Теоремы, которые точно пригодятся на ЕГЭ — 5 теорем
Поможем понять и полюбить математику
Начать учитьсяГеометрия без теорем не была бы геометрией. Поэтому подготовили самые нужные теоремы для ЕГЭ по математике.
Получите +50 баллов на экзаменах
Дарим до 5 уроков на подготовку к ОГЭ и ЕГЭ по новым предметам
Подготовка к ЕГЭ с преподавателемТеорема Пифагора
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии. Она устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. И звучит так:
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
c2 = a2 + b2.
Теорема Пифагора — это частный случай теоремы косинусов. Это объясняется тем, что косинус 90 градусов равен нулю.
Демоурок по подготовке к экзаменам
Составим ваш личный путь к высоким баллам — учтем сроки, уровень знаний и цель.
Теорема Фалеса
Теорема Фалеса — это свойство параллельных прямых, которые пересекают две секущие с общей точкой.
Вообще, есть две теоремы Фалеса — общая, на все случаи жизни, и частная — то, что нужно для решения задач на ЕГЭ по математике.
Через произвольные точки A1, A2, … An–1, An, лежащие на стороне AO угла AOB, проведены параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB в точках B1, B2, … Bn–1, Bn, соответственно. Тогда справедливы равенства:
В ЕГЭ по математике теорема Фалеса встречается чаще всего в параллелограмме, у которого проведена диагональ, — будьте начеку.
Теорема косинусов
Теорема Пифагора — кайф, легко запомнить, часто встречается, применяем только тогда, когда у нас есть прямоугольный треугольник. Но на самом деле теорема Пифагора работает для любого треугольника, только называется она в этом случае теоремой косинусов.
Квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними.
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
Собственно, по формуле сразу становится понятно, почему это соотношение называется теоремой косинусов. Ещё она крайне похожа на разность квадратов с учётом косинуса, поэтому запомнить её не очень сложно. И если вспомнить, что косинус 90 градусов — это 0, то мы увидим знакомую теорему Пифагора.
Теорема синусов
Казалось бы, синус — это что-то про тригонометрию, но на самом деле совсем не только. Планиметрия может с этим смело поспорить, и теорема синусов — явный аргумент в этом воображаемом споре. Если коротко, теорема синусов — это формула связи угла с противолежащей ему стороной в треугольнике.
Для любого треугольника справедливы равенства:
,
где R — радиус описанной около треугольника окружности.
По теореме синусов, во-первых, можно быстро найти радиус описанной окружности по известной стороне и противолежащему ей углу. Во-вторых, если треугольник не прямоугольный, то в нём можно просто найти синус угла по известным стороне и радиусу описанной окружности. Ну и в конце концов, можно использовать отношение двух любых сторон и углов. Формула синусов в ЕГЭ по математике используется нечасто, но иметь её в своем арсенале полезно и обязательно.
Теорема Менелая
Её также называют теоремой о треугольнике и секущей, и звучит она так:
Если на сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки C1 и A1, а точка B1 взята на продолжении стороны AC за точку C, то точки C1, A1 и B1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство:
Теорема Менелая пригодится для решения 2-й части ЕГЭ по математике.
Она поможет уменьшить огромную кучу исписанных листочков при решении и сохранить время на экзамене, ведь помогает решать в несколько действий.
Чтобы с лёгкостью запомнить все основные теоремы из геометрии для ЕГЭ по математике, скачайте и распечатайте удобную шпаргалку. Кроме теорем из этой статьи, там есть ещё две редкие — теоремы Чевы и Вариньона, а также задачи на доказательства.
Математика — обязательный для сдачи на ЕГЭ предмет, без которого не получишь аттестат. Это также один из самых сложных экзаменов для выпускников. Делимся типичными ошибками в ЕГЭ по математике, а также ресурсами, которые помогут отработать теорию на практике.
Шпаргалки для родителей по математике
Все формулы по математике под рукой
Эйджей Гаусс
К предыдущей статье
Угол между прямой и плоскостью
К следующей статье
261.5KТеорема косинусов и синусов
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
Все формулы треугольника.
