Содержание

стороны, вершины, диагонали. Периметр многоугольника

Многоугольник — это геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, не имеющей самопересечений.

Звенья ломаной называются сторонами многоугольника, а её вершины — вершинами многоугольника.

Углами многоугольника называются внутренние углы, образованные соседними сторонами. Число углов многоугольника равно числу его вершин и сторон.

Многоугольникам даются названия по количеству сторон. Многоугольник с наименьшим количеством сторон называется треугольником, он имеет всего три стороны. Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

Обозначение многоугольника составляют из букв, стоящих при его вершинах, называя их по порядку (по часовой или против часовой стрелки). Например, говорят или пишут: пятиугольник  ABCDE:

В пятиугольнике  ABCDE  точки  ABCD  и  E  — это вершины пятиугольника, а отрезки  ABBC

CDDE  и  EA  — стороны пятиугольника.

Выпуклые и вогнутые

Многоугольник называется выпуклым, если ни одна из его сторон, продолженная до прямой линии, его не пересекает. В обратном случае многоугольник называется вогнутым:

Периметр

Сумма длин всех сторон многоугольника называется его периметром.

Периметр многоугольника  ABCDE  равен:

AB + BC + CD + DE + EA.

Если у многоугольника равны все стороны и все углы, то его называют правильным. Правильными многоугольниками могут быть только выпуклые многоугольники.

Диагональ

Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий вершины двух углов, не имеющих общей стороны. Например, отрезок 

AD  является диагональю:

Единственным многоугольником, который не имеет ни одной диагонали, является треугольник, так как в нём нет углов, не имеющих общих сторон.

Если из какой-нибудь вершины многоугольника провести все возможные диагонали, то они разделят многоугольник на треугольники:

Треугольников будет ровно на два меньше, чем сторон:

t = n — 2,

где  t  — это количество треугольников, а  n  — количество сторон.

Разделение многоугольника на треугольники с помощью диагоналей используется для нахождения площади многоугольника, так как чтобы найти площадь какого-нибудь многоугольника, нужно разбить его на треугольники, найти площадь этих треугольников и полученные результаты сложить.

Выпуклый, невыпуклый и звездчатый многоугольник

Плоская фигура, образованная замкнутым рядом прямолинейных отрезков, называется многоугольником. На рис.1 изображен шестиугольник ABCDEF. Точки А, В, С, D, Е, Fвершины многоугольника; углы при них (углы многоугольника) обозначаются ∠A, ∠В, ∠С, …, ∠F. Отрезки: AC, AD, BE и т.д. — диагонали, АВ; ВС, CD и т. д. — стороны многоугольника; сумма длин сторон АВ + ВС + CD + … + FA называется периметром и обозначается р, а иногда (тогда рполупериметр).

рис.1

В элементарной геометрии рассматриваются только простые многоугольники, т. е. такие, контур которых не имеет самопересечений.

Многоугольники, контур которых имеет самопересечения, называются звездчатыми многоугольниками. На рис.2 изображен звездчатый многоугольник ABCDE.

рис.2

Если все диагонали многоугольника лежат внутри него, многоугольник называется выпуклым.

Шестиугольник на рис.1 выпуклый; пятиугольник на рис.3 невыпуклый (диагональ ЕС лежит вне многоугольника).

рис.3

Сумма внутренних углов во всяком выпуклом многоугольнике равна 180° (n-2), где n — число сторон многоугольника*.

* В учебниках геометрии это свойство высказывается обычно только для выпуклых многоугольников. Но оно справедливо для всех простых многоугольников. Но оно справедливо для всех простых многоугольников. Нужно заметить, что в невыпуклом многоугольнике один или несколько внутренних углов превышают 180°. Так, в невыпуклом пятиугольнике, изображенном на рис.3, два угла прямые, два угла имеют по 45°, а один содержит 270°. Суммаа углов составляет 180° (5-2)=540°.

ГАУ ДО «Астраханский областной центр развития творчества» (ГАУ ДО «АОЦРТ»)

Дорогие друзья!

16 марта 2021 года Астраханский областной центр развития творчества дает СТАРТ онлайн-акции «Бессмертные песни Великой страны!», посвященной Дню ПОБЕДЫ в Великой Отечественной войне.

Ежедневно до 15 мая 2021 года на интернет-площадках ГАУ ДО «АОЦРТ»: сайте Центра — center-dt.ru, Вконтакте, Facebook, YouTube будут транслироваться видеоролики с участием Лауреатов XXIV Международного конкурса-фестиваля патриотической песни «Нам этот мир завещано беречь!».

Вашему вниманию будут представлены песни патриотической и   героической  тематики  советских  и  современных авторов: о Родине, России, мире и дружбе народов, а также всем известные композиции о Великой Отечественной войне, которые по-прежнему волнуют души ветеранов и любимы людьми разного поколения: «Катюша», «Смуглянка»,  «Казаки в Берлине», «Три танкиста»,  «Алёша», «Огромное небо», «Песня о далекой Родине», «Победная весна», «День Победы», «Бессмертный полк» и многое другое.

Основной задачей проекта является привлечение внимания детей, подростков и молодежи к патриотической песни, ее авторам и исполнителям с целью формирования чувства верности и преданности Отечеству, уважению к истории и культуре своего и других народов.

Песня всегда сопровождала солдата в походе и на привале, а иногда и в бою. Она помогала ему преодолевать трудности и лишения фронтовой жизни, поднимала боевой дух воинов, сплачивала их, шла с солдатом в бой, вливала в него новые силы, отвагу и смелость.

Знаменитый российский военачальник, один из самых известных полководцев в мире, Александр Васильевич Суворов отмечал:

«Музыка удваивает, утраивает армию, с развернутыми знаменами и громогласною музыкою взял я Измаил!».

Мы уверенны, что песни, представленные в нашем проекте в исполнении юных, талантливых солистов и вокальных коллективов, помогут вам открыть новые страницы в истории Отечества, еще больше полюбить свою Родину.

 

ЛАУРЕАТ

XXIV Международного конкурса-фестиваля патриотической песни

«Нам этот мир завещано беречь!»

Гукасова Маргарита

ДСКВ «Колокольчики»

«Астраханский областной центр развития творчества»

Многоугольные рамки для фото и картин

Многоугольные — в этой статье рассмотрим вопрос изготовления рамок, которые в некотором роде связаны с многоугольными формами. Лучше всего начать с того, что нужно вспомнить из далекой начальной школы, что такое многоугольник.

Многоугольные и математика для них

  • Плоские замкнутые ломаные линии — общий случай;
  • Плоские замкнутые ломаные линии без самопересечений — простые многоугольные;
  • Часть плоскости, ограниченная замкнутыми ломаными линиями без самопересечений.

На рисунке ниже: (а) пятиугольник; (b) шестиугольник; (c) не является многоугольником, потому что он не замкнут; (d) не является многоугольником, потому что есть линии самопересечений; и (e) не является многоугольные, так как не все его линии являются прямыми. Виды многоугольников, с разным числом ребер и их имена показаны на рисунке ниже.

Многоугольные формы

Обычные многоугольники имеют свойство, они находятся в кругу, который называется окружностью и соприкасается со всеми вершинами многоугольника. Центром правильного многоугольника всегда является центр его круга.

Допустим, что наш многоугольник имеет количество углов = N, круг имеет всегда 3600 и градус угла определяем из формулы 3600/N.

Например, шестиугольник имеет N=6 углов и образует угол в центре круга равный 3600/6 = 600.

Внутренние углы нашего многоугольника одинаковы и равны 1800( N-2 )/N градусов.

Например, внутренние углы квадрата равны 1800( 4-2 )/4 = 900; у восьмиугольника 1800( 8-2 )/8 = 1350.

По мере увеличения числа ребер в многоугольнике, длина ребра будет уменьшаться и в конечном итоге они сойдутся в одну окружность.

Некоторые изделия, имеющие многоугольную форму, без изменения размеров сторон показаны на рисунке ниже. Шкатулка имеет форму восьмиугольника, рамки для зеркала, которые имеют прямоугольную и шестиугольную формы. Разделочная доска, не правильный многоугольник, он состоит из двух форм, квадрата и восьмиугольника. Некоторые изделия, имеющие многоугольную форму, с изменением размеров сторон показаны на рисунке ниже. Ваза имеет семь сторон с наклоном в наружу, то есть снизу вверх, настольная лампа, наоборот, имеет наклон во внутрь с шестью сторонами.
Дальше рассмотрим ряд некоторых математических аспектов для многоугольников, которые нужны при расчете многоугольных изделий.

Равносторонний многоугольник.

Главными переменными на многоугольные формы есть внутренние углы, длина ребер, и площадь изделия. Как видно из рисунка сегмент N-углов вписан в две окружности, обозначим их, как внутренний и внешний круг. Обозначим три стороны треугольника (стороны R, r, и l) его стороны образованы радиусами и ребром, обозначим три угла, которые расположены в треугольнике (А

1, А2 и А3). Между концами этих радиусов внутри двух кругов проведем линию с одной конечной точкой в месте касания к внутреннему кругу и другой точкой в месте касания к внешнему кругу. Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка R. Радиус составляет половину диаметра 2R.

Угол A1 составляет половину центрального угла и равен 1800/N  для N-углов. Угол А2 = 900, потому что радиус круга (r) касается к сегменту (l) под прямым углом.

Это означает, что угол А3 и радиус (R) есть составляющие угла А1 и поэтому А3=900

1=900(N-2)/N. который является половиной внутреннего угла.

Две стороны определяют третью сторону треугольника, потому что R2=r2+l2. Определим стороны r и l по отношению к углу А1: r=Rcos А1 и l=Rsin А1.

Определим длину ребра L: L=2l=2Rsin А1, это формулы определения градусов в N-углах. [su_note note_color=»#c3f8a3″ radius=»6″].

Пример: Рассмотрим пятиугольник имеющий длину стороны L=1 дюйм. Угол А1=1800/5=360, угол А2=900-360=540.

Пятиугольник лежит внутри окружность радиуса R=L/(2sin А1)=1/(2sin 360)=0,85 дюйма.

Пример: Рассмотрим шестиугольник, внутренний круг, имеет диаметр 1,7 дюйма. Определяем радиус окружности R=1,7/2=0,85 дюйма. Угол А1=1800/6=300

и угол А3=600. Длина ребра равна L=2Rsin=1.7sin300=0,85 дюйма.[/su_note]

Углы А1 и А3 важны в создании формы правильного многоугольника и они отмечены в таблице для:

квадрата, пятиугольника, шестиугольника, восьмиугольника.

N углов центральный угол внутренний угол A1 A3
 4  90  90  45 45
 5  72  108  36  54
 6  60 120  30  60
 8  45  135  22,5  67,5

Разносторонние многоугольные.

 Разносторонние многоугольники — те, которые имеют стороны не равной длины. Примеры угловых шкафов на рисунке ниже. Здесь углы и ребра разной длины и зависят от конкретных условий.

Те, кому интересна тригонометрия,  формулы и примеры:

http://dls-website.com/documents/WoodworkingNotes/Compound%20Miters.pdf http://www.woodcentral.com/bparticles/miter_formula.shtml http://www.woodworkersguildofga.org/ShopHelpers/CompoundMiterTable.pdf Также существует программа написанная на языке Frink, которая позволяет делать расчеты для углов многоугольников на настольных компьютерах и смартфонах, Android-ах и iPhon-ах, она работает с компьютерами на платформе Андроид. Frink — компьютерный язык-программирования, на котором написана программа. Сама программа расположена по адресу: http://dls-website.com/documents/WoodworkingNotes/Compound%20Miters.pdf, там же описание программы и ее настройки. Инструкции по использованию языка-программирования можно получить бесплатно с сайтов: https://play.google.com/store/search?q=Frink+programming+language&c=apps и http://futureboy.us/frinkdocs/frinkframe.html . Один из способов реализовать использование языка-программирования Фринк, это загрузить его в настольный компьютер, который будет использоваться. После того как приложение заработает в среде рабочего стола, его можно будет отправить в сотовый телефон по проводному или беспроводному соединению. После загрузки в телефон, «приложение» может быть использовано там, как калькулятор. Онлайн калькуляторов расчета углов, для многоугольников,в интернете тоже предостаточно:
http://www.woodworkersguildofga.org/ShopHelpers/MiterCalculator.htm
http://jansson.us/jcompound.html
http://www.pdxtex.com/canoe/compound.htm

Торцовочное приспособление на многоугольные. Торцовочное приспособление необходимо в различных проектах многоугольников, имеющих наклонные стороны. Ниже на рисунке показаны два необходимых реза под углом на циркулярном станке. Один из них создает углы торцов изделия, которые соединяют стороны многоугольника между собой, а другой рез создает углы наклона во внутрь или в наружу для каждой стороны, смотрите рисунок ниже.

Многогранники

Многоугольники являются двухмерными изделиями. Закрытые трехмерные изделия могут быть изготовлены из них путем присоединения многоугольников вдоль их краев. Объекты, полученные таким образом, называются многогранники. Куб полученный соединением шести квадратов является примером многогранника. Другим примером является додекаэдр, он показаны на рисунке слева  и на рисунке ниже: (а) античная многогранная шкатулка; (б) додекаэдрическая система динамиков; (с) додекаэдрические солнечные часы, они построены из двенадцати одинаковых пятиугольников. Каждая пятиугольная грань составляет 0,5 дюйма толщиной красного дерева с использованием шаблона метод резки на рисунке ниже.

Важное значение в построении многогранников имеют скошенные уголки его многоугольных граней, детальнее: http://dls-website.com/documents/PolyhedralSundials.pdf

Многоугольники | План-конспект урока по математике (2 класс) на тему:

Тема урока «Многоугольники»

Задачи урока:

  • ввести понятие “Многоугольник”, научить находить и показывать вершины, стороны и углы многоугольника, рассмотреть обозначение многоугольника латинскими буквами;
  • совершенствовать навыки решения задач; развивать устные вычислительные навыки, логическое мышление;
  • обогащать кругозор обучающихся, прививать интерес к предмету, воспитывать чувство дружбы и взаимопомощи.

Оборудование:

  • учебник “Математика” В.Н.Рудницкая, 2 класс,
  • таблицы” Многоугольники”, “Меры длины”,
  • индивидуальные карточки,
  • примеры для игры на кленовых листочках,
  • плакат “Овощи и фрукты”,
  • набор муляжей — овощи и фрукты,
  • презентация к уроку,
  • аудиозапись “Дорога добра”,
  • электронные пособия: “Супердетки. Тренировка навыков быстрого счета”,
  • мультимедиа, телевизор, магнитофон, видеокамера, видеомагнитофон.

I. Организационный этап

Придумано кем-то 
Просто и мудро
При встрече здороваться 
— Доброе утро! —
Солнцу и птицам.
— Доброе утро! —
Улыбчивым лицам.
И каждый становится
Добрым, доверчивым.
Доброе утро длится до вечера.

В.Кривошеев “Доброе утро”

Сегодня урок необычный у нас.
Готов к нему вижу каждый из вас:
Улыбка, уверенность. Что ж: “Так держать!”
За парты садитесь, пора начинать.

(Звучит мелодия для релаксации)

Улыбнитесь друг другу. Сядьте удобно. Расслабьте лоб, брови, опустите веки. Расслабьте щеки,  губы,  мышцы шеи,  плечи, кисти рук, ноги, пальцы ног. Ваши руки и ноги теплеют. Дыхание становится свободное, спокойное, ровное.

Вы на лесной поляне, ярко светит солнце. Весело щебечут птицы. Легкий ветерок развевает ваши волосы. У вас прекрасное настроение. Вы можете выполнить любое трудное задание. Я буду считать до пяти. Когда я скажу “пять”, вы откроете глаза: 1, 2, 3, 4, 5.

II. Устный счет

— О каком времени года пойдет речь?

Несу я урожаи,
Поя вновь засеваю.
Птиц к югу отправляю,
Деревья раздеваю,
Но не касаюсь елочек и сосен
Я… (осень)

(Просмотр отрывка из видеоролика “Краски осени”)

1. Игра “Собери листья”

На доске запись:

9+9

7+7

15-6

16-9

16-8

12-7

7+5

7+6

12, 7, 5, 18, 14, 9, 8, 13

(Оответы в примерах соответствуют определенной букве, собрав которые получается слово “Сентябрь”)

Этот месяц — самый прекрасный,
Появляется лист первый красный;
Остывает немного земля,
Урожай украшает поля.
Младших — мамы за руки ведут,
Воздух будто наполнен добром,
Этот месяц зовут сентябрем.

— Какие народные приметы знаете о сентябре?

— На какие две группы можно разбить эти числа?

12, 7, 5, 18, 14, 9, 8, 13

(Однозначные и двузначные)

2. Работа 1 группы обучающихся по индивидуальным карточкам, 2 группа — работают по электронному пособию “Математический тренажер”.

На уроке интересно,
Дети все решают вместе.
Чтобы нам умнее стать,
Мы готовы посчитать.

3. Счет от 10 до 100 цепочкой в прямом и обратном порядке

— Как называются компоненты при сложении? Вычитании?

— Как узнать, на сколько одно число больше или меньше другого?

— Чему равна сумма чисел 20 и 10? 30 и 20?

— Чуму равна разность чисел 80 и 60? 50 и 10?

— На сколько 40 больше чем 10?

— Назовите число, которое состоит из 3 десятков и 5 единиц, 8 десятков и 2 единиц?

4. Считалка “Шла бабка с Загорья”

Несла кузовок.
В том кузовочке лежали грибочки.
Кому-гриб,
Кому-два,
А тебе, дитятко,
Весь кузовок.

(Кто вышел из игры, тот придумывает задачу про грибы)

5. Составление задач по схеме. (На доске панно “Корзина и грибочки”)

Осень – славная пора!
Любит осень детвора.
Сливы, груши, виноград,
Все поспело для ребят.

6. Игра “Найди лишний предмет”

Крыжовник, малина, вишня, клубника, яблоко (на доске иллюстрации).

Рассказ о пользе витаминов.

7. Нарисуйте недостающую фигуру, чтобы в каждом ряду были фигуры разной формы.

(Выполнение работы на карточках. Самопроверка с доски)

8. Сказочные задачи

— Крош сначала съел 8 морковок, а затем 9. Сколько всего морковок съел Крош?

— Из первого улья медвежонок собрал 10 кг меда, из второго — 5 кг, а из третьего — столько, сколько из первого и второго вместе. Сколько килограммов меда собрал медвежонок из третьего улья?

Физминутка

Косолапый мишка встал,
Присел, поднялся,
На носочках покачался.
Потом кругом пошел,
Красну ягодку нашел,
Съел и сел.

III. Введение в тему урока

Где играют дружно,
Считают умело,
Там и сказке можно
Появиться смело.
Жил-был на свете медвежонок. ( Презентация у автора)

(Он поможет нам открыть новые знания о геометрических фигурах)

IV. Постановка проблемы

— Какую фигуру можно сложить из трех палочек? (Треугольник)

— Давайте разомнем наши пальчики перед практической работой.

Вот помощники мои.
Их как хочешь, поверни. 
По дороге белой, гладкой, 
Скачут пальцы как лошадки. 
Чок — чок-чок-чок. 
Скачет резвый табунок.

V. Открытие новых знаний”. Практическая работа

1. Возьмите в руки листочек. Поставим 3 точки в разных местах. Сгибаем лист так, чтобы линия сгиба проходила через каждые две точки. Соединим линейкой все точки. Вырезаем фигуру. Какая фигура получилась? Сколько поставили точек? Это вершины треугольника. Покажите стороны треугольника. Сколько их? Сколько углов?

Рассмотрите чертежи на доске.

2. Покажите четырехугольник. Его стороны, вершины, углы. Дайте название этой фигуре.{Четырехугольник). Расскажите о пятиугольнике.

— Какое название дадим этой фигуре? (Шестиугольник)

— Можно ли к этим фигурам добавить круг? (Нет, нет углов)

— Какое название дадим всем фигурам с углами? Как их можно назвать, одним словом.(Многоугольники)

— Какую закономерность вы обнаружили? (У каждой следующей фигуры увеличивается количество углов и сторон на 1)

(Молодцы! Возьмите мой солнечный луч!) 

Физминутка для глаз. (Песенка Кота Леопольда).

Помоги нам, месяц ясный, спаси волшебный лес от чудища. Помогу, только выполните задания учебника.

VI. Работа по учебнику

1. С. 36, №1.

— Рассмотрите печенье. Сколько углов имеет каждая из фигур? Теперь рассмотрите желтый многоугольник. Сколько в нем углов?

— Какой фигурой является каждая сторона многоугольника? (Отрезком). Сколько сторон у желтого многоугольника?

— Какой фигурой является вершина многоугольника? (Точкой)

— Сколько вершин имеет желтый многоугольник? (Пять)

Вывод: В желтом многоугольнике 5 углов, 5 сторон, 5 вершин.

VII. Работа с рубрикой “Обрати внимание!” (чтение правила)

В любом многоугольнике одно и тоже количество углов, сторон и вершин.

— Сколько же углов в семиугольнике?

— Сколько углов в десятиугольнике?

— Сколько сторон в пятнадцатиугольнике?

На доске: плакат “14-тиугольник”.

— Как определить название этого многоугольника? Что проще всего считать? (Вершины)

А теперь попробуйте ответить на более сложные вопросы: бывают ли одноугольники? Двуугольники?

— Как называется многоугольник, у которого 100 вершин?

VIII. Знакомство с показом элементов многоугольника

— Давайте научимся показывать элементы многоугольника: вершины, стороны, углы. (На доске — рисунок треугольника)

Вершины — это точки. (Указкой показать каждую точку треугольника)

Теперь покажем стороны. Сторона многоугольника — это какая фигура? (Отрезок) Показываем стороны как отрезки. (Конец указки движется от вершины, далее по отрезку до другой вершины)

Углы будем показывать вращением указки. Один конец указки должен находиться в вершине треугольника, сама указка — вдоль стороны, выходящей из этой вершины. Далее, не отрывая указки от вершины угла, двигаем указку по направлению к другой стороне, пока указка не совместится с этой стороной. (Продемонстрировать обучающимся, как это правильно делать)

— Вершины треугольника обозначают буквами. Читать обозначения можно разными способами, начиная с любой вершины. (Например: треугольник АВС, АСВ и т.д.)

2. Работа по учебнику

С.37, №2.

— Что изображено на рисунке? (Многоугольники)

— Как называются данные многоугольники? (Треугольник, пятиугольник)

— Какими геометрическими фигурами являются вершины и стороны многоугольника? (Это точки и отрезки)

— Как принято обозначать точки на чертеже? (Прописной буквой латинского алфавита)

— А отрезки? (Двумя прописными буквами латинского алфавита)

— Найдите вершины треугольника. (О, М, К)

— Найдите стороны треугольника. (МО, МК, ОК)

— Сколько вершин и сторон у этой фигуры?

Вот вам звездная пыль.

Физминутка для глаз. (Звезды).

Помоги нам, Дюймовочка, спаси наш лес от чудища.

— Конечно помогу, только вы покажите, как вы умеете работать в тетрадях.

IX. Работа тетради №1

1. Задание № 50 стр. 16. Закрасьте только многоугольники.

2. Задание.№ 51 стр. 16.

Отметьте вершины многоугольников красным карандашом.

Стороны многоугольников синим карандашом. (Самопроверка с доски)

3. Задание № 49 с. 16. — Прочитайте задачу.

— Что вам известно? Что требуется узнать?

— Какая схема нужна для записи условия задачи? Запишите решение задачи самостоятельно. Проверка в парах. (Показ сигнальными кругами)

Спасибо вам, дорогие ребята. Я дарю вам волшебную розу. Бегите, спасайте свой лес. 

X. Применение новых знаний на практике

Недавно мы поздравляли Сашу с Днем рождения. Посмотрите внимательно на фото. Слайд 30

— Какой геометрической фигурой можно назвать торт, которым нас угощал Саша? (Квадрат, многоугольник)

— Сколько у квадрата углов, сторон, вершин?

1. Это интересно!

Пирамида Хеопса.

— Перед вами — одно из семи чудес света — Пирамида Хеопса. Это крупнейшая из египетских пирамид, единственное из “Семи чудес света”, сохранившееся до наших дней. В основании пирамиды — квадрат. Вы узнаете о ней много интересного на уроках истории в старших классах.

XI. Домашнее задание

Выполнить аппликацию из многоугольников.

Чему равна сумма углов?

Лев Емельянов
«Квантик» №3, 2020

Просто мне нужно объяснить… Но не просто объяснить, а чтобы ещё стало понятно!

Е. Гришковец «Одновременно»

Для математического уха разговор выглядит комично. То, что сумма углов треугольника равна 180°, знают даже школьники, не очень увлечённые математикой. А что такое 180° и почему именно 180? Ясно, скажет умный школьник, это половина от 360, то есть полного оборота.

Невозможно точно сказать, почему окружность была разбита на 360 одинаковых частей и когда это произошло. То ли это персы придумали, у которых год длился 360 дней, то ли вавилоняне, которым удобно было делить окружность на 6 равных частей с помощью равностороннего треугольника.

Была, правда, попытка ввести более логичную, с точки зрения современных представлений о счёте, шкалу для угловых мер. Она делила окружность на 400 равных частей — градов. В этой шкале величина прямого угла равнялась 100 градам. Однако шкала эта не прижилась. Трудно одним желанием изменить пятитысячелетнюю историю цивилизации. Да впрочем, какая разница, в чём мерить, хоть в попугаях, главное — понять, что угол — это некоторая доля от полного оборота.

Почему же сумма углов любого треугольника равна в точности половине полного оборота? Давайте представим себе, что у нас есть три прожектора. Каждый освещает внутренность некоторого угла до бесконечности (жить мы будем временно в двумерном мире). Если мы, стоя в одной точке, включим три прожектора (зелёный, розовый и жёлтый на рисунке), сумма «световых углов» которых равна 180°, и направим их без наложений освещаемой площади, то осветим ровно половину нашего двумерного пространства.

Теперь рассмотрим произвольный треугольник и в вершинах его поставим трёх помощников (Али, Бен и Сирил по буквам вершин, но можно попросить Анну, Варвару и Светлану), доверив им по прожектору. Каждый помощник должен осветить внутренность треугольника лучами света, которые выходят из вершины и продолжаются до бесконечности. Таким образом, каждый прожектор будет освещать внутренность своего угла и не будет освещать внутренность такого же угла, вертикального выбранному. При этом каждая точка плоскости либо попадёт внутрь освещённого угла, либо не будет освещена, попав в вертикальный угол к углу треугольника. Точки же самого треугольника будут освещены трижды. Теперь давайте посмотрим на нашу частично освещённую плоскость с большой высоты (мы-то, как люди трёхмерные, имеем на это право). Если закрыть глаза на небольшой участок перекрытия внутри треугольника, то нетрудно понять, что мы осветили «ровно» половину плоскости. Из чего и можно заключить, что сумма углов произвольного треугольника равна 180°!

Если наше маленькое жульничество внутри треугольника режет глаз, давайте отойдём далеко-далеко от плоскости и забудем, что где-то стоят наши помощники. Нарисуем окружность огромного радиуса с центром где-то внутри треугольника. Какая часть окружности освещена? Ровно (почти) половина. И чем больше радиус нашей окружности, тем меньше будут отличаться освещённая и тёмная части окружности. Ведь каждой светлой дуге будет в пару поставлена такая же тёмная.

Не будем останавливаться на сумме углов треугольника, а попробуем развить эту идею. Самое естественное продолжение — четырёхугольник. Нетрудно понять, что четыре помощника, выполняя аналогичное задание, осветят всю плоскость, что значит: сумма углов четырёхугольника равна 360°. Стоп! Давайте не торопиться, отойдём подальше. Что мы видим? Ужас! Некоторые точки плоскости вообще не освещены. Всё пропало? Не будем паниковать преждевременно. Продолжим наши прямые до бесконечности. На рисунке серым цветом закрашена неосвещённая часть плоскости. Посмотрим внимательно на вертикальный с ней угол. Он освещён, конечно, но освещён дважды! А значит, и здесь всё сходится. Так и должно быть, ведь четырёхугольник можно просто разрезать на два треугольника. Думаем дальше.

Нарисуем пятиконечную звёздочку (не обязательно правильную). Теперь позовём пять фонарщиков, поставим их в вершинах «лучиков» нашей звёздочки, и пусть каждый освещает внутренность того угла, в котором стоит. Соответственно, вертикальный угол освещён не будет. Что мы видим? Картина почти такая же, как у треугольника. Половина плоскости светлая, половина тёмная, а значит, сумма углов пятиконечной звезды равна 180°!

При этом мы нигде не пользовались какими-то особенностями формы этой звёздочки. Более того, а где мы считали количество углов? Давайте внимательно посмотрим на 7-конечную звезду. А потом на 2021-конечную (нарисовать непросто, а представить можно). Что изменится для суммы? Да ничего — половина светлого, половина тёмного. Правда, для большого числа углов нужно «правильно» рисовать звёздочку. Например, для семиугольной конструкции можно привести два примера. Подсчитайте самостоятельно сумму для «более тупоугольной» звёздочки.

Теперь давайте немного развернём наших фонарщиков и дадим им задание осветить один из своих внешних углов. Для начала позовём четверых, поставим их в вершинах выпуклого четырёхугольника. Нетрудно понять, что они осветят всё, кроме самого четырёхугольника. Удаляясь от них, мы поймём, что сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.

Также при достаточном удалении мы забудем о количестве помощников, а когда вспомним, поймём, что это совершенно неважно. Сколько бы их ни было, плоскость будет освещена полностью и без перекрытий. Из этого следует чрезвычайно важный и удивительный вывод: сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°!

Продолжая применять этот метод, можно получить и другие формулы для суммы углов. То есть если внимательно посмотреть на количество перекрытий, можно вывести формулу для суммы углов выпуклого многоугольника. Но даже без вывода становится понятно, почему сумма внутренних углов зависит от их количества, а сумма внешних нет. Попробуйте развить эту идею на случай невыпуклых многоугольников. Можно, немного поломав голову, найти сумму внутренних углов, а вот для суммы внешних надо сначала понять: что такое внешний угол невыпуклого многоугольника? Успехов в вашем исследовании!

P. S. А угольник 45°, 60° и 90°, оказывается, существует! Это специальный портновский угольник — треугольник, в котором сделаны треугольные дырки с другими углами. И речь в магазине «Ткани», оказывается, совсем не шла о сумме углов треугольника.

Художник Алексей Вайнер

Inkscape. Работа с примитивами

Инструмент Звезда или Многоугольник позволяет рисовать в Inkscape звезды и многоугольники. Чтобы нарисовать звезду или многоугольник, выберите этот инструмент в боковом окне панели инструментов Inkscape и перетащите курсор мыши с нажатой левой кнопкой из одной точки в другую. Начальная точка будет соответствовать центру звезды, конечная точка одной из ее вершин.

При рисовании звезды, если удерживать нажатой клавишу Ctrl, то угол поворота звезды будет ограничен 15-ю градусами.

Уже нарисованные звезды могут быть изменены с помощь маркеров узлов. Эти маркеры будут также активны, если активен инструмент управления узлами .

Определить тип фигуры: звезда или многоугольник, можно на панели свойств. Для этого в меню есть два значка с соответствующим изображением желтого многоугольника и звездочки.

Второй параметр, который можно также изменить — это количество углов.

Для изменения фигуры звезды или многоугольника есть два маркера узлов. Верхний узел служит для управления положением кончика звезды или углом многоугольника.

Второй маркер — базовый узел контролирует положение «внутренней» вершиной звезды.

Удержание клавиши Shift при изменении узлов звезды, позволяет управлять закруглением её углов.

Удержание клавиши Alt при изменении узлов звезды, будет перемещать все вершины звезды или вершины многоугольника независимо друг от друга в произвольном порядке.

 

Рисование инструментом Спираль

Инструмент Спираль предназначен для рисования в Inkscape спиралей Архимеда. Чтобы нарисовать спираль, выберите инструмент в боковом окне панели инструментов Inkscape и перетащите курсор мыши с нажатой левой кнопкой из одной точки в другую.

Характеристики спирали определяются двумя узлами внешним и внутренним. Маркеры узлов будут также активны, если активен инструмент управления узлами .

Спираль можно изменить, если перетащить маркеры этих узлов, предварительно выделив спираль с помощью инструмента выделения и трансформации . Если спираль выбрана, а сам инструмент Спираль активен, то эти маркеры будут видны.

Перетаскивание маркеров позволяет делать спираль длиннее или короче, или изменять радиус внутреннего и внешнего её концов. Удерживая клавишу Shift, при нажатии на внутренний узел, внутренний радиус будет обнулен.

Внешний узел может быть использован для изменения и поворота спирали. Если удерживать при этом нажатыми клавиши Shift+Alt, то спираль будет только вращаться, сохраняя фиксированный радиус. Число витков спирали, нелинейность, а внутренний радиус могут быть установлены также виде числовых параметров этого инструмента на панели свойств. Чтобы вернуть значения этих параметров в исходное состояние по умолчанию, нажмите кнопку с метелкой в этой панели справа.

Чтобы понять, как происходит заполнение спирали цветом, надо рассказать, как Inkscape рассчитывает заливку спирали. Спираль является открытым контуром. Однако заполнение цветом осуществляется так, как если бы контур был замкнутым отрезком между двумя узлами, внутренним и внешним. Наглядно можно продемонстрировать это на примере картинки ниже.

В первом случае заливка спирали осуществлена с нажатием кнопки Любые самопересечения или внутренние субконтуры используют дыры в заливке, во втором случае была нажата кнопка Заливка имеет дыру, только если внутренний субконтур направлен в противоположную сторону.

Рисование инструментом Эллипс

Инструмент эллипс позволяет рисовать в Inkscape эллипсы, круги и дуги. Чтобы нарисовать эллипс или круг, выберите инструмент в боковом окне панели инструментов inkscape. Чтобы нарисовать эллипс или круг, перетащите курсор мыши с нажатой левой кнопкой из одной точки в другую. Чтобы рисовать ровные круги, удерживайте при рисовании нажатой клавишу Ctrl. Этот способ позволяет также рисовать эллипсы с целыми соотношениями высоты к ширине. Если удерживать при рисовании эллипса или круга клавишу Shift, то начальная точка будет соответствовать не контуру, а центру эллипса.

Круглый маркер управляет углом сектора или дуги. Как и в инструменте прямоугольник, круглых маркеров на самом деле два. Если потянуть видимый верхний круглый маркер вниз, то получится сектор и станет виден другой маркер, который можно перемещать вверх. Первоначально оба круглых маркера находятся друг над другом. Если удерживать клавишу Ctrl при перетаскивании круглых маркеров, то шаг изменения дуги будет ограничен 15-ю градусами.

Если попробовать переместить круглый маркер внутрь эллипса (сам маркер, конечно, не переместится, но попробовать это сделать можно), то показанный выше режим рисования сегмента изменится на дугу, такую как показано на рисунке ниже. Для того что бы снова переключиться на сегмент, как на рисунке выше, надо попробовать переместить один из круглых маркеров за пределы контура эллипса.

Тоже самое можно сделать в настройках, которые есть в контекстной панели инструмента эллипс.

Как видно из рисунка выше, на панеле свойств инструмента эллипс можно с помощью числовых параметров настраивать значения угла круглых маркеров, выбирать режим: дуга или сегмент. Координаты начального и конечного круглых маркеров задаются в градусах, и измеряется в направлении по часовой стрелке, начиная с оси абсцисс (X). Так же можно вернуть все назад, нажав на кнопку «сделать фигуру целым эллипсом, а не дугой или сегментом».

Рисование инструментом Прямоугольник

Инструмент прямоугольник позволяет рисовать фигуры: прямоугольники и квадраты. Чтобы нарисовать прямоугольник или квадрат, выберите этот инструмент в боковом окне панели инструментов inkscape и перетащите курсор мыши с нажатой левой кнопкой из одного угла в другой противоположный угол.
Чтобы рисовать квадраты, удерживайте при рисовании нажатой клавишу Ctrl. Если удерживать при рисовании прямоугольника клавишу Shift, то начальная точка будет соответствовать не вершине, а центру прямоугольника.
Если прямоугольник выбран, а инструмент «прямоугольник» активен, то в углах прямоугольника появятся специальные маркеры. Квадратные маркеры в противоположных углах служат для изменения размера прямоугольника, а круглый маркер в верхнем правом углу позволяет управлять скруглением углов.

Круглый маркер управляет закруглением углов прямоугольника. Но на самом деле круглых маркеров два. Если потянуть видимый верхний круглый маркер вниз, то получится закругленный по окружности угол. При этом станет виден второй круглый маркер в углу.

Вернуть углы назад в первоначальное состояние можно, нажав на кнопку Убрать закругление углов на панели свойств (кнопка появляется, если инструмент Прямоугольник активен). Здесь же можно задать с помощью числовых параметров ширину и высоту прямоугольника.

Волшебная палитра. Мастерская цифровой графики:

Если вы хотите более подробно узнать как изменять масштаб, работать с инструментами Указатель (Селектор), Прямоугольник и Эллипс, то перейдите по этой ссылке:
http://galinadolgikh.com/graficheskij-redaktor-inkscape/

Более подробно расписано рисование инструментами Многоугольник или Звезда, Параллепипед и Спираль здесь:
http://galinadolgikh.com/graficheskij-redaktor-inkscape-ii-chast/

Использование инструментов Карандаш, Перо Безье, Каллиграфическое перо, инструмента Редактирования узлов и контура, а также инструмента Текст описано здусь:
http://galinadolgikh.com/graficheskij-redaktor-inkscape-chast-iii/

При переходе по этой ссылке вы узнаете как пользоваться инструментами Распылитель, Ластик, Заливка, Пипетка и Корректор:
http://galinadolgikh.com/graficheskiy-redaktor-inkscape-uroki-iv-chast/

Здесь рассмотрены команды Главного меню:
http://galinadolgikh.com/graficheskiy-redaktor-inkscape-uroki-v-chast/

Практические работы 

Название геометрических фигур — многоугольники, многогранники

Поиск инструмента

Название геометрических фигур

Инструмент для поиска названия геометрических фигур. Многоугольники — это геометрические фигуры в плоскости 2D, а многогранники — это геометрические фигуры в пространстве 3D

Результаты

Название геометрических фигур — dCode

Тег (ы): Geometry

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Рекламные объявления

Инструмент для поиска названия геометрических фигур.Многоугольники — это геометрические фигуры в плоскости 2D, а многогранники — это геометрические фигуры в пространстве 3D.

Ответы на вопросы (FAQ)

Как называется многоугольник с …?

Укажите dCode количество сторон и он найдет имя.

Пример: 6: HEXAGON
12: DODECAGON

В целом, многоугольников записываются с префиксом, указывающим их количество сторон, и суффиксом -угольник .

Вот список в виде таблицы всех различных правильных геометрических форм 2D плоскости (таблица имен n-сторонних многоугольников ):

Как называется многогранник с…?

Укажите количество граней, и он найдет имя трехмерной геометрической фигуры.

Пример: 6: HEXAHEDRON

Пример: 12: DODECAHEDRON

Вот таблица всех правильных геометрических форм / многогранников трехмерного пространства (таблица названий n-гранных многогранников ):

Как выучить геометрические фигуры?

Некоторые ресурсы для детей отлично подходят для изучения фигур и других геометрических фигур, например, здесь (ссылка)

Какие многоугольники обладают осевой симметрией?

Все правильные многоугольники имеют по крайней мере одну осевую симметрию.

Правильный многоугольник с таким количеством осей симметрии, сколько у него сторон.

Оси симметрии проходят через центр многоугольника и центр каждой стороны или каждой вершины / угла.

Какие многоугольники имеют центральную симметрию?

Все правильные многоугольников с четным числом сторон имеют центральную симметрию (центр многоугольника ). Многоугольники с нечетным числом сторон не имеют центральной симметрии.

Что такое многогранник?

Многогранник — это обобщение многоугольника / многогранника на все измерения.

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Имя геометрических фигур». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любая функция (преобразование, решение, дешифрование / encrypt, decipher / cipher, decode / encode, translate), написанные на любом информатическом языке (PHP, Java, C #, Python, Javascript, Matlab и т. д.)) никакие данные, скрипты, копипаст или доступ к API не будут бесплатными, то же самое касается загрузки имени геометрических фигур для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android!

Нужна помощь?

Пожалуйста, заходите в наше сообщество Discord, чтобы получить помощь! Также для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Инструменты аналогичные

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

многоугольник, многогранники, многогранник, геометрия, евклидово, форма, префикс, геометрический, сторона, грань, форма, 2d, 3d, имя, список

Ссылки


Источник: https: // www.dcode.fr/geometric-shapes

© 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

Определение, стороны, углы (обычные и нестандартные)

Что такое семиугольник?

Гептагон — это 7-сторонний многоугольник с 7 внутренними углами, которые в сумме составляют 900 °. Название семиугольник происходит от греческих слов гепта- для семи и гон- для сторон. Семигранник также называют 7-угольником или септагоном ( септа- на латыни означает семь).

Форма шестиугольника

Форма семиугольника — это плоская или двумерная форма, состоящая из семи прямых сторон, семи внутренних углов и семи вершин. Форма семиугольника может быть правильной, неправильной, вогнутой или выпуклой.

Вот некоторые дополнительные свойства формы семиугольника:

  • Все семиугольники имеют внутренние углы в сумме 900 °
  • Все семиугольники имеют внешние углы в сумме 360 °
  • Все семиугольники можно разделить на пять треугольников
  • Все семиугольники имеют 14 диагоналей (отрезки прямых, соединяющие вершины)

Стороны семиугольника

Стороны семиугольника должны быть прямыми и пересекаться, чтобы образовать семь вершин, замыкающихся в пространстве.Семь сторон семиугольника встречаются, но не пересекаются и не пересекаются друг с другом.

Как и у других двумерных фигур, стороны семиугольника могут иметь разную длину, что создает неправильный семиугольник. Или стороны могут совпадать, образуя правильный семиугольник

Семигранник с пересекающимися сторонами называется гептаграммой.

Углы шестиугольника

У семиугольника есть семь внутренних углов, которые в сумме составляют 900 °, и семь внешних углов, которые в сумме составляют 360 °. Это верно как для правильных, так и для неправильных семиугольников.

В правильном семиугольнике каждый внутренний угол составляет примерно 128,57 °.

Ниже приведена формула для определения меры любого внутреннего угла правильного многоугольника (n = количество сторон):

Мы знаем, что все семиугольники (или септагоны) имеют 7 сторон, поэтому можем подставить это в нашу формулу:

(180 ° × 7) — 360 ° 7 =

1260 ° — 360 ° 7 =

900 ° 7 ≈ 128,5714 °

Диагонали семиугольника

Гептагоны имеют 14 диагоналей.Для выпуклых семиугольников все диагонали будут внутри формы. Для вогнутых семиугольников по крайней мере одна диагональ будет за пределами формы.

Обычный семиугольник

Вот изображение правильного семиугольника . У правильного семиугольника семь совпадающих сторон, семь вершин и семь совпадающих внутренних углов:

Как указано решеткой, правильный семиугольник на картинке выше имеет равные стороны.

Выпуклый шестиугольник

Правильный семиугольник — это всегда выпуклый семиугольник.У выпуклого семиугольника внутренние углы не превышают 179 °:

Поскольку внутренний угол не превышает 179 °, диагональ не может лежать за пределами многоугольника.

Неправильный семиугольник

Вот неправильный семиугольник , что означает, что его семь сторон не совпадают, а его семь внутренних углов не идентичны:

Как и другие неправильные многоугольники, неправильные семиугольники могут быть выпуклыми или вогнутыми, как на изображении семиугольника выше.

Вогнутый семиугольник

Вогнутый семиугольник имеет как минимум один внутренний угол больше 180 °, и как минимум одна диагональ находится за пределами многоугольника:

Площадь семиугольника

Площадь правильного семиугольника можно найти по формуле:

Эта формула приблизительно равна A = 3.643a2

В обеих формулах a = длина стороны.

Гептагон в реальной жизни

Есть много примеров семиугольника в реальной жизни, например, на двух картинках ниже:

Подобно другим геометрическим фигурам, таким как восьмиугольник, шестиугольник и четырехугольник, семиугольные фигуры можно встретить в искусственных объектах и ​​в природе.

Heptagon Quiz

  1. Для любого семиугольника какова сумма его внутренних углов?
  2. Сколько вершин у любого семиугольника?
  3. Сколько диагоналей вы можете нарисовать для любого семиугольника?
  4. Может ли семиугольник иметь девять сторон?
  5. Ниже несколько полигонов.Сначала выберите все, что являются семиугольниками. Затем для каждого выбранного вами семиугольника определите, правильный он или неправильный, а затем вогнутый или выпуклый:

Пожалуйста, попробуйте работу, прежде чем искать ответы!

  1. Сумма внутренних углов семиугольника всегда составляет 900 °.
  2. У всех семиугольников семь вершин, так же как у них семь сторон и семь внутренних углов.
  3. У всех семиугольников будет 14 диагоналей; если диагональ лежит вне многоугольника, вы знаете, что семиугольник вогнутый.
  4. Нет, у семиугольников всего семь сторон. 9-сторонний многоугольник называется шестигранником.
  5. Из восьми фигур только пять семиугольников. Два — правильные выпуклые семиугольники. Три — неправильные вогнутые семиугольники. Бонус: одна фигура в сетке — пятиугольник.

Следующий урок:

Десятиугольник

Что такое многоугольник? — Определение, формы и углы — Видео и стенограмма урока

Правильные многоугольники

Существует особый класс многоугольников; это происходит с многоугольниками, у которых все стороны одинаковой длины и все углы одинаковы.Когда это происходит, многоугольники называются правильными многоугольниками . Знак остановки — это пример правильного многоугольника с восемью сторонами. Все стороны одинаковы, и как бы вы его не сложили, он будет выглядеть одинаково. Вы не сможете сказать, какой путь был вверху, потому что все стороны одинаковы и все углы одинаковы.

Когда у треугольника все стороны и углы совпадают, мы знаем его как равносторонний или правильный треугольник. Четырехугольник, у которого все стороны и углы совпадают, называется квадратом или правильным четырехугольником.Пятиугольник, у которого все стороны и углы одинаковы, называется правильным пятиугольником. Угол n с одинаковыми сторонами и углами называется правильным углем n .

Правильные многоугольники

Вот правильный треугольник, правильный четырехугольник и правильный пятиугольник. Вы видите, что все стороны одинаковы, и как бы вы их ни перевернули, они будут выглядеть одинаково?

Углы правильных многоугольников

Правильные многоугольники также имеют два разных угла, связанных с ними.Первый называется внешним углом , и это измерение между формой и каждым отрезком линии, когда вы растягиваете его за пределы формы.

Внешний угол

У многоугольника столько же сторон, сколько и внешних углов. Итак, пятиугольник с пятью сторонами имеет пять внешних углов. У шестиугольника будет шесть внешних углов и так далее. Для правильных многоугольников мы можем вычислить измерение внешнего угла, но для неправильных многоугольников мы не можем.Вот формула для правильных многоугольников:

Формула внешнего угла

n обозначает количество сторон многоугольника. Итак, пятиугольник имеет внешние углы, которые составляют 360/5 = 72 градуса.

Второй угол называется внутренним углом , который является дополнительным углом к ​​внешнему углу. Это означает, что внутренний угол вместе с внешним углом в сумме составит 180 градусов.

Внутренний угол

Вы также можете сказать, что внутренний угол — это измерение каждого угла многоугольника. Вот формула для внутреннего угла:

Формула внутреннего угла

Вторая формула такая же, как первая, только с перестановкой. Не беспокойтесь о том, как мы попали туда прямо сейчас; просто запомните одно или другое, и все будет в порядке.Второй вариант чаще встречается в математическом мире. Давайте посмотрим на пример. Для нашего пятиугольника с пятью сторонами первое уравнение дает 180 — 360/5 = 180 — 72 = 108 градусов. Используя второе уравнение, мы получаем (5-2) * 180/5 = 3 * 180/5 = 540/5 = 108 градусов. Обе формулы дадут нам одинаковый ответ. Выберите формулу, которую вам легче запомнить.

Резюме урока

Многоугольники окружают нас. Кто из нас когда-либо видел треугольник или квадрат? Многоугольник определяется как двумерная фигура с прямыми сторонами. Правильные многоугольники имеют одинаковые стороны и углы. Хотя вы можете найти измерения внешних и внутренних углов правильных многоугольников, вы не можете найти их для неправильных многоугольников.

Результаты обучения

После этого урока вы должны уметь:

  • Определить многоугольник и правильный многоугольник
  • Определить примеры многоугольников и правильных многоугольников
  • Объясните, как найти внешние и внутренние углы правильных многоугольников

Полигоны — семиугольники

Свойства семиугольников, внутренние углы семиугольников

903 903 903 шестиугольника: 903 ) и все внутренние углы одинакового размера (совпадают).

Чтобы найти меру внутренних углов, мы знаем, что сумма всех углов составляет 900 градусов (сверху) … И есть семь углов …

Итак, мера углов внутренний угол правильного семиугольника составляет около 128,57 градуса.

Полигоны: свойства семиугольников

На этом изображении показан процесс для ШЕСТИГРАННИКА
:

Используя те же методы, что и для шестиугольников справа (я позволю вам сделать картинки)…
Чтобы найти сумму внутренних углов семиугольника, разделите его на треугольники … Есть пять треугольников … Поскольку сумма углов каждого треугольника равна 180 градусам … Мы получаем

Итак, сумма внутренних углов семиугольника составляет 900 градусов.

Обычные семиугольники:
(Свойства правильных семиугольников:

Измерение центральных углов правильного семиугольника:

Определение правильного угла центрального шестигранника , сделайте круг посередине… Окружность составляет 360 градусов вокруг … Разделите это на семь углов …

Итак, центральный угол правильного семиугольника составляет 51,43 градуса.

Внутренние углы многоугольника

Быстрые определения

Давайте пройдемся по нескольким ключевым словам, чтобы мы все оказались на одной странице. Помните, что многоугольник — это двухмерная фигура, стороны которой нарисованы прямыми линиями (без кривых), которые вместе образуют замкнутую область.Каждая точка многоугольника, где встречаются две стороны, называется вершиной . В каждой вершине есть внутренний угол многоугольника. Квадрат, например, имеет четыре внутренних угла по 90 градусов каждый. Если квадрат представляет ваш класс, внутренние углы — это четыре угла комнаты.

Сумма внутренних углов

В целях дальнейшего расширения, если многоугольник имеет x сторон, сумма S мер степени этих x внутренних сторон определяется формулой S = (x — 2) (180) .

Например, треугольник имеет 3 угла, которые в сумме составляют 180 градусов. У квадрата 4 угла, которые в сумме составляют 360 градусов. Для каждой дополнительной стороны, которую вы добавляете, вы должны добавить еще 180 градусов к общей сумме.

{include ad_line.html%}

Давайте поговорим о диагонали минутку. Что такое диагональ вообще? Диагональ — это отрезок прямой, соединяющий две непоследовательных вершины многоугольника. Это все линии между точками в многоугольнике, если не считать те, которые также являются сторонами многоугольника.На картинке ниже BD — это диагональ. Как видите, отрезок BD делит четырехугольник ABCD на два треугольника. Сумма углов в этих треугольниках (180 + 180 = 360) равна сумме всех углов прямоугольника (360).

Пример 1

Четырехугольник ABCD, конечно, имеет четыре угла. Эти четыре угла находятся в соотношении 2: 3: 3: 4. Найдите градус самого большого угла четырехугольника ABCD.

Что мы знаем?

У нас есть четыре неизвестных угла, но информация об их отношении друг к другу.Поскольку мы знаем, что сумма всех четырех углов должна составлять 360 градусов, нам просто нужно выражение, которое складывает наши четыре неизвестных угла и устанавливает их равными 360. Поскольку они находятся в соотношении, у них должен быть некоторый общий множитель, который нам нужен. найти, называется x.

Шагов:

  1. Добавьте условия 2x + 3x + 3x + 4x
  2. Приравнять сумму слагаемых к 360
  3. Решить относительно x
  4. Определите угол в градусах.

Решить

2x + 3x + 3x + 4x = 360
12x = 360
x = 360/12
x = 30

Хотя мы знаем, что x = 30, мы еще не закончили.Умножаем 30 на 4, чтобы найти наибольший угол. Поскольку 30 умножить на 4 = 120, наибольший угол составляет 120 градусов. Аналогично, другие углы равны 3 * 30 = 90, 3 * 30 = 90 и 2 * 30 = 60.

Правильные многоугольники

Правильный многоугольник равносторонний. Все его углы имеют одинаковую меру. Он также равносторонний. Все его стороны имеют одинаковую длину. Квадрат — это правильный многоугольник, и хотя квадрат представляет собой тип прямоугольника, прямоугольники, которые составляют , а не квадратов, не будут правильными многоугольниками.

Пример 2

Найдите сумму углов шестиугольника в градусах. Предполагая, что шестиугольник — это , правильный , найдите градус каждого внутреннего угла.

Что мы знаем?

Мы можем использовать формулу S = (x — 2) (180) для суммирования степени любого многоугольника.

У шестиугольника 6 сторон, поэтому x = 6.

Решить

Пусть x = 6 в формуле и упростит:

S = (6-2) (180)
S = 4 (180)
S = 720

Правильный многоугольник равен и равен , что означает, что все углы имеют одинаковую величину.В случае правильного шестиугольника сумма в 720 градусов будет равномерно распределена между шестью сторонами.

Итак, 720/6 = 120. В правильном шестиугольнике шесть углов, каждый из которых составляет 120 градусов.

Пример 3

Если сумма углов многоугольника равна 3600 градусам, найдите количество сторон многоугольника.

Изменение формулы на противоположное

Опять же, мы можем использовать формулу S = (x — 2) (180), но на этот раз мы решаем для x вместо S. Ничего страшного!

Решить

В этой задаче положим S = 3600 и решим относительно x.

3600 = (x — 2) (180)
3600 = 180x — 360
3600 + 360 = 180x
3960 = 180x
3960/180 = x
22 = x

Многоугольник с 22 сторонами имеет 22 угла, сумма которых равна 3600 градусам.

Внешние углы многоугольника

В каждой вершине многоугольника может быть образован внешний угол путем удлинения одной стороны многоугольника так, чтобы внутренний и внешний углы в этой вершине были дополнительными (в сумме 180). На рисунке ниже углы a, b, c и d являются внешними, а сумма их градусов равна 360.

Если у правильного многоугольника x сторон, то каждый внешний угол равен 360, деленному на x.

Давайте рассмотрим два типовых вопроса.

Пример 4

Найдите градус каждого внутреннего и внешнего угла правильного шестиугольника.

Помните, что формула суммы внутренних углов: S = (x-2) * 180. У шестиугольника 6 сторон. Поскольку x = 6, сумму S можно найти, используя S = (x — 2) (180)

S = (10-6) (180)
S = 4 (180)
S = 720

В шестиугольнике шесть углов, а в правильном шестиугольнике все они равны.Каждый составляет 720/6 или 120 градусов. Теперь мы знаем, что внутренние и внешние углы составляют дополнительных (в сумме 180) в каждой вершине, поэтому размер каждого внешнего угла составляет 180 — 120 = 60.

Пример 5

Если размер каждого внутреннего угла правильного многоугольника равен 150, найдите количество сторон многоугольника.

Ранее мы определили количество сторон многоугольника, взяв сумму углов и используя формулу S = (x-2) * 180 для решения. Но на этот раз мы знаем только размер каждого внутреннего угла.Нам пришлось бы умножить на количество углов, чтобы найти сумму … но вся проблема в том, что мы еще не знаем количество сторон ИЛИ сумму!

Но поскольку размер каждого внутреннего угла равен 150, мы, , также знаем, что , размер внешнего угла, проведенного в любой вершине в терминах этого многоугольника, равен 180 — 150 = 30. Это потому, что они образуют дополнительные пары (внутренний + внешний = 180).

До примера 4 мы узнали, что также можем вычислить величину внешнего угла в правильном многоугольнике как 360 / x, где x — количество сторон.Теперь у нас есть способ найти ответ!

30 = 360 / x
30x = 360
x = 360/30
x = 12

Наш многоугольник с внутренними углами 150 градусов (и внешними 30 градусами) имеет 12 сторон.

Кстати, геометрическая фигура с 12 сторонами называется двенадцатигранником.

Урок, проводимый г-ном Фелизом

Геометрия

— Площадь ограничивающего многоугольника

Мы явно вычисляем, что площадь ограничивающего многоугольника равна $ \ dfrac {4} {7} A $, где $ A $ — площадь исходного треугольника. n = A- \ frac {1} {3} A \ frac {1} {1- \ frac {2} {9}} = \ frac {4} {7} A $$

Я не уверен, действительно ли это помогает нам определить форму ограничивающей фигуры.

Это было мотивировано расчетом Хагена фон Эйтцена и последующим наблюдением Майкла.

$ \

$

РЕДАКТИРОВАТЬ: Объяснение операторов $ \ dfrac {1} {3} $ base и $ \ dfrac {1} {3} $ $.

Рассмотрим многоугольник в определенной вершине $ V $ непосредственно перед выполнением $ n $ -й итерации разрезов. Выберите конкретный край, граничащий с $ V $, и пусть он имеет длину $ 9x $.

Теперь возьмите $ n $ -ю и $ (n + 1) $ -ю итерационные разрезы. На рисунке выше зеленый треугольник — это тот, который обрезан в разрезах $ n $ -й итерации, а красный треугольник — один, разрезанный в разрезах $ (n + 1) $ — итерации.

Поскольку мы каждый раз делим пополам, одна сторона зеленого треугольника имеет длину $ 3x $, а одна сторона красного треугольника — длину $ x $. Назовите эти стороны основанием каждого треугольника. Рассмотрим теперь длину высот, соответствующих этим основаниям, пусть высота зеленого треугольника будет иметь длину $ 3y $. По подобным треугольникам находим, что высота красного треугольника имеет длину $ y $ (аналогичные треугольники обведены черным контуром).

Следовательно, отношение площади красного треугольника к площади зеленого треугольника равно $$ \ frac {\ frac {1} {2} xy} {\ frac {1} {2} (3x) (3y)} = \ frac {1} {9} $$ как заявлено.

Забавное примечание: мы не использовали тот факт, что рассматриваемые треугольники равнобедренные.

7-сторонний многоугольник | Tutorpace

Геометрическая фигура, которая образована 7 прямыми линиями, соединенными вместе, но линии не должны пересекаться друг с другом, каждая из двух линий пересекается в одной точке и образует вершину. Итак, 7-сторонний многоугольник имеет 7 сторон и 7 вершин. 7-сторонний многоугольник известен как семиугольник .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *