Как построить пятиугольник в окружности с помощью циркуля: Построение пятиугольника подробно. — Чертежик

Как построить и нарисовать правильный пятиугольник по окружности

Правильный пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру, которая образовывается пересечением пяти прямых, создающих пять одинаковых углов. Такая фигура носит название — пентагон. С пятиугольником тесно связана работа художников — их рисунки строятся на основе правильных геометрических фигур. Для этого необходимо знать то, как быстро построить пентагон.

Чем интересна эта фигура? Форму пентагона имеет здание Министерства обороны Соединенных Штатов Америки. Это можно увидеть на фото, сделанных с высоты полета. В природе не существует кристаллов и камней, форма которых напоминала бы пентагон. Только в этой фигуре количество граней совпадает с числом диагоналей.

Параметры правильного пятиугольника

Прямоугольный пятиугольник, как и каждая фигура в геометрии, имеет свои параметры. Зная необходимые формулы, можно рассчитать эти параметры, что облегчит процесс построения пентагона. Способы и формулы расчетов:

• сумма всех углов в многоугольниках равна 360 градусам. В правильном пятиугольнике все углы равны, соответственно, центральный угол находится таким способом: 360/5 = 72 градуса;
• внутренний угол находится таким образом: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 градусов. Сумма всех внутренних углов: 108*5 = 540 градусов.

Сторона пентагона находится с помощью параметров, которые уже даны в условии задачи:

• если вокруг пятиугольника описана окружность и известен ее радиус, сторона находится по такой формуле: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1,1756*R.
• Если известен радиус вписанной в пентагон окружности, то формула расчета стороны многоугольника: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r.
• При известной величине диагонали пентагона его сторона рассчитывается таким образом: а = D/1,618.

Площадь пентагона так же, как и его сторона, зависит от уже найденных параметров:

• с помощью известного радиуса вписанной окружности площадь находится так: S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r.
• описанная вокруг пятиугольника окружность позволяет найти площадь по такой формуле: S = (n*R2*sin α)/2 = 2,3776*R2.
• в зависимости от стороны пентагона: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Построение пентагона

Построить правильный пятиугольник можно с помощью линейки и циркуля, на основе вписанной в него окружности или одной из сторон.

Как начертить пятиугольник на основе вписанной окружности? Для этого необходимо запастись циркулем и линейкой и сделать такие шаги:

1. Сначала необходимо начертить окружность с центром О, после чего на ней выбрать точку, А — вершину пентагона. От центра к вершине проводится отрезок.
2. Затем строится перпендикулярная прямой ОА отрезок, который также проходит через О — центр окружности. Его пересечение с окружностью обозначается точкой В. Отрезок О. В. делится пополам точкой С.
3. Точка С станет центром новой окружности, проходящей через А. Точка D — это ее пересечение с прямой ОВ в границах первой фигуры.
4. После этого проводится третья окружность через D, центром которой является точка А. Она пересекается с первой фигурой в двух точках, их необходимо обозначить буквами Е и F.
5. Следующая окружность имеет центр в точке Е и проходит через А, а ее пересечение с первоначальной находится в новой точке G.
6. Последняя окружность в этом рисунке проводится через точку, А с центром F. На ее пересечении с начальной ставится точка Н.
7. На первой окружности после всех проделанных шагов появились пять точек, которые необходимо соединить отрезками. Таким образом получился правильный пятиугольник АЕ G Н F.

Как построить правильный пятиугольник иным способом? С помощью линейки и циркуля пентагон можно построить немного быстрее. Для этого необходимо:

1. Cначала необходимо с помощью циркуля нарисовать окружность, центр которой — точка О.
2. Чертится радиус ОА — отрезок, который откладывается на окружность. Его делят пополам точкой В.
3. Перпендикулярно радиусу ОА начерчивается отрезок ОС, точки В и С соединяются прямой.
4. Следующим шагом является отложение длины отрезка ВС с помощью циркуля на диаметральной линии. Перпендикулярно отрезку ОА появляется точка D. Точки В и D соединяются, образуя новый отрезок.
5. Для того, чтобы получить величину стороны пентагона, необходимо соединить точки С и D.
6. D с помощью циркуля переносится на окружность и обозначается точкой Е. Соединив Е и С, можно получить первую сторону правильного пятиугольника. Следуя этой инструкции можно узнать о том, как быстро построить пятиугольник с равными сторонами, продолжая построение остальных его сторон подобно первой.

Интересные факты

В пятиугольнике с одинаковыми сторонами диагонали равны и образуют пятиконечную звезду, которая называется пентаграммой. Золотое сечение — это отношение величины диагонали к стороне пентагона.

Пентагон непригоден для полного заполнения плоскости. Использование любого материала в этой форме оставляет промежутки или образует наложения. Хотя природных кристаллов этой формы не существует в природе, но при образовании льда на поверхности гладких медных изделий возникают молекулы в виде пентагона, которые соединены в цепочки.

Наиболее простой способ получить правильный пятиугольник из полоски бумаги — завязать ее узлом и немного придавить. Этот способ полезен для родителей детей-дошкольников, которые хотят научить своих малышей распознавать геометрические фигуры.

Видео

Посмотрите, как можно быстро начертить пятиугольник.

Правильный пятиугольник

Пятиугольник — Картины и живопись художников. Графика и галереи.

Здравствуйте коллеги.
Сегодня построим правильный пятиугольник в окружности, попробуем начертить циркулем и линейкой фигуру.

