Как строить пятиугольник с помощью циркуля: Как построить пятиугольник с помощью циркуля

Как строить пятиугольник с помощью циркуля. Построение правильного пятиугольника. Деление окружности на равные части и вписывание правильных многоугольников

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника. Дан правильный многоугольник, число сторон которого представляет собой произведение натуральных чисел k и m, где m>2. Как построить правильный m-угольник? Гаусс показал также возможность построения правильного 257-угольника с помощью циркуля и линейки.

Построить пятиугольник и поможет именно эта окружность. В первую очередь необходимо построить циркулем окружность. Аналогичным образом необходимо построить еще один круг. Центр его в G. Точка пересечения его с первоначальной окружностью пусть будет H. Это последняя вершина правильного многоугольника.

Правда, процесс это достаточно длительный, как, впрочем, и построение любого правильного многоугльника с нечетным количеством сторон. Она и представляет собой многоугольник, остается только ввести параметры. Число сторон может достигать 1024. Можно использовать и командную строку, в зависимости от версии набрав « _polygon» или «мн.-угол».

Деление окружности на равные части и вписывание правильных многоугольников.

Введите туда цифру «5» и нажмите Enter. Вам будет предложено определить центр пятиугольника. Можно обозначить их как (0,0), но могут быть и любые другие данные. Пятиугольник может быть описанным вокруг окружности или вписанным в нее, но можно построить его и по заданному размеру стороны. Пятиугольник по заданной стороне сначала строится точно так же. Выберите «Рисование», замкнутую полилинию и введите число сторон.

В командной строке наберите координаты начальной и конечной точек одной из сторон пятиугольника. После этого пятиугольник появится на экране. Таким нехитрым способом можно построить не только пятиугольник. Для того чтобы построить треугольник, необходимо разведите ножки циркуля на расстояние, равное радиусу окружности.

Две точки пересечения окружностей, а так же точка, в которой была ножка циркуля образуют три вершины правильного треугольника. Оказалось, что есть несколько различных вариантов построения правильного пятиугольника, разработанных известными математиками. Восьмиугольник — это геометрическая фигура с восемью углами. Правильный восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все стороны (и углы) равны. Эта статья расскажет вам, как сделать восьмиугольник.

Окружность, дуги и многоугольники.

Определите длину стороны восьмиугольника (углы правильного восьмиугольника известны). На листе бумаги при помощи линейки нарисуйте прямую линию выбранной длины. Это первая сторона восьмиугольника (нарисуйте ее так, чтобы оставить место для рисования других сторон). Используя транспортир, отложите угол в 135o (от начала или конца первой стороны). Нарисуйте третью линию выбранной длины под углом в 135o ко второй линии. Продолжайте до тех пор, пока у вас не получится правильный восьмиугольник.

Таким образом, чем больше окружность, тем больше фигура (и наоборот). Нарисуйте вторую большую окружность, установив иглу циркуля в центре первой окружности. Установите иглу циркуля в прямо противоположной точке пересечения внутренней (малой) окружности и ее диаметра. У вас получится «глаз» в середине окружности. Нарисуйте две дуги, пересекающие внутреннюю окружность.

Построение правильных многоугольников по заданной стороне

Сотрите окружности, линии и дуги, оставив только восьмиугольник. Таким образом, вы придадите ему восьмиугольную форму. Используйте линейку, чтобы убедиться, что все стороны получились равными (так как вы делаете правильный восьмиугольник). Не загибайте углы так, чтобы они соприкасались друг с другом; в этом случае вы получите не восьмиугольник, а небольшой квадрат. Зачастую, когда говорят «восьмиугольник», имеют в виду правильный восьмиугольник.

Смотреть что такое «Правильный пятиугольник» в других словарях:

Таким образом, создав фигуру с восемью сторонами разной длины, вы получите неправильный восьмиугольник. Существуют многоугольники с пересекающимися сторонами. Например, пятиконечная звезда является многоугольником с пересекающимися сторонами. Правильные многоугольники уже в глубокой древности считались символом красоты и совершенства. Практическая задача построения таких многоугольников с помощью циркуля и линейки имеет давнюю историю.

Лишь в 1796 г. К. Ф. Гаусc доказал принципиальную невозможность этого построения с помощью только циркуля и линейки. В настоящем параграфе мы предлагаем вам самим поискать способы построения правильных многоугольников, вписанных в данную окружность или имеющих заданную сторону. Не менее важное практическое значение имеют методы приближенного построения в тех случаях, когда точное построение циркулем и линейкой неосуществимо.

Правильный пятиугольник — это многоугольник, у которого все пять сторон и все пять углов равны между собой. Вокруг него легко описать окружность. Теперь на окружности радиуса AО от любой точки последовательно отложим 11 дуг, каждая из которых равна дуге АВ. Получим вершины правильного двенадцатиугольника. Построение правильного пятиугольника по данной его стороне. Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника.

Правильный пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру, которая образовывается пересечением пяти прямых, создающих пять одинаковых углов. Такая фигура носит название — пентагон. С пятиугольником тесно связана работа художников — их рисунки строятся на основе правильных геометрических фигур. Для этого необходимо знать то, как быстро построить пентагон.

Чем интересна эта фигура? Форму пентагона имеет здание Министерства обороны Соединенных Штатов Америки . Это можно увидеть на фото, сделанных с высоты полета. В природе не существует кристаллов и камней, форма которых напоминала бы пентагон. Только в этой фигуре количество граней совпадает с числом диагоналей.

Параметры правильного пятиугольника

Прямоугольный пятиугольник, как и каждая фигура в геометрии, имеет свои параметры. Зная необходимые формулы, можно рассчитать эти параметры, что облегчит процесс построения пентагона. Способы и формулы расчетов:

• сумма всех углов в многоугольниках равна 360 градусам. В правильном пятиугольнике все углы равны, соответственно, центральный угол находится таким способом: 360/5 = 72 градуса;
• внутренний угол находится таким образом: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 градусов. Сумма всех внутренних углов: 108*5 = 540 градусов.

Сторона пентагона находится с помощью параметров, которые уже даны в условии задачи:

• если вокруг пятиугольника описана окружность и известен ее радиус, сторона находится по такой формуле: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1,1756*R.
• Если известен радиус вписанной в пентагон окружности, то формула расчета стороны многоугольника: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r.
• При известной величине диагонали пентагона его сторона рассчитывается таким образом: а = D/1,618.

Площадь пентагона так же , как и его сторона, зависит от уже найденных параметров:

• с помощью известного радиуса вписанной окружности площадь находится так: S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r.
• описанная вокруг пятиугольника окружность позволяет найти площадь по такой формуле: S = (n*R2*sin α)/2 = 2,3776*R2.
• в зависимости от стороны пентагона: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Построение пентагона

Построить правильный пятиугольник можно с помощью линейки и циркуля, на основе вписанной в него окружности или одной из сторон.

Как начертить пятиугольник на основе вписанной окружности? Для этого необходимо запастись циркулем и линейкой и сделать такие шаги:

1. Сначала необходимо начертить окружность с центром О, после чего на ней выбрать точку, А — вершину пентагона. От центра к вершине проводится отрезок.
2. Затем строится перпендикулярная прямой ОА отрезок, который также проходит через О — центр окружности. Его пересечение с окружностью обозначается точкой В. Отрезок О. В. делится пополам точкой С.
3. Точка С станет центром новой окружности, проходящей через А. Точка D — это ее пересечение с прямой ОВ в границах первой фигуры.
4. После этого проводится третья окружность через D, центром которой является точка А. Она пересекается с первой фигурой в двух точках, их необходимо обозначить буквами Е и F.
5. Следующая окружность имеет центр в точке Е и проходит через А, а ее пересечение с первоначальной находится в новой точке G.
6. Последняя окружность в этом рисунке проводится через точку, А с центром F. На ее пересечении с начальной ставится точка Н.
7. На первой окружности после всех проделанных шагов появились пять точек, которые необходимо соединить отрезками. Таким образом получился правильный пятиугольник АЕ G Н F.

Как построить правильный пятиугольник иным способом? С помощью линейки и циркуля пентагон можно построить немного быстрее. Для этого необходимо:

1. Cначала необходимо с помощью циркуля нарисовать окружность, центр которой — точка О.
2. Чертится радиус ОА — отрезок, который откладывается на окружность. Его делят пополам точкой В.
3. Перпендикулярно радиусу ОА начерчивается отрезок ОС, точки В и С соединяются прямой.
4. Следующим шагом является отложение длины отрезка ВС с помощью циркуля на диаметральной линии. Перпендикулярно отрезку ОА появляется точка D. Точки В и D соединяются, образуя новый отрезок.
5. Для того, чтобы получить величину стороны пентагона, необходимо соединить точки С и D.
6. D с помощью циркуля переносится на окружность и обозначается точкой Е. Соединив Е и С, можно получить первую сторону правильного пятиугольника. Следуя этой инструкции можно узнать о том, как быстро построить пятиугольник с равными сторонами, продолжая построение остальных его сторон подобно первой.

В пятиугольнике с одинаковыми сторонами диагонали равны и образуют пятиконечную звезду, которая называется пентаграммой. Золотое сечение — это отношение величины диагонали к стороне пентагона.

Пентагон непригоден для полного заполнения плоскости. Использование любого материала в этой форме оставляет промежутки или образует наложения. Хотя природных кристаллов этой формы не существует в природе, но при образовании льда на поверхности гладких медных изделий возникают молекулы в виде пентагона, которые соединены в цепочки.

Наиболее простой способ получить правильный пятиугольник из полоски бумаги — завязать ее узлом и немного придавить. Этот способ полезен для родителей детей-дошкольников, которые хотят научить своих малышей распознавать геометрические фигуры.

Видео

Посмотрите, как можно быстро начертить пятиугольник.

Правильный пятиугольник — это многоугольник, у которого все пять сторон и все пять углов равны между собой. Вокруг него легко описать окружность. Построить пятиугольник и поможет именно эта окружность.

Инструкция

В первую очередь необходимо построить циркулем окружность. Центр окружности пусть совпадает с точкой O. Проведите оси симметрии перпендикулярные друг другу. В точке пересечения одной из этих осей с окружностью поставьте точку V. Эта точка будет вершиной будущего

пятиугольник а. В точке пересечения другой оси с окружностью расположите точку D.

На отрезке OD найдите середину и отметьте в ней точку А. После этого нужно построить циркулем окружность с центром в этой точке. Кроме того, она должна проходить через точку V, то есть, радиусом CV. Точку пересечения оси симметрии и этой окружности обозначьте за В.

После этого при помощи циркуля проведите окружность такого же радиуса, поставив иголку в точку V. Пересечение этой окружности с первоначальной обозначьте как точку F. Эта точка станет второй вершиной будущего правильного пятиугольник а.

Теперь нужно провести такую же окружность через точку Е, но с центром в F. Пересечение только что проведенной окружности с первоначальной обозначьте как точку G. Эта точка так же станет еще одной из вершин пятиугольник а. Аналогичным образом необходимо построить еще один круг. Центр его в G. Точка пересечения его с первоначальной окружностью пусть будет H. Это последняя вершина правильного многоугольника.

У вас должно получиться пять вершин. Остается их просто соединить по линейке. В результате всех этих операций вы получите вписанный в окружность правильный пятиугольник .

Построение правильных пятиугольников можно с помощью циркуля и линейки. Правда, процесс это достаточно длительный, как, впрочем, и построение любого правильного многоугльника с нечетным количеством сторон. Современные компьютерные программы позволяют сделать это за несколько секунд.

Вам понадобится

• — компьютер с программой AutoCAD.

Инструкция

Найдите в программе AutoCAD верхнее меню, а в нем — вкладку «Главная». Нажмите на нее левой клавишей мыши. Появится панель «Рисование». Появятся разные типы линий. Выберите замкнутую полилинию. Она и представляет собой многоугольник, остается только ввести параметры. AutoCAD. Позволяет рисовать самые разные правильне многоугольники. Число сторон может достигать 1024. Можно использовать и командную строку, в зависимости от версии набрав « _polygon» или «мн.-угол».

Вне зависимости от того, пользуетесь ли вы командной строкой или контекстными меню, на экране у вас появится окошко, в которое предлагается ввести количество сторон. Введите туда цифру «5» и нажмите Enter. Вам будет предложено определить центр пятиугольника. Вбейте в появившееся окошко координаты. Можно обозначить их как (0,0), но могут быть и любые другие данные.

Выберите нужный способ построения. . AutoCAD предлагает три варианта. Пятиугольник может быть описанным вокруг окружности или вписанным в нее, но можно построить его и по заданному размеру стороны. Выберите нужный вариант и нажмите на ввод. В случае необходимости задайте радиус окружности и тоже нажмите enter.

Пятиугольник по заданной стороне сначала строится точно так же. Выберите «Рисование», замкнутую полилинию и введите число сторон. Правой клавишей мыши вызовите контекстное меню. Нажмите команду «edge” или «сторона”. В командной строке наберите координаты начальной и конечной точек одной из сторон пятиугольника. После этого пятиугольник появится на экране.

Все операции можно выполнять с помощью командной строки. Например, для построения пятиугольника по стороне в русскоязычной версии программы введите букву «с». В англоязычной версии это будет «_e”. Чтобы построить вписанный или описанный пятиугольник, введите после определения количества сторон буквы «о» или «в» (либо же английские «_с» или «_i»)

Таким нехитрым способом можно построить не только пятиугольник. Для того чтобы построить треугольник, необходимо разведите ножки циркуля на расстояние, равное радиусу окружности. Затем в любую точку установите иглу. Проведите тонкую вспомогательную окружность. Две точки пересечения окружностей, а так же точка, в которой была ножка циркуля образуют три вершины правильного треугольника.

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 -6, 4-3, 4-5 и 7-2, после чего прово­дим стороны 5-6 и 3-2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника . Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0-1-2 равен 30°, то для нахождения стороны

1-2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0-1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1-2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину-точку 1 и проводим диаметральную линию 1-4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность . Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4-1 и 3-2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1-2 и 4-3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Получим точку 1-вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

Толковый словарь Ожегова гласит, что пятиугольник представляет собой ограниченную пятью пересекающимися прямыми, образующими пять внутренних углов, а также любой предмет подобной формы. Если у данного многоугольника все стороны и углы одинаковые, то он называется правильным (пентагоном).

Чем интересен правильный пятиугольник?

Именно в такой форме было построено всем известное здание Минобороны Соединенных Штатов. Из объемных правильных многогранников лишь додекаэдр имеет грани в форме пентагона. А в природе напрочь отсутствуют кристаллы, грани которых напоминали бы собой правильный пятиугольник. Кроме того, эта фигура является многоугольником с минимальным количеством углов, которым невозможно замостить площадь. Только у пятиугольника количество диагоналей совпадает с количеством его сторон. Согласитесь, это интересно!

Основные свойства и формулы

Воспользовавшись формулами для произвольного правильного многоугольника, можно определить все необходимые параметры, которые имеет пентагон.

• Центральный угол α = 360 / n = 360/5 =72°.
• Внутренний угол β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Соответственно, сумма внутренних углов составляет 540°.
• Отношение диагонали к боковой стороне равно (1+√5) /2, то есть (примерно 1,618).
• Длина стороны, которую имеет правильный пятиугольник, может быть рассчитана по одной из трех формул, в зависимости от того, какой параметр уже известен:

• если вокруг него описана окружность и известен ее радиус R, то а = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
• в случае, когда окружность c радиусом r вписана в правильный пятиугольник, а = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
• бывает так, что вместо радиусов известна величина диагонали D, тогда сторону определяют следующим образом: а ≈ D/1,618.

• Площадь правильного пятиугольника определяется, опять-таки, в зависимости от того, какой параметр нам известен:
• если имеется вписанная или описанная окружность, то используется одна из двух формул:

S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r либо S = (n*R 2 *sin α)/2 ≈ 2,3776*R 2 ;

• площадь можно также определить, зная лишь длину боковой стороны а:

S = (5*a 2 *tg54°)/4 ≈ 1,7205* a 2 .

Правильный пятиугольник: построение

Данную геометрическую фигуру можно построить по-разному. Например, вписать его в окружность с заданным радиусом либо построить на базе заданной боковой стороны. Последовательность действий была описана еще в «Началах» Евклида примерно 300 лет до н.э. В любом случае, нам понадобятся циркуль и линейка. Рассмотрим способ построения с помощью заданной окружности.

1. Выберите произвольный радиус и начертите окружность, обозначив ее центр точкой O.

2. На линии окружности выберите точку, которая будет служить одной из вершин нашего пятиугольника. Пусть это будет точка А. Соедините точки О и А прямым отрезком.

3. Проведите прямую через точку О перпендикулярно к прямой ОА. Место пересечения этой прямой с линией окружности обозначьте, как точку В.

4. На середине расстояния между точками О и В постройте точку С.

5. Теперь начертите окружность, центр которой будет в точке С и которая будет проходить через точку А. Место ее пересечения с прямой OB (оно окажется внутри самой первой окружности) будет точкой D.

6. Постройте окружность, проходящую через D, центр которой будет в А. Места ее пересечения с первоначальной окружностью нужно обозначить точками Е и F.

7. Теперь постройте окружность, центр которой будет в Е. Сделать это надо так, чтобы она проходила через А. Ее другое место пересечения оригинальной окружности нужно обозначить

8. Наконец, постройте окружность через А с центром в точке F. Обозначьте другое место пересечения оригинальной окружности точкой H.

9. Теперь осталось только соединить вершины A, E, G, H, F. Наш правильный пятиугольник будет готов!

Все прекрасно знают что математика используется в самых разных профессиях и жизненных ситуациях

Введение.

Все прекрасно знают, что математика используется в самых разных профессиях и жизненных ситуациях. Математика – предмет непростой. И геометрию большинство учащихся называет «трудной». Задачи на построение отличаются от традиционных геометрических задач. Программа по геометрии предполагает изучение учащимися лишь простейших приемов и методов построений. Но применение этих приемов часто вызывает затруднения. Цикл задач на построение правильных многоугольников вызывает интерес и восхищение красотой построений, но и забывается достаточно быстро. При этом слабо формируются умения абстрагировать, моделировать, работать с литературой, не происходит развитие интереса к предмету.

Многие не привыкли замечать знакомые геометрические отношения в окружающем нас мире, применять знания, полученные в геометрии в черчении, физике и практической жизни.

Объектом моего исследования являются правильные многоугольники, построенные с помощью циркуля и линейки.

Цель моей работы: рассмотреть различные способы построений, как точные, так и приближенные. При использовании приближенных способов построений вычислить погрешности и оценить возможность применения.

Методы исследования:

Анализ уже существующих способов построений.

Поиск новых, более точных способов приближенных построений и способов простых в применении.

Задачи:

— получить более полное представление о различных способах построений;

—   проследить за развитием этого фрагмента геометрии в истории математики;

—   показать связь геометрии с другими науками;

—   показать применение задач на построение в практической жизни;

—  продолжить развитие исследовательских умений

1.О построениях циркулем и линейкой

Каждый ученик, изучающий геометрию в школе, знает, как построить с помощью циркуля и линейки отрезок равный данному, угол равный данному, биссектрису угла. Сможет провести перпендикуляр к прямой и найти середину отрезка. При помощи циркуля и линейки можно строить новые отрезки, длины которых полу­чаются из длин уже имеющихся от­резков при помощи следующих опе­раций: сложения рис1 а), вычита­ния б), умножения в), деления г) и извлечения квад­ратного корня д). Последовательно проводя эти опе­рации, при помощи циркуля и ли­нейки можно построить любой отрезок, длина которого выражается через единицу конечным числом операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. Такие числа называются квадратичными иррациональностями. Можно дока­зать, что никакие другие отрезки по­строить при помощи циркуля и ли­нейки нельзя.

.

2. Из истории геометрического построения циркулем и линейкой.

Традиционное ограничение орудий геометрических построений восходит к глубокой древности. В своей книге «Начала» Евклид (III век до н. э.) строго придерживается геометрических построений, выполняемых циркулем и линейкой, хотя названий инструментов он нигде не упоминает. Ограничения, по-видимому, были связаны с тем, что эти инструменты заменили собой веревку, первоначально служившую как для проведения прямых, так и для описания окружностей. Но многие историки математики объясняют произведенный Евклидом отбор материала тем, что он, следуя Платону и пифагорейцам, считал только прямую и круг «совершенными» линиями.

Искусство построения геометрических фигур было в высокой степени развито в Древней Греции. Древнегреческие математики еще 3000 лет назад проводили свои построения с помощью двух приборов: гладкой дощечки с ровным краем (это линейка) и двух заостренных палок, связанных на одном конце (это циркуль). Однако этих простейших инструментов оказалось достаточно для выполнения огромного множества различных построений. Древним грекам даже казалось, что любое разумное построение можно совершить этими инструментами, пока они не столкнулись с тремя знаменитыми впоследствии задачами.

Они издавна преобразовывали любую прямолинейную фигуру с помощью циркуля и линейки в произвольную прямолинейную фигуру, равновеликую ей. В частности, всякая прямолинейная фигура преобразовывалась в равновеликий ей квадрат. Поэтому понятно, что появилась мысль обобщить эту задачу: построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Это задача получила название квадратуры круга. Следы этой задачи можно усмотреть еще в древнегреческих и вавилонских памятниках второго тысячелетия до н.э. Однако ее непосредственная постановка встречается в греческих сочинениях V века до н.э.

Еще две задачи древности привлекали внимание выдающихся ученых на протяжении многих веков. Это задача об удвоении куба. Она состоит в построении циркулем и линейкой куба, имеющего объем вдвое больший, чем объем данного куба. Ее появление связывают с легендой, что на острове Делос в Эгейском море оракул, чтобы избавить жителей от эпидемии чумы, повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. И третья задача трисекции угла о делении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки.

Эти три задачи, так называемые 3 знаменитые классические задачи древности привлекали внимание выдающихся математиков на протяжении двух тысячелетий. И лишь в середине XIX века была доказана их неразрешимость, то есть невозможность указанных построений лишь с использованием только циркуля и линейки. В математике это были первые результаты о неразрешимости задач, когда средства решения указаны. Они были получены средствами не геометрии, а алгебры (с помощью перевода этих задач на язык уравнений), что еще раз подчеркнуло единство математики. Не поддаваясь решению, эти проблемы обогатили математику значительными результатами, привели к созданию новых направлений математической мысли.

