Расчет изогнутых балок: Расчёт балки бесплатно онлайн

Расчёт балки бесплатно онлайн

Добро пожаловать! Данный онлайн-калькулятор предназначен для расчёта балки и позволит построить эпюры внутренних силовых факторов (изгибающих моментов, поперечных и осевых или продольных сил), рассчитать реакции в опорах. В итоге формируется отчёт с готовым решением. Удачи! 12

Операции Объекты В данном расчёте не задано ни одного закрепления или нагрузки. Для задания нагрузки и закреплений балки перейдите в раздел «Операции»

Основные формулы для расчета прогиба балки

Балка является основным элементом несущей конструкции сооружения. При строительстве важно провести расчет прогиба балки. В реальном строительстве на данный элемент действует сила ветра, нагружение и вибрации. Однако при выполнении расчетов принято принимать во внимание только поперечную нагрузку или проведенную нагрузку, которая эквивалентна поперечной.

Балки в доме

При расчете балка воспринимается как жесткозакрепленный стержень, который устанавливается на двух опорах. Если она устанавливается на трех и более опорах, расчет ее прогиба является более сложным, и провести его самостоятельно практически невозможно. Основное нагружение рассчитывается как сумма сил, которые действуют в направлении перпендикулярного сечения конструкции. Расчетная схема требуется для определения максимальной деформации, которая не должна быть выше предельных значений. Это позволит определить оптимальный материал необходимого размера, сечения, гибкости и других показателей.

Виды балок

Для строительства различных сооружений применяются балки из прочных и долговечных материалов. Такие конструкции могут отличаться по длине, форме и сечению. Чаще всего используются деревянные и металлические конструкции. Для расчетной схемы прогиба большое значение имеет материал элемента. Особенность расчета прогиба балки в данном случае будет зависеть от однородности и структуры ее материала.

Деревянные

Для постройки частных домов, дач и другого индивидуального строительства чаще всего используются деревянные балки. Деревянные конструкции, работающие на изгиб, могут использоваться для потолочных и напольных перекрытий.

Деревянные перекрытия

Для расчета максимального прогиба следует учитывать:

1. Материал. Различные породы дерева обладают разным показателем прочности, твердости и гибкости.
2. Форма поперечного сечения и другие геометрические характеристики.
3. Различные виды нагрузки на материал.

Допустимый прогиб балки учитывает максимальный реальный прогиб, а также возможные дополнительные эксплуатационные нагрузки.

Конструкции из древесины хвойных пород

Стальные

Металлические балки отличаются сложным или даже составным сечением и чаще всего изготавливаются из нескольких видов металла. При расчете таких конструкций требуется учитывать не только их жесткость, но и прочность соединений.

Стальные перекрытия

Металлические конструкции изготавливаются путем соединения нескольких видов металлопроката, используя при этом такие виды соединений:

• электросварка;
• заклепки;
• болты, винты и другие виды резьбовых соединений.

Стальные балки чаще всего применяются для многоэтажных домов и других видов строительства, где требуется высокая прочность конструкции. В данном случае при использовании качественных соединений гарантируется равномерно распределенная нагрузка на балку.

Для проведения расчета балки на прогиб может помочь видео: 

Прочность и жесткость балки

Чтобы обеспечить прочность, долговечность и безопасность конструкции, необходимо выполнять вычисление величины прогиба балок еще на этапе проектирования сооружения. Поэтому крайне важно знать максимальный прогиб балки, формула которого поможет составить заключение о вероятности применения определенной строительной конструкции.

Использование расчетной схемы жесткости позволяет определить максимальные изменения геометрия детали. Расчет конструкции по опытным формулам не всегда эффективен. Рекомендуется использовать дополнительные коэффициенты, позволяющие добавить необходимый запас прочности. Не оставлять дополнительный запас прочности – одна из основных ошибок строительства, которая приводит к невозможности эксплуатации здания или даже тяжелым последствиям.

Существует два основных метода расчета прочности и жесткости:

1. Простой. При использовании данного метода применяется увеличительный коэффициент.
2. Точный. Данный метод включает в себя использование не только коэффициентов для запаса прочности, но и дополнительные вычисления пограничного состояния.

Последний метод является наиболее точным и достоверным, ведь именно он помогает определить, какую именно нагрузку сможет выдержать балка.

Расчет балок на прогиб

Расчет на жесткость

Для расчета прочности балки на изгиб применяется формула:

Где:

M – максимальный момент, который возникает в балке;

W_n,min – момент сопротивления сечения, который является табличной величиной или определяется отдельно для каждого вида профиля.

R_y является расчетным сопротивлением стали при изгибе. Зависит от вида стали.

γ_c представляет собой коэффициент условий работы, который является табличной величиной.

Расчет жесткости или величины прогиба балки является достаточно простым, поэтому расчеты может выполнить даже неопытный строитель. Однако для точного определения максимального прогиба необходимо выполнить следующие действия:

1. Составление расчетной схемы объекта.
2. Расчет размеров балки и ее сечения.
3. Вычисление максимальной нагрузки, которая воздействует на балку.
4. Определение точки приложения максимальной нагрузки.
5. Дополнительно балка может быть проверена на прочность по максимальному изгибающему моменту.
6. Вычисление значения жесткости или максимально прогиба балки.

Чтобы составить расчетную схему, потребуются такие данные:

• размеры балки, длину консолей и пролет между ними;
• размер и форму поперечного сечения;
• особенности нагрузки на конструкцию и точно ее приложения;
• материал и его свойства.

Если производится расчет двухопорной балки, то одна опора считается жесткой, а вторая – шарнирной.

Расчет моментов инерции и сопротивления сечения

Для выполнения расчетов жесткости потребуется значение момент инерции сечения (J) и момента сопротивления (W). Для расчета момента сопротивления сечения лучше всего воспользоваться формулой:

Важной характеристикой при определении момента инерции и сопротивления сечения является ориентация сечения в плоскости разреза. При увеличении момента инерции увеличивается и показатель жесткости.

Определение максимальной нагрузки и прогиба

Для точного определения прогиба балки, лучше всего применять данную формулу:

Где:

q является равномерно-распределенной нагрузкой;

E – модуль упругости, который является табличной величиной;

l – длина;

I – момент инерции сечения.

Чтобы рассчитать максимальную нагрузку, следует учитывать статические и периодические нагрузки. К примеру, если речь идет о двухэтажном сооружении, то на деревянную балку будет постоянно действовать нагрузка от ее веса, техники, людей.

Особенности расчета на прогиб

Расчет на прогиб проводится обязательно для любых перекрытий. Крайне важен точный расчет данного показателя при значительных внешних нагрузках. Сложные формулы в данном случае использовать необязательно. Если использовать соответствующие коэффициенты, то вычисления можно свести к простым схемам:

1. Стержень, который опирается на одну жесткую и одну шарнирную опору, и воспринимает сосредоточенную нагрузку.
2. Стержень, который опирается на жесткую и шарнирную опору, и при этом на него действует распределенное нагружение.
3. Варианты нагружения консольного стержня, который закреплен жестко.
4. Действие на конструкцию сложной нагрузки.

Применение этого метода вычисления прогиба позволяет не учитывать материал. Поэтому на расчеты не влияют значения его основных характеристик.

Пример подсчета прогиба

Чтобы понять процесс расчета жесткости балки и ее максимального прогиба, можно использовать простой пример проведения расчетов. Данный расчет проводится для балки с такими характеристиками:

• материал изготовления – древесина;
• плотность составляет 600 кг/м3;
• длина составляет 4 м;
• сечение материала составляет 150*200 мм;
• масса перекрывающих элементов составляет 60 кг/м²;
• максимальная нагрузка конструкции составляет 249 кг/м;
• упругость материала составляет 100 000 кгс/ м²;
• J равно 10 кг*м².

Для вычисления максимальной допустимой нагрузки учитывается вес балки, перекрытий и опор. Рекомендуется также учесть вес мебели, приборов, отделки, людей и других тяжелых вещей, который также будут оказывать воздействие на конструкцию. Для расчета потребуются такие данные:

• вес одного метра балки;
• вес м2 перекрытия;
• расстояние, которое оставляется между балками;
• временная нагрузка;
• нагрузка от перегородок на перекрытие.

Чтобы упросить расчет данного примера, можно принять массу перекрытия за 60 кг/м², нагрузку на каждое перекрытие за 250 кг/м², нагрузки на перегородки 75 кг/м², а вес метра балки равным 18 кг. При расстоянии между балками в 60 см, коэффициент k будет равен 0,6.

Если подставить все эти значения в формулу, то получится:

q = ( 60 + 250 + 75 ) * 0,6 + 18 = 249 кг/м.

Для расчета изгибающего момента следует воспользоваться формулой f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] £ [¦].

Подставив в нее данные, получается f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] = (5 / 384) * [(249 * 44) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * [(249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744 / 10 000 000) = 0,13020833 * 0,0000063744 = 0,00083 м = 0,83 см.

Именно это и является показателем прогиба при воздействии на балку максимальной нагрузки. Данные расчеты показывают, что при действии на нее максимальной нагрузки, она прогнется на 0,83 см. Если данный показатель меньше 1, то ее использование при указанных нагрузках допускается.

Использование таких вычислений является универсальным способом вычисления жесткости конструкции и величины их прогибания. Самостоятельно вычислить данные величины достаточно легко. Достаточно знать необходимые формулы, а также высчитать величины. Некоторые данные необходимо взять в таблице. При проведении вычислений крайне важно уделять внимание единицам измерения. Если в формуле величина стоит в метрах, то ее нужно перевести в такой вид. Такие простые ошибки могут сделать расчеты бесполезными. Для вычисления жесткости и максимального прогиба балки достаточно знать основные характеристики и размеры материала. Эти данные следует подставить в несколько простых формул.

 

Расчет балки на изгиб | Блог Александра Воробьева

Опубликовано 28 Апр 2013
Рубрика: Механика | 92 комментария

Расчет балки на изгиб «вручную», по-дедовски, позволяет познать один из важнейших, красивейших, четко математически выверенных алгоритмов науки сопротивление материалов. Использование многочисленных программ типа «ввел исходные данные…

…– получи ответ» позволяет современному инженеру сегодня работать гораздо быстрее, чем его предшественникам сто, пятьдесят и даже двадцать лет назад. Однако при таком современном подходе инженер вынужден полностью доверять авторам программы и со временем перестает «ощущать физический смысл» расчетов. Но авторы программы – это люди, а людям свойственно ошибаться. Если бы это было не так, то не было бы многочисленных патчей, релизов, «заплаток» практически к любому программному обеспечению. Поэтому, мне кажется, любой инженер должен уметь иногда «вручную» проверить результаты расчетов.

Справка (шпаргалка, памятка) для расчётов балок на изгиб представлена ниже на рисунке.

Давайте на простом житейском примере попробуем ей воспользоваться. Допустим, я решил сделать в квартире турник. Определено место – коридор шириной один метр двадцать сантиметров. На противоположных стенах на необходимой высоте напротив друг друга надежно закрепляю кронштейны, к которым будет крепиться балка-перекладина – пруток из стали Ст3 с наружным диаметром тридцать два миллиметра. Выдержит  ли эта балка мой вес плюс дополнительные динамические нагрузки, которые возникнут при выполнении упражнений?

Чертим схему для расчета балки на изгиб. Очевидно, что наиболее опасной будет схема приложения внешней нагрузки, когда я начну подтягиваться, зацепившись одной рукой за середину перекладины.

Исходные данные:

F1 = 900 н – сила, действующая на балку (мой вес) без учета динамики

b1 = 0 м

b2 = 0,6 м

b3 = 1,2 м

d = 32 мм – наружный диаметр прутка, из которого сделана балка

E = 206000 н/мм^2 — модуль упругости материала балки стали Ст3

[σи] = 250 н/мм^2 — допустимые напряжения изгиба (предел текучести) для материала балки   стали Ст3

Граничные условия:

Мx (0) = 0 н*м – момент в точке z = 0 м (первая опора)

Мx (1,2) = 0 н*м– момент в точке z = 1,2 м (вторая опора)

V (0) = 0 мм – прогиб в точке z = 0 м (первая опора)

V (1,2) = 0 мм – прогиб в точке z = 1,2 м (вторая опора)

Расчет:

1. Для начала вычислим момент инерции Ix и момент сопротивления Wx сечения балки. Они нам пригодятся в дальнейших расчетах. Для кругового сечения (каковым является сечение прутка):

Ix = (π*d^4)/64 = (3.14*(32/10)^4)/64 = 5,147 см^4

Wx = (π*d^3)/32 = ((3.14*(32/10)^3)/32) = 3,217 см^3

2. Составляем уравнения равновесия для вычисления реакций опор R1 и R2:

Qy = -R1+F1-R2 = 0

Мx (0) = F1*(0-b2) -R2*(0-b3) = 0

Из второго уравнения: R2 = F1*b2/b3 = 900*0.6/1.2 = 450 н

Из первого уравнения: R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 н

3. Найдем угол поворота балки в первой опоре при z = 0 из уравнения прогиба для второго участка:

V (1.2) = V (0)+U (0)*1.2+(-R1*((1.2-b1)^3)/6+F1*((1.2-b2)^3)/6)/

/(E*Ix) = 0

U (0) = (R1*((1.2-b1)^3)/6 -F1*((1.2-b2)^3)/6)/(E*Ix)/1,2 =

= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/

/(206000*5,147/100)/1,2  = 0,00764 рад = 0,44˚

4. Составляем уравнения для построения эпюр для первого участка (0<z<b2):

Поперечная сила: Qy (z) = -R1

Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1)

Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2)/(E*Ix)

Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6)/(E*Ix)

z = 0 м:

Qy (0) = -R1 = -450 н

Мx (0) = 0

Ux (0) = U (0) = 0,00764 рад

Vy (0) = V (0) = 0 мм

z = 0,6 м:

Qy (0,6) = -R1 = -450 н

Мx (0,6) = -R1*(0,6-b1) = -450*(0,6-0) = -270 н*м

Ux (0,6) = U (0)+(-R1*((0,6-b1)^2)/2)/(E*Ix) =

= 0,00764+(-450*((0,6-0)^2)/2)/(206000*5,147/100) = 0 рад

Vy (0,6) = V (0)+U (0)*0,6+(-R1*((0,6-b1)^3)/6)/(E*Ix) =

= 0+0,00764*0,6+(-450*((0,6-0)^3)/6)/ (206000*5,147/100) = 0,003 м

Балка прогнется по центру на 3 мм под тяжестью моего тела. Думаю, это приемлемый прогиб.

5. Пишем уравнения эпюр для второго участка (b2<z<b3):

Поперечная сила: Qy (z) = -R1+F1

Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1)+F1*(z-b2)

Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2+F1*((z-b2)^2)/2)/(E*Ix)

Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6+F1*((z-b2)^3)/6)/(E*Ix)

z = 1,2 м:

Qy (1,2) = -R1+F1 = -450+900 = 450 н

Мx (1,2) = 0 н*м

Ux (1,2) = U (0)+(-R1*((1,2-b1)^2)/2+F1*((1,2-b2)^2)/2)/(E*Ix) =

= 0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/

/(206000*5,147/100) = -0.00764 рад

Vy (1,2) = V (1,2) = 0 м

6. Строим эпюры, используя данные полученные выше.

7. Рассчитываем напряжения изгиба в наиболее нагруженном сечении – посередине балки и сравниваем с допустимыми напряжениями:

σи = Mx max/Wx = (270*1000)/(3,217*1000) = 84 н/мм^2

σи = 84 н/мм^2 < [σи] = 250 н/мм^2

По прочности на изгиб расчет показал трехкратный запас прочности – турник можно смело делать из имеющегося прутка диаметром тридцать два миллиметра и длиной тысяча двести миллиметров.

Таким образом, вы теперь легко можете произвести расчет балки на изгиб «вручную» и сравнить с результатами, полученными при расчете по любой из многочисленных программ, представленных в Сети.

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора ПОДПИСАТЬСЯ на анонсы статей.

