Содержание

Пример 1.3 Сбор нагрузок на балку перекрытия

 

 

Требуется собрать нагрузки на монолитную балку перекрытия жилого дома (балка по оси «2» в осях «Б-В» на рис.1). Размеры сечения балки: h = 0,5 м, b = 0,4 м. Конструкцию пола принять по рисунку в Пример 1.1 Сбор нагрузок на плиту перекрытия жилого здания.

Решение

Данный тип здания относится ко II классу ответственности. Коэффициент надежности по ответственности γн = 1,0.

Состав пола и значения постоянных нагрузок примем из примера 1.1.

Нагрузки, действующие на балку, принимаются линейно распределенными (кН/м). Для этого равномерно распределенные нагрузки на перекрытие умножаются на ширину грузового участка, равному для средних балок шагу рам. В нашем примере см. рис. 1 ширина грузового участка составляет В = 6,6 м. Остается умножить постоянную нагрузку, вычисленную в примере 1.1, на данную величину и записать в таблицу 1:

q1 = 5,89*В = 5,89*6,6 = 38,87 кН/м;

q1p = 6,63*В = 6,63*6,6 = 43,76 кН/м.

Таблица 1

Сбор нагрузок на балку перекрытия

Вид нагрузки
Норм. кН/м
Коэф. γt
Расч. кН/м
Постоянная нагрузка
1. Ж.б. плита + пол
38,87
43,76
2. Собственный вес балки
5,0
1,1
5,5
Всего:
43,87
49,26
Временная нагрузка
1. Полезная нагрузка:
кратковременная ν1
длительная р1
6,53
2,29
1,3
1,3
8,49
2,98
2. Перегородки (длительная) р2
3,3
1,3
4,29

 

Вычислим нагрузку от собственного веса балки.

Объемный вес железобетона равен 2500 кг/м3 (25 кН/м3). При высоте балки h = 0,5 м и ее ширине b = 0,4 м нормативное значение нагрузки от собственного веса составляет

q2 = 25*h*b*γн =25*0,5*0,4*1,0 =5,0 кН/м.

Коэффициент надежности по нагрузке γt = 1,1,  тогда расчетное значение составит:

q2р = q2*γt =5*1,1 =5,5 кН/м.

Суммарная нормативная постоянная нагрузка составляет

q = q1 + q2 = 38,87 + 5,0 = 43,87 кН/м;

расчетная:

qр = q1р + q2р = 43,76 + 5,5 = 49,26 кН/м.

Понижающие коэффициенты φ1, φ2, φ3 или φ4, при расчете балок нормативные значения нагрузок, допускается снижать в зависимости от грузовой площади А, м2, рассчитываемого элемента умножением на коэффициент сочетания φ. При грузовой площади А = 6,6*7,2 = 47,52 м2 и при А = 47,52 м2 > А1 = 9,0 м2 для помещений коэффициент сочетания φ1 определяется по формуле:

 

φ1 = 0,4 + 0,6/ √(А/А1) = 0,4 + 0,6/√(47,52/9,0) = 0,66.

Полное (кратковременное) нормативное значение нагрузки от людей и мебели для квартир жилых зданий составляет 1,5 кПа (1,5 кН/м2). Учитывая коэффициент надежности по ответственности здания γн = 1,0 и коэффициент сочетания φ1 = 0,66, итоговая нормативная кратковременная полезная нагрузка составляет:

ν1 = 1,5*В*γн*φ1 = 1,5*6,6*1,0*0,66 = 6,53 кН/м.

При нормативном значении временной нагрузки менее 2,0 кПа коэффициент надежности по нагрузке  γt принимается равным γt = 1,3. Тогда расчетное значение составляет:

ν1р = ν1*γt = 6,53*1,3 = 8,49 кН/м.

Длительную полезную нагрузку получаем путем умножения ее полного значения на коэффициент 0,35 т.е:

р1 = 0,35*ν1 = 0,35*6,53 = 2,29 кН/м;

р1р = р1*γt = 2,29*1,3 = 2,98 кН/м.

Нормативное значение равномерно распределенной нагрузки от перегородок составляет не менее 0,5 кН/м2. Приводим ее к линейно распределенной нагрузке на балку путем умножения на ширину грузового участка В=6,6 м:

р2 = 0,5*В*γн = 0,5*6,6*1,0 = 3,3 кН/м.

Расчетное значение нагрузки тогда:

р2р = р2*γt = 3,3*1,3 = 4,29 кН/м.

I сочетание: постоянная нагрузка (собственный вес перекрытия и балки) + полезная (кратковременная).

При учете основных сочетаний, включающих постоянные нагрузки и одну временную нагрузку (длительную или кратковременную), коэффициент Ψl, Ψt вводить не следует.

q1 = q + ν1 = 43,87 + 6,53 = 50,4 кН/м;

q1р = qр + ν1р = 49,26 + 8,49 = 57,75 кН/м.

II сочетание: постоянная нагрузка (собственный вес перекрытия и балки) + полезная (кратковременная) + нагрузка от перегородок (длительная).

Для основных сочетаний коэффициент сочетаний длительных нагрузок Ψ1 принимается: для первой (по степени влияния) длительной нагрузки — 1,0, для остальных — 0,95. Коэффициент Ψ2 для кратковременных нагрузок принимается: для первой (по степени влияния) кратковременной нагрузки — 1,0, для второй — 0,9, для остальных — 0,7.

Поскольку во II сочетании присутствует одна кратковременная и одна длительная нагрузка, то коэффициент Ψl и Ψt = 1,0.

qII = q + ν1 + р2 = 43,87 + 6,53 + 3,3 = 53,7 кН/м;

qIIр = qр+ ν1р + р2р = 49,26 + 8,49 + 4,29 = 62,04 кН/м.

Примеры:

 

Построение эпюр балки | buildingbook.ru

Эпюра — это вид графика, показывающий распределение нагрузки по стержню. Эпюра необходима, чтобы вычислить максимальные напряжения в стержне и на основе этих данных подобрать сечение для конструкции. Как построить эпюру подробно расписано в курсе сопротивления материалов, мы же остановимся на самых необходимых эпюрах для проектирования балок.

Из эпюры балки нам необходимо будет вычислить максимальный изгибающий момент, поперечную силу, опорные реакции стержня. Эти данные нам понадобятся для подбора сечения и проверочного расчета элемента конструкции.

Рассмотрим самые распространенные эпюры балки:

1) Балка имеет шарнирное закрепление по двум сторонам и равномерно-распределенную нагрузку.

 

Здесь и далее Q — Это поперечная сила, M — изгибающий момент.

Как видим максимальная поперечная нагрузка на балку находится в опорах балки, а максимальный момент в центре балки.

К полезной нагрузке можно прибавить и вес балки т.к. он, как правило, также равномерно распределен по длине балки.

2) Балка имеет шарнирное закрепление по двум сторонам и сосредоточенную нагрузку.

 

Этот вариант загрузки можно применить к подкрановой балке, хотя чаще всего подкрановая балка имеет несколько пролетов.

Максимальная поперечная сила возникает по всей длине участка от точки приложения силы до ближайшей опоры, причем чем ближе к опоре, тем больше поперечная сила. В расчетах этот показатель необходим чтобы рассчитать стенку балки на устойчивость и подобрать ребра жесткости в случае необходимости.

Максимальный момент возникает в точке приложения силы. Чем ближе точка приложения силы к центру балки, тем выше момент, поэтому если точка приложения нагрузки движется по балке, то подбор сечения необходимо сделать для приложения нагрузки по центру балки.

Эта эпюра не учитывает вес балки, но ее вес также необходимо считать. Для этого можно отдельно построить эпюру моментов для веса балки и сложить показатели в одинаковых точках.

3) Балка защемлена в опорах и равномерно-нагружена по всей длине

 

При защемлении в узлах максимальный момент в балке в 2-а раза ниже, чем в балке с равномерно-распределённой, однако необходимо сделать жесткий узел с колонной, что создает некоторые сложности. Кроме того момент от балки будет передаваться на колонны, как и момент с колонн будет передаваться на балку.

В расчетных программах необходимо быть внимательным и контролировать закрепление балок т.к. если расчет балки и подбор сечения будет произведен для жестко закрепленной балки, а в реальности узлы будут шарнирными, то балка будет посчитана не правильно и запас прочности может быть не достаточен.

 4) Двухпролетная балка с шарнирными опорами и равномерно-распределенной нагрузкой

В данной схеме мы видим, что максимальный момент находиться на средней опоре, причем больше растянута верхняя часть балки.

Максимальная поперечная сила также находится в точке «В».

При расчете многопролетных балок необходимо учитывать то, что все пролеты могут быть не загружены равномерно, в этом случае эпюра 2-х пролетной балки выглядит следующим образом:

Как видим момент в пролете увеличился, все остальные параметры уменьшились, поэтому момент в пролете для расчета надо брать по этому варианту загружения.

_____________________________________________________________________

Как подобрать сечение стальной балки читайте в статье 

Расчет балки

Как правильно закрепить балку на колонне читайте в статье Опорные узлы балки

Не удается найти страницу | Autodesk Knowledge Network

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}}*

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}}/500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}  

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}  

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

Расчет двух балок, лежащих на упругом неоднородном основании при действии произвольной распределенной нагрузки

Турабов Хамро ШахриёровичЭшбаева Зохида Норкуловна

Рассмотрен приближенный метод расчета шарнирно связанных двух балок, лежащих на упругом неоднородном основании при действие произвольной распределенный нагрузки. С помощью прерывателей Герсеванова распределённая нагрузка представлена в самом общем виде. Получено выражение для упругой линии балки при действии произвольной распределённый нагрузки как угодно расположенный по балке W.

Поделиться в социальных сетях

Часть 1 (стр. 1-107)

Рассмотрен приближенный метод расчета шарнирно связанных двух балок, лежащих на упругом неоднородном основании при действие произвольной распределенный нагрузки.

С помощью прерывателей Герсеванова распределённая нагрузка представлена в самом общем виде. Получено выражение для упругой линии балки при действии произвольной распределённый нагрузки как угодно расположенный по балке W.