Рисунки художников очень тесно связаны с черчением и геометрией. Если мы задумали какую-то композицию, а в ней есть геометрические фигуры, то нам необходимо знать, как изобразить предмет, что бы он не выглядел смешно, и что бы вы не выглядели дилетантом и смогли нарисовать пятиконечную звезду циркулем или в фотошопе. От этого зависит ваш авторитет художника, а значит и заказы.

Построение правильного пятиугольника не так часто встречается в рисунке, но все же есть моменты, когда нам это необходимо.

Например, нам нужно нарисовать пятиконечную звезду (пентаграмму) для картины о Советском прошлом или о настоящем Китая. Правда для этого нужно уметь создать рисунок звезды в перспективе. Это посмотрите в другом уроке.

Мы попробуем нарисовать звезду в фотошопе фронтально. Точно так же вы сможете нарисовать фигуру карандашом на бумаге. Всего лишь с помощью таких инструментов:

1. Циркуль
2. Карандаш
3. Линейка
4. Резинка

Как правильно нарисовать звезду, что бы она выглядела ровно и красиво, сразу не ответишь. Количество углов не четное, поэтому просто разделить окружность на равные части циркулем или линейкой не получится.

Что бы вписанный пятиугольник в окружность был пропорциональный, нам необходимо точно вычислить одну из сторон, а затем отложить этот отрезок пять раз на теле овала.

 

Как выглядит пятиугольник и звезда

Внизу на фото разберем, как нарисовать звезду поэтапно.
Для начала рисуем окружность с центром О.

 

Дальше отложим отрезок OA равный радиусу и разделим его пополам точкой B, как показано на фото внизу.

Теперь от точки В до точки С проведем прямую.

 

Отложим расстояние отрезка ВС на диаметральной линии окружности. Для этого можно воспользоваться циркулем. Таким образом у нас появилась точка D.

И отрезок DB. Картинка внизу.

 

Дальше, проведя линию от точки D к точке С, Мы получи длину равную стороне пятиугольника.

Дальше этот отрезок можно отложить на окружности. У нас появилась точка Е. Смотрим фото ниже.

Итак, одна из сторон пятиугольника у нас есть, это линия ЕС.

 

Такие же отрезки наносим на всей части круга. Смотрим картинку.

На этом построение правильного пятиугольника можно закончить. Что бы нарисовать звезду нужно просто соединить углы через один.

 

Нарисовать пятиконечную звезду циркулем можно так же, как и на нашем уроке в программе Photoshop, весь процесс такой же, только вместо программы графического редактора используем инструменты для черчения.

Так же можно посмотреть уроки построения шестиугольника,  разделение на восемь частей, деление круга на семь частей, десять равных частей.

 

Построение правильного пятиугольника — Сведения, необходимые при выполнении росписи

Первый способ — по данной стороне S с помощью транспортира.

Проводим прямую и откладываем на ней AB = S; принимаем эту линию за радиус и этим радиусом из точек A и В описываем дуги: далее с помощью транспортира строим в этих точках углы в 108°, стороны которых пересекутся с дугами в точках С и D; из этих точек радиусом АВ = 5 описываем дуги, которые пересекутся в Е, и прямыми линиями соединяем точки Л, С, Е, D, В.

Полученный пятиугольник — искомый.

---

Первый способ построения пятиугольника

 

---

Второй способ. Проведем окружность радиусом r. Из точки А циркулем проводим дугу радиуса AM до пересечения в точках В и С с окружностью. Соединяем В и С линией, которая пересечет горизонтальную ось в точке Е.

Затем из точки Е проводим дугу, которая пересечет горизонтальную линию в точке О. Описываем, наконец, из точки F дугу, которая пересечет окружность в точках Н и К. Отложив по окружности расстояние FO = FH = FK пять раз и соединив точки деления линиями, получим правильный пятиугольник.

---

Второй способ построения пятиугольника

---

Третий способ. В данный круг вписать правильный пятиугольник. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и МС. Делим радиус АО точкой Е пополам. Из точки Е, как из центра, проводим дугу окружности радиуса ЕМ и засекаем ею диаметр АВ в точке F. Отрезок MF равен стороне искомого правильного пятиугольника. Раствором циркуля, равным MF, делаем засечки N₁, Р₁, Q₁, К₁ и соединяем их прямыми.

---

Третий способ построения пятиугольника

---

На рисунке построен шестиугольник по данной стороне.

---

Построение шестиугольника

---

Прямой АВ = 5, как радиусом, из точек А и В описываем дуги, которые пересекутся в С; из этой точки тем же радиусом описываем окружность, на которой сторона А В отложится 6 раз.

Шестиугольник ADEFGB — искомый. 

«Отделка комнат при ремонте»,
Н.П.Краснов

Правильный пятиугольник — построение, свойства и формулы

Точное построение фигуры

Специалисты рекомендуют некоторую последовательность действий, по которым построить правильный пятиугольник очень просто. Для операции необходимы обыкновенная тетрадь в клеточку, циркуль, карандаш, резинка и линейка.

