сожалению, скончался Александр Богомольный, создатель сайта прорубей. Я надеюсь, что сообщество математических блоггеров сможет найти способ поддерживать его замечательный сайт. Мы скучаем по тебе, Александр.]
Я объясню это так, как я понимаю. Мое объяснение в основном просто повторяет то, что я узнал из этих сайтов. Но некоторым это может помочь, поскольку мне было трудно следовать некоторым аргументам в объяснении Скотта.
Конструкции стоит сделать в первую очередь, чтобы вы могли почувствовать, что происходит, когда вы это делаете.Но когда вы закончите, вопрос все еще остается открытым — действительно ли этот является правильным пятиугольником? Следующее объяснение состоит из двух основных этапов. Сначала он смотрит на отношения в правильном пятиугольнике и пентаграмме (который представляет собой правильный пятиугольник с пятигранной звездой внутри). Затем он смотрит на отношения, построенные методом построения, и, наконец, мы видим, что длина стороны, заданная двумя способами, одинакова. Бинго!
Строительство
Если вы готовы следовать этому, я надеюсь, что вы уже знаете, как построить серединный перпендикуляр отрезка прямой.Я опущу детали конструкции для каждого из них.
- Начиная с окружности с центром O, постройте горизонтальный диаметр AB.
- Постройте серединный перпендикуляр CD.
- Постройте серединный перпендикуляр к AO, пересекая его в точке E.
- Постройте окружность с центром в точке E через точку C, обозначив ее пересечение с AB как F.
- Постройте круг с центром в C через F, обозначив его пересечение с исходной окружностью (над B) как G.
- Обойдите исходный круг, создавая круг такого же размера из каждой новой точки. (Центр в точке G через точку C дает H на другом пересечении с исходной окружностью. И т. Д.)
Взаимосвязи в правильной пентаграмме
- Углы в правильном пятиугольнике равны 108 °, поэтому каждый внешний угол, как и ∠HMN, равен 72 °. Это делает каждый угол в точке, например ∠NHM, 36 °.Поскольку ∠HMG составляет 108 °, MHG и ∠MGH должны быть равны 36 °.
- Поскольку углы ∠GLH и ∠LGH равны 72 °, ΔHGL имеет две равные стороны, HL и HG (которые также равны CM, HI и т. Д.).
- ΔCHI аналогичен ΔIHM. Так что соответствующие стороны пропорциональны. Мы получаем CH / HI = HI / HM, что дает нам HI 2 = CH * HM = CH (CH-CM) = CH (CH-HI).
- Пусть CH = x * HI. Тогда приведенное выше уравнение дает нам HI 2 = x * HI (x * HI-HI), что дает нам (возможно) знакомое уравнение: 1 = x 2 -x, решение которого (в данном случае где x явно больше 1) равно x = (1+
√5) / 2 aka φ.(Здесь я взволнован. Φ, также известное как золотое сечение, проявляется в таких разных контекстах!) - Итак, CH = φ * HI, и (аналогичные треугольники) HI = φ * HM и HM = φ * MN.
- Теперь у нас есть отношения между всеми сторонами пятиугольника, звезды и отрезков прямых на звезде, но они еще не связаны с радиусом круга.
- Теперь рассмотрим ΔODH. Две стороны являются радиусами, а угол при O равен 36 °. Еще один треугольник, похожий на все остальные, которые мы нашли. Итак, OD = φ * DH.
- Также обратите внимание, что ∠DHC (вписанный угол в диаметр) является прямым углом.
- Теперь перейдем к простым именам переменных. Пусть r = OD, s = CG, t = DH и d = CI = CH.
- Тогда d = φ * s, r = φ * t и t 2 + d 2 = (2r) 2 , что дает (r / φ) 2 + (φ * s) 2 = 4r 2 .
- Это дает нам s 2 = 1 / φ 2 * (4r 2 — (r / φ) 2 ) = (4 / φ 2 — 1 / φ 4 ) * r 2 .
Анализируя нашу конструкцию
- Найдем длину s = CG = CF.