Формулы биссектрисы. Основные формулы треугольника.- Альфашкола
- Статьи
- Основные формулы треугольника
Дарим в подарок бесплатный вводный урок!
Предметы
- Репетитор по математике
- Репетитор по физике
- Репетитор по химии
- Репетитор по русскому языку
- Репетитор по английскому языку
- Репетитор по обществознанию
- Репетитор по истории России
- Репетитор по биологии
- Репетитор по географии
- Репетитор по информатике
Специализации
- Подготовка к ЕГЭ по математике (базовый уровень)
- Подготовка к ОГЭ по математике
- Репетитор для подготовки к сочинению ЕГЭ по русскому
- Репетитор по английскому языку для подготовки к ОГЭ
- Репетитор по грамматике английского языка
- Репетитор по английскому для взрослых
- Репетитор по биологии для подготовки к ОГЭ
- Программирование Pascal
- Scratch
Основные формулы треугольника
В этой статье вы найдете все формулы площадей треугольника:
6 формул площади треугольника
Теорема косинусов
\(a^2=b^2+c^2-2bc* cos α\)
\(b^2=a^2+c^2-2ac* cos β\)
\(a^2=a^2+b^2-2ab* cos γ\)
Медианные формулы
\(m^2_a=14(2b^2+2c^2-a^2)\)
\(m^2_b=14(2a^2+2c^2-b^2)\)
\(m^2_c=14(2a^2+2b^2-c^2)\)
Формулы биссектрисы
\(\frac{a}{b}=\frac{n}{m}\)
\(l^2=ab-nm\)
Прямоугольный треугольник
\(c^2=a^2+b^2\)\(S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch\)
\(a^2=n⋅с\)
\(b^2=mc\)
\(h^2=m*n\)
\( r=\frac{a+b−c}{2}\)- радиус вписанной окружности
\( sin α=a/c\)
\( tan α=a/b\)
\( cot α=b/a\)
Формулы площади
полупериметр \(p=\frac{a+b+c}{2}\)Площадь треугольника
\(S=\frac{ ch_c}{2}\)
\(S=\frac{ab sin γ}{2}\)
\(S=\sqrt{p(p−a)(p−b)(p−c)}\)
\(S=pr \)
где \(r\) радиус треугольника вписанной окружности
\(S=\frac{abc}{ 4R}\)
где — R-радиус описанной окружности
Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа».
Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Наши преподаватели
Оксана Александровна Латтеган
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Новосибирский государственный педагогический университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Елена Вячеславовна Гришаева
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Рязанский государственный педагогический университет имени С.
А. Есенина
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Эльвира Мазетовна Ахметгалиева
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Западно-Казахстанский институт языков и менеджмента Евразия
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Похожие статьи
- Как перевести миллиметры в метры?
- ЕГЭ по математике, профильный уровень.
Задачи на оптимальный выбор - Задачи на координатной решетке. Задание №3 из ЕГЭ прошлых лет
- ЕГЭ по математике, профильный уровень. Задачи на оптимальный выбор
- Учимся решать задачи с прикладным содержанием
- Наводим красоту: топ-10 простых и красивых причесок для девушек (разного возраста)
- Откуда появляются ночные кошмары и почему это нельзя игнорировать
- Как запомнить формулы по физике и не завалить контрольную
Задачи на оптимальный выборНажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Формулы в геометрии — Etsy Турция
Etsy больше не поддерживает старые версии вашего веб-браузера, чтобы обеспечить безопасность пользовательских данных.
Пожалуйста, обновите до последней версии.
Воспользуйтесь всеми преимуществами нашего сайта, включив JavaScript.
Найдите что-нибудь памятное, присоединяйтесь к сообществу, делающему добро.
( 228 релевантных результатов, с рекламой Продавцы, желающие расширить свой бизнес и привлечь больше заинтересованных покупателей, могут использовать рекламную платформу Etsy для продвижения своих товаров. Вы увидите результаты объявлений, основанные на таких факторах, как релевантность и сумма, которую продавцы платят за клик. Узнать больше. )20011 — Геометрические фигуры и нахождение площадей
Введение: соединение вашего обучения
Большинство студентов, изучающих математику в старших классах и колледжах, задают вопрос: «Когда я когда-нибудь буду использовать это понятие в реальной жизни?» На самом деле геометрия имеет множество практических применений как в повседневном, так и в компьютерном мире.
Геометрия может быть интересна, когда вы думаете о том, как она связана с дизайном компьютерных приложений, включая реальные и виртуальные объекты, или если вы пытаетесь определить информацию и свойства геопространственного местоположения или области. В этом модуле вы обсудите области геометрических фигур и объектов. К концу модуля вы должны знать значение и обозначения площади и формулы площади для некоторых распространенных геометрических фигур, а также уметь вычислять площади некоторых распространенных геометрических фигур.
Сосредоточение вашего обучения
Цели урока
К концу этого урока вы должны уметь:
- Вычислять площади обычных геометрических фигур.
Представление
Площадь
Площадь поверхности – это количество квадратных единиц длины, содержащихся на поверхности.
Вы начнете с изучения формул вычисления площади различных геометрических фигур. У каждой фигуры есть определенная формула, по которой нужно вычислить площадь, то есть количество квадратных единиц длины, содержащихся на поверхности.
Например, 3 кв. дюйма означает, что 3 квадрата со стороной 1 дюйм можно точно разместить на поверхности. (Возможно, квадраты придется вырезать и переставить, чтобы они соответствовали форме поверхности.)
Выберите следующую ссылку, чтобы увидеть представление площади на листе бумаги. Вы сможете увидеть, как измеряется площадь, разделив бумагу на маленькие квадратные единицы.
Площадь
Теперь, когда вы лучше понимаете, что такое площадь, посмотрите на квадрат. У него четыре равные стороны и четыре равных угла: Каждый угол равен 90°. Чтобы определить площадь квадрата, используйте следующую формулу.
Площадь квадрата
Площадь = сторона ⋅ сторона = сторона 2
сторона размером 6 дюймов.
Площадь = сторона ⋅ сторона = сторона 2
Площадь = 6 дюймов ⋅ 6 дюймов = 36 кв. 2 .
6 ⋅ 6 или 6 2 = 36 кв. дюймов
Пример
Вычислите площадь квадрата со стороной 9 см.
Площадь = сторона ⋅ сторона = сторона 2
Площадь = 9 см ⋅ 9 см = 81 кв. см
Поскольку сторона равна 9 см, вам нужно умножить 9 на 9, что также означает 9 2 .
9 ⋅ 9 или 9 2 = 81 кв. см
Теперь вы изучите формулы площади, чтобы ознакомиться с тем, как найти площадь следующих геометрических фигур.
Формулы площади
Площадь этих геометрических фигур можно определить с помощью следующих формул.
| Рисунок | Формула площади | Заявление | |
| Треугольник | А = б ⋅ ч | Площадь треугольника равна половине произведения основания на высота. | |
Прямоугольник | А = л ⋅ ш | Площадь прямоугольника равна произведению длины на
ширина. | |
Параллелограмм | А = б ⋅ ч | Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. | |
Трапеция | А = ⋅( б 1 + б 2 )⋅ ч | Площадь трапеции равна половине суммы два основания умножить на высоту. | |
Круг | А = π r 2 | Площадь круга в π раз больше квадрата радиус. | |
На основе
диаграмме выше, геометрические фигуры имеют разные формулы для
площади в зависимости от их формы. | |||
Взгляните на некоторые примеры.
Примеры: нахождение площадей обычных геометрических фигур
Найдите площадь треугольника.
A = ⋅ b ⋅ h = ⋅ 20 ⋅ 6 кв. футов = 10 ⋅ 6 кв. футов = 60 кв. футов = 60 футов
Площадь этого треугольника составляет 60 квадратных футов, что часто записывается как 60 футов 2 .
Найдите площадь прямоугольника.
Прежде чем вы сможете вычислить площадь, вам нужно, чтобы длины сторон были в одних и тех же единицах.