Другие статьи автора блога

На главную

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

Формулы для расчетов на изгиб

σ — нормальные напряжения,
τ — касательные напряжения,
Q_y – внутренняя поперечная сила,
M_x – внутренний изгибающий момент,
I_x – осевой момент инерции сечения балки,
W_x – осевой момент сопротивления сечения,
[σ], [τ] – соответствующие допустимые напряжения,
E – модуль упругости I рода (модуль Юнга),
y — расстояние от оси x до рассматриваемой точки сечения балки.

Расчет внутренних поперечных сил и изгибающих моментов

Формула кривизны балки в заданном сечении

Расчет нормальных напряжений в произвольной точке сечения балки

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе (проверочный расчет)

Осевые моменты инерции I и сопротивления W

• прямоугольного сечения
  
  h – высота сечения,
  b – ширина сечения балки.
• круглого сечения балки
  
  D — диаметр сечения

Касательные напряжения в произвольной точке сечения определяются по формуле Журавского:

Здесь:

S_x^* — статический момент относительно оси x отсеченной части сечения

b — ширина сечения на уровне рассматриваемой точки

Условие прочности балки по касательным напряжениям

Дифференциальное уравнение линии изогнутой оси балки

Уравнения метода начальных параметров (МНП)

θ_z, y_z — соответственно угол наклона и прогиб сечения балки на расстоянии z от начала координат,
θ₀, y₀ — соответственно угол наклона и прогиб сечения балки в начале координат,
m, F, q — соответственно все изгибающие моменты, сосредоточенные силы и распределенные нагрузки приложенные к балке,
a, b — расстояние от начала координат до сечений где приложены моменты и силы соответственно,
c — расстояние от начала координат до начала распределенной нагрузки q.

Другие формулы >
Примеры решения задач >
Краткая теория >

Построение эпюр при изгибе для балки

Привет! Вы находитесь на сайте – sopromats.ru, проекте о сопромате и не только! Это новая статья из серии – «сопромат для чайников», в которой я расскажу о построении эпюр при изгибе для балки. Как обычно, буду писать просто и по делу. Здесь я не буду спамить специфическими фразами из сопромата и рассматривать сложные примеры. Будем учиться на простейшей балке. Ну что же давайте начнем учиться!

Сколько можно нарисовать эпюр при изгибе для балок?

Для простого изгиба, который будем рассматривать в этой статье, можно нарисовать всего две эпюры. Одна именуется как эпюра поперечных сил, другая зовется эпюрой изгибающих моментов. Одна показывает распределение внутренних сил внутри элемента, работающего на изгиб, другая моментов. Если хотите, можете изучить больше информации по этим силовым факторам в следующих материалах:

• Как построить эпюру поперечных сил? Здесь вы можете найти полное досье на поперечную силу: кто такая, зачем нужна и как обозначается. Тут же можно почитать подробную инструкцию по построению эпюры этой величины. В статье рассказано про 3 методики расчета и построения.
• Как построить эпюру изгибающих моментов? В этом материале можно узнать много всего об изгибающем моменте. Например, зачем он нужен и как определяется, как обозначается и в чем измеряется. А также подробнейшим образом изучить методики построения эпюры этой величины, 3-мя способами.

Если Вам лень читать эти статьи, то ничего. Это нормально 🙂 Просто хотел пропиарить немного эти материалы, не зря же я их писал…В этой статье, для чайников, мы, итак, научимся строить эти эпюры, но только одним методом.

Подготовительные работы

Для того, чтобы построить эпюры, первым делом вычертите расчетную схему, с указанием всех нагрузок и размеров:

После этого нужно определить реакции опор. Без них дальше никуда. Если Вы не умеет этого делать, обязательно прочтите этот урок про расчет реакций опор для чайников. Здесь же сразу приведу результат вычислений:

Расчет и построение эпюр

Для расчета эпюр сначала нужно наметить участки, на которых эпюра будет либо постоянна, либо меняться по одному закону. Опознать эти участки достаточно просто. Границами участков служат те места, где прикладываются нагрузки (сосредоточенные силы и моменты, в том числе реакции опор). Если на балку действует распределенная нагрузка, то границы – это ее начало и конец. В нашем случае, как видите, 2 участка, каждый по 2 метра:

Рассматриваем произвольное сечение первого участка, которое обзовем буквой – С. Оно будет находится на расстоянии z1 от левого торца балки. И относительного него будем записывать законы, по которым меняются поперечные силы и изгибающие моменты на этом участке:

Записываем уравнение для поперечной силы

Поперечная сила будет равняться сумме всех сосредоточенных сил, находящихся слева от сечения (или справа). Мы будем подсчитывать все, что находится слева, т.к. там меньше нагрузки. В уравнении поперечной силы, все внешние нагрузки нужно учитывать с учетом правила знаков: если сила, относительно рассматриваемого сечения, поворачивает ПО часовой стрелке, то в уравнение она пойдет с ПЛЮСОМ (и наоборот).

В рассматриваемом примере, реакция RA поворачивает ПО часовой стрелке, и уравнение получится такое:

Причем, как видно, эта зависимость справедлива для любого сечения на первом участке, тем самым поперечная сила в пределах этого участка постоянна и равна – 5 кН. Откладываем это значение на графике:

Эпюры заштриховываются перпендикулярно нулевой линии и на каждом участке проставляются знаки поперечной силы.

Записываем уравнение для изгибающего момента

Что касается изгибающего момента, то тут в уравнении нужно учесть сумму моментов, находящихся по одну сторону от сечения. Реакция RA, относительно сечения С создает момент RA·z1. Напомню, что момент – это сила, умноженная на плечо. Где плечо – это расстояние от силы до центра момента (в этом случае, центр – это рассматриваемое сечение). В уравнении моментов, все моменты нужно учитывать с учетом правила знаков: если момент силы, стремится растянуть нижние волокна, то в уравнении будем записывать его со знаком «+». И наоборот.

Придерживаясь этого правила, будем откладывать эпюры изгибающих моментов со стороны РАСТЯНУТЫХ волокон. Что практикуется у инженеров-строителей. У механиков, другие правила, они рисуют эти эпюры со стороны сжатых волокон. Кстати, что такое растянутое и сжатое волокно? Покажу на нашем же примере:

Как видно, сила RA, при повороте, стремится растянуть нижние волокна, поэтому в уравнение будем записывать момент этой силы со знаком плюс:

Анализируя это уравнение, видим, что изгибающий момент будет меняться по линейному закону и зависеть от координаты z1. И чтобы рассчитать и построить эпюру на этом участке достаточно подставить в уравнение координаты начала участка z1=0 и конца z1=2 м. После чего отложить эти точки на графике и соединить прямой линией:

Эпюры для второго участка балки

С учетом всех вышеописанных рекомендаций, я думаю Вы сами теперь сможете построить эпюры для второго участка. Подробно комментировать уже не буду, приведу сразу решение и окончательные эпюры для этой балки:

Сегодня мы рассмотрели урок по построению эпюр для простой балки. Однако, много нюансов по расчету и построению я не рассказал, т.к. все это уместить в одном уроке, довольно сложно и не всем это нужно, статья ведь для чайников! Если Вы хотите прокачать свой знания, в этих вопросах, обязательно прочитайте эти материалы о эпюрах. Здесь можно найти подробные статьи о поперечной силе, о изгибающем моменте. Где я рассказывал о 3-х методиках расчета, причем один из них, даже проще, чем мы рассматривали в данной статье. С помощью которого можно устно рисовать эти эпюры. Также там можно посмотреть, как учитывать моменты и распределенные нагрузки при расчете эпюр и какие особенности есть по построению при действии данных видов нагрузок.

Спасибо за внимание! Если Вам понравилась статья, да и сайт в целом, добавляйте его в свои закладки, чтобы иметь быстрый доступ к нему, а также подписывайтесь на наши соц. сети, делитесь этой статьей с друзьями и т.д. Буду благодарен 🙂

Расчет балок часть 1 | Онлайн калькулятор

В данном разделе можно выполнить онлайн расчеты статически определимых балок в условиях прямого поперечного изгиба под действием сосредоточенной нагрузки. Расчеты определяют прогиб, угол поворота и изгибающий момент в произвольно заданной точке балки при различных граничных условиях. Определив наибольший изгибающий момент и соответствующее опасное сечение балки легко подобрать его размеры исходя из допускаемых напряжений в сечении.