Рассмотрим составную балку связанными между собой шарнирами и лежащую на упругом неоднородном основании, модуль деформации которого изменяется по закону

(1)

и при действии произвольной распределенной внешней нагрузки (рис.I.а).

Для решения задачи составная балка освобождается от шарнирных связей, при этом получается ряд балок конечной длины и постоянного поперечного сечения.

Каждая балка будет находиться под действием неизвестных реакции связи Y1 возникающие в местах отчленения одной балки от другой и заданных внешних нагрузок, которое выразится в самом общем виде через функциональные прерыватели Герсеванова [2] (рис.I.б, начало координат берем на левых концах балок, положительные абсциссы вправо, координаты вниз).

Рис. I.

Такая расчетная схема дает возможность каждую из полученных отдельных балок рассмотреть и рассчитать, как простую балку конечной длины и постоянного поперечного сечения, лежащую на упругом неоднородном основании. Каждой отсеченной балке не учитываем её поперечные деформации по высоте сечения, а грунт основания под каждой балкой принимаем разным и рассматриваем как сплошную упругую неоднородную среду, характеризуемую модулем деформации изменяющимся с глубиной по закону (1). При этом неоднородность грунта-основания учитывается, и по горизонтали, и по вертикали. Следуя [2], характер распределения реактивных давлений грунта под балками принимаем в таком виде:

(3)

(4)

Для каждой балки составляем соответствующее дифференциальное уравнение изогнутой оси

(5)

(6)

Для деформации грунта под каждой отсеченной балкой используем уравнения осадки поверхности неоднородного полупространства, работающих в условиях плоской задачи (плоская деформация).

(7)

где n=1,2

После четырехкратного интегрирования системы дифференциальных уравнений (5) и (6) получим соответствующее обще уравнение упругой линии каждой балки:

где n = 1, (8)

В уравнениях (8) в каждое из них входят по восемь неизвестных величин (по четыре параметра и по четыре произвольные постоянные интегрирования). Для нахождения этих искомых величин для каждой балки используем по восемь следующих условий: два условия статики; два граничных условия; четыре условия прилегания балки к основанию, которые легли в основу для вывода расчетных формул в [4].Используя все перечисленные выше условия и с учетом формул выведенных в [4], находим искомые параметры для всех отсеченных балок:Формулы для параметров n-й балки имеют вид:

(9)

Где

Где определяются согласно [4].

Вспомогательные члены

(10)

-

показатель гибкости n-ой балки. Где I,2В этих формулах приняты следующие обозначения:

- реактивное давление грунта на n — ную балку; — Произвольная какая угодно распределенная нагрузка на n — ую балку; Yn- Пока неизвестная поперечная реакция возникающие по концам n — ой балки расчет расчленения соседних балок, — без размерная абсцисса в рассматриваемом сечении n — ой балки, bn — Ширина n-й балки;Ln — длина n -й балки:Безразмерное расстояние от левого концаn — ой балки до начала распределенной нагрузки ; — Модуль деформация грунта на глубине Yn = l под n-й балкой; Von — Коэффициент Пуассона n-й балки; жестокость n-й балки;

В формулах, по которым определяется искомые параметры, входит неизвестная реакцияY1возникающие по концам смежных балок, то для получения замкнутой системы уравнений к восьми условиям добавляем условия сопряженности: реакция грунта на балку со стороны основания в местах мысленного отсечения одной балки от другой были равными между собой.

(11)

Согласно (9), параметры для первой балки определяется по формулам:

(12)

Параметры для второй балки:

(13)

Где, b2 — ширина рассматриваемых балок

Поставляя значения параметровиз формул (12), (13) в (11) и преобразовав его, получим следующее линейное алгебраическое уравнение:

(14)

В уравнению (14) приняты следующие обозначения

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

Определяя значение Y1 из (14) подставляя (12), (13) в (3), (4) и (8), можно получить реактивные давления, поперечную силу, изгибающий момент, угол поворота сечений и упругую линию балки, лежащей на неоднородном основании при действии произвольной распределенной нагрузки.

Литература:

  1. Клейн Г. К. Учет неоднородности, разрывности деформаций и других механических свойств грунта при расчете сооружений на сплошном основании. Сб. трудов № 14, МИСИ, М., 1956г.
  2. Симвулиди И. А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании. Изд-во «Высшая школа», М.,1978г.
  3. Ширинкулов Т. Ш. Расчет инженерных конструкций на упругом неоднородном основании. Изд-во «Фан», Ташкент,1970г.
  4. Турабов Х. Ш. Расчет балочных плит, лежащих на упругом непрерывно неоднородном основании. Тезисы докладов областного семинара-совещания (май-1988г) г.Самарканд-1988г.

Расчет опорных реакций балки на двух опорах онлайн

Расчет выполняется по следующей методике:

1. Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей, которая является сосредоточенной силой. Для равномерно распределенной нагрузки равнодействующая равна произведению интенсивности нагрузки q на длину участка L, на котором она действует: Fq = q*L.

2. Обозначаем опоры. Общепринято их обозначать буквами А и В. Простая балка имеет одну шарнирно-неподвижную и одну шарнирно-подвижную опоры.

3. Освобождаемся от опор и заменяем их действие на балку реакциями.
Реакции опор при такой нагрузке будут только вертикальными.

4. Составляем уравнения равновесия вида:
MA = 0; MB = 0,
Моментом силы относительно точки называется произведение этой силы на плечо — кратчайшее расстояние от этой точки приложения силы (в общем случае — до линии действия силы).

5. Выполним проверку решения. Для этого составим уравнение равновесия: Y = 0,
Если оно удовлетворено, то реакции найдены правильно, а если нет, но в решении допущена ошибка.

6. Строим эпюру поперечных сил Qx. Для этого определяем значения поперечных сил в характерных точках. Напомним, что поперечная сила в сечении равна сумме проекций всех сил, расположенных только слева или только справа от рассматриваемого сечения, на ось, перпендикулярную оси элемента. Силу, расположенную слева от рассматриваемого сечения и направленную вверх, считают положительной (со знаком «плюс»), а направленную вниз — отрицательной (со знаком «минус»). Для правой части балки — наоборот.
В сечениях, соответствующих точкам приложения сосредоточенных сил, в том числе в точках приложения опорных реакций, необходимо определить два значения поперечной силы: чуть левее рассматриваемой точки и чуть правее ее. Поперечные силы в этих сечениях обозначаются соответственно Qлев и Qправ.
Найденные значения поперечных сил в характерных точках откладываются в некотором масштабе от нулевой линии. Эти значения соединяются прямыми линиями по следующим правилам:
а) если к участку балки нет распределенной нагрузки, то под этим участком значения поперечных сил соединяются прямой линией, параллельной нулевой линии;
б) если на участке балки приложена распределенная нагрузка, то под этим участком значения поперечных сил соединяются прямой, наклонной к нулевой линии. Она может пересекать или не пересекать нулевую линию.
Соединив все значения поперечных сил по указанным правилам, получим график изменения поперечных сил по длине балки. Такой график называется эпюрой Qx.

7. Строим эпюру изгибающих моментов Мx. Для этого определяем изгибающие моменты в характерных сечениях. Напомним, что изгибающий момент в рассматриваемом сечении равен сумме моментов всех сил (распределенных, сосредоточенных, в том числе и опорных реакций, а также внешних сосредоточенных моментов), расположенных только слева или только справа от этого сечения. Если любое из перечисленных силовых воздействий стремится повернуть левую часть балки по часовой стрелке, то оно считается положительным (со знаком «плюс»), если против — отрицательным (со знаком «минус»), а для правой части наоборот.
В сечениях, соответствующих точкам приложения сосредоточенных моментов, необходимо определить два значения изгибающего момента: чуть левее рассматриваемой точки и чуть правее ее. Изгибающие моменты в этих точках обозначаются соответственно Млев и Мправ. В точках приложения сил определяется одно значение изгибающего момента.
Полученные значения откладываются в некотором масштабе от нулевой линии. Эти значения соединяются в соответствии со следующими правилами:
а) если на участке балки нет распределенной нагрузки, то под этим участком балки два соседних значения изгибающих моментов соединяются прямой линией;
б) если к участку балки приложена распределенная нагрузка, то под этим участком значения изгибающих моментов для двух соседних точек соединяются по параболе.

Пример решения балки:

контроль за распределением нагрузки по цилиндрам

2 вариант

Расстояние между сосредоточенными нагрузками одинаковое, при этом расстояние от начала пролета до первой сосредоточенной нагрузки равно половине расстояния между сосредоточенными нагрузками. В этом случае сосредоточенные нагрузки не попадают на начало и на конец пролета.

Рисунок 2.  Значения коэффициентов перехода при 2 варианте приложения сосредоточенных нагрузок.

Как видно из рисунка 2, при таком варианте загружения значение коэффициента перехода будет значительно меньше. Так, например, при четном количестве сосредоточенных нагрузок, коэффициент перехода вообще можно принимать равным единице. При нечетном количестве сосредоточенных нагрузок для определения коэффициента эквивалентности можно использовать формулу:

γ = (m +7)/(m +6) (305.2.1)

где m — количество сосредоточенных нагрузок.

При этом эквивалентная равномерно распределенная нагрузка все также будет равна:

qэкв = γmQ/l (305.1.4)

В целом при соблюдении указанных условий загружения можно принимать следующие коэффициенты перехода:

γ = 2 — если на рассматриваемую конструкцию, например, балку попадает только одна сосредоточенная нагрузка посредине перемычки, а попадают ли балки перекрытия на начало или конец пролета или расположены сколь угодно далеко от начала и конца пролета, в данном случае значения не имеет. А значение это имеет при определении сосредоточенной нагрузки.  

γ = 1 — если на рассматриваемую конструкцию, действует четное количество нагрузок. 

γ = 1.11 — для балки, на которую действуют 3 сосредоточенные нагрузки;

γ = 1.091 — для балки, на которую действуют 5 сосредоточенных нагрузок;

γ = 1.076 — для балки, на которую действуют 7 сосредоточенных нагрузок;

γ = 1.067 — для балки, на которую действуют 9 сосредоточенных нагрузок.

Не смотря на некоторую заковыристость определения, коэффициенты эквивалентности очень просты и удобны. Так как при расчетах очень часто известна распределенная нагрузка, действующая на квадратный или погонный метр, то чтобы не переводить распределенную нагрузку сначала в сосредоточенную, а потом снова в эквивалентную распределенную, достаточно просто умножить значение распределенной нагрузки на соответствующий коэффициент. Например, на перекрытие будет действовать нормативная распределенная нагрузка 400 кг/м2, при этом собственный вес перекрытия составит еще 300 кг/м2. Тогда при длине балок перекрытия 6 м на перемычку могла бы действовать равномерно распределенная нагрузка q = 6(400 + 300)/2 = 2100 кг/м. А дальше, если будет только одна балка перекрытия посредине пролета, то γ = 2, а

qэкв = γq = 2q (305.2.2)

И все.

Если ни одно из двух вышеприведенных условий не соблюдается, то использовать коэффициенты перехода в чистом виде нельзя, нужно добавить еще пару дополнительных коэффициентов, учитывающих расстояние до балок, не попадающих на начало и конец пролета перемычки, а также возможную несимметричность приложения сосредоточенных нагрузок. Вывести такие коэффициенты в принципе можно, однако в любом случае они будут понижающими во всех случаях, если рассматривать 1 вариант загружения и в 50% случаев, если рассматривать 2 вариант загружения, т.е. значения таких коэффициентов будут

1.6. Порядок расчёта шарнирно-консольных балок

Подсчитывают
степень свободы системы.

Проводят
анализ геометрической неизменяемости
системы. Изображают схему взаимодействия
элементов шарнирно-консольной балки,
то есть поэтажную схему, для чего
мысленно разъединяют элементы балки,
разделив их на основные или главные,
которые могут самостоятельно воспринимать
внешнюю нагрузку, и второстепенные или
присоединённые, которые не могут
работать самостоятельно, а должны
опираться на основные балки в соответствии
с рисунком 9.

Аналитический
расчёт шарнирно-консольных балок
начинают со второстепенной балки самого
верхнего этажа. Построив для верхней
балки эпюры изгибающихся моментов и
поперечных сил, прикладывают реакцию
опоры на нижележащую балку с обратным
направлением и рассчитывают её. Последней
рассчитывается опорная балка.

Признаки
основной и второстепенной частей:

если
разрушается основная часть, то разрушается
вся система;

при
разрушении второстепенной части,
основная или главная остаётся без
изменения.

Рис. 1.9. Поэтажные схемы
шарнирно-консольных балок

Конструктивный расчет

Главная балка бистальная: сталь поясов — С255; сталь стенки — С245.

По табл. 51 для стали С255 по ГОСТ 27772-88 для листового профиля при толщине .

По табл. 6

Минимальная высота балки:

Примем с учетом сортамента листового проката tw=10 мм.

Из условия экономичности оптимальная высота балки:

Примем hef =1000мм

Принимаю tf = 20мм, bf =300мм. По ГОСТ 82-70*

Рисунок 4.3 Поперечное сечение главной балки

Проверка подобранного сечения.

Находим геометрические характеристики.

Расчет геометрических характеристик сечения по программе «Конструктор сечений»

Элемент сечения

Угол

Зеркально

Лист 1000 x 10

90 град

Лист 300 x 20

0 град

Лист 300 x 20

0 град

Параметр

Значение

Единицы измерения

A

Площадь поперечного сечения

220

см2

Iy

Момент инерции относительно центральной оси Y1 параллельной оси Y

520341,33

см4

Wu+

Максимальный момент сопротивления относительно оси U

4310

см3

zm

Координата центра масс по оси Z

70

см

Корректировка нагрузки с учетом фактического значения собственного веса главной балки

Суммарное значение нормативной нагрузки на балку:

==(0,872+0,206+78,5*220*10-4/5,2+ 0,95*8+ 0,9*17)*0,95=23,09 кн/м2

Погонная нормативная нагрузка на главную балку:

кН/м.

Суммарное значение расчетной нагрузки на балку настила:

==(0,916+0,216+78,5*220*10-4*1,05/6 + +0,95*8,8+0,9*22,1)*0,95=28,20 кн/м2

Погонная расчетная нагрузка:

Корректировка внутренних усилий

Максимальный изгибающий момент:

Максимальная поперечная сила:

Проверка прочности.

Уточняем расчетное сопротивление Ryf при tf =20мм для стали полки С255:

т.51 Ryf =24 кН/см2

Проверка прочности по нормальным напряжениям:

Прочность по нормальным напряжениям обеспечена.

Проверка прочности по касательным напряжениям:

Прочность по касательным напряжениям обеспечена.

Проверка жесткости.

Коэффициент учитывает изменение сечения по длине балки.

Примем =0.85

Жесткость балки обеспечена

Виды балок

Для строительства различных сооружений применяются балки из прочных и долговечных материалов. Такие конструкции могут отличаться по длине, форме и сечению. Чаще всего используются деревянные и металлические конструкции. Для расчетной схемы прогиба большое значение имеет материал элемента. Особенность расчета прогиба балки в данном случае будет зависеть от однородности и структуры ее материала.

Деревянные

Для постройки частных домов, дач и другого индивидуального строительства чаще всего используются деревянные балки. Деревянные конструкции, работающие на изгиб, могут использоваться для потолочных и напольных перекрытий.

Деревянные перекрытия

Для расчета максимального прогиба следует учитывать:

  1. Материал. Различные породы дерева обладают разным показателем прочности, твердости и гибкости.
  2. Форма поперечного сечения и другие геометрические характеристики.
  3. Различные виды нагрузки на материал.

Допустимый прогиб балки учитывает максимальный реальный прогиб, а также возможные дополнительные эксплуатационные нагрузки.

Конструкции из древесины хвойных пород

Стальные

Металлические балки отличаются сложным или даже составным сечением и чаще всего изготавливаются из нескольких видов металла. При расчете таких конструкций требуется учитывать не только их жесткость, но и прочность соединений.

Стальные перекрытия

Металлические конструкции изготавливаются путем соединения нескольких видов металлопроката, используя при этом такие виды соединений:

  • электросварка;
  • заклепки;
  • болты, винты и другие виды резьбовых соединений.

Стальные балки чаще всего применяются для многоэтажных домов и других видов строительства, где требуется высокая прочность конструкции. В данном случае при использовании качественных соединений гарантируется равномерно распределенная нагрузка на балку.

Для проведения расчета балки на прогиб может помочь видео: 

Расчёт сооружений на подвижную нагрузку

При
расчёте сооружения на подвижную нагрузку:
движущийся поезд, автомобиль – пользуются
линиями влияния (лв).

Линия
влияния – это график, показывающий
закон изменения того или иного усилия:
реакции, момента, поперечной силы – в
определённом или фиксированном сечении
сооружения при перемещении по его длине
груза
F=1.

Ордината
линии влияния показывает величину
усилия, для которого построена ЛВ, когда
груз F=1

стоит над этой ординатой на сооружении.

Ординаты
линий влияния R

и Q

безразмерны, а линии влияния М

выражаются в метрах.

Сравнение
линий влияния и эпюр какого-либо усилия
J приведены в табл. 2.1.

Таблица
2.1

Сравнение
линии влияния и эпюр

Представлены расчетные схемы, различные виды действующих нагрузок, эпюры сил, отображающие характер изменения касательных напряжений, эпюры изгибающих моментов, отображающие характер изменения нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении балки, а также формулы для определения опорных реакций, действующего изгибающего момента, максимального изгибающего момента, формулы для определения прогиба балки на расстоянии х
от начала балки и формулы для определения максимального прогиба балки, а также формулы для определения тангенса угла поворота поперечного сечения на опорах и на концах — для консольных балок. Классификация производилась не по действующим нагрузкам, а по виду опор балки. В данном разделе представлены статически определимые балки.

Ось х
, относительно которой производятся расчеты изгибающего момента и прогиба, соответствует продольной оси, проходящей через центр тяжести поперечных сечений балки. Значение момента инерции I
следует определять относительно оси z
.

Если в таблицах отсутствует формула для определения прогиба на каком-то из участков балки (из-за чрезмерной длины формулы), то опять же ее можно вывести, дважды должным образом проинтегрировав уравнение изгибающего момента, разделив результат на EI
и добавив к этому результат интегрирования угла поворота.

В общем виде уравнение для определения углов поворота выглядит так:

θ х = — θ A + Мх/EI + Ax 2 /2EI — qx 3 /6ЕI

например, для шарнирной балки, к которой приложена сосредоточенная нагрузка (таблица 1, №1.1, момент и распределенная нагрузка осутствуют) на участке от начала балки до точки приложения силы (0

θ х = — θ A + Ax 2 /2EI = — Ql 2 /16EI + Qx 2 /4EI = Q(4x 2 — l 2)/16EI

Соответственно в общем виде уравнение для определения прогиба выглядит так:

f х = — θ A x + Мх 2 /2EI + Ax 3 /6EI — qx 4 /24ЕI

для той же шарнирной балки на участке от начала балки до точки приложения силы (0

f х = — θ A x + Ax 3 /6EI = — Ql 2 x/16EI + Qx 3 /12EI = Qx(4x 2 — 3l 2)/48EI

На участке от точки приложения силы до конца балки (l/2

f х = — θ A x + Ax 3 /6EI — Q(x — l/2) 3 /6EI

Эпюры углов поворота и прогибов поперечного сечения по длине балки не приводятся. Если в формуле прогиба есть знак минус, то это значит, что балка прогибается вниз (что в общем-то логично), а если быть более точным, то центр тяжести поперечного сечения смещается вниз по оси у
.

