Вписанный восьмиугольник в окружность формулы: Восьмиугольник вписанный в окружность формулы

Восьмиугольник, виды, свойства и формулы

Восьмиугольник, виды, свойства и формулы.

 

 

Восьмиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно восьми.

 

Восьмиугольник, выпуклый и невыпуклый восьмиугольник

Правильный восьмиугольник (понятие и определение)

Свойства правильного восьмиугольника

Формулы правильного восьмиугольника

Правильный восьмиугольник в природе, технике и культуре

Шестиугольник

 

Восьмиугольник, выпуклый и невыпуклый восьмиугольник:

Восьмиугольник – это многоугольник с восемью углами.

Восьмиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно восьми.

Восьмиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 1. Выпуклый восьмиугольник

Рис. 2. Невыпуклый восьмиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого восьмиугольника равна 1080°.

 

Правильный восьмиугольник (понятие и определение):

Правильный восьмиугольник (октагон) – это правильный многоугольник с восемью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 135°.

Рис. 3. Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник имеет 8 сторон, 8 углов и 8 вершин.

Углы правильного восьмиугольника образуют восемь равнобедренных треугольников.

Правильный восьмиугольник

можно построить с помощью циркуля и линейки: проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.

 

Свойства правильного восьмиугольника:

1. Все стороны правильного восьмиугольника равны между собой.

a₁ = a₂ = a₃ = a₄= a₅ = a₆ = a₇ = a₈. 

2. Все углы равны между собой и составляют 135°.

α₁ = α₂ = α₃ = α₄ = α₅ = α₆ = α₇ = α₈ = 135°.

Рис. 4. Правильный восьмиугольник

3. Сумма внутренних углов любого правильного восьмиугольника равна 1035°.

4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного восьмиугольника O.

Рис. 5. Правильный восьмиугольник

5. Количество диагоналей правильного восьмиугольника равно 20.

Рис. 6. Правильный восьмиугольник

6. Центр вписанной окружности O₁ совпадает с центром описанной окружности O₂, что и образуют центр многоугольника O.

Рис. 7. Правильный восьмиугольник

 

Формулы правильного восьмиугольника:

Пусть a – сторона восьмиугольника, r – радиус окружности, вписанной в восьмиугольник, R – радиус описанной окружности восьмиугольника, k – константа восьмиугольника, P – периметр восьмиугольника, S – площадь восьмиугольника.

Формула константы правильного восьмиугольника:

Формула периметра правильного восьмиугольника:

Формулы площади правильного восьмиугольника:

Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный восьмиугольник:

Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного восьмиугольника:

Формулы стороны правильного восьмиугольника:

 

Правильный восьмиугольник в природе, технике и культуре:

В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного правильного восьмиугольника.

Форма правильного восьмиугольника часто используются в изобразительном искусстве, архитектуре. Например, Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба, Эфиопия), Купол Скалы (Иерусалим, Израиль), башня Ветров (Афины, Греция), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий (Флоренция, Италия), Ахенский собор (Ахен, Германия), Капелла Карла Великого (Ахен, Германия).

 

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Шестиугольник

 

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

 

карта сайта

 

Коэффициент востребованности 3 568

Как найти периметр восьмиугольника

Периметром восьмиугольника, как и любой другой плоской геометрической фигуры, называют сумму длин его сторон. Решать задачу определения этого параметра многоугольника иногда приходится только с использованием математических формул, а иногда — измерять их какими-либо подручными средствами. В любом случае способов решения задачи существует несколько и каждый из них будет оптимален применительно к определенному набору исходных условий.

Если вычислить периметр (P)надо в теории, а в исходных условиях даны длины всех сторон этой фигуры (a, b, c, d, e, f, g, h), то сложите эти величины: P = a+b+c+d+e+f+g+h. Знать длины всех сторон необходимо только в случае неправильного многоугольника, а если из условий задачи известно, что фигура является правильной, то будет достаточно длины одной стороны — просто увеличьте ее в восемь раз: P = 8*a.

Если в исходных данных ничего не говорится о длине стороны правильного восьмиугольника, но приведен радиус описанной около этой фигуры окружности (R), то перед применением формулы из предыдущего шага придется вычислить недостающую переменную. Каждую из сторон в таком восьмиугольнике можно считать основанием равнобедренного треугольника, боковыми сторонами которого являются радиусы описанной окружности. Поскольку всего таких одинаковых треугольников будет восемь, то величина угла между радиусами каждого из них составит одну восьмую часть от полного оборота: 360°/8 = 45°. Зная длины двух сторон треугольника и величину угла между ними, определите величину основания — косинус половины угла умножьте на удвоенную длину боковой стороны: 2*R*cos(22,5°) ≈ 2*R* 0,924 ≈ R* 1,848. Полученное значение подставьте в формулу из первого шага: P ≈ 8*R*1,848 ≈ R*14,782.

Если в условиях задачи дан лишь радиус (r) вписанной в правильный восьмиугольник окружности, то надо произвести вычисления, аналогичные описанным выше. В этом случае радиус можно представить в качестве одного из катетов прямоугольного треугольника, другим катетом которого будет половина от нужной вам стороны восьмиугольника. Острый угол, примыкающий к радиусу, будет в два раза меньшее вычисленного в предыдущем шаге: 360°/16 = 22,5°. Длину нужного катета вычислите умножением тангенса этого угла на другой катет (радиус), а для определения величины стороны восьмиугольника полученное значение удвойте: 2*r*tg(22,5°) ≈ 2*r*0,414 ≈ r*0,828. Подставьте это выражение в формулу из первого шага: P ≈ 8*r*0,828 ≈ r*6,627.

Если вычислять радиус требуется методом практических измерений, то, в зависимости от размера фигуры, воспользуйтесь, например, линейкой, курвиметром («роликовым дальномером») или шагомером. Полученные значения длин сторон подставьте в одну из двух формул, приведенных в одном из шагов.

Как разделить круг на равные части формула. Деление окружности на равные части

Деление окружности на четыре равные части и построение правильного вписанного четырехугольника (рис.6).

Две взаимно перпендикулярные центровые линии делят окружность на четыре равные части. Соединив точки пересечения этих линий с окружностью прямыми, получают правильный вписанный четырехугольник.

Деление окружности на восемь равных частей и построение правильного вписанного восьмиугольника (рис.7).

Деление окружности на восемь равных частей производится с помощью циркуля следующим образом.

Из точек 1 и 3 (точки пересечения центровых линий с окружностью) произвольным радиусом R проводят дуги до взаимного пересечения, тем же радиусом из точки 5 делают засечку на дуге проведенной из точки 3.

Через точки пересечения засечек и центр окружности проводят прямые линии до пересечения с окружностью в точках 2, 4, 6, 8.

Если полученные восемь точек соединить последовательно прямыми линиями, то получится правильный вписанный восьмиугольник.

Деление окружности на три равные части и построение правильного вписанного треугольника (рис.8).

Вариант 1.

При делении окружности циркулем на три равные части из любой точки окружности, например точки А пересечения центровых линий с окружностью, проводят дугу радиусом R, равным радиусу окружности, получают точки 2 и 3. Третья точка деления (точка 1) будет находится на противоположном конце диаметра, проходящего через точку А. последовательно соединив точки 1, 2 и 3, получают правильный вписанный треугольник.

Вариант 2.

При построении правильного вписанного треугольника, если задана одна из его вершин, например точка 1, находят точку А. Для этого, через заданную точку проводят диаметр (рис.8). Точка А будет находится на противоположном конце этого диаметра. Затем проводят дугу радиусом R, равным радиусу данной окружности, получают точки 2 и 3.

Деление окружности на шесть равных частей и построение правильного вписанного шестиугольника (рис.9).

При делении окружности на шесть равных частей с помощью циркуля из двух концов одного диаметра радиусом, равным радиусу данной окружности, проводят дуги до пересечения с окружностью в точках 2, 6 и 3, 5. Последовательно соединив полученные точки, получают правильный вписанный шестиугольник.

Деление окружности на двенадцать равных частей и построение правильного вписанного двенадцатиугольника (рис.10).

При делении окружности циркулем из четырех концов двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности проводят радиусом, равным радиусу данной окружности, дуги до пересечения с окружностью (рис.10). Соединив последовательно полученные точки пересечения получают правильный вписанный двенадцатиугольник.

Деление окружности на пять равных частей и построение правильного вписанного пятиугольника (рис.11).

При делении окружности циркулем половину любого диаметра (радиуса) делят пополам, получают точку А. Из точки А, как из центра, проводят дугу радиусом, равным расстоянию от точки А до точки 1, до пересечения со второй половиной этого диаметра в точке В. Отрезок 1В равен хорде стягивающей дугу, длина которой равна 1/5 длины окружности. Делая засечки на окружности радиусом R1, равным отрезку 1В, делят окружность на пять равных частей. Начальную точку А выбирают в зависимости от расположения пятиугольника.

Из точки 1 строят точки 2 и 5, затем из точки 2 строят точку 3, а из точки 5 строят точку 4. Расстояние от точки 3 до точки 4 проверяют циркулем; если расстояние между точками 3 и 4 равно отрезку 1В, то построения были выполнены точно.

Нельзя выполнять засечки последовательно, в одну сторону, так как происходит накопление погрешностей измерения и последняя сторона пятиугольника получается перекошенной. Последовательно соединив найденные точки, получают правильный вписанный пятиугольник.

Деление окружности на десять равных частей и построение правильного вписанного десятиугольника (рис.12).

Деление окружности на десять равных частей выполняют аналогично делению окружности на пять равных частей (рис. 11), но сначала делят окружность на пять равных частей, начиная построения из точки 1, а затем из точки 6, находящейся на противоположном конце диаметра. Соединив последовательно все точки, получают правильный вписанный десятиугольник.

Деление окружности на семь равных частей и построение правильного вписанного семиугольника (рис.13).

Из любой точки окружности, например точки А, радиусом заданной окружности проводят дугу до пересечения с окружностью в точках B и D прямой.

Половина полученного отрезка (в данном случае отрезок ВС) будет равен хорде, которая стягивает дугу, составляющую 1/7 длины окружности. Радиусом, равным отрезку ВС, делают засечки на окружности в последовательности, показанной при построении правильного пятиугольника. Соединив последовательно все точки, получают правильный вписанный семиугольник.

Деление окружности на четырнадцать равных частей и построение правильного вписанного четырнадцатиугольника (рис.14).

Деление окружности на четырнадцать равных частей выполняют аналогично делению окружности на семь равных частей (рис.13), но сначала делят окружность на семь равных частей, начиная построения из точки 1, а затем из точки 8, находящейся на противоположном конце диаметра. Соединив последовательно все точки, получают правильный вписанный четырнадцатиугольник.

1. К РАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Деление окружности на равные части

Некоторые детали имеют элементы, равномерно распределенные по окружности. При выполнении чертежей деталей, имеющих подобные элементы, необходимо уметь делить окружность на равные части. Приемы деления окружности на равные части приведены на рис. 1

Рис. 1. Деление окружности на равные части

С достаточной точностью можно делить окружность, на любое число равных частей пользуясь таблицей коэффициентов для подсчета длины ходы.

По количеству равных отрезков на окружности (таблица 1) находим соответствующий коэффициент. При перемножении полученного коэффициента на диаметр окружности, получаем длину хорды, которую циркулем откладываем на окружности.

Таблица 1 — Коэффициент для определения длинны хорды

Количество частей окружности	Коэффициент

Выполнение сопряжения между двумя линиями

При вычерчивании контуров технических деталей и в других технических построениях часто приходится выполнять сопряжения (плавные переходы) от одних линий к другим. Сопряжение двух сторон угла дугой заданного радиусу дуги R выполняют в следующей последовательности:

— параллельно сторонам угла на расстоянии, равном R, проводят две вспомогательные прямые линии;

— точка пересечения этих прямых будет центром сопряжения;

— из центра сопряжения выполняют перпендикуляры на заданные прямые;

— точки пересечения перпендикуляров с заданными прямыми называют точками сопряжения;

— из центра сопряжения строят дугу радиусом R, соединяя точки сопряжения.

На рис. 2 приведены примеры построения сопряжений, когда задан радиус дуги сопряжения. В этом случае необходимо определить центр сопряжения и точки сопряжения. Обводку контура детали производят с помощью циркуля.

Рис. 2. Приемы построения сопряжений

В технике часто приходится вычерчивать кривые линии, составленные из большого количества малых дуг окружностей с постепенным изменением радиуса их кривизны. Такие линии невозможно провести циркулем. Эти кривые вычерчивают с помощью лекал и называют лекальными. Необходимо изучить закономерность образования лекальной кривой и нанести на чертёж ряд принадлежащих ей точек. Точки соединяют плавной кривой тонкой линией от руки, а обводку выполняют с помощью лекала.

Для обводки лекальных кривых нужно иметь набор нескольких лекал. Выбрав подходящее лекало, подгоняют кромку части лекала к возможно большему количеству найденных точек. Чтобы обвести

следующий участок, нужно подогнать кромку лекала ещё к двум-трём точкам, при этом лекало должно касаться части уже обведённой кривой. Способ проведения кривой по лекалу приведён на рис. 3.

Рис. 3. Построение кривой по лекалу.

На рис. 4 показан пример построения эллипса по заданным осям

Рис. 4. Построение эллипса

На рис. 5 показан пример построения параболы с помощью деления сторон угла AOC на одинаковое количество равных частей. На рис. 6 дан пример построения эвольвенты окружности. Заданная

окружность разделена на 12 равных частей. Через точки деления проведены касательные к окружности. На касательной, проведённой через точку 12, отложена длина данной окружности и разделена на 12 равных частей. Начиная от точки l на касательных к окружности, последовательно откладывают отрезки, равные 1/12 длины окружности, 1/6, 1/4 и т. д.

Рис. 5. Построение параболы

Рис. 6. Построение эвольвенты

Рис. 7.Построение синусоиды

Рис.8 Построение спирали Архимеда

На рис. 7 показан приём построения синусоиды. Заданная окружность разделена на 12 равных частей, на такое же число равных частей делится отрезок прямой, равный длине развёрнутой

Деление окружности на три равные части. Устанавливают угольник с углами 30 и 60° большим катетом параллельно одной из центровых линий. Вдоль гипотенузы из точки 1 (первое деление) проводят хорду (рис. 2.11, а ), получая второе деление – точку 2. Перевернув угольник и проведя вторую хорду, получают третье деление – точку 3 (рис. 2.11, б ). Соединив точки 2 и 3; 3 и 1 прямыми, получают равносторонний треугольник.

Рис. 2.11.

а, б – с помощью угольника; в – с помощью циркуля

Ту же задачу можно решить с помощью циркуля. Поставив опорную ножку циркуля в нижний или верхний конец диаметра (рис. 2.11, в ), описывают дугу, радиус которой равен радиусу окружности. Получают первое и второе деления. Третье деление находится на противоположном конце диаметра.

Деление окружности на шесть равных частей

Раствор циркуля устанавливают равным радиусу R окружности. Из концов одного из диаметров окружности (из точек 1, 4 ) описывают дуги (рис. 2.12, а, б ). Точки 1, 2, 3, 4, 5, 6 делят окружность на шесть равных частей. Соединив их прямыми, получают правильный шестиугольник (рис. 2.12, б ).

Рис. 2.12.

Ту же задачу можно выполнить с помощью линейки и угольника с углами 30 и 60° (рис. 2.13). Гипотенуза угольника при этом должна проходить через центр окружности.

Рис. 2.13.

Деление окружности на восемь равных частей

Точки 1, 3, 5, 7 лежат на пересечении центровых линий с окружностью (рис. 2.14). Еще четыре точки находят с помощью угольника с углами 45°. При получении точек 2, 4, 6, 8 гипотенуза угольника проходит через центр окружности.

Рис. 2.14.

Деление окружности на любое число равных частей

Для деления окружности на любое число равных частей пользуются коэффициентами, приведенными в табл. 2.1.

Длину l хорды, которую откладывают на заданной окружности, определяют по формуле l = dk, где l – длина хорды; d – диаметр заданной окружности; k – коэффициент, определяемый по табл. 1.2.

Таблица 2.1

Коэффициенты для деления окружностей

Чтобы разделить окружность заданного диаметра 90 мм, например, на 14 частей, поступают следующим образом.

В первой графе табл. 2.1 находят число делений п, т.е. 14. Из второй графы выписывают коэффициент k, соответствующий числу делений п. В данном случае он равен 0,22252. Диаметр заданной окружности умножают на коэффициент и получают длину хорды l= dk = 90 0,22252 = 0,22 мм. Полученную длину хорды откладывают циркулем-измерителем 14 раз на заданной окружности.

Нахождение центра дуги и определение величины радиуса

Задана дуга окружности, центр и радиус которой неизвестны.

Для их определения нужно провести две непараллельные хорды (рис. 2.15, а ) и восставить перпендикуляры к серединам хорд (рис. 2.15, б ). Центр О дуги находится на пересечении этих перпендикуляров.

Рис. 2.15.

При выполнении машиностроительных чертежей, а также при разметке заготовок деталей на производстве часто приходится плавно соединять прямые линии с дугами окружностей или дугу окружности с дугами других окружностей, т.е. выполнять сопряжение.

Сопряжением называют плавный переход прямой в дугу окружности или одной дуги в другую.

Для построения сопряжений надо знать величину радиуса сопряжений, найти центры, из которых проводят дуги, т.е. центры сопряжений (рис. 2.16). Затем нужно найти точки, в которых одна линия переходит в другую, т.е. точки сопряжений. При построении чертежа сопрягающиеся линии нужно доводить точно до этих точек. Точка сопряжения дуги окружности и прямой лежит на перпендикуляре, опущенном из центра дуги на сопрягаемую прямую (рис. 2.17, а ), или на линии, соединяющей центры сопрягаемых дуг (рис. 2.17, б ). Следовательно, для построения любого сопряжения дугой заданного радиуса нужно найти центр сопряжения и точку (точки ) сопряжения.

Рис. 2.16.

Рис. 2.17.

Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса. Даны пересекающиеся под прямым, острым и тупым углами прямые линии (рис. 2.18, а ). Нужно построить сопряжения этих прямых дугой заданного радиуса R.

Рис. 2.18.

Для всех трех случаев можно применять следующее построение.

1. Находят точку О – центр сопряжения, который должен лежать на расстоянии R от сторон угла, т.е. в точке пересечения прямых, проходящих параллельно сторонам угла на расстоянии R от них (рис. 2.18, б ).

Для проведения прямых, параллельных сторонам угла, из произвольных точек, взятых на прямых, раствором циркуля, равным R, делают засечки и к ним проводят касательные (рис. 2.18, б ).

• 2. Находят точки сопряжений (рис. 2.18, в). Для этого из точки О опускают перпендикуляры на заданные прямые.
• 3. Из точки О, как из центра, описывают дугу заданного радиуса R между точками сопряжений (рис. 2.18, в).

И построение правильных вписанных многоугольников

Деление окружности на 3, 6 и 12 равных частей. Построение правильного вписанного треугольника, шестиугольника и двенадцатиугольника.

Для построения правильного вписанного треугольника надо из точки А пересечения центровой линии с окружностью отложить раз­мер, равный радиусу R, в одну и другую сторону. Получим вершины 1 и 2(рис. 26, а ). Вершина 3 лежит на противоположном точке А конце диаметра.

1/3 1/6 1/12

а) б) в)

Рис. 26

Сторона шестиугольника равна радиусу окружности. Деление на 6 частей показано на рис. 26, б.

Для того чтобы разделить окружность на 12 частей, надо раз­мер, равный радиусу, отложить на окружности в одну и другую сто­рону из четырех центров (рис. 26, в).

Деление окружности на 4 и 8

вписанного четырехугольника и восьмиугольника.

Рис. 27

На 4 части окружность делится двумя взаимно перпендикулярными центровыми линиями. Для деления на 8 частей надо дугу, равную четверти окружности, разделить пополам (рис.27.)

Деление окружности на 5 и 10 равных частей. Построение правильного

вписанного пятиугольника и десятиугольника.

а) б)

Рис. 28

Половину любого диаметра (радиус) делят пополам (рис. 28, а ), получают точку N. Из точки N, как из центра, проводят дугу радиу­сом R 1 , равным расстоянию от точки N до точки А , до пересечения со второй половиной этого диаметра, в точке Р. Отрезок АР равен хорде, стягивающей дугу, длина которой равна 1/5 длины окружности. Делая засечки на окружности радиусом R 2 , равным отрезку АР, делят окруж­ность на пять равных частей. Начальную точку выбирают в зависимости от расположения пятиугольника. ( ! Нельзя выполнять засечки в одну сторону, так как происходит набегание ошибок и последняя сторона пятиугольника получается перекошенной.)

Деление окружности на 10 равных частей выполняют аналогично делению окружности на пять равных частей (рис. 28, б ), но сначала делят окружность на пять частей, начиная построение из точки А, а затем из точки В, находящейся на противоположном конце диаметра. Можно использовать для построения отрезок ОР – длина которого равна хорде 1/10 длины окружности.

Деление окружности на 7 равных частей.