Исходные данные:

L – длина балки, в миллиметрах;

a – координата точки приложения сосредоточенной нагрузки, в миллиметрах;

X – координата точки нахождения изгибающего момента, угла поворота и прогиба балки, в миллиметрах;

F – нагрузка, в ньютонах;

I_x – момент инерции сечения относительно оси, перпендикулярной действию нагрузки, в метрах ⁴;

Е – модуль упругости материала балки, в паскалях.

Расчет балки # 1.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке консольно закрепленной балки под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

R_L = 0 – реакция опоры в крайней левой точке;

M_L = 0 – изгибающий момент в крайней левой точке;

θ_R = 0 – угол поворота в крайней правой точке;

Y_R = 0 – прогиб балки в крайней правой точке.

Расчет балки # 2.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c защемленным концом и скользящей опорой под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

R_L = 0 – реакция опоры в крайней левой точке;

θ_L = 0 – угол поворота в крайней левой точке;

θ_R = 0 – угол поворота в крайней правой точке;

Y_R = 0 – прогиб балки в крайней правой точке.

Расчет балки # 3.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c защемленным концом и шарнирной опорой под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

М_L = 0 – изгибающий момент в крайней левой точке;

Y_L = 0 – прогиб балки в крайней левой точке;

θ_R = 0 – угол поворота в крайней правой точке;

Y_R = 0 – прогиб балки в крайней правой точке.

Расчет балки # 4.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c защемленными концами под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

θ_L = 0 – угол поворота в крайней левой точке;

Y_L = 0 – прогиб балки в крайней левой точке;

θ_R = 0 – угол поворота в крайней правой точке;

Y_R = 0 – прогиб балки в крайней правой точке.

Расчет балки # 5.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c шарнирными опорами под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

М_L = 0 – изгибающий момент в крайней левой точке;

Y_L = 0 – прогиб балки в крайней левой точке;

М_R = 0 – изгибающий момент в крайней правой точке;

Y_R = 0 – прогиб балки в крайней правой точке.

Расчет балки # 6.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c шарнирной и скользящей опорами под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

R_L = 0 – реакция опоры в крайней левой точке;

θ_L = 0 – угол поворота балки в крайней левой точке;

М_R = 0 – изгибающий момент в крайней правой точке;

Y_R = 0 – прогиб балки в крайней правой точке.

Расчёт балки, рамы бесплатно онлайн

Лимит расчётов:

Добро пожаловать! Данный онлайн-калькулятор предназначен для расчёта балки или рамы и позволит построить эпюры внутренних силовых факторов (изгибающих моментов, поперечных и осевых или продольных сил), рассчитать реакции в опорах. В итоге формируется отчёт с готовым решением. Удачи!

10 Гибка криволинейных балок

10 изгиб криволинейных балок

Глава 10
Изгиб криволинейных балок

10.1 Обзор

До сих пор мы изучали членов, которые изначально были натуралами. В этом В этой главе мы изучим изгиб балок, изначально искривленных. Мы делаем это ограничиваясь случаем, когда изгиб происходит в плоскости кривизны. Это происходит при симметричном сечении балки. относительно плоскости его кривизны и в этой плоскости действует изгибающий момент.Как мы для прямых балок, мы сначала получаем решение, предполагая, что сечения Первоначально плоскость остается плоской после изгиба. Результирующая связь между напряжение, момент и прогиб называют формулой Винклера-Баха. Тогда, используя формулировку двумерной упругости, мы получаем поле напряжений и смещений без учета плоских сечений плоскости, хотя для конкретного поперечного сечения изогнутой балки, подвергнутой чистый изгибающий момент или конечная нагрузка. В заключение мы сравниваем оба решения, чтобы найти, что они отлично согласуются, когда луч мелкий.

Прежде чем продолжить, мы хотели бы пояснить, что мы подразумеваем под изогнутым луч. Балка, ось которой не прямая и изогнута по высоте, называется изогнутая балка. Если приложенные нагрузки действуют в направлении y и пролете балка в направлении x, ось балки должна иметь кривизну в плоскость xy. С другой стороны, если стержень изогнут в плоскости xz с нагрузкой все еще в направлении y, тогда это не изогнутая балка, так как эта нагрузка будет вызвать изгиб, а также скручивание секции.Таким образом, изогнутая балка не имеет кривизны в плане. Арки являются примерами изогнутых балки.

10.2 Формула Винклера-Баха для изогнутых балок

---

(a) Вертикальный вид: проекция в плоскости xy.(б) Изотропный вид.

Рисунок 10.1: Схема гибки изогнутой балки

---

Как упоминалось ранее, в этом разделе мы получаем поле напряжений, предполагая, что секции, которые были плоскими до гибки, остаются плоскими после гибки. Следовательно, поперечный разрез вращается вокруг оси, называемой нейтральной осью, как показано на рисунок 10.1. Рассмотрим бесконечно малую часть изогнутой балки. охватывающий угол Δϕ. Благодаря приложенному чистому изгибающему моменту M участок AB вращается на угол δ (Δϕ) вокруг нейтральной оси и занимают позицию A′B ′. SN обозначает поверхность, на которой напряжение равна нулю и называется нейтральной поверхностью. Так как напряжение в этом нейтральная поверхность, длина волокон материала на этой плоскости и ориентирована по оси балки не изменилось бы. Однако волокна выше нейтральная поверхность и ориентированная по оси пучка будет в сжатия и ниже нейтральной поверхности и ориентированы вдоль ось балки будет в напряжении.Следовательно, для волокна на расстоянии y от нейтральной поверхности, ее длина до деформации составила бы (r _n — y) Δϕ, где r _n — радиус кривизны нейтральной поверхности. В изменение длины того же волокна после деформации из-за приложенного изгибающий момент M будет -y (δ (Δϕ)). Обратите внимание, что отрицательный знак означает указывают, что длина уменьшается, когда y положительно для направления момент, указанный на рисунке 10.1. Таким образом, линеаризованная деформация задается по,

(10.1)

Предполагается, что поперечные размеры балки не изменятся за счет изгиб, т.е. эффект Пуассона игнорируется. Следовательно, величина y остается без изменений из-за деформации. Теперь, чтобы оценить величину δ (Δϕ) ∕ (Δϕ), мы обратите внимание на рисунок 10.1a, что

(10,2)

где r — радиус кривизны нейтральной оси после изгиба.Однако по Благодаря тому, что это нейтральная поверхность, ее длина не изменяется и, следовательно,

(10,3)

Приравнивая уравнения (10.2) и (10.3) и упрощая, получаем

(10,4)

Подставляя уравнение (10.4) в (10.1), получаем,

(10,5)

После получения деформации выражение для напряжения принимает вид

(10.6)

где E — модуль Юнга, и мы обратились к одномерному Закон Гука, связывающий напряжение и стресс.

Так как мы предполагаем, что на сечение действует чистый изгибающий момент и особенно без осевой нагрузки, мы требуем, чтобы

(10,7)

где мы использовали (10.6). Поскольку, r _n и r являются постоянными для данного сечения, а r ≠ r _n , когда балка деформируется, для выполнения уравнения (10.7),

(10,8)

Нам нужно найти r _n такое, что выполняется (10.8). Заметив, что y ∕ (r _n — y) = r _n ∕ (r _n — y) — 1, уравнение (10.8) можно упростить как

(10,9)

Если сечение однородное, модуль Юнга постоянен по сечению и поэтому приведенное выше уравнение можно записать как

(10.10)

Предполагая, что изгибающий момент в исследуемом сечении равен M, как показано на раздел 8.1, уравнение (8.9),

(10,11)

где мы предположили, что начало системы координат находится в точке нейтральная ось секции; в соответствии с предположением, сделанным при получении выражение для деформации. Подставляя уравнение (10.7) в (10.11) и переписывая получаем,

(10.12)

Из (10.8) следует, что первый интеграл в приведенном выше уравнении равен нулю. Таким образом, уравнение (10.12) упрощается до

(10,13)

Тогда, комбинируя уравнения (10.6) и (10.13), получаем

(10,14)

где r _n получается решением (10.9). Если сечение однородное, то E есть постоянная по сечению уравнение (10.14) упрощается до,

(10,15)

где r _n получается решением (10.10). Обратите внимание, что в этих уравнениях y равно измеренный от нейтральной оси сечения и изгибающий момент, который увеличивает кривизну (уменьшает радиус кривизны) предполагается положительный.