Еще одной интереснейшей задачей на построение с помощью циркуля и линейки является задача построения правильного многоугольника с заданным числом сторон. Древние греки умели строить правильный треугольник, квадрат, правильные пятиугольник и 15-угольник, а также все многоугольники, которые получаются из них путем удвоения сторон, и только их. Лишь в 1796 году великий немецкий математик К.Ф.Гаусс открыл способ построения правильного 17-угольника при помощи циркуля и линейки и указал все значения N, при которых возможно построение правильного N-угольника указанными средствами. Первокурсник Геттингенского университета Карл Гаусс решил задачу, перед которой математическая наука пасовала более 2 с лишним тысяч лет. Таким образом, была доказана невозможность построения с помощью циркуля и линейки правильных 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23 и т.д. угольников.

Теория построения при помощи циркуля и линейки получила свое дальнейшее развитие. Был получен ответ на вопрос: можно ли решить задачу с помощью только одного из двух рассматриваемых инструментов, и достаточно неожиданный. Независимо друг от друга, датчанин Г.Мор в 1672 году и итальянец Л.Маскерони в 1797 году доказали, что любая задача на построение, разрешаемая циркулем и линейкой, может быть точно решена с помощью только одного циркуля. Это кажется невероятным, но это так. А в XIX веке было доказано, что любое построение, выполняемое с помощью циркуля и линейки можно провести лишь с помощью одной линейки, при условии, что в плоскости построения задана некоторая окружность и указан ее центр.

3. Правильные многоугольники.

Выпуклый многоугольник называется пра­вильным, если все его углы равны и все стороны равны. Квад­рат и равносторонний треугольник являются примерами пра­вильных многоугольников. Около любого правильного много­угольника можно описать окружность, и притом только одну, и также в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центры описанной около правильного многоугольника и вписанной в него окружно­стей совпадают.

Так же существует и другое определение:

Правильным многоугольником на­зывается многоугольник, вершины которого лежат на некоторой окруж­ности на одинаковых расстояниях друг от друга. Если у правильного многоугольника n вер­шин, то мы называем его правильным n-угольником. Если мы проведем п радиусов, соединяющих центр окруж­ности с вершинами, то получим п центральных углов величиной— каждый. Если можно построить угол, имеющий эту величину, то можно построить и сам многоугольник.

Теорема: Многоугольник, вписанный в окружность, является выпуклым. Если все стороны вписанного мно­гоугольника равны, то он является правильным.

Доказательство. Рассмотрим многоугольник вписанный в окружность с центром О. Докажем снача­ла что этот многоугольник выпуклый. Для этого нужно дока­зать, что он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей сторону многоугольника. Докажем, например, что он ле­жит по одну сторону от прямой. Для этого достаточно убедиться в том, что вершины принадлежат одной и той же полуплоскости с границей . Рассмотрим полу­плоскость с границей , в которой лежит точка . Точка принадлежит этой же полуплоскости, так как в противном случае прямая пересекает дугу окружности и, следовательно, имеет с окружностью больше двух общих точек, что невозможно. Точно так же вершина А₅ и все остальные вершины принадлежат этой же полуплоскости. Аналогично доказы­вается, что многоугольник лежит по одну сторону от каждой из прямых .

Рис.2

Пусть все стороны вписанного многоугольника равны: . Докажем, что углы много­угольника также равны:. Если п = 3, то это утверждение очевидно. Допустим, что n > 3, и рассмотрим вершины (Рис.2). Треугольники равны друг другу по трем сторонам, а так как эти треугольники равнобедренные, то . Поэтому . Точно так же доказывается равенство других углов многоуголь­ника. Следовательно, многоугольник правильный.

Используя эту теорему, докажем следующее утверждение:

каково бы ни было натуральное число n, большее двух, суще­ствует правильный n-угольник.

Возьмем какую-нибудь окружность с центром О и разде­лим ее на п равных дуг. Для этого проведем радиусы этой окружности так, чтобы

(Рис.3, на этом рисунке п = 8).

Если теперь провести отрезки , то получим n-угольник . Треугольники равны друг другу (по двум сторонам и углу между ними), поэтому . Отсюда согласно доказанной теореме следует, — правильный n-угольник.

Итак, каково бы ни было натуральное число n, больше двух, существует правильный n-угольник. Отсюда, однако, еще не следует, что с помощью циркуля и линейки такой многоугольник можно построить. Возникает вопрос, какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой? Частично ответ на этот вопрос дает следующая лемма:

Если построен какой-нибудь правильный n-угольник, то с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 2n-угольник.

Опишем около данного многоугольника А₁, А₂… А_n oкружность. Для этого построим серединные перпендикуляры a и b к oтрезкам А₁ А₂ и А₂ А₃ (на рисунке n= 4). Они пересекаются в некоторой точке О. Окружность с центром О радиуса ОА₁ является описанной около многоугольника А₁ А₂…Аn. Построим теперь середины В₁,В₂, …, B_n соответственно дуг А₁А₂, А₂ А₃,…, Аn А₁ следующим образом. Точки В₁и В₂ получаются как точки пересечения прямых а и b с дугами А₁ А₂ и А₂ А₃. Для построения точки B₃ проведём oкружность с центром А₃ радиуса А₃ В₂. Одна из точек пересечения этой oкружности с описанной окружностью есть точка В₂, а другая — искомая точка B₃. Аналогично строятся точки B₄,…, Bn. Соединив каждую из точек В₁, В₂,…, Bn отрезками с концами соответствующей дуги, получим 2n-угольник А₁ В₁ А₂ В₂ А₃… Аn Bn, который является правильным в силу теоремы о вписанном в окружность многоугольнике

Рис.4

На рис.4 по данному правильному четырёхугольнику А₁А₂А₃А₄ построен правильный восьмиугольник А₁ В₁ А₂ В₂ А₃ В₃ А₄ В₄.

Итак, если мы можем построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, где n — данное натуральное число, то можно построить правильные 2n-угольник, 4n-угольник и, вообще, 2∙n -угольник, где k — любое натуральное число. Знаменитый немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777- 1855) доказал следующую интересную теорему:

Построение правильного n-угольника с помощью линейки и циркуля возможно тогда и только тогда, когда число n имеет следующее разложение на множители:

n=2р

₁∙р₂…ps,

где m-целое неотрицательное число, а р₁, р₂,…,ps-различные между собой простые числа вида 2+1.

Рассмотрим примеры применения этой теоремы.

При m=0, s=1 число n имеет вид n=2+1. Для значений k, равных 0, 1, 2, 3, 4, получаем n=3, n=5, n=17, n=257, n=65 537.

При m=0, s=2 имеем n= р₁∙_{р 2 . Если, например, р1=3, р2=5, то n=15.}

Значит, согласно теореме Гаусса, можно построить циркулем и линейкой правильный 15-угольник, в чём мы убедимся позже (см. задачу 5 раздела» Построение правильных многоугольников»)

Число 7 простое, но оно не является числом вида 2+1, поэтому с помощью циркуля и линейки нельзя построить правильный семиугольник. Точно так же нельзя построить правильный девятиугольник. Отметим, наконец, что число 360=2∙3²∙5 не удовлетворяет теореме Гаусса, поскольку простое число 3 входит сомножителем два раза.

Следовательно, циркулем и линейкой нельзя построить правильный 360-угольник. Другими словами, нельзя разделить окружность на 360 равных частей и поэтому циркулем и линейкой нельзя построить угол в 1°.

Гаусс показал, что правильный многоугольник с нечет­ным числом вершин может быть по­строен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число п является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма.

Что это нам дает для небольших значений n? Очевидно, треугольник и пятиугольник могут быть построе­ны, в то время как семиугольник не может быть построен, так как 7 не является простым числом Ферма. Не может быть построен и девяти угольник, так как 9=3∙3 является произ­ведением двух равных простых чисел Ферма. Для n=11 и n=13 соответст­вующий п-угольник не может быть построен, но он может быть построен для n=15=и n=17.

Открытие Гаусса, естественно, воз­родило интерес к числам Ферма. За последнее столетие были предприня­ты поистине героические поиски «вручную», без помощи машин, но­вых простых чисел Ферма. В настоя­щее время эти вычисления ведутся со все возрастающей скоростью при по­мощи ЭВМ, однако до сих пор резуль­таты были отрицательными. Ни од­ного нового простого числа Ферма пока не найдено. И сейчас многие ма­тематики склонны считать, что их больше нет.

3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,…

4.Примеры построения n-угольников.

4.1 Построение правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника.

Построение правильного шестиугольника.

Анализ. Пусть АВ (рис.) — сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса OA = R. Сторона АВ является хордой, стягивающей дугу в 60°. Треугольник АОВ — равнобедренный, поэтому АВО==60°. Рассматриваемый треугольник АОВ равноугольный и, следовательно, равносторонний. Отсюда выте­кает, что AB = R, т. е.

Построение: Так как сторона правильного шестиугольника вписанного в данную окружность, равна радиусу этой окружности, то построение такого шестиугольника в том, что из любой точки окружности радиусом, равным радиусу окружности, на ней делают последовательно шесть засечек. Окружность окажется разделённой на шесть равных частей. Соединив последовательно точки деления хордами, впишем тем самым в окружность правильный шестиугольник.

Построение правильного треугольника.

Построение. Разделим окружность на шесть равных частей и соединим хордами точки деления через одну. Полученный вписанный треугольник ABC будет правильным, так как АВ = ВС = AC (черт. 68).

По формуле находим, что а₃= 2R sin 60°. но sin 60° = , следовательно,

Построение квадрата.

1. Разделим окружность на четыре равные части.

Решение. Из произвольной точки А₁ засекаем окружность радиусом, равным радиусу окружности (рис.7) в точке В, потом из точки В тем же радиусом засекаем окружность в точке С и из С — в точке A₃. Точки и A₃ —противоположные вершины квадрата. Для отыскания двух других вершин квадрата проводим из точек А₁ и A₃ дуги радиусом, равным А₁С, до пере­сечения в точке D. Из точки А₁ радиусом, равным OD, засекаем окружность в точках А₂ и A₄. Точки А₂ и A₄ искомые.

Доказательство.

Рис.7

2. Впишем в окружность данного радиуса квадрат и выразим его сторону через радиус.

Построение. Проводим в данной окружности два взаимно перпендикулярных диаметра АС и BD (рис.8). Точками А, В, С и D окружность разделилась на 4 равные части. Соединив последовательно отрезками точки А, В, С и D, получим квадрат.

По формуле находим, что а₄₌2R sin 45°, но sin 45°, следовательно, a₄ =2R или т.е. сторона квадрата, вписанного в круг, равна радиусу квадрата умноженному на.

4.2. Построение правильного десятиугольника, пятиугольника, пятнадцатиугольника.

Построение правильного десятиугольника.

1. Разделим окружность на десять равных частей.

Решение. Строим последова­тельно пять вершинА₁ A₂, А₃, A₄ и A₅ правильного шестиугольника (рис.9).

Рис.9

Из точек А₁ и A₄ радиусами, равными и, проводим дуги до пересечения в точке В. . Из точек A₃ и A₅ — радиусами, Равными , проводим дуги до пересечения в точке С. Докажем, что ОС = а₁₀.

Доказательство. Точка С лежит на прямой. D —точка пересечения прямых A₁CA₄ и А₃А₅; (апофема правильного треугольника). Из прямоугольного треугольника A₃DС имеем:

Деление окружности на десять равных частей при помощи одного циркуля было известно ещё Птолемею.

2. По данной стороне построить правильный десяти­угольник.

Решение. Из формулы а₁₀ = выражающей сторону правильного вписанного десятиугольника через ра­диус r окружности, находим, что

Итак, зная сторону правильного десятиугольника, вписан­ного в круг, можно определить радиус круга и построить круг. Пусть А_гВ = а₁₀. Из точки В как из центра радиусом, равным— стороне десятиугольника, проводим окружность (рис.10). Строим последовательно пять вершин А_1,A₂,А₃,A₄,A₅ правильного вписанного шестиугольника. Из точек A₁ и A₄ радиусами A_tA₃ и A₂A₄ соответственно проводим дуги до их пересечения и в точке К; , где .

Из точек A₃ и A₅ радиусом, равным , проводим дуги до их пересечения в точке С.

Отрезок CA₄ = а₁₀ = —радиус круга, описанного около десятиугольника, сторона которого А₁В дана.

Действительно, точка С лежит на А₁В .Точка D лежит в середине отрезка А₃А₅; DA₄ — апофема правильного треугольника, вписанного в круг радиуса а₁₀,

а потому DA< = —f— Из прямоугольного треугольника

имеем:

Рис.10

.

Итак,

Т.е. равно радиусу круга, описанного около десятиугольника.

Для отыскания центра круга из точек A_t и В радиусом равным СА₄, проводим дуги до их пересечения в точке О. Из центра О радиусом ОА₁ проводим окружность. Откладывая последовательно от точки А₁ десять раз дуги радиусом, равным A_t В , построим искомый десятиугольник.

Построение правильного пятиугольника.

1. Разделим окружность на пять равных частей.

Разделив окружность на десять равных частей, отмечаем точки деления через одну. Эти точки — вершины правильного пяти­угольника.

2.По данной стороне AB построить правильный пятиугольник

Описываем из центра А окружность радиусом АВ. Строим АН=а₁₀=(-1). От B последовательно три раза засекаем окружность дугой, радиус которой равен АН; получаем точку С —вершину пятиуголь­ника. Действительно, = 108° (по построению). Итак, мы имеем три вершины искомого пятиугольника. Для получения двух других поступаем следующим образом: из точки В проводим дугу радиусом АВ и из вершины А —дугу радиусом, равным ВС, до их пересечения в точке D. Точка D —четвёртая вершина пятиугольника (диагональ ВС равна диа­гонали BD). Для получения пятой вершины Е из точек С и D проводим дуги радиусом, равным АВ.

Рис.11

Построение правильного пятнадцатиугольника.

Способ построения заключается в этом: центральный угол в правиль­ном 15-угольнике равени он может быть получен с помощью , угла в, соответствующего правильному пятиугольнику, и угла в соответствующего правильному тре­угольнику, если удвоить первый угол и вычесть из него второй.

Если мы можем построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, где n — данное натуральное число, то можно построить правильные 2n-угольник, 4n-угольник и, вообще, 2∙n -угольник, где k — любое натуральное число. С другой стороны, из 2n- угольника можно получить n-угольник, исполь­зуя лишь каждую вторую вершину. Это показывает, что достаточно про­вести поиск многоугольников, ко­торые могут быть построены с по­мощью циркуля и линейки, только среди многоугольников с нечетным числом вершин.

5. История построения правильного 17-угольника.

«Математическая деятельность Гаусса, — пишет Феликс Клейн,- началась одним крупным открытием, которое привело его к твёрдому убеждению навсегда посвятить себя науке… 30 марта 1796 года ему – девятнадцатилетнему — удалось показать, что правильный семнадцатиугольник может быть построен с помошью циркуля и линейки», т. е. совершить прорыв в проблеме, где не было никакого прогресса в течение свыше 2000 лет. Подобно Архимеду Гаусс выразил желание, чтобы на его могиле был увековечен семнадцатиугольник. Потомки постарались выполнить завещание великого учёного. Они воздвигли ему памятник (на родине, в Брауншвейге), который стоит на постаменте, являющемся правильным семнадцатиугольником. Но если не знать этого, то и не заметишь: правильный семнадцатиугольник почти неотличим от круга.

Угадать спо­соб построения правильного семнадцатиугольника в рамках традицион­ных геометрических методов времени Евклида (подобие треугольников и т. п.) было практически невозмож­но; это открытие по существу при­надлежит другой эпохе в математике

Для построения правильного семнадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, достаточно построить отрезок длины cos ( рис.12). Однако для этого построения Гауссу потребовались некоторые соотношения в комплексных числах, он получил следующее выражение для cos :
cos =-1+++ .

.

Рис.12

6.Приближённые построения.

6.1Приближённое построение правильного пятиугольника.

Приближенное построение правильного пятиугольника способом А. Дюрера.

Приближенное построение правильного пятиугольника представляет собой интерес. А.Дюрером оно проводится при условии неизменности раствора циркуля, что повышает точность построения. Способ построения описан Дюрером так:»Однако пятиугольник, построенный неизменным раствором циркуля, делай так. Проведи две окружности так, чтобы каждая из них проходила через центр другой. Два центра А и В соедини прямой линией. Это и будет стороной пятиугольника. Точки пересечения окружностей обозначь сверху С, снизу D и проведи прямую линию CD. После этого возьми циркуль с неизменным раствором и, установив одну его ножку в точку D, другой проведи через оба центра А и В дугу до пересечения её с обеими окружностями. Точки пересечения обозначь через E и F, а точку пересечения с прямой CD обозначь буквой G. Теперь проведи прямую линию через Е и G до пересечения с линией окружности. Эту точку обозначь Н. Затем проведи другую линию через F и G до пересечения с линией окружности и поставь здесь J. Соединив J,A и H,B прямыми, получим три стороны пятиугольника. Дав возможность двум сторонам такой длины достигнуть совпадения в точке K из точек J и H, получим некоторый пятиугольник.»

Рис. 13

6.2 Приближённое построение девятиугольника.

Сторона правильного девятиугольника, выраженная через радиус R описанной окружности, имеет длину, равную R.

Способ Герона.

Еще в I в. Герон Александрийский указал при­ближенное значение длины стороны этой фигуры, приняв ее равной двум третьим радиуса. Нетрудно подсчитать, что сторона правильного девяти уголь­ника окажется 0,(6). Таким образом, абсолютная погрешность составляет 0,0174. Для практических нужд это приближение вполне удовлетворительно, поскольку его погрешность соответствует возмож­ностям обычных чертежных инструментов.

Способ Дюрера:

Дюрер же предложил другой способ пост­роения. Пусть А, В и С-вершины треугольника, вписанного в окружность единичного радиуса (рис.15). Проведем дуги АОВ, ВОС, СОА окружно­стей того же радиуса с центрами в точках центрально-симметричных вершинам треуголь­ника относительно центра О. Построенную фигуру называют «рыбьим пузырем».

Радиус ОВ разделим на три равные части (точки D и E). Проведем окружность радиуса OD с тем же центром в точке О и построим в ней хорду FG, как показано на рис. 1. Проведя затем через точки F и G радиусы исходной окружности, получим на ней точки и . Хорда , приближенно равна стороне правильного девяти угольника. Под­черкнем, что построение выполнено в строгом со­ответствии с классическими требованиями, т.е. только с помощью циркуля и линейки.

Докажем, что оно приводит к поставленной цели (рис. 16). Так как секторы, и FOG подобны и коэффициент подобия равен трем по построению, то

Рис.16

Хорда FG = 2FH =. Но значит, . Остается найти угол FOH.

Проведем каса­тельную OY к дуге СОВ в точке О. Угол YOB равен 30° (в
этом нетрудно убе­диться, зная, что отрезки ,OB и равны и =9О°), а искомый угол F0H со­ставляет 30° — а, где а — угол между хордой OF и касательной. Как известно, такие углы измеряют­ся половиной дуги, отсекаемой хордой. Но на эту же дугу опирается и угол FA₁O — центральный для окружности с центром в точке А₁ ,который равен 2а. В равнобедренном треугольнике биссек­триса А₁К делит основание OF пополам, т.е.. По построению ОА₁ = 1, отсюда sin =.

Найдем sin(30°—) . Теперь нетрудно определить, чему равен отрезок, что действительно близко к 0,6840.

Результат Дюрера отличается от дроби, предложенной Героном, причем абсолютная погрешность у Дюрера оказывается меньшей 0,0133, относительная 1,9%.

Современный способ построения (автор Р.И.Сарбаш)

Произвольным раствором циркуля описываем окружность с центром О, через который проводим диаметр АВ (рис.14). Тем же раствором циркуля, ставя его ножку в точку А, описываем дугу, пере­секающую окружность в двух точках — С и D. Че­рез эти точки проводим прямую, делящую радиус AO пополам в точке Е. Отрезок СЕ, представля­ющий собой высоту равностороннего треугольни­ка со стороной R, также делим пополам с помо­щью циркуля и линейки. Затем половину отрезка CE, равную , с помощью циркуля откладываем на диаметре АВ от точки В к центру окружности, получив при этом точку F. Далее раствором циркуля, равным AF, поставив его ножку в точку F, делаем засечку на окружности, обозначив на ней точку K Прямая, соединяющая точки A и K, пересечёт проведённую ранее дугу радиуса R в точке L. Теперь выразим длину отрезка EL через элементы треугольников AEL и AOK , для чего используем теорему косинусов:

Величину угла определим с помощью все той же теоремы косинусов:

После соответствующей подстановки значения, а и вынесения R за знак радикала найдем длину EL:

Как видим, длина отрезка EL очень незначи­тельно отличается от приведенной выше величины 0,68404 R, что позволяет с достаточно большой сте­пенью обоснованности считать ее равной длине стороны правильного девяти угольника. Относи­тельная погрешность предложенного построения составляет примерно 0,15%, что для практических целей вполне приемлемо.

Рис.14

7. Построение правильных вписанных в окружность многоугольников с любым числом сторон.

Один из практических методов, позволяющий построить правильный вписанный в окружность многоугольник с любым числом сторон известен как приём

Биона .

Пусть дана окружность и АВ — её диаметр. Построим правильный треугольник АВС и разделим АВ‚ точкой D в отношении AD : AB =2 : n. Пусть продолжение CD пересечёт окружность в точке E. Тогда АЕ представляет сторону правильного вписанного n-угольника.(На рис.17 приведено построение стороны правильного семиугольника.) При n=5,7,9,10 погрешность построения не превышает 1%. С возрастанием n погрешность приближения растёт, но остаётся меньше 10,3%.

Рис.17

Ещё в XV в. великий художник Леонардо да Винчи (1452-1519), установил соотношение

между стороной многоугольника и апофемой:

Рис.18

аn/2 : ha =3/n-1(рис.18), которое можно выразить так: tg180°/n =3/n-1.

В 1888 г. в журнале » Вестник опытной физики и элементарной математики» появилась статья Ф. Коваржика, где он предложил общий способ построения правильных многоугольников по данной стороне (рис.19).

Пусть АВ- сторона правильного n-угольника, который требуется построить. На АВ строим равносторонний треугольник АВС, из точки С опускаем перпендикуляр CD на АВ и продолжаем его. Затем делим АВ на 6 равных частей и такие откладываем на СD по обе стороны от С. Точки деления являются центрами окружностей, описанных около искомых многоугольников. Перенумеровав эти точки, как показано на рисунке, получим, что, например, А7 — радиус окружности, описанной около семиугольника, сторона которого равна АВ.

Рис.19

Для шестиугольника и двенадцатиугольника такое построение даёт точный результат. Докажем, что для других значений n предложенное построение обладает достаточно высокой точностью. Пусть величина центрального угла ANB некоторого n-угольника равна х. Обозначим АВ через а. Тогда

tgx/2=AD/ND=AD/(NC+CD)=a/2((n-6)∙a/2+(a∙)/2)=

=3/n-6+3 = 3/(n-1)+0,19615.

n	tgх/2= 3/(n-1+0.196)	Центральный угол х	Точное значение угла α =
7	0,4841	51,68	51,42
8	0,4169	45,26	45
9	0,3660	40,2	40
10	0,3262	36,14	36
11	0,2942	32,78	32,72
15	0,2113	23,9	24
18	0,1745	19,8	20
20	0,1565	17,8	18
30	0,1028	11,74	12
40	0,0765	8,78	9

Приближённые способы построения правильных многоугольников просты и удобны на практике.

7.1 Пример построения правильного 59- угольника.

Построим правильный 59-угольник с использованием всего лишь простейших инструментов — циркуля и линейки без делений.

При этом выполняют следующие построения (рис.20):

1. В заданной окружности АВ с центром в точке Р проводят два перпендикулярных диаметра ОВ и АК;

2. Откладывают на заданной окружности вниз от точки О произвольным размером 59 равных дуг. При этом отмечают точкой 4 окончание четвертой отложенной дуги, а точкой 59 — окончание 59-й дуги;

3. Точки А и 59 соединяют отрезком, который пересечет диаметр ОВ в точке М;

4. Проводят луч из точки М через точку 4;

5. Из точки М проводят циркулем полуокружность радиусом АМ, которая пересечет диаметр ОВ в точке Е, его продолжение за точкой О — в точке Н, и луч из точки М через точку 4 — в точке Т;

6. Откладывают на дуге АЕ от точки А дугу АС, равную дуге НТ;

7. Проводят луч из точки Р через точку С, который пересечет заданную окружность в точке Д. При этом величина дуги АД на заданной окружности составит точно 1/59 длины заданной окружности с центром в точке Р;

8. Откладывают на заданной окружности от точки Д вниз следующие дуги: ДД1 , Д1 Д2 и т.д. до дуги Д57 А, все равные дуге АД;

9. Соединяют отрезками точки А и Д, Д1 и Д2 и т.д. до точек Д 57 с точкой А, получают при этом правильный  59-угольник, вписанный в заданную окружность с центром в точке Р.

Точность геометрических построений по данному способу, в основном, зависит от точности применяемых инструментов и тщательности выполняемых построений.

 

Особенность описанного построения правильного  59-угольника в том, что он выполняется методом засечек с использованием всего лишь простейших инструментов — циркуля и линейки без делений.

7.2 Приспособление для построения правильных n- угольников.

Если построение правильных многоугольников с четным количеством сторон с применением простых инструментов — циркуля и линейки без делений — не вызывает особых затруднений, то построение правильных многоугольников с нечетным количеством сторон (например, 7 или 9 и более сторон) без специальных сложных устройств весьма затруднено.

Предложено простое устройство для графического построения правильных многоугольников как с четным, так и нечетным количеством сторон.

Устройство (рис.21) представляет собой тонкую прозрачную или непрозрачную полимерную пластинку в виде полукруга с центром в точке Р. Основание полукруга представляет собой ровную линейку без делений. По внешней стороне полукруга с левой стороны нанесены риски с одним и тем же интервалом. Каждая риска обозначена цифрами от 1 до 35 (или кратными последней цифре, например 5, 10, 15 и т.д.). Расстояние между рисками выбрано по величине произвольно. Количество рисок на устройстве определяет максимальное количество сторон для построения правильного многоугольника.

С уменьшением расстояния между рисками возможно расположить по контуру полукруга большее количество рисок, что позволит строить правильные многоугольники с большим количеством сторон.

На правой стороне полукруга от точки В риской А отделена дуга величиной 60 градусов.

Графическое построение правильных многоугольников при помощи данного устройства производится следующим образом. Например, необходимо построить правильный 9-угольник. Для этого делают следующие шаги:

1. Проводят на листе бумаги горизонтальную линию.

2. Прикладывают полукруг сверху на проведенную линию и обводят по контуру полностью полукруг. После этого точками обозначают на листе бумаги риски с буквами Р, О, В, А, а также точки напротив рисок с цифрами 6 и 9.

3. Проводят линию между точками 6 и В.

4. Проводят два луча: один из точки Р через точку А, а второй — из точки 9 параллельно линии ОВ. Эти два луча пересекутся в точке, которую необходимо обозначить, например, буквой К.

5. Циркулем проводят полуокружность из точки М на линии ОВ так, чтобы эта полуокружность проходила через точки 9 и К. В этом случае точка М является точкой пересечения диаметра ОВ с перпендикуляром к середине отрезка, соединяющего точки 9 и К.

6. Проведенная циркулем полуокружность пересечет линию ОВ в точке Е, а ее продолжение за точку В — в точке Д, и, кроме того, она пересечет луч из точки В через точку 6 в точке С.

7. Циркулем откладывают на дуге КД дугу НД, равную дуге СЕ.

8. Проводят луч из точки Р через точку Н, который пересечет дугу АВ в точке Т. Величина дуги ВТ составит точно 1/9 часть окружности с центром в точке Р и радиусом РВ.

9. Откладывая на данной окружности девять размеров дуги ВТ и соединив соседние засечки отрезками, получают правильный 9-угольник, вписанный в окружность с центром в точке Р.

Точность графических построений зависит только от точности применяемых инструментов и тщательности выполняемых графических работ.

 

 

 

Литература:

1.         Атанасян Л.С. и др.   Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М: «Просвещение». 1998.

2.         Атанасян Л.С. и др.  Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса – М.: «Просвещение»,1997.

3.         Перельман Я.И.  Занимательная геометрия. – М.: АО «Столетие» 1994.

5.         Прасолов В.В.  Задачи по планиметрии. Части 1 и 2.- М.: «Наука» 1991.

7.         Дорофеев Г.В. и др.  Избранные вопросы математики. Журнал «Математика в школе» № 10 2003г.

8.         Ботвинников А.Д.  Справочник по техническому черчению. – М.: «Просвещение» 1974.

9.

• Б. И. Аргунов, М Б Балк. Геометрические построения на плоскости, Пособие для студентов педагогических институтов. Издание второе. М., Учпедгиз, 1957 — 268 с.

• Ю. И.  Манин, О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки, Энциклопедия элементарной математики книга четвёртая (геометрия), М., Физматгиз, 1963. — 568с.

 

 

         

Выступление.

Тема моей работы «Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки».В школе на уроках геометрии рассматривается задача о построении пра­вильных многоугольников при помощи циркуля и линейки. Легко построить правильный четырехугольник-квадрат. Совсем просто строится правильный треугольник и почти так же правильный шестиугольник (его сторона равна радиусу описанной около него окружности). Более хитрое дело — построе­ние правильного пятиугольника. Научившись строить указанные многоугольники, легко по­строить и многие другие. И у меня возник вопрос : « А любой ли многоугольник можно построить циркулем и линейкой?»

Оказалось, что еще в древней Греции никому из самых замечательных геометров, не удалось построить ни правильного семиугольника, ни правильного девяти угольника; не удавалось осуществить построения правильного р-угольника ни для какого простого р, отличного от 3 и 5. Две тысячи лет никто не мог продвинуться в решении этой проблемы. И лишь совсем недавно 210 лет назад в 1796 году 19-ти летний Карл Фридрих Гаусс доказал возможность построения правильного 17-угольника при помощи циркуля и линейки.

В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему построения

правильных n-угольников циркулем и линейкой, выяснив, в частности, что такое построение невозможно при p = 7, 9, и 13, и что правильный n-угольник можно построить, только если n=2р

₁∙р₂…ps, где m-целое неотрицательное число, а р₁, р₂,…,ps-различные между собой простые числа вида 2+1.

Но как же тогда построить 7- или 9- угольник? Существуют ли приближенные способы построения правильных многоугольников? Какова их точность? Существуют ли какие- либо компьютерные программы, позволяющие строить многоугольники? На эти вопросы я и постарался ответить в своей работе. Для каждого из приближенных способов я нашел погрешность построения Так например еще в I в. Герон Александрийский указал при­ближенное значение длины стороны 9 угольника, приняв ее равной двум третьим радиуса. Абсолютная погрешность его способа составляет около 2%. Чем сложнее способ построения, тем он точнее. Так ,например приём Биона: при n=5,7,9,10 погрешность построения не превышает 1%. С возрастанием n погрешность приближения растёт, но остаётся меньше 10,3%. Способ заключается в следующем:

Пусть дана окружность и АВ — её диаметр. Построим правильный треугольник АВС и разделим АВ‚ точкой D в отношении AD : AB =2 : n. Пусть продолжение CD пересечёт окружность в точке E. Тогда АЕ представляет сторону правильного вписанного n-угольника.

Также в своей работе я рассмотрел способ построения 59 угольника,(рассказать о способе)

Считаю, что материал моей работы может быть использован на уроках геометрии, черчения (особенно простые универсальные способы построений), ОИВТ или как факультатив, на котором учащиеся смогут научиться выполнять построения с помощью циркуля и линейки правильных многоугольников, смогут изготовить шаблоны для построения правильных многоугольников, а также использовать компьютерные программы для выполнения построений

Как построить правильный пятиугольник с помощью транспортира. Построение правильных многоугольников

Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника.

Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой.

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4, строим стороны 1 — 6, 4 — 3, 4 — 5 и 7 — 2, после чего проводим стороны 5 — 6 и 3 — 2.

Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля. Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, проведённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0 — 1 — 2 равен 30°, то для нахождения стороны 1 — 2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0 — 1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1 — 2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2 — 3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника намечаем на диаметре вершину точку 1 и проводим диаметральную линию 1 — 4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.

Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4 — 1 и 3 -2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1 — 2 и 4 — 3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра. Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диаметров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до взаимного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные прямые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересечения с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник, производим следующие построения. Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вершины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую. Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB. Получим точку 1 -вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, проводим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересечение которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые.2}{4}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5

{2}};

Правильный пятиугольник (греч. πενταγωνον ) — геометрическая фигура , правильный многоугольник с пятью сторонами.

Свойства

• Додекаэдр — единственный из правильных многогранников , грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
• Пентагон — здание Министерства обороны США имеет форму правильного пятиугольника.
• Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
• В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника.
• Пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией 4-симплекса.

См. также

Напишите отзыв о статье «Правильный пятиугольник»

Примечания

По числу сторон Правильные Треугольники Четырёхугольники См. также

Многоугольники Звёздчатые многоугольники Паркеты на плоскости Правильные многогранники и сферические паркеты Многогранники Кеплера — Пуансо Соты Четырёхмерные многогранники

Отрывок, характеризующий Правильный пятиугольник

Петя не знал, как долго это продолжалось: он наслаждался, все время удивлялся своему наслаждению и жалел, что некому сообщить его. Его разбудил ласковый голос Лихачева.
– Готово, ваше благородие, надвое хранцуза распластаете.
Петя очнулся.
– Уж светает, право, светает! – вскрикнул он.
Невидные прежде лошади стали видны до хвостов, и сквозь оголенные ветки виднелся водянистый свет. Петя встряхнулся, вскочил, достал из кармана целковый и дал Лихачеву, махнув, попробовал шашку и положил ее в ножны. Казаки отвязывали лошадей и подтягивали подпруги.
– Вот и командир, – сказал Лихачев. Из караулки вышел Денисов и, окликнув Петю, приказал собираться.

Быстро в полутьме разобрали лошадей, подтянули подпруги и разобрались по командам. Денисов стоял у караулки, отдавая последние приказания. Пехота партии, шлепая сотней ног, прошла вперед по дороге и быстро скрылась между деревьев в предрассветном тумане. Эсаул что то приказывал казакам. Петя держал свою лошадь в поводу, с нетерпением ожидая приказания садиться. Обмытое холодной водой, лицо его, в особенности глаза горели огнем, озноб пробегал по спине, и во всем теле что то быстро и равномерно дрожало.
– Ну, готово у вас все? – сказал Денисов. – Давай лошадей.
Лошадей подали. Денисов рассердился на казака за то, что подпруги были слабы, и, разбранив его, сел. Петя взялся за стремя. Лошадь, по привычке, хотела куснуть его за ногу, но Петя, не чувствуя своей тяжести, быстро вскочил в седло и, оглядываясь на тронувшихся сзади в темноте гусар, подъехал к Денисову.
– Василий Федорович, вы мне поручите что нибудь? Пожалуйста… ради бога… – сказал он. Денисов, казалось, забыл про существование Пети. Он оглянулся на него.
– Об одном тебя пг»ошу, – сказал он строго, – слушаться меня и никуда не соваться.
Во все время переезда Денисов ни слова не говорил больше с Петей и ехал молча. Когда подъехали к опушке леса, в поле заметно уже стало светлеть. Денисов поговорил что то шепотом с эсаулом, и казаки стали проезжать мимо Пети и Денисова. Когда они все проехали, Денисов тронул свою лошадь и поехал под гору. Садясь на зады и скользя, лошади спускались с своими седоками в лощину. Петя ехал рядом с Денисовым. Дрожь во всем его теле все усиливалась. Становилось все светлее и светлее, только туман скрывал отдаленные предметы. Съехав вниз и оглянувшись назад, Денисов кивнул головой казаку, стоявшему подле него.
– Сигнал! – проговорил он.
Казак поднял руку, раздался выстрел. И в то же мгновение послышался топот впереди поскакавших лошадей, крики с разных сторон и еще выстрелы.
В то же мгновение, как раздались первые звуки топота и крика, Петя, ударив свою лошадь и выпустив поводья, не слушая Денисова, кричавшего на него, поскакал вперед. Пете показалось, что вдруг совершенно, как середь дня, ярко рассвело в ту минуту, как послышался выстрел. Он подскакал к мосту. Впереди по дороге скакали казаки. На мосту он столкнулся с отставшим казаком и поскакал дальше. Впереди какие то люди, – должно быть, это были французы, – бежали с правой стороны дороги на левую. Один упал в грязь под ногами Петиной лошади.
У одной избы столпились казаки, что то делая. Из середины толпы послышался страшный крик. Петя подскакал к этой толпе, и первое, что он увидал, было бледное, с трясущейся нижней челюстью лицо француза, державшегося за древко направленной на него пики.
– Ура!.. Ребята… наши… – прокричал Петя и, дав поводья разгорячившейся лошади, поскакал вперед по улице.
Впереди слышны были выстрелы. Казаки, гусары и русские оборванные пленные, бежавшие с обеих сторон дороги, все громко и нескладно кричали что то. Молодцеватый, без шапки, с красным нахмуренным лицом, француз в синей шинели отбивался штыком от гусаров. Когда Петя подскакал, француз уже упал. Опять опоздал, мелькнуло в голове Пети, и он поскакал туда, откуда слышались частые выстрелы. Выстрелы раздавались на дворе того барского дома, на котором он был вчера ночью с Долоховым. Французы засели там за плетнем в густом, заросшем кустами саду и стреляли по казакам, столпившимся у ворот. Подъезжая к воротам, Петя в пороховом дыму увидал Долохова с бледным, зеленоватым лицом, кричавшего что то людям. «В объезд! Пехоту подождать!» – кричал он, в то время как Петя подъехал к нему.
– Подождать?.. Ураааа!.. – закричал Петя и, не медля ни одной минуты, поскакал к тому месту, откуда слышались выстрелы и где гуще был пороховой дым. Послышался залп, провизжали пустые и во что то шлепнувшие пули. Казаки и Долохов вскакали вслед за Петей в ворота дома. Французы в колеблющемся густом дыме одни бросали оружие и выбегали из кустов навстречу казакам, другие бежали под гору к пруду. Петя скакал на своей лошади вдоль по барскому двору и, вместо того чтобы держать поводья, странно и быстро махал обеими руками и все дальше и дальше сбивался с седла на одну сторону. Лошадь, набежав на тлевший в утреннем свето костер, уперлась, и Петя тяжело упал на мокрую землю. Казаки видели, как быстро задергались его руки и ноги, несмотря на то, что голова его не шевелилась. Пуля пробила ему голову.
Переговоривши с старшим французским офицером, который вышел к нему из за дома с платком на шпаге и объявил, что они сдаются, Долохов слез с лошади и подошел к неподвижно, с раскинутыми руками, лежавшему Пете.
– Готов, – сказал он, нахмурившись, и пошел в ворота навстречу ехавшему к нему Денисову.
– Убит?! – вскрикнул Денисов, увидав еще издалека то знакомое ему, несомненно безжизненное положение, в котором лежало тело Пети.
– Готов, – повторил Долохов, как будто выговаривание этого слова доставляло ему удовольствие, и быстро пошел к пленным, которых окружили спешившиеся казаки. – Брать не будем! – крикнул он Денисову.

Без изучения техники этого процесса не обойтись. Существует несколько вариантов выполнения работы. Как нарисовать звезду с помощью линейки, помогут понять самые известные методы этого процесса.

Разновидности звезд

Существует множество вариантов внешнего вида такой фигуры, как звезда.

Еще с древних времен пятиконечная ее разновидность использовалась для начертания пентаграмм. Это объясняется ее свойством, которое позволяет сделать рисунок, не отрывая ручки от бумаги.

Существуют также шестиконечные, хвостатые кометы.

Пять вершин традиционно имеет морская звезда. Такой же формы нередко встречаются изображения рождественского варианта.

В любом случае, чтобы нарисовать пятиконечную звезду поэтапно, необходимо прибегнуть к помощи специальных инструментов, так как изображение от руки вряд ли будет выглядеть симметрично и красиво.

Выполнение чертежа

Чтобы понять, как нарисовать ровную звезду, следует осознать суть этой фигуры.

Основой для ее начертания является ломаная линия, концы которой сходятся в начальной точке. Она образовывает правильный пятиугольник — пентагон.

Отличительными свойствами такой фигуры являются возможности вписания ее в окружность, а также окружности в этот многоугольник.

Все стороны пентагона равны между собой. Понимая, как правильно выполнить чертеж, можно осознать суть процесса построения всех фигур, а также разнообразных схем деталей, узлов.

Для достижения такой цели, как нарисовать звезду с помощью линейки, необходимо владеть знаниями о простейших математических формулах, являющихся основополагающими в геометрии. А также потребуется умение считать на калькуляторе. Но самое главное — это логическое мышление.

Работа не является сложной, но она потребует точности и скрупулезности. Потраченные усилия будут вознаграждены хорошим симметричным, а потому и красивым изображением пятиконечной звезды.

Классическая техника

Самый известный способ того, как нарисовать звезду при помощи циркуля, линейки и транспортира, является достаточно несложным.

Для этой методики понадобится несколько инструментов: циркуль или транспортир, линейка, простой карандаш, ластик и лист белой бумаги.

Чтобы понять, как красиво нарисовать звезду, действовать следует последовательно, этап за этапом.

Можно в работе воспользоваться специальными вычислениями.

Расчет фигуры

На этом этапе рисования правильной звезды проступают контуры готовой фигуры.

Если все сделано правильно, полученное изображение будет ровным. Это можно проверить визуально, вращая лист бумаги и оценивая форму. Она будет неизменной при каждом повороте.

Основные контуры наводятся при помощи линейки и простого карандаша более четко. Все вспомогательные линии убираются.

Чтобы понять, как нарисовать звезду поэтапно, следует проводить все действия вдумчиво. В случае ошибки можно подправить рисунок ластиком или провести все манипуляции заново.

Оформление работы

Готовую форму можно украсить самыми разнообразными способами. Главное — не нужно бояться экспериментировать. Фантазия подскажет оригинальный и красивый образ.

Можно разукрасить нарисованную ровную звезду простым карандашом или использовать самые разнообразные цвета и оттенки.

Чтобы разобраться в том, как нарисовать правильную звезду, необходимо придерживаться идеальных линий во всем. Поэтому самый популярный вариант оформления заключается в разделении каждого луча фигуры на две равные части линией, исходящей от вершины до центра.

Можно не разделять стороны звезды линиями. Допускается просто закрасить каждый луч фигуры более темным оттенком с одного бока.

Такой вариант также будет ответом на вопрос о том, как нарисовать правильную звезду, ведь все ее линии будут симметричны.

По желанию при эстетическом оформлении фигуры можно добавить орнамент или другие всевозможные элементы. Добавив кружочки к вершинам, можно получить звезду шерифа. Применив плавную растушевку теневых сторон, можно получить морскую звезду.

Эта техника является самой распространенной, так как без особых усилий позволяет понять, как нарисовать пятиконечную звезду поэтапно. Не прибегая к сложным математическим вычислениям, возможно получить правильное, красивое изображение.

Рассмотрев все способы того, как нарисовать звезду с помощью линейки, можно выбрать для себя более подходящий. Наиболее популярным является геометрический поэтапный метод. Он достаточно несложный и эффективный. Применив фантазию и воображение, можно из полученной правильной, красивой формы создать оригинальную композицию. Вариантов оформления рисунка существует великое множество. Но ведь всегда можно придумать свой собственный, самый необычный и запоминающийся сюжет. Главное — не стоит бояться экспериментировать!

5.3. Золотой пятиугольник; построение Евклида.

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый (рис. 5).

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник.

Пусть О — центр окружности, А — точка на окружности и Е — середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Есть и золотой кубоид- это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

Теперь рассмотрим доказательство, предложенное Евклидом в «Началах».

Посмотрим теперь, как Евклид использует золотое сечение для того, чтобы построить угол в 72 градуса – именно под таким углом видна сторона правильного пятиугольника

из центра описанной окружности. Начнем с

отрезка АВЕ, разделенного в среднем и

Итак, пусть АС=АЕ. Обозначим через a равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ, то угол АСЕ также равен a. Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, позволяет найти угол ВСЕ: он равен 180-2a, а угол ЕАС — 3a — 180. Но тогда угол АВС равен 180-a. Суммируя углы треугольника АВС получаем,

180=(3a -180) + (3a-180) + (180 — a)

Откуда 5a=360, значит a=72.

Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕС вдвое больше угла при вершине, равного 36 градусов. Следовательно, чтобы построить правильный пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность с центром в точке Е, пересекающую ЕС в точке Х и сторону ЕВ в точке Y: отрезок XY служит одной из сторон вписанного в окружность правильного пятиугольника; Обойдя вокруг всей окружности, можно найти и все остальные стороны.

Докажем теперь, что АС=АЕ. Предположим, что вершина С соединена отрезком прямой с серединой N отрезка ВЕ. Заметим, что поскольку СВ=СЕ, то угол СNЕ прямой. По теореме Пифагора:

CN 2 = а 2 – (а/2j) 2 = а 2 (1-4j 2)

Отсюда имеем (АС/а) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Итак, АС = jа = jАВ = АЕ, что и требовалось доказать

5.4.Спираль Архимеда.

Последовательно отсекая от золотых прямоугольников квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью окружности, мы получим довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали.

В настоящее время спираль Архимеда широко используется в технике.

6.Числа Фибоначчи.

С золотым сечением косвенно связано имя итальянского математика Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищу Фибоначчи (Fibonacci — сокращенное filius Bonacci, то есть сын Боначчи)

В 1202г. им была написана книга «Liber abacci», то есть «Книга об абаке» . «Liber abacci» представляет собой объемистый труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший заметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими («арабскими») цифрами.

Сообщаемый в книге материал поясняется на большом числе задач, составляющих значительную часть этого трактата.

Рассмотрим одну такую задачу:

«Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, дабы узнать, сколько пар кроликов родится в течение этого года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов воспроизведет другую, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения»

Месяцы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Пары кроликов	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377

Перейдем теперь от кроликов к числам и рассмотрим следующую числовую последовательность:

u 1 , u 2 … u n

в которой каждый член равен сумме двух предыдущих, т.е. при всяком n>2

u n =u n -1 +u n -2 .

Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.

Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875… и через раз то превосходящая, то не достигающая его.

Асимптотическое поведение последовательности, затухающие колебания ее соотношения около иррационального числа Ф могут стать более понятными, если показать отношения нескольких пеpвых членов последовательности. В этом примере приведены отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее:

1:1 = 1.0000, что меньше фи на 0.6180

2:1 = 2.0000, что больше фи на 0.3820

3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180

5:3 = 1.6667, что больше фи на 0.0486

8:5 = 1.6000, что меньше фи на 0.0180

По мере продвижения по суммационной последовательности Фибоначчи каждый новый член будет делить следующий со все большим и большим приближением к недостижимому Ф.

Человек подсознательно ищет Божественную пропорцию: она нужна для удовлетворения его потребности в комфорте.

Пpи делении любого члена последовательности Фибоначчи на следующий за ним получается просто обратная к 1.618 величина (1: 1.618=0.618). Hо это тоже весьма необычное, даже замечательное явление. Поскольку пеpвоначальное соотношение – бесконечная дpобь, у этого соотношения также не должно быть конца.

При делении каждого числа на следующее за ним через одно, получаем число 0.382

Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор коэффициентов Фибоначчи: 4.235 ,2.618 ,1.618,0.618,0.382,0.236.Упомянем также 0.5.Все они играют особую роль в природе и в частности в техническом анализе.

Тут необходимо отметить, что Фибоначчи лишь напомнил свою последовательность человечеству, так как она была известна еще в древнейшие времена под названием Золотое сечение.

Золотое сечение, как мы видели, возникает в связи с правильным пятиугольником, поэтому и числа Фибоначчи играют роль во всем, что имеет отношение к правильным пятиугольникам — выпуклым и звездчатым.

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления. Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта (о решении Диофантовых уравнений). Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений. Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд чисел 1, 2, 4, 8, 16…(то есть ряд чисел до n , где любое натуральное число, меньшее n можно представить суммой некоторых чисел этого ряда) на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2…, во втором – это сумма двух предыдущих чисел 2 =1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2…. Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи?

Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5… Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через S (n), то получим общую формулу S (n) = S (n – 1) + S (n – S – 1).

Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 –ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.

В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения x S+1 – x S – 1 = 0.

Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 – знакомое классическое золотое сечение.

Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! То есть золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

7.Золотое сечение в искусстве.

7.1. Золотое сечение в живописи.

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете».

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника..

Также пропорция золотого сечения проявляется в картине Шишкина. На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны — освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали.

В картине Рафаэля «Избиение младенцев» просматривается другой элемент золотой пропорции — золотая спираль. На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции — точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка — вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль золотую спираль или чувствовал её.

Т.Кук использовал при анализе картины Сандро Боттичелли «рождение Венеры» золотое сеченеие.

7.2. Пирамиды золотого сечения.

Широко известны медицинские свойства пирамид, особенно золотого сечения. По некоторым наиболее распространенным мнениям, комната, в которой находится такая пирамида, кажется больше, а воздух — прозрачнее. Сны начинают запоминаться лучше. Также известно, что золотое сечение широко применялась в архитектуре и скульптуре. Примером тому стали: Пантеон и Парфенон в Греции, здания архитекторов Баженова и Малевича

8. Заключение.

Необходимо сказать, что золотое сечение имеет большое применение в нашей жизни.

Было доказано, что человеческое тело делится в пропорции золотого сечения линией пояса.

Раковина наутилуса закручена подобно золотой спирали.

Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидов между Марсом и Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета.

Возбуждение струны в точке, делящей её в отношении золотого деления, не вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации.

На летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения.

Джоконда построена на золотых треугольниках, золотая спираль присутствует на картине Рафаэля «Избиение младенцев».

Пропорция обнаружена в картине Сандро Боттичелли «Рождение Венеры»

Известно много памятников архитектуры, построенных с использованием золотой пропорции, в том числе Пантеон и Парфенон в Афинах, здания архитекторов Баженова и Малевича.

Иоанну Кеплеру, жившему пять веков назад, принадлежит высказывание: «Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое — это теорема Пифагора, второе — деления отрезка в крайнем и среднем отношении»

Список литературы

1. Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979.

2. Журнал «Наука и техника»

3. Журнал «Квант», 1973, № 8.

4. Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.

5. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989.

6. Стахов А. Коды золотой пропорции.

7.Воробьев Н.Н. «Числа Фибоначчи» — М.: Наука 1964

8. «Математика — Энциклопедия для детей» М.: Аванта +, 1998

9. Информация из интернета.

Матриц Фибоначчи и так называемых «золотых» матриц, новые компьютерные арифметики, новая теорию кодирования и новая теория криптографии. Суть новой науки, в пересмотре с точки зрения золотого сечения всей математики, начиная с Пифагора, что, естественно, повлечет в теории новые и наверняка очень интересные математические результаты. В практическом отношении – «золотую» компьютеризацию. А поскольку…

Не повлияют на этот результат. Основание золотой пропорции является инвариантом рекурсивных соотношений 4 и 6. В этом проявляется «устойчивость» золотого сечения, одного из принципов организации живой материи. Так же, основание золотой пропорции является решением двух экзотических рекурсивных последовательностей (рис 4.) Рис. 4 Рекурсивных последовательности Фибоначчи так…

Уха — j5, а расстояние от уха до макушки — j6 . Таким образом, в этой статуе мы видим геометрическую прогрессию со знаменателем j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (рис.9). Таким образом, золотое сечение – один из основополагающих принципов в искусстве античной Греции. Ритмы сердца и мозга. Равномерно бьется сердце человека – около 60 ударов в минуту в состоянии покоя. Сердце как поршень сжимает…

Уровень сложности: Несложно

1 шаг

Сначала, выбирайте, где разместить центр окружности. Там нужно поставить начальную точку, пусть она называется О. С помощью циркуля вычерчиваем вокруг нее окружность заданного диаметра или радиуса.

2 шаг

Затем проводим две оси через точку О, центр окружности, одна горизонтальная, другая под 90 градусов по отношению к ней – вертикальная. Точки пересечения по горизонтали назовем слева на право А и В, по вертикали, сверху вниз – М и Н. Радиус, который лежит на любой оси, например, на горизонтальной в правой части, делим пополам. Это можно сделать так: циркуль с радиусом известной нам окружности устанавливаем острием в точку пересечения горизонтальной оси и окружности – В, отчеркиваем пересечения с окружностью, полученные точки называем, соответственно сверху вниз – С и Р, соединяем их отрезком, который будет пересекать ось ОВ, точку пересечения называем К.

3 шаг

Соединяем точки К и М и получаем отрезок КМ, устанавливаем циркуль в точку М, задаем на нем расстояние до точки К и очерчиваем метки на радиусе ОА, эту точку называем Е, далее ведем циркуль до пересечения с левой верхней частью окружности ОМ. Эту точку пересечения называем F. Расстояние равное отрезку МЕ является искомой стороной равностороннего пятиугольника. При этом точка М будет являться одной вершиной встраиваемого в окружность пятиугольника, а точка F – другой.

4 шаг

Далее из полученных точек по всей окружности отчерчиваем циркулем расстояния, равные отрезку МЕ, всего точек должно получиться 5. Соединяем все точки отрезками – получаем пятиугольник, вписанный в окружность.

• При черчении будьте аккуратны в измерениях расстояний, не допускайте погрешностей, чтобы пятиугольник действительно полчился равносторонним

Как начертить пятиугольник — Сайт о строительстве

Рисунки художников очень тесно связаны с черчением и геометрией. Если мы задумали какую-то композицию, а в ней есть геометрические фигуры, то нам необходимо знать, как изобразить предмет, что бы он не выглядел смешно, и что бы вы не выглядели дилетантом и смогли нарисовать пятиконечную звезду циркулем или в фотошопе. От этого зависит ваш авторитет художника, а значит и заказы.

Построение правильного пятиугольника не так часто встречается в рисунке, но все же есть моменты, когда нам это необходимо.

Например, нам нужно нарисовать пятиконечную звезду (пентаграмму) для картины о Советском прошлом или о настоящем Китая. Правда для этого нужно уметь создать рисунок звезды в перспективе. Это посмотрите в другом уроке.

Мы попробуем нарисовать звезду в фотошопе фронтально. Точно так же вы сможете нарисовать фигуру карандашом на бумаге. Всего лишь с помощью таких инструментов:

Циркуль

Карандаш

Линейка

Резинка

Как правильно нарисовать звезду, что бы она выглядела ровно и красиво, сразу не ответишь. Количество углов не четное, поэтому просто разделить окружность на равные части циркулем или линейкой не получится.

Что бы вписанный пятиугольник в окружность был пропорциональный, нам необходимо точно вычислить одну из сторон, а затем отложить этот отрезок пять раз на теле овала.

Как выглядит пятиугольник и звезда

Внизу на фото разберем, как нарисовать звезду поэтапно.
Для начала рисуем окружность с центром О.

Дальше отложим отрезок OA равный радиусу и разделим его пополам точкой B, как показано на фото внизу.

Отложим расстояние отрезка ВС на диаметральной линии окружности. Для этого можно воспользоваться циркулем. Таким образом у нас появилась точка D.

Дальше, проведя линию от точки D к точке С, Мы получи длину равную стороне пятиугольника.

Такие же отрезки наносим на всей части круга. Смотрим картинку.

• Нарисовать пятиконечную звезду циркулем можно так же, как и на нашем уроке в программе Photoshop, весь процесс такой же, только вместо программы графического редактора используем инструменты для черчения.
• Так же можно посмотреть уроки построения шестиугольника,  разделение на восемь частей, деление круга на семь частей, десять равных частей.

Построение правильных многоугольников – Техническое черчение

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего прово­дим стороны 5—6 и 3—2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°.

Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4—1 и 3—2.

Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1.

Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5.

Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты. Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

Построение правильного пятиугольника – Сведения, необходимые при выполнении росписи – Отделка комнат при ремонте

Главная / Отделка комнат при ремонте / Сведения, необходимые при выполнении росписи / Построение правильного пятиугольника

Первый способ — по данной стороне S с помощью транспортира.

Проводим прямую и откладываем на ней AB = S; принимаем эту линию за радиус и этим радиусом из точек A и В описываем дуги: далее с помощью транспортира строим в этих точках углы в 108°, стороны которых пересекутся с дугами в точках С и D; из этих точек радиусом АВ = 5 описываем дуги, которые пересекутся в Е, и прямыми линиями соединяем точки Л, С, Е, D, В. Полученный пятиугольник — искомый.

Первый способ построения пятиугольника

Второй способ. Проведем окружность радиусом r. Из точки А циркулем проводим дугу радиуса AM до пересечения в точках В и С с окружностью. Соединяем В и С линией, которая пересечет горизонтальную ось в точке Е.

Затем из точки Е проводим дугу, которая пересечет горизонтальную линию в точке О. Описываем, наконец, из точки F дугу, которая пересечет окружность в точках Н и К. Отложив по окружности расстояние FO = FH = FK пять раз и соединив точки деления линиями, получим правильный пятиугольник.

Второй способ построения пятиугольника

Третий способ. В данный круг вписать правильный пятиугольник. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и МС. Делим радиус АО точкой Е пополам.

Из точки Е, как из центра, проводим дугу окружности радиуса ЕМ и засекаем ею диаметр АВ в точке F. Отрезок MF равен стороне искомого правильного пятиугольника.

Раствором циркуля, равным MF, делаем засечки N1, Р1, Q1, К1 и соединяем их прямыми.

• Третий способ построения пятиугольника
• На рисунке построен шестиугольник по данной стороне.
• Построение шестиугольника

Прямой АВ = 5, как радиусом, из точек А и В описываем дуги, которые пересекутся в С; из этой точки тем же радиусом описываем окружность, на которой сторона А В отложится 6 раз. Шестиугольник ADEFGB — искомый. 

«Отделка комнат при ремонте»,Н.П.Краснов

Геометрические построения

Мы уже говорили, что для исполнения некоторых видов малярных работ необходимо уметь рисовать. А умение рисовать, в свою очередь, предполагает знание правил построения геометрических фигур.

Эскизы на бумаге вычерчивают при помощи треугольников, рейсшин, транспортаpa и циркуля, а на плоскости стен и потолков построения выполняются при помощи веска, линейки, деревянного циркуля и шнура.

При этом надо…

Прямой угол, т. е. равный 90°, образуется двумя взаимно перпендикулярными линиями. Перпендикуляр строится следующим образом. Опустить перпендикуляр. Из данной точки С (лежащей вне прямой), как из центра, произвольным радиусом описываем дугу так, чтобы она пересекла данную прямую в двух точках D и Е из этих точек, как из центров, одинаковыми радиусами описываем дуги, чтобы они…

Построение угла, равного данному и параллельные линии

Построение угла, равного данному Угол, равный данному, строится следующим образом. Из вершины А данного угла произвольным радиусом проводим дугу тем же радиусом из точки D на данной прямой описываем дугу EF; величину дуги ВС откладываем по дуге EF до точки F и проводим DE. Угол EDF — искомый. Построение угла, равного данному Параллельные линии Линии,…

Деление прямых линий и углов

Деление прямых линий и углов может быть произведено двояким образом: на глаз и с помощью геометрического построения. При делении прямой на две равные части поступают следующим образом. Половину данной прямой берут циркулем на глаз и откладывают эту половину от обоих концов прямой. Если концы половинок сходятся, то, значит, данная прямая разделена правильно, если нет, то…

Правильные многоугольники

Маляру часто приходится иметь дело с правильными многоугольниками, а также треугольниками и четырехугольниками, т. е. такими фигурами, у которых все стороны и, соответственно, углы равны между собой.

Может встретиться необходимость построить правильный многоугольник по данной стороне, или вписать правильный многоугольник в окружность данного радиуса, или описать его вокруг окружности.

Первый вопрос сводится к нахождению внутреннего…

Как начертить пятиугольник?

Как начертить пятиугольник?

• Если под руками нет циркуля, то можно нарисовать простую звезду с пятью лучами затем просто соединить эти лучи. как видим на картинке ниже получается абсолютно правильный пятиугольник.Математика сложная наука и у нее много своих секретиков, некоторые из них весьма забавны. Если вы увлекаетесь такими вещами советую найти книгу Забавная математика.
• Окружность можно нарисовать не только при помощи циркуля. Можно, например, использовать карандаш и нитку. Отмеряем нужный диаметр на нитке. Один конец плотно зажимаем на листе бумаги, где будем чертить окружность. А на другой конец нитки устанавливаемые карандаш и одержим. Теперь действует как с циркулем: натягиваем нить и по окружности слегка надавливая карандашом чкртим окружность.Далее порядок такой же как и с циркулем.Внутри окружности рисуем крестьян от центра: вертикальная линия и горизонтальная линия. Точка пересечения вертикальной линии и окружности будет вершиной пятиугольника (точка 1). Теперь правую половину горизонтальной линии делим пополам (точка 2). Измеряем расстояние от этой точки до вершины пятиугольника и этот отрезок откладывает влево от точки 2 (точка 3). При помощи нитки и карандаша проводим от точки 1 радиусом до точки 3 дугу, пересекающую первую окружность слева и справа – точки пересечения будут вершинами пятиугольника. Обозначим их точка 4 и 5.Теперь от точки 4 делаем дугу, пересекающую окружность в нижней части, радиусом равной длине от точки 1 до 4 – это будет точкой 6. Точно так же и от точки 5 – обозначим точкой 7.Остатся соединить наш пятиугольник с вершинами 1, 5, 7, 6, 4.
• Я знаю как построить простой пятиугольник с помощью циркуля: Строим окружность, отмечаем пять точек, соединяем их. Можно построить пятиугольник с равными сторонами, для этого нам еще понадобится транспортир. Просто те же самые 5 точек ставим по транспортиру. Для этого отмечаем углы по 72 градуса. После чего также соединяем отрезками и получаем нужную нам фигуру.
• Зеленую окружность можно чертить произвольным радиусом. В эту окружность будем вписывать правильный пятиугольник. Без циркуля начертить точно окружность нельзя, но это не обязательно. Окружность и все дальнейшие построения можно выполнять от руки. Далее через центр окружности О нужно провести две взаимно перпендикулярные прямые и одну из точек пересечения прямой с окружностью обозначить А. Точка А будет вершиной пятиугольника. Радиус ОВ разделим пополам и поставим точку С. Из точки С проводим вторую окружность радиусом АС. Из точки А проводим третью окружность радиусом АD. Точки пересечения третьей окружности с первой (Е и F)будут также вершинами пятиугольника. Из точек Е и F радиусом АЕ делаем засечки на первой окружности и получаем остальные вершины пятиугольника G и H.
• Адептам черного искусства: что бы просто, красиво и быстро нарисовать пятиугольник, следует начертить правильную, гармоничную основу для пентаграммы (пятиконечная звезда) и соединить окончания лучей этой звезды посредством прямых, ровных линий. Если все было сделано верно – соединительная черта вокруг основы и будет искомым пятиугольником.(на рисунке – завершенная, но незаполненная пентаграмма)
  • Для тех, кто неуверен в правильности начертания пентаграммы: возьмите за основу витрувианского человека Да Винчи (см. ниже)

• Если нужен пятиугольник – тыкаете произвольным образом 5 точке и их внешний контур будет пятиугольником.

  Если нужен правильный пятиугольник, то без математического циркуля это построение совершить невозможно, поскольку без него нельзя провести два одинаковых, но не параллельных отрезка. Любой другой инструмент, который позволяет провести два одинаковых, но не параллельных отрезка эквивалентен математическому циркулю.

• Сначала надо надо начертить круг, потом направляющие, потом второй пунктирный круг, находим верхнюю точку, потом отмеряем два угла верхние, от них чертим нижние. Заметьте, радиус циркуля один и тот же при всем построении.

• Вс зависит от того, какой пятиугольник вам необходим. Если любой, то ставите пять точек и соединяете их между собой(естествено точки ставим не по прямой линии). А если нужен пятиугольник правильно формы, возьмите любые пять по длине(полосок бумаги, спичек, карандашей и т.п), выложите пятиугольник и обчертите его.

• Пятиугольник можно начертить, к примеру, из звезды. Если умеете чертить звезду, но не умеете пятиугольник, начертите звезду карандашом, затем соедините между собой соседние концы звезды, а саму звезду потом сотрите.

  Второй способ. Вырежьте полосочку из бумаги, длиной, равной желаемой стороне пятиугольника, а шириной узкой, допустим 0.5 – 1 см. Как по шаблону, вырежьте по этой полосочке ещ четыре таких же полосочки, чтобы их получилось всего 5.

  Затем положите лист бумаги (лучше его закрепить на столе при помощи четырх кнопок или иголочек). Затем наложите эти 5 полосочек на листок так, чтобы они образовали пятиугольник. Приколите эти 5 полосочек к листку бумаги кнопками или иголочками, чтобы они оставались неподвижными. Затем обведите полученный пятиугольник и снимите эти полосочки с листка.

• Если нет циркуля и нужно построить пятиугольник, то я могу посоветовать следующее. Я и сама так строила. Можно начертить правильную пятиконечную звезду. И после этого, чтобы получить пятиугольник, просто нужно соединить все вершины звезды. Вот так и получится пятиугольник. Вот что мы получим

  Ровными чрными линии мы соединили вершины звезды и получили пятиугольник.

Как начертить пятиугольник вписанный в круг или звезда

Для людей, что хотят постоянно совершенствоваться, чему-то обучаться и постоянно изучать что-то новое, мы специально сделали эту категорию. В ней исключительно образовательный, полезный контент, который, безусловно, придется Вам по вкусу.

Большое количество видео, пожалуй, могут посоревноваться даже с образованием, которое нам дают в школе, в колледже или университете. Самым большим достоинством обучающих видео является то, что они стараются давать самую свежую, самую актуальную информацию.

Мир вокруг нас в эру технологий постоянно меняется, и печатные обучающие издания просто не успевают выдавать свежую информацию.

Среди роликов также можно найти и обучающие видео для детей дошкольного возраста. Там Вашего ребенка обучат буквам, цифрам, счету, чтению и т.д. Согласитесь, очень даже неплохая альтернатива мультикам.

Для учеников начальных классов также можно найти обучения английскому языку, помощь в изучении школьных предметов. Для более старших учеников созданы обучающие ролики, которые помогут подготовиться к контрольным, к экзаменам либо же просто углубить свои познания в каком-то определенном предмете.

Приобретенные знания могут качественным образом сказаться на их умственном потенциале, а также Вас порадовать отличными оценками.

Для молодых людей, что уже окончили школу, учатся или не учатся в университете, есть множество увлекательных образовательных видео. Они им могут помочь в углублении знаний по профессии, на которую учатся.

Или же получить профессию, например программиста, веб-дизайнера, SEO-оптимизатора и прочее.

Таким профессия пока в университетах не учат, поэтому специалистом в этой продвинутой и актуальной сфере можно стать только занимаясь самообразованием, в чем мы и стараемся помочь, собирая самые полезные ролики.