1/7

а) б) в)

Рис. 29

Из любой точки (например, А ) окружности, радиусом заданной окружности рповодят дугу до пересечения с окружностью в точках В и D (рис. 29,а). Соединив точки В и D прямой, получают отрезок ВС, равный хорде, которая стягивает дугу, составляющую 1/7 длины окружности. Засечки выполняют в последовательности, указанной на рис. 29 б .

Сопряжения

Часто в конструкции деталей одна поверхность переходит в другую. Обычно эти переходы делают плавными, что повышает прочность деталей и делает их более удобными в работе. Сопряжение – это плавный переход от одной линии к другой. Построение сопряжений сводится к трем моментам: 1)определение центра сопряжения; 2)нахождение точек сопряжения; 3)построение дуги сопряжения заданного радиуса. Для построения сопряжения чаще всего задан радиус сопряжения. Центр и точка сопряжения определяются графически.

Деление окружности на 3 равные части.

Чтобы разделить окружность радиуса R на 3 равные части и вписать в нее равносторонний треугольник, из точки пересечения диаметра с окружностью (например из точки А) описывают как из центра дополнительную дугу радиусом R. Получают точки 2 и 3. Точки 1, 2, 3 делят окружность на три равные части. Соединив прямыми линиями точки 1, 2, 3 строят вписанный равносторонний треугольник.

Деление окружности на 6 равных частей.

Чтобы разделить окружность на 6 равных частей, из двух противоположных точек (1 и 4) пересечения диаметра с окружностью описывают две дуги радиусом R. Получают точки (2, 3, 5, 6). Вместе с точками которые получились при пересечении диаметра с окружностью он делят окружность на 6 равных частей.

Деление окружности на 12 равных частей.

Для деления окружности на 12 равных частей из четырех точек пересечения осей симметрии с окружностью описывают 4 дуги радиусом R. Полученные точки, вместе с теми, которые получились при пересечении осей симметрии с окружностью, делят окружность на 12 равных частей.

Виды обозначений сечений на чертежах

Чтобы показать поперечную форму деталей, пользуются изображениями, называемыми сечениями (рис. 13). Для того, чтобы получить сечение, деталь мысленно рассекают воображаемой секущей плоскостью в том месте, где нужно выявить её форму. Фигура, полученная в результате рассечения детали секущей плоскостью, изображается на чертеже. Следовательно сечением называется изображение фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета плоскостью или несколькими плоскостями.

На сечении показывается только то, что получается непосредственно в секущей плоскости.

Для ясности чертежа сечения выделяют штриховкой. Наклонные параллельные линии штриховки проводят под углом 45° к линиям рамки чертежа, а если они совпадают по направлению с линиями контура или осевыми линиями, то под углом 30° или 60°.

Вынесенное сечение.

Контур вынесенного сечения обводят сплошной толстой линией такой же толщины, как и линия, принятая для видимого контура изображения. Если сечение вынесенное, то, как правило проводят разомкнутую линию, два утолщенных штриха, и стрелки, указывающие направление взгляда. С внешней стороны стрелок наносят одинаковые прописные буквы. Над сечением пишут те же буквы через тире с тонкой чертой внизу. Если сечение представляет собой симметричную фигуру и расположено на продолжении линии сечения (штрихпунктирная), то обозначений не наносят.

Наложенное сечение.

Контур наложенного сечения – сплошная тонкая линия (S/2 – S/3), причем контур вида в месте расположения наложенного сечения не прерывают. Наложенное сечение обычно не обозначают. Но если сечение представляет собой не симметричную фигуру, проводят штрихи разомкнутой линии и стрелки, но буквы не наносят.

Обозначение сечений

Положение секущей плоскости указывают на чертеже линией сечения — разомкнутой линией, которая проводится в виде отдельных штрихов, не пересекающих контур соответствующего изображения. Толщина штрихов берётся в пределах от $ до 1 1/ 2 S, а длина их от 8 до 20 мм. На начальном и конечном штрихах перпендикулярно им, на расстоянии 2-3 мм от конца штриха, ставят стрелки, указывающие направление взгляда. У начала и конца линии сечения ставят одну и ту же прописную букву русского алфавита. Буквы наносят около стрелок, указывающих направление взгляда с внешней стороны, рис. 12. Над сечением делают надпись по типу А-А. Если сечение находится в разрыве между частями одного и того же вида, то при симметричной фигуре линию сечения не проврдяЯ4. Сечение можно располагать с поворотом, тогда к надписи А-А должен быть добавлен символ

повёрнуто О, то есть А-АО.

Основные свойства правильного многоугольника: углы, диагонали, окружности

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства правильного многоугольника касательно его внутренних углов (в т.ч. их суммы), количества диагоналей, центра описанной и вписанной окружностей. Также рассмотрены формулы для нахождения основных величин (площадь и периметр фигуры, радиусы окружностей).

Примечание: определение правильного многоугольника, его признаки, основные элементы и виды мы рассмотрели в отдельной публикации.

Свойства правильного многоугольника

Свойство 1

Внутренние углы в правильном многоугольнике (α) равны между собой и могут быть рассчитаны по формуле:

где n – число сторон фигуры.

Свойство 2

Сумма всех углов правильного n-угольника равняется: 180° · (n-2).

Свойство 3

Количество диагоналей (D_n) правильного n-угольника зависит от количества его сторон (n) и определяется следующим образом:

Свойство 4

В любой правильный многоугольник можно вписать круг и описать окружность около него, причем их центры будут совпадать, в том числе, с центром самого многоугольника.

В качестве примера на рисунке ниже изображен правильный шестиугольник (гексагон) с центром в точке O.

Площадь (S) образованного окружностями кольца вычисляется через длину стороны (a) фигуры по формуле:

Между радиусами вписанной (r) и описанной (R) окружностей существует зависимость:

Свойство 5

Зная длину стороны (a) правильного многоугольника можно рассчитать следующие, относящиеся к нему величины:

1. Площадь (S):

2. Периметр (P):

3. Радиус описанной окружности (R):

4. Радиус вписанной окружности (r):

Свойство 6

Площадь (S) правильного многоугольника можно выразить через радиус описанной/вписанной окружности:

Урок 22. формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности — Геометрия — 9 класс

Обозначим S площадь правильного n-угольника, a_n его сторону, Р периметр, r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей.
Рассмотрим сначала доказательство, что площадь данного многоугольника будет равна: S = 1/2 P r
Выполним следующее построение
Проведем линии из центра многоугольника к его вершинам. Многоугольник разбили на несколько треугольников. Применяя формулу площади треугольника запишем следующее равенство. Площадь каждого треугольника будет равна: S = 1/2 a_nr, где a_n – сторона многоугольника; r – радиус вписанной окружности, является высотой каждого рассматриваемого треугольника.
Так как все треугольники равны, то умножим количество треугольников на площадь треугольника:
S = n ∙ 1/2 a_nr, где n – количество треугольников.
После преобразований получим формулу: S = 1/2 (n ∙ a_n)r
Произведение в скобках отражает периметр рассматриваемого многоугольника. Таким образом, формула расчёта площади многоугольника выглядит следующим образом: S = 1/2 Pr
Выведем формулы для вычисления стороны правильного многоугольника и радиуса вписанной окружности.
Рассмотрим прямоугольный треугольник А₁Н₁О. Угол А₁ рассматриваемого треугольника будет равен половине угла αn многоугольника (отмечен красным), т.к. сторона треугольника А₁О является так же биссектрисой угла α_n многоугольника.
По формуле вычисления угла α правильного многоугольника α_n = (n — 2)/n ∙ 180° применяя простые преобразования получим равенство для угла А₁ рассматриваемого треугольника: ∠A₁ = α_n/2 = (n — 2)/2n ∙ 180° = 90° — (180°)/n
Полагая, что сторона правильного многоугольника an будет равна a_n = 2A₁H₁ и, учитывая, что треугольник А₁Н₁О является прямоугольным, воспользуемся соотношениями между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Получим следующее равенство: a_n = 2A₁H₁ = 2 Rcos⁡(90° — (180°)/n) = 2 R sin (180°)/n.
Итак, сторона правильного многоугольника a_n = ⁡2 R sin (180°)/n
радиус вписанной окружности r = R cos (180°)/n
Формулы расчета сторон для правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника.
Треугольник: a₃ = 2 R sin⁡(180°)/3 = 2 R sin60° = 2 R ∙ √3/2 = R√3
Квадрат: a₄ = 2 R sin⁡(180°)/4 = 2 R sin45° = 2 R∙√2/2 = R√2
Шестиугольник: a₆ = 2 R sin⁡(180°)/6 = 2 R sin30° = 2 R ∙ 1/2 = R

Как построить восьмиугольник в окружности

Popular

Основы черчения

Строительное

Машиностроительное

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего прово­дим стороны 5—6 и 3—2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4—1 и 3—2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

Деление окружности на равные части и по­строение правильных вписанных многоуголь­ников можно выполнить как циркулем, так и с помощью угольников и рейсшины.

Деление окружности на четыре равные части и построение пра­вильного вписанного четырех­угольника. Две взаимно перпендикулярные центровые линии делят окружность на четыре равные части (рис. 115, а). Соединив точки пе­ресечения этих линий с окружностью прямы­ми, получают правильный вписанный четырех­угольник.

Деление окружности на восемь равных частей и построение пра­вильного вписанного восьмиуголь­ника. Две взаимно перпендикулярные линии, проведенные под углом 45° к центровым ли­ниям с помощью угольника с углами 45, 45 и 90° и рейсшины (рис. 115, б), вместе с центро­выми линиями разделят окружность на восемь равных частей.

Деление окружности на восемь равных час­тей можно выполнить циркулем. Для этого из точек 1 и 3 (точки пересечения центровых линий с окружностью) произвольным радиусом делаются засечки до взаимного пересечения, тем же радиусом делают две засечки из точек 3 и 5 (рис. 115, в). Через точки пересечения засечек и центр окружности проводят прямые линии до пересечения с окружностью в точках 2, 4, 6, 8.

Если полученные восемь точек соединить последовательно прямыми линиями, то полу­чится правильный вписанный восьмиугольник (рис. 115, в).

Деление окружности на три рав­ные части и построение правиль­ного вписанного треугольника вы­полняют с помощью циркуля или угольника с углами 30, 60 и 90° и рейсшины.

При делении окружности циркулем на три равные части из любой точки окружности, на­пример из точки Л пересечения центровых ли­ний с окружностью (рис. 116, а и б), проводят дугу радиусом R, равным радиусу данной ок­ружности, получают точки 1 и 2. Третья точка деления (точка 3) будет находиться на про­тивоположном конце диаметра, проходящего через точку Л. Последовательно соединив точ­ки 1, 2 и 3, получают правильный вписанный треугольник. При построении правильного впи­санного треугольника, если задана одна из его вершин, например точка 1, находят точку А. Для этого через заданную точку 1 проводят диаметр (рис. 116, в). Точка А будет находить­ся на противоположном конце этого диаметра. Затем проводят дугу радиусом R равным ра­диусу данной окружности, получают точки 2 и 3.

При делении окружности на три равные час­ти с помощью угольника и рейсшины через точку 1 под углом 60° проводят две прямые линии до пересечения с окружностью в точках 2 и 3 (рис. 117, а, б), точки 2 и 3 соединяют и получают правильный вписанный треугольник (рис. 117, в).

Деление окружности на шесть равных частей и построение пра­вильного вписанного шестиуголь­ника выполняют с помощью угольника с уг­лами 30, 60 и 90° и рейсшины или циркуля. При делении окружности на шесть равных частей циркулем из двух концов одного диа­метра радиусом, равным радиусу данной окруж­ности, проводят дуги до пересечения с окруж­ностью в точках 2, 6 и 3, 5 (рис. 118). Последовательно соединив полученные точки, полу­чают правильный вписанный шестиугольник. Деление окружности на шесть равных час-1ен и построение правильного вписанного шестиугольника с помощью угольника и рейс­шины показано на рис. 119 и 120. Деление окружности на двенад­цать равных частей и построение правильного вписанного двенад­цатиугольника выполняют с помощью угольника с углами 30, 60 и 90° и рейсшины или циркуля.

При делении окружности циркулем из четы­рех концов двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности проводят радиусом, рав­ным радиусу данной окружности, дуги до пере­сечения с окружностью (рис. 121). Соединив по­лученные точки, получают двенадцатиугольник.

При построении двенадцатиугольника с по­мощью угольника и рейсшины точки деления строят, как показано на рис. 119 и 120.

Деление окружности на пять и десять равных частей и построе­ние правильного вписанного пяти­угольника и десятиугольника пока­зано на рис. 122.

Половину любого диаметра (радиус) делят пополам (рис. 122, а), получают точку А. Из точки А, как из центра, проводят дугу радиу­сом, равным расстоянию от точки А до точки 1, до пересечения со второй половиной этого диаметра, в точке В (рис. 122, б). Отрезок 1В равен хорде, стягивающей дугу, длина которой равна 1 /₅ длины окружности. Делая засечки на окружности (рис. 122, в) радиусом R, равным отрезку 1В, делят окруж­ность на пять равных частей. Начальную точку 1 выбирают в зависимости от расположения пятиугольника. Из точки / строят точки 2 и 5 (рис. 122, в), затем из точки 2 строят точку 3, а из точки 5 строят точку 4. Расстояние от точки 3 до точки 4 проверяют циркулем; если расстояние между точками 3 и 4 равно отрезку 1В, то построения были выполнены точно. Нельзя выполнять засечки последовательно, в одну сторону, так как происходит набегание ошибок и последняя сторона пятиугольника получается перекошенной. Последовательно соединив найденные точки, получают пяти­угольник (рис. 122, г).

Деление окружности на десять равных час­тей выполняют аналогично делению окруж­ности на пять равных частей (рис. 122), но сначала делят окружность на пять частей, на­чиная построение из точки /, а затем из точ­ки 6, находящейся на противоположном конце диаметра (рис. 123, а). Соединив последова­тельно все точки, получают правильный впи­санный десятиугольник (рис. 123, б).

Деление окружности на семь и четырнадцать равных частей и по­строение правильного вписанного семиугольника и четырнадцатиугольника показано на рис. 124 и 125.

Из любой точки окружности, например точ­ки Л, радиусом заданной окружности проводят дугу (рис. 124, а) до пересечения с окруж­ностью в точках В и D. Соединим точки В и D прямой. Половина полученного отрезка (в данном случае отрезок ВС) будет равна хорде, которая стягивает дугу, составляющую 1 /₇ дли­ны окружности. Радиусом, равным отрезку ВС, делают засечки на окружности в последова­тельности, показанной на рис. 124, б. Соединив последовательно все точки, получают правиль­ный вписанный семиугольник (рис. 124, в).

Деление окружности на четырнадцать рав­ных частей выполняется делением окружности на семь равных частей два раза от двух точек (рис. 125, а).

Сначала окружность делится на семь рав­ных частей от точки /, затем то же построение выполняется от точки 8. Построенные точки соединяют последовательно прямыми линиями и получают правильный вписанный четырна-дцатиугольник (рис. 125, б).

СОПРЯЖЕНИЯ

Рассматривая детали, видим, что в их конст­рукции часто одна поверхность переходит в другую. Обычно эти переходы делают плав­ными, что повышает прочность деталей и де­лает их более удобными в работе. На чертеже поверхности изображаются линиями, которые также плавно переходят одна в другую.

На рис. 126, а изображена деталь, в которой плавные переходы одних плоскостей в другие представляют собой цилиндрические поверхнос­ти. На чертеже (рис. 126, б) эти плоскости изо­бражены прямыми линиями, а цилиндрические поверхности — дугами окружностей. Плавные переходы от одной прямой к другой в этих случаях выполняются дугой заданного радиуса.

Плавный переход одной цилиндрической поверхности в другую может являться цилинд­рической поверхностью (рис. 127, а). На черте­же эти цилиндрические поверхности изобра­жены дугами окружностей, (рис. 127, б). В этом случае плавный переход одной дуги окруж­ности в другую осуществляется дугой окруж­ности заданного радиуса.

На рис. 126, а и 127, а рассмотрены простей­шие примеры плавных переходов поверхностей. В чертежах более сложных деталей плавные переходы между поверхностями изображают­ся различными сочетаниями прямых, окруж­ностей и их дуг. Вариантов таких сочетаний может быть много, но их объединяет од­но — плавность перехода. Такой плавный пе­реход одной линии (поверхности) в другую ли­нию (поверхность) называют сопряжени­ем. При построении сопряжения необходимо определить границу, где кончается одна линия и начинается другая, т. е. найти на чертеже точку перехода, которая называется точкой сопряжения или точкой касания.

Задачи на сопряжения условно можно раз­делить на три группы.

Первая группа задачвключает в себя зада­чи на построение сопряжений, где участвуют прямые линии. Это может быть непосредствен­ное касание прямой и окружности, сопряжение двух прямых дугой заданного радиуса, а также проведение касательной прямой к двум окружностям.

Построение окружности, каса­тельной к прямой, связано с нахождени­ем точки касания и центра окружности.

Задана горизонтальная прямая АВ, требует­ся построить окружность радиусом R, касательную к данной прямой (рис. 128). Точка касания выбирается произвольно. Так как точка касания не задана, то окружность ра­диуса R может коснуться данной прямой в любой точке. Таких окружностей можно про­вести множество. Центры этих окружностей (O₁, О₂и т. д.) будут находиться на одина­ковом расстоянии от заданной прямой, т. е. на линии, расположенной параллельно заданной прямой АВ на расстоянии, равном радиусу заданной окружности (рис. 128). Назовем эту линию линией центров. Проведем линию центров параллельно прямой АВ на расстоя­нии R. Так как центр касательной окруж­ности не задан, возьмем любую точку на линии центров, например точку О. Прежде чем про­водить касательную окружность, следует опре­делить точку касания. Точка касания будет лежать на перпендикуляре, опущенном из точ­ки О на прямую АВ. В пересечении перпендику­ляра с прямой АВ получим точку К, которая будет точкой касания. Из центра О радиусом R от точки К проведем окружность. Задача решена.

В детали, которая изображена на рис. 129, а, пластина плавно переходит в цилиндр. При выполнении чертежа этой детали необходимо построить плавный переход прямой в окруж­ность.

Задача аналогична предыдущей, но до­полнена условием, что точка касания задана, так как задан размер А (рис. 129, б), который определяет величину прямолинейного участка.

Отложив размер Л, находят точку касания (точку /С), затем из точки К восставляют пер­пендикуляр, на котором откладывают радиус R заданной окружности, и находят центр ок­ружности (точку О). При обводке сначала от точки касания проводится дуга заданного ра­диуса, а потом — прямая.

Из сказанного следует:

1) центр окружности, касательной к прямой, лежит на прямой (линия центров), проведенной параллельно заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу данной окружности;

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8801 — | 7160 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Свойства

Правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )

В правильный многоугольник можно вписать окружность и описать окружность вокруг него. Радиусы внутренней и внешней окружности всецело зависят от длины стороны и их количества. Чтобы найти радиус вписанной окружности правильного многоугольника, зная сторону, нужно разделить ее на два тангенса угла, полученного делением 180 градусов на количество сторон. Радиус описанной окружности, в свою очередь, равен стороне, деленной еа два синуса того же угла. r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Угол правильного многоугольника зависит только от количества сторон и рассчитывается как 180 градусов, деленные на количество сторон, и умноженные на разность количества сторон и двух. α=(n-2) (180°)/n

Восьмиугольник, виды, свойства и формулы

Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника

Пример:

• t — длина стороны восьмиугольника
• r — радиус вписанной окружности
• R — радиус описанной окружности
• S — площадь восьмиугольника
• k — константа, равная (1+2){\displaystyle (1+{\sqrt {2}})} ≈ 2,414213562373095

Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной kt{\displaystyle kt}, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:

r=k2t{\displaystyle r={\frac {k}{2}}t}

Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:

R=tkk−1{\displaystyle R=t{\sqrt {\frac {k}{k-1}}}}

Площадь правильного восьмиугольника:

Через сторону восьмиугольника

S=2kt2=2(1+2)t2≃4.{2}.}

Правильный восьмиугольник (понятие и определение):

Правильный восьмиугольник (октагон) – это правильный многоугольник с восемью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 135°.

Рис. 3. Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник имеет 8 сторон, 8 углов и 8 вершин.

Углы правильного восьмиугольника образуют восемь равнобедренных треугольников.

Правильный восьмиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки: проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.

Литература

• Pierre Wantzel. Recherches sur les moyens de Reconnaître si un Problème de géométrie peau se résoudre avec la règle et le compas // Journal de Mathématiques. — 1837. — С. 366–372.
• W. W. Rose Ball, H. S. M.Coxeter. Mathematical recreations and Essays. — Thirteenth edition. — New York: The MacMillan company, 1947. — С. 141.

  Перевод: Математические эссе и развлечения / перевод Н.И. Плужниковой, А.С.Попова, Г.М. Цукерман, под редакцией И.М.Яглома. — Москва: «Мир», 1986. — С. 156.

• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // The Symmetries of Things. — Chaim Goodman-Strauss, 2008. — С. 275—278. — ISBN 978-1-56881-220-5.
• Branko Grünbaum. Metamorphoses of polygons // The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History. — 1994.
• Jay Bonner. Islamic geometric pattens. — Springer, 2017. — ISBN 978-1-4419-0216-0.
• Nielsen D. Design & Nature V: Comparing Design in Nature with Science and Engineering // Fifth international conference on comapring design in nature with science engineering / Angelo Carpi, C. A. Brebbia. — WIT Press, 2010. — ISBN 978-1-84564-454-3.
• Вёрман К. История искусств всех времен и народов. — Москва, Берлин: Директ-медиа, 2015. — Т. 3 Книга2-3. — ISBN 978-5-4475-3827-9.

Применение восьмиугольников

Дорожный знак «Движение без остановки запрещено»

Восьмиугольный план Купола Скалы

В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.

Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и . Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.

Построение

Точное построение

Проводим большую окружность k₁ (будущую описанную окружность семнадцатиугольника) с центром O.
Проводим её диаметр AB.
Строим к нему перпендикуляр m, пересекающий k₁ в точках C и D.
Отмечаем точку E — середину DO.
Посередине EO отмечаем точку F и проводим отрезок FA.
Строим биссектрису w₁ угла ∠OFA.
Строим w₂ — биссектрису угла между m и w₁, которая пересекает AB в точке G.
Проводим s — перпендикуляр к w₂ из точки F.
Строим w₃ — биссектрису угла между s и w₂. Она пересекает AB в точке H.
Строим окружность Фалеса (k₂) на диаметре HA. Она пересекается с CD в точках J и K.
Проводим окружность k₃ с центром G через точки J и K. Она пересекается с AB в точках L и N

Здесь важно не перепутать N с M, они расположены очень близко.
Строим касательную к k₃ через N.

Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.

Примерное построение

Следующее построение хоть и приблизительно, но гораздо более удобно.

1. Ставим на плоскости точку M, строим вокруг неё окружность k и проводим её диаметр AB;
2. Делим пополам радиус AM три раза по очереди по направлению к центру (точки C, D и E).
3. Делим пополам отрезок EB (точка F).
4. строим перпендикуляр к AB в точке F.

Вкратце: строим перпендикуляр к диаметру на расстоянии 9/16 диаметра от B.

Точки пересечения последнего перпендикуляра с окружностью являются хорошим приближением для точек P₃ и P₁₄.

При этом построении получается относительная ошибка в 0,83%. Углы и стороны получаются таким образом немного больше, чем нужно. При радиусе 332,4 мм сторона получается длиннее на 1 мм.

Признаки и свойства

Не всегда получается верно идентифицировать пятиугольник. Для этого математики предлагают признаки, которые применимы только к правильной фигуре. К ним можно отнести следующие:

Стороны равны между собой.
Любой угол правильного пятиугольника равен остальным его углам.

Следует отметить, что признаки справедливы для любого правильного многогранника. Пять осей симметрии имеет правильный пятиугольник (сколько сторон, столько и осей). Пентагон обладает некоторыми свойствами, которые будут очень полезны при решении задач. К ним можно отнести следующие:

Равенство сторон.
Углы равны по 108 градусов.
Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Сумма внутренних углов равна 180 * (5 – 2) = 540 (градусов), а внешних – 360.
Количество диагоналей соответствует 5.
Значение площади кольца, которое образуется между вписанным и описанным кругами, эквивалентно произведению квадрата длины стороны на константу Pi / 4.(1/2)] / 2.

Другие восемнадцатиугольники фигуры

Звёздчатые 18{\displaystyle 18}-угольники имеют символы {18n}{\displaystyle \{18/n\}}. Существует два правильных звёздчатых многоугольника: 185{\displaystyle {18/5}} и {187}{\displaystyle \{18/7\}}. Они используют те же самые вершины, но соединяют каждую пятую или седьмую вершину. Имеются также составные восемнадцатиугольники: {182}{\displaystyle \{18/2\}} эквивалентен 2{9}{\displaystyle 2\{9\}} (двум девятиугольникам), {183}{\displaystyle \{18/3\}} эквивалентен 3{6}{\displaystyle 3\{6\}} (трём шестиугольникам), {184}{\displaystyle \{18/4\}} и {188}{\displaystyle \{18/8\}} эквивалентны 2{92}{\displaystyle 2\{9/2\}} и 2{94}{\displaystyle 2\{9/4\}} (двум эннеаграммам), {186}{\displaystyle \{18/6\}} эквивалентен 6{3}{\displaystyle 6\{3\}} (6{\displaystyle 6} равносторонним треугольникам), и, наконец, {189}{\displaystyle \{18/9\}} эквивалентен 9{2}{\displaystyle 9\{2\}} (девять двуугольников).

Составные и звёздчатые многоугольники
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Вид	Выпуклый многоугольник	Составные	Звёздчатый многоугольник	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной
Рисунок	{181}{\displaystyle \{18/1\}} = {18}{\displaystyle \{18\}}	{182}{\displaystyle \{18/2\}} = 2{9}{\displaystyle 2\{9\}}	{183}{\displaystyle \{18/3\}} = 3{6}{\displaystyle 3\{6\}}	{184}{\displaystyle \{18/4\}} = 2{92}{\displaystyle 2\{9/2\}}	{185}{\displaystyle \{18/5\}}	{186}{\displaystyle \{18/6\}} = 6{3}{\displaystyle 6\{3\}}	{187}{\displaystyle \{18/7\}}	{188}{\displaystyle \{18/8\}} = 2{94}{\displaystyle 2\{9/4\}}	{189}{\displaystyle \{18/9\}} = 9{2}{\displaystyle 9\{2\}}
Внутренний угол	160∘{\displaystyle 160^{\circ }}	140∘{\displaystyle 140^{\circ }}	120∘{\displaystyle 120^{\circ }}	100∘{\displaystyle 100^{\circ }}	80∘{\displaystyle 80^{\circ }}	60∘{\displaystyle 60^{\circ }}	40∘{\displaystyle 40^{\circ }}	20∘{\displaystyle 20^{\circ }}	∘{\displaystyle 0^{\circ }}

Более глубокие усечения правильного многоугольника и правильной эннеаграммы дают равноугольные (вершинно-транзитивные) промежуточные восемнадцатиугольники с находящимися на равном расстоянии вершинами и двумя длинами сторон. Другие усечения дают двойное покрытие: t{98}={188}=2{94},t{94}={184}=2{92},t{92}={182}=2{9}{\displaystyle \mathrm {t} \{9/8\}=\{18/8\}=2\{9/4\},\;\mathrm {t} \{9/4\}=\{18/4\}=2\{9/2\},\;\mathrm {t} \{9/2\}=\{18/2\}=2\{9\}}.

Вершинно-транзитивные усечения девятиугольника и эннеаграмм
Квазиправильные	Изогональные	КвазиправильныеДвойное покрытие
t9=18{\displaystyle \mathrm {t} {9}={18}}					t98=188{\displaystyle \mathrm {t} {9/8}={18/8}}=294{\displaystyle =2{9/4}}
t95=185{\displaystyle \mathrm {t} {9/5}={18/5}}					t94=184{\displaystyle \mathrm {t} {9/4}={18/4}}=292{\displaystyle =2{9/2}}
t97=187{\displaystyle \mathrm {t} {9/7}={18/7}}					t92=182{\displaystyle \mathrm {t} {9/2}={18/2}}=29{\displaystyle =2{9}}

Многоугольники Петри

Правильный восемнадцатиугольник является многоугольником Петри для ряда политопов, что показано в косоортогональных проекциях на :

Восемнадцатиугольные многоугольники Петри
A17	B9	D10	E7
17-симплекс		Эннеракт					>

Свойства

Координаты

Пусть xC{\displaystyle x_{C}} и yC{\displaystyle y_{C}} — координаты центра, а R{\displaystyle R} — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, ϕ{\displaystyle {\phi }_{0}} — угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного n-угольника определяются формулами:

xi=xC+Rcos⁡(ϕ+2πin){\displaystyle x_{i}=x_{C}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}

yi=yC+Rsin⁡(ϕ+2πin){\displaystyle y_{i}=y_{C}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}

где i=…n−1{\displaystyle i=0\dots n-1}

Размеры

Правильный многоугольник, вписанный и описанный около окружности

Пусть R{\displaystyle R} — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

r=Rcos⁡πn{\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{n}}},

а длина стороны многоугольника равна

a=2Rsin⁡πn=2rtgπn{\displaystyle a=2R\sin {\frac {\pi }{n}}=2r\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}

Площадь

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{\displaystyle n} и длиной стороны a{\displaystyle a} составляет:

S=n4 a2ctg⁡πn{\displaystyle S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\mathop {\mathrm {} } \,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}}.{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}(площадь основания n-угольной правильной призмы)

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{\displaystyle n} равна

S=nra2{\displaystyle S={\frac {nra}{2}}},

где r{\displaystyle r} — расстояние от середины стороны до центра, a{\displaystyle a} — длина стороны.

Площадь правильного многоугольника через периметр (P{\displaystyle P}) и радиус вписанной окружности (r{\displaystyle r}) составляет:

S=12Pr{\displaystyle S={\frac {1}{2}}Pr}.

Периметр

Если нужно вычислить длину стороны an{\displaystyle a_{n}} правильного n-угольника, вписанного в окружность, зная длину окружности L{\displaystyle L} можно вычислить длину одной стороны многоугольника:

an{\displaystyle a_{n}} — длина стороны правильного n-угольника.

an=sin⁡180n⋅Lπ{\displaystyle a_{n}=\sin {\frac {180}{n}}\cdot {\frac {L}{\pi }}}

Периметр Pn{\displaystyle P_{n}} равен

Pn=an⋅n{\displaystyle P_{n}=a_{n}\cdot n}

где n{\displaystyle n} — число сторон многоугольника.{2}.}

Ещё одна простая формула площади:

 S=2aA.{\displaystyle \ S=2aA.}

Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

a≈A2.414.{\displaystyle a\approx A/2.414.}

Два катета углового треугольника можно получить по формуле

e=(A−a)2.{\displaystyle e=(A-a)/2.}

Симметрия

11 симметрий правильного восьмиугольника. Линии зеркальных отражений показаны цветом — синие линии проходят через вершины, фиолетовые проходят через середины рёбер, число поворотов указано в центре. Вершины раскрашены согласно симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih₈ порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih₄, Dih₂ и Dih₁, а также 4 циклические подгруппы — Z₈, Z₄, Z₂ и Z₁. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16 . Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины (обозначены как d — от diagonal), или через рёбра (обозначены как p — от perpendiculars). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.

Примеры восьмиугольников по их симметриям

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.

Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.

Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника[править | править код]

Пример:

• t — длина стороны восьмиугольника
• r — радиус вписанной окружности
• R — радиус описанной окружности
• S — площадь восьмиугольника
• k — константа, равная (1+2){\displaystyle (1+{\sqrt {2}})} ≈ 2,414213562373095

Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной kt{\displaystyle kt}, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:

r=k2t{\displaystyle r={\frac {k}{2}}t}

Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:

R=tkk−1{\displaystyle R=t{\sqrt {\frac {k}{k-1}}}}

Площадь правильного восьмиугольника:

Через сторону восьмиугольника

S=2kt2=2(1+2)t2≃4.{2}.}

Ещё одна простая формула площади:

 S=2aA.{\displaystyle \ S=2aA.}

Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

a≈A2.414.{\displaystyle a\approx A/2.414.}

Два катета углового треугольника можно получить по формуле

e=(A−a)2.{\displaystyle e=(A-a)/2.}

{\ circ}} $. А когда радиус соединяется с вершинами восьмиугольника, мы видим, что образуются треугольники $ 8 $ с одинаковой длиной стороны и одинаковыми углами. Воспользуемся свойствами треугольников для дальнейшего решения.

Полное пошаговое решение:
Изображение для справки:

Давайте сначала найдем центр круга и его радиус. Чтобы получить их, мы просто сравним данный круг со стандартным уравнением круга.
Стандартное уравнение круга: $ {{\ left (xa \ right)} ^ {2}} + {{\ left (yb \ right)} ^ {2}} = {{r} ^ {2} } $, где $ \ left (a, b \ right) $ — координата центра, а $ r $ — радиус.{\ circ}} $.
Итак, теперь давайте сосредоточимся на треугольнике $ \ Delta CGF $. Мы можем найти площадь этого треугольника, а затем умножить ее на $ 8 $, чтобы найти площадь восьмиугольника, поскольку все треугольники идентичны.

Чтобы узнать площадь этого треугольника, воспользуемся формулами из свойств треугольников.
Формула для определения площади треугольника, когда известны две его стороны и угол, образованный этими сторонами: $ \ dfrac {1} {2} ab \ sin C $, где $ a, b $ — длины сторона, а $ C $ — угол, образованный ими.{2}} = 25 $ равно 50 \ sqrt {2} $.

Примечание: Очень важно помнить все формулы свойств треугольника, поскольку они очень полезны и их использование не ограничивается только тригонометрией. Их концепции можно использовать даже в математике и геометрии. Также важно знать стандартное уравнение кругов и другие связанные формулы, чтобы быстро решить вопрос. Мы должны быть осторожны при сравнении данного уравнения круга со стандартным, чтобы получить правильный центр, иначе наш график будет неправильным, и результаты, которые мы выводим из графика, также будут неправильными.

Конструкция и формулы восьмиугольника

Конструкция и формулы восьмиугольника

---

---

---

---

1. Постройте правильный восьмиугольник, задав длину a одной из его сторон.

Построить, а не измерить.
Совет: Постройте прямой угол на каждом конце сегмента длиной a. Разделите пополам каждый прямой угол вне сегмента. Обозначьте длину еще двух сторон восьмиугольника.Продолжать . . . При этом используется то свойство, что внешние углы обычного восьмиугольника составляют 45 градусов каждый.

2. Постройте правильный восьмиугольник из квадрата со стороной s.

Построить, а не измерить. Расстояние от каждой вершины равно a + x, где a — длина стороны восьмиугольника, а x — длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника, который «отрезан» от каждого угла квадрата, но x + а — половина диагонали квадрата.

3. Постройте правильный восьмиугольник, учитывая расстояние от центра до вершины восьмиугольника (т.е. радиус описанной окружности ).

Строить, а не измерять. Диагонали восьмиугольника будут разделены (конструктивными) углами в 45 градусов. И т. Д.

4.Постройте правильный восьмиугольник, учитывая перпендикулярное расстояние от одной стороны восьмиугольника до противоположной (то есть в два раза больше радиуса вписанного круга ).

Постройте квадрат вокруг круга и постройте из него восьмиугольник.

5. Какова длина Apothem правильного восьмиугольника со стороной a ?

Перпендикулярное расстояние от центра многоугольника до одной из его сторон — это Апофема. «Срез» одной восьмой восьмиугольника представляет собой равнобедренный треугольник с длиной основания а и высотой апофемы. Центральный угол 45 градусов. Создайте прямоугольный треугольник и используйте функцию касательной.

6. Какова площадь правильного восьмиугольника со стороной a?

Найдите хотя бы два разных подхода —

а.Площадь рассечена на квадрат, прямоугольники и равнобедренные треугольники

г. Площадь, образованная суммой восьми равнобедренных треугольников с общим центральным углом в центре восьмиугольника.

7. Какова длина R радиуса описанной окружности?

8. Сравните площади

Восьмиугольник

Вписанный круг

Описанная окружность

9.Предположим, вы планировали построить беседку на основе обычного восьмиугольника. Восьмиугольные беседки бывают размером от 6 до 30 футов. Обычно веб-сайт, посвященный планам беседок, не дает никаких указаний относительно их размеров. ПРИНИМАЕМ, что это радиус вписанной окружности ; другими словами, это ширина от одной стороны восьмиугольника до его противоположной.

а. Для беседки размером Н футов найдите ее площадь пола А кв футов, и длину стороны с футов.

г. Какой размер беседки выбрать, чтобы иметь площадь пола не менее 120 квадратных футов? Какая у него длина стороны?

г. Предположим, вам нужна беседка площадью 200 квадратных футов. Какой будет длина каждой стороны?

Примечание: ссылка Gazebo ведет на GazeboCreations.com. На фото НЕ одна из их беседок. Фотография является общественным достоянием из государственных архивов США.

---

Возврат

---

---

Геометрические свойства восьмиугольника | calcresource

Теоретические основы

Содержание

Определения

Восьмиугольник — это многоугольник с восемью сторонами и восемью вершинами.Восьмиугольник, как и любой другой многоугольник, может быть выпуклым или вогнутым, как показано на следующем рисунке. Ни один из внутренних углов выпуклого восьмиугольника не превышает 180 °. Напротив, вогнутый восьмиугольник (или многоугольник) имеет один или несколько внутренних углов больше 180 °. Восьмиугольник называется правильным, если его стороны равны, а его внутренние углы равны . В этом отношении недостаточно иметь равные только стороны, поскольку восьмиугольник может быть вогнутым с равными сторонами. Как показано на рисунке ниже, можно определить множество возможных вогнутых восьмиугольников с равными сторонами, но с разными внутренними углами.Эти восьмиугольники называются равносторонними. Любой восьмиугольник, который не является правильным, называется неправильным.

Сумма внутренних углов любого восьмиугольника, выпуклого или вогнутого, всегда равна 1080 °. Это можно легко сделать, выяснив, сколько треугольников можно уместить внутри восьмиугольника. Для этого мы должны соединить все вершины прямыми линиями, избегая пересечений. Таким образом, внутри восьмиугольника можно определить ровно шесть треугольников. Вершины могут быть соединены по-разному (в результате получаются разные треугольники), однако количество треугольников остается неизменным шестью.Поскольку сумма внутренних углов в одном треугольнике равна 180 °, можно сделать вывод, что шесть треугольников, расположенных бок о бок, должны иметь размер до 6×180 = 1080 °.

Диагонали восьмиугольника разделяют его внутреннюю часть на 6 треугольников

Свойства правильных восьмиугольников

Симметрия

Правильный восьмиугольник имеет восемь осей симметрии. Половина из них проходит через диагонально противоположные вершины, а остальные — через середины противоположных ребер.

Оси симметрии правильного восьмиугольника

Внутренний угол и центральный угол

Правильные восьмиугольники по определению имеют равные внутренние углы.\ circ

Два оставшихся угла внутреннего треугольника, образованного двумя последовательными диагоналями и стороной восьмиугольника, равны 67,5 °. Это действительно \ varphi / 2, потому что диагонали восьмиугольника также являются осями симметрии, таким образом, внутренний угол \ varphi делится пополам (который равен 135 °).

Следует отметить, что внутренний и центральный углы являются дополнительными, так как их сумма составляет 180 °:

\ varphi + \ theta = 135 ° + 45 ° = 180 °

Правильный восьмиугольник состоит из восьми одинаковых равнобедренных частей. треугольники, имеющие общую вершину, центр многоугольника.

Окружность и вписанная окружность

Как любой правильный многоугольник, можно нарисовать круг, проходящий через все восемь вершин восьмиугольника. Это описанный круг или описанный круг . Центр этого круга — центр восьмиугольника. Точно так же диагонали восьмиугольника — это диаметры описанной окружности. Радиус описанной окружности R_c обычно называют описанным радиусом .

Можно также нарисовать еще один круг, который проходит через середины ребер восьмиугольника.Этот круг называется вписанным кругом или вписанным кругом . Радиус вписанной окружности R_i обычно называют inradius . Вписанная окружность касается всех восьми ребер, а ее центр совпадает с центром описанной окружности.

Описанные и вписанные окружности правильного восьмиугольника

Радиусы описанной окружности R_c и вписанной окружности R_i связаны с длиной ребер \ alpha. Эти отношения могут быть обнаружены с помощью прямоугольного треугольника со сторонами: радиус описанной окружности, внутренний радиус и половина края восьмиугольника, как показано на следующем рисунке.Используя базовую тригонометрию, мы можем найти:

\ begin {split} R_c & = \ frac {a} {2 \ sin {\ frac {\ theta} {2}}} \\ R_i & = \ frac {a} {2 \ tan {\ frac {\ theta} {2}}} \\ R_i & = R_c \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {split}

, где \ theta — центральный угол, а \ alpha — длина стороны. Оказывается, эти выражения верны для любого правильного многоугольника, а не только для восьмиугольника. Конкретные выражения для правильного восьмиугольника можно получить, установив θ = 45 °, значение центрального угла. Вот эти выражения:

\ begin {split} R_c & = \ frac {a} {2 \ sin {22.{\ circ}} = \ sqrt {2} -1

уравнения для радиуса описанной окружности и внутреннего радиуса правильного восьмиугольника могут быть выражены в следующей альтернативной форме:

R_c = \ frac {a} {\ sqrt {2- \ sqrt {2}}}

R_i = \ frac {a} {2 \ sqrt {2} -2}

R_c = \ frac {\ sqrt {{2} + \ sqrt {2}}} {2} а

Приблизительные выражения для окружности и внутреннего радиуса правильного восьмиугольника приведены ниже:

R_c = 1.307a

R_i = 1.207a

R_i = 0.924R_c

Площадь и периметр

Общая площадь прямоугольного восьмиугольника быть разделенным на 8 одинаковых равнобедренных треугольников, как показано на рисунке ниже.2

Периметр любого N-стороннего правильного многоугольника — это просто сумма длин всех ребер: P = N a. Следовательно, для правильного восьмиугольника с 8 гранями:

P = 8a

Ограничивающая рамка

Ограничивающая рамка плоской формы — это наименьший прямоугольник, который полностью охватывает фигуру. Размеры этого прямоугольника определяются высотой h и шириной w. На следующем рисунке показана ограничивающая рамка правильного восьмиугольника. И высота, и ширина определяются как расстояние между двумя противоположными краями.{\ circ}}} = \ frac {a} {\ sqrt {2} -1}

, что приблизительно равно:

h = w \ приблизительно 2,414 a

Как нарисовать правильный восьмиугольник

Вы можете нарисовать правильный восьмиугольник, учитывая его радиус описанной окружности, используя только линейку и циркуль. Выполните шаги, описанные ниже:

1. Сначала просто нарисуйте линию (немного больше, чем требуемый диаметр описанной окружности).
2. На этой линии отметьте две точки: одна — центр многоугольника (точка O), а другая — точка его описанной окружности (точка A).Нарисуйте круг вокруг центральной точки с радиусом R_c, равным радиусу описанной окружности. Это описанная окружность. Отметьте еще одну точку, где описанная окружность пересекается с линией (точка B).
3. Затем постройте дугу окружности с центром в точке A и радиусом немного больше R_c.
4. Также дуга окружности с центром в точке B и таким же радиусом с шагом 3. Отметьте две точки, где две дуги пересекаются. Подсказка: протяните вторую дугу как можно дальше от точек пересечения.
5. Нарисуйте линию, проходящую через пересечения двух дуг с последнего шага (также проходящую через центральную точку O), и отметьте еще две точки, C и D, где эта линия пересекается с описанной окружностью (нарисованной на шаге 2). .
6. Используя тот же радиус, что и на шаге 4, поместите кончик циркуля в точку C и постройте новую дугу окружности, отметив ее пересечение с описанной окружностью.
7. Повторите ту же процедуру, на этот раз поместив наконечник в точку D и отметив новую точку пересечения описанной окружностью.
8. Нарисуйте линию, проходящую через точку пересечения, отмеченную на шаге 6, и центральную точку O. Отметьте две точки, E и F, где эта линия пересекается с описанной окружностью.
9. Нарисуйте линию, проходящую через точку пересечения, отмеченную на шаге 7, и центральную точку O.Отметьте две точки, G и H, где эта линия пересекается с описанной окружностью.
10. На данный момент вокруг описанной окружности определены восемь точек: A, B, C, D, E, F, G, H. Это вершины восьмиугольника. Нарисуйте между ними линейные отрезки, и правильный восьмиугольник теперь готов.

На следующем рисунке шаг за шагом показана процедура рисования. Обратите внимание, что открытие компаса остается таким же, начиная с шага 3 и далее. Есть только изменение (увеличение) между шагами 2 и 3.

Рисование правильного восьмиугольника с помощью линейки и циркуля. Обратите внимание, что отверстие компаса изменяется только между шагами 2 и 3.

Примеры

Пример 1

Определите радиус описанной окружности, внутренний радиус и площадь правильного восьмиугольника с длиной стороны a = 4 дюйма.

Радиус описанной окружности и внутренний радиус в единицах длины стороны a для правильного восьмиугольника были получены в предыдущих разделах. Это:

R_c = \ frac {a} {\ sqrt {2- \ sqrt {2}}}

R_i = \ frac {a} {2 \ sqrt {2} -2}

Следовательно, просто подставить a = 4 ».{\ circ}}}).

2. Правильный восьмиугольник с заданной высотой / шириной

Высота (и ширина) правильного восьмиугольника связаны с длиной стороны a уравнением:

h = \ frac {a} {\ sqrt {2 } -1}

Перестановка:

a = h \ left (\ sqrt {2} -1 \ right)

Затем мы можем вычислить требуемую длину стороны a, если подставим h = 20 »:

a = 20 » \ left (\ sqrt {2} -1 \ right) \ приблизительно8.284 »

(В качестве альтернативы мы могли бы идеально использовать эквивалентное выражение для высоты: h = \ frac {a} {\ tan {22.{\ circ}}} ).

3. Правильный восьмиугольник с заданным радиусом описанной окружности

Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника связан с длиной стороны a по формуле:

R_c = \ frac {a} {\ sqrt {2- \ sqrt {2}} }

Следовательно:

a = R_c \ left (\ sqrt {2- \ sqrt {2}} \ right)

Из последнего уравнения мы можем вычислить требуемую длину стороны a, если мы подставим R_c = 10 » :

a = 10 » \ left (\ sqrt {2- \ sqrt {2}} \ right) \ приблизительно 7,654 »

(В качестве альтернативы, мы могли бы идеально использовать эквивалентное выражение для радиуса окружности: R_c = \ гидроразрыв {а} {2 \ sin {22.2

См. Также

Иллюстративная математика

Задача

Предположим, мы определяем $ \ pi $ как длину окружности, диаметр которой равен 1:

Объясните, почему длина окружности радиуса $ r \ gt 0 $ равна $ 2 \ pi r $.

IM Комментарий

Окружность окружности радиуса $ r $ равна $ 2 \ pi r $. Эта хорошо известная формула используется здесь с точки зрения подобия.В этой задаче важно отметить, что определение для $ \ pi $ уже включает длину окружности, определенного круга. Чтобы показать, что отношение длины окружности к диаметру не зависит от размера круга, требуется аргумент подобия. Предусмотрены два разных подхода: один использует тот факт, что все круги похожи, а второй — аналогичные треугольники. Этот первый подход проще, но у второго есть то преимущество, что он приводит к аргументу для вычисления площади круга.

Старшеклассники будут знать, что окружность круга радиуса $ r $ равна $ 2 \ pi r $, и поэтому цель этого задания — помочь им понять эту формулу с точки зрения подобия. Первое решение требует общего понимания подобия форм, в то время как второе требует знания сходства, характерного для треугольников.

Альтернативный аргумент с использованием тригонометрических соотношений дает формулу длины окружности правильного многоугольника с $ n \ geq 3 $ сторонами, вписанными в круг.Правильный многоугольник с $ n $ сторонами можно разложить на $ n $ равнобедренных треугольников, нарисовав отрезки прямых, соединяющих центр окружности с $ n $ вершинами многоугольника. Пример такого треугольника (взятого из правильного шестиугольника) изображен ниже:

Как отмечено на рисунке, эти равнобедренные треугольники имеют две стороны длиной $ r $, радиус окружности, а третья сторона $ \ overline {AC} $ имеет длину $ b $, которая зависит от $ m (\ angle ABC ) $. Точка $ P $ на рисунке — середина $ \ overline {AC} $.Итак, у нас есть $ \ frac {| AP |} {| AB |} = \ sin {\ angle ABP} $, и отсюда мы можем вывести, что $ | AP | = r \ sin {\ angle ABP} $, а затем, используя то, что $ P $ является средней точкой $ \ overline {AC} $, $ b = 2r \ sin {\ angle ABP} $. Мы знаем, что 2n углов, конгруэнтных $ \ angle ABP $, составляют полный круг, поэтому $ m (\ angle ABP) = \ frac {360} {2n} $. Периметр правильного многоугольника с $ n $ сторонами, вписанного в круг, в $ n $ умножен на длину стороны этого многоугольника, которую мы только что вычислили: $$ n \ times 2r \ sin {\ left (\ frac {360} {2n} \ right)}.$$ Тригонометрические отношения не зависят от размера треугольника, поэтому эти формулы для $ P_n $ позволяют нам вывести, как и в решении 2, что отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от размера окружности. . Кроме того, это обеспечивает простой количественный способ оценки $ \ pi $, выбирая большое значение $ n $: конечно, для этого требуется знать синус угла.

Этот первый аргумент является примером MP7, Ищите и используйте структуру. Ключом к этому аргументу является определение того, что все круги похожи, а затем применение значения подобия к окружности.Второй аргумент иллюстрирует MP8, «Ищите и выражайте регулярность в повторяющихся рассуждениях». Здесь важно сравнить круг с более знакомой формой — треугольником. Особенно эффективный метод — разделить правильный многоугольник, аппроксимирующий круг, на совпадающие треугольники, что делает формулу для периметра и его связь с $ r $ особенно ясной.

Решения

Решение: 1 Сходство кругов

Ниже приведено изображение круга диаметром 1, обозначенного $ C_1 $, и диаметром $ d = 2r $, обозначенного $ C_2 $:

В изображенном случае $ d $ больше, чем $ 1 $.Все круги похожи, и в этом случае масштабный коэффициент от круга диаметром $ 1 $ до круга диаметром $ 2r $ равен $ 2r $. Длина окружности — это одномерное измерение, поэтому она масштабируется так же, как и диаметры:

\ begin {align} \ frac {\ text {Окружность} (C_2)} {\ text {Окружность} (C_1)} & = \ frac {\ text {диаметр} (C_2)} {\ text {диаметр} (C_1)} \\ & = \ frac {2r} {1} \ end {align}

Поскольку окружность $ C_1 $ по определению равна $ \ pi $, из приведенного выше уравнения следует, что окружность $ C_2 $ равна $ 2 \ pi r $.

Решение: 2 Подобие треугольников

В этом решении мы аппроксимируем окружность круга с помощью многоугольников, а затем используем подобие треугольников, чтобы объяснить формулу длины окружности. Ниже показано изображение правильного восьмиугольника, вписанного в круг радиуса $ r $:

Окружность круга немного больше периметра правильного восьмиугольника, который мы можем вычислить, используя картинку ниже:

Периметр восьмиугольника равен 8 миллиардам долларов, так как он разделен на восемь равных треугольников с основанием в миллиардах долларов каждый.\ circ $ похожи. Следовательно соотношение $ (b: r) $ не зависит от размера правильного восьмиугольника. Это означает, что соотношение $ (\ text {perimeter (octagon)}: r) $ также не зависит от размера правильного восьмиугольника. По мере того, как мы добавляем все больше и больше сторон, это отношение приближается к отношению длины окружности круга к его радиусу. Делаем вывод, что для окружности $ C $ любого радиуса $ r $ $$ (\ text {окружность} (C): r) = \ left (\ pi: \ frac {1} {2} \ right). $$ Обратите внимание, что $ \ frac {1} {2} $ получается, если смотреть на круг диаметром 1 и окружностью $ \ pi $: радиус этого круга равен $ \ frac {1} {2} $.Это эквивалентно обычной формуле, согласно которой длина окружности радиуса $ r $ равна $ 2 \ pi r $.

Впишите правильный n-сторонний многоугольник внутрь круга радиуса 1 и вычислите площадь многоугольника для следующих значений n: (A) 4 (квадрат), (B), 8 (восьмиугольник), (C) 16, (D) Сравните площади частей (A), (B) и (C) с площадью круга.

Дано

• Принято, что, {eq} n {/ eq} -сторонний многоугольник вписан в круг радиуса 1.

A) Чтобы вычислить площадь квадрата с {eq} n = 4 {/ экв}.

Так как диаметр круга — это диагональ квадрата.

Итак,

{экв} \ begin {align *} {\ rm {Длина}} \; {\ rm {of}} \, {\ rm {side}} \; {\ rm {of}} \; {\ rm {квадрат}} & = \ dfrac {{{ \ rm {Длина}} \; {\ rm {of}} \; {\ rm {диагональ}} \; {\ rm {of}} \; {\ rm {квадрат}}}} {{\ sqrt 2} } \\ & = \ dfrac {2} {{\ sqrt 2}} \\ & = \ sqrt 2 \ end {выровнять *} {/ eq}

Следовательно, площадь квадрата равна,

{экв} \ begin {align *} A & = {\ left ({{\ rm {Длина}} \; {\ rm {of}} \, {\ rm {side}} \; {\ rm {of}} \; {\ rm {квадрат} }} \ right) ^ 2} \\ & = {\ left ({\ sqrt 2} \ right) ^ 2} \\ & = 2 \ end {выровнять *} {/ eq}

Таким образом, площадь квадрата равна 2.\ circ} \ right) \\ AM & = 1 \ left ({\ dfrac {1} {{\ sqrt 2}}} \ right) \\ AM & = \ dfrac {1} {{\ sqrt 2}} \ end {выровнять *} {/ eq}

Таким образом, высота треугольника равна {eq} AM = \ dfrac {1} {{\ sqrt 2}} {/ экв}.

Сейчас, область {eq} \ Delta OAB {/ eq},

{экв} \ begin {align *} A & = \ dfrac {1} {2} \ times b \ times h \\ & = \ dfrac {1} {2} \ times 1 \ times \ dfrac {1} {{\ sqrt 2}} \\ & = \ dfrac {1} {{2 \ sqrt 2}} \ end {выровнять *} {/ eq}

Площадь восьмиугольника в 8 раз больше площади {eq} \ Delta OAB. {/ экв}.\ circ}} {{16}} = \ dfrac {\ pi} {8} {/ eq} каждый.

Из части (б):

{экв} \ begin {align *} \ sin \ left ({\ dfrac {\ pi} {8}} \ right) & = \ dfrac {{AM}} {{OA}} \\ AM & = OA \ sin \ left ({\ dfrac {\ pi} {8}} \ right) \\ AM & = \ left (1 \ right) \ sin \ left ({\ dfrac {\ pi} {8}} \ right) \\ AM & = \ sin \ left ({\ dfrac {\ pi} {8}} \ right) \ end {выровнять *} {/ eq}

Таким образом, высота треугольника равна {eq} AM = \ sin \ left ({\ dfrac {\ pi} {8}} \ right) {/ экв}.

Сейчас, область {eq} \ Delta OAB {/ eq},

{экв} \ begin {align *} A & = \ dfrac {1} {2} \ times b \ times h \\ & = \ dfrac {1} {2} \ times 1 \ times \ left ({\ sin \ left ({\ dfrac {\ pi} {8}} \ right)} \ right) \\ & = \ dfrac {1} {2} \ sin \ left ({\ dfrac {\ pi} {8}} \ right) \ end {выровнять *} {/ eq}

Площадь 16-стороннего многоугольника в 16 раз больше площади {eq} \ Delta OAB {/ экв}.2} \\ A & = \ pi \ end {выровнять *} {/ eq}

Из площади круга видно, что, поскольку значение {eq} n {/ eq} увеличивается, площадь приближается к {eq} \ pi {/ экв}.

Калькулятор восьмиугольника

| Pi Day

Калькулятор прост в использовании. Просто введите известные значения, и калькулятор быстро выдаст вам нужные результаты. Периметр, площадь, длина диагоналей, а также радиус вписанного круга и описанного круга будут доступны в мгновение ока.

Что такое правильный восьмиугольник?

Правильный восьмиугольник — это геометрическая форма с 8 равными длинами и 8 равными углами. Сумма внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080 градусов, что делает каждый угол равным 135 градусам.

Площадь правильного восьмиугольника:

Правильный восьмиугольник можно представить себе как квадрат с обрезанными или укороченными углами. Если обозначить «a» как длину одной стороны восьмиугольника, то стороны большого квадрата равны \ (a \ sqrt {2} +1 \).2 \)

Периметр

Проще всего рассчитать периметр. Это просто сумма длин всех сторон. Следовательно, периметр, отмеченный буквой P, равен 8a.

Предположим, что вы не знаете длину ребра, но знаете его площадь. Периметр определяется по формуле:

\ (P = \ sqrt {\ frac {32A} {\ sqrt {2} +1}} \)

Диагонали

При большом количестве диагоналей задача расчета длина может показаться устрашающей.Во-первых, есть три разных типа диагоналей; мы назовем их «короткими», «средними» (также известными как высота восьмиугольника) и «длинными».

Формулы для расчета длин на самом деле довольно просты в использовании.

Short = \ (a (\ sqrt {2} + \ sqrt {2}) \)

Medium = \ (a (\ sqrt {2} +1) \)

Long = \ (a (\ sqrt {4} +2 \ sqrt {2}) \)

Cicrumradius и Inradius

Проще говоря, радиус описанной окружности равен половине длины самой длинной диагонали, а inradius — половине высоты восьмиугольника.

Как сделать восьмиугольник с надписью? — AnswersToAll

Как сделать восьмиугольник с надписью?

Процедура: Постройте горизонтальный и вертикальный диаметры, а затем разделите квадранты круга пополам, чтобы разделить его на восемь сегментов. Соедините концы четырех диаметров, чтобы создать восьмиугольник. Количество сторон любого вписанного многоугольника может быть увеличено вдвое, если разделить его пополам.

Как найти периметр восьмиугольника, вписанного в круг?

Каков периметр восьмиугольника, если он вписан в круг радиусом 5 дюймов? Я использую формулу P = 2nr⋅sinπn, где n — количество сторон, а r — радиус.

Все стороны равны в восьмиугольнике?

Свойства восьмиугольника Все стороны и все углы равны соответственно. Всего в правильном восьмиугольнике 20 диагоналей. Сумма всех внешних углов восьмиугольника составляет 360 °, а каждый угол равен 45 ° (45 × 8 = 360).

Какой угол у восьмиугольника?

135 градусов

У восьмиугольника 8 углов?

В геометрии восьмиугольник (от греческого ὀκτάγωνον oktágōnon, «восемь углов») представляет собой восьмиугольник или восьмиугольник.Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли {8}, а также может быть построен как квазирегулярный усеченный квадрат t {4}, который чередует два типа ребер. Усеченный восьмиугольник t {8} представляет собой шестиугольник {16}.

Как найти диагональ восьмиугольника?

восьмиугольник имеет 8 (8−3) / 2 = 8 × 5/2 = 20 диагоналей.

Как вычислить восьмиугольник?

Поскольку этих треугольников столько, сколько сторон многоугольника (восемь для восьмиугольника), вам нужно умножить площадь этого треугольника на количество сторон.Вы получите общую площадь восьмиугольника: площадь восьмиугольника = 8 * основание * высота / 2 = периметр * апофема / 2.

У восьмиугольника есть диаметр?

Восьмиугольник может иметь два типа диаметров. Оба диаметра образуются из правильного восьмиугольника, каждая сторона которого равна длине, а каждый угол между двумя пересекающимися сторонами составляет 135 градусов.

Может ли правильный восьмиугольник иметь площадь 10?

36 единиц 18) Может ли правильный восьмиугольник иметь площадь 10 единиц²? Да, у него просто не было бы сторон по длине.

Как нарисовать циркулем идеальный восьмиугольник?

Нарисуйте восьмиугольник с помощью линейки и циркуля

1. С помощью линейки измерьте центр страницы сверху и снизу и соедините точки линией.
2. Нарисуйте круг такого же размера в том месте, где вертикальная линия пересекает первый круг.
3. Продолжайте добавлять третий круг.
4. Следующий шаг — добавить к сети еще четыре круга по тому же шаблону.

Является ли восьмиугольник плоскостью?

Правильный восьмиугольник: Правильный восьмиугольник — это плоская или плоская форма с 8 равными прямыми сторонами.Форма замкнута, то есть все линии соединены.

Есть ли у восьмиугольника перпендикулярные линии?

Сколько наборов параллельных и перпендикулярных линий содержится в правильном восьмиугольнике? Правильный восьмиугольник состоит из восьми сторон одинаковой длины и восьми равных углов (все из которых составляют 135 °). Мы видим, что прямые a и d перпендикулярны как e, так и h.

Что символизирует восьмиугольник?

Иногда восьмиугольник рассматривался как символ бесконечности.Было высказано предположение, что восьмиугольник — это круг, пытающийся стать квадратом, и квадрат, пытающийся стать кругом. Октагон и звездная октаграмма были религиозными символами возрождения и воскрешения.

Для чего используется октагон?

Знаки остановки В США все знакомы со знаком остановки в форме восьмиугольника. Этот дорожный знак имеет красный фон, белую рамку и белую надпись «СТОП».

Как называется 8-сторонний объект?

Шестигранная форма — это шестиугольник, семигранная форма — семиугольник, а восьмиугольник имеет восемь сторон … Названия многоугольников образованы от префиксов древнегреческих чисел.

Что такое 8-гранная призма?

По геометрии шестиугольная призма представляет собой призму с шестиугольным основанием. У этого многогранника 8 граней, 18 ребер и 12 вершин. Поскольку у него 8 граней, это октаэдр. Однако термин октаэдр в основном используется для обозначения правильного октаэдра, который имеет восемь треугольных граней.

Как называется трехмерный Пентагон?

Трехмерная форма, состоящая из пятиугольников, представляет собой правильный додекаэдр.

Сколько сторон у восьмиугольника?

8

Есть ли у восьмиугольника прямые углы?

Восьмиугольник — это многоугольник с восемью сторонами.Если восьмиугольник — правильный восьмиугольник, то у него нет прямых углов или углов измерения 90 °.