Таким образом, учитывая момент в разрезе, используя уравнение (10.14) или (10.15), мы может оценить распределение напряжения (σ) в сечении и / или деформированном кривизна (r) балки. Эти уравнения называются формулой Винклера-Баха для гнутые балки.

---

Рисунок 10.2: Параметры прямоугольного сечения для расчета r _n

---

Далее мы проиллюстрируем способ определения радиуса кривизны нейтрального поверхность, r _n для однородного прямоугольного сечения. Рассмотрим прямоугольное сечение показано на рисунке 10.2, где ρ _o обозначает радиус кривизны центроида поперечного сечения, r _i радиус кривизны самого верхнего волокна поперечное сечение и r _o радиус кривизны самого нижнего волокна поперечного сечения.Пусть u = r _n — y. Теперь u — расположение волокна от центра кривизны сечения, как показано на рисунке 10.2. Следовательно,

(10,16)

Следовательно, значение r _n , радиус кривизны нейтральной оси для прямоугольное сечение согласно (10.10) составляет

(10,17)

Получив r _n , мы хотели бы получить распределение напряжений в криволинейном балка прямоугольного сечения, подверженная действию момента М.Из уравнения (10.15) что

(10,18)

Теперь нам нужно вычислить ∫ _— ярда, где y отсчитывается от нейтральной оси. В направлении этот,

(10,19)

где мы использовали тот факт, что r _o — r _i = h и ρ _o = (r _o + r _i ) ∕ 2. Подстановка уравнение (10.19) в (10.18), получаем

(10.20)

где r _n — r _o ≤ y ≤ r _n — r _i . Сравниваем качественные характеристики этого решения после получения решения по эластичности.

10.3 2D решение для упругости изогнутых балок

В этом разделе мы получаем двумерное решение упругости для криволинейных балка подвергается чистому изгибу и торцевой нагрузке. Поперечное сечение балка предполагается прямоугольной шириной 2b и глубиной h.Как луч изогнут, мы используем цилиндрические полярные координаты для формулировки и изучите эту проблему. Предполагается, что изогнутая балка представляет собой кольцевую область между двумя соосными радиально вырезанными цилиндрами радиуса r _i и r _i + h, т. е. = {(r, θ, z) | r _i ≤ r ≤ r _o , α ₁ ≤ θ ≤ α ₂ , -b ≤ z ≤ b}, где r _i , r _o , α ₁ , α ₂ и b являются константы. Обратите внимание, что здесь r _o = r _i + h

10.3.1 Чистый изгиб

---

Рисунок 10.3: Изогнутая балка, подвергнутая чистому изгибу

---

Первый пример, который мы изучаем, — это чистый изгиб изогнутой балки.Здесь предполагается, что на изогнутую балку действуют конечные моменты как показано на рисунке 10.3. Граничные условия тяги для этой задачи являются

• Поверхности, определяемые параметрами r = r _i и r = r _o , не имеют тяги.
• Поверхности, определяемые формулой θ = α, хотя и подвергаются воздействию момента M вдоль направления z не имеет чистой силы.

Перевод этих граничных условий в математические утверждения:

где {e _r , e _θ , e _z } — цилиндрический базис полярных координат.

Граничное условие смещения для этой задачи:

• Поверхность, определяемая параметром θ = 0, не подвергается тангенциальному смещению.
• Радиальное смещение острия цилиндрической полярности отсутствует. координаты (r _n , 0, 0), где r _n — радиальное положение на поверхности θ = 0, при котором σ _θθ (r _n , 0, z) = 0.

Математические формулировки этих условий:

Предполагая, что напряженное состояние в изогнутой балке является плоским и цилиндрические полярные составляющие этого напряжения равны

(10,27)

Подставляя указанное выше напряжение (10.27) в граничные условия тяги (10.21) через (10.24) получаем,

Теперь нам нужно найти функцию напряжения Эйри ϕ, которая удовлетворяла бы границе условия (10.28) через (10.33) и бигармоническое уравнение. В этой проблеме мы ожидаем, что напряжения будут такими, что σ (r, θ, z) = σ (r, -θ, z) для любого θ, т.е. Напряжение является четной функцией от θ. Введение этого ограничения, чтобы стресс был равномерным функция θ на общем периодическом решении бигармонического решения (7.57), приводит к требованию, чтобы функция напряжения Эйри не зависела от θ. Таким образом, Функция стресса Эйри заключается в следующем:

(10,34)

где постоянные a _0i должны быть найдены из граничных условий.В поле напряжений, соответствующее этой функции напряжений Эйри, (10.34), найденное с использованием (7.53) это

Сразу видно, что в силу σ _rθ = 0, граничные условия (10.29), (10.30) и (10.32) тривиально выполняются. Граничное условие (10.28) требует который Граничное условие (10.31) требует, чтобы

(10.40)

В силу того, что члены в квадратных скобках такие же, как в уравнениях (10.39) и (10.38) уравнение (10.40) выполняется, если выполняются (10.38) и (10.39). В только оставшееся граничное условие (10.33) при оценке мандатов который

(10,41)

Решая уравнения (10.38), (10.39) и (10.41) для неизвестных констант a _0i ’s, мы получить

где

(10.45)

Подставляя эти константы из уравнений (10.42) через (10.44) в выражение для напряжений (10.35) через (10.37) поле напряжений принимает вид известный.

---

(а) Балка с большой начальной кривизной (б) Балка с умеренной начальной кривизной

Рисунок 10.4: Сравнение формулы Винклера-Баха для напряжения в изогнутые балки с двумерным решением упругости для балок с разная начальная кривизна

---

---

(а) Балка с малой начальной кривизной (б) Балка с незначительной начальной кривизной

Рисунок 10.5: Исследование влияния начальной кривизны балки на изгибающие напряжения, развиваемые заданным моментом

---

На рисунке 10.4 мы сравниваем напряжение изгиба (σ _θθ ), полученное с использованием Формула Винклера-Баха с полученной с помощью двумерной упругости подходить. Мы обнаружили, что оба этих подхода, хотя и предсказывают разные выражения для напряжения оцените те же значения, что и на рисунке 10.4b. Тем не мение, разница между этими подходами увеличивается по мере того, как значение r _i ∕ h стремится к нулю, как видно из рисунка 10.4a.

На рисунке 10.5 мы изучаем, когда кривизна балки, выше которой напряжения в балке не сильно зависят от кривизны. Кажется, что если кривизна самого внутреннего волокна в 5 раз превышает глубину пучка с прямоугольного сечения, балку можно считать прямой для практических целей.

Получив поле напряжений, удовлетворяющее условиям совместимости, поле плавных смещений, соответствующее этому полю напряжений, может быть определено как следуя стандартному подходу к оценке деформаций для этого поля напряжений из двумерное определяющее соотношение, а затем интегрирование полученного деформации для смещений с использованием соотношения деформаций смещения.На проведя эти расчеты, находим, что цилиндрические полярные компоненты поле смещения равно

(10,46)

(10,47)

где C _и — константы, определяемые по границе смещения. условий, u _r — радиальная составляющая смещения, а u _θ — тангенциальная компонент смещения.

Подставляя уравнение (10.47) в граничное условие смещения (10.25) мы получаем,

(10,48)

Чтобы уравнение (10.48) выполнялось,

(10,49)

Чтобы удовлетворить краевому условию смещения (10.26),

(10.50)

10.3.2 Изогнутая консольная балка при концевой нагрузке

---

Рисунок 10.6: Изогнутая консольная балка, подверженная концевой нагрузке

---

Следующий пример, который мы изучаем, — это пример торцевой нагрузки изогнутого кантилевера. луч.Здесь предполагается, что консольная балка подвергается концевой поперечной силе как показано на рисунке 10.6. Таким образом, граничное условие смещения для этой задачи является

• Поверхность, определяемая θ =, не смещается.

Математическая формулировка этого условия такова:

(10,51)

Граничные условия тяги для этой задачи:

• Поверхности, определяемые параметрами r = r _i и r = r _o , не имеют тяги.
• Поверхность, определяемая θ = 0, подвергается действию силы -P вдоль радиальное направление.
• Поверхность, определяемая θ =, подвергается действию силы P по касательной направление и момент M по направлению z. Ценность этого момент M необходимо определить так, чтобы требуемое перемещение граничные условия выполнены.

Перевод этих граничных условий в математические утверждения:

где {e _r , e _θ , e _z } — цилиндрический базис полярных координат.

Предполагая, что напряженное состояние в изогнутой балке является плоским и цилиндрические полярные составляющие этого напряжения равны

(10,57)

Подставляя указанное выше напряжение (10,57) в граничные условия тяги (10,52) через (10.56) получаем,

Для выполнения граничных условий тяги (10.58) через (10.67), мы выбрали функцию напряжения Эйри из общего решения (7.57) так, чтобы она содержит только члены sin (θ) и cos (2θ), как,

(10.68)

Чтобы продолжить, нужно следовать стандартной процедуре, и, следовательно, мы оставьте это как упражнение, чтобы найти поле напряжения и смещения.

10.4 Резюме

В этой главе мы изучили, как анализировать балки с начальной кривизной. Мы получили поле напряжений, исходя из предположения, что плоское сечение остается плоскость после изгиба.Мы также получили двумерное решение упругости, которое не основаны на предположении, что плоские секции остаются плоскими. Однако мы обнаружили что оба эти решения предсказывают одинаковое значение напряжений для практически используемых гнутые балки.

10.5 Самооценка

• Есть две балки — прямая и изогнутая — каждая. из которых действует чистый изгибающий момент M. Предполагая, что обе балки однородны и имеют квадратное сечение со стороной 0.3 м и сделаны из того же материала, который является линейным упругой и изотропной, вычислить отношение максимальных растягивающих напряжений имеет опыт работы с прямыми и изогнутыми балками. Кроме того, найдите соотношение максимальные сжимающие напряжения, испытываемые в прямых и изогнутых балки. Предположим, изогнутая балка образует часть круга, причем начальный радиус кривизны центральной линии стержня, равный ρ _o . Получить значения соотношений как функции ρ _o и определяют критический rho _o ^c , ниже которого напряжения будут отличаться более чем на 10 процентов.
• Изогнутая балка с круглой центральной линией имеет Т-образное сечение, как показано на рисунке 10.7. Эта балка подвергается чистому изгибу в своей плоскости симметрия. Найдите предельные напряжения растяжения и сжатия. волокна. Положим, b ₁ = 100 мм, b ₂ = 20 мм, радиус кривизны самое внутреннее волокно, r ₁ = 80 мм, самое внешнее волокно, r ₂ = 180 мм и r ₃ = 100 мм.
• Изогнутая балка с круглой центральной линией имеет круглые сечения как показано на рисунке 10.8. Найдите распределение напряжений в этом разделе если на изогнутую балку действует чистый изгибающий момент, M. Предположим, что начальная кривизна центральной линии балки составляет ρ _o .

  ---

  
  

  Рисунок 10.7: Т-образная секция. Рисунок к задаче 2

  
  

  Рисунок 10.8: Круглый разрез. Рисунок к задаче 3

  ---

.

Анализ и проектирование изогнутых круглых балок в пласте

Изогнутые в плане балки часто встречаются в зданиях, круглых резервуарах, мостах и ​​других конструкциях с изгибами. Изогнутые балки всегда развивают кручение (скручивание) в дополнение к изгибающему моменту и поперечным силам, потому что центр тяжести нагрузок, действующих перпендикулярно плоскости конструкции, находится вне линий, соединяющих ее опоры. Поэтому для поддержания равновесия в конструкции опоры изогнутой балки должны быть фиксированными или просто непрерывными.

В этом посте мы в наиболее упрощенном виде представим, как анализировать непрерывные круглые (кольцевые) балки.

Для кольцевых балок;
Максимальный отрицательный момент на любой опоре = K ₁ wr ²
Максимальный положительный момент на любом участке = K ₂ wr ²
Максимальный крутящий момент = K ₃ wr ²
Общая нагрузка на каждую колонка (реакция опоры) R = wr (2θ)

Сила сдвига на любой опоре = R / 2 = wrθ

Коэффициенты приведены в таблице ниже;

Решенный пример
Цилиндрический резервуар диаметром 6 м поддерживается кольцевой балкой, которая опирается на 8 равноотстоящих колонн.
Желательно проанализировать и спроектировать кольцевую балку для поддержки нагрузки от надстройки.

Вид сверху структурного расположения резервуара показан ниже;

Анализ нагрузки

(a) Геометрия секций
Размер балок = 450 мм x 300 мм
Размер колонны = ϕ300 мм круглые колонны
Толщина стенок резервуара = 250 мм
Толщина плиты резервуара = 250 мм

(b) Плотность материалов
Плотность хранимого материала = 10 кН / м ³
Плотность бетона = 25 кН / м ³

(c) Собственные нагрузки
Вес стен = (25 кН / м ³ × 0.25 м × 4,75 м × 18,849 м) = 559,579 кН
Вес нижней плиты = (25 кН / м ³ × 0,25 м × 28,274 м ² ) = 176,7125 кН
Вес сохраненной воды = (10 кН / м ³ × 4,5 м × 23,758 м ² ) = 1069,11 кН
Всего = 1805,4015 кН

Теперь перенесем эту нагрузку на кольцевую балку по периметру.

Периметр кольцевой балки = πd = π × 6 = 18,849 м

w = 1805,4015 кН / Периметр кольцевой балки = 1805,4015 кН / 18.849м = 95,782 кН / м

Собственный вес балки = 25 кН / м ³ × 0,3 м × 0,45 м = 3,375 кН / м

Полная статическая нагрузка на балку = 95,782 кН / м + 3,375 кН / м = 99,157 кН / м

Фактор нагрузки на балки в предельном состоянии = 1,35 × 99,157 кН / м = 133,862 кН / м

Из таблицы выше;
Количество опор (n) = 8
θ = π / n = 45 °
K ₁ = 0,052
K ₂ = 0,026
K ₃ = 0,0040
Радиус (r) = 3 м

Максимальный отрицательный момент на опорах = K ₁ wr ² = -0.052 × 133,862 × 3 ² = -62,647 кН.м

Максимальный положительный момент на пролетах = K ₂ wr ² = 0,026 × 133,862 × 3 ² = 31,323 кН.м

Максимальный крутящий момент = K ₃ wr ² = 0,0040 × 133,862 × 3 ² = 4,819 кН.м

Сила сдвига на опорах = R / 2 = wrθ = 133,862 × 3 × (π / 8) = 157,7 кН

Расчет конструкции
Расчетная прочность бетона f _ck = 35 Н / мм ²
Предел текучести арматуры f _yk = 500 Н / мм ²
Номинальное покрытие до армирования = 30 мм

Пролет
M _Ed = 31.323 кН.м

Эффективная глубина (d) = h — C _nom — ϕ / 2 — ϕlinks
Предполагая, что стержни ϕ12 мм будут использоваться для основных стержней и стержней ϕ8 мм для хомутов (звеньев)
d = 450 — 30 — 6 — 8 = 406 мм

k = M _Ed / (f _ck bd ² ) = (31,323 × 10 ⁶ ) / (35 × 300 × 406 ² ) = 0,0181
Поскольку k <0,167, компрессионное усиление не требуется
z = d [0,5+ √ (0,25–0,882K)] = z = d [0,5+ √ (0,25–0,882 (0,0181))] = 0.95d