- OE = 1/2 * r. И EC =
√ (OE2 + OC2 ) =√ (5/4) * r =√5√5 - So s 2 = CG 2 = CF 2 = OC 2 + OF 2 = (1+ (
√52 ) * r 2 . - У нас есть два очень запутанных выражения для s 2 , одно из правильного пятиугольника / пентаграммы, а другое из нашей конструкции. Они равны? Можно записать положительную и отрицательную степени φ, чтобы упростить первое выражение. Да! Они оба равны (5-
√5√5 - И это доказывает, что наша конструкция образовала правильный пятиугольник. (Уф!)
Я выполнил 32 из 40 заданий в sciencevsmagic. Я до сих пор не понял, как сделать некоторые формы внутри исходного круга, и до сих пор не нашел ни малейшего движения для некоторых фигур. Я так рад, что мне еще есть над чем поработать, когда я в следующий раз вернусь к этому.
[Blogger
плохо работает с надстрочными индексами и квадратными корнями. Еще раз, я
заметив, что я должен выучить LaTex.Вздох.]
Введение В этой статье описывается построение правильного пятиугольника. Также объясняется, почему эта конструкция верна. Строительство
Строительство предполагает следующие этапы:
2. построить центр М CD 3. Постройте линию, перпендикулярную CD и проходящую через D . 4. Нарисуйте N, так что DN = DM 5. продлить линию CN 6. начертите окружность с центром N и радиусом DN, P — пересечение с продолженной линией из 5. 7. протянуть серединный перпендикуляр к CD . 8. начертите окружность с центром C и радиусом CP, A — пересечение с биссектрисой CD . 9. Нарисуйте окружности с радиусом CD и центрами A, C и D. Точки B и E — это другие углы пятиугольника. Почему это правильно? Посмотрите на рисунок 2:
Каждый угол пятиугольника составляет 108 градусов.
Все углы треугольников вместе составляют 5 * 180 = 900 градусов. Вычтите углы в центре: 900 — 360 = 540 градусов. Каждый угол пятиугольника составляет 540/5 = 108 градусов. L ECD = L CED, поэтому Каждый угол отмечен как + 36 градусов. CS — это биссектриса L ACD L CSD = L SDC = 72 градуса, поэтому
Применим эту лемму:
частей. имеющий такое же соотношение, как и стороны угла
х 2 — х — 1 = 0
Расчет предоставляется читателю. |
Пентагон утвердил денежные средства на строительство пограничной стены
ВАШИНГТОН (AP) — Министр обороны Марк Эспер во вторник одобрил использование 3 долларов.6 миллиардов долларов в рамках проектов военного строительства для строительства 175 миль стены президента Дональда Трампа вдоль мексиканской границы.
Представители Пентагона не сказали, какие 127 проектов будут затронуты, но заявили, что подробности будут доступны в среду после уведомления членов Конгресса. По их словам, половина денег поступит от военных проектов в США, а остальное — от проектов в других странах.
Решение Эспера разжигает постоянные споры между администрацией Трампа и Конгрессом по иммиграционной политике и финансированию пограничной стены.И это вызывает трудные дебаты для законодателей, которые ранее в этом году отказались утвердить почти 6 миллиардов долларов на строительство стены, но теперь должны решить, вернут ли они деньги за проекты, которые используются для предоставления денег.
Элейн Маккаскер, контролер Пентагона, заявила, что проекты, не получившие финансирования, не отменяются. Вместо этого Пентагон говорит, что военные проекты «откладываются». Министерство обороны, однако, не имеет никаких гарантий от Конгресса, что какие-либо деньги будут заменены, и ряд законодателей ясно дали понять во время дебатов в начале этого года, что они не попадут на бюджетные уловки и ловкость рук, чтобы построить стену. .
«Это пощечина военнослужащим, которые служат нашей стране, что президент Трамп готов поглотить уже выделенное военное финансирование, чтобы поднять собственное эго, и за стену, за строительство которой, он обещал, заплатит Мексика», — заявил лидер демократов в Сенате Нью-Йорка Чак Шумер. Он сказал, что изменение финансирования затронет Военную академию США в Вест-Пойнте.
Конгресс утвердил 1,375 миллиарда долларов на строительство стен в бюджете этого года, как и в предыдущем году, но намного меньше 5 долларов.7 миллиардов, которые добивался Белый дом. Трамп неохотно принял деньги на прекращение 35-дневной государственной остановки в феврале, но одновременно объявил чрезвычайную ситуацию в стране, чтобы снять деньги с других государственных счетов, выделив до 8,1 миллиарда долларов на строительство стены.