Представленные расчетные схемы позволяют рассчитать балку практически при любом возможном виде нагрузки. Если на балку действует несколько различных нагрузок, то можно производить отдельный расчет для каждой схемы загружения, а затем полученные результаты сложить (с учетом знаков). Это правило называется принципом суперпозиции и в некоторых случаях значительно упрощает общий расчет, а также экономит уйму времени на поиск в сети подходящей расчетной схемы.

1. БАЛКА НА ДВУХ ШАРНИРНЫХ ОПОРАХ

2. КОНСОЛЬНАЯ БАЛКА

3. БАЛКА НА ШАРНИРНЫХ ОПОРАХ С КОНСОЛЯМИ

Расчетные схемы для статически неопределимых балок .

Для расчета балок первым делом необходимо определить усилия, возникающие в конструкциях. В данном разделе показано, как находить усилия, опорные реакции, прогибы и углы поворота в различных изгибаемых конструкциях. Для самых распространенных из них вы можете воспользоваться онлайн расчетом. Для редких — приведены все формулы определения необходимых значений.

Онлайн расчет консольной балки (калькулятор).

Приведен расчет на момент, прогиб и опорные реакции от сосредоточенной и распределнной силы.

Синие ячейки
— ввод данных. (Белые ячейки — ввод координаты для определения промежуточного итога).

Зеленые ячейки
— расчетные, промежуточный итог.

Особенности расчета на прогиб

Расчет на прогиб проводится обязательно для любых перекрытий. Крайне важен точный расчет данного показателя при значительных внешних нагрузках. Сложные формулы в данном случае использовать необязательно. Если использовать соответствующие коэффициенты, то вычисления можно свести к простым схемам:

  1. Стержень, который опирается на одну жесткую и одну шарнирную опору, и воспринимает сосредоточенную нагрузку.
  2. Стержень, который опирается на жесткую и шарнирную опору, и при этом на него действует распределенное нагружение.
  3. Варианты нагружения консольного стержня, который закреплен жестко.
  4. Действие на конструкцию сложной нагрузки.

Применение этого метода вычисления прогиба позволяет не учитывать материал. Поэтому на расчеты не влияют значения его основных характеристик.

Допустимая сосредоточенная нагрузка и допустимая распределенная нагрузка – что более важно?

Многие технические условия характеризуют прочность фальшполов, исходя из значения допустимой распределенной нагрузки (UDL). Например, она составляет 30 кН/м2. Это означает, что ящик с весом 3000 кг, равномерно распределенным по всему объему, имеющий полностью ровную поверхность, может быть установлен на такой пол, – и пол не обрушится.

Однако в действительности нагрузки не является настолько идеальными. Обычно мебель или техническое оборудование (стойки или корпуса) располагаются на металлических опорах, снабженных снизу резиновыми прокладками. Размер такой опоры, к примеру, 25х25 мм, или отпечаток круга диаметром 30 мм.

В таком случае вес тяжелого корпуса (допустим, 1500 кг), занимающего площадь один квадратный метр, будет распределяться по четырем точкам сосредоточения нагрузки. Каждая такая точка будет нести нагрузку 1500/4=375 кг. Сосредоточенная нагрузка в этом случае равна 3,75 кН на площади 625 мм2. Эта площадь точно соответствует действующему в Европе стандарту, относящемуся к сосредоточенной нагрузке. Панель ДСП толщиной 38 мм с подложкой из алюминиевой фольги не выдержит такую точечную нагрузку. Хотя в технических характеристиках указано, что пол может выдержать распределенную нагрузку в 30 кН, фальшпол не сможет выдержать достаточно тяжелый корпус на 4 ножках.

При определении параметров фальшпола необходимо принимать во внимание и распределенную, и сосредоточенную нагрузку. Кроме того, заданная сосредоточенная нагрузка связана с прогибом панели пола в миллиметрах

Величина прогиба в некоторых случаях может иметь значение в помещениях, в которых станки или оборудования располагаются на поверхности пола. Работающее оборудование, производящее детали с заданными допусками, может требовать наличия совершенно стабильного, не прогибающегося пола. Таким образом, проектирование конструкции фальшпола не является простой задачей.

В помещениях распределительных устройств нередко существуют области, в которых величина распределенной нагрузки UDL может достигать 20-30 кН/м2, в то время как в других участках помещения установлено менее тяжелое оборудование. Стандартный пол может теоретически выдержать нагрузку около 25-30 кН/м2. Эта цифра может ввести в заблуждение неопытного специалиста при выборе такого пола для помещений с тяжелым оборудованием. Ошибка заключается в том, что способность выдерживать нагрузку применима только тогда, когда все панели расположены на своих местах. Когда одна или несколько панелей сняты, существует опасность возникновения горизонтально направленной силы, действующей на установленное на поверхности пола тяжелое оборудование, в результате которой пол начнет разрушаться, начиная с участков на которых сняты панели, но затем разрушение затронет все участки помещения (как кости домино).

Существует лишь один способ избежать такой ситуации – использовать фальшполы промышленного типа в помещениях, в которых предполагается установка тяжелого оборудования. При использовании такого фальшпола все панели могут быть сняты без влияния на поперечную устойчивость пола.

Что такое прогиб балки?

Под действием внешней нагрузки, поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Сопромат позволяет нам определить прогиб балки, зная ее геометрические параметры: длину, размеры поперечного сечения. И также нужно знать материал, из которого изготовлена балка (модуль упругости).

ν-прогиб сечения C; θ-угол поворота сечения C.

Прогибы балки необходимо рассчитывать, при расчете на жесткость. Расчётные значения прогибов не должны превышать допустимых значений. Если расчетное значение меньше, чем допустимое, то считают, что условие жесткости элемента конструкции соблюдается. Если же нет, то принимаются меры по повышению жесткости. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.

Список источников

  • viascio.ru
  • SoproMats.ru
  • DoctorLom.com
  • comfloor.ru
  • stroyew.ru
  • studbooks.net

2 Расчет балки настила

2.1 Подбор сечения балки настила

Балки настила принимаем из прокатных двутавров по ГОСТ8239-72 (таблица 3.1) [7].

Расчетная погонная нагрузка на балку [1]

, (2.1)

где - коэффициент надежности по нагрузке для равномерно распределенной нагрузки; при полном нормативном значении равномерно распределенной нагрузки 4,0 кПа [5];

- коэффициент надежности по нагрузке; для металлических конструкций [5];

- собственный вес настила; ранее определен Н/м2;

- собственный вес 1 м балки; принимаем Н/м2) [2].

Н/м.

Расчетная схема представлена на рисунке 2.1.

Максимальный изгибающий момент M находим по формуле

. (2.2)

кНм.

Наибольшая поперечная сила определяется по формуле

. (2.3)

Рисунок 2.1 - К расчету балки настила

кН.

Требуемый момент сопротивления сечения балки «нетто» для случая упругопластической работы при изгибе балки в одной из главных плоскостей можно определить по формуле [4]

, (2.4)

где - коэффициент, учитывающий развитие пластических деформаций по сечению; предварительно принимаем [1];

- расчетное сопротивление материала; принимаем по [1] в зависимости от марки стали (таблицы 2.5 и 2.6) МПа;

- коэффициент условий работы; предварительно принимаем .

см3.

По сортаменту [2] принимаем прокатный двутавр № 45, имеющий см3, масса 1 м 66.5 кг, см4.

Определяем соотношения площадей пояса и стенки балки по формуле

, (2.5)

где и - ширина и толщина пояса выбранного двутавра; мм; мм;

- толщина стенки двутавра; мм;

- высота двутавра; мм.

.

По таблице 3.3 [7]принимаем значение .

2.2 Проверка жесткости балки

Проверка второго предельного состояния ведем путем определения прогиба балки от действия нормативных нагрузок при допущении упругой работы материала. Для однопролетной балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, проверка деформативности производится по формуле [2]

, (2.6)

где - значение нормативной нагрузки на балку; определяется по формуле (2.1) с учетом значений, соответствующих выбранной балке настила;

Н/м = 41.91 кН/м.

<,

т.е. условие жесткости балки удовлетворяется

2.3 Проверка прочности балки

Подобранное сечение проверяем на прочность по первой группе предельных состояний от действия касательных напряжений по формуле [4]

, (2.7)

где - наибольшая поперечная сила на опоре;

и - статический момент и момент инерции сечения;

- толщина стенки балки;

- расчетное сопротивление стали сдвигу; определяем по формуле [4]

, (2.8)

МПа.

кН/см2<18.27·1,0 = 18.27 кН/см2, условие выполняется.

3 Расчет главной балки

Проектирование балок составного сечения выполняем в два этапа: на первом этапе компонуем и подбираем сечения, а на втором – проверяем балку на прочность, устойчивость и жесткость.

ФОРМУЛА БАЛКИ С СДВИГОМ И МАШИНОЙ

Равномерно распределенная нагрузка
@

Частично распределенная равномерная нагрузка

@

Равномерная нагрузка, частично распределенная на одном конце

@

Равномерная нагрузка, частично распределенная на каждом конце

@

Равномерное увеличение нагрузки на один конец

@

Равномерное увеличение нагрузки до центра

@

Сосредоточенная нагрузка в центре

@

Концентрированная нагрузка в любой точке

@

Две равные сосредоточенные нагрузки, расположенные симметрично

@

Две равные сосредоточенные нагрузки размещены несимметрично

@

Две неравные сосредоточенные нагрузки размещены несимметрично

@

Равномерно распределенная нагрузка

@

Концентрированная нагрузка на свободном конце

@

Концентрированная нагрузка в любой точке

@

Балка закреплена на одном конце, равномерно поддерживается на другом V Распределенная нагрузка

@

Луч закреплен на одном конце, поддерживается на другом V Сосредоточенная нагрузка в центре

@

Луч закреплен на одном конце, поддерживается на другом V Сосредоточенная нагрузка в любой точке

@

Балка, нависающая над одной опорой V, равномерно распределена Нагрузка

@

Балка, нависающая над одной опорой V, равномерно распределена Нагрузка на свес

@

Балка нависает над одной опорой V Концентрированная нагрузка при Конец свеса

@

Балка нависает над одной опорой V Концентрированная нагрузка в любом месте Точка между опорами

@

Балка нависает над обеими опорами V Неравные вылеты V Равномерно распределенная нагрузка

@

Балка, закрепленная на обоих концах V Равномерно распределенная нагрузка

@

Балка, закрепленная на обоих концах V Концентрированная нагрузка в центре

@

Балка, закрепленная на обоих концах V Концентрированная нагрузка в любом месте Путевая точка

@

Непрерывная балка V Два равных пролета V Равномерная нагрузка на Один пролет

@

Непрерывная балка V, два равных пролета, V, сосредоточенная нагрузка в центре одного пролета

@

Непрерывная балка V, два равных пролета, V, сосредоточенная нагрузка в любой точке

@

Непрерывная балка V, два равных пролета, V, равномерно Распределенная нагрузка

@

Непрерывная балка V два равных пролета V два равных Сосредоточенные нагрузки симметрично размещены

@

Непрерывная балка V, два неравных пролета, V, равномерно Распределенная нагрузка

@

Непрерывная балка V, два неравных пролета, V, сосредоточенная нагрузка симметрично размещены на каждом пролете

Бесплатный калькулятор луча | Калькулятор изгибающего момента, поперечной силы и прогиба

Добро пожаловать в наш бесплатный онлайн-калькулятор диаграмм изгибающего момента и поперечной силы, который может генерировать диаграммы реакций, поперечных сил (SFD) и изгибающих моментов (BMD) консольной балки или просто поддерживаемой балки.Используйте этот калькулятор пролета балки, чтобы определить реакции на опоры, построить диаграмму сдвига и момента для балки и рассчитать прогиб стальной или деревянной балки. Бесплатный онлайн-калькулятор балки для создания реакций, расчета прогиба стальной или деревянной балки, построения диаграмм сдвига и момента балки. Это бесплатная версия нашего полного программного обеспечения SkyCiv Beam. Доступ к нему можно получить из любой из наших Платных учетных записей, которая также включает в себя полное программное обеспечение для структурного анализа.

Используйте интерактивное окно выше, чтобы просмотреть и удалить длину балки, опоры и добавленные нагрузки. Любые внесенные изменения будут автоматически перерисовывать диаграмму свободного тела любой балки с опорой или консольной балкой. Калькулятор реакции балки и расчет изгибающего момента запускаются после нажатия кнопки «Решить» и автоматически генерируют диаграммы сдвига и изгибающего момента. Вы также можете щелкнуть отдельные элементы этого калькулятора балки LVL, чтобы редактировать модель.

Калькулятор пролета балки легко рассчитает реакции на опорах.Он может рассчитывать реакции на опорах консольных или простых балок. Это включает в себя расчет реакций консольной балки, которая имеет изгибающий момент, а также силы реакции x, y.

Вышеупомянутый калькулятор пролета стальной балки - это универсальный инструмент для проектирования конструкций, используемый для расчета изгибающего момента в алюминиевой, деревянной или стальной балке. Его также можно использовать в качестве калькулятора несущей способности балки, используя его в качестве калькулятора напряжения изгиба или напряжения сдвига. Он способен выдерживать до 2 различных сосредоточенных точечных нагрузок, 2 распределенных нагрузки и 2 момента.Распределенные нагрузки могут быть расположены так, чтобы они были равномерно распределенными нагрузками (UDL), треугольными распределенными нагрузками или трапециевидными распределенными нагрузками. Все нагрузки и моменты могут быть направленными как вверх, так и вниз по величине, что должно учитывать наиболее распространенные ситуации анализа балок. Расчет изгибающего момента и поперечной силы может занять до 10 секунд, и обратите внимание, что вы будете перенаправлены на новую страницу с реакциями, диаграммой поперечной силы и диаграммой изгибающего момента балки.

Одна из самых мощных функций - использование его в качестве калькулятора отклонения балки (или калькулятора смещения балки). Это может быть использовано для наблюдения расчетного прогиба балки с жесткой опорой или консольной балки. Возможность добавлять формы сечения и материалы делает его полезным в качестве калькулятора деревянных балок или в качестве калькулятора стальных балок для проектирования балок lvl или i. На данный момент эта функция доступна в SkyCiv Beam, который имеет гораздо больше функций для проектирования деревянных, бетонных и стальных балок.

SkyCiv предлагает инженерам широкий спектр программного обеспечения для структурного анализа и проектирования облачных вычислений. Как постоянно развивающаяся технологическая компания, мы стремимся внедрять инновации и совершенствовать существующие рабочие процессы, чтобы сэкономить время инженеров в их рабочих процессах и проектах.

Калькулятор пучка с простой опорой | calcresource

Предпосылки

Оглавление

Введение

Балка с простой опорой - одна из самых простых конструкций. У него всего две опоры, по одной с каждой стороны.Одна штифтовая опора и роликовая опора. Оба они препятствуют любому вертикальному движению, позволяя, с другой стороны, свободное вращение вокруг них. Роликовая опора также позволяет балке расширяться или сжиматься в осевом направлении, хотя свободному горизонтальному перемещению препятствует другая опора.

Удаление любой из опор или установка внутреннего шарнира приведет к превращению балки с простой опорой в механизм, то есть без ограничений перемещается в одном или нескольких направлениях. Очевидно, это нежелательно для несущей конструкции.Следовательно, балка с простой опорой не обеспечивает избыточности с точки зрения опор. Если произойдет локальный сбой, вся конструкция рухнет. Эти типы структур, которые не предлагают избыточности, называются критическими или детерминантными структурами. Напротив, конструкция, которая имеет больше опор, чем требуется для ограничения ее свободного движения, называется избыточной или неопределенной конструкцией .

Допущения

Статический анализ любой несущей конструкции включает оценку ее внутренних сил и моментов, а также ее прогибов.Обычно для плоской конструкции с плоской нагрузкой интересующими внутренними действиями являются осевая сила N, поперечная поперечная сила V и изгибающий момент M. ноль, поэтому им часто пренебрегают. Результаты расчетов на странице основаны на следующих предположениях:

  • Материал однороден и изотропен (другими словами, его характеристики одинаковы во всех точках и в любом направлении)
  • Материал линейно эластичный
  • Нагрузки прикладываются статично (они не меняются со временем)
  • Поперечное сечение одинаково по всей длине балки
  • Прогибы небольшие
  • Каждое поперечное сечение, которое изначально является плоским, а также перпендикулярно продольной оси, остается плоской и перпендикулярно отклоненной оси.Это тот случай, когда высота поперечного сечения значительно меньше длины балки (в 10 и более раз), а также поперечное сечение не является многослойным (не сечение сэндвич-типа).

Последние два предположения удовлетворяют кинематическим требованиям теории пучка Эйлера-Бернулли, которая здесь также принята.

Условные обозначения

Для расчета внутренних сил и моментов при любом разрезе сечения балки необходимо условное обозначение. Здесь приняты следующие значения:

  1. Осевая сила считается положительной, когда она вызывает натяжение детали.
  2. Сдвигающая сила является положительной, когда она вызывает вращение детали по часовой стрелке.
  3. Изгибающий момент является положительным, когда он вызывает растяжение нижнего волокна балки и сжатие верхнего волокна.

Эти правила, хотя и не являются обязательными, но достаточно универсальны. Другой набор правил, если следовать им последовательно, также даст те же физические результаты.

Символы
  • E: модуль упругости материала (модуль Юнга)
  • I: момент инерции поперечного сечения вокруг упругой нейтральной оси изгиба
  • L: общий пролет балки
  • R: опора реакция
  • d: прогиб
  • M: изгибающий момент
  • V: поперечная поперечная сила
  • \ theta: наклон

Балка с простой опорой и равномерно распределенной нагрузкой

Нагрузка w распределяется по всему пролету балки с постоянной величиной и направление.Его размеры - сила на длину. Общее количество силы, приложенной к балке, равно W = w L, где L - длина пролета. В зависимости от обстоятельств может быть задана либо общая сила W, либо распределенная сила на длину w.

В следующей таблице представлены формулы, описывающие статический отклик простой балки при равномерно распределенной нагрузке w.

90 674
Балка с простой опорой и равномерной распределенной нагрузкой (UDL)
Количество Формула
Реакции: R_A = R_B000 = { End {1 \ over2} wL уклоны: \ theta_B = - \ theta_A = \ frac {wL ^ 3} {24E I}
Предельный изгибающий момент: M_u = {1 \ over8} w L ^ 2
Предельное усилие сдвига : V_u = {1 \ over2} w L
Максимальный прогиб: d_u = \ frac {5w L ^ 4} {384 EI}
Изгибающий момент при x: M (x) = {1 \ over2} wx \ left (L - x \ right)
Сила сдвига в x: V (x) = {1 \ over2} w \ left (L -2 x \ right)
Прогиб в x: d (x) = \ frac {wx (L ^ 3 - 2 L x ^ 2 + x ^ 3)} {24 EI}
Наклон в x: \ theta ( x) = - \ frac {w (L ^ 3-6 L x ^ 2 + 4 x ^ 3)} {24 EI}

Балка с простой опорой и точечной силой в середине

Сила сосредоточена в одной точке, расположенной в середине балки.Однако на практике сила может распространяться на небольшую площадь, хотя размеры этой области должны быть существенно меньше длины пролета балки. В непосредственной близости от приложения силы ожидаются концентрации напряжений, и в результате отклик, предсказываемый классической теорией балки, может быть неточным. Однако это только местное явление. По мере удаления от места расположения силы результаты становятся действительными в силу принципа Сен-Венана.

В следующей таблице представлены формулы, описывающие статический отклик простой балки под действием сосредоточенной точечной силы P, приложенной посередине.2)} {16 E I} &, x> L / 2 \ end {align} \ right.

где:

\ острый {x} = L-x

Балка с простой опорой и точечной силой в произвольном положении

Сила сосредоточена в одной точке в любом месте пролета балки. Однако на практике сила может распространяться на небольшую площадь. Однако, чтобы считать силу сосредоточенной, размеры области приложения должны быть существенно меньше длины пролета балки. 3} {6EI} &, x> a \ end {align} \ right.2} {2 E I} &, x> a \ end {align} \ right.

где:

b = La

\ острый {x} = Lx

Балка с простой опорой с точечным моментом

В этом случае момент накладывается на одну точку балки в любом месте пролета балки. С практической точки зрения, это может быть пара сил или элемент на кручение, соединенный из плоскости и перпендикулярно балке.

В любом случае область приложения момента должна распространяться на небольшую длину луча, чтобы ее можно было успешно идеализировать как сосредоточенный момент в точке.Хотя в непосредственной близости от области применения ожидается, что результаты, предсказанные с помощью классической теории пучка, будут неточными (из-за концентраций напряжений и других локализованных эффектов), по мере того, как мы удаляемся, предсказанные результаты полностью верны, как заявил Святой -Венантный принцип.

В следующей таблице представлены формулы, описывающие статический отклик простой балки на концентрированный момент M точки, приложенный на расстоянии a от левого конца. 2 )} {6E IL}

Предельный изгибающий момент: M_u = \ left \ {\ begin {align} & {Mb \ over L} &, \ textrm {if:} a \ le L / 2 \ \ - & {Ma \ over L} &, \ textrm {if:} a> L / 2 \ end {align} \ right.2} {2 E I} &, x> a \ end {align} \ right.

где:

b = La

\ острый {x} = Lx

Балка с простой опорой и треугольной нагрузкой

Нагрузка распределяется по всему пролету балки, однако ее величина не константа, но изменяется линейно, начиная от нуля на левом конце до своего пикового значения w_1 на правом конце. Размеры w_1 - сила на длину. Общее количество силы, приложенной к балке, равно W = {1 \ over2} w L, где L - длина пролета.

Ориентация треугольной нагрузки важна! Формулы, представленные в этом разделе, были подготовлены для случая восходящей нагрузки (слева направо), как показано на схеме. Для нисходящей нагрузки вы можете отразить балку так, чтобы ее левый конец (точка A) был наименее загруженным. Ось x и все результаты также будут отражены.

В следующей таблице представлены формулы, описывающие статический отклик простой балки при линейно изменяющейся (треугольной) распределенной нагрузке, восходящей слева направо.4} {24EIL}

где:

C = \ sqrt {15- \ sqrt {120}} \ left (\ sqrt {15} + \ sqrt {50} \ right) \ приблизительно 22.01237

Балка с простой опорой и трапецеидальной нагрузкой

Нагрузка распределяется по всему пролету балки и имеет линейно изменяющуюся величину, начиная с w_1 на левом конце и заканчивая w_2 на правом конце. Размеры w_1 и w_2 - сила на длину. Общее количество силы, приложенной к балке, равно W = {L \ over2} (w_1 + w_2), где L - длина пролета.

Значения w_1 и w_2 могут быть присвоены произвольно. Первое не обязательно должно быть меньше второго. Они могут принимать даже отрицательные значения (одно или оба).

В следующей таблице представлены формулы, описывающие статический отклик простой балки при переменной распределенной нагрузке трапециевидной формы. 3} {24EI}

где:

w_x = w_1 + {(w_2-w_1) x \ over L}

900 05

Балка с простой опорой и трапециевидным распределением нагрузки типа плиты

Такое распределение нагрузки типично для балок по периметру плиты.Распределение имеет трапециевидную форму с максимальной величиной w внутри балки, а на двух ее концах становится равной нулю. Размеры (\ w \) - сила на длину. Общее количество силы, приложенной к балке, равно W = w (La / 2-b / 2), где L - длина пролета, а a, b - длины с левой и правой стороны балки соответственно, где распределение нагрузки равно разная (треугольная).

В следующей таблице представлены формулы, описывающие статический отклик простой балки при трапецеидальном распределении нагрузки, как показано на схеме выше.3

Балка с простой опорой и частично распределенной равномерной нагрузкой

Нагрузка распределяется на часть пролета балки с постоянной величиной w, в то время как оставшийся пролет разгружен. Размеры w - сила на длину. Общее количество силы, приложенной к балке, равно W = \ left (L-a-b \ right) w, где L - длина пролета, а a, b - длины без нагрузки с левой и правой стороны балки, соответственно.

В следующей таблице представлены формулы, описывающие статический отклик простой балки при частично распределенной равномерной нагрузке.2} {2 E I} &, x \ ge L-b \ end {align} \ right.

где:

\ острый {x} = Lx

x_a = xa

L_w = Lab

Балка с простой опорой и частично распределенной трапециевидной нагрузкой

Нагрузка распределяется на часть пролет балки, имеющий линейно изменяющуюся величину от w_1 до w_2, а оставшийся пролет не нагружен. Размеры w_1 и w_2 - сила на длину. Общее количество силы, приложенной к балке, равно W = {L-a-b \ over2} (w_1 + w_2), где L - длина пролета, а a, b - длины без нагрузки с левой и правой стороны балки соответственно.

Значения w_1 и w_2 могут быть присвоены произвольно. Первое не обязательно должно быть меньше второго. Они могут принимать даже отрицательные значения (одно или оба).

Это самый общий случай. Формулы для частично распределенных равномерных и треугольных нагрузок можно получить, соответствующим образом задав значения w_1 и w_2. Кроме того, соответствующие случаи для полностью нагруженного пролета можно получить, установив a и b равными нулю.

В следующей таблице представлены формулы, описывающие статический отклик простой балки при частично распределенной трапециевидной нагрузке.3

Статьи по теме

Понравилась эта страница? Поделись с друзьями!

Балка - поддерживается на обоих концах

Напряжение в изгибаемой балке может быть выражено как

σ = y M / I (1)

, где

σ = напряжение (Па (Н / м) 2 ), Н / мм 2 , psi)

y = расстояние до точки от нейтральной оси (м, мм, дюйм)

M = изгибающий момент (Нм, фунт дюйм)

I = момент инерции (м 4 , мм 4 , в 4 )

Калькулятор ниже можно использовать для расчета максимального напряжения и прогиба балок с одной одиночной или равномерно распределенной нагрузкой.

Балка, поддерживаемая на обоих концах - равномерная непрерывная распределенная нагрузка

Момент в балке с равномерной нагрузкой, поддерживаемой на обоих концах в положении x, может быть выражен как

M x = qx (L - x) / 2 (2)

где

M x = момент в положении x (Нм, фунт дюйм)

x = расстояние от конца (м, мм, дюйм)

Максимум момент находится в центре балки на расстоянии L / 2 и может быть выражен как

M max = q L 2 /8 (2a)

где

M max = максимальный момент ( Нм, фунт-дюйм)

q = равномерная нагрузка на единицу длины балки (Н / м, Н / мм, фунт / дюйм)

9139 4 L = длина балки (м, мм, дюйм)

Максимальное напряжение

Уравнения 1 и 2a можно объединить, чтобы выразить максимальное напряжение в балке с поддержанной равномерной нагрузкой на обоих концах на расстоянии L / 2 как

σ max = y max q L 2 / (8 I) (2b)

где

σ max = максимальное напряжение (Па (Н / м 2 ), Н / мм 2 , psi)

y max = расстояние до крайней точки от нейтральной оси (м, мм, дюйм)

  • 1 Н / м 2 = 1x10 -6 Н / мм 2 = 1 Па = 1.4504x10 -4 фунт / кв. Дюйм
  • 1 фунт / дюйм (фунт / дюйм 2 ) = 144 фунт / дюйм2 (фунт фунт / фут 2 ) = 6894,8 Па (Н / м 2 ) = 6,895x10 - 3 Н / мм 2

Максимальный прогиб :

δ макс = 5 q L 4 / (384 EI) (2c)

где

δ max = максимальный прогиб (м, мм, дюйм)

E = Модуль упругости (Па (Н / м 2 ), Н / мм 2 , psi)

Прогиб в положении x:

δ x = qx ( L 3 - 2 L x 2 + x 3 ) / (24 EI) (2d)

Примечание! - прогиб часто является ограничивающим фактором при проектировании балки.Для некоторых применений балки должны быть прочнее, чем требуется при максимальных нагрузках, чтобы избежать недопустимых прогибов.

Силы, действующие на концы:

R 1 = R 2

= q L / 2 (2e)

где

R = сила реакции (Н, фунт)

Пример - балка с равномерной нагрузкой, метрические единицы

Балка UB 305 x 127 x 42 длиной 5000 мм несет равномерную нагрузку 6 Н / мм .Момент инерции балки составляет 8196 см 4 (81960000 мм 4 ) , а модуль упругости стали, использованной в балке, составляет 200 ГПа (200000 Н / мм 2 ) . Высота балки 300 мм (расстояние от крайней точки до нейтральной оси 150 мм ).