A _s1 = M _Ed /(0,87 _yk z) = (31,323 × 10 ⁶ ) / (0,87 × 500 × 0,95 × 406) = 186,69 мм ²
Предусмотреть BOT 3h22 мм (AS _prov = 339 мм ² )

Опоры
M _Ed = 62,647 кН.м

Эффективная глубина (d) = h — C _nom — ϕ / 2 — ϕlinks
Предполагая, что стержни ϕ16 мм будут использоваться для основных стержней и стержней ϕ8 мм для хомутов (звеньев)
d = 450 — 30 — 8 — 8 = 404 мм

k = M _Ed / (f _ck bd ² ) = (62.647 × 10 ⁶ ) / (35 × 300 × 404 ² ) = 0,0365
Поскольку k <0,167, компрессионное армирование не требуется
z = d [0,5+ √ (0,25 — 0,882K)] = z = d [ 0,5+ √ (0,25–0,882 (0,0365))] = 0,95d

A _s1 = M _Ed /(0,87f _yk z) = (62,647 × 10 ⁶ ) / (0,87 × 500 × 0,95 × 404) = 375,23 мм ²
Обеспечьте 2х26 мм TOP ( AS _prov = 402 мм ² )

Взаимодействие сдвига и кручения
По п.6.3.2 (2) Еврокода 2, эффекты кручения и сдвига как для полых, так и для сплошных элементов могут накладываться друг на друга, принимая одно и то же значение для наклона стойки θ. Пределы для θ, указанные в 6.2.3 (2) EC2, также полностью применимы для случая комбинированного сдвига и кручения.

Согласно пункту 6.3.2 (4) EC2, максимальное сопротивление элемента, подвергаемого кручению и сдвигу, ограничивается грузоподъемностью бетонных стоек. Чтобы не превысить это сопротивление, должно быть выполнено следующее условие:

T _Ed / T _{Rd, max} + V _Ed / V _{Rd, max} ≤ 1 ———- Уравнение (6.29 EC2)

V _Ed = 157,7 кН
T _Ed = 4,819 кН.м
T _{Rd, max} = расчетный крутящий момент
V _{Rd, max} = максимальное сопротивление сдвигу поперечного сечения

Геометрические свойства для анализа кручения
Площадь (A) = 300 мм × 450 мм = 135000 мм ²
Периметр (U) = 2 (300) + 2 (450) = 1500 мм
Эквивалентная толщина = t _{ef, i} = A / U = 135000/1500 = 90 мм

Ниже приводится эквивалентное сечение тонкой стенки для прямоугольного сечения;

A _k = площадь, ограниченная осевыми линиями соединительных стен, включая внутренние пустоты = (450 — 90) × (300 — 90) = 75600 мм ²
U _k = периметр площади A _k = 2 (450 — 90) + 2 (300 — 90) = 1140 мм

T _{Rd, max} = 2 v α _cw f _cd A _k t _{ef, i} sinθ cosθ

Предполагая, что θ = 21.8 ° (θ = 2,5)
v = 0,6 (1 — f _ck /250) = 0,6 (1 — 35/250) = 0,516
f _cd = (α _cc × f _ck ) / γ _c = (1 × 35) /1,5 = 23,33 Н / мм ²

T _{Rd, max} = 2 × 0,516 × 1,0 × 23,33 × 75600 × 90 × cos 21,8 ° × sin 21,8 ° × 10 ^-6 = 56,485 кНм

V _{Rd, c} = [C _{Rd, c} .k. (100ρ ₁ f _ck ) ^(1/3) + k ₁ .σ _cp ] b _w .d

Где;
C _{Rd, c} = 0,18 / γ _c = 0,18 / 1,5 = 0,12
k = 1 + √ (200 / d) = 1 + √ (200/404) = 1,704> 2,0, следовательно, k = 1,702
ρ ₁ = As / bd = 402 / (300 × 404) = 0,003317 <0,02; К ₁ = 0,15

V _{Rd, c} = [0,12 × 1,704 (100 × 0,003317 × 35) ^(1/3) ] 300 × 404 = 65469,358 N = 65,469 кН

Поскольку V _{Rd, c} (65,469 кН) Ed (157,7 кН), требуется усиление на сдвиг.

Компрессионная способность компрессионной стойки (V _{Rd, макс.} ) при θ = 21,8 ° (cot θ = 2,5)

В _{Rd, макс.} = (b _w .zv ₁ .f _cd ) / (cot⁡θ + tanθ)
В ₁ = 0,6 (1 — f _ck /250) = 0,6 (1 — 35/250) = 0,516
f _cd = (α _cc ) f _ck ) / γ _c = (1 × 35) / 1,5 = 23,33 Н / мм ²
Пусть г = 0,9d

В _{Rd, не более} = [(300 × 0,9 × 404 × 0.516 × 23,333) / (2,5 + 0,4)] × 10 ^-3 = 452,863 кН

Так как V _{Rd, c} Ed Rd, max
Следовательно, A _sw / S = V _Ed /(0,87F _yk zcot θ) = 157700 / (0,87 × 500 × 0,9 × 404 × 2,5) = 0,3988

Минимальное усиление сдвига;
A _sw / S = ρ _{w, min} × b _w × sin α (α = 90 ° для вертикальных звеньев)
ρ _{w, min} = (0,08 × √ (f _ck )) / f _yk = (0.08 × √35) / 500 = 0,0009465
A _sw / S (мин) = 0,0009465 × 300 × 1 = 0,2839
Поскольку 0,2839 <0,3988, принять 0,3988

Максимальное расстояние между срезными звеньями = 0,75d = 0,75 × 404 = 303 мм
Обеспечить H8 мм при 250 мм c / c (A _sw / S = 0,402) Хорошо

Обратите внимание, что это звено должно быть правильно закрыто с соответствующей длиной анкерного крепления, поскольку оно поможет противостоять скручиванию.

Конструктивные особенности для торсионного вала
T _Ed / T _{Rd, макс.} + V _Ed / V _{Rd, макс.} ≤ 1

(4.891 / 56,485) + (157,7 / 453,863) = 0,434 <1,0 Следовательно, это нормально

Однако обратите внимание, что фактическая сила сдвига в точке максимума скручивания на самом деле меньше, чем сила сдвига на опоре. Вышеупомянутая взаимосвязь является ошибкой, но в любом случае.

Максимальное скручивание происходит под углом 9,5 ° от опоры (см. Таблицу выше). Следовательно, фактическая поперечная сила в этом сечении (V _Ed ) = поперечная сила на опоре — wrα

V _Ed = 157.7 — (133,862 × 3 × (9,5 / 180) × π) = 91,114 кН

Следовательно, в образовательных целях, это сила сдвига, которую следует использовать для проверки взаимодействия сдвига и кручения. Небольшое рассмотрение покажет, что V _{Rd, max} постоянна на всем протяжении сечения, но V _{Rd, c} может изменяться в зависимости от продольной арматуры, предусмотренной в сечении.

Повторная проверка взаимодействия выше;

(4,891 / 56,485) + (91,114 / 453,863) = 0,287 <1,0 Следовательно, это нормально

Площадь поперечной арматуры для сопротивления кручению
A _sw / s = T _Ed / 2A _k f _{yw, d} cotθ
A _sw / s = (4.819 × 10 ⁶ ) / (2 × 135000 × 0,87 × 500 × 2,5) = 0,0164 sw / S (мин)
Следовательно, звенья, предназначенные для сдвига, будут адекватными для сопротивления кручению.

Площадь продольной арматуры для сопротивления кручению
A _s1 = T _Ed U _k кроватка θ / 2A _k f _ярд
A _s1 = (4,819 × 10 ⁶ × 1140 × 2,5) / (2 × 75600 × 0,87 × 500) = 208 мм ²

Согласно п.6.3.2 (4), в поясах сжатия продольная арматура может быть уменьшена пропорционально имеющейся сжимающей силе. В поясах на растяжение продольную арматуру на кручение следует добавлять к другой арматуре. Продольную арматуру обычно следует распределять по длине стороны, но для меньших участков ее можно сосредоточить на концах этой длины.