Для взрослых людей эта тема тоже актуальна, так как очень часто бывает, что проработав по профессии годы, приходит понимание, что это не твое и хочется освоить что-то более подходящее для себя и одновременно прибыльное.

Также среди данной категории людей часто становятся ролики по типу самосовершенствования, экономии времени и денег, оптимизации своей жизни, в которых они находят способы жить гораздо качественнее и счастливее.

Еще для взрослых людей очень хорошо подойдет тема создания и развития собственного бизнеса.

Также среди образовательных роликов есть видео с общей направленностью, которые подойдут для практически любого возраста, в них можно узнать о том, как зарождалась жизнь, какие теории эволюции существуют, факты из истории и т.д.

Они отлично расширяют кругозор человека, делают его гораздо более эрудированным и приятным интеллектуальным собеседником. Такие познавательные видео, действительно, полезно смотреть всем без исключения, так как знание – это сила.

Желаем Вам приятного и полезного просмотра!

В наше время просто необходимо быть, что называется «на волне». Имеется в виду не только новости, но и развитие собственного ума. Если Вы хотите развиваться, познавать мир, быть востребованным в обществе и интересным, то этот раздел именно для Вас.

Как строить пятиугольник с помощью циркуля

• Как построить пятиугольник с помощью циркуля
• Как начертить додекаэдр
• Как нарисовать звезду циркулем

• как начертить пятигранник

• Циркуль, линейка, лист бумаги.

• Как сделать макет геометрических фигур- Как научиться рисовать

Графическое построение через вычисленный внутренний угол пятиугольника с помощью транспортира и линейки (сумма углов выпуклого n-угольника равна Sn=180°(n — 2), т.к. у правильного многоугольника все углы равны). При n=5, S5=5400, тогда величина угла 1080.

А так же с помощью окружности и двух лучей, выходящих из ее центра, при условии, что угол между ними равен 720, т.к. (36005=720). Их пересечение с окружностью даст отрезок, равный стороне пятиугольника.

Еще один простой графический способ: поделить диаметр заданной окружности AB на три части (AC=CD=DE). Из точки D опустить перпендикуляр до пересечения с окружность в точках E, F.

Проведя прямые через отрезки EC и FC до пересечения с окружностью, получим точки G, H.

Точки G,E,B,F,H – вершины правильного пятиугольника.

Построение с помощью приема Биона (позволяющего построить правильный вписанный в окружность многоугольник с любым числом сторон n по заданному соотношению).

Например: для n=5. Построим правильный треугольник ABC, где AB – диаметр заданной окружности. Найдем на AB точку D, по следующему соотношению: AD : AB = 2 : n. При n=5, AD=25*AB. Проведем прямую через CD до пересечения с окружностью в точке E. Отрезок AE – сторона правильного вписанного пятиугольника.

При n=5,7,9,10 погрешность построения не превышает 1%. С возрастанием n, погрешность приближения растёт, но остаётся меньше 10,3%.

Общий способ построения правильных многоугольников по заданной стороне по методу Ф. Коваржика (1888 г.), на основе принципа Л. да Винчи.

Единый способ построения правильного n-угольника на основании теоремы Фалеса.

Можно добавить только, что приближенные методы построения многоугольников оригинальны, просты и красивы.

Первый способ — по данной стороне S с помощью транспортира.

Проводим прямую и откладываем на ней AB = S; принимаем эту линию за радиус и этим радиусом из точек A и В описываем дуги: далее с помощью транспортира строим в этих точках углы в 108°, стороны которых пересекутся с дугами в точках С и D; из этих точек радиусом АВ = 5 описываем дуги, которые пересекутся в Е, и прямыми линиями соединяем точки Л, С, Е, D, В.

Полученный пятиугольник — искомый.

Первый способ построения пятиугольника

Второй способ. Проведем окружность радиусом r. Из точки А циркулем проводим дугу радиуса AM до пересечения в точках В и С с окружностью. Соединяем В и С линией, которая пересечет горизонтальную ось в точке Е.

Затем из точки Е проводим дугу, которая пересечет горизонтальную линию в точке О. Описываем, наконец, из точки F дугу, которая пересечет окружность в точках Н и К. Отложив по окружности расстояние FO = FH = FK пять раз и соединив точки деления линиями, получим правильный пятиугольник.

Второй способ построения пятиугольника

Третий способ. В данный круг вписать правильный пятиугольник. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и МС. Делим радиус АО точкой Е пополам. Из точки Е, как из центра, проводим дугу окружности радиуса ЕМ и засекаем ею диаметр АВ в точке F. Отрезок MF равен стороне искомого правильного пятиугольника. Раствором циркуля, равным MF, делаем засечки N₁, Р₁, Q₁, К₁ и соединяем их прямыми.

Третий способ построения пятиугольника

На рисунке построен шестиугольник по данной стороне.

Построение шестиугольника

Прямой АВ = 5, как радиусом, из точек А и В описываем дуги, которые пересекутся в С; из этой точки тем же радиусом описываем окружность, на которой сторона А В отложится 6 раз.

Шестиугольник ADEFGB — искомый.

«Отделка комнат при ремонте»,
Н.П.Краснов

Мы уже говорили, что для исполнения некоторых видов малярных работ необходимо уметь рисовать. А умение рисовать, в свою очередь, предполагает знание правил построения геометрических фигур. Эскизы на бумаге вычерчивают при помощи треугольников, рейсшин, транспортаpa и циркуля, а на плоскости стен и потолков построения выполняются при помощи веска, линейки, деревянного циркуля и шнура. При этом надо…

Прямой угол, т. е. равный 90°, образуется двумя взаимно перпендикулярными линиями. Перпендикуляр строится следующим образом. Опустить перпендикуляр. Из данной точки С (лежащей вне прямой), как из центра, произвольным радиусом описываем дугу так, чтобы она пересекла данную прямую в двух точках D и Е из этих точек, как из центров, одинаковыми радиусами описываем дуги, чтобы они…

Построение угла, равного данному Угол, равный данному, строится следующим образом. Из вершины А данного угла произвольным радиусом проводим дугу тем же радиусом из точки D на данной прямой описываем дугу EF; величину дуги ВС откладываем по дуге EF до точки F и проводим DE. Угол EDF — искомый. Построение угла, равного данному Параллельные линии Линии,…

Деление прямых линий и углов может быть произведено двояким образом: на глаз и с помощью геометрического построения. При делении прямой на две равные части поступают следующим образом. Половину данной прямой берут циркулем на глаз и откладывают эту половину от обоих концов прямой. Если концы половинок сходятся, то, значит, данная прямая разделена правильно, если нет, то…

Маляру часто приходится иметь дело с правильными многоугольниками, а также треугольниками и четырехугольниками, т. е. такими фигурами, у которых все стороны и, соответственно, углы равны между собой. Может встретиться необходимость построить правильный многоугольник по данной стороне, или вписать правильный многоугольник в окружность данного радиуса, или описать его вокруг окружности. Первый вопрос сводится к нахождению внутреннего…

Здравствуйте коллеги.
Сегодня построим правильный пятиугольник в окружности, попробуем начертить циркулем и линейкой фигуру.

Рисунки художников очень тесно связаны с черчением и геометрией. Если мы задумали какую-то композицию, а в ней есть геометрические фигуры, то нам необходимо знать, как изобразить предмет, что бы он не выглядел смешно, и что бы вы не выглядели дилетантом и смогли нарисовать пятиконечную звезду циркулем или в фотошопе. От этого зависит ваш авторитет художника, а значит и заказы.

Построение правильного пятиугольника не так часто встречается в рисунке, но все же есть моменты, когда нам это необходимо.

Например, нам нужно нарисовать пятиконечную звезду (пентаграмму) для картины о Советском прошлом или о настоящем Китая. Правда для этого нужно уметь создать рисунок звезды в перспективе. Это посмотрите в другом уроке.

Мы попробуем нарисовать звезду в фотошопе фронтально. Точно так же вы сможете нарисовать фигуру карандашом на бумаге. Всего лишь с помощью таких инструментов:

Как правильно нарисовать звезду, что бы она выглядела ровно и красиво, сразу не ответишь. Количество углов не четное, поэтому просто разделить окружность на равные части циркулем или линейкой не получится.

Что бы вписанный пятиугольник в окружность был пропорциональный, нам необходимо точно вычислить одну из сторон, а затем отложить этот отрезок пять раз на теле овала.

Как выглядит пятиугольник и звезда

Внизу на фото разберем, как нарисовать звезду поэтапно.
Для начала рисуем окружность с центром О.

Дальше отложим отрезок OA равный радиусу и разделим его пополам точкой B, как показано на фото внизу.

Теперь от точки В до точки С проведем прямую.

Отложим расстояние отрезка ВС на диаметральной линии окружности. Для этого можно воспользоваться циркулем. Таким образом у нас появилась точка D.

И отрезок DB. Картинка внизу.

Дальше, проведя линию от точки D к точке С, Мы получи длину равную стороне пятиугольника.

Дальше этот отрезок можно отложить на окружности. У нас появилась точка Е. Смотрим фото ниже.

Итак, одна из сторон пятиугольника у нас есть, это линия ЕС.

Такие же отрезки наносим на всей части круга. Смотрим картинку.

На этом построение правильного пятиугольника можно закончить. Что бы нарисовать звезду нужно просто соединить углы через один.

Нарисовать пятиконечную звезду циркулем можно так же, как и на нашем уроке в программе Photoshop, весь процесс такой же, только вместо программы графического редактора используем инструменты для черчения.

Так же можно посмотреть уроки построения шестиугольника, разделение на восемь частей, деление круга на семь частей, десять равных частей.

Правильный 10 угольник. Построение правильных многоугольников

Десятиугольник, как и все многоугольники, можно легко построить с помощью циркуля и линейки. Существует два несложных способа для решения данной интересной и необычной задачи.

Вам понадобится

• — циркуль;
• — линейка.

Инструкция

Многоугольником называется замкнутая ломаная. Десятиугольник, соответственно, — это замкнутая ломаная, состоящая из 10 углов и 10 отрезков. Построить произвольный десятиугольник несложно. Для этого надо взять 10 любых точек, не лежащих на одной прямой, и соединить эти точки отрезками так, чтобы получилась замкнутая фигура. Причем должно выполняться условие: две любые точки внутри получившейся фигуры должны соединяться линией, не пересекающей границы фигуры. Если данное условие не выполняется, то построенная фигура не является многоугольником.

1 способ: С помощью циркуля начертите окружность. Используя транспортир, разделите ее на 10 равных секторов по 36 градусов каждый (360:10 = 36). Затем соедините последовательно все точки, отмеченные на окружности.

2 способ: Опять же, с помощью циркуля начертите окружность. Центр получившейся окружности обозначьте буквой О. Проведите два перпендикулярных диаметра данной окружности СD и АВ. Разделите один из 4-х радиусов на две равные части. Из рисунка видно, что радиус СО = СМ+МО, где СМ=МО.

Дальше поставьте ножку циркуля в точку М и начертите окружность радиусом, равным половине радиуса первоначальной окружности. С помощью линейки соедините центр маленькой окружности М с любой из 2-х точек (А или В) на перпендикулярном диаметре. На рисунке центр маленькой окружности соединен сточкой А. Длина, получившегося отрезка АМ будет равна длине стороны десятиугольника. Осталось только сделать раствор циркуля, равный длине отрезка АМ, поставить ножку циркуля в точку А и отметить следующую точку на окружности. Далее переместите ножку циркуля в новую точку и отметьте следующую. И так до тех пор, пока на окружности не появится 10 равноудаленных друг от друга точек.

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 -6, 4-3, 4-5 и 7-2, после чего прово­дим стороны 5-6 и 3-2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника . Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0-1-2 равен 30°, то для нахождения стороны

1-2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0-1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1-2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину-точку 1 и проводим диаметральную линию 1-4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность . Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4-1 и 3-2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1-2 и 4-3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Получим точку 1-вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой.2.

Альтернативная формула A=2.5dt, где d — расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так:

d=2t\left(\cos\tfrac{3\pi}{10}+\cos\tfrac{\pi}{10}\right),

и может быть представлен в радикалах как

d=t\sqrt{5+2\sqrt{5}}.

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность , равна \tfrac{\sqrt{5}-1}{2}=\tfrac{1}{\varphi}, где \varphi — золотое сечение .

Радиус описанной окружности декагона равен

R=\frac{\sqrt{5}+1}{2}t,

а радиус вписанной окружности

r=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}t.

Построение

Иначе его можно построить следующим образом:

1. Построить сначала правильный пятиугольник .
2. Соединить все его вершины с центром описанной окружности прямыми до пересечения с этой же окружностью на противоположной стороне. В этих точках пересечения и находятся остальные пять вершин десятиугольника.
3. Соединить по порядку вершины пятиугольника и пять точек, найденные шагом ранее. Искомый десятиугольник построен.

Разбиение правильного десятиугольника

Напишите отзыв о статье «Десятиугольник»

Ссылки

Отрывок, характеризующий Десятиугольник

– Ты озябла. Ты вся дрожишь. Ты бы ложилась, – сказала она.
– Ложиться? Да, хорошо, я лягу. Я сейчас лягу, – сказала Наташа.
С тех пор как Наташе в нынешнее утро сказали о том, что князь Андрей тяжело ранен и едет с ними, она только в первую минуту много спрашивала о том, куда? как? опасно ли он ранен? и можно ли ей видеть его? Но после того как ей сказали, что видеть его ей нельзя, что он ранен тяжело, но что жизнь его не в опасности, она, очевидно, не поверив тому, что ей говорили, но убедившись, что сколько бы она ни говорила, ей будут отвечать одно и то же, перестала спрашивать и говорить. Всю дорогу с большими глазами, которые так знала и которых выражения так боялась графиня, Наташа сидела неподвижно в углу кареты и так же сидела теперь на лавке, на которую села. Что то она задумывала, что то она решала или уже решила в своем уме теперь, – это знала графиня, но что это такое было, она не знала, и это то страшило и мучило ее.
– Наташа, разденься, голубушка, ложись на мою постель. (Только графине одной была постелена постель на кровати; m me Schoss и обе барышни должны были спать на полу на сене.)
– Нет, мама, я лягу тут, на полу, – сердито сказала Наташа, подошла к окну и отворила его. Стон адъютанта из открытого окна послышался явственнее. Она высунула голову в сырой воздух ночи, и графиня видела, как тонкие плечи ее тряслись от рыданий и бились о раму. Наташа знала, что стонал не князь Андрей. Она знала, что князь Андрей лежал в той же связи, где они были, в другой избе через сени; но этот страшный неумолкавший стон заставил зарыдать ее. Графиня переглянулась с Соней.
– Ложись, голубушка, ложись, мой дружок, – сказала графиня, слегка дотрогиваясь рукой до плеча Наташи. – Ну, ложись же.
– Ах, да… Я сейчас, сейчас лягу, – сказала Наташа, поспешно раздеваясь и обрывая завязки юбок. Скинув платье и надев кофту, она, подвернув ноги, села на приготовленную на полу постель и, перекинув через плечо наперед свою недлинную тонкую косу, стала переплетать ее. Тонкие длинные привычные пальцы быстро, ловко разбирали, плели, завязывали косу. Голова Наташи привычным жестом поворачивалась то в одну, то в другую сторону, но глаза, лихорадочно открытые, неподвижно смотрели прямо. Когда ночной костюм был окончен, Наташа тихо опустилась на простыню, постланную на сено с края от двери.
– Наташа, ты в середину ляг, – сказала Соня.
– Нет, я тут, – проговорила Наташа. – Да ложитесь же, – прибавила она с досадой. И она зарылась лицом в подушку.
Графиня, m me Schoss и Соня поспешно разделись и легли. Одна лампадка осталась в комнате. Но на дворе светлело от пожара Малых Мытищ за две версты, и гудели пьяные крики народа в кабаке, который разбили мамоновские казаки, на перекоске, на улице, и все слышался неумолкаемый стон адъютанта.
Долго прислушивалась Наташа к внутренним и внешним звукам, доносившимся до нее, и не шевелилась. Она слышала сначала молитву и вздохи матери, трещание под ней ее кровати, знакомый с свистом храп m me Schoss, тихое дыханье Сони. Потом графиня окликнула Наташу. Наташа не отвечала ей.
– Кажется, спит, мама, – тихо отвечала Соня. Графиня, помолчав немного, окликнула еще раз, но уже никто ей не откликнулся.
Скоро после этого Наташа услышала ровное дыхание матери. Наташа не шевелилась, несмотря на то, что ее маленькая босая нога, выбившись из под одеяла, зябла на голом полу.
Как бы празднуя победу над всеми, в щели закричал сверчок. Пропел петух далеко, откликнулись близкие. В кабаке затихли крики, только слышался тот же стой адъютанта. Наташа приподнялась.
– Соня? ты спишь? Мама? – прошептала она. Никто не ответил. Наташа медленно и осторожно встала, перекрестилась и ступила осторожно узкой и гибкой босой ступней на грязный холодный пол. Скрипнула половица. Она, быстро перебирая ногами, пробежала, как котенок, несколько шагов и взялась за холодную скобку двери.
Ей казалось, что то тяжелое, равномерно ударяя, стучит во все стены избы: это билось ее замиравшее от страха, от ужаса и любви разрывающееся сердце.
Она отворила дверь, перешагнула порог и ступила на сырую, холодную землю сеней. Обхвативший холод освежил ее. Она ощупала босой ногой спящего человека, перешагнула через него и отворила дверь в избу, где лежал князь Андрей. В избе этой было темно. В заднем углу у кровати, на которой лежало что то, на лавке стояла нагоревшая большим грибом сальная свечка.

Как нарисовать шестиугольник с помощью линейки

Пятиугольник

Здравствуйте коллеги.
Сегодня построим правильный пятиугольник в окружности, попробуем начертить циркулем и линейкой фигуру.

Рисунки художников очень тесно связаны с черчением и геометрией. Если мы задумали какую-то композицию, а в ней есть геометрические фигуры, то нам необходимо знать, как изобразить предмет, что бы он не выглядел смешно, и что бы вы не выглядели дилетантом и смогли нарисовать пятиконечную звезду циркулем или в фотошопе. От этого зависит ваш авторитет художника, а значит и заказы.

Построение правильного пятиугольника не так часто встречается в рисунке, но все же есть моменты, когда нам это необходимо.

Например, нам нужно нарисовать пятиконечную звезду (пентаграмму) для картины о Советском прошлом или о настоящем Китая. Правда для этого нужно уметь создать рисунок звезды в перспективе. Это посмотрите в другом уроке.

Мы попробуем нарисовать звезду в фотошопе фронтально. Точно так же вы сможете нарисовать фигуру карандашом на бумаге. Всего лишь с помощью таких инструментов:

Как правильно нарисовать звезду, что бы она выглядела ровно и красиво, сразу не ответишь. Количество углов не четное, поэтому просто разделить окружность на равные части циркулем или линейкой не получится.

Что бы вписанный пятиугольник в окружность был пропорциональный, нам необходимо точно вычислить одну из сторон, а затем отложить этот отрезок пять раз на теле овала.

Как выглядит пятиугольник и звезда

Внизу на фото разберем, как нарисовать звезду поэтапно.
Для начала рисуем окружность с центром О.

Дальше отложим отрезок OA равный радиусу и разделим его пополам точкой B, как показано на фото внизу.

Теперь от точки В до точки С проведем прямую.

Отложим расстояние отрезка ВС на диаметральной линии окружности. Для этого можно воспользоваться циркулем. Таким образом у нас появилась точка D.

И отрезок DB. Картинка внизу.

Дальше, проведя линию от точки D к точке С, Мы получи длину равную стороне пятиугольника.

Дальше этот отрезок можно отложить на окружности. У нас появилась точка Е. Смотрим фото ниже.
Итак, одна из сторон пятиугольника у нас есть, это линия ЕС.

Такие же отрезки наносим на всей части круга. Смотрим картинку.

На этом построение правильного пятиугольника можно закончить. Что бы нарисовать звезду нужно просто соединить углы через один.

Нарисовать пятиконечную звезду циркулем можно так же, как и на нашем уроке в программе Photoshop, весь процесс такой же, только вместо программы графического редактора используем инструменты для черчения.

Так же можно посмотреть уроки построения шестиугольника, разделение на восемь частей, деление круга на семь частей, десять равных частей.

Как построить и нарисовать правильный пятиугольник по окружности

Правильный пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру, которая образовывается пересечением пяти прямых, создающих пять одинаковых углов. Такая фигура носит название — пентагон. С пятиугольником тесно связана работа художников — их рисунки строятся на основе правильных геометрических фигур. Для этого необходимо знать то, как быстро построить пентагон.

Чем интересна эта фигура? Форму пентагона имеет здание Министерства обороны Соединенных Штатов Америки. Это можно увидеть на фото, сделанных с высоты полета. В природе не существует кристаллов и камней, форма которых напоминала бы пентагон. Только в этой фигуре количество граней совпадает с числом диагоналей.

Параметры правильного пятиугольника

Прямоугольный пятиугольник, как и каждая фигура в геометрии, имеет свои параметры. Зная необходимые формулы, можно рассчитать эти параметры, что облегчит процесс построения пентагона. Способы и формулы расчетов:

• сумма всех углов в многоугольниках равна 360 градусам. В правильном пятиугольнике все углы равны, соответственно, центральный угол находится таким способом: 360/5 = 72 градуса;
• внутренний угол находится таким образом: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 градусов. Сумма всех внутренних углов: 108*5 = 540 градусов.

Сторона пентагона находится с помощью параметров, которые уже даны в условии задачи:

• если вокруг пятиугольника описана окружность и известен ее радиус, сторона находится по такой формуле: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1,1756*R.
• Если известен радиус вписанной в пентагон окружности, то формула расчета стороны многоугольника: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r.
• При известной величине диагонали пентагона его сторона рассчитывается таким образом: а = D/1,618.

Площадь пентагона так же, как и его сторона, зависит от уже найденных параметров:

• с помощью известного радиуса вписанной окружности площадь находится так: S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r.
• описанная вокруг пятиугольника окружность позволяет найти площадь по такой формуле: S = (n*R2*sin α)/2 = 2,3776*R2.
• в зависимости от стороны пентагона: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Построение пентагона

Построить правильный пятиугольник можно с помощью линейки и циркуля, на основе вписанной в него окружности или одной из сторон.

Как начертить пятиугольник на основе вписанной окружности? Для этого необходимо запастись циркулем и линейкой и сделать такие шаги:

1. Сначала необходимо начертить окружность с центром О, после чего на ней выбрать точку, А — вершину пентагона. От центра к вершине проводится отрезок.
2. Затем строится перпендикулярная прямой ОА отрезок, который также проходит через О — центр окружности. Его пересечение с окружностью обозначается точкой В. Отрезок О. В. делится пополам точкой С.
3. Точка С станет центром новой окружности, проходящей через А. Точка D — это ее пересечение с прямой ОВ в границах первой фигуры.
4. После этого проводится третья окружность через D, центром которой является точка А. Она пересекается с первой фигурой в двух точках, их необходимо обозначить буквами Е и F.
5. Следующая окружность имеет центр в точке Е и проходит через А, а ее пересечение с первоначальной находится в новой точке G.
6. Последняя окружность в этом рисунке проводится через точку, А с центром F. На ее пересечении с начальной ставится точка Н.
7. На первой окружности после всех проделанных шагов появились пять точек, которые необходимо соединить отрезками. Таким образом получился правильный пятиугольник АЕ G Н F.

Как построить правильный пятиугольник иным способом? С помощью линейки и циркуля пентагон можно построить немного быстрее. Для этого необходимо:

1. Cначала необходимо с помощью циркуля нарисовать окружность, центр которой — точка О.
2. Чертится радиус ОА — отрезок, который откладывается на окружность. Его делят пополам точкой В.
3. Перпендикулярно радиусу ОА начерчивается отрезок ОС, точки В и С соединяются прямой.
4. Следующим шагом является отложение длины отрезка ВС с помощью циркуля на диаметральной линии. Перпендикулярно отрезку ОА появляется точка D. Точки В и D соединяются, образуя новый отрезок.
5. Для того, чтобы получить величину стороны пентагона, необходимо соединить точки С и D.
6. D с помощью циркуля переносится на окружность и обозначается точкой Е. Соединив Е и С, можно получить первую сторону правильного пятиугольника. Следуя этой инструкции можно узнать о том, как быстро построить пятиугольник с равными сторонами, продолжая построение остальных его сторон подобно первой.

Интересные факты

В пятиугольнике с одинаковыми сторонами диагонали равны и образуют пятиконечную звезду, которая называется пентаграммой. Золотое сечение — это отношение величины диагонали к стороне пентагона.

Пентагон непригоден для полного заполнения плоскости. Использование любого материала в этой форме оставляет промежутки или образует наложения. Хотя природных кристаллов этой формы не существует в природе, но при образовании льда на поверхности гладких медных изделий возникают молекулы в виде пентагона, которые соединены в цепочки.

Наиболее простой способ получить правильный пятиугольник из полоски бумаги — завязать ее узлом и немного придавить. Этот способ полезен для родителей детей-дошкольников, которые хотят научить своих малышей распознавать геометрические фигуры.

Видео

Посмотрите, как можно быстро начертить пятиугольник.

Я РАСТУСайт для детей и их родителей

Последние события

Как из картинки сделать раскраску?

Раскраски любят и дети, и взрослые. И это неудивительно. Ведь даже не умея профессионально рисовать, можно создавать красивые рисунки, вкладывая в них своё умение и виденье .

Рисуем цыпленка

Вот такого цыпленка вы сможете нарисовать, если вы выполните все действия четко по шагам. Пробуйте и все у вас получится!

Елка-раскраска на стену

А так как скоро Новый Год, предлагаю скачать шаблон большой елки-раскраски. Этот шаблон состоит из 22 двух листов формата А4. На них нанесен и основной рисунок, и линии по которым нужно эти листочки склеить.

Дедушка Мороз и дети

Дед Мороз, Снегурочка, Снеговик, птицы и звери в лесу , дети на новогоднем празднике — вот герои этой книжки-раскраски. А создал их художник В. Жигарев.

Маша и Медведь. Зимние раскраски

Мультик про шуструю озорную маленькую девочку Машу и ее приятеля медведя нравится всем — и детишкам, и их родителям.

Раскраски с дедом Морозом

Новый год наступил. Но впереди еще старый новый год, да и зима еще вся впереди. Раскрашиваем картинки с Дедом Морозом и Снегурочкой.

Раскраски к новому году

Новогодние раскраски. Зима, елка, дед Мороз в санях, подарки. Скачайте забавные картинки, пусть они напоминают вам о веселом празднике.

Популярное

Архив

Как нарисовать правильную звездочку

Как нарисовать правильную звездочку? Как нарисовать правильный пятиугольник? Как разделить круг на пять равных частей? На все эти вопросы вы сможете найти ответ, если проделаете вслед за мной эти шаги.

Как нарисовать правильную звездочку?

Как нарисовать правильный пятиугольник?

Как разделить круг на пять равных частей?

На все эти вопросы вы сможете найти ответ, если проделаете вслед за мной вот эти шаги.

Конечно же, нам понадобится циркуль с карандашом и линейка.

Для начала нарисуйте циркулем круг.

Разделите его на четыре части линиями сверху вниз и справа налево.

Можно сразу объяснить ребенку, что отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через ее центр, называется диаметр.

А отрезок, соединяющий центр и точку на окружности, называется радиус.

С помощью линейки измерьте и разделите пополам один из радиусов.

У меня это отрезок слева от центра.

Серединку радиуса я обозначила

Нам понадобится точка сверху окружности.

Ее я обозначила цифрой 0.

Устанавливаем иголку циркуля

в точку 1, а карандашик в точку 0.

Рисуем дугу до пересечения с горизонтальным диаметром.

Обозначаем точку пересечения

Сейчас устанавливаем иголку циркуля

в точку 0, а карандашик в точку 2.

И рисуем дугу до пересечения с окружностью, причем с двух сторон.

Точки пересечения помечены

Не меняя ширину циркуля, устанавливаем иголку

в точку 3 и отмеряем кусочек окружности.

Точку 6 можно отмерить и от

точки 5 и от точки 4.

Главное, не изменять ширину (раствор) ножек циркуля.

Вот, практически и все.

Если соединим точки, получим правильный пятиугольник.

Построение на плоскости

Наверняка каждому из нас приходилось сталкиваться с тем, что нужно срочно что-то начертить, точный угол или многоугольник, а транспортира как нарочно под рукой нет, или Вы вообще никогда раньше ничего не чертили. Сегодня я хочу поделиться с Вами простыми схемами построения фигур на плоскости. Думаю, этот навык пригодится всем. Продолжение статьи:
http://www.livemaster.ru/topic/383001-postroenie-na-ploskosti-chast-2?ins >

Нам понадобятся: карандаш, линейка, циркуль.

Построение угла в 60

1. Проведём прямую и отметим на ней точку А.

2. Из точки А проведём дугу произвольного радиуса и получим точку В.

3. Из точки В проведём дугу радиуса АВ, чтобы она пересекла ранее начерченную дугу.

4. Проведённая через точку пересечения (С) и точку А прямая будет второй стороной требуемого угла.

Построение угла в 45

1. Построим угол 60, кака описано выше.

2. Разделим полученный угол пополам.

3. Угол между лучами 60 и 30 разделим пополам. В результате получим угол в 45.

Построение угла в 75

1. Построим угол в 60, как описано выше, и разделим его пополам.

2. В ходе дальнейшего деления надвое получим угол в 15.

3. Отразим угол в 15 через луч 60 и так получим угол в 75.

Построение угла в 90

1. Построим угол в 60, как описано выше, и разделим его пополам.

2. Получившийся угол в 30 через луч 60 и так получим угол точно в 90.

Разделение отрезка на равные части.

1. Проведём прямую и отметим на ней отрезок АВ.

2. Из точки А проведём вспомогательную прямую и разделим её на столько одинаковых частей, на сколько требуется разделить отрезок АВ. Делить будем при помощи циркуля. Последнюю точку обозначим буквой С.

3. Последнюю точка (С) соединим с концом отрезка АВ. Построим рад параллельных отрезку СВ прямых по всей длине отрезка АВ. Точки пересечения параллельных прямых с отрезком АВ и будут точками раздела отрезка на несколько равных частей.

Построение правильного пятиугольника.

1. Проведём окружность радиусом 50 мм. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии.

2. Разделим пополам расстояние ОВ. Разведём ножки циркуля на расстояние FC . Из точки F проведём дугу через С. Дуга пересечёт горизонтальную линию в точке G .

3. Расстояние CG будет длиной стороны пятиугольника. Из вершины С отложим пять раз расстояние CG .

Построение правильного шестиугольника.

1. Проведём окружность радиусом 50 мм.

2. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии.

3. Из точки А на линии окружности отложим шесть раз радиус нашей окружности. Соединив прямыми точки пересечения, получим шестиугольник.

Построение правильного семиугольника.

1. Проведём окружность заданного радиуса. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии.

2. Из точки D проведём дугу радиусом равным радиусу окружности.

3. Дуга пересечёт окружность в точках E и G .

4. Длина отрезка EF на хорде EG равна длине стороны семиугольника. Из вершины С семь раз отложим расстояние EF .

Общий метод построения многоугольников.

1. Проведём окружность радиусом 50 мм. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии. Продолжим горизонтальную лини. За точки А и В.

2. Из точки D проведём дугу радиусом, равным радиусу окружности так, чтобы дуга пересекла горизонтальную линию.

3. При помощи вспомогательной прямой разделим вертикальную линию на столько равных частей, сколько сторон многоугольника требуется получить. Для примера показано построение одиннадцатиугольника.

4. Из точки Е проведём прямые через нечётные точки раздела вертикальной линии так, чтобы эти прямые пересекли окружность. Такую же операцию проведём из точки G . Полученные лучи пересекают окружность в точках, соединив которые прямыми получаем одиннадцатиугольник.

Линейно-конструктивный рисунок шестигранной призмы

Научимся изображать шестигранную призму в различных положениях.

Изучите различные способы построения правильного шестиугольника, сделайте рисунки шестиугольников, проверьте правильность их построения. На основе шестиугольников постройте шестигранные призмы.

Рассмотрите шестигранную призму на рис. 3.52 и ее ортогональные проекции на рис. 3.53. В основании шестигранной призмы (шестигранника) лежат правильные шестиугольники, боковые грани — одинаковые прямоугольники. Для того, чтобы правильно изобразить шестигранник в перспективе, необходимо сначала научиться грамотно изображать в перспективе его основание (рис. 3.54). В шестиугольнике на рис. 3.55 вершины обозначены цифрами от одного до шести. Если соединить точки 1 и 3, 4 и 6 вертикальными прямыми, можно заметить, что эти прямые вместе с точкой центра окружности делят диаметр 5 — 2 на четыре равных отрезка (эти отрезки обозначены дугами). Противоположные стороны шестиугольника параллельны друг другу и прямой, проходящей через его центр и соединяющей две вершины (например, стороны 6 — 1 и 4 — 3 параллельны прямой 5 — 2). Эти наблюдения помогут вам построить шестиугольник в перспективе, а также проверить правильность этого построения. Построить правильный шестиугольник по представлению можно двумя способами: на основе описанной окружности и на основе квадрата.

На основе описанной окружности. Рассмотрите рис. 3.56. Все вершины правильного шестиугольника принадлежат описанной окружности, радиус которой равен стороне шестиугольника.

Линейно-конструктивный рисунок шестигранной призмы Линейно-конструктивный рисунок шестигранной призмы Линейно-конструктивный рисунок шестигранной призмы

Горизонтальный шестиугольник. Изобразите горизонтальный эллипс произвольного раскрытия, т. е. описанную окружность в перспективе. Теперь необходимо найти на ней шесть точек, являющихся вершинами шестиугольника. Проведите любой диаметр данной окружности через ее центр (рис. 3.57). Крайние точки диаметра — 5 и 2, лежащие на эллипсе, являются вершинами шестиугольника. Для нахождения остальных вершин необходимо разделить этот диаметр на четыре одинаковых отрезка. Диаметр уже разделен точкой центра окружности на два радиуса, остается разделить каждый радиус пополам. На перспективном рисунке все четыре отрезка равномерно сокращаются при удалении от зрителя (рис. 3.58). Теперь проведите через середины радиусов — точки А и В — прямые, перпендикулярные прямой 5 — 2. Найти их направление можно при помощи касательных к эллипсу в точках 5 и 2 (рис. 3.59). Эти касательные будут перпендикулярны диаметру 5 — 2, а прямые, проведенные через точки А и В параллельно этим касательным, будут также перпендикулярны прямой 5 — 2. Обозначьте точки, полученные на пересечении этих прямых с эллипсом, как 1, 3, 4, 6 (рис. 3.60). Соедините все шесть вершин прямыми линиями (рис. 3.61).

Проверьте правильность вашего построения разными способами. Если построение верно, то линии, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, пересекаются в центре окружности (рис. 3.62), а противоположные стороны шестиугольника параллельны соответствующим диаметрам (рис. 3.63). Еще один способ проверки показан на рис. 3.64.

Вертикальный шестиугольник. В таком шестиугольнике прямые, соединяющие точки 7 и 3, б и 4, а также касательные к описанной окружности в точках 5 и 2, имеют вертикальное направление и сохраняют его на перспективном рисунке. Таким образом, проведя две вертикальные касательные к эллипсу, найдем точки 5 и 2 (точки касания). Соедините их прямой линией, а затем разделите полученный диаметр 5 — 2 на 4 равных отрезка, учитывая их перспективные сокращения (рис. 3.65). Проведите вертикальные прямые через точки А и Б, а на их пересечении с эллипсом найдите точки 1,3,6л4. Затем последовательно соедините точки 1 — 6 прямыми (рис. 3.66). Правильность построения шестиугольника проверьте аналогично предыдущему примеру.

Описанный способ построения шестиугольника позволяет получить эту фигуру на основе окружности, изобразить которую в перспективе проще, чем квадрат заданных пропорций. Поэтому данный способ построения шестиугольника представляется наиболее точным и универсальным. Способ построения на основе квадрата позволяет легко изобразить шестигранник в том случае, когда на рисунке уже есть куб, иными словами, когда пропорции квадрата и направление его сторон определены.

На основе квадрата. Рассмотрите рис. 3.67. Вписанный в квадрат шестиугольник по горизонтальному направлению 5 — 2 равен стороне квадрата, а по вертикали — меньше ее длины.

Вертикальный шестиугольник. Нарисуйте вертикальный квадрат в перспективе. Проведите через пересечение диагоналей прямую, параллельную его горизонтальным сторонам. Разделите полученный отрезок 5 — 2 на четыре равные части и проведите через точки А и В вертикальные прямые (рис. 3.68). Линии, ограничивающие шестиугольник сверху и снизу, не совпадают со сторонами квадрата. Изобразите их на некотором расстоянии (1114 а) от горизонтальных сторон квадрата и параллельно им. Соединив найденные таким образом точки 1 и 3 с точкой 2, а точки 6 и 4 — с точкой 5, получим шестиугольник (рис. 3.69).

Горизонтальный шестиугольник строится в той же последовательности (рис. 3.70 и 3.71).

Этот способ построения уместен только для шестиугольников с достаточным раскрытием. В случае, если раскрытие шестиугольника незначительно, лучше воспользоваться способом на основе описанной окружности. Для проверки шестиугольника, построенного через квадрат, можно использовать уже известные вам методы.

Линейно-конструктивный рисунок шестигранной призмы Линейно-конструктивный рисунок шестигранной призмы

Кроме того существует еще один — описать вокруг полученного шестиугольника окружность (на вашем рисунке — эллипс). Все вершины шестиугольника должны принадлежать этому эллипсу.

Овладев навыками изображения шестиугольника, вы свободно перейдете к изображению шестигранной призмы. Внимательно рассмотрите схему на рис. 3.72, а также схемы построения шестигранных призм на основе описанной окружности (рис. 3.73; 3.74 и 3.75) и на основе квадрата (рис. 3.76; 3.77 и 3.78). Изобразите вертикальные и горизонтальные шестигранники различными способами. На рисунке вертикального шестигранника длинные стороны боковых граней будут параллельными друг другу вертикальными прямыми, а шестиугольник основания будет тем больше раскрыт, чем дальше он находится от линии горизонта. На рисунке горизонтального шестигранника длинные стороны боковых граней будут сходиться в точке схода на горизонте, а раскрытие шестиугольника основания будет тем больше, чем дальше от зрителя он находится. Изображая шестигранник, следите также за тем, чтобы параллельные грани обоих оснований сходились в перспективе (рис. 3.79; 3.80).

Линейно-конструктивный рисунок шестигранной призмы Линейно-конструктивный рисунок шестигранной призмы

Как нарисовать невозможный шестиугольник – Невозможные фигуры

Понравились мои уроки рисования? Получите больше на YouTube:

Нажмите ЗДЕСЬ, чтобы сохранить учебник в Pinterest!

Что такое невозможный объект? Также называемые невозможными фигурами или неразрешимыми фигурами, эти рисунки являются разновидностью оптического обмана. Двумерная фигура кажется трехмерной, но геометрия не похожа ни на что, что могло бы существовать в реальном мире. Невозможные предметы использовались в интригующих произведениях искусства на протяжении всего двадцатого века.

Невозможный шестиугольник в этом руководстве по рисованию основан на треугольнике Пенроуза, который был создан художником в 1934 году. Полигоны Пенроуза, такие как этот шестиугольник, строятся путем добавления дополнительных сторон к треугольнику Пенроуза.

Тем не менее, оптическая иллюзия становится менее яркой, поскольку добавляется больше сторон. Таким образом, шестиугольник может казаться искривленным, заплетенным или искривленным, а не «невозможным».

Шестиугольники являются общими структурами как в искусстве, так и в природе. Вы знали? Соты сделаны из маленьких шестиугольников пчелиного воска. Интересно, что шестиугольник позволяет покрывать большое пространство как можно меньшим количеством воска.

Хотите нарисовать невозможный шестиугольник? Сделать это легко и весело с помощью этого простого, пошагового руководства по рисованию фигур. Все, что вам нужно, это карандаш, ручка или маркер и лист бумаги. Вы также можете покрасить свой законченный рисунок.

Пошаговая инструкция по рисованию – Невозможный шестиугольник

1. Начните с рисования шестиугольника. Шестиугольник — это правильная шестигранная фигура, в которой все стороны имеют одинаковую длину.

2. Нарисуйте короткую линию, идущую от верхнего угла шестиугольника. От этой линии вытяните более длинную линию, параллельную стороне шестиугольника. Затем от конца этой линии протяните прямую линию, параллельную следующей стороне шестиугольника. Обратите внимание, что расстояние между линией и второй стороной больше, чем между линией и первой стороной.

3. Нарисуйте короткую прямую линию, идущую от следующего угла шестиугольника. Протяните от него прямую линию, параллельную стороне шестиугольника.

4. Протяните короткую прямую линию от нижнего угла шестиугольника. Из этой линии нарисуйте прямую линию, параллельную нижней части шестиугольника. Затем продлите еще одну линию вверх, параллельно следующей стороне шестиугольника.

5. Проведите короткую линию от оставшегося нижнего угла шестиугольника. Отсюда нарисуйте прямую линию, параллельную стороне шестиугольника. Затем проведите еще одну линию параллельно следующей стороне шестиугольника.

6. Нарисуйте короткую прямую линию, выходящую из следующего угла шестиугольника. Затем протяните прямую линию, параллельную стороне шестиугольника.

7. Проведите короткую прямую линию от последнего угла шестиугольника. Отсюда вытяните прямую линию, параллельную вершине шестиугольника.

8. Начните соединять внешние края невозможного шестиугольника. Расширьте короткие линии от верхнего угла и стороны формы. Затем соедините эти линии с существующими линиями, заключив верхнюю и верхнюю часть рисунка.

9. Проведите короткую линию, идущую от нижнего угла шестиугольника. Затем соедините все открытые линии, пока фигура не будет полностью заключена.

Цвет и тень вашего невозможного шестиугольника. Обратите внимание, как затенение в нашем примере делает трехмерную иллюзию более яркой.Геометрия

— Как нарисовать правильный пятиугольник с помощью циркуля и линейки Геометрия

— Как нарисовать правильный пятиугольник с помощью циркуля и линейки — Mathematics Stack Exchange

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

2. 0
3. +0
6. Авторизоваться Подписаться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 4 года, 7 месяцев назад

Просмотрено 6к раз

$ \ begingroup $

Я помню, как читал, что Гауссу удалось построить правильный пятиугольник с помощью всего лишь циркуля и линейки, но я не помню подробностей того, как он это сделал.Может ли кто-нибудь помочь мне и дать мне инструкции, как это сделать?

Конкан

6,85322 золотых знака2121 серебряный знак4545 бронзовых знаков

Создан 18 янв.

$ \ endgroup $ 4 $ \ begingroup $

Я думаю, что это самый простой способ нарисовать правильный пятиугольник с помощью циркуля и линейки.

Создан 18 янв.

Сейед

8,52544 золотых знака1919 серебряных знаков2929 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ $ \ begingroup $

Я не уверен, что это Гаусса, но вот тот, который я использую:

1. Нарисуйте круг.Пусть центр будет $ O $.

2. Определите направление как «влево» и проведите линию от центра, идущую «влево», пока не коснетесь круга. Это сегмент $ OA $.

3. Нарисуйте еще один отрезок линии, на этот раз идущий «вверх» (это совершенно законно — вы должны знать, как построить линию, перпендикулярную отрезку). Это сегмент $ OB $.

4. Найдите среднюю точку $ OA $, назвав ее $ M $.

5. Розыгрыш $ BM $.

6. Найдите биссектрису угла $ BMO $ и рисуйте, пока не достигнете $ OB $.Назовите это пересечение $ I $.

7. Нарисуйте перпендикулярную линию к $ OB $ «налево», пока не коснетесь круга в точке $ C $. $ BC $ теперь представляет собой один линейный сегмент пятиугольника, а остальное относительно просто (просто нарисуйте круг с центром вокруг $ C $, проходящего через $ B $, чтобы получить третью вершину и т. Д.)

Примерно так:

grg

103511 золотых знаков88 серебряных знаков1313 бронзовых знаков

Создан 18 янв.

пирог

1,96611 золотых знаков1010 серебряных знаков1919 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ $ \ begingroup $

Я знаю только две конструкции.Первое, что я узнал в старшей школе, включает линейку и компас:

Другой я изучил в колледже, когда изучал конструкции только с компасом (Мора-Машерони). По иронии судьбы конструкция, состоящая только из компаса, — одна из самых простых конструкций, которые я когда-либо видел, для нее требуется всего 10 кругов, а отрезки линий на конце являются косметическими.

Создан 19 авг.

$ \ endgroup $ Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie Настроить параметры

Как построить пятиугольник с помощью компаса

Правильный пятиугольник — это многоугольник со всеми пятью сторонами и всеми пятью углами.Вокруг него легко описать круг. Именно этот круг помогает построить пятиугольник.

Инструкция по эксплуатации

1

Прежде всего, необходимо построить круг с помощью циркуля. Пусть центр окружности совпадает с точкой О. Нарисуйте оси симметрии перпендикулярно друг другу. На пересечении одной из этих осей с окружностью поставьте точку V. Эта точка будет вершиной будущего пятиугольника a. На пересечении другой оси с окружностью расположите D.

2

Найдите середину отрезка OD и отметьте на нем точку A. После этого нужно циркулем начертить круг с центром в этой точке. Кроме того, он должен проходить через точку V, то есть с радиусом CV. Точку пересечения оси симметрии и этого круга обозначьте B.

3

После этого нарисуйте циркулем круг того же радиуса, поместив стрелку в точку V. Отметьте пересечение этого круга с исходным как F.Эта точка станет второй вершиной будущего правильного пятиугольника.

4

Теперь вам нужно провести тот же круг через точку E, но с центром в F. Обозначьте пересечение только что нарисованного круга с исходным как G. Эта точка также станет одной из вершин пятиугольника. Аналогичным образом нужно построить еще один круг. Его центр — G. Пусть это будет точка пересечения с исходной окружностью. Это последняя вершина правильного многоугольника.

5

У вас должно получиться пять вершин.Осталось просто соединить их по линейке. В результате всех этих операций вы получите правильный пятиугольник, вписанный в круг.

Полезный совет

Таким простым способом можно построить не только пятиугольник. Для того чтобы построить треугольник, необходимо развести ножки циркуля на расстояние, равное радиусу круга. Затем поместите иглу в любую точку. Нарисуйте тонкий опорный круг. Две точки пересечения кругов, а также точка, в которой была ножка циркуля, образуют три вершины правильного треугольника.

как нарисовать пятигранник

Построение правильных многоугольников

Построение правильных многоугольников Самый простой в построении правильный многоугольник — шестиугольник. Чтобы построить шестиугольник, с помощью циркуля начертите круг. Теперь (сохраняя ту же точную настройку компаса), поместите точку компаса на окружность и проведите дугу на окружности. Затем поместите точку циркуля в только что нарисованную дугу и проведите другую дугу.Делайте это, пока не нарисуете шесть дуг. (См. Рисунок 1). Теперь возьмите линейку и проведите линии от одной дуги к другой. 6 линий, которые вы только что нарисовали, представляют собой сторон правильного шестиугольника. (См. Рисунок 2). Шестиугольник — это случай only , в котором стороны многоугольника будут точно равны радиусу, но, используя циркуль, линейку и калькулятор ниже, вы можете построить правильные многоугольники с любым числом сторон . И Н С Т Р У К Т И О Н С Допустим, мы хотим построить пятиугольник. Начните с рисования круга циркулем. (См. Рис. 3) Радиус рисовать необязательно, но необходимо измерить его как можно точнее. (Мы измерили радиус 6,70 см.) Используя калькулятор, мы определяем длину каждой стороны пятиугольника (линия AB), вводя «стороны многоугольника» 5, «radius =» 6,70 и затем нажимая «РАССЧИТАТЬ». Калькулятор генерирует 3 числа. Для этой конструкции нам понадобится число «polygon side =», равное 7,8765. Теперь как можно точнее установите ширину циркуля 7,8765 см (хорошо, 7,88 см более чем достаточно), поместите точку циркуля в точку A и проведите дугу в точке B. Затем продолжайте движение от точки B, проложите еще 4 дуги. Используя линейку, проведите стороны многоугольника от одной дуги к другой, и вы только что построили правильный пятиугольник! (см. рисунок 4) Уравнение, используемое в этом калькуляторе Допустим, вы хотите построить пятиугольник. Начните с рисования круга. Глядя на график, нам нужно рассчитать, какой длины будет каждая сторона (красная линия). Измерьте радиус как можно точнее. (Для этого примера допустим, что это 9,5 см). Из тригонометрии мы знаем, что синус (36 °) = ½ стороны ÷ радиус ½ стороны = 0,58779 × 9,5 ½ стороны = 5,5840 Следовательно, каждая сторона = 2 * 5,584 = 11,168 см Итак, уравнение для расчета длины стороны многоугольника: длина = 2 × радиус × синус (n) где n = 180 ° ÷ количество сторон многоугольника Для удобства чтения ответы отображаются в формате «значащих цифр», так что вы , а не , см. Такие ответы, как 77.3333333333333333. Числа больше 1000 и меньше 0,001 будут отображаться в экспоненциальном представлении. и с таким же указанием количества значащих цифр. Вы можете изменить значащие цифры, отображаемые изменив номер в поле выше. Большинство браузеров будут отображать ответы правильно, но есть несколько браузеров, которые вообще не выводят без вывода . Если да, введите ноль в поле выше. Это устраняет всякое форматирование, но это лучше, чем не видеть вывод вообще. «ВОЗВРАЩЕНИЕ» Copyright 2001 & nbsp & nbsp & nbsp 1728 Software Systems

Эссе 2: Построение правильных многоугольников

, Шон Д. Бродерик

Правильные многоугольники — это замкнутые плоские фигуры, состоящие из ребер равной длины и вершин равного размера. Самый простой правильный многоугольник — это равносторонний треугольник, который состоит из трех ребер равной длины и трех углов между каждой парой ребер, составляющих 60 градусов.Три ребра — это наименьшее количество ребер для построения многоугольника, потому что два ребра образуют угол, а одно ребро — сегмент. Полигоны — это замкнутые фигуры. Правильный многоугольник с четырьмя ребрами и есть квадрат. Пять ребер составляют пятиугольник, а шесть — шестиугольник.

Мы исследуем, как построить правильные многоугольники, используя циркуль и линейку, в сравнении с программой динамической геометрии, такой как Sketchpad Geometer.

Сначала рассмотрим построение равностороннего треугольника с линейкой и циркулем.Это простейший правильный многоугольник на плоскости. Он состоит из трех сторон.

1. Мы начинаем с рисования произвольной точки A.

2. Затем мы открываем наш компас на фиксированное расстояние и делаем небольшую отметку справа от нашей точки A. Это то место, где в конечном итоге будет наша точка B.

3. Не отрывая стрелки циркуля от бумаги, перемещаем конец карандаша вверх и к середине и делаем еще одну отметку. Это будет то место, куда в конечном итоге попадет точка C.

4. Теперь мы помечаем нашу точку B в любом месте отметки.(Почему мы можем отметить его где-нибудь на линии и при этом сохранить определенную длину?)

5. Теперь поместите конец циркуля в точку B и сделайте отметку вверх и до середины, пересекая место, куда пойдет точка C.

6. Отметьте пересечение как точку C.

7. Используя линейку, проведите первую сторону треугольника от A до B.

8. Снова, используя линейку, проведите вторую сторону треугольника от B по C.

9. Нарисуйте последнюю сторону. На этом мы закончили построение равностороннего треугольника.

Теперь мы сравним этот процесс с процессом, который можно использовать для построения равностороннего треугольника в GSP:

1. Начнем с рисования отрезка произвольной длины. Это будет одна из сторон нашего треугольника.

2. Обозначим точки A для левой точки и B для правой точки.

3. Теперь мы построим круг, используя точку B в качестве центра и точку A в качестве края.

4. Затем мы делаем еще один круг, используя точку A в качестве центра и точку B в качестве края.

5. Строим их пересечение и маркируем его точкой C.

6. Строим отрезок AC.

7. Строим отрезок ВС.

8. Если мы скроем наши круги, у нас теперь есть равносторонний треугольник.

1. Почему эти конструкции работают?

2. Что делает этот треугольник равносторонним в любой из сред?

3. Теряем ли мы что-нибудь или получаем что-нибудь, если мы учим студентов, как это делать, используя один, другой или оба средства?

1 (и часть 2).В классе мы обсуждали, что эти равносторонние треугольники работают, потому что две окружности, которые построены, или отметки из двух окружностей, мы увидим, что сегменты треугольника являются радиусами окружностей. Если круги одинакового размера, то радиусы одинакового размера и их положение таково, что они пересекаются в трех точках (центры кругов и их пересечение). Вот диаграмма, которая может помочь:

Мы начали с одного круга и построили два радиуса. Затем мы отразили круг поперек линии, чтобы получилось два круга.

Мы выберем один круг и объединим его с другим, чтобы показать, как радиусы образуют равносторонний треугольник.

По мере приближения мы видим, что радиусы образуют треугольник.

Поскольку круги слились и теперь имеют общие радиусы, образующие основу, мы можем видеть, что, поскольку все радиусы равны, если они перекрываются, образуя основание, а два других соединяются наверху, мы должны иметь равносторонний треугольник.

Остальные части 2. Мы видели, что составляет равносторонний треугольник в GSP, но что касается конструкции из карандаша и бумаги, мы видим, что они такие же, но вместо того, чтобы использовать круги, чтобы показать соответствие радиусов, компас (открытость которого остается постоянной) используется для создания конгруэнтных радиусов.

3. Мы можем немного потерять конструкцию из карандаша и бумаги, потому что круги полностью проиллюстрированы в GSP, а с карандашом и бумагой мы видим только дуги кругов, а равномерное расстояние, созданное компасом, скрыто. Однако я считаю, что оба типа конструкций полезны для того, чтобы у студентов было более полное представление о конструкциях.

Давайте посмотрим, как построить квадрат. Снова начнем с построения по циркулю и линейке:

1.Мы отмечаем точку А, выставляем циркуль на определенную длину и делаем отметку. Нам нужно сохранить эту длину, поэтому не теряйте ее.

2. Мы отмечаем точку на отметке компаса, B.

3. Затем мы проводим прямую линию через точку A и точку B.

4. Используя компас при текущих настройках, отметьте отметку слева от точки A и справа от точки B.

5. Если мы хотим сделать квадрат, нам нужно построить перпендикулярные линии, идущие вверх от точек A и B. Итак, чтобы сделать это, нам нужно продлить компас от нашей произвольной длины совсем чуть-чуть.Затем мы размещаем точку на самом левом пересечении и делаем дугу, как показано выше. Затем мы помещаем конец циркуля в точку B и делаем еще одну дугу вокруг точки A, чтобы они пересекались, как показано на рисунке. Повторите этот процесс, чтобы сделать аналогичные дуги вокруг точки B. Начните с точки циркуля на точке A и сделайте дугу вокруг B. Затем поместите точку циркуля на крайнее правое пересечение и сделайте дугу, соединяющуюся с другим. , охватывающую точку B.

6. Сначала сделайте две отметки над точками A и B, используя исходный циркуль произвольной длины.Это будет означать высоту квадрата. Он будет точно такой же длины, как и от A до B, поэтому он будет квадратным. Далее нам нужно выяснить, где будет вершина квадрата. Вот почему мы сделали дуги. Используя линейку, проведите линию от A вверх через две дуги вокруг A и пересеките ее с отметкой сверху. На иллюстрации показано, как это могло теперь выглядеть.

7. Теперь мы закончим построение, проведя перпендикулярную линию вверх от B до отметки и обозначив эту точку пересечения C.Наконец, мы соединяем точку D и точку C, чтобы закончить квадрат.

Теперь проиллюстрируем, как можно построить квадрат, используя GSP:

1. Постройте отрезок произвольной длины.

2. Постройте круг, используя A как центр и B как край. В верхней части круга мы отметили расстояние, такое же, как и от A до B.

3.Итак, теперь мы строим перпендикулярную линию через A к отрезку AB. Пересечение этой линии через вершину круга мы обозначим точкой D.

4. Построим перпендикулярную линию через точку D к прямой AD.

5. Затем мы строим еще одну перпендикулярную линию, на этот раз через точку B к прямой AB.

6.Мы обозначаем эту точку C.

.

7. Если мы спрячем объекты, которые помогли нам в строительстве, мы получим построенный квадрат ABCD.

Комментарий:

Кажется, что причина, по которой это работает, аналогична объяснению равностороннего треугольника. Вот несколько эскизов:

Здесь мы имеем тот же тип конструкции, что и у треугольника.Теперь наши радиусы перпендикулярны и одинаковой длины. Это похоже на атрибуты квадрата.

Теперь мы выбираем две точки на одном круге и объединяем их с другим.

Как только они объединятся, мы увидим квадрат. Просто соединяем верхние точки и у нас будет наш квадрат.

---

Теперь обратим наше внимание на построение пятиугольника с помощью циркуля и линейки. Сначала я понятия не имел, как это сделать, поэтому мне пришлось использовать Интернет.Есть много разных способов построить пятиугольник. Основное внимание в этом эссе уделяется тому, чтобы показать, как это сделать, и обсудить, почему этот подход работает. Что за математика стоит за этим?

1. Пятиугольник состоит из круга. Каждая из вершин будет пересекаться с краем круга. Итак, сначала строим круг с помощью циркуля. Далее мы проводим линию по центру круга, разделяя его пополам.

2.Нам нужно построить еще одну линию, разделяющую левую половину круга пополам. На рисунке мы сделали это, разделив пополам угол 180 градусов, идущий вниз по середине круга. Для этого выставляем компас на определенную точку открытия. Мы помещаем конец циркуля в центр круга и делаем отметки на обоих лучах на произвольном расстоянии. Затем мы помещаем конец циркуля на сделанные отметки и делаем еще одну отметку в области, где будет проходить деление угла пополам.Создает X, пересечение которого — это то место, где должен пройти луч круга. Проведите линейкой биссектрису угла.

3. Следующая цель — построить середину отрезка, который мы только что нарисовали. Для этого мы открываем компас на произвольное расстояние, которое чуть больше, чем приблизительная средняя точка сегмента. Помещаем конец циркуля в центр круга и делаем отметку дуги как на картинке.Затем мы сохраняем измерение компаса как есть и помещаем точку компаса на пересечение сегмента и края круга и делаем аналогичную отметку. Если компас открыт достаточно далеко, дуги должны пересекаться, как показано. Если эти новые пересечения соединены, пересечение обоих сегментов является средней точкой сегмента.

4. Затем соедините середину найденного сегмента с вершиной круга и с пересечением разделительной линии и края круга.Наша следующая цель — разделить пополам угол, образованный отрезком, от центра к краю и средней точки к краю, как показано на рисунке. Используем те же методы, что и в начале. Раскрываем циркуль на произвольную длину, которая меньше длины отрезков угла. Поместив острие циркуля в вершину угла, делаем отметки на отрезках угла. Затем мы немного закрываем циркуль и помещаем его конец на сделанные нами отметки и делаем новые отметки в направлении центра угла.Эти отметки должны пересекаться под биссектрисой угла. Проведена линия биссектрисы угла от вершины угла через точку X до линии, разделяющей круг на две равные части. (На самом деле, как показано на следующем рисунке, вам нужно продлить биссектрису угла за вертикальную линию.)

5. Следующая цель — построить линию, параллельную горизонтальному сегменту, в точке пересечения вертикального сегмента и биссектрисы угла.Это можно сделать, поместив конец циркуля в вершину угла, разделенного пополам, и отметив угол дугой, как показано. Там, где биссектриса угла пересекает вертикальный сегмент, поместите точку циркуля и нарисуйте еще одну дугу, как и раньше. Затем мы открываем компас ровно настолько, чтобы переходить от углового сегмента к угловому сегменту на сделанной вами отметке. Затем сделайте еще одну отметку вниз от дуги, которую вы делаете выше, и это пересечение является точкой, где параллельная линия может быть проведена через пересечение биссектрисы угла и вертикальной линии.Давай, сделай так.

6. Соедините пересечение нового сегмента и края круга с верхним пересечением вертикальной линии и края круга, и мы построили первую сторону нашего пятиугольника.

7. Теперь нам нужно повторить весь этот процесс, чтобы построить еще три стороны. Четвертую сторону можно соединить с пятой, не делая конструкции.Однако мы все равно делаем его, чтобы убедиться, что фигура построена правильно. Теперь нам просто нужно определиться, с чего начать. Поскольку мы построили сторону, начинающуюся сверху и наклоненную вниз влево, мы делаем наш сегмент, проходящий через центр круга, начиная с последней точки, которую мы только что построили.

8. Повторим этот процесс в другой раз.

9.Повторяем этот процесс еще раз.

10. Теперь мы закончим построением последней стороны, хотя в этом нет необходимости. Теперь у нас есть пятиугольник ABCDE.

Мне также любопытно, что есть математические побочные продукты построения пятиугольника, которые можно наблюдать. Это большой круг на внешней стороне конструкции, прежде чем мы его скроем.Кроме того, внутри пятиугольника есть небольшой круг, если дуги, определяющие середину сегмента, были немного более согласованными. Внутри большого тоже есть маленький пятиугольник. Однако регулярно ли это? Это пропорционально большому пятиугольнику? Если бы конструкция была нарисована идеально, был бы маленький пятиугольник правильным? Означает ли это, что большой пятиугольник не совсем правильный?

---

Теперь мы покажем этот же процесс с помощью GSP:

1.Строим круг произвольной длины. Затем мы проводим линию по центру круга.

2. Затем мы строим перпендикулярную линию к вертикальной линии, проходящей через центр круга. Мы делаем отрезок с линией, которую только что создали, от центра к левому краю. Затем мы строим середину этого отрезка.

3. Оттуда мы проводим линию, соединяющую среднюю точку с вершиной круга.Это создает угол, а затем мы строим биссектрису угла.

4. Мы строим линию, параллельную предыдущей горизонтальной линии, и пересечение новой линии с краем круга является точкой для создания первой стороны нашего пятиугольника. Теперь рисуем эту сторону. Этот процесс будет повторяться с разными цветами, начиная с боковой точки, которую мы только что построили.

5.Теперь мы повторяем этот процесс для второй стороны бордового цвета.

6. Повторяем этот процесс еще раз с оранжевым.

7. Мы повторяем этот процесс с розовым или темно-синим цветом, каким бы он ни был. На этом этапе мы можем просто соединить последние две стороны, но, поскольку меня интересовала внутренняя геометрия, я повторил процесс еще раз, чтобы посмотреть, поможет ли точность GSP.

8. Кажется, что в середине этого сооружения происходит много всего. Однако пятиугольник, который, как я думал, находится прямо внутри, не так идеально расположен, как я думал.

9. Если мы скроем все тонкие линии, мы увидим наш пятиугольник.

Вопрос:

Почему это работает?

Ответ:

В классе мы обсуждали использование золотого сечения.В пятиугольнике,

отношение длины красной диагонали к длине стороны равно специальному числу.

Мы будем использовать эту демонстрацию, чтобы показать, как конструкция выше представляет собой пятиугольник. Теперь сделаем круг радиуса с одной стороной единицы длины:

.

Затем мы добавили несколько ярлыков, чтобы облегчить обсуждение:

Во-первых, мы замечаем, что треугольник ABF похож на треугольник AEB .На основании этого можно сделать вывод, что:

Тогда через подстановку получаем:

Что дает:

Мы знаем, что фи — это золотое сечение. Таким образом, мы имеем утверждение, что отношение длины диагонали правильного пятиугольника к длине его стороны есть золотое сечение. Теперь посмотрим на нашу конструкцию:

Чтобы обсудить причину, по которой эта конструкция представляет собой пятиугольник, мы используем вышеуказанные метки.Наша цель — доказать, что отношение диагонали пятиугольника (EF) к стороне (AE) равно фи или золотому сечению, тогда фигура оказывается пятиугольником. Конструкция, изображенная выше, является той же конструкцией, которую мы использовали, за исключением того, что я построил сегмент EO, чтобы облегчить вычисление EF.

Я начинаю с того, что нам дано, что отрезки AO, BO и EO имеют длину 2 единицы. Сегменты BC и CO имеют длину одну единицу, потому что C является средней точкой BO. Если AO равно 2, а CO равно 1, то AC:

Теперь мы можем найти угол ACO с помощью тригонометрии.Следовательно, угол ACO равен:

Таким образом, угол DCO равен половине этого, по определению:

Сегмент DO / 1 равен:

Поскольку мы знаем, что EO равно 2, мы используем теорему Пифагора, чтобы найти ED. Таким образом, ED ² + DO ² = EO ² . Итак, имеем:

Следовательно, ED =

Мы умножаем это выражение на 2, чтобы получить длину EF.Итак, EF =

Мы на полпути к нашей цели. Помните, что мы рассчитываем соотношение длины стороны нашей фигуры к длине диагонали. У нас есть диагональ EF. Теперь мы ищем длину стороны, скажем AE. Мы планируем использовать теорему Пифагора, чтобы найти AE. Мы будем использовать уравнение AE ² = ED ² + AD ² . Мы знаем ED и можем найти AD с выражением 2 — DO. Следовательно, решаем:

Когда мы находим AE и используем наш калькулятор для получения десятичного приближения, мы получаем AE = 2.35114100917. Десятичное приближение для EF = 3,80422606518. Тогда EF / AE = 1,61803398875. Десятичное приближение для золотого сечения — это то же самое, что и мое приближение для EF / AE. Следовательно, эта конструкция дает правильный многоугольник.

---

Теперь перейдем к разделу о построении шестиугольника с линейкой и циркулем:

1. Начнем с построения круга произвольного размера.

2. Делаем отметку на краю круга с правой стороны.Сохраняя исходный произвольный размер компаса, мы помещаем точку циркуля на эту отметку и отмечаем пересечения круга сверху и снизу.

3. Теперь мы рисуем диаметр круга от верхнего пересечения кругов через центр и продолжаем через противоположный край внизу с помощью нашей линейки.

4. Проделываем то же самое на противоположном перекрестке.

5.Теперь мы можем приступить к построению сторон шестиугольника. Наша первая сторона идет от отмеченной нами правой точки до верхнего пересечения круга.

6. Наша вторая сторона соединяет верхние перекрестки. Но подождите, куда пойдет наша третья сторона?

7. Мы делаем нашу третью сторону, строя линию, соединяющую отметки центров наших двух кругов. Если мы продолжим эту линию через другую сторону, у нас будет пересечение слева, которое отмечает точку, где наша третья сторона закончится.Теперь мы можем построить эту третью сторону.

8. Рисуем четвертую сторону, начиная с только что сделанного пересечения и заканчивая левым нижним пересечением.

9. Наша пятая сторона построена путем соединения нижних перекрестков.

10. Мы закончили конструирование сторон шестиугольника, соединив точки пересечения от правого нижнего до крайней правой отметки.

11.У нас есть шестиугольник!

Хм … Похоже, верх немного криво … Не знаю, почему так получилось. Мы снова спрашиваем, как эта конструкция дает шестиугольник. Связано ли это с умением создавать внутренние или дополнительные углы?

---

Мы выполняем этот процесс в GSP:

1. Сначала построим круг произвольного размера.

2. Затем мы строим горизонтальную линию от центра круга до края.

3. Затем мы строим еще один круг, используя край первого в качестве центра и центр первого в качестве края.

4. Затем мы строим линию через центр первого круга и верхнее пересечение обоих кругов.

5. Затем мы строим еще одну линию через центр первой окружности, которая проходит через нижнее пересечение окружностей.

6.Теперь мы готовы нарисовать стороны нашего шестиугольника. Первая сторона начинается от нижнего пересечения обоих кругов и идет к центру второго круга.

7. Вторая сторона идет от нижнего пересечения двух кругов до нижнего пересечения первой линии, которую мы нарисовали, и первого круга.

8. Третья сторона идет от нижнего пересечения первой окружности и первой линии до левого пересечения горизонтальной линии и первой окружности.

9. Четвертая сторона идет от пересечения первой окружности и горизонтальной линии до верхнего пересечения первой окружности и второй линии.

10. Пятая сторона идет от верхнего пересечения первого круга и второй линии до верхнего пересечения обоих кругов.

11. Шестая сторона соединяет пятую сторону с первой стороной, и у нас есть шестиугольник.

12.Когда мы скрываем линии и помечаем вершины, мы получаем чистое изображение нашего построенного шестиугольника.

---

Теперь мы подошли к вопросу о том, как построить семиугольник. Невозможно построить идеально правильный семиугольник, используя только линейку и циркуль, как мы делали раньше. Итак, мой вопрос: почему это так?

Из-за невозможности, я считаю, что сейчас хорошее время, чтобы закончить это эссе.

Построение правильного пятиугольника

Сегодня мы рассмотрим построение правильного пятиугольника с помощью циркуля и линейки на основе следующей тригонометрической формулы $$ \ cos {\ frac {\ pi} {5}} = \ frac {1 + \ sqrt {5} } {4}.$$

Построение равносторонних треугольников , квадратов , правильных шестиугольников и правильных восьмиугольников (8 сторон) довольно просто. Мы не можем не задать вопрос, можно ли с помощью циркуля и линейки построить правильных пятиугольников , правильных семиугольников (7 сторон) и правильных неугольников (9 сторон) или нет.

Оказывается, есть много способов построить правильные пятиугольники, но невозможно построить правильные семиугольники или правильные неугольники, используя только циркуль и линейку.Сегодня мы рассмотрим конструкцию обычного пятиугольника. Мы оставляем обсуждение конструкции семиугольника и неугольника для наших последующих публикаций.

Давайте теперь немного проанализируем. На следующем рисунке мы видим, что если мы можем построить точку $ H $, то из $ H $ мы можем построить точки $ N_3 $ и $ N_4 $, и, таким образом, мы можем легко получить правильный пятиугольник $ N_1 N_2 N_3 N_4 N_5 $.

Поскольку $$ \ angle N_3 OH = \ frac {1} {2} \ angle N_3 O N_4 = \ frac {\ pi} {5} $$, мы имеем $$ OH = r \ cos {\ frac {\ pi} { 5}} $$ где $ r $ обозначает радиус окружности $ (O) $.

Итак, чтобы найти способ построить точку $ H $, во-первых, нам нужно определить значение $ \ cos {\ frac {\ pi} {5}} $.

Расчет $ \ cos {\ frac {\ pi} {5}} $

Обратите внимание, что угол $ \ frac {\ pi} {5} $ имеет следующее свойство $$ 2 \ frac {\ pi} { 5} + 3 \ frac {\ pi} {5} = \ pi $$, поэтому если мы положим $ x = \ frac {\ pi} {5} $, тогда $ 2 x + 3 x = \ pi $, это означает, что $ 2 x $ и $ 3x $ — два дополнительных угла. Таким образом, с помощью базовой тригонометрии мы выводим следующее уравнение $$ \ cos {2x} = — \ cos {3x}.2 — 2t-1 = 0 $$ получаем два корня противоположных знаков $$ t_ {1,2} = \ frac {1 \ pm \ sqrt {5}} {4} $$

Таким образом, наш $ \ cos {\ frac {\ pi} {5}} $ является положительным корнем, и мы завершаем наш расчет $$ \ cos {\ frac {\ pi} {5}} = \ frac {1 + \ sqrt {5}} {4}. $$

Использование теоремы Пифагора
Возвращаясь к приведенному выше рисунку, мы имеем $$ OH = r \ cos {\ frac {\ pi} {5}} = \ frac {(1 + \ sqrt {5}) r} {4} $$
Чтобы построить отрезок $ OH $, нам нужно построить отрезок длины $ (1 + \ sqrt {5}) r $, а затем разделить его на четыре равные части.2 $$
Построение правильного пятиугольника

На основании приведенного выше анализа получаем следующую конструкцию:

• Постройте две перпендикулярные координатные линии $ x’Ox $, $ y’Oy $;
• Возьмите $ O $ в качестве центра и постройте произвольную окружность, которая пересекает $ Ox $, $ Ox ‘$, $ Oy $ в точках $ X $, $ N_1 $, $ Y $ соответственно;
• Постройте точку $ A $ на $ Oy $ так, чтобы $ YA = YO $;
• Постройте точку $ B $ на $ Ox $ так, чтобы $ XB = XA $;
• Постройте среднюю точку $ C $ для $ OB $ и среднюю точку $ H $ для $ OC $;
• Через $ H $ постройте прямую, перпендикулярную к $ Ox $, которая пересекает окружность $ (O) $ в точках $ N_3 $, $ N_4 $;
• Постройте круг с центром в точке $ N_1 $ и радиусом, равным $ N_3N_4 $, который пересекает круг $ (O) $ в точках $ N_2 $, $ N_5 $;
• Тогда $ N_1N_2N_3N_4N_5 $ — правильный пятиугольник.

В этой конструкции мы видим, что $$ OA = 2r, ~~ XA = \ sqrt {5} r, ~~ XB = \ sqrt {5} r, ~~ OB = (1+ \ sqrt {5}) r , ~~ OH = (1+ \ sqrt {5}) r / 4 $$

Итак, мы завершили построение правильного пятиугольника с помощью циркуля и линейки!

Сразу возникает вопрос, для каких значений $ n $ мы можем построить правильный многоугольник с $ n $ сторонами. Несмотря на простоту постановки, на самом деле это очень сложная математическая задача. Более тысячи лет эта проблема оставалась нерешенной.Гаусс был человеком, который сделал первый прорыв в решении проблемы. Мы продолжим эту увлекательную историю в наших будущих постах. Надеюсь увидеть тебя тогда.

Построение правильных многоугольников — Бесплатные задания по математике

Мы знаем, что правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны равной длины и все внутренние углы одинаковой меры. В этом уроке мы узнаем, как построить их с помощью циркуля и линейки.

Равносторонний треугольник

Начнем с построения первого правильного многоугольника, равностороннего треугольника.

Пример. Постройте треугольник, если нам известна длина стороны $ a $.

Сначала создаем эскиз. Он не обязательно должен быть точным, но он даст нам представление, с чего начать.

Нарисуем луч с конечной точкой $ A $, который будет первой вершиной треугольника. Берем линейку и устанавливаем ширину циркуля равной длине заданной стороны $ a $.Затем введите стрелку компаса в точку $ A $ и нарисуйте дугу. Убедитесь, что дуга пересекается с ранее нарисованным лучом. Точка пересечения дуги и луча — это наша вторая вершина, $ B $. Не меняя ширину циркуля, повторяем предыдущий шаг. Единственная разница в том, что мы наводим стрелку циркуля на точку $ B $ и делаем дугу, которая пересекается с первой. Мы видим, что дуги пересекаются в двух точках, что дает нам две последние вершины, $ C $ и $ C ’$. Теперь у нас есть два треугольника: $ \ bigtriangleup ABC $ и $ \ bigtriangleup ABC ’$.Треугольники конгруэнтны из-за теоремы SSS, поэтому мы говорим, что у нас есть только одно решение.

Продвинутый:

Мы использовали луч, чтобы получить точки $ A $ и $ B $, но если бы мы использовали прямую, мы получили бы еще одну вершину $ B ’$ по другую сторону от $ A $. Выполнив шаги, описанные выше, мы получим еще два треугольника, всего четыре. Все четыре из них совпадают, и мы рассматриваем их как одно решение проблемы.

Пример. Постройте треугольник, если мы знаем радиус описанной окружности.

Сначала мы делаем окружность $ c (O, r) $ и один диаметр $ \ overline {AA ’} $. Затем мы делаем круг $ c (A ’, | OA’ |) $. Точки пересечения окружностей $ c (O, r) $ и $ c (A ’, | OA’ |) $ — это $ B $ и $ C $, две оставшиеся вершины нашего треугольника.

Квадрат

Пример. Постройте квадрат, если нам известна сторона $ a $.

Сначала мы делаем набросок, чтобы узнать расположение точек и сторон.

Начнем с создания линии и точки $ A $.{\ circ} $.

Теперь у нас есть перпендикулярная линия, и мы знаем, что вершина $ C $ будет на ней. Возьмите длину стороны $ a $ в ширину циркуля и сделайте дугу, которая пересекается с перпендикулярной линией — это пересечение и есть наша вершина $ C $. Осталось построить вершину $ D $. Мы делаем это, создавая две дуги окружностей $ c (A, a) $ и $ c (C, a) $. Их пересечение является последней вершиной, вершиной $ D $.

* Здесь мы построили только один квадрат, но мы могли бы построить четыре из них, следуя тому же процессу, что и при построении равностороннего треугольника.

Пример. Как построить квадрат, если мы знаем радиус описанной окружности?

Сначала мы рисуем точку $ O $ и окружность $ c (O, r) $. Выберите начальную точку $ A $ в любом месте круга. Теперь давайте нарисуем диаметр от $ A $ до $ O $. Пусть точка пересечения диаметра и окружности будет точкой $ C $. Прямая $ AB $ — это одна диагональ квадрата, который мы хотим построить. Как получить другой? Мы знаем, что диагонали в квадрате перпендикулярны, поэтому мы создаем перпендикулярную линию к диаметру $ AC $.Убедитесь, что точкой пересечения является точка $ O $. Теперь точки пересечения перпендикуляра и окружности $ c (O, r) $ — это точки $ B $ и $ C $, две наши последние вершины.

Правильный пятиугольник

Сначала рисуем эскиз от руки. Он не обязательно должен быть идеальным, поскольку это не наша окончательная конструкция, мы просто воспользуемся им для строгания.

Пример. Постройте правильный пятиугольник, если нам известна сторона $ a $.

Создайте луч, конечной точкой которого является $ B $, а затем постройте точку $ A $ так, чтобы $ | AB | = a $.Мы хотим построить биссектрису $ | AB | $. Возьмите циркуль и убедитесь, что его ширина равна длине стороны $ a $ (ВАЖНО!). Поставьте иглу на $ B $ и сделайте две дуги окружности $ c (B, a) $. Повторите шаг для дуг из $ c (A, a) $. Дуги пересекаются в точках $ K $ и $ L $. Присоединяйтесь к ним, чтобы получить среднюю точку между $ A $ и $ B $, точку $ M $. Опять же, сохраните радиус циркуля равным $ a $, поместите стрелку циркуля на $ M $ и сделайте дугу, пересекающуюся с биссектрисой, образуя точку $ N $. Теперь отрегулируйте компас до длины $ AN $.Поместите иглу в $ A $ и сделайте дугу, которая пересекается с лучом, который мы сделали в начале, что даст нам точку $ P $.

Расстояние от $ M $ до $ P $ — очень важное расстояние — оно даст нам остальные вершины. Сделайте радиус компаса равным расстоянию между $ M $ и $ P $. Поставьте иглу на $ B $ и сделайте дугу, которая пересекается с одной из дуг, которые мы сделали, чтобы получить среднюю точку. Сделайте вторую дугу, которая пересекается с биссектрисой. Точки пересечения будут точками $ E $ и $ D $ соответственно.Чтобы получить вершину $ C $, мы поместим иглу в $ A $ и повторим процесс.

Пример. Постройте правильный пятиугольник, если мы знаем радиус описанной окружности.

Постройте окружность $ c (O, r) $ и два перпендикулярных диаметра: $ \ overline {AA ’} $ и $ \ overline {PP’} $. Теперь построим биссектрису отрезка $ \ overline {OP} $, пересечение будет точкой $ M $. По ширине циркуля возьмите длину между $ A $ и $ M $ и поместите стрелку циркуля на $ M $, чтобы создать дугу, пересекающуюся с $ \ overline {PP ’} $.Пересечение $ N $.

Расстояние от $ A $ до $ N $ — это длина стороны $ a $ правильного пятиугольника. Теперь, когда мы знаем длину $ a $, нам нужно построить вершины. Пусть $ D $ — наша первая вершина.

Во-первых, мы открываем циркуль на длину $ a $ и помещаем стрелку циркуля на $ A $. Теперь создайте дугу, которая пересекается с окружностью $ c (O, r |) $, что дает нам вершину $ B $. Не меняя ширины циркуля, мы помещаем стрелку на $ B $ и проделываем тот же процесс, чтобы получить вершину $ A $, и так далее.Этот процесс даст нам оставшиеся $ 4 $ вершины.

Правильный шестигранник

Пример. Постройте правильный шестиугольник, если нам известна сторона $ a $.

Мы можем разбить правильный шестиугольник на равносторонние треугольники по $ 6 $ со стороной $ a $. Вершина $ O $ является центром вписанной и описанной окружностей, а $ | AO | = | BO | = | CO | = | DO | = | EO | = | FO | $. Сначала мы построим $ \ bigtriangleup ABO $, следуя процессу, который мы использовали при построении равностороннего треугольника.Нарисуем $ c (O, | AO |) $. Поскольку $ O $ — центр описанной окружности, мы знаем, что вершины шестиугольника будут на окружности. Теперь мы просто берем длину $ a $ в ширину циркуля и делаем на окружности дуги в $ 4 $.

Не меняя ширины циркуля, мы помещаем стрелку циркуля на $ B $, make и дугу, которая пересекается с окружностью $ c (O, | AO |) $, дающей нам вершину $ C $. Затем мы кладем иглу на $ C $ и проделываем тот же процесс, чтобы получить вершину $ D $, и так далее. Этот процесс даст нам последние $ 4 $ вершины.Неважно, начнем ли мы с $ A $ и сделаем это по часовой стрелке или с $ B $, как здесь, результат будет таким же.

Важно помнить: В правильном шестиугольнике $ \ bigtriangleup ABO $ — это равносторонний треугольник, что означает, что длина радиуса описанной окружности и длина стороны всегда равны.

Пример. Постройте правильный шестиугольник, если мы знаем радиус описанной окружности.

Это еще проще.Мы просто рисуем круг $ c (O, r) $ и выбираем на нем начальную точку, пусть это будет точка $ A $. В правильном шестиугольнике мы знаем, что радиус описанной окружности равен стороне многоугольника, то есть $ r = | AO | = | AB | $. Теперь, когда у нас есть сторона правильного шестиугольника, мы строим оставшиеся $ 5 $ вершин, как в предыдущем примере.

Правильный восьмиугольник

Пример. Как построить правильный восьмиугольник, если мы знаем радиус описанной окружности?

Сначала мы строим квадрат внутри данного круга с его диагоналями, следуя процессу, описанному выше.Затем мы строим биссектрисы углов $ \ измеренный угол AOB, \ измеренный угол BOC, \ измеренный угол COD $ и $ \ измеренный угол DOA $. Биссектрисы пересекаются с описанными окружностями, что дает нам $ 4 $ новых точек, $ E, F, G $ и $ H $. Эти точки — оставшиеся вершины восьмиугольника.

Правильный десятиугольник

Пример. Как построить правильный десятиугольник, если мы знаем радиус описанной окружности?

Сначала мы строим правильный пятиугольник внутри данного круга, следуя процессу, описанному при построении пятиугольника.Затем мы соединяем каждую вершину с центром описанной окружности, чтобы разделить пятиугольник на $ 5 $ конгруэнтных треугольников. Следующим шагом является построение биссектрисы для построения углов $ \ measureangle AOB, \ measureangle BOC, \ measureangle COD, \ measureangle DOE $ и $ \ measureangle EOA $.

Биссектрисы пересекаются с описанными окружностями, давая нам $ 5 $ новых точек, $ F, G, H, I $ и $ J $. Эти точки — оставшиеся вершины десятиугольника.

Правильный двенадцатигранник

Пример. Как построить правильный двенадцатиугольник, если мы знаем радиус описанной окружности?

Как и в последних двух примерах, мы можем построить правильный двенадцатиугольник из правильного шестиугольника. Биссектрисы центральных углов шестиугольника дают нам оставшиеся вершины двенадцатиугольника.

Построение пятиугольника может быть выполнено с помощью циркуля и …

Контекст 1

… построения линейки и циркуля состоят из многократного применения пяти основных построений, основанных на аксиомах Евклида [39] с использованием точки, линии и круги, которые уже были построены.Основанные на этих геометрических примитивах и фиксированном наборе операций конструкции линейки и циркуля — такие, как показано на рисунке 1 — являются первыми алгоритмическими описаниями генеративных моделей. 3. Пусть D — середина BO. …

Контекст 2

… элементарные структуры данных обычно используются в компьютерной графике (см. Рисунок 10). Увеличивая количество примитивов, можно создать лучшее приближение цилиндра. …

Контекст 3

… качество аппроксимации поверхности объекта полигонами сильно зависит от количества примитивов и используемых операций моделирования. Как только приближение найдено, вся информация об аппроксимируемой поверхности часто теряется, см. Рисунок 11. …

Контекст 4

… Поверхности Поверхности с разбиением определяются рекурсивно, начиная с заданной многоугольной сетки (обычно четырехугольника). , или треугольная сетка), как показано на рисунке 10 (в центре). Схема уточнения применяется к этой сетке, создавая новые вершины и грани, сходящиеся к поверхности предельного подразделения (которая является поверхностью, полученной путем применения схемы уточнения бесконечное количество раз)….

Context 5

… к тому факту, что положение и размер вокселя предопределены, воксели хороши для представления регулярно выбираемых пространств. Приближение форм произвольной формы страдает от этого врожденного свойства, как видно на рисунке 10 (справа). Тем не менее, представления вокселей не страдают числовой нестабильностью, поскольку они обычно определяются на целочисленной сетке. …

Контекст 6

… таким образом можно выполнить деформированное разделение, деформацию можно запечь в любой точке, чтобы учесть прямые разрезы в деформированной геометрии.Пример показан на рисунке 13. …

Контекст 7

… первый шаг процесса — зарегистрировать генеративную модель (включая ее свободные параметры) для лазерного сканирования. Затем разница между генеративной моделью и лазерным сканированием сохраняется в текстуре, которую можно применить ко всем экземплярам одного и того же семейства форм, как показано на рисунке 14. …

Контекст 8

… Платформа моделирования позволяет разработчикам оптимизировать перекодировку для создания интерактивных трехмерных визуализаций.Пример приложения дополненной реальности, показанный на рисунке 15, отображает подземную инфраструктуру, созданную на основе данных географических информационных систем (ГИС). …

Контекст 9

… Чтобы уменьшить пространство поиска, из классификаций выводится нерегулярная сетка, а алгоритм синтаксического анализа применяется для получения наиболее вероятного применения правил, которое дает классификационную метку для каждого ячейка сетки. Такое дерево синтаксического анализа можно легко преобразовать в процедурную модель, как показано на рисунке 16….

Контекст 10

… система завершает работу, если каждой вершине присвоено состояние. Этот процесс проиллюстрирован на рисунке 17. На основе этих классификаций получается нерегулярная сетка (c) и анализируется двумерная разбитая грамматика (d). …

Контекст 11

… авторы предлагают меру сходства между статистической моделью и заданной входной сеткой, которая состоит из трех частей: расстояние формы, которое измеряет общее несоответствие формы, геометрическое расстояние, которое отражает статистика геометрии его ветвей и структурное расстояние, которое кодирует стоимость преобразования графического представления модели статистического дерева в графическое представление входной модели дерева.Некоторые примеры см. На рисунке 18. Метод MCMC также применялся другими методами для поиска параметров статистической генеративной модели: [101], [119], [127]. …

Контекст 12

… примерный набор данных, показанный на рисунке 19, состоит из сканированных лазером чашек и описания генеративных чашек. Алгоритм способен обнаружить экземпляр генеративной чаши. …

Контекст 13

… можно комбинировать, вызывая последовательность различных преобразований.На рисунке 21a показан пример многоугольника профиля, копии которого расположены радиально вокруг начала координат (рисунок 21b). Эти многоугольники сначала преобразуются в двусторонние грани. …

Контекст 14

… можно комбинировать, вызывая последовательность различных преобразований. На рисунке 21a показан пример многоугольника профиля, копии которого расположены радиально вокруг начала координат (рисунок 21b). Эти многоугольники сначала преобразуются в двусторонние грани. …

Контекст 15

… полигоны сначала преобразуются в двусторонние грани. Затем соответствующие задняя и передняя стороны соединяются (рисунок 21c) и создается поверхность разделения (рисунок 21d). Многоугольник профиля, угол поворота и набор пользовательских параметров являются входными данными для этой функции преобразования (рисунок 21f). …

Контекст 16

… полигоны сначала преобразуются в двусторонние грани. Затем соответствующие задняя и передняя стороны соединяются (рисунок 21c) и создается поверхность разделения (рисунок 21d).Многоугольник профиля, угол поворота и набор пользовательских параметров являются входными данными для этой функции преобразования (рисунок 21f). …

Контекст 17

… соответствующие задняя и передняя стороны соединяются (рисунок 21c), и создается поверхность подразделения (рисунок 21d). Многоугольник профиля, угол поворота и набор пользовательских параметров являются входными данными для этой функции преобразования (рисунок 21f). На этапе постобработки выбранные грани можно раскрасить по-разному (Рисунок 21h)….

Контекст 18

… многоугольник профиля, угол поворота и набор настраиваемых параметров являются входными данными для этой функции преобразования (рисунок 21f). На этапе постобработки выбранные грани можно раскрасить по-разному (Рисунок 21h). Создание основной формы отделено от дополнительных шагов по созданию гравюр, изменению материалов или добавлению драгоценных камней.