Максимальное напряжение в балке можно рассчитать

σ max = (150 мм) (6 Н / мм) (5000 мм) 2 / (8 (81960000 мм 4 ))

= 34.3 Н / мм 2

= 34,3 10 6 Н / м 2 (Па)

= 34,3 МПа

Максимальный прогиб балки можно рассчитать

δ макс. = 5 (6 Н / мм) (5000 мм) 4 / (( 200000 Н / мм 2 ) ( 81960000 мм 4 ) 384)

= 2,98 мм

Расчет балки с равномерной нагрузкой - метрические единицы
  • 1 мм 4 = 10 -4 см 4 = 10 -12 м 5 4 0 9 1 см 4 = 10 -8 м = 10 4 мм
  • 1 дюйм 4 = 4.16x10 5 мм 4 = 41,6 см 4
  • 1 Н / мм 2 = 10 6 Н / м 2 (Па)
Расчет балок с равномерной нагрузкой - Имперские единицы
Пример - балка с равномерной нагрузкой, британские единицы

Максимальное напряжение в стальной широкополочной балке шириной 12 x 35 дюймов, 100 дюймов длиной , момент инерции 285 дюймов 4 , модуль упругости 2

00 psi , при равномерной нагрузке 100 фунтов / дюйм можно рассчитать как

σ max = y max q L 2 / (8 I)

= (6.25 дюймов (100 фунтов / дюйм) (100 дюймов) 2 / (8 (285 дюймов 4 ))

= 2741 (фунт / дюйм 2 , psi)

Максимальное отклонение может можно рассчитать как

δ max = 5 q L 4 / (EI 384)

= 5 (100 фунтов / дюйм) (100 дюймов) 4 / ((2

00 фунтов / дюйм 2 ) (285 дюймов 4 ) 384)

= 0,016 дюйма

Балка, поддерживаемая на обоих концах - нагрузка в центре

Максимальный момент в балке с центральной нагрузкой, поддерживаемой с обоих концов :

M max = FL / 4 (3a)

Максимальное напряжение

Максимальное напряжение в балке с одноцентровой нагрузкой, поддерживаемой на обоих концах:

σ max = y max FL / (4 I) (3b) 914 85

где

F = нагрузка (Н, фунт)

Максимальный прогиб можно выразить как

δ max = FL 3 / (48 EI) (3c)

Силы, действующие на концы:

R 1 = R 2

= F / 2 (3d)

Калькулятор балки с одной центральной нагрузкой - метрические единицы
Калькулятор балки с одной центральной нагрузкой - британская система мер Единицы
Пример - балка с одной центральной нагрузкой

Максимальное напряжение в стальной широкополочной балке шириной 12 x 35 дюймов, 100 дюймов длиной , момент инерции 285 дюймов 4 , модуль упругости 2

00 psi , с центральной нагрузкой 10000 фунтов можно рассчитать как

σ max = y max FL / (4 I)

= (6.25 дюймов) (10000 фунтов) (100 дюймов) / (4 (285 дюймов 4 ))

= 5482 (фунт / дюйм 2 , фунт / кв. Дюйм)

Максимальный прогиб можно рассчитать как

δ max = FL 3 / EI 48

= (10000 фунтов / дюйм) (100 дюймов) 3 / ((2

00 фунтов / дюйм 2 ) (285 дюймов 4 ) 48 )

= 0,025 дюйма

Некоторые типичные пределы отклонения по вертикали

  • общее отклонение: пролет / 250
  • отклонение при динамической нагрузке: пролет / 360
  • консолей: пролет / 180
  • балки деревянного перекрытия для дома: пролет / 330 (макс. 14 мм)
  • хрупкие элементы: пролет / 500
  • подкрановые балки: пролет / 600

Балка, поддерживаемая на обоих концах - эксцентричная нагрузка

Максимальный момент в балке с одиночной эксцентричной нагрузкой в ​​точке нагрузки:

M max = F ab / L (4a)

Максимальное напряжение

Максимальное напряжение в балке с одной центральной нагрузкой, поддерживаемой с обоих концов:

σ max = y max F ab / (LI) (4b)

Максимальный прогиб в точке нагрузки можно выразить как

δ F = F a 2 b 2 / (3 EIL) (4c)

Силы, действующие на концы:

R 1 = F b / L (4d)

R 2 = F a / L (4e)

Балка, поддерживаемая на обоих концах - две эксцентриковые нагрузки

Максимальный момент (между нагрузками) в балке с двумя эксцентрическими нагрузками:

M max = F a (5a)

Максимальное напряжение

Максимальное напряжение в балке с двумя эксцентрическими нагрузками, поддерживаемыми на обоих концах:

σ max = y max F a / I (5b)

Максимум прогиб в точке нагрузки можно выразить как

δ F = F a (3L 2 -4 a 2 ) / (24 EI) (5c)

Силы, действующие на концы:

R 1 = R 2

= F (5d)

Вставьте балки в свою модель Sketchup с помощью Engineering ToolBox Sketchup Extension

Балка поддерживается на обоих концах - трехточечная нагрузка

Максимальный момент (между нагрузками) в балке с тремя точечными нагрузками:

M max 91 438 = FL / 2 (6a)

Максимальное напряжение

Максимальное напряжение в балке с тремя точечными нагрузками, поддерживаемыми с обоих концов:

σ max = y max FL / (2 I) ( 6b)

Максимальный прогиб в центре балки можно выразить как

δ F = FL 3 / (20.22 EI) (6c)

Силы, действующие на концы:

R 1 = R 2

= 1,5 F (6d)

Балка с простой опорой и калькулятором распределенной нагрузки

Просто Поддерживаемая балка с калькулятором распределенной нагрузки для балки с простой опорой с равномерно, равномерно меняющейся, трапециевидной, треугольной и частично распределенной нагрузками.

Примечание: используйте точку "."как десятичный разделитель.

Примечание *: w a и w b положительны в направлении вниз, как показано на рисунке, и отрицательны. в восходящем направлении.

Примечание **: Второй момент расчета площади несущих балок см. На странице " Калькуляторы сечений ».


РЕЗУЛЬТАТЫ
Параметр Стоимость
Сила реакции 1 [R 1 ] --- NkNlbf
Сила реакции 2 [R 2 ] ---
Поперечная поперечная сила на расстоянии x [V x ] ---
Максимальная поперечная поперечная сила сдвига [V max ] ---
Момент на расстоянии x [M x ] --- Н * мкН * млбс * дюйм фунт-сила * фут
Максимальный момент [M max ] ---
Наклон 1 [θ 1 ] --- радианградус, arcminarcsec
Наклон 2 [θ 2 ] ---
Наклон на расстоянии x [θ x ] ---
Максимальный наклон [θ макс ] ---
Прогиб на расстоянии x [y x ] --- ммминчфт
Максимальный прогиб [y max ] ---
Напряжение изгиба на расстоянии x [σ x ] --- МПапсикси
Максимальное напряжение изгиба [σ макс ] ---

Примечание *: R 1 и R 2 - вертикальные концевые реакции слева и справа, соответственно, и положительные вверх.Сдвиговые силы и прогибы положительны в направлении вверх и отрицательны. в нисходящем направлении. Все моменты положительны при создании сжатия на верхней части поперечины балки. раздел. Все наклоны положительные, когда вверх и вправо.

Примечание. Напряжения являются положительными числами, и это величины напряжений в луч. Он не делает различий между растяжением и сжатием конструкции. луч.Это различие зависит от того, с какой стороны нейтральной плоскости луча вход соответствует.


Наклон


Прогиб


Момент

Усилие сдвига

Калькулятор распределенной нагрузки консольной балки

Калькулятор распределенной нагрузки консольной балки для расчета прогиба, момента и напряжения.

Примечание. Используйте точку "." как десятичный разделитель.

Примечание *: w a и w b положительны в направлении вниз, как показано на рисунке, и отрицательны. в восходящем направлении.

Примечание **: Второй момент расчета площади несущих балок см. На странице " Калькуляторы сечений ».


РЕЗУЛЬТАТЫ
Параметр Стоимость
Сила реакции 1 [R 1 ] --- NkNlbf
Сила реакции 2 [R 2 ] ---
Поперечная поперечная сила на расстоянии x [V x ] ---
Максимальная поперечная поперечная сила сдвига [V max ] ---
Момент реакции 1 [M 1 ] --- Н * мкН * млбс * дюйм фунт-сила * фут
Момент реакции 2 [M 2 ] ---
Момент на расстоянии x [M x ] ---
Максимальный момент [M max ] ---
Наклон 1 [θ 1 ] --- радианградус, arcminarcsec
Наклон 2 [θ 2 ] ---
Наклон на расстоянии x [θ x ] ---
Максимальный наклон [θ макс ] ---
Концевой прогиб 1 [y 1 ] --- ммминчфт
Концевой прогиб 2 [y 2 ] ---
Прогиб на расстоянии x [y x ] ---
Максимальный прогиб [y max ] ---
Напряжение изгиба на расстоянии x [σ x ] --- МПапсикси
Максимальное напряжение изгиба [σ макс ] ---

Примечание *: R 1 и R 2 - вертикальные концевые реакции слева и справа, соответственно, и положительные вверх.Сдвиговые силы и прогибы положительны в направлении вверх и отрицательны. в нисходящем направлении. Все моменты положительны при создании сжатия на верхней части поперечины балки. раздел. Все наклоны положительные, когда вверх и вправо.

Примечание. Напряжения являются положительными числами, и это величины напряжений в луч. Он не делает различий между растяжением и сжатием конструкции. луч.Это различие зависит от того, с какой стороны нейтральной плоскости луча вход соответствует.


Наклон


Прогиб


Момент

Усилие сдвига

Распределенная нагрузка: Нагрузка, которая действует равномерно на элемент конструкции или на поверхность, которая поддерживает нагрузку.

Фиксированная опора: Фиксированная опора может выдерживать вертикальные и горизонтальные силы, а также момент. Поскольку они ограничивают как вращение, так и поступательное движение, их также называют жесткими опорами.

Роликовая опора: Роликовые опоры могут свободно вращаться и перемещаться вдоль поверхности, на которой опирается валик. Результирующая сила реакции всегда представляет собой единую силу, перпендикулярную поверхности. Роликовые опоры обычно расположены на одном конце длинных перемычек, чтобы обеспечить расширение и сжатие конструкции из-за изменений температуры.

Консольная балка: Консольная балка - это балка, закрепленная только на одном конце.

Конструкционная балка: Структурный элемент, выдерживающий нагрузки и моменты. Общие формы: прямоугольные сечения, двутавры, широкополочные балки и С-образные швеллеры.

Статика: распределенные нагрузки

Раздел 7.8 Распределенная нагрузка

Ключевые вопросы
  • Что такое распределенная нагрузка?
  • Учитывая распределенную нагрузку, как мы можем найти величину эквивалентной сосредоточенной силы?
  • Учитывая распределенную нагрузку, как мы можем найти местоположение эквивалентной сосредоточенной силы?