1) Сначала переведите 4 фута 2 дюйма в дюймы.
Преобразуйте 4 дюйма в футы, умножив 4 на 12; в 1 футе 12 дюймов. В 4 футах 48 дюймов. Таким образом, 4 фута 2 дюйма составляют 48 дюймов + 2 дюйма, что составляет 50 дюймов
2) Формула площади (прямоугольник): A = l ∙ w
A = l ⋅ w
A = 50 дюймов ⋅ 8 дюймов
A = 400 кв.
дюймов
Ответ: Площадь этого прямоугольника равна 400 кв. дюймов
Найдите площадь параллелограмма.
A = b ⋅ h = 10,3 см ⋅ 6,2 см = 63,86 кв. см
Площадь этого параллелограмма равна 63,86 кв.см.
Найдите площадь трапеции.
А = ⋅ ( б 1 + б 2 ) ⋅ ч
9021 5 А = ⋅ (14,5 мм + 20,4 мм) ⋅ (4,1 мм) = ⋅ (34,9 мм ) ⋅ (4,1 мм) = ⋅ (143,09 кв. мм)
A = 71,545 кв. мм
Площадь этой трапеции равна 71,545 кв. мм.
Найдите приблизительную площадь круга.
A = π⋅ r 2 ≈ (3,14) ⋅ (16,8 фута) 2 ≈ (3,14 ) ⋅ (282,24 кв. фута) ≈ 888,23 кв. фута
Площадь этого круга составляет приблизительно 886,23 кв. футов.
Посетите следующий веб-сайт для получения дополнительной информации о том, как найти площадь обычных геометрических фигур.
Область геометрических фигур: плоские фигуры
Теперь, когда вы ознакомились с формулами и примерами, пришло время посмотреть несколько видеороликов Академии Хана. Эти видеоролики предоставят вам дополнительные пояснения и демонстрации вычисления площади, чтобы помочь вам глубже понять концепции.
Математический видео-инструментарий: Основы области Площадь прямоугольников и треугольников Площадь круга |
Упражнение: нахождение площади
Теперь у вас есть шанс решить некоторые проблемы. Вам нужно будет взять лист бумаги и карандаш, чтобы выполнить практическое задание. Вы можете использовать калькулятор, если хотите. Тщательно изучите каждую из этих проблем; вы увидите похожие проблемы на проверке знаний урока. Выберите следующую ссылку, чтобы завершить практическое задание. Решение практических задач После завершения практического задания проверьте, насколько хорошо вы справились, выбрав следующую ссылку: Решения: Решение задач для местной практики |
Подведение итогов
На этом уроке вы познакомились с различными геометрическими фигурами и формулами для вычисления их площадей. Эта информация может быть использована для расчета площадей экранов телевизоров, мониторов компьютеров, объективов фотоаппаратов и многого другого.
Большинство курсов, которые вы будете изучать в колледже или техникуме, не всегда могут включать конкретные примеры, применимые к вашей программе обучения. Вместо этого они, как правило, дают широкий обзор ключевых понятий, чтобы вы захотели узнать больше. Как и в предыдущих уроках, вам предлагается исследовать, как каждая концепция связана с выбранной вами областью обучения. Этот процесс исследования является бесценной частью вашего образования; не упустите эту возможность продвинуть свои знания.
Оценка вашего обучения
Теперь, когда вы внимательно прочитали урок и попытались решить практические задачи, пришло время для проверки знаний. Обратите внимание, что этот является оцениваемой частью этого урока, поэтому убедитесь, что вы подготовились перед началом. |
- Заполните геометрические фигуры: нахождение площади.
Ресурс:
«Измерение и геометрия: площадь и объем геометрических фигур и объектов», Ellis, W. & Burzynski, D. © 2010, получено с http://cnx.org/content/m35023/1.2/. под лицензией Creative Commons Attribution http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/. Это адаптация урока под названием «Геометрические фигуры и решение для площади», подготовленного Национальным консорциумом по информационной безопасности и геопространственным технологиям (NISGTC) под лицензией Creative Commons Attribution 3.