Перечисленные средства включают 600 миллионов долларов из фонда конфискации активов министерства финансов, 2,5 миллиарда долларов от деятельности министерства обороны по борьбе с наркотиками, а теперь объявленный во вторник банк в 3,6 миллиарда долларов на строительство военного жилья.
Пентагон изучил список военных проектов и заявил, что ни один из проектов, предоставляющих жилье или критически важную инфраструктуру для войск, не будет затронут после недавних скандалов из-за плохих жилых помещений для военнослужащих в нескольких частях страны. Представители министерства обороны также заявили, что сосредоточатся на проектах, которые должны начаться в 2020 году и в последующий период, в надежде, что Конгресс в конечном итоге вернет деньги.
«Отмена проектов военного строительства в стране и за рубежом подорвет нашу национальную безопасность, а также качество жизни и моральный дух наших войск, сделав Америку менее защищенной», — заявила спикер палаты представителей Нэнси Пелоси, демократ из Калифорнии.
Правительство потратит деньги на строительство военного жилья для строительства 11 стен в Калифорнии, Аризоне и Техасе, сообщила администрация в подаче во вторник иска, поданного Американским союзом гражданских свобод. Самая дорогая — 52 мили в Ларедо, штат Техас, стоимостью 1,27 миллиарда долларов.
Проект Ларедо и еще один в Эль-Сентро, Калифорния, находятся в частной собственности, которая требует покупки или конфискации, согласно материалам суда. Два проекта в Аризоне находятся на суше под надзором ВМФ и будут первыми, которые будут построены не ранее октября.3. Семь из них по крайней мере частично находятся на федеральных землях, находящихся под надзором Министерства внутренних дел.
175 миль, покрытые финансированием Пентагона, представляют собой лишь часть 1954-мильной границы США и Мексики.
Армейский генерал-лейтенант Эндрю В. Поппас, начальник оперативного отдела Объединенного штаба, заявил репортерам, что укрепление стены может в конечном итоге привести к сокращению числа войск, дислоцированных вдоль границы. Около 3000 военнослужащих действующей службы и 2000 военнослужащих Национальной гвардии используются вдоль границы для поддержки усилий национальной безопасности и пограничного патрулирования.Около 1200 военнослужащих ведут наблюдение в мобильных грузовых отрядах.
Паппас и другие официальные лица не могли сказать, как скоро и на сколько численность войск может сократиться. Представитель Пентагона Джонантан Хоффман сказал, что войска будут оставаться на границе столько, сколько они будут необходимы. Это может частично зависеть от количества попыток пересечения границы мигрантами и других факторов.
ACLU заявила во вторник, что будет добиваться постановления суда, чтобы заблокировать расходование военных денег.Ранее он подал в суд из-за использования средств министерства обороны для борьбы с наркотиками, но Верховный суд отменил мораторий на эти деньги в июле, позволив в прошлом месяце начать первый проект стены, финансируемый Пентагоном, в Аризоне.
Адвокат ACLU Дрор Ладен сказал: «Мы очень скоро вернемся в суд, чтобы заблокировать последнюю попытку Трампа захватить военные фонды для его стены ксенофобии».
__
Автор Associated Press Эллиот Спагат из Сан-Диего внес свой вклад в этот отчет.
Пентагон: фотографии новой постройки, сделанные Гарольдом Лангом
Аэрофотоснимок Пентагона, Арлингтон, Вирджиния.Фото ВВС США, 1947 год? //hdl.loc.gov/loc.pnp/cph.3a50437
Ниже приводится гостевое сообщение Джиллиан Махони, технического специалиста отдела эстампов и фотографий.
11 сентября 2001 года террористы угнали четыре самолета, в результате чего два врезались во Всемирный торговый центр в Нью-Йорке, один — в поле в Пенсильвании, а четвертый, рейс 77 American Airlines, — в западную часть Пентагона. почти 3000 человек — незабываемая трагедия.20 -я -я годовщина этих террористических атак также знаменует собой еще одну веху в истории Пентагона: 80 -ю годовщину начала строительства комплекса. С 11 сентября 1941 года Пентагон с его пятисторонней структурой стал узнаваемым и синонимом американской военной мощи.
Мы можем отметить годовщину строительства, приобретя в 2020 году комплект из 150 фотографий строительства Пентагона, сделанных Гарольдом Лангом.Куратор отдела архитектуры, дизайна и инженерии Мари Накахара отметила силу этой коллекции, исходящей от «Mr. Новаторский и художественный подход Ланга к наблюдению за всем строительством Пентагона в качестве архитектора и фотографа ».
Давайте взглянем на некоторые из этих недавно полученных изображений и посмотрим, что они могут нам рассказать.
Первоначально предполагалось, что на четыре года этот гигантский проект был завершен всего за 16 месяцев, при этом бригада из 4000 рабочих работала 24 часа в сутки в три смены, чему способствовала угроза и возможное объявление Второй мировой войны.Экипажи приступили к работе в тот же день, когда были утверждены контракты, и чертежники завершали разработку проектов, поскольку вокруг них строился Пентагон. На этих изображениях вы можете увидеть ряды чертежников, работающих в наспех построенном рабочем месте, и строительные бригады, стекающие на площадку.
Пентагон, округ Арлингтон, Вирджиния. Строительство. Персонал за работой в чертежной. Фото Гарольда Ланга, 1941 или 1942 год. //Hdl.loc.gov/loc.pnp/ppss.01194
Пентагон, округ Арлингтон, Вирджиния.Строительство. Рабочий сайт. Рабочие. Фото Гарольда Ланга, 1941 или 1942, //hdl.loc.gov/loc.pnp/ppss.01195
При внимательном рассмотрении этих изображений мы можем увидеть подсказки о доступных материалах и ограничениях военного времени. Из-за дефицита стали из-за Второй мировой войны архитекторы обратились к альтернативному материалу аналогичной прочности — железобетону. Здесь показаны примеры использования бетона во время строительства. Из автобетоносмесителя местной бетонной компании Howat Concrete Co., к стальным арматурным стержням или «арматурным стержням», стоящим вертикально.
Пентагон, округ Арлингтон, Вирджиния. Строительство. Рабочий сайт. Фото Гарольда Ланга, 1941 или 1942 гг. //Hdl.loc.gov/loc.pnp/ppss.01169
Пентагон, округ Арлингтон, Вирджиния. Строительство. Рабочий сайт. Фото Гарольда Ланга, 1941 или 1942 год. //Hdl.loc.gov/loc.pnp/ppss.01175
Фотографии Lang не только отражают процесс проектирования и строительства, но и дают представление о месте до начала строительства. Выбранное место изначально было домом для устаревшего аэропорта Гувера, но для строительства подходящих дорог, парковок и канализационной системы правительству потребовалась дополнительная земля.Используя выдающийся домен, федеральное правительство захватило район Ист-Арлингтон и принудило к переселению более 900 жителей в течение двух месяцев после получения уведомления. Ист-Арлингтон был негритянской общиной, многие члены которой были потомками жителей Деревни Фридмана, созданной федеральным правительством в 1863 году для размещения перемещенных и ранее порабощенных людей. Когда жители получали уведомление о выселении, только те, кто владел домами, по оценкам, 40% домохозяйств, получали компенсацию за свою собственность по стоимости, установленной государством.Кроме того, не была выплачена компенсация за потерю заработной платы или работы жильцов, несмотря на то, что многие рабочие места в общине были конфискованы в рамках расчистки участка для строительства. В ответ на личную просьбу адвоката группы жителей Восточного Арлингтона вмешалась первая леди Элеонора Рузвельт и установила трейлеры для перемещенных жителей, которые не смогли найти другое жилье, хотя жители платили арендную плату федерального правительства, чтобы остаться в нем. эти дома на колесах. На этих изображениях изображены некоторые из построек, изъятых для строительства.
Пентагон, округ Арлингтон, Вирджиния. Строительство. Микрорайон до сноса. Фото Гарольда Ланга, 1941 или 1942 гг. //Hdl.loc.gov/loc.pnp/ppss.01180
Пентагон, округ Арлингтон, Вирджиния. Строительство. Церковь перед сносом. Фото Гарольда Ланга, 1941 или 1942, //hdl.loc.gov/loc.pnp/ppss.01179
Помимо рассказа о выдающемся домене, фотографии Ланга предоставляют контекст об условиях работы на строительной площадке, о том, как рисовальщики проводили свое свободное время и отдыхали, и как были изготовлены и использованы материалы.
Пентагон, округ Арлингтон, Вирджиния. Строительство. Рабочий сайт. Фото Гарольда Ланга, 1941 или 1942 гг. //Hdl.loc.gov/loc.pnp/ppss.01232
Пентагон, округ Арлингтон, Вирджиния. Строительство]. Рабочий сайт. Лестничная клетка. Фото Гарольда Ланга, 1941 или 1942, //hdl.loc.gov/loc.pnp/ppss.01224
Пентагон, округ Арлингтон, Вирджиния. Строительство. Персонал стреляет в кости в чертежной. Фото Гарольда Ланга, 1941 или 1942, //hdl.loc.gov/loc.pnp/ppss.01220
Пентагон, округ Арлингтон, Вирджиния.Строительство. Рабочий сайт. Фото Гарольда Ланга, 1941 или 1942 год, //www.loc.gov/pictures/resource/ppss.01247/
Эта коллекция дает возможность исследовать процесс строительства ставшего культовым американским зданием и узнать больше о сложной истории этого места — так что потратьте некоторое время, чтобы внимательно присмотреться и увидеть, что эти изображения могут вам рассказать.
Подробнее:
«Прямо у нашей парадной двери»: Пентагон, Восточный Арлингтон и Куин-Сити
«Я думаю, что любовь и общение людей — это то, что объединяет людей.Иногда я благодарю Господа за то, что вырос в этом сообществе ». — Джон Хендерсон, бывший житель Ист-Арлингтона
В 1890-х годах у баптистской церкви Маунт-Олив возникла проблема. Федеральное правительство объявило, что закроет Деревню Фридмана, лагерь для освобожденных рабов, который открылся во время гражданской войны на территории старого поместья Арлингтон. Церковь, которая обслуживала сотни афроамериканских семей в общине с 1873 года, будет вынуждена найти новый дом для себя и своих прихожан.Посмотрев вниз по дороге, попечители нашли свободный участок земли недалеко от нынешнего расположения Пентагона. 12 августа 1892 года Маунт Олив купил два акра земли и продал участки прихожанам. Двенадцать лет спустя застройщик приобрел еще 27 акров и разделил землю на участки, чтобы в них могло въехать больше афроамериканских семей.
К 1940 году более двухсот домашних хозяйств и девятьсот человек жили в общине, которая стала известна как Ист-Арлингтон и / или Куин-Сити. Это сообщество было молодым и стабильным районом, хотя и не особенно богатым. Как вспоминал бывший житель Джон Хендерсон, жители гордились тем, что создали:
«Многие [дома] построены местными строителями, а многие построены самими людьми, людьми, которые там жили».
Другая женщина, выросшая по соседству, с любовью вспоминала ее чувство общности. «Мы все знали друг друга, вместе играли, вместе ходили в школу… Люди ладили; они были намного больше вместе, чем сейчас.»
ВВосточном Арлингтоне было множество предприятий, парикмахерская и две баптистские церкви, а также собственная остановка трамвая. Некоторые жители жили более комфортно, чем другие, обладая более просторными домами с большим количеством места для членов семьи или большими верандами, покрытыми ширмой.
Однако, достигнув совершеннолетия Джима Кроу, Восточный Арлингтон отставал от белых кварталов в отношении услуг. На улицах не было тротуаров, уличных фонарей, бордюров и водостоков, а в большинстве домов не было электричества.В округе Арлингтон никогда не проходили водопроводные или канализационные трубы в этом районе, поэтому в домах не было водопровода и туалетов со смывом. Жители набирали воду из колодца для мытья и были вынуждены брать питьевую воду из ближайшего источника. Как бывший резидент Эдди Корбин отозвал:
«Прямо над источником росла большая груша… Когда они созревали, они падали в весну. Это были лучшие груши, которые вы когда-либо пробовали ».
В начале 1940-х такие пасторальные сцены испарились почти в мгновение ока.Когда военное министерство и федеральное правительство мобилизовали свои силы в преддверии Второй мировой войны, стало очевидно, что надлежащая координация американских военных усилий потребует строительства нового военного штаба. Быстро расширяющееся военное министерство переросло свою прежнюю штаб-квартиру и арендовало помещения в семнадцати отдельных зданиях по всему Округу. Было ясно, что эти условия были дорогими и неэффективными, и что строительство единого нервного центра позволило бы повысить эффективность, необходимую для победы в войне.
Воздушный архитектурный проект нового административного здания военного министерства, теперь известного как Пентагон (Источник: Национальное управление архивов и документации)Береговая линия реки Потомак в Арлингтоне быстро превратилась в жизнеспособное место, поскольку федеральное правительство уже владело землей, на которой оно могло строить это новый военный штаб. Министерство сельского хозяйства управляло экспериментальной фермой на этом месте, а военное министерство владело участком квартирмейстерского депо. Кроме того, с открытием Национального аэропорта 16 июня 1941 года аэропорт Гувера был закрыт, что предоставило больше места для проекта.
Контракт на строительство Пентагона был заключен 11 сентября 1941 года, и в тот же день началось круглосуточное строительство. После нападения японцев на Перл-Харбор бешеный темп еще больше увеличился. Жители Восточного Арлингтона с восхищением и любопытством наблюдали за ростом здания, не подозревая, что их район в опасности.
Как описал его бывший житель Джордж Воллин, который несколько десятилетий спустя был процитирован в Washington Star :
Мы просто думали, что в поле построят здание, но понятия не имели, что оно будет таким же большим, как и было.Потом они начали строить дороги, и тогда взяли все дома.
Действительно, хотя структура Пентагона была построена с минимальным воздействием на Восточный Арлингтон, письменные планы проекта требовали сноса общины, чтобы построить дороги и стоянки для 35 000 военных, которые будут занимать здание. К сожалению, об этом факте жители не рассказали до последнего момента — деталь, которая, по-видимому, беспокоила немногих планировщиков.
Джей Даунер, консультант проекта по автодорогам, зашел так далеко, что назвал перемещение афроамериканских кварталов выгодой и описал это как таковое в откровенно расистских терминах. Как он сказал Национальной комиссии по планированию капиталовложений в октябре 1941 года, новая дорожная сеть «уберет некоторые неприятные хижины темнокожих рабов» и «очистит эту полосу».
Строительстводолжно было начаться в районе Восточного Арлингтона 19 января 1942 года. Тем не менее, военное министерство дождалось начала февраля, чтобы уведомить местные семьи о том, что собственность была захвачена выдающимися владениями и им придется покинуть свои дома к 1 марта. .Одна из жительниц, Гертруда Джеффресс, позже свидетельствовала о замешательстве и разочаровании членов общины после получения этой сокрушительной новости: «Это было затруднительное положение. Где в мире мы собирались найти место для жизни? »
Как вспоминал другой бывший житель:
Они начали работу еще до того, как мы переехали…. Они начали с того, что проложили канализацию. Они подошли к 8-й улице и вырыли там траншею. Они начали это до того, как мы оттуда выбрались. И это была довольно глубокая дыра, и эта дыра тянулась от того места, где сейчас находится Пентагон, до Форт-Майера.Они не шутили, потому что это было прямо у нашей входной двери.
Для более чем двухсот семей, живущих в Ист-Арлингтоне, найти жилье менее чем за тридцать дней было практически невозможно. Вашингтон был ошеломлен потоком военных рабочих, прибывающих на должности в правительстве, а жилья как для черных, так и для белых было в дефиците. Семьи искали жилье у друзей и родственников, и им часто приходилось оставлять мебель и другое имущество.
Жители общины обращались за помощью к тем, кто, по их мнению, сочувствовал бы их делу, а также был достаточно могущественным, чтобы вмешаться от их имени. Они наняли адвоката, который написал письмо первой леди Элеоноре Рузвельт, в котором просил ее о помощи, протестуя против кратковременного уведомления, которое им было направлено, и выражая недовольство ничтожной суммой, которую правительство намеревалось заплатить за их дома.
Рузвельт направил письмо в комитет Палаты представителей по военным делам, который 13 февраля провел слушание по этому вопросу.Начальник дорожного управления не выразил сожаления по поводу этого решения и сослался на военную необходимость, заявив, что строительство было «делом доли секунды» и что «любая задержка будет очень серьезной».
После слушания военное министерство продолжило реализацию своего плана по выравниванию Восточного Арлингтона, хотя и решило предложить временное жилье в трейлерах для тех жителей, которые не могли найти убежище. К началу апреля 1942 года последние жители Восточного Арлингтона покинули этот район и переехали в армейские трейлеры, расположенные в двух соседних кварталах.
Эдди Корбин вспомнил разлуку, вызванную переселением жителей в эти города-трейлеры:
Все, кто там жил, действительно были разделены. Кто-то поехал в один район, а кто-то в другой… Дядя Сэм поставил трейлеры на Джонсон-Хилл и поставил трейлеры в Зеленой долине… Город трейлеров просуществовал там еще четыре года. Людей сажали в так называемые трейлеры с двумя спальнями.
17 апреля 1942 года военное министерство сожгло Восточный Арлингтон дотла.Федеральное правительство выплатило 180 владельцам собственности 369 427 долларов, или около 2052 доллара на каждого владельца. Те 128 домашних хозяйств Ист-Арлингтона, которые сняли свои дома, не получили компенсации.
В 2013 году историк Нэнси Перри провела устные интервью с несколькими выжившими жителями Восточного Арлингтона, которые оплакивали потерю своей общины. Как сказал один из них: «Некоторых из этих людей вы больше никогда не видели. … Они никогда не вернулись в эту местность. Когда Восточный Арлингтон выровняли, это действительно раскололо сообщество.По словам другого: «Мы потеряли нашу общину; мы потеряли свои дома; мы потеряли работу. То, что было потеряно, никогда не будет заменено ».
Байден Пентагон отменяет строительство пограничной стены на военные средства
Несмотря на расширяющийся кризис мигрантов на юге, министерство обороны объявило в пятницу, что отменяет дальнейшее строительство пограничной стены с использованием военного финансирования, при этом миллиарды долларов были отправлены обратно в Пентагон, которые были зарезервированы администрацией Трампа для строительства барьера. .
Это объявление прозвучало, когда республиканцы громко призывали администрацию Байдена отменить политику предыдущей администрации и продолжить строительство стены вдоль американо-мексиканской границы, возложив вину на политику президента Байдена за наплыв мигрантов, пытающихся уехать. въехать в страну.
Министерство обороны заявило, что финансирование будет возвращено на другие военные проекты.
«В соответствии с указом президента, министерство обороны продолжает отменять все проекты строительства пограничных заграждений, оплаченные за счет средств, первоначально предназначенных для других военных миссий и функций, таких как школы для детей-военнослужащих, зарубежные проекты военного строительства в странах-партнерах и Счет средств Национальной гвардии и резерва », — говорится в заявлении представителя Пентагона.
Строительство стены вдоль южной границы США было остановлено в начале срока президентства Джо Байдена. Хулио Кортес / APТрамп объявил чрезвычайное положение на границе после того, как Конгресс решил не выделять финансирование на строительство стены, что позволило предыдущей администрации воспользоваться в финансирование DoD для продвижения проекта.
Один из чиновников Пентагона сказал ABC News, что они считают решение администрации Трампа нецелевым использованием средств. В январе Байден подписал указ о прекращении строительства.
Недавно генеральный прокурор Аризоны Марк Брнович подал на администрацию президента Байдена в суд по поводу ее иммиграционной политики. Мелина Мара / The Washington Post через AP, Poo«Строительство пограничной стены при предыдущей администрации потребовало более 14 миллиардов долларов из средств налогоплательщиков, лишило наших вооруженных сил. и отвлекали внимание от реальных проблем безопасности, таких как торговцы людьми. Срочное и беспорядочное строительство стен также привело к серьезным проблемам с жизнью, безопасностью и окружающей средой », — сказал чиновник.
В 2021 году наблюдается приток мигрантов к границе.Matt York / APНо массовый сдвиг в финансировании произошел, когда губернатор Аризоны Дуг Дьюси (справа) призвал Байдена объявить чрезвычайное положение в стране на границе, а генеральный прокурор Аризоны Марк Брнович подал иск против администрации Байдена, пытаясь помешать их пересмотру пограничной политики Трампа.
Пентагон приостанавливает строительство пограничной стены, оплаченное из средств обороны, перенаправленных Трампом
Вашингтон — Пентагон объявил в пятницу, что он отменит все проекты строительства пограничной стены, оплаченные из средств Министерства обороны (DOD), которые администрация Трампа перенаправила из военных школы, учебные заведения и другие проекты.
В начале 2019 года президент Трамп использовал оборонные доллары для финансирования строительства дополнительной пограничной стены, потому что Конгресс отказался финансировать его, создав двухмесячный тупик, который привел к самому длительному отключению правительства в истории США.
Сейчас администрация Байдена предпринимает конкретные шаги, чтобы отменить это решение и перенаправить то, что осталось от десятизначной суммы, обратно в проекты Пентагона.
«В соответствии с заявлением [президента Джо Байдена], министерство обороны продолжает отмену всех проектов строительства пограничных заграждений, оплаченных за счет средств, первоначально предназначенных для других военных миссий и функций, таких как школы для детей-военнослужащих, зарубежные военные строительные проекты в странах-партнерах. , а также счет оборудования Национальной гвардии и резерва «, — говорится в заявлении заместителя пресс-секретаря Пентагона Джамала Брауна в пятницу.
Около 127 проектов министерства обороны были первоначально приостановлены в сентябре 2019 года после того, как министр обороны Марк Эспер подписал запрос Белого дома об использовании 3,6 миллиарда долларов из фондов военного строительства, сообщили CBS News в то время представители министерства обороны.
Официальный представитель администрации Байдена заявил, что строительство приграничной стены при администрации Трампа потребовало «более 14 миллиардов долларов из средств налогоплательщиков». Объявление президентом Трампом чрезвычайного положения на границе ознаменовало передачу миллиардов строительных контрактов через Инженерный корпус армии.
Не сразу ясно, сколько денег будет возвращено Пентагону, но, скорее всего, они составят миллиарды долларов. То, что останется, будет восстановлено в военных проектах, финансирование которых было прервано: половина денег была получена по контрактам с зарубежными оборонными ведомствами, а другая половина — по внутренним проектам.
«Министерство обороны начало предпринимать все необходимые действия для отмены проектов по созданию заграждений на границе и координировать свои действия с межведомственными партнерами», — сказал Браун.«Сегодняшние действия отражают неизменную приверженность этой администрации защите нашей страны и поддержке наших военнослужащих и их семей».
Несмотря на отмену администрацией Байдена строительства пограничной стены, Техасский проект гражданских прав отмечает, что около 140 выдающихся дел о владениях, которые могут привести к захвату домов вдоль южной границы, все еще продолжаются. Фактически, ранее в этом месяце федеральный судья постановил, что после многолетнего судебного разбирательства правительство может «немедленно завладеть» землей одной техасской семьи вдоль юго-западной границы в округе Идальго.
Конгресс профинансировал дополнительные ассигнования на строительство пограничной стены почти на 1,4 миллиарда долларов на 2021 финансовый год в рамках своего более широкого законопроекта о помощи от COVID-19 в декабре прошлого года. Ожидается, что Счетная палата правительства вынесет заключение о законности решения Байдена о сокращении расходов на строительство южной пограничной стены уже в следующем месяце.
Министерство внутренней безопасности также объявило в пятницу, что приступит к устранению экологического ущерба, нанесенного строительством пограничной стены во время администрации Трампа, включая физический ущерб системе защиты от наводнений в долине Рио-Гранде и эрозию почвы в Сан-Диего.Представитель DHS сказал, что оно «скоро завершит план, определяющий дополнительные меры по устранению ущерба, нанесенного в результате строительства пограничной стены предыдущей администрацией».
Несмотря на перерыв в работе пограничной стены, примерно 3500 национальных гвардейцев из 22 штатов остаются дислоцированными на юго-западной границе в поддержку таможни и пограничной службы, сообщил журналистам в марте генерал Глен Ван Херк из Северного командования США.
Дэвид Мартин внес вклад в этот отчет.