Распределенные нагрузки - это силы, распределенные по длине, площади или объему.Большинство реальных нагрузок распределяются, включая вес строительных материалов и силу ветра, воды или земли, толкающих поверхность. Давление, нагрузка, плотность веса и напряжение - все это названия, обычно используемые для распределенных нагрузок. Распределенная нагрузка - это сила на единицу длины или сила на единицу площади, изображенная серией векторов силы, соединенных вместе вверху, и будет обозначена как \ (w (x) \), чтобы указать, что распределенная нагрузка является функцией от \ (х \ текст {.} \)

Например, хотя полка с книгами может рассматриваться как совокупность отдельных сил, более распространено и удобно представлять вес книг как равномерно распределенную нагрузку .Равномерно распределенная нагрузка - это нагрузка, которая везде имеет одинаковое значение, т.е. \ (w (x) = C \ text {,} \) постоянная.

(а) Полка с книгами разного веса. (б) Каждая книга представлена ​​индивидуальным весом. (c) Все книги представлены как распределенная загрузка. Рисунок 7.8.1.

Мы можем использовать вычислительные инструменты, описанные в предыдущих главах, для обработки распределенных нагрузок, если мы сначала преобразуем их в эквивалентные точечные силы. Эта эквивалентная замена должна быть , получившая результат распределенной загрузки, как описано в Разделе 4.6. Вспомните, что эта равнодействующая сила оказывает на объект такое же воздействие, как и исходная система сил.

Чтобы быть эквивалентным, острие силы должно иметь:

  • Величина, равная площади или объему под функцией распределенной нагрузки.
  • Линия действия, проходящая через центр тяжести распределенного распределения нагрузки.

В следующих двух разделах будет рассмотрено, как найти величину и местоположение эквивалентной точечной силы для распределенной нагрузки.

Подраздел 7.8.1 Эквивалентная величина

Величина распределенной загрузки книг - это общий вес книг, деленный на длину полки

\ begin {уравнение *} w (x) = \ frac {\ Sigma W_i} {\ ell} \ text {.} \ end {уравнение *}

Это соответствует среднему весу книги на единицу длины. Точно так же общий вес книг равен значению распределенной загрузки, умноженному на длину полки, или

единиц.

\ begin {align *} W \ amp = w (x) \ ell \\ \ text {общий вес} \ amp = \ frac {\ text {weight}} {\ text {length}} \ times \ \ text {длина полки} \ end {выровнять *}

Эта общая нагрузка представляет собой площадь под кривой \ (w (x) \ text {,} \) и выражается в единицах силы.Если функция загрузки неоднородна, может потребоваться интегрирование для определения площади.

Пример 7.8.2. Книжная полка.

Обычная мягкая обложка имеет толщину примерно \ (\ cm {3} \) и весит примерно \ (\ N {3} \ text {.} \)

Какова функция загрузки \ (w (x) \) для полки, полной книг в мягкой обложке, и каков общий вес книг в мягкой обложке на полке \ (\ m {6} \)?

Ответ

\ begin {align *} ш (х) \ amp = \ Nperm {100} \\ W \ amp = \ N {600} \ end {выровнять *}

Решение

Вес одной мягкой обложки по толщине равен интенсивности нагрузки \ (w (x) \ text {,} \), поэтому

\ begin {уравнение *} w (x) = \ frac {\ N {3}} {\ cm {3}} = \ Nperm {100} \ text {.} \ end {уравнение *}

Общий вес - это площадь под диаграммой интенсивности нагрузки, которая в данном случае представляет собой прямоугольник. Таким образом, книжная полка \ (\ m {6} \), покрытая мягкой обложкой, должна поддерживать

\ begin {уравнение *} W = w (x) \ ell = (\ Nperm {100}) (\ m {6}) = \ N {600} \ text {.} \ end {уравнение *}

Линия действия этой эквивалентной нагрузки проходит через центр тяжести прямоугольной нагрузки, поэтому она действует в точке \ (x = \ m {3} \ text {.} \)

Подраздел 7.8.2 Эквивалентное местоположение

Чтобы использовать распределенную нагрузку в задаче о равновесии, вы должны знать эквивалентную величину для суммирования сил, а также знать положение или линию действия для суммирования моментов.

Линия действия эквивалентной силы действует через центр тяжести площади под кривой интенсивности нагрузки. Для прямоугольной нагрузки центр тяжести находится в центре. Мы знаем вертикальные и горизонтальные координаты этого центроида, но поскольку линия действия эквивалентной точечной силы вертикальна, и мы можем перемещать силу вдоль ее линии действия, вертикальная координата центроида в данном контексте не важна.

Аналогичным образом, для треугольной распределенной нагрузки - также называемой равномерно изменяющейся нагрузкой - величина эквивалентной силы равна площади треугольника \ (bh / 2 \), а линия действия проходит через центр тяжести треугольника. .Горизонтальное расстояние от большего конца треугольника до центроида равно \ (\ bar {x} = b / 3 \ text {.} \)

По сути, мы находим точку баланса, так что момент силы слева от центроида совпадает с моментом силы справа.

Приведенные ниже примеры иллюстрируют, как можно объединить вычисление как величины, так и местоположения эквивалентной точечной силы для серии распределенных нагрузок.

Пример 7.8.3. Равномерно изменяющаяся нагрузка.

Найдите эквивалентную точечную силу и точку ее приложения для показанной распределенной нагрузки.

Отвечать

Эквивалентная нагрузка равна \ (\ lb {30} \) направленной вниз силе, действующей \ (\ ft {4} \) с левого конца.

Решение 1

Эквивалентная нагрузка - это «площадь» под треугольной кривой интенсивности нагрузки, действующая прямо вниз в центре тяжести треугольника. Эта треугольная загрузка имеет основание \ (\ ft {6} \) и высоту \ (\ lbperft {10} \), поэтому

\ begin {уравнение *} W = \ frac {1} {2} b h = \ frac {1} {2} (\ ft {6}) (\ lbperft {10}) = \ lb {30}.\ end {уравнение *}

, а центроид расположен на расстоянии \ (2/3 \) от левого конца, поэтому

\ begin {уравнение *} \ bar {x} = \ ft {4} \ text {.} \ end {уравнение *}

Решение 2

Распределенные нагрузки могут иметь любую геометрическую форму или определяться математической функцией. Если нагрузка представляет собой комбинацию обычных форм, используйте свойства форм, чтобы найти величину и местоположение эквивалентной точечной силы, используя методы раздела 7.5. Если распределенная нагрузка определяется математической функцией, выполните интеграцию, чтобы найти их площадь, используя методы раздела 7.7.

Несколько замечаний:

  • Вы можете включить распределенную нагрузку или эквивалентную точечную силу на диаграмму свободного тела, , но не обе сразу !
  • Так как вы вычисляете площадь, вы можете разделить ее на любую удобную для вас форму. Итак, если вы не помните площадь трапеции на макушке головы, разбейте ее на прямоугольник и треугольник.

Подраздел 7.8.3 Приложения с распределенной нагрузкой

После преобразования распределенных нагрузок в результирующую точечную силу вы можете решить проблему таким же образом, как и другие проблемы в предыдущих главах этой книги.Обратите внимание, что хотя результирующие силы внешне эквивалентны распределенным нагрузкам, они не эквивалентны внутренне , как будет показано в главе 8.

Пример 7.8.4. Консольная балка.

Найдите реакции на фиксированном соединении в \ (A \ text {.} \)

Ответ

\ begin {align *} A_x \ amp = 0 \\ A_y \ amp = \ N (16) \\ M \ amp = \ Nm {64} \ end {выровнять *}

Решение

Нарисуйте диаграмму свободного тела, заменив распределенную нагрузку эквивалентной сосредоточенной нагрузкой, затем примените уравнения равновесия.

\ begin {align *} \ Sigma F_x \ amp = 0 \ amp \ amp \ rightarrow \ amp A_x \ amp = 0 \\ \ Sigma F_y \ amp = 0 \ amp \ amp \ rightarrow \ amp A_y \ amp = \ N {16} \\ \ Sigma M_A \ amp = 0 \ amp \ amp \ rightarrow \ amp M_A \ amp = (\ N {16}) (\ m {4}) \\ \ amp \ amp \ amp \ amp \ amp = \ Nm {64} \ end {выровнять *}

Пример 7.8.5. Лучевые реакции.

Найдите реакции на опорах для показанной балки.

Ответ

\ begin {уравнение *} B_y = F_y = \ фунт {295}, B_x = 0 \ end {уравнение *}

Решение 1

\ begin {align *} \ сумма M_B \ amp = 0 \\ + (\ lbperin {12}) (\ inch {10}) (\ inch {5}) - (\ lb {100}) (\ inch {6}) \\ - (\ lb {150}) (\ inch {12}) - (\ lb {100}) (\ inch {18}) \\ + (F_y) (\ inch {24}) - (\ lbperin {12}) (\ inch {10}) (\ inch {29}) \ amp = 0 \ rightarrow \ amp F_y \ amp = \ lb {295} \\ \\ \ сумма F_y \ amp = 0 \\ - (\ lbperin {12}) (\ inch {10}) + B_y - \ lb {100} - \ lb {150} \\ - \ lb {100} + F_y - (\ lbperin {12}) (\ inch {10}) \ amp = 0 \ rightarrow \ amp B_y \ amp = \ lb {295} \\ \\ \ sum F_x \ amp = 0 \ rightarrow \ amp B_x \ amp = 0 \ end {выровнять *}

Решение 2
  1. Две распределенные нагрузки равны \ ((\ inch {10}) (\ lbperin {12}) = \ lb {120} \) каждая.

  2. Общая направленная вниз сила

    \ begin {уравнение *} W = (2 \ times \ lb {120}) + (2 \ times \ lb {100}) + \ lb {150} = \ lb {590} \ end {уравнение *}

  3. Поскольку балка и нагрузка являются симметричными, опоры \ (B \) и \ (F \) распределяют нагрузку поровну, поэтому

    \ begin {gather *} B_y = F_y = \ frac {\ lb {590}} {2} = \ lb {295} \ конец {собрать *}

  4. На балку не действуют горизонтальные нагрузки, поэтому

    \ begin {gather *} B_x = 0 \ конец {собирать *}

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *