Вписанная в шестиугольник окружность: Радиус вписанной окружности в шестиугольник

Разное

Содержание

Гексагон

фывафыва

Гексагон — правильный выпуклый многоугольник с шестью сторонами или шестиугольник.

Шестиугольник — это многоугольник, имеющий шесть сторон и шесть углов. В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы образуют шесть равносторонних треугольников.

Выпуклый шестиугольник — это многоугольник, с общим количеством вершин, равным шести, при этом все точки такого шестиугольника лежат по одну сторону от прямой, которая проведена между двумя любыми соседними его вершинами.

Правильный шестиугольник — это шестиугольник, все стороны которого равны между собой.

Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле 180°(n-2) и равна 180 ( 6 — 2 ) = 720 градусов.

При решении задач для нахождения площади произвольного (неправильного) шестиугольника используют метод трапеций, который заключается в разбиении фигуры на отдельные трапеции, площадь каждой из которых можно найти по известным всем формулам.

Свойства правильного шестиугольника

все внутренние углы равны между собой
каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
все стороны равны между собой
сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам
меньшая диагональ правильного шестиугольника в $ \sqrt{3} $раз больше его стороны.
vеньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне
правильный шестиугольник заполняет плоскость без пробелов и наложений
диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности. 6.{2}\cdot 3\sqrt{3}}{2} \)
В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!Больше интересного в телеграм @calcsbox
онлайн калькулятор, формулы, примеры решений. Примеры из реальной жизни. Определение и построение
Тему многоугольников проходят в школьной программе, но не уделяют ей достаточного внимания. А между тем она интересна, и особенно это касается правильного шестиугольника или гексагона — ведь эту форму имеют многие природные объекты. К ним относятся пчелиные соты и многое другое. Эта форма очень хорошо применяется на практике.

Определение и построение
Правильным шестиугольником называется плоскостная фигура, имеющая шесть равных по длине сторон и столько же равных углов.
Если вспомнить формулу суммы углов многоугольника
то получается, что в этой фигуре она равна 720°. Ну а поскольку все углы фигуры равны, нетрудно посчитать, что каждый из них равен 120°.
Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки.

Пошаговая инструкция будет выглядеть так:
При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей.
Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже.
Свойства простые и интересные
Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:
Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:
1. диаметр описанной окружности;
2. диаметр вписанной окружности;
3. площадь;
4. периметр.
Описанная окружность и возможность построения
Вокруг гексагона можно описать окружность, и притом только одну. Поскольку фигура эта правильная, то можно поступить довольно просто: от двух соседних углов провести внутрь биссектрисы. Они пересекутся в точке О, и образуют вместе со стороной между ними треугольник.
Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ — равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности.

После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису. Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС — очередным радиусом, через который идет та же окружность. Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона:
Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.
Ну а площадь этой окружности будет стандартная:
Вписанная окружность
Центр описанной окружности совпадет с центром вписанной. Чтобы в этом убедиться, можно провести из точки О перпендикуляры к сторонам шестиугольника. Они будут являться высотами тех треугольников, из которых составлен гексагон. А в равнобедренном треугольнике высота является медианой по отношению к стороне, на которую она опирается. Таким образом, эта высота не что иное, как серединный перпендикуляр, являющийся радиусом вписанной окружности.

Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:
h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2
А поскольку R=a и r=h, то получается, что
r=R(√3)/2 .
Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.
Ее площадь будет составлять:
S=3πa²/4 ,
то есть три четверти от описанной.
Периметр и площадь
С периметром все ясно, это сумма длин сторон:
P=6а , или P=6R
А вот площадь будет равна сумме всех шести треугольников, на которые можно разбить гексагон. Поскольку площадь треугольника вычисляется как половина произведения основания на высоту, то:

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 или
S=3R²(√3)/2
Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так:
S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)
Занимательные построения
В гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну:
Всего их получится два, и их наложение друг на друга даст звезду Давида. Каждый из этих треугольников — равносторонний. В этом нетрудно убедиться. Если посмотреть на сторону АС, то она принадлежит сразу двум треугольникам — ВАС и АЕС. Если в первом из них АВ=ВС, а угол между ними 120°, то каждый из оставшихся будет 30°. Отсюда можно сделать закономерные выводы:
1. Высота АВС из вершины В будет равна половине стороны шестиугольника, поскольку sin30°=1/2. Желающим убедиться в этом можно посоветовать пересчитать по теореме Пифагора, она здесь подходит как нельзя лучше.
2. Сторона АС будет равна двум радиусам вписанной окружности, что опять-таки вычисляется по той же теореме. То есть АС=2(a(√3)/2)=а(√3).
3. Треугольники АВС, СДЕ и АЕF равны по двум сторонам и углу между ними, и отсюда вытекает равенство сторон АС, СЕ и ЕА.
Пересекаясь друг с другом, треугольники образуют новый гексагон, и он тоже правильный. Доказывается это просто:
Таким образом, фигура отвечает признакам правильного шестиугольника — у нее шесть равных сторон и углов. Из равенства треугольников при вершинах легко вывести длину стороны нового гексагона:
d=а(√3)/3
Она же будет радиусом описанной вокруг него окружности. Радиус вписанной будет вдвое меньше стороны большого шестиугольника, что было доказано при рассмотрении треугольника АВС. Его высота составляет как раз половину стороны, следовательно, вторая половина — это радиус вписанной в маленький гексагон окружности:
r₂=а/2
S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2
Получается, что площадь гексагона внутри звезды Давида в три раза меньше, чем у большого, в который вписана звезда.

От теории к практике
Свойства шестиугольника очень активно используются как в природе, так и в различных областях деятельности человека. В первую очередь это касается болтов и гаек — шляпки первых и вторые представляют собой ничто иное, как правильный шестигранник, если не брать в расчет фаски. Размер гаечных ключей соответствует диаметру вписанной окружности — то есть расстоянию между противоположными гранями.
Нашла свое применение и гексагональная плитка. Она распространена куда меньше четырехугольной, но класть ее удобнее: в одной точке смыкаются три плитки, а не четыре. Композиции могут получаться очень интересные:
Выпускается и бетонная плитка для мощения.
Распространенность гексагона в природе объясняется просто. Таким образом, проще всего плотно уместить круги и шары на плоскости, если у них одинаковый диаметр. Из-за этого у пчелиных сот такая форма.

Сторон. Р = а1+а2+а3+а4+а5+а6,где P – периметр шестиугольника , а а1, а2 … а6 – длины его сторон.Единицы измерения каждой из сторон приведите к одному виду – в этом случае достаточно будет сложить только числовые значения длин сторон. Единица измерения периметра шестиугольника будет совпадать с единицей измерения сторон.
Примеры из реальной жизни
Геометрия — это отрасль математики, которая занимается изучением форм различных измерений и анализом их свойств. В этом исследовании форм многоугольное семейство является одной из наиболее часто изучаемых фигур. Многоугольники закрыты 2-мерными плоскими объектами, которые имеют прямые стороны. Многоугольник, состоящий из 6 сторон и 6 углов, известен как шестиугольник. Любая замкнутая плоская двумерная структура с 6 прямыми сторонами будет называться шестиугольником. Слово «шестнадцатеричный» означает 6, а «угол» относится к углу.
Пример.Имеется шестиугольник с длинами сторон 1 см, 2 мм, 3 мм, 4 мм, 5 мм, 6 мм. Требуется найти его периметр.Решение.1. Единица измерения первой стороны (см) отличается от единиц измерения длин остальных сторон (мм). Поэтому, переведите: 1 см = 10 мм.2. 10+2+3+4+5+6=30 (мм).

Если шестиугольник правильный, то чтобы найти его периметр, умножьте длину его стороны на шесть:Р = а * 6,где а – длина стороны правильного шестиугольника .Пример.Найти периметр правильного шестиугольника с длиной стороны равной 10 см.Решение: 10 * 6 = 60 (см).
Как показано на диаграмме ниже, шестиугольник имеет 6 сторон или края, 6 углов и 6 вершин. Площадь шестиугольника — это пространство, занимаемое в границах шестиугольника. Используя измерения стороны и угла, мы можем найти область шестиугольника. Шестиугольники можно наблюдать в разных формах в нашей красивой природе . На приведенном ниже рисунке показана заштрихованная часть внутри границ шестиугольника, которая называется зоной шестиугольника.
Этот тип шестиугольника также не имеет 6 равных углов. Если вершины нерегулярного шестиугольника направлены наружу, то он известен как выпуклый нерегулярный шестиугольник, а если вершины шестиугольника направлены внутрь, то он известен как вогнутый нерегулярный шестиугольник, как показано на рисунке ниже. Поскольку измерения сторон и углов неравны, поэтому мы должны использовать разные стратегии, чтобы найти область нерегулярного шестиугольника. Метод вычисления площади правильного шестиугольника отличается от метода расчета площади нерегулярного шестиугольника.

Правильный шестиугольник обладает уникальным свойством: радиус описанной вокруг такого шестиугольника окружности равен длине его стороны. Поэтому, если известен радиус описанной окружности, до воспользуйтесь формулой:P = R * 6,где R – радиус описанной окружности.
Область регулярного шестиугольника: правильный шестиугольник имеет все 6 сторон и 6 углов, равных по мере. Когда тянутся диагонали, проходящие через центр шестиугольника, образуются 6 равносторонних треугольников одинакового размера. Если рассчитывается площадь одного равностороннего треугольника, то мы можем легко вычислить площадь данного правильного шестиугольника. Следовательно, все его стороны также равны.
Теперь правильный шестиугольник состоит из 6 таких конгруэнтных равносторонних треугольников. Пример 1: Какова площадь правильного шестиугольника, длина которого составляет 8 см? Пример 2: Если площадь правильного шестиугольника составляет √12 квадратных футов, то какова длина стороны шестиугольника?
Пример.Рассчитать периметр правильного шестиугольника , писанного в окружность диаметром 20 см.Решение. Радиус описанной окружности будет равен: 20/2=10 (см).Следовательно, периметр шестиугольника : 10 * 6 = 60 (см).
Пример: найдите область нерегулярного шестиугольника, показанного на рисунке ниже. Шестиугольные сетки используются в некоторых играх, но они не так просты или распространены как квадратные сетки. Многие части этой страницы являются интерактивными; выбор типа сетки будет обновлять диаграммы, код и текст для соответствия. Образцы кода на этой странице написаны в псевдокоде; они предназначены для легкого чтения и понимания, чтобы вы могли написать свою собственную реализацию.
Шестиугольники — это шестигранные многоугольники. Обычные шестиугольники имеют все стороны одинаковой длины. Типичные ориентации для гексарифмических сеток являются горизонтальными и вертикальными. Каждое ребро разделяется двумя шестиугольниками. Каждый угол разделяется тремя шестиугольниками. В моей статье о частях сетки. В правильном шестиугольнике внутренние углы 120 °. Есть шесть «клиньев», каждый из которых равносторонний треугольник с углами 60 ° внутри.
Если по условиям задачи задан радиус вписанной окружности, то примените формулу:P = 4 * √3 * r,где r – радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности.
Если известна площадь правильного шестиугольника , то для расчета периметра используйте следующее соотношение:S = 3/2 * √3 * а²,где S – площадь правильного шестиугольника . Отсюда можно найти а = √(2/3 * S / √3), следовательно:Р = 6 * а = 6 * √(2/3 * S / √3) = √(24 * S / √3) = √(8 * √3 * S) = 2√(2S√3).
Учитывая гексагон, который 6 гексов соседствуют с ним? Как и следовало ожидать, ответ прост с координатами куба, все еще довольно простой с осевыми координатами и немного сложнее с координатами смещения. Мы могли бы также захотеть рассчитать 6 диагональных гексов.
Учитывая местоположение и расстояние, что видно из этого места, а не заблокировано препятствиями? Самый простой способ сделать это — нарисовать линию для каждого гексагонального диапазона. Если линия не ударяет по стенам, вы можете увидеть гекс. Мышь над шестнадцатеричным, чтобы увидеть, как линия тянется к этому гексу, и к каким стенам он попадает.
По определению из планиметрии правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого стороны равны между собой и углы так же равны между собой. Правильный шестиугольник является правильным многоугольником, с числом сторон равным шести. Существует несколько формул для расчета площади правильного многоугольника.
- Выпуклый семиугольник — это тот, у которого нет тупых внутренних углов.
- Вогнутая спираль — одна с тупым внутренним углом.
Формулы для расчета площади и периметра семиугольника варьируются в зависимости от того, является ли он регулярным или нерегулярным семиугольником.
где а – длина стороны правильного шестиугольника.
Пример.
Найти периметр правильного шестиугольника с длиной стороны равной 10 см.
Решение: 10 * 6 = 60 (см).
Правильный шестиугольник обладает уникальным свойством: радиус описанной вокруг такого шестиугольника окружности равен длине его стороны. Поэтому, если известен радиус описанной окружности, до воспользуйтесь формулой:
где R – радиус описанной окружности.
Пример.
Рассчитать периметр правильного шестиугольника, писанного в окружность диаметром 20 см.
Решение.
Радиус описанной окружности будет равен: 20/2=10 (см).
Следовательно, периметр шестиугольника: 10 * 6 = 60 (см). Если по условиям задачи задан радиус вписанной окружности, то примените формулу:
где r – радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности.
Если известна площадь правильного шестиугольника, то для расчета периметра используйте следующее соотношение:
S = 3/2 * v3 * а?,
где S – площадь правильного шестиугольника.
Отсюда можно найти а = v(2/3 * S / v3), следовательно:
Р = 6 * а = 6 * v(2/3 * S / v3) = v(24 * S / v3) = v(8 * v3 * S) = 2v(2Sv3).
Как просто
Есть ли поблизости от Вас карандаш? Взгляните-ка на его сечение — оно представляет собой правильный шестиугольник или, как его еще называют, гексагон. Такую форму имеет также сечение гайки, поле гексагональных шахмат, некоторых сложных молекул углерода (к примеру, графит), снежинка, пчелиные соты и другие объекты. Гигантский правильный шестиугольник был недавно обнаружен в Не кажется ли странным столь частое использование природой для своих творений конструкций именно этой формы? Давайте рассмотрим поподробнее.
Правильный шестиугольник представляет собой многоугольник с шестью одинаковыми сторонами и равными углами. Из школьного курса нам известно, что он обладает следующими свойствами:
- Длина его сторон соответствует радиусу описанной окружности. Из всех это свойство имеет лишь правильный шестиугольник.
- Углы равны между собой, и величина каждого составляет 120°.
- Периметр гексагона можно найти по формуле Р=6*R, если известен радиус описанной вокруг него окружности, или Р=4*√(3)*r, если окружность в него вписана. R и r — радиусы описанной и вписанной окружности.
- Площадь, которую занимает правильный шестиугольник, определяется следующим образом: S=(3*√(3)*R 2)/2. Если радиус неизвестен, вместо него подставляем длину одной из сторон — как известно, она соответствует длине радиуса описанной окружности.
У правильного шестиугольника есть одна интересная особенность, благодаря которой он получил в природе такое широкое распространение, — он способен заполнить любую поверхность плоскости без наложений и пробелов. Существует даже так называемая лемма Пала, согласно которой правильный гексагон, сторона которого равна 1/√(3), представляет собой универсальную покрышку, то есть может покрыть любое множество с диаметром в одну единицу.
Теперь рассмотрим построение правильного шестиугольника. Есть несколько способов, самый простой из которых предполагает использование циркуля, карандаша и линейки. Вначале рисуем циркулем произвольную окружность, затем в произвольном месте на этой окружности делаем точку. Не меняя раствора циркуля, ставим острие в эту точку, отмечаем на окружности следующую насечку, продолжаем так до тех пор, пока не получим все 6 точек. Теперь остается лишь соединить их между собой прямыми отрезками, и получится искомая фигура.
На практике бывают случаи, когда требуется нарисовать шестиугольник большого размера. Например, на двухуровневом гипсокартонном потолке, вокруг места крепления центральной люстры, нужно установить на нижнем уровне шесть небольших светильников. Циркуль таких размеров найти будет очень и очень сложно. Как поступить в этом случае? Как вообще нарисовать большую окружность? Очень просто. Нужно взять крепкую нить нужной длины и обвязать один из ее концов напротив карандаша. Теперь осталось лишь найти помощника, который бы прижал к потолку в нужной точке второй конец нити. Конечно, в этом случае возможны незначительные погрешности, но вряд ли они вообще будут заметны постороннему человеку.
Самая известная фигура, у которой больше четырех углов — это правильный шестиугольник. В геометрии он часто используется в задачах. А в жизни именно такой вид имеют соты на срезе.
Чем он отличается от неправильного?
Во-первых, шестиугольником является фигура с 6 вершинами. Во-вторых, он может быть выпуклым или вогнутым. Первый отличается тем, что четыре вершины лежат по одну сторону от прямой, проведенной через две другие.
В-третьих, правильный шестиугольник характеризуется тем, что все его стороны равны. Причем каждый угол фигуры тоже имеет одинаковое значение. Чтобы определить сумму всех его углов, потребуется воспользоваться формулой: 180º * (n — 2). Здесь n — число вершин фигуры, то есть 6. Простой расчет дает значение в 720º. То есть каждый угол равен 120 градусам.
В повседневной деятельности правильный шестиугольник встречается в снежинке и гайке. Химики видят ее даже в молекуле бензола.
Какие свойства требуется знать при решении задач?
К тому, что указано выше, следует добавить:
- диагонали фигуры, проведенные через центр, делят ее на шесть треугольников, которые являются равносторонними;
- сторона правильного шестиугольника имеет значение, которое совпадает с радиусом описанной около него окружности;
- используя такую фигуру, есть возможность заполнить плоскость, причем между ними не получится пропусков и не будет наложений.
Введенные обозначения
Традиционно сторона правильной геометрической фигуры обозначается латинской буквой «а». Для решения задач требуются еще площадь и периметр, это S и P соответственно. В правильный шестиугольник бывает вписана окружность или описана около него. Тогда вводятся значения для их радиусов. Обозначаются они соответственно буквами r и R.
В некоторых формулах фигурируют внутренний угол, полупериметр и апофема (являющаяся перпендикуляром к середине любой стороны из центра многоугольника). Для них используются буквы: α, р, m.
Формулы, которые описывают фигуру
Для расчета радиуса вписанной окружности потребуется такая: r = (a * √3) / 2, причем r = m. То есть такая же формула будет и для апофемы.
Поскольку периметр шестиугольника — это сумма всех сторон, то он определится так: P = 6 * a. С учетом того, что сторона равна радиусу описанной окружности, для периметра существует такая формула правильного шестиугольника: P = 6 * R. Из той, что приведена для радиуса вписанной окружности, выводится зависимость между а и r. Тогда формула принимает такой вид: Р = 4 r * √3.
Для площади правильного шестиугольника может пригодиться такая: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.
Задачи
№ 1. Условие. Имеется правильная шестиугольная призма, каждое ребро которой равно 4 см. В нее вписан цилиндр, объем которого необходимо узнать.
Решение. Объем цилиндра определяется как произведение площади основания на высоту. Последняя совпадает с ребром призмы. А она равна стороне правильного шестиугольника. То есть высота цилиндра — тоже 4 см.
Чтобы узнать площадь его основания, потребуется вычислить радиус вписанной в шестиугольник окружности. Формула для этого указана выше. Значит, r = 2√3 (см). Тогда площадь круга: S = π * r 2 = 3,14 * (2√3) 2 = 37,68 (см 2).
Ответ . V = 150,72 см 3 .
№ 2. Условие. Вычислить радиус окружности, которая вписана в правильный шестиугольник. Известно, что его сторона равна √3 см. Чему будет равен его периметр?
Решение. Эта задача требует использования двух из указанных формул. Причем их необходимо применять, даже не видоизменяя, просто подставить значение стороны и вычислить.
Таким образом, радиус вписанной окружности получается равным 1,5 см. Для периметра оказывается верным такое значение: 6√3 см.
Ответ. r = 1,5 см, Р = 6√3 см.
№ 3. Условие. Радиус описанной окружности равен 6 см. Какое значение в этом случае будет у стороны правильного шестиугольника?
Решение. Из формулы для радиуса вписанной в шестиугольник окружности легко получается та, по которой нужно вычислять сторону. Ясно, что радиус умножается на два и делится на корень из трех. Необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе. Поэтому результат действий принимает такой вид: (12 √3) / (√3 * √3), то есть 4√3.
Ответ. а = 4√3 см.
Шестиугольник или гексагон — это правильный многоугольник, у которого стороны равны между собой, а каждый угол равен строго 120 градусов. Гексагон иногда встречается в человеческой повседневности, поэтому вам может понадобиться вычислить его площадь не только в школьных задачах, но и в реальной жизни.
Выпуклый шестиугольник
Гескагон — это правильный выпуклый многоугольник, соответственно, все его углы равны, все стороны равны, а если провести отрезок через две соседние вершины, то вся фигура окажется по одну сторону от этого отрезка. Как и в любой правильный n-угольник, вокруг гексагона можно описать окружность или вписать ее вовнутрь. Главная особенность шестиугольника заключается в том, что длина радиуса описанной окружности совпадает с длиной стороны многоугольника. Благодаря этому свойству можно легко найти площадь гексагона по формуле:
S = 2,59 R 2 = 2,59 a 2 .
Кроме того, радиус вписанной окружности соотносится со стороной фигуры как:
Из этого следует, что вычислить площадь шестиугольника можно, оперируя одной из трех переменных на выбор.
Гексаграмма
Звездчатый правильный шестиугольник предстает перед нами в виде шестиконечной звезды. Такая фигура образуется путем наложения друг на друга двух равносторонних треугольников. Самой известной реальной гексаграммой является Звезда Давида — символ еврейского народа.
Шестиугольные числа
В теории чисел существуют фигурные числа, связанные с определенными геометрическими фигурами. Наибольшее применение находят треугольные и квадратные, а также тетраэдрические и пирамидальные числа, используя которые легко выкладывать геометрические фигуры при помощи реальных предметов. Например, пирамидальные числа подскажут вам, как сложить пушечные ядра в устойчивую пирамиду. Существуют также и шестиугольные числа, которые определяют число точек, необходимое для построения гексагона.
Шестиугольник в реальности
Гексагоны часто встречаются в реальной жизни. К примеру, сечения гаек или карандашей имеют шестиугольную форму, благодаря чему обеспечивается удобный обхват предмета. Шестиугольник — это эффективная геометрическая фигура, способная замостить плоскость без пробелов и наложений. Именно поэтому шестиугольную форму часто имеют декоративные отделочные материалы, например, кафельная и тротуарная плитка или гипсокартонные панели.
Эффективность гексагона делает его популярным и в природе. Пчелиные соты обладают именно шестиугольной формой, благодаря которой пространство улья заполняется без пробелов. Еще одним примером гексагонального замощения плоскости является Тропа Великанов — памятник живой природы, сформированный во время извержения вулкана. Вулканический пепел был спрессован в шестиугольные колонны, которые замостили поверхность побережья Северной Ирландии.
Упаковка кругов на плоскости
И еще немного об эффективности гексагона. Упаковка шаров — классическая задача комбинаторной геометрии, которая требует найти оптимальный способ укладки непересекающихся шаров. На практике такая задача превращается в логистическую проблему упаковки апельсинов, яблок, пушечных ядер или любых других шарообразных объектов, которые требуется уложить максимально плотно. Гескагон — решение данной проблемы.
Известно, что наиболее эффективным расположением кругов в двухмерном пространстве является размещение центров окружностей на вершинах шестиугольников, которые заполняют плоскость без пробелов. В трехмерной реальности задача размещения шаров решается путем гексагональной укладки объектов.
При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить площадь правильного шестиугольника, зная его сторону или радиусы соответствующих окружностей. Давайте попробуем вычислить площади гексагонов на реальных примерах.
Примеры из реальной жизни
Гигантский гексагон
Гигантский гексагон — уникальное атмосферное явление на Сатуре, которое выглядит как грандиозный вихрь в форме правильного шестиугольника. Известно, что сторона гигантского гексагона составляет 13 800 км, благодаря чему мы можем определить площадь «облака». Для этого достаточно ввести значение стороны в форму калькулятора и получить результат:
Таким образом, площадь атмосферного вихря на Сатурне приблизительно составляет 494 777 633 квадратных километров. Поистине впечатляет.
Гексагональные шахматы
Мы все привыкли к шахматному полю, разделенному на 64 квадратные ячейки. Однако существуют и гексагональные шахматы, игровое поле которых разделено на 91 правильный шестиугольник. Давайте определим площадь игровой доски для гексагональной версии известной игры. Пусть сторона ячейки составляет 2 сантиметра. Площадь одной игровой клетки составит:
Тогда площадь всей доски будет равна 91 × 10,39 = 945,49 квадратных сантиметров.
Заключение
Шестиугольник часто встречается в реальности, хотя мы и не замечаем этого. Используйте наш онлайн-калькулятор для расчета площадей гексагонов при решении повседневных или школьных задач.
Радиусы вписанной и описанной окружностей. Радиус вписанной окружности в ромб
МКОУ «Волчихинская СШ №2»
Учитель Бакута Е.П.
9 класс
Урок по теме «Формулы радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников»
Цели урока:
Образовательные: изучение формул радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников;
Развивающие: активизация познавательной деятельности учащихся через решение практических задач, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.
Воспитательные: организация совместной деятельности, воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения выслушивать ответы товарищей.
Оборудование: Мультимедийный компьютер, мультимедиапроектор, экспозиционный экран
Ход урок:
1. Организационный момент
Чтобы спорилось нужное дело,
А девизом нашего урока буду такие слова:
Думать — коллективно!
Решать — оперативно!
Отвечать — доказательно!
Бороться — старательно!
2. Мотивация урока.
3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.
Фронтальный опрос:
4. Изучение нового материала. (слайды)
Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник (r):
a — сторона многоугольника, N — количество сторон многоугольника
Радиус описанной окружности правильного многоугольника(R):
a — сторона многоугольника, N — количество сторон многоугольника.
Заполним таблицу для правильного треугольника, правильного четырехугольника, правильного шестиугольника.
5. Закрепление нового материала.
Решить № 1088, 1090, 1092, 1099.
6. Физминутка . Раз – потянуться Два – нагнуться
Три – оглянуться Четыре – присест
Пять – руки вверх Шесть – вперед
Семь – опустили Восемь – сели
Девять – встали Десять – снова сели
7. Самостоятельная работа учащихся (работа в группах)
Решить № 1093.
8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.
Какое впечатление у Вас сложилось? (Понравилось – не понравилось)
– Какое настроение после урока? (Радостное – грустное)
– Какое самочувствие? (Устал – не устал)
– Какое отношение к пройденному материалу? (Понял – не понял)
– Какова твоя самооценка после урока? (Доволен – не доволен)
– Оцени свою активность на уроке. (Старался – не старался).
Есть у математики молва,
Что она в порядок ум приводит,
Потому хорошие слова
Часто говорят о ней в народе.
Ты нам, геометрия, даёшь
Для победы важную закалку.
Учится с тобою молодёжь
Развивать и волю, и смекалку.
Примечание Презентация содержит разделы:
Повторение теоретического материала
Проверка домашнего задания
Вывод основных формул, т.е. новый материал
Закрепление: решение задач в группах и самостоятельно
Просмотр содержимого презентации

«9_klass_pravilnye_mnogougolniki_urok_2»
- Чтобы спорилось нужное дело,
- Чтобы в жизни не знать неудач,
- В математики мир отправимся смело,
- В мир примеров и разных задач.
ДЕВИЗ УРОКА
Думать — коллективно!
Решать — оперативно!
Отвечать — доказательно!
Бороться — старательно!
И открытия нас ждут обязательно!

Повторение.
- Какая геометрическая фигура
изображена на рисунке?
D
Е
2.Какой многоугольник называется
правильным?
О
3.Какая окружность называется
вписанной в многоугольник?
F
С
4.Какая окружность называется
описанной около многоугольника?
5.Назовите радиус вписанной окружности.
А
В
Н
6.Назовите радиус описанной окружности.
7.Как найти центр вписанной в правильный
многоугольник окружности?
8.Как найти центр окружности описанной около
правильного многоугольника?

Проверка выполнения
домашнего задания ..
№ 1084.
β – угол, соответствующий
дуге, которую стягивает
сторона многоугольника .
О
А п
А 2
β
Ответы:
а) 6;
б) 12;
А
А 1
в) 4;
г) 8;
г) 10
д) 20;
е) 7.
е) 5.

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Сумма углов правильного n -угольника
Угол правильного n — угольника

Окружность называется вписанной в многоугольник,
если все стороны многоугольника касаются этой окружности.
Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой
окружности.

Вписанная и описанная окружность
Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

Выведем формулу радиуса вписанной и радиуса описанной окружности правильного многоугольника.
Пусть r – радиус вписанной окружности,
R – радиус описанной окружности,
п – количество сторон и углов многоугольника.
Рассмотрим правильный п-угольник.
Пусть а – сторона п-угольника,
α – угол.
Построим точку О – центр вписанной и описанной окружности.
ОС – высота ∆АОВ.
∟ С = 90 º — (по построению),
Рассмотрим ∆АОС:
∟ ОАС = α /2 — (ОА – биссектриса угла п- угольника),
АС = а/2 – (ОС – медиана к основанию равнобедренного треугольника),
∟ АОВ = 360 º: п,
пусть ∟АОС = β .
тогда β = 0,5 ∙ ∟АОВ
0,5 ∙ (360 º: п)
2 sin (180 º: п)
2 tg (180 º: п)

Площадь правильного многоугольника
Сторона правильного многоугольника
Радиус вписанной окружности

Группа 1 Дано: R , n =3 Найти: а
Группа 2 Дано: R , n =4 Найти: а
Группа 3 Дано: R , n =6 Найти: а
Группа 4 Дано: r , n =3 Найти: а
Группа 5 Дано: r , n = 4 Найти: а
Группа 6 Дано: r , n = 6 Найти: а

Группа 1 Дано: R , n =3 Найти: а

Группа 2 Дано: R , n =4 Найти: а

Группа 3 Дано: R , n =6 Найти: а

Группа 4 Дано: r , n =3 Найти: а

Группа 5 Дано: r , n = 4 Найти: а

Группа 6 Дано: r , n = 6 Найти: а

п = 3
п = 4
п = 6

2 tg (180 º: п)
2 sin (180 º: п)
тогда 180 º: п
У правильного треугольника п = 3,
откуда 2 sin 60 º =
тогда 180 º: п
У правильного четырехугольника п = 4,
откуда 2 sin 45 º =
У правильного шестиугольника п = 6,
тогда 180 º: п
откуда 2 sin 30 º =

Используя формулы радиусов вписанных и описанных окружностей некоторых правильных многоугольников, вывести формулы для нахождения зависимости сторон правильных многоугольников от радиусов вписанных и описанных окружностей и заполнить таблицу:
2 R ∙ sin (180 º: п)
2 r ∙ tg (180 º: п)

треугольник
шестиугольник

Пп. 105 – 108;
№ 1087;
№ 1088 – подготовить таблицу.

n = 4
R
r
a 4
P
2
6
4
S
28
16
3
3√2
24
32
2√2
4
16
16
16√2
32
4√2
2√2
7
3,5√2
3,5
49
4
2√2
16
2

№ 1087(5)
Дано: S=16 , n =4
Найти: a, r, R, P
Мы знаем формулы:

№ 1088( 5 )
Дано: P=6 , n = 3
Найти: R, a, r, S
Мы знаем формулы:

№ 108 9
Дано:
Найти:

Подведем итог
Мы знаем формулы:
- п.105-108 повторить;
- выучить формулы;
- № 1090, 1091, 1087(3)
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, он наследует все свойства параллелограмма. А именно:
- Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
- Диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов.
Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.
Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность. Центр вписанной окружности совпадает с центром пересечения диагоналей ромба.
Радиус вписанной окружности в ромб можно выразить несколькими способами
1 способ. Радиуса вписанной окружности в ромб через высоту
Высота ромба равна диаметру вписанной окружности. Это следует из свойства прямоугольника, который образуют диаметр вписанной окружности и высота ромба – у прямоугольника противолежащие стороны равны.
Следовательно формула радиуса вписанной окружности в ромб через высоту:
2 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через диагонали
Площадь ромба можно выразить через радиус вписанной окружности
, где Р – периметр ромба. Зная, что периметр это сумма всех сторон четырехугольника имеем P= 4×а. Тогда
Но площадь ромба также равна половине произведения его диагоналей
Прировняв правые части формул площади, имеем следующее равенство
В результате получаем формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной окружности в ромб чрез диагонали
Пример расчета радиуса окружности вписанной в ромб, если известны диагонали
Найти радиус окружности вписанной в ромб, если известно, что длина диагоналей 30 см и 40 см
Пусть ABCD -ромб, тогда AC и BD его диагонали. AC= 30 см, BD =40 см
Пусть точка О – это центр вписанной в ромб ABCD окружности, тогда она будет также являться и точкой пересечения его диагоналей, делящих их пополам.

т.к диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то треугольник AOB прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора
, подставляем в формулу ранее полученные значения
AB = 25 см
Применив ранее выведенную формулу для радиуса описанной окружности в ромб, получаем
3 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через отрезки m и n
Точка F – точка касания окружности со стороной ромба, которая делит ее на отрезки AF и BF . Пусть AF= m, BF=n.
Точка O – центр пересечения диагоналей ромба и центр вписанной в него окружности.
Треугольник AOB – прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
, т.к. является радиусом, проведенным в точку касания окружности. Следовательно OF – высота треугольника AOB к гипотенузе. Тогда AF и BF – проекции катетов на гипотенузу.
Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через отрезки равна корню квадратному из произведения этих отрезков, на которые делит сторону ромба точка касания окружности
Окружность вписана в треугольник. В данной статье собрал для вас задачи, в которых даётся треугольник с вписанной в него или описанной около него окружностью. В условии ставится вопрос о нахождении радиуса окружности или стороны треугольника.
Данные задания удобно решать используя представленные формулы. Рекомендую их выучить, бывают очень полезны не только при решении этого типа заданий. Одна формула выражает связь радиуса вписанной в треугольник окружности с его сторонами и площадью, другая радиус описанной около треугольника окружности также с его сторонами и площадью:
S – площадь треугольника
Рассмотрим задачи:
27900. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120 0 . Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.
Здесь окружность описана около треугольника.
Первый способ:
Диаметр мы сможем найти, если будет известен радиус. Используем формулу радиуса описанной около треугольника окружности:
где a, b, c – стороны треугольника
S – площадь треугольника
Две стороны нам известны (боковые стороны равнобедренного треугольника), третью мы можем вычислить используя теорему косинусов:
Теперь вычислим площадь треугольника:
*Использовали формулу (2) из .
Вычисляем радиус:
Таким образом диаметр будет равен 2.
Второй способ:
Это устные вычисления. Для тех кто имеет навык решения заданий с вписанным в окружность шестиугольником, тот сразу определит, что стороны треугольника АС и ВС «совпадают» со сторонами вписанного в окружность шестиугольника (угол шестиугольника как раз равен 120 0 , как и в условии задачи). А далее на основании того, что сторона вписанного в окружность шестиугольника равна радиусу этой окружности не сложно сделать вывод о том, что диаметр будет равен 2АС, то есть двум.
Подробнее о шестиугольнике посмотрите информацию в (п.5).
Ответ: 2
27931. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу с этого треугольника. В ответе укажите .
где a, b, c – стороны треугольника
S – площадь треугольника
Нам неизвестны ни стороны треугольника, ни его площадь. Обозначим катеты как х, тогда гипотенуза будет равна:
А площадь треугольника будет равна 0,5х 2 .
Значит

Таким образом, гипотенуза будет равна:
В ответе требуется записать:
Ответ: 4
27933. В треугольнике ABC АС = 4, ВС = 3, угол C равен 90 0 . Найдите радиус вписанной окружности.
Воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в треугольник:
где a, b, c – стороны треугольника
S – площадь треугольника
Две стороны известны (это катеты), можем вычислить третью (гипотенузу), также можем вычислить и площадь.
По теореме Пифагора:
Найдём площадь:
Таким образом:
Ответ: 1
27934. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.
Воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в треугольник:
где a, b, c – стороны треугольника
S – площадь треугольника
Известны все стороны, вычислим и площадь. Её мы можем найти по формуле Герона:

Тогда
Таким образом:
Ответ: 1,5
27624. Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника. Посмотреть решение
27932. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Небольшой итог.
Если в условии дан треугольник и вписанная или описанная окружность, и речь идёт о сторонах, площади, радиусе, то сразу вспомните об указанных формулах и пробуйте использовать их при решении. Если не получается, то тогда уже ищите другие способы решения.
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Окружность считается вписанной в границы правильного многоугольника, в случае, если лежит внутри него, касаясь при этом прямых, которые проходят через все стороны. Рассмотрим, как найти центр и радиус окружности. Центром окружности будет являться точка, в которой пересекаются биссектрисы углов многоугольника. Радиус рассчитывается: R=S/P; S – площадь многоугольника, Р – полупериметр окружности.
В треугольнике
В правильный треугольник вписывают лишь одну окружность, центр которой называется инцентром; он от всех сторон удалён на одинаковое расстояние и является местом пересечения биссектрис.
В четырёхугольнике
Часто приходится решать, как найти радиус вписанной окружности в эту геометрическую фигуру. Она должна быть выпуклой (если нет самопересечений). Окружность вписать в неё можно только в случае равенства сумм противоположных сторон: AB+CD=BC+AD.
При этом центр вписанной окружности, середины диагоналей, расположены на одной прямой (согласно теореме Ньютона). Отрезок, концы которого находятся там, где пересекаются противоположные стороны правильного четырёхугольника, лежит на этой же прямой, называемой прямой Гаусса. Центром окружности будет точка, в которой пересекаются высоты треугольника с вершинами, диагоналями (по теореме Брокара).
В ромбе
Им считается параллелограмм с одинаковой длиной сторон. Радиус окружности, вписываемой в него, можно рассчитать несколькими способами.
1. Чтобы сделать это правильно, найдите радиус вписанной окружности ромба, если известна площадь ромба, длина его стороны. Применяется формула r=S/(2Хa). К примеру, если площадь ромба составляет 200 мм кв., длина стороны 20 мм, то R=200/(2Х20), то есть, 5 мм.
2. Известен острый угол одной из вершин. Тогда необходимо использовать формулоу r=v(S*sin(α)/4). Например, при площади в 150 мм и известном угле в 25 градусов, R= v(150*sin(25°)/4) ≈ v(150*0,423/4) ≈ v15,8625 ≈ 3,983 мм.
3. Все углы в ромбе равны. В этой ситуации радиус окружности, вписанной в ромб, будет равен половине длины одной стороны данной фигуры. Если рассуждать по Евклиду, утверждающего, что сумма углов всякого четырёхугольника равна 360 градусов, то один угол будет равен 90 градусам; т.е. получится квадрат.
Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры.{\circ}}
Используя радианную меру: CD = \alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть. {\circ}

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

\angle M = \angle CBD — \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC — \cup AlB \right)

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

S = pr ,

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

r = \frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = \frac{S}{p} ,

где p = \frac{a + b + c}{2}

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника . {\circ}

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}

R = \frac{abc}{4 S}

a , b , c — длины сторон треугольника,

S — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

1. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

2. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

3. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

4. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

5. Задача №1: На рисунке изображен правильный шестиугольник, вписанный в окружность радиуса R. Пусть — сторона правильного

Построение шестигранника по вписанной окружности. Правильный шестиугольник и его свойства. От теории к практике

Содержимое:

Обычный шестиугольник, также называемый идеальным шестиугольником, имеет шесть равных сторон и шесть равных углов. Вы можете нарисовать шестиугольник при помощи рулетки и транспортира, грубый шестиугольник – при помощи круглого предмета и линейки или еще более грубый шестиугольник — при помощи только карандаша и немного интуиции. Если вы хотите знать, как нарисовать шестиугольник различными способами – просто читайте далее.

Шаги

1 Рисуем идеальный шестиугольник при помощи циркуля

1 При помощи циркуля рисуем круг. Вставьте карандаш в циркуль. Расширьте циркуль на желаемую ширину радиуса вашего круга. Радиус может быть от пары до десятка сантиметров шириной. Далее поставьте циркуль с карандашом на бумагу и нарисуйте круг.
- Иногда легче сначала нарисовать пол круга, а затем вторую половину.
2 Передвиньте иглу циркуля к краю круга. Поставьте его на вершину круга. Не меняйте угол и расположение циркуля.
3 Сделайте небольшую отметку карандашом на краю круга. Сделайте ее отчетливой, но не слишком темной, так как позже вы ее сотрете. Не забудьте сохранять угол, который вы установили для циркуля.
4 Передвиньте иглу циркуля на ту отметку, которую вы только что сделали. Поставьте иглу прямо на отметку.
5 Сделайте еще одну отметку карандашом на краю круга. Таким образом, вы сделаете вторую отметку на определенной дистанции от первой отметки. Продолжайте двигаться в одном направлении.
6 Тем же способом сделайте еще четыре отметки. Вы должны вернуться назад на первоначальную отметку. Если нет, тогда, скорее всего, угол, под которым вы держали циркуль и делали отметки, изменился. Возможно, это случилось из-за того, что вы сжали его слишком сильно или наоборот, немного ослабили.
7 Соедините отметки при помощи линейки. Шесть мест, где ваши отметки пересекаются с краем круга, — это шесть вершин шестиугольника. При помощи линейки и карандаша нарисуйте прямые линии, соединяя соседние отметки.
8 Сотрите и круг, и отметки на краях круга, и другие метки, которые вы сделали. После того, как вы стерли все свои вспомогательные линии, ваш идеальный шестиугольник должен быть готов.

2 Рисуем грубый шестиугольник при помощи круглого предмета и линейки

1 Обведите ободок стакана карандашом. Таким образом, вы нарисуете круг. Очень важно рисовать именно карандашом, так как позже вам нужно будет стереть все вспомогательные линии. Вы также можете обвести перевернутый стакан, банку или что-то еще, что имеет круглую основу.
2 Нарисуйте горизонтальные линии через центр вашего круга. Можете воспользоваться линейкой, книгой — чем угодно с прямым краем. Если у вас все же есть линейка, вы можете отметить середину, рассчитав вертикальную длину круга и разделив его пополам.
3 Нарисуйте «Х» над половиной круга, разделяя его на шесть равных секций. Так как вы уже провели линию через середину круга, Х должен быть больше в ширину, чем в высоту, чтобы части были равны. Представьте, что вы делите пиццу на шесть частей.
4 Сделайте из каждой секции треугольники. Чтобы это сделать, при помощи линейки нарисуйте прямую линию под изогнутой частью каждой секции, соединяя ее с другими двумя линиями, образовывая треугольник. Сделайте это с оставшимися пятью секциями. Думайте об этом, как об изготовлении корочки вокруг ваших кусков пиццы.
5 Сотрите все вспомогательные линии. К вспомогательным линиям относятся ваш круг, три линии, которые разделили ваш круг на секции и другие отметки, которые вы делали в процессе.

3 Рисуем грубый шестиугольник при помощи одного карандаша

1 Нарисуйте горизонтальную линию. Чтобы нарисовать прямую линию без линейки, просто нарисуйте начальную и конечную точку вашей горизонтальной линии. Затем поместите карандаш в начальную точку и протягивайте линию к концу. Длина этой линии может быть всего пара сантиметров.
2 Нарисуйте две диагональные линии с концов горизонтальной. Диагональная линия с левой стороны должна быть направлена наружу так же, как и диагональная линия справа. Вы можете представить, что эти линии формируют угол в 120 градусов по отношению к горизонтальной линии.
3 Нарисуйте еще две горизонтальные линии, исходящие из первых горизонтальных прямых, нарисованных вовнутрь. Таким образом, будет создано зеркальное отображение первых двух диагональных линий. Нижняя левая линия должна быть отражением верхней левой линии, а нижняя правая — отражением верхней правой линии. В то время как верхние горизонтальные линии должны смотреть наружу, нижние должны смотреть вовнутрь основания.
4 Нарисуйте еще одну горизонтальную линию, соединяя нижние две диагональные линии. Таким образом, вы нарисуете основу для своего шестиугольника. В идеале эта линия должна быть параллельной к верхней горизонтальной линии. Вот вы и завершили свой шестиугольник.

Карандаш и циркуль должны быть острыми, чтобы минимизировать ошибки от слишком широких отметок.
Если при использовании метода с циркулем вы соединили каждую отметку вместо всех шести, то получите равносторонний треугольник.

Предупреждения

Циркуль — довольно острый предмет, будьте с ним очень аккуратны.

Принцип работы

Каждый метод поможет нарисовать шестиугольник, образованный шестью равносторонними треугольниками с радиусом, равным длине всех сторон. Шесть нарисованных радиусов одинаковой длины и все линии для создания шестиугольника тоже одной длины, так как ширина циркуля не менялась. Благодаря тому, что шесть треугольников равносторонние, углы между их вершинами равны 60 градусов.

Что вам понадобится

Бумага
Карандаш
Линейка
Пара циркулей
Что-то, что можно подложить под бумагу, чтобы игла циркуля не соскальзывала.
Ластик

Правильный описанный треугольник строят следующим образом (рисунок 38). Из центра заданной окружности радиуса R 1 проводят окружность радиусом R 2 = 2R 1 и делят ее на три равные части. Точки деления А, В, С являются вершинами правильного треугольника, описанного около окружности радиуса R 1 .

Рисунок 38

Правильный описанный четырехугольник (квадрат) можно построить с помощью циркуля и линейки (рисунок 39). В заданной окружности проводят два взаимно перпендикулярных диаметра. Приняв точки пересечения диаметров с окружностью за центры, радиусом окружности R описывают дуги до взаимного их пересечения в точках А, В, С,D . Точки A , B , C , D и являются вершинами квадрата, описанного около данной окружности.

Рисунок 39

Для построения правильного описанного шестиугольника необходимо вначале построить вершины описанного квадрата указанным выше способом (рисунок 40, а). Одновременно с определением вершин квадрата заданную окружность радиуса R делят на шесть равных частей в точках 1, 2, 3, 4, 5, 6 и проводят вертикальные стороны квадрата. Проведя через точки деления окружности 2–5 и 3–6 прямые до пересечения их с вертикальными сторонами квадрата (рисунок 40, б), получают вершины А, В, D, Е описанного правильного шестиугольника.

Рисунок 40

Остальные вершины C и F определяют с помощью дуги окружности радиуса OA , которая проводится до пересечения ее с продолжением вертикального диаметра заданной окружности.
3 СОПРЯЖЕНИЯ

Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника. Построение правильного пятиугольника по данной его стороне. Переставьте иглу циркуля в точку пересечения только что начерченной дуги с окружностью. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля. Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Постройте точки вершин углов правильного шестиугольника.

Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Метод 1 из 3: Рисуем идеальный шестиугольник при помощи циркуля

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника.

Именно на умении строить биссектрисы углов и серединные перпендикуляры отрезков и основывается методика построения правильных многоугольников

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй-коэффициенты. Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

Тема этого видеоурока – «Построение правильных многоугольников». Также еще раз дадим определение правильному многоугольнику, изобразим его графически, после чего еще раз убедимся, что центры вписанной и описанной окружностей вокруг такой фигуры будут совпадать. В этот многоугольник всегда можно вписать окружность и около него всегда можно описать окружность. В ходе предыдущих уроков мы выяснили, что базовую роль для описания свойств многоугольников играют биссектрисы его углов и серединные перпендикуляры к его сторонам.

4. Получили искомый правильный треугольник АВС. Задача решена. 3. Поместив одну ножку циркуля в произвольную точки А1 на окружности, при помощи второй ножки отметим на той же окружности точку А2 и соединим ее с точкой А1. Получим первую сторону шестиугольника. 3. При помощи серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника, опущенным из точки О, разделим все его стороны и все дуги окружности, заключенные между его соседними вершинами, пополам.

Геометрические построения являются одной из важных частей обучения. Игла должна проткнуть начерченную линию. Чем точнее будет установлен циркуль, тем точнее будет построение. Начертите еще одну дугу, пересекающую окружность. Последовательно соедините все шесть точек пересечения дуг с первоначально начерченной окружностью. В этом случае шестиугольник может получиться неправильным.

Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые

Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра. Центры обеих окружностей совпадают (точка О на Рис. 1). Также на рисунке приведены радиусы описанной (R) и вписанной (r) окружностей.

Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. На данном занятии мы рассмотрим способы построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник. Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Тему многоугольников проходят в школьной программе, но не уделяют ей достаточного внимания. А между тем она интересна, и особенно это касается правильного шестиугольника или гексагона — ведь эту форму имеют многие природные объекты. К ним относятся пчелиные соты и многое другое. Эта форма очень хорошо применяется на практике.

Определение и построение

Правильным шестиугольником называется плоскостная фигура, имеющая шесть равных по длине сторон и столько же равных углов.

Если вспомнить формулу суммы углов многоугольника

то получается, что в этой фигуре она равна 720°. Ну а поскольку все углы фигуры равны, нетрудно посчитать, что каждый из них равен 120°.

Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки.

Пошаговая инструкция будет выглядеть так:

При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей.

Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже.

Свойства простые и интересные

Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:

Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:

диаметр описанной окружности;
диаметр вписанной окружности;
площадь;
периметр.

Описанная окружность и возможность построения

Вокруг гексагона можно описать окружность, и притом только одну. Поскольку фигура эта правильная, то можно поступить довольно просто: от двух соседних углов провести внутрь биссектрисы. Они пересекутся в точке О, и образуют вместе со стороной между ними треугольник.

Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ — равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности.

После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису. Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС — очередным радиусом, через который идет та же окружность. Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона:

Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.

Ну а площадь этой окружности будет стандартная:

Вписанная окружность

Центр описанной окружности совпадет с центром вписанной. Чтобы в этом убедиться, можно провести из точки О перпендикуляры к сторонам шестиугольника. Они будут являться высотами тех треугольников, из которых составлен гексагон. А в равнобедренном треугольнике высота является медианой по отношению к стороне, на которую она опирается. Таким образом, эта высота не что иное, как серединный перпендикуляр, являющийся радиусом вписанной окружности.

Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

А поскольку R=a и r=h, то получается, что

r=R(√3)/2 .

Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.

Ее площадь будет составлять:

S=3πa²/4 ,

то есть три четверти от описанной.

Периметр и площадь

С периметром все ясно, это сумма длин сторон:

P=6а , или P=6R

А вот площадь будет равна сумме всех шести треугольников, на которые можно разбить гексагон. Поскольку площадь треугольника вычисляется как половина произведения основания на высоту, то:

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 или

S=3R²(√3)/2

Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Занимательные построения

В гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну:

Всего их получится два, и их наложение друг на друга даст звезду Давида. Каждый из этих треугольников — равносторонний. В этом нетрудно убедиться. Если посмотреть на сторону АС, то она принадлежит сразу двум треугольникам — ВАС и АЕС. Если в первом из них АВ=ВС, а угол между ними 120°, то каждый из оставшихся будет 30°. Отсюда можно сделать закономерные выводы:

Высота АВС из вершины В будет равна половине стороны шестиугольника, поскольку sin30°=1/2. Желающим убедиться в этом можно посоветовать пересчитать по теореме Пифагора, она здесь подходит как нельзя лучше.
Сторона АС будет равна двум радиусам вписанной окружности, что опять-таки вычисляется по той же теореме. То есть АС=2(a(√3)/2)=а(√3).
Треугольники АВС, СДЕ и АЕF равны по двум сторонам и углу между ними, и отсюда вытекает равенство сторон АС, СЕ и ЕА.

Пересекаясь друг с другом, треугольники образуют новый гексагон, и он тоже правильный. Доказывается это просто:

Таким образом, фигура отвечает признакам правильного шестиугольника — у нее шесть равных сторон и углов. Из равенства треугольников при вершинах легко вывести длину стороны нового гексагона:

d=а(√3)/3

Она же будет радиусом описанной вокруг него окружности. Радиус вписанной будет вдвое меньше стороны большого шестиугольника, что было доказано при рассмотрении треугольника АВС. Его высота составляет как раз половину стороны, следовательно, вторая половина — это радиус вписанной в маленький гексагон окружности:

r₂=а/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Получается, что площадь гексагона внутри звезды Давида в три раза меньше, чем у большого, в который вписана звезда.

От теории к практике

Свойства шестиугольника очень активно используются как в природе, так и в различных областях деятельности человека. В первую очередь это касается болтов и гаек — шляпки первых и вторые представляют собой ничто иное, как правильный шестигранник, если не брать в расчет фаски. Размер гаечных ключей соответствует диаметру вписанной окружности — то есть расстоянию между противоположными гранями.

Нашла свое применение и гексагональная плитка. Она распространена куда меньше четырехугольной, но класть ее удобнее: в одной точке смыкаются три плитки, а не четыре. Композиции могут получаться очень интересные:

Выпускается и бетонная плитка для мощения.

Распространенность гексагона в природе объясняется просто. Таким образом, проще всего плотно уместить круги и шары на плоскости, если у них одинаковый диаметр. Из-за этого у пчелиных сот такая форма.

Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 -6, 4-3, 4-5 и 7-2, после чего проводим стороны 5-6 и 3-2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника . Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, проведённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0-1-2 равен 30°, то для нахождения стороны

1-2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0-1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1-2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину-точку 1 и проводим диаметральную линию 1-4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность . Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4-1 и 3-2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1-2 и 4-3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диаметров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до взаимного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные прямые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересечения с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), производим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вершины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Получим точку 1-вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, проводим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересечение которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно производить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэффициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

Радиус вписанной окружности | Треугольники

Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус вписанной в треугольник и в многоугольник окружности, размещены на одной странице.

Радиус вписанной в многоугольник окружности

Если в многоугольник можно вписать окружность, то формула для вычисления радиуса вписанной окружности:

где p — полупериметр, то есть полусумма длин всех сторон этого многоугольника.

Например, для пятиугольника со сторонами a, b, c, d, e радиус вписанной окружности находится по формуле

откуда

По этой же формуле ищут радиус вписанной в треугольник окружности.

Радиус вписанной в треугольник окружности

Формула для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности (верна для треугольника любого вида)

где p — полупериметр,

где a, b, c — стороны треугольника.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

где a и b — катеты, c — гипотенуза.

Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник

Формула радиуса вписанной в правильный многоугольник окружности

где a — сторона многоугольника, n — количество сторон.

Частные случаи — правильный (равносторонний) треугольник, правильный четырехугольник (квадрат) и правильный шестиугольник.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник

Формула радиуса вписанной окружности для правильного треугольника:

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности вдвое меньше радиуса описанной окружности:

Радиус окружности, вписанной в квадрат

Формула радиуса вписанной в квадрат окружности:

где a — сторона квадрата.

Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник

Формула радиуса вписанной в правильный шестиугольник окружности:

где a — сторона правильного шестиугольника.

Для любого многоугольника центр вписанной окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

Урок геометрии по теме «Правильные многоугольники. Решение задач». 9-й класс

Основная цель:

Проверить уровень обязательной математической подготовки, глубину усвоения знаний и умений применять полученные знания в несколько отличных от обязательных результатов обучения ситуациях.
Тренировать способность к решению задач на нахождение длин сторон правильных многоугольников, периметров, длин окружностей.
Тренировать умение понимать текст задачи, делать чертежи, сопровождающие условие и решение задачи, выделять конфигурацию, необходимую на данном шаге (этапе) решения.

Ход урока

Организационный момент.

Проверка домашнего задания.

а) Индивидуальная работа у доски.

Построить правильный многоугольник: n=3, n=4, n=6.

б) Фронтальный опрос.

Задания для класса.

Что такое многоугольник? Какой многоугольник называется выпуклым?

Какой многоугольник называется правильным?

Что называется углом выпуклого многоугольника при данной вершине?

Что является внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине?

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника?

Продолжите предложение:

Многоугольник называется вписанным в окружность, если :

Многоугольник называется описанным около окружности, если :

Правильный выпуклый многоугольник является вписанным и :

Актуализация знаний.

а) Заполните таблицу:

Число сторон многоугольника n	Выражение радиусов вписанной r_n и описанной R_n окружностей через сторону a_n многоугольника
n	R=	r=
3	R₃=	r₃=
4	R₄=	r₄=
6	R₆=	r₆=

б) Заполните таблицу:

Число сторон многоугольника n	Выражение стороны a_n многоугольника через радиусы вписанной r_n и описанной R_n окружностей
n	a_n=	a_n=
3	a₃=	a₃=
4	a₄=	a₄=
6	a₆=	a₆=

в) Устное решение задач(№ 1, 2, 3) по готовым чертежам.

Задача 1. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 1 см. Найдите радиус R описанной окружности около этого квадрата. (Ответ: см)

Задача 2. Периметр правильного шестиугольника, описанного около окружности, равен см. Чему равен радиус этой окружности? (Ответ: 1,5 см)

Задача 3. Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен см. Найдите радиус r вписанной окружности. (Ответ: см)

Геометрический диктант.

Какие четырехугольники являются правильными многоугольниками?
Чему равна градусная мера внутреннего угла правильного n — угольника?
Чему равна градусная мера внешнего угла правильного треугольника?
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его угол равен 108⁰?
Какой многоугольник получится, если последовательно соединить середины сторон правильного шестиугольника?

Ответы к математическому диктанту

Номер задания	Ответ
1	3, 4, 5, 7
2	5
3	3
4
5
6	5
7	6

Закрепление. Решение задач.

Задача №1. В правильный шестиугольник ABCDEF, со стороной 6 см, вписан правильный треугольник A₁B₁C₁. Найдите отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник A₁B₁C₁, к радиусу окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF.

Дано:

шестиугольник ABCDEF,

треугольник A₁B₁C₁ — правильный

a₆=6 см

Найти:

Решение.

ABCD — трапеция, так как — средняя линия трапеции по построению, см)

Ответ: .

Задача №2. Наглядно — поисковая задача. В правильный треугольник MNP вписана окружность. Отрезок NR перпендикулярен отрезку MP и пересекает его в точке K. Угол KMR=30⁰. Найдите радиус вписанной окружности в треугольник MNP и её длину.

Дано:

правильный треугольник MNP, MR=.

угол KMR=30⁰

Найти: OE, C (длина окружности).

Решение.

MK=KP (так как центр вписанной окружности лежит на пересечении срединных перпендикуляров к сторонам треугольника). Рассмотрим треугольник MKP. MK=MR* (см). Следовательно, MP=9 см, а OE= r,

Ответ: OE =

Задача №3. Ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 2. Хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 8. Найти радиусы окружностей.

(Ответ: R=5, r=3)

Задача №4 . Минутная стрелка часов на здании Московского университета имеет длину 4,13 м, а часовая — 3,70м. Какой путь пройдет конец каждой из этих стрелок в течение суток?

(Ответ:14,8 м; 198,24 м.)

Дополнительный материал.

Задача №5^*. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 18 см. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

Задача №6^*. Около трапеции с высотой 6 см описана окружность. Угол между радиусами окружности, проведенными к концам боковой стороны, равен 60⁰. Найдите площадь трапеции.

Задача №7. (расчетно-практическая)

Чтобы сделать выкройку юбки «Солнце» для девочки, построим две концентрические окружности. Длина одной из этих окружностей равна длине «окружности талии» — 62см, а радиус другой больше радиуса первой на 60 см. Вычислите длину окружности по нижнему краю юбки. Сколько ткани надо иметь для пошива такой юбки? Сколько метров ленты пойдет на отделку такой юбки? (Ответ: на первый вопрос — 140 см)

Проведите измерения и расчеты для себя.

План работы:

Окружность талии = с =: см

R_талии=

R_юбки =R_талии+ длина юбки=:

С=2_юбки= :Проверь себя:

Найдите больший угол треугольника, если величины его углов образуют арифметическую прогрессию с разностью 15.

Ответ: а) 80 б) 16 в)120 г) 164 д) решения нет.

Вписанный в окружность угол, величиной 40⁰, опирается на дугу длиной 16 см. Найдите длину окружности.

Ответ: а) 164 см; б) 2 см; в) 72 см; г) 16 см; д) решения нет.

В треугольнике ABC AB=2, BC=3 и угол BAC в три раза больше угла BCA. Найдите радиус описанной окружности около этого треугольника.

Найдите центральный угол окружности радиуса 4 см, если длина соответствующей дуги равна: а) б) в) 5.

Задача решается по выбору учащегося.

Как нарисовать шестиугольник, вписанный в круг? — Реабилитацияrobotics.net

Как нарисовать шестиугольник, вписанный в круг?

ШАГОВ:
Поместите точку циркуля на бумагу и нарисуйте круг.
Поместите точку с меткой P в любом месте окружности круга, чтобы она служила отправной точкой.
Не меняя шкалы циркуля, поместите точку циркуля на P и поверните небольшую дугу, пересекающую окружность круга.

Что используется для начертания шестиугольника внутри круга?

Ответ проверен экспертом. Ответ: а) равносторонний треугольник. Если вы хотите вписать шестиугольник внутри круга, вам следует использовать 6 равносторонних треугольников. Если вы нарисуете шестиугольник, вписанный в круг, и проведете радиусы к углам шестиугольника, вы получите шесть треугольников.

На какую длину следует установить циркуль, чтобы вписать правильный шестиугольник в круг?

Пошаговое объяснение: В правильном шестиугольнике длина стороны равна расстоянию от центра до вершины, поэтому мы используем этот факт, чтобы установить компас на правильную длину стороны, а затем шагаем по кругу, отмечая отметку. вершины.

Как составить круговой шестиугольник с помощью циркуля?

Имя.
Предлагаемое время: 1 час.
Шаг 2 — Переместите точку циркуля к краю круга.
Шаг 3 — Переместите точку циркуля по кругу, отмечающему оставшиеся края, так, чтобы круг теперь имел 6 точек, находящихся на одинаковом расстоянии.
Шаг 4 — Соедините 6 точек вместе с помощью линейки, чтобы создать правильный шестиугольник.

Как сделать шестиугольник без круга?

Рисование грубого шестиугольника одним карандашом.Проведите горизонтальную линию. Чтобы нарисовать прямую линию без линейки, просто нарисуйте начальную и конечную точки горизонтальной линии. Затем поместите карандаш в начальную точку и следите за конечной точкой, пока проводите к ней прямую линию.

Когда круг помещается внутри многоугольника. Что вы можете сказать об их отношениях?

B. КРУГ ВПИСАН В ПОЛИГОН Когда круг помещается внутри многоугольника, мы говорим, что КРУГ ВПИСАН В ПОЛИГОН.

Какие углы у шестиугольника?

У шестиугольника шесть сторон, и мы можем использовать формулу градусы = (количество сторон — 2) * 180.Тогда градусы = (6-2) * 180 = 720 градусов. Каждый угол составляет 720/6 = 120 градусов.

Как выглядит шестиугольник?

Шестиугольник — это многоугольник с 6 прямыми сторонами. Его часто можно встретить в природе, потому что это особенно эффективная форма. У правильного шестиугольника стороны равны, а углы равны 120 градусам. Это означает, что углы правильного шестиугольника в сумме составляют 720 градусов.

В шестиугольник вписан круг?

Спрашивает: Кэтти Спинка

Окружность, вписанная в правильный шестиугольник, имеет 6 точек, соприкасающихся с шестью сторонами правильного шестиугольника. Чтобы найти площадь вписанного круга, нам нужно сначала найти радиус. Радиус правильного шестиугольника определяется по формуле: a (√3) / 2 .

Соответственно, как найти длину вписанного шестиугольника в круг?

Короткая сторона прямоугольного треугольника противоположна углу в центре круга.Итак, если мы знаем величину угла в центре, мы можем использовать функцию синуса, чтобы найти длину стороны шестиугольника, поскольку радиус является гипотенузой: Таким образом, s = 2x = 2 (r sin θ) .

Итак, что такое шестиугольник с кругом ?. Правильный шестиугольник определяется как шестиугольник, который одновременно является равносторонним и равносторонним . Он бицентрический, что означает, что он является как циклическим (имеет описанную окружность), так и касательным (имеет вписанную окружность). Общая длина сторон равна радиусу описанной окружности или описанной окружности, что равняется.

Кроме того, что такое вписанный шестиугольник?

(вписанный в круг) Правильный шестиугольник — это шестигранная фигура, в которой все углы совпадают, а все стороны равны . Дано: бумажка. Построение: правильный шестиугольник, вписанный в круг.

Как найти шестиугольник в круге?

Нарисуйте круг и с тем же радиусом начните делать отметки по нему. Начиная со случайной точки и затем делая следующую отметку, используя предыдущую в качестве опорной точки, нарисуйте круг с помощью циркуля.У вас получится 6 меток, и если вы соедините их прямыми линиями, у вас получится правильный шестиугольник.

Найдено 30 похожих вопросов

Как вписать правильный шестиугольник в круг?

Объяснение метода. Как видно из раздела «Определение шестиугольника», каждая сторона правильного шестиугольника равна расстоянию от центра до любой вершины. Эта конструкция просто устанавливает ширину компаса равной этому радиусу, а затем уменьшает эту длину по окружности, чтобы создать шесть вершин шестиугольника .

Как называется форма с 9 сторонами?

В геометрии — это девятиугольник (/ ˈnɒnəɡɒn /), или enneagon (/ ˈɛniəɡɒn /) — это многоугольник с девятью сторонами или 9-угольник. Название нонагон — это префиксная гибридная формация, от латинского (nonus, «девятый» + гонон), употребляемая эквивалентно, засвидетельствованная уже в 16 веке во французском nonogone и в английском языке с 17 века.

Как расположить шестиугольник?

Шаг 1: Нарисуйте две параллельные вертикальные линии и горизонтальную линию.Шаг 2: Нарисуйте вертикальную осевую линию и дополнительную горизонтальную линию. Шаг 3: Отметьте точки вдоль средней линии и соедините углы. Шаг 4: Вырежьте шестиугольный узор по линиям .

Как нарисовать циркулем идеальный шестиугольник?

Как нарисовать шестиугольник циркулем

Шаг 1. Нарисуйте круг. Сначала нарисуйте крест — две направляющие одинаковой длины, пересекающиеся под прямым углом (90 градусов)….
Шаг 2: Отметьте два верхних угла. …
Шаг 3: Повторите и отметьте два нижних угла. …
Шаг 4: Соедините отмеченные точки, чтобы нарисовать шестиугольник.

Что особенного в шестиугольнике?

Математически шестиугольник имеет 6 сторон — что делает эту конкретную форму такой интересной, так это то, что шестиугольная форма лучше всего заполняет плоскость единицами одинакового размера и не оставляет лишнего места.Шестиугольная упаковка также минимизирует периметр данной области из-за ее углов в 120 градусов.

Каков угол шестиугольника?

У шестиугольника шесть сторон, и мы можем использовать формулу градусы = (количество сторон — 2) * 180. Тогда градусы = (6-2) * 180 = 720 градусов. Каждый угол составляет 720/6 = 120 градусов .

Шестиугольник — самая прочная форма?

Шестиугольник — самая прочная форма из известных …. Это также одна из немногих форм, которые идеально сочетаются с мозаикой (подумайте о плитке, если вы выложите стену плиткой из шестиугольников, то не будет никаких промежутков.

Как определить длину стороны правильного шестиугольника?

Расчет длины стороны

Разделите полученное значение на квадратный корень из 3 , если данное значение является длиной линии, завершающей крайний левый или крайний правый равнобедренный треугольник в шестиугольнике.Частное — это длина стороны шестиугольника.

Как доказать шестиугольник?

Другая перспектива: в правильном шестиугольнике есть 6 треугольников, каждый из которых имеет сумму углов 180 градусов, поэтому сумма углов всех 6 треугольников равна 180 * 6, но он содержит центральный угол в 360 градусов, поэтому сумма внутренних углов шестиугольника составляет 180,6−360 = 720 . Так как все углы одинаковы, так каждый…

Как доказать, что форма является правильным шестиугольником?

Для любого многоугольника сумма внутренних углов равна S = (n-2) • 180 °, где n — количество сторон многоугольника. В шестиугольнике n = 6, поэтому сумма внутренних углов в шестиугольнике составляет (6-2) • 180 ° = 4 • 180 ° = 720 ° . А поскольку все внутренние углы правильного шестиугольника равны, каждый из них имеет размер 720 ° / 6 = 120 °.

Какие примеры шестиугольника?

Примеры шестиугольника

Соты.Один из наиболее распространенных и встречающихся в природе примеров шестиугольника — это соты. …
Гайка. Гайки — это механические инструменты, используемые в сочетании с болтами и шайбами для скрепления двух металлических деталей вместе. …
Снежинки. …
Узел для галстука. …
Основа для карандашей. …
Знаки остановки. …
Секций футбольного мяча. …
Медали и знаки отличия.

Все стороны шестиугольника равны?

Правильные шестиугольники:

Шестиугольники — это шестигранные фигуры, имеющие следующую форму: В правильном шестиугольнике все стороны равны одинаковой длине и все внутренние углы имеют одинаковую меру; следовательно, мы можем написать следующее выражение.

Как построить правильный шестиугольник?

Этапы построения Нарисуйте круг с центром A через точку B Постройте еще один круг с центром B через точку A Пересеките два круга, чтобы получить вершины C и D. Постройте новый круг с центром C через точку A. Пересеките новый круг с первым, чтобы получить вершину E.

Что такое 10-сторонняя форма?

В геометрии десятиугольник (от греч. Δέκα déka и γωνία gonía, «десять углов») — это десятиугольный многоугольник или 10-угольник.Общая сумма внутренних углов простого десятиугольника составляет 1440 °. Самопересекающийся правильный десятиугольник известен как декаграмма.

Что такое 7-сторонняя форма?

В геометрии — семиугольник. — это семигранный многоугольник или 7-угольник. Гептагон иногда называют септагоном, используя «септ-» (элизия septua-, числового префикса латинского происхождения, а не гепта-, числового префикса греческого происхождения; оба являются родственными) вместе с греческим суффиксом. «-агон» означает угол.

Шестиугольник вписан в круг

Разместите свои комментарии?

Как построить правильный шестиугольник, вписанный в круг

7 часов назад Как построить (нарисовать) правильный шестиугольник , вписанный в круг с помощью циркуля и линейки или линейки. Это самый большой шестиугольник , который уместится в круг , при этом каждая вершина касается круга . В правильном шестиугольнике длина стороны равна расстоянию от центра до вершины, поэтому мы используем этот факт, чтобы установить компас на правильную длину стороны, а затем шагаем по кругу с разметкой

Веб-сайт: Mathopenref.com

4 часа назад Если вы нарисуете шестиугольник , вписанный в круг , и проведете радиусы к углам шестиугольника , вы создадите равнобедренные треугольники, шесть из них. В любом равнобедренном треугольнике биссектриса общей вершины является серединным перпендикуляром противоположной стороны. Итак, я могу нарисовать эти…

6 часов назад Если радиус вписанной окружности равен r, то длина окружности равна c = 2 π r, а сторона шестиугольника равна s = 2 3 r, поэтому. s = 1 3 π c. а при c = 96 вы получите s ≈ 17,643, а r ≈ 15,279. s также является радиусом описывающей окружности .Шестигранник имеет окружность 6 с ≈ 105,86.

9 часов назад На самом деле — каждый прямоугольник может быть вписан в (уникальный круг ), поэтому ключевым моментом является то, что радиус круга равен R (я думаю). Одно из свойств прямоугольника состоит в том, что диагонали делятся пополам в «центре» прямоугольника, который также будет центром описывающего круга круга .

1 час назад Ответ (1 из 8): Шестиугольник вписан в круг радиусом 1 см. Центральный угол шестиугольника = 60 °, образующий равнобедренный треугольник из 2 равных длин 1 см => площадь равнобедренного треугольника = (1/2) (1) (1) sin 60 °. Площадь шестиугольника = 6 (1/2) (1) (1) sin 60 ° = 3 (sqrt3 / 2) = 2.2.

5 часов назад Шестиугольник вписан в окружность радиусом 1 см. Центральный угол шестиугольника = 60 °, образующий равнобедренный треугольник из 2 равных длин 1 см => площадь равнобедренного треугольника = (1/2) (1) (1) sin 60 °. Площадь шестиугольника = 6 (1/2) (1) (1) sin 60 ° = 3 (sqrt3 / 2) = 2.2. Заштрихованы четыре равносторонних треугольника правильного шестиугольника . Впоследствии возникает вопрос, как сделать

7 часов назад В правильном шестиугольнике вписан в окружность, его сторона равна радиусу. Мы можем разделить шестиугольник на 6 треугольников с основанием 4 каждый.Высота будет равна 4 2 — 2 2 = 12 = 2 3. Чтобы получить это, просто используйте Пифагор, гипотенузу каждого треугольника это радиус, а основания это 4 2 = 2.

3 часа назад Inradius: радиус круга , вписанного в правильный шестиугольник , равен половине его высоты, которая также является апофемой: r = √3 / 2 * a .Как нарисовать шестиугольник . Теперь мы собираемся исследовать более практичный и менее математический мир: как нарисовать шестиугольник . Для случайного (неправильного) шестиугольника ответ прост: нарисуйте любую шестигранную фигуру

2 часа назад четырехугольники вписаны в круг .В этой статье мы выводим формулы, дающие площади пятиугольника или шестиугольника , вписанного в круг , в терминах длины их сторон. Хотя формулы пятиугольника и шестиугольника сложны, мы показываем, что каждая из них может быть

тегуляра имеет длину двенадцать единиц. круг нарисован, описывающий шестиугольник , и еще один , вписанный в шестиугольник . Вычислить площадь области между двумя кругами, Часть 111: 10 минут NYCIML CONTEST ONE P88J5. Найти все упорядоченные тройки (a, b, e) действительных чисел такие, что a + b 7, b + c ’88J6.

7 часов назад Посадка в вершинах многоугольника вписанный внутри круга — лучшее использование этой области.[3] 2021/04/18 01:50 Возраст 60 лет и старше / Пенсионер / Очень / Цель использования Нужен простой калькулятор, а не доказательства математических формул. Комментарий / запрос

3 часа назад построить правильный шестиугольник , вписанный внутри круг , так что сначала я собираюсь нарисовать диаметр круга на самом деле я собираюсь выйти за пределы диаметра круга Я просто нарисую линию, которая идет через центр круга и просто продолжаю идти, и я собираюсь сделать его плоским, чтобы он проходил напрямую, так что этот прямо здесь проходит прямо через

Только что ответил 2 года назад · Автор 6K ответов и 5,7 M просмотров ответов. Сторона правильного шестиугольника — вписана в окружность радиуса «r» = r. Таким образом, если радиус круга равен -10 см, сторона шестиугольника также будет = 10 см.Итак, периметр шестигранника = 6р = 6 х 10 = 60 — см. 200 просмотров.

5 часов назад Правильный шестиугольник — это многоугольник, все стороны которого равны, и он состоит из шести равносторонних треугольников. Теперь, если правильный шестиугольник — это , вписанный в круг , то его сторона равна радиусу окружности .Следовательно, периметр правильного шестигранника = 6 р.

5 часов назад Шестиугольник вписанный В A Круг . Попытайтесь получить шестиугольник , вписанный в круг , используя следующие инструменты — правильный шестиугольник — биссектрисы — серединный перпендикуляр — пересечение — окружность со сквозной точкой.

7 часов назад Для обычного шестиугольника , вписанного в окружность , каждая сторона имеет угол 60 градусов в центре окружности . Делаем радиус двумя другими сторонами равностороннего треугольника, образованного стороной правильного шестиугольника . Следовательно, длина стороны = длине радиуса. Итак, OA: C.

3 часа назад Круг — это , вписанный в правильный шестиугольник таким образом, что круг касается всех сторон шестиугольника ровно в одной точке с каждой стороны. Другой круг проведен для соединения всех вершин шестиугольника . Выражается в виде дроби, каково отношение площади меньшего круга к площади большего круга …

5 часов назад 3 ) площадь внутреннего шестигранника / площадь внешнего шестигранника составит (3 * 1² * √3 / 2) / (3 * (√3) ² * √3 / 2) или 3/9 или 1/3.В стороне: в «Истории математиков» Маркуса дю Сотуа тысячелетняя клинопись с равносторонним шестиугольником , вписанным в круг , была показана как их обоснование для 360 градусов в круге .

4 часа назад 11 »Построение Шестигранник вписан в круг ; 12 »Конструкция: вписанная окружность треугольника; 13 »Построение прямой через точку, параллельную заданной прямой; 14 »Построение пятиугольника ( начертано в круге ) 15» Построение перпендикуляра к отрезку прямой на…

8 часов назад Для правильного шестиугольника с длиной стороны a задача состоит в том, чтобы найти площадь круга , вписанного в него , учитывая, что круг касается каждой из шести сторон. Примеры: Вход: a = 4 Выход: 37,68 Вход: a = 10 Выход: 235,5. Вниманию читателя! Не прекращайте учиться сейчас.Получите все важные концепции DSA с DSA Self Paced

вписан прямоугольник , так что он касается шестиугольника в серединах его сторон. Окружность , центр которой совпадает с центром внешней окружности , представляет собой , вписанный в прямоугольник , а равносторонний треугольник вписан в меньшую окружность .

4 часа назад Если вы нарисуете шестиугольник , вписанный в круг , и проведете радиусы к углам шестиугольника , вы получите шесть равнобедренных треугольников.Длина стороны шестиугольника равна двум коротким сторонам прямоугольного треугольника. Короткая сторона прямоугольного треугольника противоположна углу окружности …

8 часов назад Окружность , вписанная в правильный шестиугольник , имеет 6 точек, соприкасающихся с шестью сторонами правильного шестиугольника .Чтобы найти площадь вписанной окружности , нам нужно сначала найти радиус. Для правильного шестиугольника радиус определяется по формуле a (√3) / 2. Теперь площадь круга вписанного равна 3πa * a / 4.

8 часов назад, где \ (a = \) сторона шестигранника . Многоугольник Вписанный в круг . Циклический многоугольник — это , вписанный в окружность , а окружность — это описанная им окружность или описанная окружность.Радиус вписанной окружности или сферы , если таковая существует, является внутренним радиусом или радиусом заполнения конкретной внешней фигуры. Вписанный …

3 часа назад Правильный шестиугольник — это , вписанный в окружность радиуса r.\ circ $. И вы видите, что образовались шесть треугольников. Две стороны каждого треугольника равны радиусу окружности и, следовательно, равны.

5 часов назад Шестиугольник называется с надписью , потому что он помещается внутри круга , и каждая вершина шестиугольника находится на окружности .Точно так же мы могли бы использовать ту же конструкцию, чтобы сделать вписанный треугольник . Если мы соединим все остальные точки вокруг центра круга , получится равносторонний треугольник.

7 часов назад Обычный шестиугольник имеет шесть эквивалентных треугольников, причем каждый треугольник имеет одну сторону от стороны шестиугольника .если диаметр окружности , в которой шестиугольник является вписанным , равен d, то его радиус будет таким, что этот радиус также является одной из сторон эквивалентного треугольника, одна сторона которого также является стороной шестиугольника . длина одной стороны

3 часа назад Правильный шестиугольник — это вписанный в круг радиуса r.Итак, он находится внутри круга . Соединяя противоположные стороны шестиугольника , он образует 6 центральных углов в центре O, каждый из которых = 360/60 = 6 °. И образуются шесть треугольников. Две стороны каждого треугольника равны радиусу окружности и, следовательно, равны.,

4 часа назад. Рассмотрим правильный шестиугольник , вписанный в окружность C с радиусом r.У правильных шестиугольников шесть равных сторон и шесть равных углов. На рисунке угол CAB составляет 60 °. 1. Что такое m∠ACB? 2. Какова длина отрезка AB? 3. Каков периметр шестигранника ? 4. Периметр шестигранника равен ___ окружности окружности . 5.

и десятиугольника , вписанного в один круг , сложить вместе, тогда вся прямая линия будет разрезана в крайнем и среднем соотношении, и ее больший сегмент будет стороной Шестигранник .Пусть ABC будет кругом , а из фигур вписанных в круг ABC пусть BC будет стороной десятиугольника, а CD

8 часов назад A. Соедините каждую дугу по окружности . B. Постройте окружность любого произвольного радиуса.C. Установите ширину компаса больше половины. помощь шестигранник геометрия. Правильный шестиугольник — это , вписанный в круг , а другой правильный шестиугольник описан примерно в той же окружности .

5 часов назад Обычный Шестигранник — это , вписанный в окружность радиуса r.Итак, он находится внутри круга . Соединяя противоположные стороны шестиугольника , он образует шесть (6) центральных углов в центре O, каждый из которых = 360∘6 = 60∘.

7 часов назад Если шестиугольник — это , вписанный в круг , радиус совпадает со стороной одного из 6 равносторонних треугольников, и вы получаете 6 равносторонних треугольников с длиной стороны 9.2 * sqrt (3), где a = длина стороны.

8 часов назад В проективной геометрии теорема Паскаля (также известная как теорема hexagrammum mysticum) утверждает, что если шесть произвольных точек выбираются на конике (которая может быть эллипсом, параболой или гиперболой в соответствующей аффинной плоскости) и соединяются отрезками прямых в любом порядке, чтобы образовать шестиугольник , затем три пары противоположных сторон шестиугольника (расширенный при необходимости) встретитесь в трех точках, которые лежат

5 часов назад Правильный шестиугольник — это , вписанный в круг , а другой правильный шестиугольник описан примерно в той же окружности . Каково отношение площади большего шестиугольника к площади меньшего шестиугольника ? Выразите свой ответ как обычно.Твердое измерение. Площадь правильного шестиугольника , вписанного в круг , равна 166,28 кв. См.

5 часов назад Надпись и обводка Когда многоугольник вписан в круг , это означает, что каждая из вершин этого многоугольника пересекает круг .Когда многоугольник описан вокруг окружности , это означает, что каждая из сторон многоугольника касается окружности . Что такое шестигранная форма? шестиугольник

Окружность, вписанная в правильный шестиугольник, имеет 6 точек, соприкасающихся с шестью сторонами правильного шестиугольника. Чтобы найти площадь вписанного круга, нам нужно сначала найти радиус.Радиус правильного шестиугольника определяется по формуле a (√3) / 2….

В геометрии длина окружности (от латинского слова «окружности», что означает «переносимость») круга — это (линейное) расстояние вокруг него.То есть окружность будет длиной круга. Площадь круга равна пи (приблизительно 3,14), умноженному на радиус круга в квадрате.

Окружность — это длина, а площадь — это площадь. Если вы перейдете к более высоким значениям окружности, например, скажем «10», у нас будет 100/12 или около 8, так что площадь теперь почти равна длине окружности. Если вы перейдете к «20», тогда у вас будет 400/12 или около 33, так что площадь теперь «больше», чем окружность.

Окружность — это частный случай периметра. Оба описывают общую длину границы двухмерной фигуры, но окружность конкретно относится к периметру изогнутой фигуры или дуги.Поэтому он применяется только к окружностям, овалам, эллипсам, дугам и т. Д.

Проанализированы существующие технологии переработки железорудных отходов. Для Кеморовского района имеет смысл использовать технологию переработки продукции, соответствующей местным требованиям. Эффективные технологии можно комбинировать для удовлетворения полного набора требований. Рассмотрена формулировка вариантов переработки отходов. Разработаны различные предложения по поэтапной переработке железорудных отходов с извлечением полезных компонентов химическими методами, восстановлению нарушенного ландшафта и созданию рекреационных зон на мелиорированных землях.Разработаны рекомендации по круглогодичной переработке железорудных отходов химическими методами, даже в зимний период. Представлены карты переработки рудных хвостов с поэтапным восстановлением мелиорированных земель. Количество выбранных этапов будет зависеть от требуемых инвестиций и годовой производительности системы переработки отходов с возможностью одновременного восстановления нескольких участков. После полного вывоза железорудных отходов из хвостохранилищ начинается подготовка к обустройству зон отдыха: запрашиваются предложения по проектированию зон отдыха, демонтажу и продаже оборудования, зданий и других сооружений, восстановлению почвопокровное покрытие, укладка дерна и посадка деревьев и кустарников.Восстановление территории может идти параллельно с переработкой мусора. Зоны отдыха вводятся в эксплуатацию после ликвидации мусора. Программа Scilab используется для математического моделирования предложений по переработке отходов для Кемеровской области с оценкой ее эффективности по следующим параметрам: экономическая выгода; восстановление поврежденных земель; бремя загрязняющих веществ; население пострадавших регионов со стандартными социально-экономическими показателями; и профилактика нарушений общественного здоровья.Графически оптимальные по Парето решения выбираются из различных предложений. На основе ранжирования по уровню безопасности населения и окружающей среды (низкая, средняя, высокая) в Кемеровской области отбираются лучшие Парето-оптимальные решения.

В Rise of Kingdoms Лицей Мудрости — это место, куда вы можете прийти и ответить на множество викторин, касающихся самой игры и мировой истории в целом, и заработать много ценных наград.Здесь вы можете найти полный список всех вопросов, используемых для предварительных, промежуточных и заключительных экзаменов.

Иногда вы можете заработать действительно огромные награды в Лицей мудрости — Peerless Scholar
All Lyceum of Wisdom — Peerless Scholar Вопросы и ответы
Лучшие участники : Peerke, Jonathan, coolwind, SkyBelow, LilithFaerie, etherealism, WorldzApart, John John, Harun Arslan, Ahmad, Kenneth Gososo, Wilson Angga и другие губернаторы в разделе комментариев!
Поскольку Rise of Kingdoms продолжает добавлять новые вопросы, если есть какие-либо вопросы / ответы о миссии, прокомментируйте их ниже и поделитесь ими со всеми! Спасибо!
Введите свой адрес электронной почты в форму ниже, и мы как можно скорее отправим вам сообщение, когда в список будет добавлен новый вопрос (спам не гарантирован).
Лицей Мудрости Введение
Резюме
Постарайтесь ответить на вопросы, получив квалификацию для следующих этапов.
Первый этап, предварительный, не имеет таймера ограничения, поэтому вы можете легко найти ответы с помощью Google.
Игроки могут попросить помощи у членов Альянса для выбора правильных ответов.
Правильно ответьте на 6 или более вопросов в любом предварительном сеансе за эту неделю, чтобы получить право на участие в промежуточном экзамене.
Управляющим необходимо сдать только один промежуточный экзамен в месяц, чтобы пройти финальный экзамен.
Никто не знал, когда это началось. Каждый день здесь преподавали ученые, привлекая толпы, жаждущие знаний. Это место, позднее известное как «Лицей мудрости», стало важным центром информации и позволило людям общаться и продвигаться вместе.
Королевство решило ежемесячно проводить в Лицей Мудрости конкурс, участники которого должны отвечать на вопросы и проверять свои знания.Это мероприятие известно как «Бесподобный ученый» и состоит из трех этапов — предварительного экзамена, промежуточного экзамена и заключительного экзамена.
Посредством этого конкурса губернаторы могут узнать все виды знаний об окружающем мире и заработать огромное количество наград, участвуя в нем.
Предварительный этап
Время начала
Во время мероприятия с понедельника по пятницу с 0:00 до 23:00 по всемирному координированному времени управляющие могут начать отвечать на предварительные вопросы самостоятельно.
С 23:00 до 0:00 (следующего дня) экзамены будут ремонтироваться. Губернаторы не смогут начать сессию предварительного экзамена в это время, но они могут закончить отвечать на вопросы, которые они уже начали до 23:00.
Требования к участию : Ваша мэрия должна достичь 10-го уровня и построить лицей мудрости.
Как играть
Каждый управляющий может участвовать в одном предварительном этапе в день, который состоит из 10 вопросов и не ограничен по времени на эти вопросы.
Неправильный ответ на вопрос повлияет только на текущие вопросы и общие награды, управляющие могут продолжать отвечать на следующие вопросы.
Вы можете задать вопрос в чате альянса и попросить своих товарищей по альянсу помочь. Во время сеанса предварительного экзамена у вас есть три возможности попросить о помощи.
Награды
Губернаторов, закончивших отвечать на вопросы, получат награды в зависимости от общего количества вопросов, на которые они ответили правильно.Правильно ответив на 6 вопросов в общей сложности, вы получите право на участие в промежуточном экзамене на этой неделе, а правильные ответы на 9 вопросов в сумме принесут 1 жетон промежуточной жизни. Вы можете заработать максимум 3 жетона среднесрочной жизни в неделю.
Промежуточный этап
Время начала
Во время мероприятия пройдут две промежуточные сессии по субботам в 02:30 и в 12:30. Губернаторы могут участвовать только в одном заседании. Если они уже начали отвечать на вопросы во время сеанса, они не могут снова участвовать в другом временном интервале.
Требования к участию
Правильно ответьте на 6 или более вопросов в любом предварительном сеансе на этой неделе, чтобы получить право на участие в промежуточном экзамене.
Управляющие могут войти и подождать у автоответчика за 5 минут до начала среднесрочного экзамена, пожалуйста, приходите вовремя. Если ответ уже начался, управляющие больше не могут войти в панель.
Как играть
Промежуточный семестр состоит из 15 вопросов с несколькими вариантами ответов, которые заданы таймером.Губернаторы должны завершить набор ответов в срок. Выбор неправильного ответа или несвоевременный выбор ответа будут рассматриваться как неправильный ответ. После того, как ответ выбран, его нельзя изменить.
Вопросы 1–5 заданы по 15-секундному таймеру, вопросы 6–10 — по 12-секундному таймеру, а вопросы 11-15 — по 10-секундному таймеру.
Когда у губернатора больше нет жетона жизни для использования, неправильный ответ будет рассматриваться как дисквалификация.После дисквалификации они получат свои общие награды и не смогут получить долю из пула драгоценных камней.
На предварительном экзамене губернаторы могут заработать жетоны жизни, которые можно использовать в течение этой недели. Губернаторы могут зарабатывать не более 1 за предварительную подготовку и могут зарабатывать не более 3 в неделю.
При ответе на вопросы неправильный ответ автоматически израсходует Жетон Жизни. Когда это произойдет, будет считаться, что на этот вопрос дан правильный ответ, и управляющие переходят к следующему вопросу.
жетонов среднесрочной жизни можно использовать только в среднесрочной перспективе.
Награды
Губернаторы, правильно ответившие в общей сложности на 5, 10 или 15 вопросов, получат награды. За 10-й или 15-й правильный ответ будет награда альянса.
губернаторов, правильно ответивших в общей сложности на 15 вопросов (с использованием жетона жизни, все еще учитывается), будут иметь право на соответствующую часть огромного пула драгоценных камней и пройдут квалификацию на финальный экзамен на звание «бесподобный ученый» в этом месяце.
Заключительный этап экзамена
Время начала
Во время мероприятия Заключительный экзамен будет проводиться в последнюю субботу каждого месяца в 14:30 UTC.
Требования к участию
Управляющим достаточно сдать только один промежуточный экзамен в месяц, чтобы пройти финальный экзамен.
Управляющие могут войти и подождать у автоответчика за 5 минут до начала заключительного экзамена, пожалуйста, приходите вовремя.Если ответ уже начался, управляющие больше не могут войти в панель.
Как играть
Заключительный экзамен состоит из 20 вопросов с несколькими вариантами ответов, которые заданы таймером. Губернаторы должны завершить набор ответов в срок. Выбор неправильного ответа или несвоевременный выбор ответа будут рассматриваться как неправильный ответ. После того, как ответ выбран, его нельзя изменить.
Вопросы 1–5 заданы по 15-секундному таймеру, вопросы 6–10 — по 12-секундному таймеру, а вопросы 11–20 — по 10-секундному таймеру.
Когда у губернатора больше нет жетона жизни для использования, неправильный ответ будет рассматриваться как дисквалификация. После дисквалификации они получат свои общие награды и не смогут получить долю из пула драгоценных камней.
Когда управляющие имеют право на участие в Заключительном экзамене, они напрямую получат 3 жетона жизни для заключительного экзамена.
При ответе на вопросы неправильный ответ автоматически израсходует Жетон Жизни. Когда это произойдет, будет считаться, что на этот вопрос дан правильный ответ, и вы перейдете к следующему вопросу.
Награды
Губернаторы, правильно ответившие в общей сложности на 5, 10, 15 или 20 вопросов, получат награды.

Гексагон

Свойства правильного шестиугольника

онлайн калькулятор, формулы, примеры решений. Примеры из реальной жизни. Определение и построение

Определение и построение

Свойства простые и интересные

Описанная окружность и возможность построения

Вписанная окружность

Периметр и площадь

Занимательные построения

От теории к практике

Примеры из реальной жизни

Чем он отличается от неправильного?

Какие свойства требуется знать при решении задач?

Введенные обозначения

Формулы, которые описывают фигуру

Задачи

Выпуклый шестиугольник

Гексаграмма

Шестиугольные числа

Шестиугольник в реальности

Упаковка кругов на плоскости

Примеры из реальной жизни

Гигантский гексагон

Гексагональные шахматы

Заключение

Радиусы вписанной и описанной окружностей. Радиус вписанной окружности в ромб

Просмотр содержимого презентации

1 способ. Радиуса вписанной окружности в ромб через высоту

2 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через диагонали

3 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через отрезки m и n

В треугольнике

В четырёхугольнике

В ромбе

Касательная к окружности

Вписанная окружность

Описанная окружность

Теорема Птолемея

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

1. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

2. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

3. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

4. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

5. Задача №1: На рисунке изображен правильный шестиугольник, вписанный в окружность радиуса R. Пусть — сторона правильного

Построение шестигранника по вписанной окружности. Правильный шестиугольник и его свойства. От теории к практике

Шаги

1 Рисуем идеальный шестиугольник при помощи циркуля

2 Рисуем грубый шестиугольник при помощи круглого предмета и линейки

3 Рисуем грубый шестиугольник при помощи одного карандаша

Предупреждения

Принцип работы

Что вам понадобится

Метод 1 из 3: Рисуем идеальный шестиугольник при помощи циркуля

Именно на умении строить биссектрисы углов и серединные перпендикуляры отрезков и основывается методика построения правильных многоугольников

Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые

Определение и построение

Свойства простые и интересные

Описанная окружность и возможность построения

Вписанная окружность

Периметр и площадь

Занимательные построения

От теории к практике

Радиус вписанной окружности | Треугольники

Урок геометрии по теме «Правильные многоугольники. Решение задач». 9-й класс

Как нарисовать шестиугольник, вписанный в круг? — Реабилитацияrobotics.net

Как нарисовать шестиугольник, вписанный в круг?

Что используется для начертания шестиугольника внутри круга?

На какую длину следует установить циркуль, чтобы вписать правильный шестиугольник в круг?

Как составить круговой шестиугольник с помощью циркуля?

Как сделать шестиугольник без круга?

Когда круг помещается внутри многоугольника. Что вы можете сказать об их отношениях?

Какие углы у шестиугольника?

Как выглядит шестиугольник?

В шестиугольник вписан круг?

Как вписать правильный шестиугольник в круг?

Как называется форма с 9 сторонами?

Как расположить шестиугольник?

Как нарисовать циркулем идеальный шестиугольник?

Что особенного в шестиугольнике?

Каков угол шестиугольника?