Однако, во избежание сомнений, поскольку не было дано определения того, что можно было бы рассматривать как «меньшую секцию», предусмотрите планку 1х22 мм в середине секции на обеих сторонах.Растягивающая и продольная арматура сверху и снизу секции должна позаботиться обо всем остальном.

Дополнительная информация
Номинальное усиление сдвига требуется в прямоугольных сечениях, когда;

T _Ed / T _{Rd, c} + V _Ed / V _{Rd, c} ≤ 1 ————– Уравнение (6.31 EC2)

Где;
T _{Rd, c} — значение момента растрескивания при кручении:
V _{Rd, c} — как определено выше.

T _{Rd, c} = f _ctd ⋅t⋅2A _k

τ = f _ctd = f _ctk / γ _c = 2,2 / 1,5 = 1,466 МПа (f _ctk вычитается из таблицы [3.1 — EC2]).

Таким образом, получается:
T _{Rd, c} = f _ctd ⋅t⋅2A _k = 1,466 × 90 × 2 × 75600 × 10 ^-6 = 19,949 кНм

Из приведенных выше расчетов;
V _{Rd, c} = [0,12 × 1,704 (100 × 0,003317 × 35) ^(1/3) ] 300 × 404 = 65469.358 Н = 65,469 кН

(4,819 / 19,949) + 91,114 / 65,469) = 1,633> 1,0 (использовалась сила сдвига в точке максимального кручения)

Таким образом, очевидно, что это показало, что необходимы расчеты поперечной арматуры.

Большое спасибо за посещение Structville
Мы любим вас и будем продолжать усердно работать для вас.

Наша страница в Facebook находится по адресу www.facebook.com/structville

.

Расчет изогнутых клееных балок в соответствии с ANSI / AWC NDS

Рисунок 01 — Моделирование изогнутых балок

В связи с геометрической формой и технологическим процессом изготовления гнутого клееного бруса, при проектировании необходимо проводить отдельные проверки. С одной стороны, изгибающее напряжение по глубине балки не является линейным; кроме того, в процессе изготовления возникают напряжения из-за изгиба ламелей.Первое связано с тем, что зерна внутри короче, чем снаружи. Таким образом, в предположении предположений Бернулли (плоские поперечные сечения остаются плоскими) и в предположении, что нулевая линия находится в центре тяжести применяется следующее:
$$ \ frac12 \ begin {array} {l} \ cdot \; \ frac { \ OperatorName \ Delta \ mathrm d \; \ cdot \; {\ mathrm l} _ \ mathrm i} {\ mathrm d \; \ cdot \; {\ mathrm l} _ \ mathrm i} \; = \; {\ mathrm \ varepsilon} _ \ mathrm i \;> \; {\ mathrm \ varepsilon} _ \ mathrm o \; = \; \ frac {\ operatorname \ Delta \ mathrm d \; \ cdot \; {\ mathrm l} _ \ mathrm o} {\ mathrm d \; \ cdot \; {\ mathrm l} _ \ mathrm o} \ end {array} $$

С учетом закона Гука внутренние краевые напряжения больше внешних:
f _b = E ∙ ε → f _{b, i} > f _{b, o}

Рисунок 02 — Распределение изгибающих напряжений по глубине балки криволинейных балок

Эти характеристики учтены при расчете согласно [1] с помощью коэффициента кривизны C _c , который служит поправочным коэффициентом для расчетного значения прочности на изгиб:
F _b ‘= F _b ∙ C _D ∙ C _M ∙ C _t ∙ C _V ∙ C _c

Для системы, показанной на Рисунке 03, с учетом 20-кратного ее собственного веса и линейного распределения напряжений , максимальное изгибающее напряжение в поперечном сечении гребня 1925 г.Результаты 1 psi. Принимая во внимание напряжения в анализе МКЭ (см. Рисунок 03 ниже), как объяснено выше, большие напряжения изгиба (1986,4 фунтов на квадратный дюйм) отображаются, как ожидалось.

Рисунок 03 — Сравнение изгибающих напряжений на модели балки и на модели поверхности (FEA)

При проектировании изогнутых балок в RF- / TIMBER AWC это несоответствие с коэффициентом кривизны C _c учтено, как требуется в [1] (см. Рисунок 04).2 \; = \; 0,94 $$

Рисунок 04 — Оценка в RF- / TIMBER AWC

Если изгибающий момент увеличивает радиус кривизны, возникают дополнительные растягивающие напряжения поперек зерна. Если изгибающий момент уменьшает радиус кривизны, поперек зерна возникают сжимающие напряжения. Схематическое изображение того, как возникают эти напряжения, показано на рисунке 05 с учетом линейного распределения продольных напряжений (f _{b, x} ).

Рисунок 05 — Создание поперечных напряжений растяжения и поперечного сжатия в искривленной области

Эти радиальные напряжения необходимо учитывать при проектировании, так как они имеют решающее влияние на грузоподъемность. В результате получается постоянное поперечное сечение по глубине балки до:
$$ {\ mathrm f} _ \ mathrm r \; = \; \ frac {3 \; \ cdot \; \ mathrm M} {2 \; \ cdot \; \ mathrm R \; \ cdot \; \ mathrm b \; \ cdot \; \ mathrm d} \; \ cdot \; \ left (\ mathrm d ^ 2 \; — \; 4 \; \ cdot \ ; \ mathrm z ^ 2 \ right) $$

Напряжения становятся максимальными на высоте нейтральной оси, откуда следует:
$$ \ mathrm z \; = \; 0 \; \ rightarrow \; {\ mathrm f} _ \ mathrm r \; = \; \ frac {3 \; \ cdot \; \ mathrm M} {2 \; \ cdot \; \ mathrm R \; \ cdot \; \ mathrm b \; \ cdot \ ; \ mathrm d} \; = \; \ frac {3 \; \ cdot \; 103.3} {2 \; \ cdot \; 285.4 \; \ mathrm {in} \; \ cdot \; 8.75 \; \ mathrm {in} \; \ cdot \; 21 \; \ mathrm {in}} \; = \; 35.4 \; \ mathrm {psi} $$

Поскольку эти радиальные напряжения не могут быть обнаружены с помощью балки (1D), их необходимо определять аналитически. На рисунке 06 показаны результаты расчета МКЭ (2D) для поперечного (вверху) и бокового (внизу). Результаты практически идентичны аналитическому решению, используемому для расчета луча в RF- / TIMBER AWC (см. Рисунок 07).

Рисунок 06 — МКЭ для поперечных напряжений растяжения (вверху) и поперечных напряжений сжатия (внизу)

Рисунок 07 — Оценка конструкции поперечного растяжения (слева) и поперечного сжатия (справа)

Если проверка не предусмотрена, древесина потрескается на уровне нейтральной оси (см. Рисунок 05 справа).Чтобы предотвратить это, можно ввернуть поперечные растягивающие элементы, например, в виде винтов с полной резьбой, которые поглощают поперечные напряжения растяжения. Силу, действующую на винт, можно приблизительно определить вручную следующим образом:
T _{r, t} = f _rt ∙ b ∙ s = 35,4 psi ∙ 8,75 дюйма ∙ 11,5 дюйма = 3,562 фунта-силы
T _{r, t} = радиальная сила в винте
f _rt = радиальное напряжение растяжения
b = ширина балки
s = расстояние между радиальной арматурой

В случае поверхностной модели в RFEM можно интегрировать эти силы непосредственно из внутренних сил в поверхности на результирующую балку.Эта результирующая балка не привносит дополнительной жесткости в систему, а только интегрирует внутренние силы в поверхностях. Таким образом, нормальная сила балки или усиливающего элемента может быть считана непосредственно (см. Рисунок 08).

Рисунок 08 — Результирующие балки с областями интеграции (вверху), растягивающие силы в элементах жесткости (внизу)

RFEM позволяет детально проектировать даже более сложные формы опор.Если формы балок отклоняются от стандартных форм балок, расчет FEM с поверхностями может быть полезным, как описано выше.

Ссылка

[1]	Национальные технические условия для деревянного строительства — издание 2015 г .; ANSI / AWC NDS-2015

.