Следует выполнить некоторые шаги:

1. Построить окружность с центром в некоторой точке О.
2. Провести два диаметра. Они должны пересекаться под прямым углом.
3. Поставить точку V (пересечение окружности с одним из диаметров), которая является вершиной фигуры.
4. По левой стороне поставить точку D. Это пересечение диаметра (оси симметрии) с окружностью.
5. Отметить на отрезке OD точку А, которая делит его пополам.
6. Выполнить построение вспомогательной окружности, центром которой является точка, полученная в 5 пункте. Кроме того, круг с радиусом CV должен проходить через V.
7. Точку, полученную при пересечении диаметра и окружности, нужно обозначить литерой B.
8. Нарисовать окружность с радиусом, равным CV, из точки V.
9. Отметить пересечение круга с первой окружностью, центром которой является точка О. Искомое место пересечения обозначить литерой F (вторая вершина пентагона).
10. Поставить иглу циркуля в точку F и провести окружность через Е.
11. Обозначить пересечение окружностей с центрами в F и O точкой G, которая будет вершиной пентагона.
12. Аналогичным образом проделать шаг 11, только центр выбрать не в F, а в G. Полученную точку следует обозначить литерой H (последняя вершина фигуры).
13. Соединить пять точек (СVEFG) между собой с помощью линейки.

Если все пункты алгоритма выполнены правильно, то должен получиться пентагон, изображенный на рисунке 1:

Этот способ следует применять для точных построений и чертежей деталей. Однако для решения задач, в которых необходимо схематически изобразить пятиугольник, этот вариант не подойдет.

Алгоритм Биона

Прием Биона является менее точным методом, чем первый. Он позволяет построить любой правильный многоугольник, вписанный в произвольный круг.

Для операции необходимо воспользоваться алгоритмом (шаблоном) Биона, имеющим такой вид:

1. Начертить окружность с центром в точке О и радиусом R.
2. Провести в ней диаметр АD.
3. Построить правильный (равносторонний) треугольник с одной из сторон, равной диаметру.
4. Поделить диаметр на несколько равных частей (АС = СE = ED), количество которых вычисляется по формуле: (n — 2). Переменная «n» эквивалентна количеству граней правильного многоугольника, то есть n = 3. Соотношение можно записать следующей зависимостью: АС = [1 / (n — 2)] * AD = AD / 3.
5. Провести из точек С и Е прямые, перпендикулярные диаметру.
6. Точки пересечения прямых с окружностью обозначить F и G.
7. Если соединить точки, то получится пентагон ABDFG.

Погрешность построения многоугольника с 5, 7, 9 и 10 сторонами при использовании алгоритма довольно маленькая. Ее значения равно 3,2%. Однако при n>10 погрешность составляет не более 11%.

Приближенные методы

Существует несколько методов, позволяющих приближенно изобразить фигуру. Однако оптимальным является построение пентагона (рис. 2), используя две окружности (описанную и вписанную).

Метод известного математика А. Дюрера является оптимальным среди остальных, поскольку на построение затрачивается минимальное количество времени. Для его реализации следует выполнить определенные шаги алгоритма Дюрера:

1. Начертить произвольную окружность с центром в точке О.
2. Не вынимая иглу циркуля из точки О, выполнить построение другой окружности. Ее радиус нужно уменьшить таким образом, чтобы общий радиус R был равен стороне пятиугольника.
3. Отметить на окружности с большим радиусом две произвольные точки. При этом следует руководствоваться правилом: прямая, проходящая через них, должна касаться малой окружности в одной точке (касательная).
4. Отметить следующую точку, чтобы можно было соединить ее с предыдущей. Правило при этом должно соблюдаться.
5. Аналогично проделать операции с другими сторонами пентагона.

Существует еще один метод — построение пятиугольника из десятиугольника, который вписан в окружность. Для этого следует соединить его вершины через одну. Однако способ рекомендуется применять только в том случае, когда исходная фигура уже имеется. Кстати, его следует строить также методом А. Дюрера.

Математики рекомендуют еще один простой способ. Для его реализации необходимо начертить окружность с диаметром АD. После этого его нужно поделить на 3 равные части, то есть AB = BC = CD. Затем из точки С следует опустить перпендикуляры на окружность. Обозначить места пересечения точками E и F. Проделать такую же процедуру с точкой B, обозначив пересечения точками G и H. Остается лишь соединить все точки отрезками.

Признаки и свойства

Не всегда получается верно идентифицировать пятиугольник. Для этого математики предлагают признаки, которые применимы только к правильной фигуре. К ним можно отнести следующие:

1. Стороны равны между собой.
2. Любой угол правильного пятиугольника равен остальным его углам.

Следует отметить, что признаки справедливы для любого правильного многогранника. Пять осей симметрии имеет правильный пятиугольник (сколько сторон, столько и осей). Пентагон обладает некоторыми свойствами, которые будут очень полезны при решении задач. К ним можно отнести следующие:

1. Равенство сторон.
2. Углы равны по 108 градусов.
3. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
4. Сумма внутренних углов равна 180 * (5 — 2) = 540 (градусов), а внешних — 360.
5. Количество диагоналей соответствует 5.
6. Значение площади кольца, которое образуется между вписанным и описанным кругами, эквивалентно произведению квадрата длины стороны на константу Pi / 4.(1/2)] / 2.

Однако свойств недостаточно при решении задач, поскольку существуют некоторые формулы и соотношения для нахождения основных параметров пентагона.

Расчет параметров

С помощью соотношений можно легко найти необходимые характеристики любой фигуры. Однако в некоторых источниках не указаны условные обозначения известного параметра пентагона. Это существенно затрудняет понимание формулы, а также ее дальнейшее использование. Перед изучением следует нарисовать фигуру и обозначить некоторые величины, которыми могут быть диагонали, стороны, апофемы и радиусы.

Рекомендуется использовать различные литеры или буквенные обозначения. Недопустимо пронумеровывать вершины, поскольку при вычислениях можно ошибиться. Нельзя использовать вместо букв цифры при обозначениях. Например, пентагон ABCDE является правильной записью. Допускается применение чисел в индексах, а именно, в пятиугольнике правильного типа ABCDE при пересечении его диагоналей образовался пентагон A1B1C1D1E1.

Математики рекомендуют обозначать только промежуточные фигуры или их проекции литерами с индексами. Для каждой новой фигуры следует вводить другие обозначения. Не следует использовать зарезервированные переменные. Например, центр окружности в точке P является недопустимой записью, поскольку такой буквой обозначается периметр.

Условные обозначения

Для нахождения основных величин пентагона следует обозначить некоторые его параметры. Фигура имеет следующие обозначения:

1. Сторона: a.
2. Радиус вписанной и описанной окружностей: r и R соответственно.
3. Площадь: S.
4. Периметр и полупериметр: P и p соответственно.
5. Диагональ: d.
6. Отношение золотого сечения: Ф.

Значения сторон равны между собой. Площадь правильного пятиугольника — характеристика двумерной фигуры, которая показывает ее размерность. Периметром называется сумма всех 5 сторон. Полупериметр вычисляется по следующему соотношению: p = P / 2.(1/2).

Таким образом, при решении задач необходимо знать основные признаки, свойства, соотношения и формулы для нахождения основных характеристик пентагона. Практика обязательна, поскольку теоретические знания без практического применения бесполезны.

Построение с помощью циркуля и линейки — описание, алгоритмы и задачи

Построение с помощью циркуля и линейки – древнейший способ расчета в евклидовой геометрии. Известен со времен Древней Греции. Данная тема изучается в средних и старших классах на уроках геометрии.

Рассмотрим все случаи построения на конкретных примерах.

Построение отрезка, равного данному

Есть отрезок СD. Задача — начертить равнозначный данному отрезок той же величины.

Строится луч, имеющий начало в т. A. Циркуль отмеряет существующий отрезок CD. Циркулем откладывается отрезок, равнозначный первому отрезку, на том же начерченном луче от его начала (A). 

Для подобного чертежа ножку с иглой закрепляют в начале луча A, а с помощью части с грифелем проводится дуга до места соприкосновения с лучом. Данную точку можно обозначить т. B. 

Отрезок AB будет равнозначен отрезку СD. Задача решена.

Деление отрезка пополам

Имеется отрезок AB.

Сначала следует нарисовать окружность с радиусом больше половины отрезка AB с центром в т. A.

Далее чертится круг с тем же радиусом с серединой в т. B. В местах пересечения окружностей имеем т. C и т. D.

Сквозь эти точки требуется провести прямую линию. Получаем т. E, которая будет серединой отрезка AB.

Построение угла, равного данному

Имеется угол ABC.

Вблизи угла проводится луч ED. Далее чертится окружность с серединой в т. B. В итоге имеем точки M и N.

Оставив раствор циркуля прежним, рисуют круг с серединой в т. E. В точке соприкосновения имеем т. K.

Поменяв раствор циркуля на длину расстояния между т. M и т. N, нужно провести окружность с серединой в т. K. В итоге получается т. F. После чертится прямая из т. E через т. F. Образуется угол DEF, который будет равнозначен углу ABC. Задача решена.

Построение перпендикулярных прямых

Пример 1

Точка O находится на прямой a.

Есть прямая и точка, находящаяся на ней. Нанести линию, идущую через существующую точку и находящуюся под прямым углом к имеющейся прямой.

1. Шаг 1. Чертим круг с рандомным радиусом r с серединой в т. O. Окружность соприкасается с прямой в т. A и т. B.

2. Шаг 2. Из имеющихся точек строится круг с радиусом AB. Точки С и D являются точками соприкосновения окружностей.

Приложив линейку, чертят прямую, сквозь т. O и одну из т. C или т. D, к примеру отрезок OC.

Доказательство, что прямая OC лежит перпендикулярно a.

Намечаются два отрезка — AC и CB. Получившиеся треугольники будут равны, согласно третьему признаку равенства треугольников. Значит, прямая CO перпендикулярна AB.

Пример 2

Точка O находится вне прямой а.

Нарисовать окружность с радиусом r из т. O. Она должна проходить сквозь прямую a. A и B — точки её соприкосновения с прямой.

Оставив прежний радиус, рисуем окружности с серединой в т. A и т. B. Точка O₁ — место их соприкосновения.

Рисуем линию, соединяющая т. O и т. O1.

Доказательство выглядит следующим образом.

Две прямые ОО₁ и AB пересекаются в т. C. Согласно третьему признаку равенства всех треугольников AOB = BO₁A. Из данного вывода следует, что угол OAC = O₁AC. Одноименные треугольники также будут равны (согласно первому признаку равенства всех треугольников). 

Исходя из этого, выводим, что угол OCA = O₁CA, а, учитывая смежность углов, приходим к пониманию, что они прямые. А это означает, что OC – перпендикулярный отрезок, опущенный из т. O на прямую a. Задача решена.

Построение параллельных (непересекающихся) прямых

Имеется прямая и т. А, не лежащая на этой прямой.

Нужно отметить прямую, проходящую через т. A, и параллельную имеющейся прямой.

Берется рандомная точка на имеющейся прямой и именуется B. С помощью циркуля строится окружность радиуса AB с серединой в т. B. В месте пересечения окружности и данной прямой отмечается т. C.

Оставив прежний радиус, рисуется еще одна окружность, теперь уже с центром в т. C. При правильных расчетах дуга должна пройти через т. B.

C тем же радиусом AB строится окружность с серединой в т. A. Точку соприкосновения второй и третьей окружностей назовем D. Третья окружность, учитывая верность расчетов, также пройдет через т. B.

Проводится прямая через т. A и т. D, которая станет параллельной первой. В итоге, получились две параллельные прямые, BC и AD.

Задача решена.

Построение правильного треугольника, вписанного в окружность

Правила построения правильного треугольника, вписанного в окружность:

Отметить отрезок AB, чья длина будет равняться а.

Взять циркуль. Часть с иголкой расположить на т. А, а часть с карандашом на т. B. Прочертить окружность. В итоге, радиус круга будет равнозначен длине отрезка AB.

Далее иглу размещают на т. B, а часть с грифелем на т. A. Чертится круг. В итоге, его радиус будет равнозначен длине отрезка AB.

На чертеже окружности пересеклись в двух точках. Далее нужно соединить т. A и т. B и одну из вышеупомянутых точек. В результате получится равносторонний треугольник.

Стороны такого треугольника равнозначны радиусам двух окружностей, которые равны длине а. Задача решена.

Построение правильного четырехугольника вписанного в окружность

Вариант 1

Исходя из данности, что диагонали любого квадрата пересекаются в середине окружности и находятся по отношению к его осям под углом 45 градусов, производят следующие действия. Пользуясь линейкой и уголком с углами 45 градусов (см. рисунок), размечают вершины т. 1 и т. 3. 

Сквозь данные точки чертят отрезки, стороны четырехугольника, расположенные по горизонтали. Это т. 4 и т. 1, т. 3 и т. 2. В конце линейкой и уголком по его катету проводятся линии, расположенные по вертикали (высоты), отрезок т.1 — т. 2 и отрезок т. 4 — т. 3.

Вариант 2

Так как вершины правильного четырехугольника разделяют наполовину дуги окружностей, между точками диаметра (см. рисунок), то для достижения результата делают следующее: отмечают на точках перпендикулярных диаметров т. A, т. B и т. C и рисуют дуги до их соприкосновения. 

После чертят прямые через места соприкосновения дуг, которые выделены на фигуре линиями. Точки соприкосновения с окружностью будут являться вершинами — это т. 1 и т. 3, т. 4 и т. 2. Данные вершины полученного квадрата соединяют друг с другом.

Задача выполнена двумя способами.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника

Поместить на окружность т. 1, считая ее за вершину пятиугольника. Разделить отрезок AO пополам. Чтобы произвести подобную операцию, из т. A чертят дугу до места соприкосновения с окружностью в т. M и т. B. 

Расположив конкретные точки на прямой, получаем т. K, и после совмещаем с т. 1. Радиусом, длина которого – отрезок А1, сделать изгиб из т. K до места соприкосновения с линией АО в т. H. После совместить т. 1 и т. H, образуя одну из пяти сторон пятиугольника. 

Взять циркуль, величина раствора которого будет равна отрезку т.1 — т. H, нарисовать изгиб из т. 1 до соприкосновения с кругом. Так находят вершины 2 и 5. Отметив точки на вершинах 2 и 5, получают вершины 3 и 4. В конце все точки совмещают друг с другом.

Задача выполнена.

Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность

Решение подобной задачи строится на свойствах, где сторона шестиугольника равнозначна радиусу круга. 

Для расчета разделяют круг на шесть ровных частей и последовательно совмещают все полученные точки (см. рисунок). Задача решена.

Построение правильного пятиугольника — Студопедия.Нет

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 9Следующая ⇒

 

Задание	Построение	Алгоритм построения
1.3.3.1  Построение правильного пятиугольника по данной сторонеАВ.		Из концов отрезка А и В, как из центров, провести дуги радиусом R=АВ, О – точка пересечения этих дуг. Соединить О с серединой АВ, точкой F, и продлить эту линию, отложив на ней ОD=2/3 АВ. Провести дуги с центром в точке D радиусом R=АВ до пересечения их с ранее построенными дугами – получатся точки пересечения дуг: Е и С. Точки А, В. С, D, Е – вершины правильного пятиугольника.
1.3.3.2  Построение правильного пятиугольника и правильного десятиугольника по радиусу описанной окружности	I Поэтапное решение задачи:	— Провести два взаимно перпендикулярных диаметра СК и МА; — разделить радиус ОА точкой В пополам и радиусом ВС из точки В провести дугу окружности до пересечения с диаметром МА в точке D;   — разделить прямой СD окружность на 5 равных частей, и соединив полученные на окружности точки 1, 2, 3, 4, 5 деления прямыми, получить вписанный в окружность правильный выпуклый пятиугольник. (Отрезок ОD равняется стороне десятиугольника и делит окружность на десять равных частей).
	II	Проведя два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и СD, разделить радиус, например, ОС пополам в точке F и провести прямую FВ; — отложить на ней от точки F отрезок FЕ=FО; — тогда отрезок ВЕ равняется стороне десятиугольника, а хорда КL – стороне пятиугольника.

 

 

Построение правильного шестиугольника

 

1.3.4.1 Построение правильного шестиугольника по данной стороне
1.3.4.2 Построение правильного шестиуголь- ника  по радиусу  описанной окружности	Шестиугольник, две противоположные вершины которого лежат на горизонтальной оси	Из концов горизонтального диаметра провести как из центров две дуги радиусом R. Полученные точки пересечения 1,3,4,6 вместе с концевыми точками диаметра 2 и 5 будут искомыми точками деления.
	Шестиугольник, две противоположные вершины которого лежат на вертикальной оси	Строится аналогично. Только ножка циркуля (радиусом R) ставится в точки пересечения вертикального диаметра с окружностью. Полученные точки пересечения 1,2,4,5 вместе с концевыми точками диаметра 3 и 6 будут искомыми точками деления.
	Шестиугольник, противоположные вершины которого не лежат на оси	Точку 1 взять не на оси. Остальное построение аналогично предыдущему.
1.3.4.3 Построение правильного шестиуголь-ника по радиусу вписанной окружности		Способом построения описанного квадрата (см.п.1.3.2.4) построить сначала вершины описанного квадрата и провести вертикальные стороны квадрата. Через точки деления окружности (на 6 частей) 2, 3, 5 и 6 провести прямые до пересечения с вертикальными сторонами квадрата – получатся вершины С, D, F, Е правильного описанного шестиуголь-ника. Вершины А и В определить с помощьюдуги окружности радиуса ОЕ, которую провести до пересечения с продолжением вертикального диаметра заданной окружности.

 

 

---

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 616;

---

---

Как нарисовать идеальный пятиугольник

С помощью простых математических и геометрических инструментов мы покажем вам , как нарисовать идеальный пятиугольник . Не нужно сходить с ума или тратить два ластика целиком. Достижение пятиугольника , где каждая сторона равна с углами, которые соприкасаются, возможно, как мы объясним ниже.

Следующие шаги:

1

Первый шаг к нарисовать идеальный пятиугольник — это отметить точку в центре вашего листа.Поместите компас в точку и нарисуйте идеальный круг. Если у вас есть время, вот и другие способы нарисовать круг.

2

Используя центральную точку и транспортир, разделите круг на 5 точек. В круге 360 °, а 360/5 = 72 °. Таким образом, вы должны отмечать точку каждые 72º. Чтобы получить правильное измерение, используйте транспортир, чтобы получить идеальное измерение для вашего пятиугольника .

3

Подключите каждую соседнюю точку. Теперь у вас есть пятиугольник.

Если вы хотите нарисовать пентаграмму вместо пятиугольника: вместо того, чтобы соединять соседние точки вместе, вы должны соединить каждую точку с двумя противоположными точками.

Сотрите круг, если он вам больше не нужен.

4

Вы также можете нарисовать пятиугольник с помощью циркуля и линейки, если дан круг. Это будет полезно для определенных упражнений, а также может применяться, когда вам не нужно иметь определенный размер для боков.

1. Нарисуйте круг с радиусом циркуля A и центром A B.
2. Нарисуйте второй круг с тем же радиусом и центром в A.
3. Пересечение обоих кругов будет обозначено C.
4. Проведите линейкой прямую линию через A и C.
5. Нарисуйте еще одну прямую линию через B и C.
6. Эта вторая линия даст вам пересечение с первым кругом, который будет D.
7. Нарисуйте прямую линию от A до D.
8. Это создаст третье пересечение между вторым кругом и этой последней линией. Это будет перекресток E.
9. Установите циркуль на расстоянии между C и E и нарисуйте круг с центром в B.
10. Этот третий круг будет пересекать первую прямую линию. Это пересечение будет F.
11. Нарисуйте исходный круг еще раз.
12. Установите компас на расстояние между E и F. Это даст вам длину края идеального пятиугольника.
13. С помощью циркуля нарисуйте линии заданной длины.
14. Объедините каждую сделанную вами отметку с помощью компаса. Теперь у вас есть пятиугольник.

Этот метод может быть более сложным, но он дает 100% точность и даст вам идеальный пятиугольник.

Если вы хотите прочитать статьи, похожие на Как нарисовать идеальный пятиугольник , мы рекомендуем вам посетить нашу категорию «Ремесла и досуг».

вписанных и ограниченных кругов и многоугольников в GMAT

Вписанные и ограниченные

Еще один сложный тип геометрической диаграммы включает в себя многоугольники «внутри» окружностей или окружности «внутри» многоугольников.Когда многоугольник находится «внутри» круга, каждая вершина должна лежать на окружности:

На этой диаграмме неправильный пятиугольник ABCDE равен , вписанному в круг , а круг равен , описанному вокруг пятиугольника, . Можно также сказать: окружность ограничивает пятиугольника. Слово «вписанный» описывает внутреннюю форму, а слово «описанный» описывает внешнюю форму. Вот еще одна диаграмма с многоугольником снаружи.

Обратите внимание на то, что каждая сторона неправильного пятиугольника составляет касательной к окружности.Теперь пятиугольник равен , описанному вокруг окружности , а круг равен , вписанному в пятиугольнику . В обоих случаях внешняя форма описывается, а внутренняя форма вписывается.

Треугольники

Как это часто бывает при обсуждении многоугольников, треугольники — это особый случай при обсуждении вписанного и описанного. Каждый возможный треугольник может быть вписан в один круг и описывать другой круг .Это «универсальное двойное членство» верно ни для каких других многоугольников более высокого порядка — оно верно только для треугольников. Вот небольшая галерея треугольников, каждый из которых вписан в один круг и описывает другой.

Обратите внимание, что когда один угол является особенно тупым, близким к 180 °, разница в размерах между описанной окружностью и вписанной окружностью становится довольно большой. Также обратите внимание: в случае прямоугольного треугольника, второго изображения, гипотенуза треугольника равна диаметру описанной окружности.Мы вернемся к этому моменту.

Четырехугольники

Многие четырехугольники нельзя ни вписать в круг, ни описать кругом: то есть невозможно построить круг, проходящий через все четыре вершины, а также невозможно построить круг, к которому все четыре стороны обращены. касательная.

Некоторые четырехугольники, например продолговатый прямоугольник, можно вписать в круг, но нельзя описать круг. Другие четырехугольники, такие как наклонный ромб, описывают круг, но не могут быть вписаны в него.

Несколько элитных четырехугольников могут описывать один круг и вписываться в другой круг. Конечно, квадрат (внизу слева), самый элитный из четырехугольников, обладает этим свойством. Другой пример — «правый змей» (внизу справа), змей с парой противоположных прямых углов:

Хотя это «двойное членство» верно для всех треугольников, оно ограничено некоторыми частными случаями с четырехугольниками.

Высшие полигоны

То, что было верно для четырехугольников, верно и для всех высших многоугольников.

а. Большинство, подавляющее большинство, не могут ни описать круг, ни вписать круг.

г. Некоторые можно вписать в круг, но нельзя описать круг.

г. Некоторые могут описать круг, но не могут быть вписаны в круг.

г. Некоторые избранные могут как описать круг, так и вписаться в него.

Последняя категория, элитные члены, всегда включает правильный многоугольник. Подобно тому, как все треугольники имеют это «двойное членство», так и все правильные многоугольники.Вот галерея правильных многоугольников, как с вписанными, так и с описанными кругами.

Очевидно, что по мере увеличения количества сторон размеры двух окружностей становятся все ближе и ближе.

Вопросы

GMAT о вписанных и описанных многоугольниках встречаются редко и могут проверить как ваше понимание терминологии, так и ваши навыки визуализации, описывая геометрическую ситуацию (например, «прямоугольник JKLM вписан в круг») и , а не , дающий вам диаграмму .

Особый случай: треугольник, вписанный в полукруг

Это особый случай, который нравится GMAT. Он появляется в OG13 (DS # 118) и может легко появиться где-нибудь в разделе Quant вашего настоящего GMAT.

Если все, что вам известно, это то, что KL — это диаметр окружности, этого достаточно, чтобы установить, что ∠J = 90 ° и что треугольник JKL является прямоугольным треугольником с KL в качестве гипотенузы. С другой стороны, если все, что вам известно, это то, что треугольник JKL является прямоугольным с KL в качестве гипотенузы, этого достаточно, чтобы установить, что дуга KJL является полукругом, а KL — диаметром.Это мощный набор идей, потому что выводы работают в обоих направлениях и потому, что он неразрывно связывает две, казалось бы, несопоставимые идеи.

Кстати, этот пост — четвертый в серии из пяти статей. Вот вся серия.

1) Введение в круги на GMAT

2) GMAT Геометрия: круги и углы

3) Круговые и линейные диаграммы на GMAT

4) Вписанные и ограниченные круги и многоугольники в GMAT

5) Разбиение кругов GMAT: длины арок, секторы и числа Пи

Практический вопрос

1) На диаграмме выше S — центр круга.Если QS = 5 и QR = 6, что такое PQ?

А. 7

Б. 8

C. 9

Д. 10

E. 11

Разъяснение практических вопросов

1) Прежде всего, QS — это радиус, поэтому, если QS = 5, это означает PS = SR = 5 и диаметр PR = 10. Кроме того, поскольку PR — это диаметр, это означает, что треугольник PQR является прямоугольным треугольником с ∠PQR = 90 °. Нам известны две стороны этого прямоугольного треугольника: QR = 6 и PR = 10, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти третью сторону.2 = 100 — 36 = 64

PQ = sqrt {64} = 8

Ответ = Б

Самые популярные ресурсы

О Майке MᶜGarry

Майк создает уроки для экспертов и практические вопросы, чтобы помочь студентам GMAT добиться успеха. У него есть степень бакалавра физики и магистра религии в Гарварде, а также более 20 лет опыта преподавания, специализирующегося на математике, естественных науках и стандартизированных экзаменах. Майк любит разбивать футбольные мячи на орбите, и, несмотря на отсутствие очевидных черепных дефектов, он настаивает на том, чтобы поддержать Нью-Йорк Метс.

9 удивительных фактов о Пентагоне

Пентагон, где размещается Министерство обороны США, представляет собой замечательное здание, и оно было взломано с тех пор, как 75 лет назад, 11 сентября 1941 года, на его территории в Арлингтоне, штат Вирджиния, была прорвана земля. Германия, Италия, Япония и их союзники, а к 1945 году Пентагон станет домом для самых мощных вооруженных сил в мире.

1. ЭТО ПРОСТО ОГРОМНО.

Хорошо, вы это уже знаете, но насколько огромна? Около 6,6 миллиона квадратных футов. Более 17 миль коридоров. Центральная площадь в пять акров. Это всего 77 футов над землей (пять этажей), но каждая из его пяти сторон имеет длину 921 фут, что означает, что круг вокруг здания составляет почти милю, что может облегчить понимание того, почему в первые годы — раньше телефоны были на каждом столе, а до электронной почты — некоторые курьеры ездили по коридорам на роликовых коньках. После завершения строительства в 1943 году Пентагон стал самым большим офисным зданием в мире и до сих пор остается одним из самых больших.

2. ОНИ СОЗДАЛИ ЭТО БЫСТРО.

Поскольку здание было построено по частям, к концу апреля 1942 года — всего через восемь месяцев после заливки первой партии бетона — туда переехали сотрудники. 15 января 1943 года благодаря многосменной круглосуточной работе. суточный график строительства, он был выполнен.

3. АРХИТЕКТОРЫ ПЕНТАГОНА НЕ МОГЛИ УДЕРЖАТЬ СТРОИТЕЛЬСТВО.

Было такое давление, чтобы строить быстро — просто не хватало офисных площадей для тысяч военнослужащих, наводнивших Вашингтон после Перл-Харбора, — что строительство частей здания часто начиналось до того, как были закончены чертежей и другой проектной документации, несмотря на Здание проектируют около 1000 архитекторов.

4. ЧАСТЬ ИЗ БЕТОНА.

Кажется уместным, что выбор строительного материала для Пентагона был обусловлен нехваткой военных материалов. Из-за Второй мировой войны, которая шла в Европе за два года до начала строительства, стали не хватало. Поскольку для высокого строительства нужна сталь, Пентагон был задуман коротким. Первичный строительный материал? Бетон, состоящий частично из 680 000 тонн песка и гравия из Потомака.Также до недавнего времени отсутствовали лифты, потому что для их изготовления нужна сталь. Сейчас, благодаря масштабной реконструкции, их 70 штук.

5. ЭТО ПЯТЬ СТОРОН, ПОТОМУ ЧТО БЫЛА ФОРМА ИСХОДНОГО САЙТА.

Первым местом, выбранным для строительства, была ферма Арлингтон, имеющая форму пятиугольника. Но проектировщики подсчитали, что здание будет закрывать вид на Вашингтон с близлежащего Арлингтонского национального кладбища. Итак, было выбрано другое место (где раньше находился Гувер Филд).К этому времени планирование было настолько продвинуто, что форму уже нельзя было изменить. Кроме того, президенту Рузвельту понравился дизайн — важный фактор в сохранении первоначальной планировки. «Мне это нравится, потому что ничего подобного раньше не делалось», — сказал Рузвельт о дизайне.

6. ФОРМА ПЕНТАГОНА БЫЛА ТАКЖЕ ЭФФЕКТИВНОЙ.

«Подобно кругу, пятиугольник сокращает расстояние для ходьбы внутри здания — на 30–50 процентов меньше, чем в прямоугольнике, — подсчитали архитекторы, — но его линии и стены будут прямыми, и, следовательно, их будет намного легче построить», — писал Стив Фогель в Washington Post Magazine .По крайней мере теоретически, чтобы пройти между любыми двумя точками в здании, требуется не более шести минут. По словам Фогеля, форма также оказалась способствующей оптимальному использованию пространства и коммунальных услуг, таких как электричество и водопровод.

7. ВАННЫЕ ПОЧТИ БЫЛИ РАЗДЕЛЕННЫЕ.

В соответствии с законом штата Вирджиния, касающимся сегрегации в общественных зданиях на момент его постройки, Пентагон практически имел отдельные ванные комнаты и зоны для приема пищи. Но президент Франклин Д. Рузвельт в июне 1941 года объявил дискриминацию в оборонной промышленности вне закона своим указом 8802.После того, как Рузвельт посетил частично завершенное здание в 1942 году и заметил избыток ванных комнат (всего 284), он, возможно, настоял на том, чтобы не было разделения по признаку расы. По словам Сноупса, это была лишь одна из многих расовых проблем, которые возникли во время строительства.

8. ПРОТЕСТЕРЫ ПЫТАЛИСЬ ПОДНЯТЬ ЗДАНИЕ.

Шел 1967 год, когда накалялись страсти против военного присутствия США во Вьетнаме. Тысячи протестующих направились к Пентагону и в рамках драматического «экзорцизма» попытались поднять его с земли.Попытка не удалась, потому что для начала было 680 000 тонн песка.

Согласно устной истории этого события в журнале Arthur Magazine, на этапах планирования военные представители вели переговоры с лидерами протеста и пришли к компромиссу относительно взлета: они могли поднять здание только на три фута, а не на 22, как планировалось изначально. . Военные были обеспокоены тем, что подъем его выше приведет к серьезным повреждениям конструкции.

9. ТАЙНАЯ КВАРТИРА.

Чтобы сэкономить время на этапе строительства, на месте были построены квартиры для супервайзеров, и даже после завершения одна осталась.После того, как капитан Роберт Фурман обнаружил, что его бывшие раскопки — небольшая квартира без окон в служебном отсеке Департамента вооружений — остались, он использовал их, чтобы сэкономить на гостиничных расходах во время своих визитов в Вашингтон после строительства. В конце концов, начальство ухватилось за это, и секретное убежище было разобрано. Во время его пребывания там офисные работники видели, как он внезапно появлялся со своим чемоданом, но не понимали, почему. «Им всем было интересно, что было в этой комнате», — сказал он.

.