Шестиугольник вписанный в окружность формулы: Радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник — Интернет магазин мебели "МебПилот.ру"

Разное

Содержание

Неправильный шестиугольник. Как найти площадь шестиугольника по формуле? Упаковка кругов на плоскости

Есть ли поблизости от Вас карандаш? Взгляните-ка на его сечение — оно представляет собой правильный шестиугольник или, как его еще называют, гексагон. Такую форму имеет также сечение гайки, поле гексагональных шахмат, некоторых сложных молекул углерода (к примеру, графит), снежинка, пчелиные соты и другие объекты. Гигантский правильный шестиугольник был недавно обнаружен в Не кажется ли странным столь частое использование природой для своих творений конструкций именно этой формы? Давайте рассмотрим поподробнее.

Правильный шестиугольник представляет собой многоугольник с шестью одинаковыми сторонами и равными углами. Из школьного курса нам известно, что он обладает следующими свойствами:

Длина его сторон соответствует радиусу описанной окружности. Из всех это свойство имеет лишь правильный шестиугольник.
Углы равны между собой, и величина каждого составляет 120°.
Периметр гексагона можно найти по формуле Р=6*R, если известен радиус описанной вокруг него окружности, или Р=4*√(3)*r, если окружность в него вписана. R и r — радиусы описанной и вписанной окружности.

Площадь, которую занимает правильный шестиугольник, определяется следующим образом: S=(3*√(3)*R 2)/2. Если радиус неизвестен, вместо него подставляем длину одной из сторон — как известно, она соответствует длине радиуса описанной окружности.

У правильного шестиугольника есть одна интересная особенность, благодаря которой он получил в природе такое широкое распространение, — он способен заполнить любую поверхность плоскости без наложений и пробелов. Существует даже так называемая лемма Пала, согласно которой правильный гексагон, сторона которого равна 1/√(3), представляет собой универсальную покрышку, то есть может покрыть любое множество с диаметром в одну единицу.

Теперь рассмотрим построение правильного шестиугольника. Есть несколько способов, самый простой из которых предполагает использование циркуля, карандаша и линейки.

Вначале рисуем циркулем произвольную окружность, затем в произвольном месте на этой окружности делаем точку. Не меняя раствора циркуля, ставим острие в эту точку, отмечаем на окружности следующую насечку, продолжаем так до тех пор, пока не получим все 6 точек. Теперь остается лишь соединить их между собой прямыми отрезками, и получится искомая фигура.

На практике бывают случаи, когда требуется нарисовать шестиугольник большого размера. Например, на двухуровневом гипсокартонном потолке, вокруг места крепления центральной люстры, нужно установить на нижнем уровне шесть небольших светильников. Циркуль таких размеров найти будет очень и очень сложно. Как поступить в этом случае? Как вообще нарисовать большую окружность? Очень просто. Нужно взять крепкую нить нужной длины и обвязать один из ее концов напротив карандаша. Теперь осталось лишь найти помощника, который бы прижал к потолку в нужной точке второй конец нити. Конечно, в этом случае возможны незначительные погрешности, но вряд ли они вообще будут заметны постороннему человеку.

Тему многоугольников проходят в школьной программе, но не уделяют ей достаточного внимания. А между тем она интересна, и особенно это касается правильного шестиугольника или гексагона — ведь эту форму имеют многие природные объекты. К ним относятся пчелиные соты и многое другое. Эта форма очень хорошо применяется на практике.

Определение и построение

Правильным шестиугольником называется плоскостная фигура, имеющая шесть равных по длине сторон и столько же равных углов.

Если вспомнить формулу суммы углов многоугольника

то получается, что в этой фигуре она равна 720°. Ну а поскольку все углы фигуры равны, нетрудно посчитать, что каждый из них равен 120°.

Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки.

Пошаговая инструкция будет выглядеть так:

При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей.

Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже.

Свойства простые и интересные

Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:

Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:

диаметр описанной окружности;
диаметр вписанной окружности;
площадь;
периметр.

Описанная окружность и возможность построения

Вокруг гексагона можно описать окружность, и притом только одну. Поскольку фигура эта правильная, то можно поступить довольно просто: от двух соседних углов провести внутрь биссектрисы. Они пересекутся в точке О, и образуют вместе со стороной между ними треугольник.

Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ — равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности.

После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису. Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС — очередным радиусом, через который идет та же окружность. Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона:

Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.

Ну а площадь этой окружности будет стандартная:

Вписанная окружность

Центр описанной окружности совпадет с центром вписанной. Чтобы в этом убедиться, можно провести из точки О перпендикуляры к сторонам шестиугольника. Они будут являться высотами тех треугольников, из которых составлен гексагон. А в равнобедренном треугольнике высота является медианой по отношению к стороне, на которую она опирается. Таким образом, эта высота не что иное, как серединный перпендикуляр, являющийся радиусом вписанной окружности.

Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

А поскольку R=a и r=h, то получается, что

r=R(√3)/2 .

Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.

Ее площадь будет составлять:

S=3πa²/4 ,

то есть три четверти от описанной.

Периметр и площадь

С периметром все ясно, это сумма длин сторон:

P=6а , или P=6R

А вот площадь будет равна сумме всех шести треугольников, на которые можно разбить гексагон. Поскольку площадь треугольника вычисляется как половина произведения основания на высоту, то:

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2

или

S=3R²(√3)/2

Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Занимательные построения

В гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну:

Всего их получится два, и их наложение друг на друга даст звезду Давида. Каждый из этих треугольников — равносторонний. В этом нетрудно убедиться. Если посмотреть на сторону АС, то она принадлежит сразу двум треугольникам — ВАС и АЕС. Если в первом из них АВ=ВС, а угол между ними 120°, то каждый из оставшихся будет 30°. Отсюда можно сделать закономерные выводы:

Высота АВС из вершины В будет равна половине стороны шестиугольника, поскольку sin30°=1/2. Желающим убедиться в этом можно посоветовать пересчитать по теореме Пифагора, она здесь подходит как нельзя лучше.
Сторона АС будет равна двум радиусам вписанной окружности, что опять-таки вычисляется по той же теореме. То есть АС=2(a(√3)/2)=а(√3).

Треугольники АВС, СДЕ и АЕF равны по двум сторонам и углу между ними, и отсюда вытекает равенство сторон АС, СЕ и ЕА.

Пересекаясь друг с другом, треугольники образуют новый гексагон, и он тоже правильный. Доказывается это просто:

Таким образом, фигура отвечает признакам правильного шестиугольника — у нее шесть равных сторон и углов. Из равенства треугольников при вершинах легко вывести длину стороны нового гексагона:

d=а(√3)/3

Она же будет радиусом описанной вокруг него окружности. Радиус вписанной будет вдвое меньше стороны большого шестиугольника, что было доказано при рассмотрении треугольника АВС. Его высота составляет как раз половину стороны, следовательно, вторая половина — это радиус вписанной в маленький гексагон окружности:

r₂=а/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Получается, что площадь гексагона внутри звезды Давида в три раза меньше, чем у большого, в который вписана звезда.

От теории к практике

Свойства шестиугольника очень активно используются как в природе, так и в различных областях деятельности человека. В первую очередь это касается болтов и гаек — шляпки первых и вторые представляют собой ничто иное, как правильный шестигранник, если не брать в расчет фаски. Размер гаечных ключей соответствует диаметру вписанной окружности — то есть расстоянию между противоположными гранями.

Нашла свое применение и гексагональная плитка. Она распространена куда меньше четырехугольной, но класть ее удобнее: в одной точке смыкаются три плитки, а не четыре. Композиции могут получаться очень интересные:

Выпускается и бетонная плитка для мощения.

Распространенность гексагона в природе объясняется просто. Таким образом, проще всего плотно уместить круги и шары на плоскости, если у них одинаковый диаметр. Из-за этого у пчелиных сот такая форма.

Конвертер единиц расстояния и длины Конвертер единиц площади Присоединяйтесь © 2011-2017 Довжик Михаил Копирование материалов запрещено. В онлайн калькуляте можно использовать величины в одинаквых единицах измерения! Если у вас возниели трудности с преобразованием едениц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины и конвертером единиц площади. Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади четырехугольника

Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «вправо» и «влево» на клавиатуре.

Теория. Площадь четырехугольника Четырёхугольник — геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Четырёхугольник называется выпуклым, если отрезок соединяющий любые две точки этого четырехугольника, будет находиться внутри него.

Как узнать площадь многоугольника?

Формула определения площади определяется путем взятия каждого ребра многоугольника АВ, и вычисления площади треугольника АВО с вершиной в начале координат О, через координаты вершин. При обходе вокруг многоугольника, образуются треугольники, включающие внутреннюю часть многоугольника и расположенные снаружи его. Разница между суммой этих площадей и есть площадь самого многоугольника.

Поэтому формула называется формулой геодезиста, так как «картограф» находится в начале координат; если он обходит участок против часовой стрелки, площадь добавляется если она слева и вычитается если она справа с точки зрения из начала координат. Формула площади действительна для любого самонепересекающегося (простого) многоугольника, который может быть выпуклым или вогнутым. Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 Более сложный пример
4 Объяснение названия
5 См.

Площадь многоугольника

Внимание

Это может быть:

треугольник;
четырехугольник;
пяти- или шестиугольник и так далее.

Такая фигура непременно будет характеризоваться двумя положениями:

Смежные стороны не принадлежат одной прямой.
У несмежных отсутствуют общие точки, то есть они не пересекаются.

Чтобы понять, какие вершины являются соседними, потребуется посмотреть, принадлежат ли они одной стороне. Если да, то соседние. В противном случае их можно будет соединить отрезком, который необходимо назвать диагональю. Их можно провести только в многоугольниках, у которых больше трех вершин.

Какие их виды существуют? Многоугольник, у которого больше четырех углов, может быть выпуклым или вогнутым. Отличие последнего в том, что некоторые его вершины могут лежать по разные стороны от прямой, проведенной через произвольную сторону многоугольника.

Как найти площадь правильного и неправильного шестиугольника?

Зная длину стороны, умножим её на 6 и получим периметр шестиугольника:10 см х 6 = 60 см
Подставим полученные результаты в нашу формулу:

Метод трапеции.
Метод расчета площади неправильных многоугольников при помощи оси координат.
Метод разбивания шестиугольника на другие фигуры.

В зависимости от исходных данных, которые вам будут известны, подбирается подходящий метод.

Важно

Некоторые неправильные шестиугольники состоят из двух параллелограммов. Для определения площади параллелограмма следует умножить его длину на ширину и затем сложить две уже известные площади. Видео о том, как найти площадь многоугольника Равносторонний шестиугольник имеет шесть равных сторон и является правильным шестиугольником.

Площадь равностороннего шестиугольника равняется 6 площадям треугольников, на которые разбита правильная шестиугольная фигура. Все треугольники в шестиугольнике правильной формы равны, поэтому для нахождения площади такого шестиугольника достаточно будет знать площадь хотя бы одного треугольника. Для нахождения площади равностороннего шестиугольника используется, конечно же, формула площади правильного шестиугольника, описанная выше.

404 not found

Украшение жилища, одежды, рисование картин способствовало процессу формирования и накопления сведений в области геометрии, которые люди тех времён добывали опытным путем, по крупицам и передавали из поколения в поколение. Сегодня знания геометрии необходимы и закройщику, и строителю, и архитектору и каждому простому человеку в быту. Поэтому нужно учиться рассчитывать площадь различных фигур, и помнить, что каждая из формул может пригодиться впоследствии на практике, в том числе, и формула правильного шестиугольника.
Шестиугольником называется такая многоугольная фигура, общее количество углов которой равно шести. Правильным шестиугольником называют шестиугольную фигуру, которая имеет равные стороны. Углы у правильного шестиугольника также между собой равны.
В повседневной жизни мы часто можем встретить предметы, имеющие форму правильного шестиугольника.

Калькулятор площади неправильного многоугольника по сторонам

Вам понадобится

— рулетка;
— электронный дальномер;
— лист бумаги и карандаш;
— калькулятор.

Инструкция 1 Если вам нужна общая площадь квартиры или отдельной комнаты, просто прочтите технический паспорт на квартиру или дом, там указан метраж каждого помещения и общий метраж квартиры. 2 Для измерения площади прямоугольной или квадратной комнаты возьмите рулетку или электронный дальномер и измерьте длину стен. При измерении расстояний дальномером обязательно следите за перпендикулярностью направления луча, иначе результаты замеров могут быть искажены. 3 Затем полученную длину (в метрах) комнаты умножьте на ширину (в метрах). Полученное значение и будет площадью пола, она измеряется в квадратных метрах.

Формула площади гаусса

Если требуется посчитать площадь пола более сложной конструкции, например, пятиугольной комнаты или комнаты с круглой аркой, схематично начертите эскиз на листе бумаги. Затем разделите сложную форму на несколько простых, например, на квадрат и треугольник или прямоугольник и полукруг. Измерьте при помощи рулетки или дальномера величину всех сторон получившихся фигур (для круга необходимо узнать диаметр) и занесите результаты на ваш чертеж.

5 Теперь посчитайте площадь каждой фигуры по отдельности. Площадь прямоугольников и квадратов высчитывайте перемножением сторон. Для расчета площади круга диаметр разделите пополам и возведите в квадрат (умножьте его на самого себя), затем умножьте полученное значение на 3,14.
Если вам нужна только половина круга, разделите полученную площадь пополам. Чтобы рассчитать площадь треугольника, найдите Р, для этого сумму всех сторон поделите на 2.

Формула расчета площади неправильного многоугольника

Если точки пронумерованы последовательно в направлении против часовой стрелки, то детерминанты в формуле выше положительны и модуль в ней может быть опущен; если они пронумерованы в направлении по часовой стрелке, детерминанты будут отрицательными. Это происходит потому, что формула может рассматриваться как частный случай теоремы Грина. Для применения формулы необходимо знать координаты вершин многоугольника в декартовой плоскости.

Для примера возьмём треугольник с координатами {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Возьмём первую х -координату первой вершины и умножим её на y -координату второй вершины, а затем умножим х второй вершины на y третьей. Повторим эту процедуру для всех вершин. Результат может быть определен по следующей формуле: A tri.

Формула расчета площади неправильного четырехугольника

A} _{\text{tri.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|} где xi и yi обозначают соответствующую координату. Эту формулу можно получить, раскрыв скобки в общей формуле для случая n = 3. По этой формуле можно обнаружить, что площадь треугольника равна половине суммы 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, что даёт 3. Число переменных в формуле зависит от числа сторон многоугольника. Например, в формуле для площади пятиугольника будут использоваться переменные до x5 и y5: A pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | {\displaystyle \mathbf {A} _{\text{pent.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{5}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{5}y_{4}-x_{1}y_{5}|} A для четырехугольника — переменные до x4 и y4: A quad.

Самая известная фигура, у которой больше четырех углов — это правильный шестиугольник. В геометрии он часто используется в задачах. А в жизни именно такой вид имеют соты на срезе.

Чем он отличается от неправильного?

Во-первых, шестиугольником является фигура с 6 вершинами. Во-вторых, он может быть выпуклым или вогнутым. Первый отличается тем, что четыре вершины лежат по одну сторону от прямой, проведенной через две другие.

В-третьих, правильный шестиугольник характеризуется тем, что все его стороны равны. Причем каждый угол фигуры тоже имеет одинаковое значение. Чтобы определить сумму всех его углов, потребуется воспользоваться формулой: 180º * (n — 2). Здесь n — число вершин фигуры, то есть 6. Простой расчет дает значение в 720º. То есть каждый угол равен 120 градусам.

В повседневной деятельности правильный шестиугольник встречается в снежинке и гайке. Химики видят ее даже в молекуле бензола.

Какие свойства требуется знать при решении задач?

К тому, что указано выше, следует добавить:

диагонали фигуры, проведенные через центр, делят ее на шесть треугольников, которые являются равносторонними;
сторона правильного шестиугольника имеет значение, которое совпадает с радиусом описанной около него окружности;
используя такую фигуру, есть возможность заполнить плоскость, причем между ними не получится пропусков и не будет наложений.

Введенные обозначения

Традиционно сторона правильной геометрической фигуры обозначается латинской буквой «а». Для решения задач требуются еще площадь и периметр, это S и P соответственно. В правильный шестиугольник бывает вписана окружность или описана около него. Тогда вводятся значения для их радиусов. Обозначаются они соответственно буквами r и R.

В некоторых формулах фигурируют внутренний угол, полупериметр и апофема (являющаяся перпендикуляром к середине любой стороны из центра многоугольника). Для них используются буквы: α, р, m.

Формулы, которые описывают фигуру

Для расчета радиуса вписанной окружности потребуется такая: r = (a * √3) / 2, причем r = m. То есть такая же формула будет и для апофемы.

Поскольку периметр шестиугольника — это сумма всех сторон, то он определится так: P = 6 * a. С учетом того, что сторона равна радиусу описанной окружности, для периметра существует такая формула правильного шестиугольника: P = 6 * R. Из той, что приведена для радиуса вписанной окружности, выводится зависимость между а и r. Тогда формула принимает такой вид: Р = 4 r * √3.

Для площади правильного шестиугольника может пригодиться такая: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Задачи

№ 1. Условие. Имеется правильная шестиугольная призма, каждое ребро которой равно 4 см. В нее вписан цилиндр, объем которого необходимо узнать.

Решение. Объем цилиндра определяется как произведение площади основания на высоту. Последняя совпадает с ребром призмы. А она равна стороне правильного шестиугольника. То есть высота цилиндра — тоже 4 см.

Чтобы узнать площадь его основания, потребуется вычислить радиус вписанной в шестиугольник окружности. Формула для этого указана выше. Значит, r = 2√3 (см). Тогда площадь круга: S = π * r 2 = 3,14 * (2√3) 2 = 37,68 (см 2).

Ответ . V = 150,72 см 3 .

№ 2. Условие. Вычислить радиус окружности, которая вписана в правильный шестиугольник. Известно, что его сторона равна √3 см. Чему будет равен его периметр?

Решение. Эта задача требует использования двух из указанных формул. Причем их необходимо применять, даже не видоизменяя, просто подставить значение стороны и вычислить.

Таким образом, радиус вписанной окружности получается равным 1,5 см. Для периметра оказывается верным такое значение: 6√3 см.

Ответ. r = 1,5 см, Р = 6√3 см.

№ 3. Условие. Радиус описанной окружности равен 6 см. Какое значение в этом случае будет у стороны правильного шестиугольника?

Решение. Из формулы для радиуса вписанной в шестиугольник окружности легко получается та, по которой нужно вычислять сторону. Ясно, что радиус умножается на два и делится на корень из трех. Необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе. Поэтому результат действий принимает такой вид: (12 √3) / (√3 * √3), то есть 4√3.

Ответ. а = 4√3 см.

Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны .

Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.

Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

Где — сторона правильного шестиугольника.

Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.

Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне .
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен .
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Радиус такой окружности равен .

Ответ: .

Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

чем он интересен и как его построить. Формулы, которые описывают фигуру

Математические свойства

Особенность правильного шестиугольника — равенство его стороны и радиуса описанной окружности , поскольку

Все углы равны 120°.

Радиус вписанной окружности равен:

Периметр правильного шестиугольника равен:

Площадь правильного шестиугольника рассчитывается по формулам:

Шестиугольники замощают плоскость, то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений, образуя так называемый паркет.

Шестиугольный паркет (шестиугольный паркетаж) — замощение плоскости равными правильными шестиугольниками, расположенными сторона к стороне.

Шестиугольный паркет является двойственным треугольному паркету: если соединить центры смежных шестиугольников, то проведённые отрезки дадут треугольный паркетаж. Символ Шлефли шестиугольного паркета — {6,3}, что означает, что в каждой вершине паркета сходятся три шестиугольника.

Шестиугольный паркет является наиболее плотной упаковкой кругов на плоскости. В двумерном евклидовом пространстве наилучшим заполнением является размещение центров кругов в вершинах паркета, образованного правильными шестиугольниками, в котором каждый круг окружен шестью другими. Плотность данной упаковки равна . В 1940 году было доказано, что данная упаковка является самой плотной.

Правильный шестиугольник со стороной является универсальной покрышкой, то есть всякое множество диаметра можно покрыть правильным шестиугольником со стороной (лемма Пала).

Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.

Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре

показывают разбиение плоскости на правильные шестиугольники. Шестиугольная форма больше остальных позволяет сэкономить на стенках, то есть на соты с такими ячейками уйдёт меньше воска.

Некоторые сложные кристаллы и молекулы , например графит, имеют гексагональную кристаллическую решётку.

Образуется, когда микроскопические капли воды в облаках притягиваются к пылевым частицам и замерзают. Появляющиеся при этом кристаллы льда, не превышающие поначалу 0,1 мм в диаметре, падают вниз и растут в результате конденсации на них влаги из воздуха. При этом образуются шестиконечные кристаллические формы. Из-за структуры молекул воды между лучами кристалла возможны углы лишь в 60° и 120°. Основной кристалл воды имеет в плоскости форму правильного шестиугольника. На вершинах такого шестиугольника затем осаждаются новые кристаллы, на них — новые, и так получаются разнообразные формы звёздочек-снежинок.

Учёные из Оксфордского университета смогли в лабораторных условиях смоделировать возникновение подобного гексагона. Чтобы выяснить, как возникает такое образование, исследователи поставили на вертящийся стол 30-литровый баллон с водой. Она моделировала атмосферу Сатурна и её обычное вращение. Внутри учёные поместили маленькие кольца, вращающиеся быстрее ёмкости. Это генерировало миниатюрные вихри и струи, которые экспериментаторы визуализировали при помощи зелёной краски. Чем быстрее вращалось кольцо, тем больше становились вихри, заставляя близлежащий поток отклоняться от круговой формы. Таким образом авторам опыта удалось получить различные фигуры — овалы, треугольники, квадраты и, конечно, искомый шестиугольник.

Памятник природы из примерно 40 000 соединённых между собой базальтовых (реже андезитовых) колонн, образовавшихся в результате древнего извержения вулкана. Расположен на северо-востоке Северной Ирландии в 3 км к северу от города Бушмилса.

Верхушки колонн образуют подобие трамплина, который начинается у подножья скалы и исчезает под поверхностью моря. Большинство колонн шестиугольные, хотя у некоторых четыре, пять, семь и восемь углов. Самая высокая колонна высотой около 12 м.

Около 50-60 миллионов лет назад, во время палеогенового периода, месторасположение Антрим подвергалось интенсивной вулканической активности, когда расплавленный базальт проникал через отложения, формируя обширные лавовые плато. По мере быстрого охлаждения происходило сокращение объёма вещества (подобное наблюдается при высыхании грязи). Горизонтальное сжатие приводило к характерной структуре шестигранных столбов.

Сечение гайки имеет вид правильного шестиугольника.

Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 -6, 4-3, 4-5 и 7-2, после чего проводим стороны 5-6 и 3-2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника . Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, проведённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0-1-2 равен 30°, то для нахождения стороны

1-2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0-1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1-2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину-точку 1 и проводим диаметральную линию 1-4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность . Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4-1 и 3-2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1-2 и 4-3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диаметров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до взаимного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные прямые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересечения с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), производим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вершины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Получим точку 1-вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, проводим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересечение которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно производить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэффициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны .

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

Где — сторона правильного шестиугольника.

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Радиус такой окружности равен .

Ответ: .

Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Определение и построение

Если вспомнить формулу суммы углов многоугольника

Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки.

Пошаговая инструкция будет выглядеть так:

При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей.

Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже.

Свойства простые и интересные

Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:

Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:

диаметр описанной окружности;
диаметр вписанной окружности;
площадь;
периметр.

Описанная окружность и возможность построения

Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.

Ну а площадь этой окружности будет стандартная:

Вписанная окружность

Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

А поскольку R=a и r=h, то получается, что

r=R(√3)/2 .

Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.

Ее площадь будет составлять:

S=3πa²/4 ,

то есть три четверти от описанной.

Периметр и площадь

С периметром все ясно, это сумма длин сторон:

P=6а , или P=6R

А вот площадь будет равна сумме всех шести треугольников, на которые можно разбить гексагон. Поскольку площадь треугольника вычисляется как половина произведения основания на высоту, то:

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 или

S=3R²(√3)/2

Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Занимательные построения

В гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну:

Высота АВС из вершины В будет равна половине стороны шестиугольника, поскольку sin30°=1/2. Желающим убедиться в этом можно посоветовать пересчитать по теореме Пифагора, она здесь подходит как нельзя лучше.
Сторона АС будет равна двум радиусам вписанной окружности, что опять-таки вычисляется по той же теореме. То есть АС=2(a(√3)/2)=а(√3).
Треугольники АВС, СДЕ и АЕF равны по двум сторонам и углу между ними, и отсюда вытекает равенство сторон АС, СЕ и ЕА.

d=а(√3)/3

r₂=а/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Получается, что площадь гексагона внутри звезды Давида в три раза меньше, чем у большого, в который вписана звезда.

От теории к практике

Выпускается и бетонная плитка для мощения.

Распространенность гексагона в природе объясняется просто. Таким образом, проще всего плотно уместить круги и шары на плоскости, если у них одинаковый диаметр. Из-за этого у пчелиных сот такая форма.

Длина его сторон соответствует радиусу описанной окружности. Из всех это свойство имеет лишь правильный шестиугольник.
Углы равны между собой, и величина каждого составляет 120°.
Периметр гексагона можно найти по формуле Р=6*R, если известен радиус описанной вокруг него окружности, или Р=4*√(3)*r, если окружность в него вписана. R и r — радиусы описанной и вписанной окружности.
Площадь, которую занимает правильный шестиугольник, определяется следующим образом: S=(3*√(3)*R 2)/2. Если радиус неизвестен, вместо него подставляем длину одной из сторон — как известно, она соответствует длине радиуса описанной окружности.

Теперь рассмотрим построение правильного шестиугольника. Есть несколько способов, самый простой из которых предполагает использование циркуля, карандаша и линейки. Вначале рисуем циркулем произвольную окружность, затем в произвольном месте на этой окружности делаем точку. Не меняя раствора циркуля, ставим острие в эту точку, отмечаем на окружности следующую насечку, продолжаем так до тех пор, пока не получим все 6 точек. Теперь остается лишь соединить их между собой прямыми отрезками, и получится искомая фигура.

Правильный многоугольник. Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

Навигация по странице: Определение правильного многоугольника Признаки правильного многоугольника Основные свойства правильного многоугольника Правильный n-угольник — формулы — длина стороны — радиус вписанной окружности — радиус описанной окружности — площадь — периметр — угол между сторонами Правильный треугольник Правильный четырехугольник Правильный шестиугольник Правильный восьмиугольник

Определение. Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.

Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.


Рис.1		Рис.2

Признаки правильного многоугольника

Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие:

Все стороны и углы одинаковы:

a₁ = a₂ = a₃ = … = a_n-1 = a_n

α₁ = α₂ = α₃ = … = α_n-1 = α_n

Основные свойства правильного многоугольника

1. Все стороны равны:

a₁ = a₂ = a₃ = .

.. = a_n-1 = a_n

2. Все углы равны:

α₁ = α₂ = α₃ = … = α_n-1 = α_n

3. Центр вписанной окружности O_в совпадает з центром описанной окружности O_о, что и образуют центр многоугольника O

4. Сумма всех углов n-угольника равна:

180° · (n — 2)

5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:

β₁ + β₂ + β₃ + … + β_n-1 + β_n = 360°

6. Количество диагоналей (D_n) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины:

D_n =	n · (n — 3)
	2

7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:

S =	π	a²
	4

8. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O

Правильный n-угольник — формулы

Формулы длины стороны правильного n-угольника

1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r · tg	180°
	n

a = 2r · tg	π
	n

2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

a = 2 R · sin	180°
	n

a = 2 R · sin	π
	n

Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

r = a : (2tg	180°	)
	n

r = a : (2tg	π	)
	n

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:

R = a : (2sin	180°	)
	n

R = a : (2sin	π	)
	n

Формулы площади правильного n-угольника

1. Формула площади n-угольника через длину стороны:

S =	na²	· ctg	180°
	4		n

2. Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:

S =	nr² · tg	180°
		n

3. Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности:

S =	nR²	· sin	360°
	2		n

Формула периметра правильного многоугольника:

Формула периметра правильного n-угольника:

P = na

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника:

Формула угла между сторонами правильного n-угольника:

α_n =	n — 2	· 180°
	n

Рис.

Правильный треугольник

Формулы правильного треугольника:

1. Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r √3

2. Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности:

a = R√3

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

r =	a√3
	6

4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

R =	a√3
	3

5. Формула площади правильного треугольника через длину стороны:

S =	a²√3
	4

6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

S = r² 3√3

7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:

S =	R² 3√3
	4

8. Угол между сторонами правильного треугольника:

α = 60°

Рис.4

Правильный четырехугольник

Правильный четырехугольнику — квадрат.

Формулы правильного четырехугольника:

1. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r

2. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

r =	a
	2

4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

R =	a√2
	2

5. Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны:

S = a²

6. Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

S = 4 r²

7. Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

S = 2 R²

8. Угол между сторонами правильного четырехугольника:

α = 90°

Смотрите также формулы и свойства квадрата

Правильный шестиугольник

Формулы правильного шестиугольника:

1. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

a =	2√3	r
	3

2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

a = R

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

r =	a√3
	2

4. Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

R = a

5. Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны:

S =	a² 3√3
	2

6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r² 2√3

7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

S =	R² 3√3
	2

8. Угол между сторонами правильного шестиугольника:

α = 120°

Правильный восьмиугольник

Формулы правильного восьмиугольника:

1. Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r · (√2 — 1)

2. Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2 — √2

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:

r =	a(√2 + 1)
	2

4. Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:

R =	a√4 + 2√2
	2

5. Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны:

S = a² 2(√2 + 1)

6. Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r² 8(√2 — 1)

7. Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

S = R² 2√2

8. Угол между сторонами правильного восьмиугольника:

α = 135°

Все таблицы и формулы

Правильный многоугольник для школьников и студентов

формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
формулы правильного n-угольника
правильный треугольник
правильный четырехугольник
правильный шестиугольник
правильный восьмиугольник

Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.

Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Признаки правильного многоугольника

Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие: все стороны и углы одинаковы.

a1=a2=a3=…=an-1=an ,

α1=α2=α3=…=αn-1=αn

где a₁…a_n — длины сторон правильного многоугольника,
α₁…α_n — внутренние углы между стронами правильного многоугольника.

Основные свойства правильного многоугольника

Все стороны равны: a1=a2=a3=…=an-1=an
Все углы равны: α1=α2=α3=…=αn-1=αn
Центр вписанной окружности O_в совпадает с центром описанной окружности O_о, что и образуют центр многоугольника O.
Сумма всех углов n-угольника равна:180°·n-2
Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°: β1+β2+β3+…+βn-1+βn=360°
Количество диагоналей (D_n) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: Dn=n·n-32
В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг; при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника: S=π4·a2
Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O.

Формулы правильного n-угольника

Формулы длины стороны правильного n-угольника

Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности

a=2·r·tg180°n (через градусы),

a=2·r·tgπn (через радианы)

Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности

a=2·R·sin180°n (через градусы),

a=2·R·sinπn (через радианы)

Формулы радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны

r=a:2·tg180°n (через градусы),

r=a:2·tgπn (через радианы)

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны

R=a:2·sin180°n (через градусы),

R=a:2·sinπn (через радианы)

Формулы площади правильного n-угольника

Формула площади n-угольника через длину стороны

S=n·a24·ctg180°n

Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности

S=n·r2·tg180°n

Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности

S=n·R22·sin360°n

Формула периметра правильного многоугольника

Формула периметра правильного n-угольника

Периметр правильного n-угольника равен произведению длины одной стороны правильного n-угольника на количество его сторон.

P=n·a

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника

Формула угла между сторонами правильного n-угольника

αn=n-2n·180°

Правильный треугольник

Правильный треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°.

Формулы правильного треугольника

Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности

Сторона правильного треугольника равна удвоенному произведению радиуса вписанной окружности на корень из трёх.

a=2·r·3

Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности

Сторона правильного треугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из трёх.

a=R·3

r=a·36

R=a·33

Формула площади правильного треугольника через длину стороны

S=a2·34

Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности

S=r2·3·3

Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности

S=R2·3·34

Углы между сторонами правильного треугольника

α1=α2=α3=60°

Правильный четырехугольник

Правильный четырехугольник — это квадрат.

Формулы правильного четырехугольника

Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности

Сторона правильного четырехугольника равна двум радиусам вписанной окружности.

a=2·r

Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности

Сторона правильного четырехугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из двух.

a=R·2

Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны

Радиус вписанной окружности правильного четырехугольника равен половине стороны четырехугольника.

r=a2

Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны

Радиус описанной окружности правильного четырехугольника равен половине произведения стороны четырехугольника на корень из двух.

R=a·22

Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны

Площадь правильного четырехугольника равна квадрату стороны четырехугольника.

S=a2

Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного четырехугольника равна четырем радиусам вписанной окружности четырехугольника.

S=4·r2

Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности

Площадь правильного четырехугольника равна двум квадратам радиуса описанной окружности.

S=2·R2

Углы между сторонами правильного четырехугольника

α1=α2=α3=α4=90°

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 120°.

Формулы правильного шестиугольник

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

a=2·r·33

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Длина стороны правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

a=R

Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны

r=a·32

Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны

R=a

Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

S=a2·3·32

Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

S=r2·2·3

Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

S=R2·3·32

Углы между сторонами правильного шестиугольника

α1=α2=α3=α4=α5=α6=120°

Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного восьмиугольник равны между собой, все углы также равны и составляют 135°.

Формулы правильного восьмиугольника

Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности

a=2·r·2-1

Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности

a=R·2-2

Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны

r=a·2+12

Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны

R=a·4+222

Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны

S=a2·2·2+1

Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности

S=r2·8·2-1

Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности

S=R2·2·2

Углы между сторонами правильного восьмиугольника

α1=α2=α3=α4=α5=α6=α7=α8=135°

Коротко о важном
Таблицы
Формулы
Формулы по геометрии
Теория по математике

Правильные многоугольники — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Вы уже изучили свойства равностороннего треугольника и квадрата. Каждая из этих фигур обладает тем свойством, что у них все углы равны и все стороны равны. Указанные геометрические фигуры служат примерами правильных многоугольников, свойства которых и рассматриваются в данном параграфе.

Определение правильного многоугольника

Определение. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Рассмотрим пример. Пусть ABC — равносторонний треугольник;. Разделим каждую его сторону на три равные части, как показано на рисунке 81, а. Каждый из треугольников ATS, KBF и DPC является равносторонним. Отсюда следует, что

Модель этого правильного многоугольника получится, если от листа бумаги, имеющего форму равностороннего треугольника, отрезать равные части, имеющие форму равносторонних и равных между собой треугольников, как показано на рисунке 81, б.

Если треугольник АБС является гранью тетраэдра ВОАС (тетраэдр — треугольная пирамида, у которой все четыре грани — равные равносторонние треугольники), а каждая пара точек Т, К, F, Р и D, S делит соответственно ребра АВ, ВС и АС на три равные части, то TKFPDS — правильный шестиугольник, лежащий на грани ABC (рис. 81, в).

Ранее, в § 1 главы 1 учебного пособия «Геометрия, 8», была доказана теорема о том, что сумма градусных мер углов любого выпуклого n-угольника равна 180°(n — 2). Из доказанной теоремы и определения правильного n-угольника следует, что градусную меру каждого его угла можно найти по формуле Например, для правильного шести (рис. 82, о), а для правильного восьмиугольника (рис. 82, б).

Окружность, описанная около правильного многоугольника

Вы знаете, что около правильного треугольника и правильного четырехугольника можно описать окружность. Теперь изучим вопрос о существовании окружности, описанной около правильного многоугольника.

Определение. Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Оказывается, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность. Докажем следующую теорему.

Теорема 1 (об окружности, описанной около правильного многоугольника). Около любого правильного многоугольника можно описать единственную окружность.

Доказательство.

I. Докажем, существование окружности.

1) Пусть — правильный многоугольник. Докажем, что существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Пусть точка О — точка пересечения биссектрис углов Соединим точку О отрезками со всеми вершинами многоугольника и докажем, что (рис. 83).

2) Так как — биссектрисы, тот. е. треугольник — равнобедренный, а значит,

3) Заметим, что треугольникравен треугольнику по двум сторонам и углу между ними (,сторона . Из равенства этих треугольников следует, что Так же можно доказать, что и т. д.

4) Таким образом, т. е. точка О равноудалена от вершин многоугольника. Следовательно, окружность со с центром в точке О и радиуса ОА, является описанной около многоугольника. Из доказательства следует, что центром, окружности, описанной около правильного многоугольника, является точка пересечения биссектрис углов этого многоугольника.

II. Докажем, что описанная окружность единственная.

Пусть существует еще одна окружность со,, которая описана около правильного многоугольника Тогда эта окружность является описанной, например, около треугольникаНо около треугольника можно описать единственную окружность, значит, окружности со и со, совпадают, т. е. около многоугольника можно описать единственную окружность.

Теорема доказана.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Известно, что в любой правильный треугольник можно вписать окружность. Рассмотрим вопрос о существовании окружности, вписанной в правильный многоугольник.

Определение. Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности. При этом многоугольник называется описанным около окружности.

Докажем, что в любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

Теорема 2 (об окружности, вписанной в правильный многоугольник). В любой правильный многоугольник можно вписать единственную окружность.

I. Докажем существование окружности.

1) Пусть — правильный многоугольник. Докажем, что существует точка, равноудаленная от прямых, содержащих стороны многоугольника (рис. 84).

2) Пусть точка О — центр описанной около многоугольника окружности. Теперь проведем высотысоответственно треугольников Как было доказано в предыдущей теореме, эти треугольники равны между собой, следовательно, равны их высоты, т. е.

3) Таким образом, окружность с центром в точке О радиусапроходит через точкии касается сторон многоугольника в этих точках, т. е. эта окружность вписана в правильный многоугольник

Заметим также, что центр О вписанной в правильный многоугольник окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Подчеркнем, что для правильного многоугольника центр вписанной окружности совпадает с центром, описанной окружности.

II. Докажем, что вписанная окружность единственная.

Предположим, что существует еще одна окружность вписанная в правильный многоугольникТогда центр Ох этой окружности равноудален от сторон многоугольника, т. е. точка О, лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, а значит, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т. е. он равен Следовательно, окружности совпадают.

Теорема доказана.

Центром, правильного многоугольника называется центр его вписанной и описанной окружностей.

Выражение элементов n-угольника через радиус вписанной или описанной окружностей

Пусть S — площадь правильного n-угольника, — длина его стороны, Р — периметр, а г и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно.

1) Площадь S правильного n-уголъника, описанного около окружности, можно найти, зная периметр Р и радиус г вписанной окружности, по формуле

Соединим центр О правильного многоугольника с его вершинами (рис. 85, а). Тогда многоугольник разбивается на n равных треугольников, площадь каждого из которых равна Следовательно,

Что и требовалось доказать.

2) Длину стороны правильного n-угольника можно найти, зная радиус г вписанной окружности, по формуле
Соединим центр многоугольника с вершинами и проведем высоту OF равнобедренного треугольника (рис. 85, б). Так как многоугольник правильный, то в равнобедренном треугольнике высота OF, проведенная к основанию, является биссектрисой, следовательно, Таким образом,

Что и требовалось доказать.
Так как, то площадь S =

3) Длину стороны аn правильного n-угольника можно найти, зная радиус R описанной окружности, по формуле

Пусть OF — высота равнобедренного треугольника (рис. 86, а). ТогдаВ прямоугольном треугольнике Таким образом,

Что и требовалось доказать.

Для правильного треугольника (n = 3), квадрата (n = 4) и правильного шестиугольника, (n = 6) получим соответственно формулы:

4) Площадь S правильного п-угольника можно найти, зная радиус R описанной окружности, по формуле

Соединим вершины правильного /i-угольника с его центром (рис 86, б). Тогда многоугольник разобьется на п равных треугольников. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

5) Радиус г вписанной окружности можно найти, зная радиус R описанной окружности, по формуле

В прямоугольном треугольнике

Что и требовалось доказать.

Построение правильных многоугольников

Вопрос о построении правильного треугольника уже рассматривался ранее. Покажем, каким образом можно с помощью циркуля и линейки построить правильный треугольник, вписанный в окружность.

Пример №1

Постройте правильный треугольник, вписанный в данную окружность.

Поиск решения.

Пусть правильный треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке О. Проведем диаметр BF этой окружности, обозначим буквой Т точку пересечения этого диаметра со стороной АС. Тогда положение точки Т на отрезке OF характеризуется равенством ОТ = TF; т. к. центр равностороннего треугольника есть точка пересечения медиан, то Кроме того, Теперь можем осуществить построение (рис. 87, а).

Построение.

1) Проводим диаметр BF окружности и строим точку Т — середину отрезка OF (рис. 87, б).

Строим прямую l, которая проходит через точку Т и перпендикулярна диаметру BF (рис. 87, б).

3) Отметим точки А и С пересечения прямой l с окружностью.

4) Строим отрезки ВА и ВС (рис. 87, в). Треугольник ABC — искомый.

Докажите самостоятельно, что построенный треугольник — правильный.

Пример №2

Постройте правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку а.

Поиск решения.

Пусть ABCDFE — правильный шестиугольник, сторона. которого равна а. Рассмотрим, описанную около этого шестиугольника окружность. Известно, что радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне, т. е. R = АВ = ВС = CD = DF = FE = ЕА = a.(рис. 88). Этим можем воспользоваться для построения шестиугольника.

Построение.

1) Строим окружность с центром О и радиуса а.

2) Выбираем на этой окружности произвольную точку А и строим окружность Отметим точки В и Е пересечения окружности, с окружностью (рис. 88, б).

3) Далее строим точку С, которая является одной из точек пересечения окружности и окружности Аналогично строим точки D и F. Шестиугольник ABCDFE — искомый (рис. 88, в).

Заметим, что результат задачи 1 позволяет построить правильный шестиугольник, если построен правильный треугольник.

Понятие длины окружности

Рассмотрим вопрос о вычислении длины окружности. Пусть в окружность вписан правильный n-угольник. Если число n сторон правильного « угольника, вписанного в окружность, неограниченно возрастает, то геометрическая фигура, образованная его сторонами, все меньше и меньше отличается от окружности (рис. 93, а, б, в). В вузовском курсе математического анализа устанавливается, что существует число, к которому стремятся периметры Р„ правильных n-угольников, вписанных в окружность, при неограниченном возрастании числа их сторон. Это число называется длиной окружности. Таким образом, за длину окружности принимается число, к которому стремятся периметры вписанных в окружность правильных n-угольников при неограниченном увеличении числа их сторон.

Длина окружности зависит от ее радиуса, окружность большего радиуса имеет большую длину. Вместе с тем можно доказать, что отношение длины окружности к ее диаметру есть число постоянное.

2. Теорема об отношении длины окружности к ее диаметру. Докажем теорему, которая характеризует отношение длины окружности к ее диаметру.

Теорема (об отношении длины окружности к ее диаметру).

Отношение длины окружности к ее диаметру есть число постоянное для всех окружностей.

Дано: окружности, соответственно длины этих окружностей. Доказать:

Доказательство.

1) Впишем в каждую из окружностей правильные n-угольники. Пусть длины— стороны этих многоугольников,— соответственно их периметры (рис. 94, а, б).

2) Теперь воспользуемся формулой, которой выражается длина стороны правильного п-угольника через радиус описанной окружности. Учитывая эту формулу (глава 3, § 1, п. 3), можем записать равенства . Следовательно, верно равенство

3) Это равенство верно при любом значении n. Будем неограниченно увеличивать число n, тогда периметр первого многоугольника стремится к длине С первой окружности, а периметрвторого многоугольника стремится к длине второй окружности, т. е. стремится к

4) Таким образом, Отсюда следует, что

Значит, отношение длины окружности к ее диаметру одно и то же для всех окружностей.

Теорема доказана.

Число, равное отношению длины окружности к ее диаметру, обозначается строчной греческой буквой (читается «пи»). Доказано, что число — иррациональное, то есть выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Приближенное значение числа л с точностью до восьми знаков после запятой такое: При решении задач в школьной практике пользуются приближенным значением числа с точностью до сотых:

Длина дуги окружности

Для нахождения формулы длины окружности воспользуемся равенством Отсюда следует, что длину окружности радиуса R можно найти по формулеили по формуле где D — диаметр окружности.

Теперь выведем формулу для вычисления длины I дуги окружности, градусная мера которой равна а. Пусть данная дуга является дугой окружности радиуса R. Так как длина всей окружности равна, то длина дуги в 1° равна

. Так как градусная мера дуги равна а, то длина I этой дуги выражается:

Пример №3

Точки F, Т и К — середины сторон равностороннего треугольника ABC. Найдите длину окружности, вписанной в треугольник FT К, если длина стороны треугольника ABC равна а.

Дано:

Найти: длину окружности, вписанной в треугольник

Решение:

Для нахождения длины окружности можем воспользоваться формулой где г — радиус окружности, вписанной в треугольник FTK. Для нахождения радиуса г воспользуемся тем, что треугольник FTK также является равносторонним.

1) Пусть точка О — центр окружности, вписанной в треугольник FTK, а Е — точка касания окружности и стороны FT (рис. 95, а, б).

2) Треугольник FTK является равносторонним, так как Треугольник ТЕО — прямоугольный, так как отрезок ОЕ — радиус, проведенный в точку касания, луч ОТ — биссектриса угла ЕТК).

3) В прямоугольном треугольнике . Так как

Заметим, что радиус г можно найти и другим способом, воспользовавшись тем, что треугольник FT К подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия

Таким образом, длина окружности

Пример №4

Основанием прямой четырехугольной призмы является квадрат. Вычислите длину окружности, описанной около боковой грани призмы, если длина окружности, описанной около основания призмы, равна 871 см, а боковое ребро в два раза больше стороны основания призмы.

Решение:

Длину С окружности можно найти по формуле где R — радиус окружности. Данная призма является прямой, и ее основаниями служат квадраты, следовательно, все боковые грани — равные между собой прямоугольники. Диагональ грани равна диаметру описанной около него окружности, т. е. (рис. 96, а, б, в).

1) По условию длина окружности, описанной около квадрата ABCD, равна 8л см. Диаметр окружности равен диагонали АС, таким образом,Отсюда АС = 8 см.

2) Так как четырехугольник ABCD — квадрат, то Следовательно,

3) По условию В прямоугольном треугольнике Диаметр окружности, описанной около грани , равен , т. е. Теперь вычислим длину окружности, описанной около боковой грани Ответ:

Радианная мера угла

Ранее была определена единица измерения углов — градус. Наряду с ней используется единица измерения углов, которая называется радианом.

Углом в один радиан называется центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

Радианная мера угла — это величина угла, выраженная в радианах.

Установим связь между радианной и градусной мерой угла. Углу, градусная мера которого равна 180°, соответствует полуокружность, длина I которой равна т. е.. Для нахождения радианной меры этого угла надо длину этой дуги разделить на радиус, т. е.Следовательно, радианная мера развернутого угла равна л, т. е. 180° = рад. Таким образом, радианная мера угла в 1°

равнаПри записи используется сокращенное обозначение радиана — «рад». Из равенства следует, что градусная мера

угла в 1 радиан равна Приближенно 1 радиан равен 57°.Из определения радиана следует, что длина I дуги окружности радиуса R, соответствующей центральному углу в х радиан, равна Rx.

Рассмотрим примеры перехода от радианной меры к градусной и от градусной меры к радианной.

Пример №5

Вычислите градусную меру угла 3 рад.

Решение:

Так как

Пример №6

Вычислите радианную меру угла 30°.

Решение:

Так как

При записи радианной меры угла обозначение рад можно

опускать. Например, вместо запишем

Площадь круга

Рассмотрим вопрос о вычислении площади круга. Пусть в окружность, ограничивающую круг, вписан правильный n-угольник. Если число n сторон правильного n-угольника, вписанного в окружность, неограниченно возрастает, то многоугольник все меньше и меньше отличается от круга (рис. 100, а, б). Из результатов, доказывемых в вузовском курсе математического анализа, следует, что существует число, к которому стремятся площади S,, правильных п-угольников, вписанных в окружность, при неограниченном возрастании числа их сторон. Это число называется площадью круга. Таким образом, за площадь круга принимается число, к которому стремятся площади вписанных в окружность, ограничивающую этот круг, правильных n-угольников при неограниченном увеличении числа их сторон.

Теперь докажем следующую теорему.

Теорема (о площади круга). Площадь S круга радиуса R можно вычислить по формуле

1) Пусть дан круг радиуса R и правильный n-угольник вписанный в окружность, которая ограничивает этот круг. На рисунке 100, в дано изображение для случая n = 6. Если — периметр вписанного многоугольника, а г„ — радиус вписанной в него окружности, то S„ — площадь этого многоугольника, которая находится по формуле

2) При неограниченном увеличении числа n сторон n-угольника радиус вписанной окружности стремится к R. Действительно, так как, то при неограниченном увеличении числа сторон n число стремится к нулю, а значит, стремится к единице, т. е. стремится к R. Кроме того, периметр стремится к длине окружности, равной , а площадь стремится к площади S круга. Таким образом, площадь круга

Теорема доказана.

Площадь сектора

Рассмотрим вопрос о вычислении площади части круга, которая называется сектором.

Определение. Сектором называется часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Дуга окружности, ограничивающая сектор, называется дугой сектора.

Например, на рисунке 101, а изображены два сектора, дугами которых служат дуги АТ В и AFB. На рисунке 101, б изображены круг, который касается всех сторон треугольника, и два сектора, ограниченные радиусами, проведенными в точки касания, и соответствующими дугами окружности.

Выведем формулу для вычисления площади S сектора радиуса R, градусная мера дуги которого равна а. Площадь круга радиуса R равна. Следовательно, площадь сектора, ограниченного дугой, градусная мера которой 1°, равна

Значит, площадь сектора, ограниченного дугой, градусная мера которой равна а градусов, можно найти по формуле

Например, если ABC — равносторонний треугольник, вписанный в круг радиуса R, а точка О — его центр, тогда площадь сектора, ограниченного радиусами ОА, ОБ и дугой AFB, равна

Площадь сегмента

Рассмотрим формулу для нахождения площади фигуры, которая называется сегментом.

Определение. Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы дуги.

Дуга окружности, ограничивающая сегмент, называется дугой сегмента, а ограничивающая его хорда называется основанием сегмента.

На рисунке 102, а изображены два сегмента, ограниченные хордой АВ и дугами AFB и АТ В. Хорда АВ является основанием для каждого из этих сегментов.

На рисунке 102, б изображены сегменты, ограниченные стороной CD вписанного квадрата и соответствующими дугами окружности.

Выведем формулу для вычисления площади сегмента. Рассмотрим два случая: 1) градусная мера дуги сегмента меньше 180°; 2) градусная мера дуги сегмента больше 180°.
1) Пусть градусная мера дуги АnВ сегмента равна а (рис. 103, а). Тогда площадь этого сегмента равна разности площади сектора, ограниченного этой дугой и радиусами ОА, ОВ, и площади треугольника АОВ, т. е.

2) Пусть градусная мера дуги АmВ равна а (а > 180°) (рис. 103, б). Тогда площадь этого сегмента равна сумме площади сектора, ограниченного этой дугой и радиусами ОА,OB и площади треугольника, т. е.
Заметим, что площадь этого сегмента можно найти так же, как разность между площадью круга и площадью сегмента с тем же основанием и дугой, градусная мера которой равна

Пусть равносторонний треугольник ABC вписан в крут радиуса R, а точка О — его центр (рис. 103, в). Тогда площадь меньшего сегмента, основанием которого служит сторона АВ треугольника, равна

Пример №7

Диагональ BD равнобедренной трапеции ABCD перпендикулярна боковой стороне, а площадь круга, вписанного в треугольник ABD, равнаВычислите длину окружности, описанной около трапеции, если площадь треугольника ABD равна (рис. 104).

Решение:

Длину С окружности, описанной около трапеции ABCD, можно найти по формуле По условию задачи окружность, описанная около трапеции, описана около прямоугольного треугольника ABD. Следовательно, основание AD трапеции является диаметром окружности, т. е. , а значит,

1) Пусть г — радиус круга, вписанного в треугольник ABD. Так как площадь этого круга равна то из уравнения

2) Площадь , прямоугольного треугольника ABD найдем по формулегде г — радиус вписанного круга, р — полупериметр треугольника ABD. По условию задачи следовательно, из уравнения 24 = 2р получим р = 12 см.

3) Для нахождения длины отрезка AD воспользуемся формулой r=p -AD. Отсюда AD =р — г = 12 — 2 = 10 (см).

4) Теперь длина окружности

Ответ:

Пример №8

Основанием прямой треугольной призмы является равносторонний треугольник ABC. Вычислите длину окружности, описанной около боковой грани призмы, если площадь круга, вписанного в основание, равна , а все ребра призмы равны между собой (рис. 105, а).

Решение:

По условию задачи каждая боковая грань призмы является квадратом. Длину окружности, описанной около квадрата, можно вычислить по формуле Для нахождения длины стороны АВ можем воспользоваться тем, что по условию задачи известна площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник ABC (рис. 105, б).

1) Пусть точка О — центр круга, вписанного в равносторонний треугольник ABC, тогда АВ = 2АТ.

2) Так как площадь круга, вписанного в треугольник ABC, равна, то из уравнения найдем ОТ = = 3 см.

3) В прямоугольном треугольнике, следовательно,

4) Теперь вычислим длину С окружности, описанной около грани

Ответ:

Правильные многоугольники с примерами

Определение. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунке 198 изображены правильные треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник. Правильный треугольник — это равносторонний треугольник, а правильный четырехугольник — это квадрат.

Одной из простейших задач является задача нахождения величины внутреннего угла правильного многоугольника. Так как все углы правильного -угольника равны между собой, а сумма углов любого -угольника равна то угол правильного -угольника можно найти по формуле

Например, для правильного шестиугольника

Теорема. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, в любой правильный многоугольник можно вписать окружность; центры этих окружностей совпадают.

Доказательство:

В правильном многоугольнике проведем биссектрисы внутренних углов и Пусть О — точка пересечения этих биссектрис (рис. 199). Так как как половины равных углов, то — равнобедренный с основанием Проведя отрезок получим равный по двум сторонам и углу между ними (сторона — общая, ).

Соединив точку О отрезками с остальными вершинами, получим множество равных равнобедренных треугольников. Отсюда

Поэтому окружность с центром О и радиусом пройдет через все вершины многоугольника т. е. будет его описанной окружностью.

А поскольку высоты указанных равных равнобедренных треугольников, проведенные к их основаниям, равны, т. е. то точка О — также и центр вписанной окружности многоугольника радиус которой . Теорема доказана.

Точка О называется центром правильного -угольника.

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника

Пусть — правильный -угольник со стороной , где О — его центр, — радиус описанной окружности, — радиус вписанной окружности (рис. 202).

Так как а высота ОН равнобедренного треугольника является биссектрисой и медианой, то угол Из прямоугольного треугольника находим:

а) откуда

б) откуда

Замечание. Выведенные формулы запоминать не обязательно. Важно помнить способ их получения: решение прямоугольного треугольника

Примеры:

1) Для правильного треугольника (рис. 203) получим:

откуда

или или

2) Для правильного четырехугольника (рис. 204) получим:

откуда

или или

3) Для правильного шестиугольника (рис. 205)

или

Полезно запомнить формулы, выражающие сторону правильного -угольника через радиус R описанной окружности при = 3, 4, 6:

Для нахождения площади правильного -угольника с центром О и радиусом R описанной окружности можно найти площадь треугольника по формуле и умножить ее на число таких треугольников, т. е. на

Пример:

Для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник, можно использовать формулу площади описанного многоугольника

Правильный треугольник

Обобщим информацию о правильном (равностороннем) треугольнике.
Запишем формулы высоты площади радиуса R описанной и радиуса вписанной окружностей правильного треугольника АВС со стороной (рис. 209):

Из где , следует, что

При заданной стороне правильного треугольника его можно построить при помощи циркуля и линейки, используя алгоритм построения треугольника по трем сторонам.

Так как Для построения описанной и вписанной оружностей правильного треугольника достаточно по- строить его медианы (высоты), точка пересечения которых будет центром искомых окружностей.

Правильный четырехугольник

Пусть сторона квадрата ABCD равна — радиус описанной, — радиус вписанной окружности (рис. 210). Диаметр его описанной окружности равен диагонали АС. В свою очередь, откуда или Из равнобедренного прямоугольного треугольника также следует, что
Диаметр КН окружности, вписанной в квадрат, равен длине стороны квадрата, т. е. КН = АВ = а, откуда [ Из прямоугольного равнобедренного треугольника АОН также следует,
что

Для построения квадрата, вписанного в данную окружность с заданным центром, можно построить две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через центр окружности (рис. 211). Эти прямые пересекут окружность в вершинах квадрата. Обоснуйте это утверждение. Выполните указанное построение при помощи чертежного треугольника.

Правильный шестиугольник

Рассмотрим правильный 6-угольник ABCDEF со стороной вписанный в окружность с центром О и радиусом R (рис. 212). Его внутренние углы равны по 120°. Треугольник AOF равнобедренный,
так как ОА = OF = R, Поэтому — равносторонний, откуда

Так как радиус вписанной окружности является высотой равностороннего треугольника со стороной а, то

Поскольку то большая (главная) диагональ BE правильного шестиугольника проходит через его центр О, а все три большие диагонали AD, BE и CF разбивают его на шесть равных равносторонних треугольников. Площадь правильного шестиугольника

Меньшая (малая) диагональ BD правильного шестиугольника является диагональю ромба BCDO (ВС = CD = DO = ВО — а) с углами, равными 60° и 120°. Откуда Треугольник BDE является прямоугольным ( как опирающийся на диаметр),
Кроме того, а расстояния между указанными парами параллельных прямых равны Докажите это самостоятельно.
Построим при помощи циркуля и линейки правильный шестиугольник, вписанный в данную окружность с радиусом R (рис. 213, а). Воспользуемся тем, что а = R, где а — сторона правильного шестиугольника.

Одну вершину шестиугольника берем на окружности произвольно. Из нее как из центра радиусом, равным радиусу R, делаем засечку на окружности и получаем вершину Затем аналогично последовательно строим остальные вершины: — и соединяем их отрезками. Из равенства равносторонних треугольников (

) следует равенство углов построенного шестиугольника откуда заключаем, что он — правильный.
Для построения правильного треугольника, вписанного в данную окружность, достаточно соединить отрезками через одну вершины правильного вписанного шестиугольника (рис. 213, б). Для построения правильного 12-угольника следует разделить дуги пополам (построив серединные перпендикуляры к сторонам правильного шестиугольника) и каждую из точек деления соединить отрезками с концами соответствующей стороны.
Применяя указанный способ деления дуг пополам, можно с помощью циркуля и линейки построить множество правильных многоугольников.
Так, из правильного 4-угольника можно построить правильный 8-угольник, 16-угольник, и вообще любой правильный -угольник, где — целое число, большее двух.

Пример №9

В окружности с центром О проведен диаметр BD, через середину радиуса OD проведена хорда АС, перпендикулярная диаметру BD (рис. 214). Доказать, что — правильный.

Доказательство:

Так как то в прямоугольном треугольнике . В равнобедренном треугольнике Вписанный угол АВС равен половине центрального угла АОС, т. е. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
Поэтому АК = КС. Так как в треугольнике АВС высота ВК является и медианой, то он — равнобедренный, АВ = ВС. Отсюда — равносторонний, т. е. правильный. Что и требовалось доказать.
Замечание. Из задачи следует второй способ построения правильного треугольника, вписанного в окружность: строится диаметр BD, через середину радиуса OD проводится хорда АС, перпендикулярная диаметру. Треугольник АВС — правильный.

Пример №10

Дан правильный шестиугольник ABCDEF, диагональ АС равна Найти площадь шестиугольника (рис. 215).

Решение:

Вписанный угол ACD опирается на диаметр АО, поэтому он прямой. Из прямоугольного треугольника

Ответ:

Нахождение длины окружности и площади круга

Длину окружности, сделанной из гибкой проволоки, можно измерить, если проволоку распрямить в отрезок. Еще древние заметили, что отношение длины любой окружности к ее диаметру есть величина постоянная: длина окружности примерно в 3 раза больше диаметра. Вы можете убедиться в этом при помощи нитки и линейки, используя в качестве окружности верхнюю кромку чашки (рис. 224).

Понятно, что периметр правильного многоугольника, вписанного в окружность, будет стремиться к длине окружности при неограниченном увеличении числа его сторон, а площадь этого многоугольника — к площади круга, ограниченного данной окружностью (рис. 225).

Используя этот факт, выведем уже известные вам формулы длины окружности и площади круга где R — радиус окружности и круга.
Вначале покажем, что отношение длины любой окружности С к ее диаметру D = 2R есть величина постоянная. Для этого рассмотрим две окружности и два правильных вписанных в них многоугольника с одинаковым числом сторон где — сторона первого, — сторона второго многоугольника, — их соответствующие периметры, — длина первой, а — длина второй описанной окружности (рис. 226).

Найдем отношение указанных периметров:

При неограниченном увеличении числа периметр устремится к периметр -к , а отношение — к отношению и тогда
Отсюда следует, что отношение длины окружности к ее диаметру, т. е. . величина постоянная для любой окружности.
Это отношение обозначается буквой Так как то длина окружности Таким образом, нами доказана следующая теорема.

Теорема. Длина окружности радиуса R находится по формуле

Интересно знать. Число 3,1415… — иррациональное и в десятичном виде представляет собой бесконечную непериодическую дробь. Оно было известно уже древним грекам. Еще Архимед нашел дробь довольно точно приближающую число Мы же для приближенных вычислений будем пользоваться в основном значением
А теперь выведем формулу площади круга.

Теорема. Площадь круга радиуса R находится по формуле

Доказательство:

Рассмотрим некоторую окружность радиуса R и вписанный в нее правильный -угольник (рис. 227), площадь которого где Р — его периметр, — радиус вписанной окружности. При неограниченном увеличении числа площадь правильного -угольника устремится к площади круга радиуса R, периметр Р — к длине С описанной окружности, а радиус — к радиусу R (поскольку угол р устремится к нулю).
Тогда устремится к то есть к что равно откуда
Теорема доказана.

Длина дуги окружности и площадь сектора круга

Поскольку длина окружности а ее градусная мера равна 360°, то длина дуги, содержащей 1°, равна Тогда длина дуги, содержащей (рис. 228), равна

Напомним, что сектором называется часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, соединяющей концы радиусов (рис. 229). Радиус круга называется радиусом сектора, указанная дуга — дугой сектора, центральный угол между радиусами, ограничивающими сектор, — углом сектора.
Так как площадь круга то площадь сектора с углом в 1° равна , а с углом в градусов —
Заметим, что т. е. площадь сектора равна половине произведения длины дуги сектора на его радиус.

Пример №11

Пусть дана дуга окружности с радиусом 9 см, содержащая 30° (рис. 230, а). Найдем длину дуги:

Пример №12

Пусть угол сектора содержит 45°, а радиус равен 6 см (рис. 230, б). Найдем площадь сектора:

Замечание. При вычислении длины дуги (площади сектора) допустимы обе следующие записи:

Длина дуги и площадь сектора прямо пропорциональны градусной мере дуги и угла сектора. Поэтому длина дуги так относится к длине окружности, как градусная мера дуги относится к градусной мере окружности.
Площадь сектора так относится к площади круга, как градусная мера угла сектора относится к градусной мере полного угла, т. е. справедливы пропорции:

Замечание. В третьей пропорции — это длина дуги сектора.
Данные пропорции также позволяют находить длину дуги и площадь сектора. Так, если длина окружности равна 10 см, а градусная мера ее дуги откуда длина данной дуги
А если площадь круга равна 12 см² и угол сектора равен 80°, откуда площадь данного сектора

Пример №13

Дан сектор АОВ (рис. 231), радиус которого равен 6, а площадь — . Найти длину дуги этого сектора. Ответ округлить до 0,1.

Решение:

Способ 1. Пусть откуда Так как по условию то откуда Найдем длину дуги

Способ 2. Воспользуемся пропорцией

Тогда

Способ 3. Так как

Ответ: 3,1.

Пример №14

Найти площадь сегмента круга, радиус которого равен 12, если градусная мера дуги этого сегмента равна 120°.

Решение:

Напомним, что сегментом называется часть круга, ограниченная хордой и дугой окружности, которая соединяет концы этой хорды.
Пусть О — центр данной окружности, (рис. 232). Тогда Площадь сегмента АМВ равна разности площади сектора АОВМ и площади равнобедренного треугольника АОВ.
Так как площадь сектора

а площадь треугольника

то площадь сегмента
Ответ:
Замечание. Площадь сегмента АКВ (см. рис. 232) можно найти как сумму площадей сектора ОАКВ и треугольника АОВ, либо как разность площади круга и площади сегмента АМВ.

Интересно знать. В 1987 г. был учрежден неофициальный праздник — день числа который отмечают любители математики 14 марта (3-й месяц, 14-е число).
Долгое время математики старались найти как можно большее число знаков числа после запятой.
Легко запомнить двенадцать первых знаков числа 3,14159265358… при помощи следующей считалки: «Это я знаю и помню прекрасно, но многие цифры мне лишни, напрасны», — в которой количество букв в каждом слове означает очередную цифру числа «это» — 3, «я» — 1, «знаю» — 4 и т. д.

Луночки Гиппократа

Луночками Гиппократа называют серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей.

Пример №15

На отрезках АВ, AM и МВ построены полукруги с центрами в точках (рис. 249). Найти площадь закрашенной части большого полукруга.

Решение:

Площадь закрашенной фигуры равна разности площадей полукруга с диаметром АВ = 2R и двух полукругов с диаметрами и т. е.

Так как как вписанный угол, опирающийся на диаметр АВ, то NM — высота прямоугольного треугольника ANB, проведенная к гипотенузе. А высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, это среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, т. е. Следовательно,
Ответ: 25л.

Золотое сечение

«Золотое сечение», или «божественная пропорция», — так называют математики деление отрезка некоторой точкой на части так, что больший из полученных отрезков является средним пропорциональным (средним геометрическим) между меньшим отрезком и целым. Другими словами, больший отрезок должен так относиться к меньшему, как целый отрезок относится к большему. Если на отрезке АВ отмечена точка М и то отрезок AM — среднее пропорциональное отрезков АВ и МВ. Поэтому точка М делит отрезок АВ в отношении золотого сечения.
Пусть (рис. 251).
Тогда откуда Учитывая, что получим

Таким образом, больший отрезок AM составляет приблизительно 62 %, а меньший отрезок МВ — приблизительно 38 % всего отрезка АВ.
Число — считается отношением золотого сечения. Оно примерно равно отношению 8 : 5 (рис. 252).

Золотое сечение обладает определенной гармонией, которую человек находит прекрасной. Многие художественные, музыкальные, поэтические произведения, шедевры архитектуры содержат в своей структуре золотое сечение. Опытным путем установлено, что оптимальным человеку кажется прямоугольник, длина и ширина которого находятся в отношении золотого сечения. Физиологи объясняют это тем, что поле зрения человека, т. е. та часть окружающего мира, которую видит человек, представляет собой прямоугольник со сторонами, находящимися в отношении золотого сечения.

Известно, например, что в знаменитой скульптуре Венеры Милосской (рис. 253) — эталоне женской красоты — талия делит фигуру в отношении золотого сечения.
Примечателен один исторический факт. Когда информация о Венере Милосской и золотом сечении была опубликована в одном из популярных журналов начала XX в., то в магазинах поблизости женских гимназий вдруг исчезли портняжные метры. Их раскупили девушки гимназистки, чтобы проверить, насколько их фигура близка к идеалу и какой высоты каблук следует носить, чтобы к нему приблизиться.

Покажем способ деления отрезка в отношении золотого сечения при помощи циркуля и линейки. Пусть дан отрезок, равный Построим прямоугольный треугольник АВС с катетами и (рис. 254). На гипотенузе АВ отложим отрезок ВК, равный отрезку ВС. Затем на катете АС отложим отрезок AM, равный отрезку АК.
Точка М делит отрезок АС в отношении золотого сечения, т. е. Убедитесь в этом самостоятельно.

Построение правильного пятиугольника

С давних времен построению правильных многоугольников при помощи циркуля и линейки математики уделяли большое внимание. Древние греки умели строить правильные треугольники, четырехугольники, пятиугольники, а также правильные многоугольники, получаемые удвоением числа их сторон: 6-угольники, 8-угольники, 10-угольники и т. д. Далее дело зашло в тупик: они не могли найти способ построения правильных 7-угольников, 9-угольников, 11-угольников. И только 2000 лет спустя великий немецкий математик XVII в. Карл Гаусс решил эту математическую проблему. Будучи 19-летним юношей, он доказал, что можно построить правильный 17-угольник, а вот 7-угольник, 9-угольник, 11-угольник, 13-угольник циркулем и линейкой построить нельзя. Задача о построении правильного 17-угольника была его первым научным открытием. Несмотря на выдающиеся достижения Гаусса в области математики, этой пер вой своей решенной проблеме он придавал такое значение, что в конце жизни завещал изобразить на могильном камне правильный 17-угольник.

Рассмотрим правильный пятиугольник. Если в нем провести все диагонали (рис. 255), то получится звезда (звездчатый пятиугольник). Звезда была символом школы Пифагора. Замечательно то, что точки пересечения диагоналей пятиугольника делят их в отношении золотого сечения:Докажем это.

Так как — равные равнобедренные треугольники (рис. 256), то Поскольку (докажите самостоятельно), то AMDE — параллелограмм, поэтому
Но ВС = ED = х как стороны пятиугольника. Из подобия треугольников АВС и ВМС (по двум углам) следует или Следовательно, точка М делит отрезок АС в отношении золотого сечения.
Рассмотрим задачу о построении правильного пятиугольника при помощи циркуля и линейки. Для построения правильного пятиугольника можно взять произвольный отрезок равный диагонали правильного пятиугольника, и разделить его в отношении золотого сечения. Получив отрезок который равен стороне правильного пятиугольника, можно легко построить правильный пятиугольник. Продолжите построение сами.

Задача о построении правильного пятиугольника равносильна построению углов, равных 36°, 72°, 108°, а также построению равнобедренного треугольника, биссектриса угла при основании которого разбивает данный треугольник на два равнобедренных. Пусть в треугольнике АВС (рис. 257) — биссектриса и АВ = ВС = 1. Обозначим АС = АК = КВ = х, КС = 1 — х. Из свойства биссектрисы вытекает откуда Таким образом, точка К делит отрезок ВС в отношении золотого сечения. Из треугольника АВС по теореме косинусов

Отметим, что сторона АС треугольника АВС является стороной правильного десятиугольника, вписанного в окружность с радиусом, равным АВ.

Справочный материал по правильным многоугольникам

В этом параграфе вы узнаете, какие многоугольники называют правильными. Изучите свойства правильных многоугольников. Узнаете, как с помощью циркуля и линейки строить некоторые из них.

Научитесь находить радиусы вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника, длину дуги окружности, площади сектора и сегмента круга.

Правильные многоугольники и их свойства

Определение. Многоугольник называют правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

С некоторыми правильными многоугольниками вы уже знакомы: равносторонний треугольник — это правильный треугольник, квадрат — это правильный четырехугольник. На рисунке 6.1 изображены правильные пятиугольник и восьмиугольник.

Ознакомимся с некоторыми свойствами, которыми обладают все правильные -угольники.

Теорема 6.1. Правильный многоугольник является выпуклым многоугольником.

С доказательством этой теоремы вы можете ознакомиться на с. 61-62.

Каждый угол правильного -угольника равен Действительно, поскольку сумма углов выпуклого -угольника равна и все углы равны, то каждый из них равен

В правильном треугольнике существует точка, равноудаленная от всех его вершин и от всех его сторон. Это точка пересечения биссектрис правильного треугольника. Точка пересечения диагоналей квадрата также обладает аналогичным свойством. То, что в любом правильном многоугольнике существует точка, равноудаленная от всех его вершин и от всех его сторон, подтверждает следующая теорема.

Теорема 6.2. Любой правильный многоугольник является как вписанным в окружность, так и описанным около окружности, причем центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Доказательство: На рисунке 6.2 изображен правильный -угольник Докажем, что в него можно вписать и около него можно описать окружности.

Проведем биссектрисы углов Пусть — точка их пересечения. Соединим точки Поскольку в треугольниках и углы 2 и 3 равны, — общая сторона, то эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. Кроме того, углы 1 и 2 равны как половины равных углов. Отсюда треугольник — равнобедренный, следовательно, равнобедренным является треугольник Поэтому

Соединяя точку с вершинами аналогично можно показать, что

Таким образом, для многоугольника существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Это точка — центр описанной окружности.

Поскольку равнобедренные треугольники равны, то равны и их высоты, проведенные из вершины Отсюда делаем вывод: точка равноудалена от всех сторон многоугольника. Следовательно, точка — центр вписанной окружности.

Точку, которая является центром описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника, называют центром правильного многоугольника.

На рисунке 6.3 изображен фрагмент правильного -угольника с центром и стороной длину которой обозначим Угол называют центральным углом правильного многоугольника. Понятно, что

В равнобедренном треугольнике проведем высоту Тогда Из треугольника получаем, что

Отрезки — радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей правильного -угольника. Если длины этих радиусов обозначить соответственно, то полученные результаты можно записать в виде формул:

Подставив в эти формулы вместо числа 3, 4, 6, получим формулы для нахождения радиусов описанной и вписанной окружностей для правильных треугольника, четырехугольника и шестиугольника со стороной

Из полученных результатов следует, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу его описанной окружности. Отсюда получаем алгоритм построения правильного шестиугольника: от произвольной точки окружности надо последовательно откладывать хорды, равные радиусу (рис. 6.4). Таким образом получаем вершины правильного шестиугольника.

Соединив через одну вершины правильного шестиугольника, получим правильный треугольник (рис. 6.5).

Для построения правильного четырехугольника достаточно в окружности провести два перпендикулярных диаметра (рис. 6.6). Тогда четырехугольник — квадрат (докажите это самостоятельно).

Если уже построен правильный -угольник, то легко построить правильный -угольник. Для этого надо найти середины всех сторон -угольника и провести радиусы описанной окружности через полученные точки. Тогда концы радиусов и вершины данного -угольника будут вершинами правильного -угольника. На рисунках 6.7 и 6.8 показано построение правильных 8-угольника и 12-угольника.

Пример №16

Существует ли правильный многоугольник, угол которого равен: В случае утвердительного ответа укажите вид многоугольника.

Решение:

1) Пусть — количество сторон искомого правильного многоугольника. С одной стороны, сумма его углов равна

С другой стороны, эта сумма равна Следовательно, Поскольку должно быть натуральным числом, то такого правильного многоугольника не существует.

2) Имеем:

Ответ: 1) не существует; 2) существует, это — стодвадцатиугольник.

Пример №17

В окружность вписан правильный треугольник со стороной 18 см. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.

Решение:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, вычисляют по формуле где — длина стороны треугольника (рис. 6.9). Следовательно,

(см)

По условию радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника, то есть см. Поскольку — длина стороны правильного шестиугольника, то

Ответ: 12 см.

О построении правильных n-угольников

Докажем, что любой правильный -угольник является выпуклым многоугольником. Для этого достаточно показать, что в любом многоугольнике есть хотя бы один угол, меньший Тогда из того, что в правильном -угольнике все углы равны, будет следовать, что каждый из них меньше то есть многоугольник будет выпуклым.

Рассмотрим произвольный многоугольник и прямую не имеющую с ним общих точек (рис. 6.11). Из каждой вершины многоугольника опустим перпендикуляр на прямую

Сравнив длины этих перпендикуляров, мы сможем выбрать вершину многоугольника, наименее удаленную от прямой (если таких вершин несколько, то выберем любую из них). Пусть этим свойством обладает вершина (рис. 6.11). Через точку проведем прямую параллельную прямой Тогда угол многоугольника лежит в одной полуплоскости относительно прямой Следовательно,

Вы умеете с помощью циркуля и линейки строить правильный 4-угольник, а следовательно, и 8-угольник, 16-угольник, 32-угольник, то есть любой -угольник ( — натуральное число, Умение строить правильный треугольник позволяет построить следующую цепочку из правильных многоугольников: 6-угольник, 12-угольник, 24-угольник и т. д., то есть любой -угольник — натуральное число).

Задачу построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки изучали еще древнегреческие геометры.

В частности, помимо указанных выше многоугольников, они умели строить правильные 5-угольник и 15-угольник — задачи довольно непростые.

Древние ученые, умевшие строить любой из правильных -угольников, где пытались решить эту задачу и для Им это не удалось. Вообще, более двух тысяч лет математики не могли продвинуться в решении этой проблемы. Лишь в 1796 г. великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс смог с помощью циркуля и линейки построить правильный 17-угольник. В 1801 г.

Гаусс доказал, что циркулем и линейкой можно построить правильный -угольник тогда и только тогда, когда — целое неотрицательное число, — разные простые числа вида где — целое неотрицательное число, которые называют простыми числами Ферма Сейчас известны лишь пять простых чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65 537.

Гаусс придавал своему открытию столь большое значение, что завещал изобразить 17-угольник на своем надгробии. На могильной плите Гаусса этого рисунка нет, однако памятник Гауссу в Браун-швейге стоит на семнадцатиугольном постаменте.

Длина окружности. Площадь круга

На рисунке 7.1 изображены правильные 4-угольник, 8-угольник и 16-угольник, вписанные в окружность.

Мы видим, что при увеличении количества сторон правильного -угольника его периметр все меньше и меньше отличается от длины описанной окружности.

Так, для нашего примера можно записать:

При неограниченном увеличении количества сторон правильного многоугольника его периметр будет как угодно мало отличаться от длины окружности. Это означает, что разность можно сделать меньшей, чем, например, и вообще меньшей, чем любое положительное число.

Рассмотрим два правильных -угольника со сторонами вписанных в окружности, радиусы которых равны соответственно (рис. 7.2). Тогда их периметры можно вычислить по формулам

Отсюда

Это равенство справедливо при любом значении — натуральное число, При неограниченном увеличении значения периметры соответственно будут сколь угодно мало отличаться от длин описанных окружностей. Тогда при неограниченном увеличении отношение будет сколь угодно мало отличаться от отношения С учетом равенства приходим к выводу, что число сколь угодно мало отличается от числа

А это возможно только тогда, когда

Последнее равенство означает, что для всех окружностей отношение длины окружности к диаметру является одним и тем же числом.

Из курса математики 6 класса вы знаете, что это число принято обозначать греческой буквой (читают: «пи»).

Из равенства я получаем формулу для вычисления длины окружности:

Число иррациональное, следовательно, его невозможно представить в виде конечной десятичной дроби. Обычно при решении задач в качестве приближенного значения принимают число 3,14.

Великий древнегреческий ученый Архимед (III в. до н. э.), выразив через диаметр описанной окружности периметр правильного 96-угольника, установил, что Отсюда и следует, что

С помощью современных компьютеров и специальных программ можно вычислить число с огромной точностью. Приведем запись числа с 47 цифрами после запятой:

3,14159265358979323846264338327950288419716939937…. В 1989 г. число вычислили с точностью до 1 011 196 691 цифры после запятой. Этот факт был занесен в Книгу рекордов Гиннесса. Само число в книге не приведено, так как для этого понадобилось бы более тысячи страниц. В 2017 г. уже было вычислено более 22 триллионов знаков числа

Найдем формулу для вычисления длины дуги окружности с градусной мерой Поскольку градусная мера всей окружности равна то длина дуги в равна Тогда длину дуги в вычисляют по формуле

Выведем формулу для вычисления площади круга.

Обратимся снова к рисунку 7.1. Видим, что при увеличении количества сторон правильного -угольника его площадь все меньше и меньше отличается от площади круга. При неограниченном увеличении количества сторон его площадь стремится к площади круга.

На рисунке 7.3 изображен фрагмент правильного -угольника с центром в точке со стороной и радиусом описанной окружности, равным Опустим перпендикуляр на сторону Имеем:

Поскольку радиусы, проведенные в вершины правильного -угольника, разбивают его на равных треугольников, то площадь -угольника раз больше площади треугольника Тогда

Отсюда

где — периметр данного правильного -угольника.

При неограниченном увеличении значения величина будет сколь угодно мало отличаться от а следовательно, будет стремиться к 1. Периметр будет стремиться к длине окружности, а площадь — к площади круга. Тогда с учетом равенства можно записать:

Из этого равенства получаем формулу для нахождения площади круга:

На рисунке 7. 4 радиусы делят круг на две части, закрашенные разными цветами. Каждую из этих частей вместе с радиусами называют круговым сектором или просто сектором.

Понятно, что круг радиуса можно разделить на 360 равных секторов, каждый из которых будет содержать дугу в Площадь такого сектора равна.Тогда площадь сектора, содержащего дугу окружности в вычисляют по формуле:

На рисунке 7.5 хорда делит круг на две части, закрашенные разными цветами. Каждую из этих частей вместе с хордой называют круговым сегментом или просто сегментом. Хорду при этом называют основанием сегмента.

Чтобы найти площадь сегмента, закрашенного розовым цветом (рис. 7.6), надо из площади сектора, содержащего хорду вычесть площадь треугольника (точка — центр круга). Чтобы найти площадь сегмента, закрашенного голубым цветом, надо к площади сектора, не содержащего хорду прибавить площадь треугольника

Если хорда является диаметром круга, то она делит круг на два сегмента, которые называют полукругами. Площадь полукруга вычисляют по формуле где — радиус круга.

Пример №18

Длина дуги окружности, радиус которой 25 см, равна см. Найдите градусную меру дуги.

Решение:

Из формулы получаем Следовательно искомая градусная мера

Ответ:

Пример №19

В окружность с центром радиус которой равен 8 см, вписан правильный восьмиугольник (рис. 7.7). Найдите площади сектора и сегмента, содержащих дугу

Решение:

Угол — центральный угол правильного восьмиугольника, поэтому

Тогда искомая площадь сектора равна площадь сегмента:

Ответ:

Справочный материал

Правильный многоугольник

Многоугольник называют правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Свойства правильного многоугольника

Правильный многоугольник является выпуклым многоугольником.

Любой правильный многоугольник является как вписанным в окружность, так и описанным около окружности, причем центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Формулы для нахождения радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника

Длина окружности

Длина дуги окружности в

Площадь круга

Площадь сектора, содержащего дугу окружности в

Построение правильных многоугольников / Длина окружности и площадь круга / Справочник по геометрии 7-9 класс

Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Длина окружности и площадь круга
Построение правильных многоугольников

Задача 1

Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

Дано: отрезок DC.

Построить: правильный шестиугольник, сторона которого равна DC.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся тем, что сторона шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности, т.е. (смотри формулу для вычисления стороны правильного многоугольника), где — радиус окружности описанной около правильного многоугольника. Нам нужно построить правильный шестиугольник со стороной DC, поэтому с помощью циркуля измеряем отрезок DC и строим окружность радиуса DC, и отмечаем на ней произвольную точку А₁, центр окружности обозначаем буквой О.

Затем не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, так, чтобы выполнялись равенства

А₁А₂ = А₂А₃ = А₃А₄ = А₄А₅ = А₅А₆ = DC (т. е. сначала строим окружность радиуса DC с центром в точке А₁(всю окружность строить необязательно, смотри выделенное красным), данная окружность пересечет окружность с центром О в точке А₂, далее аналогично строим окружность радиуса DC с центром в точке А₂, она пересечет окружность с центром О в точке А₃ и т.д.).

Теперь соединяя последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный шестиугольник А₁А₂А₃А₄А₅А₆.

Задача 2

Дан правильный -угольник. Построить правильный 2-угольник.

Дано: правильный -угольник А₁А₂А₃. ..А_n.

Построить: правильный 2-угольник.

Решение:

Пусть, например, нам дан шестиугольник А₁А₂А₃А₄А₅А₆, значит, построить нужно двенадцатиугольник.

Сначала опишем около данного шестиугольника А₁А₂А₃А₄А₅А₆ окружность. Для этого построим биссектрисы углов А₁и А₂. Чтобы построить биссектрису угла А₁, строим окружность произвольного радиуса с центром в точке А₁ (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом), данная окружность пересечет стороны А₁А₂ и А₁А₆ угла А₁ в точках Е и К. Затем строим две окружности с центрами в точках Е и К радиуса ЕК (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом), данные окружности пересекутся в точке Р. Далее проводим луч А₁Р, который и будет биссектрисой угла А₁.

Аналогично строим биссектрису угла А₂.

Точку пересечения биссектрис углов А₁и А₂ обозначаем буквой О и строим окружность радиуса ОА₁ с центром О (окружность описанная около А₁А₂А₃А₄А₅А₆).

Далее нужно каждую из дуг А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄, А₄А₅, А₅А₆, А₆А₁ разделить пополам. Чтобы разделить дугу А₁А₂пополам, построим серединный перпендикуляр к отрезку А₁А₂. Для этого строим две окружности с центрами в точках А₁и А₂ радиуса А₁А₂ (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом). Данные окружности пересекутся в двух точках, одну обозначим буквой М, а другая совпадет с точкой О, т.к. у шестиугольника сторона равна радиусу (с другими многоугольниками совпадения с точкой О не будет) . Затем проводим прямую МО, данная прямая пересечет дугу А₁А₂ в точке В₁, которая и разделит дугу А₁А₂пополам. Далее точку В₁ соединяем с концами А₁и А₂ дуги А₁А₂.

Аналогично находим точки В₂, В₃. Точки В₄, В₅, В₆ в данном случае строить необязательно, они получаются автоматически при построении точек В₁, В₂, В₃, т.к. шестиугольник симметричная фигура.

Получили двенадцатиугольник А₁В₁А₂В₂А₃В₃А₄В₄А₅В₅А₆В₆ (смотри выделенное красным).

Мы выполняли построения на примере правильного шестиугольника, если мы имеем произвольный правильный -угольник, то все построения выполняются аналогично.

Применяя указанный способ, можно с помощью циркуля и линейки построить целый ряд правильных многоугольников, если построен один из них. Например, построив правильный треугольник и пользуясь результатом задачи 2, можно построить правильный шестиугольник, затем правильный двенадцатиугольник и вообще 2^k-угольник, где — любое целое число, больше двух.

Замечание

Не все правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки. Доказано, например, что правильный семиугольник не может быть построен при помощи циркуля и линейки.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Правильный многоугольник

Окружность, описанная около правильного многоугольника

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

Длина окружности

Площадь круга

Площадь кругового сектора

Длина окружности и площадь круга

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1100, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Как построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, с помощью циркуля и линейки или линейки

На этой странице показано, как построить (нарисовать) правильный шестиугольник вписанный в круг с помощью циркуля и линейки или линейки. Это самый большой шестиугольник, который поместится в круг, с каждым вершина касаясь круга. В правильном шестиугольнике длина стороны равна расстоянию от центра до вершины, поэтому мы используем этот факт, чтобы установить циркуль на правильную длину стороны, а затем шагаем по кругу, отмечая вершины.

Печатные пошаговые инструкции

Вышеупомянутая анимация доступна как распечатанная пошаговая инструкция, которую можно использовать для изготовления раздаточных материалов или когда компьютер недоступен.

Объяснение метода

Как видно из определения шестиугольника, каждая сторона правильного шестиугольника равна расстоянию от центра до любой вершины. Эта конструкция просто устанавливает ширину компаса на этот радиус, а затем уменьшает эту длину по кругу. чтобы создать шесть вершин шестиугольника.

Доказательство

Изображение ниже является окончательным рисунком из приведенной выше анимации, но с помеченными вершинами.

	Аргумент	Причина
1	A, B, C, D, E, F лежат на окружности O	По конструкции.
2	АВ = ВС = CD = DE = EF	Все они были нарисованы с одинаковой шириной компаса.
Из (2) видно, что пять сторон равны по длине, но последняя сторона FA циркулем не проведена. Это было «лишнее» пространство, когда мы обошли круг и остановились на F. Итак, мы должны доказать, что оно конгруэнтно остальным пяти сторонам.
3	OAB представляет собой равносторонний треугольник	AB был нарисован с шириной компаса, установленной на OA, и OA = OB (оба радиуса круга).
4	м∠AOB = 60°	Все внутренние углы равностороннего треугольника равны 60°.
5	м∠AOF = 60°	Как и в (4), m∠BOC, m∠COD, m∠DOE, m∠EOF равны &60deg; Поскольку сумма всех центральных углов равна 360°, м∠AOF = 360 — 5(60)
6	Треугольники BOA и AOF конгруэнтны	SAS См. Тест на конгруэнтность, сторона-угол-сторона.
7	АФ = АВ	CPCTC — Соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны
Итак, теперь у нас есть все части, чтобы доказать конструкцию
8	ABCDEF — правильный шестиугольник, вписанный в данную окружность	Из (1) все вершины лежат на окружности Из (20), (7), все стороны имеют одинаковую длину Многоугольник имеет шесть сторон.

— Q.E.D

Попробуйте сами

Нажмите здесь, чтобы распечатать рабочий лист, содержащий две задачи, которые можно попробовать. Когда вы попадете на страницу, используйте команду печати браузера, чтобы распечатать столько, сколько хотите. Распечатанный результат не защищен авторским правом.

Другие страницы по конструкциям на этом сайте

Список рабочих листов по конструкциям для печати

Линии

Введение в конструкции
Скопируйте сегмент линии
Сумма n отрезков
Разница двух отрезков
Биссектриса отрезка
Перпендикуляр в точке на прямой
Перпендикуляр от прямой через точку
Перпендикулярно от конечной точки луча
Разделить отрезок на n равных частей
Параллельная линия через точку (угловая копия)
Параллельная линия через точку (ромб)
Параллельная линия через точку (перемещение)

Углы

Разделение угла пополам
Скопируйте угол
Построить угол 30°
Построить угол 45°
Построение угла 60°
Построить угол 90° (прямой угол)
Сумма n углов
Разность двух углов
Дополнительный уголок
Дополнительный уголок
Построение углов 75° 105° 120° 135° 150° и более

Треугольники

Копия треугольника
Равнобедренный треугольник с основанием и стороной
Равнобедренный треугольник с данными основанием и высотой
Равнобедренный треугольник с катетом и углом при вершине
Равносторонний треугольник
Треугольник 30-60-90 по гипотенузе
Треугольник с 3 сторонами (sss)
Треугольник с одной стороной и прилежащими углами (asa)
Треугольник с двумя углами и не включенной стороной (aas)
Треугольник по двум сторонам и углу между ними (sas)
Медианы треугольника
Средняя часть треугольника
Высота треугольника
Высота треугольника (вне корпуса)

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник с одним катетом и гипотенузой (HL)
Прямоугольный треугольник с учетом обеих сторон (LL)
Прямоугольный треугольник по гипотенузе и одному углу (HA)
Прямоугольный треугольник по одному катету и одному углу (LA)

Центры треугольников

Центры треугольников
Центр окружности треугольника
Ортоцентр треугольника
Центр тяжести треугольника

Окружности, дуги и эллипсы

Нахождение центра окружности
Круг дан 3 очка
Касательная в точке окружности
Касательные через внешнюю точку
Касательные к двум окружностям (внешние)
Касательные к двум окружностям (внутренние)
Вписанная окружность треугольника
Точки фокусировки данного эллипса
Окружность треугольника

Многоугольники

Квадрат с одной стороной
Квадрат, вписанный в круг
Шестигранник с одной стороной
Шестиугольник, вписанный в данную окружность
Пятиугольник вписан в заданный круг

Неевклидовы конструкции

Построение эллипса с помощью нити и булавок
Найдите центр круга с любым прямоугольным объектом

геометрия — Как вычислить радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник?

Спросил 6 лет, 4 месяца назад

Изменено 2 года, 9 месяцев назад

Просмотрено 47 тысяч раз

$\begingroup$

Если я знаю длину одной стороны правильного шестиугольника, по какой формуле можно вычислить радиус круга, вписанного в него?

Иллюстрация:

геометрия
круги

$\endgroup$

$\begingroup$

Обозначьте центр круга. Нарисуйте шесть линий от центра к окружности к вершинам шестиугольника. (Эти линии будут длиннее радиуса.) Это разделит круг на шесть треугольников.

Вопрос к вам: Расскажите мне все, что вы можете об этих треугольниках. В частности, какова длина линий из центра?

Теперь проведите шесть радиусов окружности к шести граням шестиугольника. Вместе с шестью «спицами» вы уже разделили шестиугольник на двенадцать треугольников.

Вопрос к вам: расскажите мне все, что вы можете об этих треугольниках. В частности:

конгруэнтны ли они друг другу?

каковы углы этих треугольников?

Каковы длины сторон этих треугольников?

И отсюда я задам вам два вопроса: Каков радиус круга? и какая формула площади круга. 92$$, так что

$$h=\frac{\sqrt 3}2s.$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Нарисуйте шесть равнобедренных треугольников.

Разделите каждый из этих треугольников на два прямоугольных треугольника.

Тогда у вас есть

$s = 2x = 2 (r \sin \theta)$

где $r$ — радиус окружности, $\theta$ — угол при вершине в прямоугольных треугольниках и всего $12$ этих треугольников, так что легко вычислить $\theta$. $x$ — это короткая сторона в этих прямоугольных треугольниках, а $s$ — это, конечно, внешняя сторона в равнобедренных треугольниках, то есть длина стороны, которую вы говорите, что знаете.

Отсюда формула для радиуса:

$$r = \frac{s}{2 \sin \theta}$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Правильный шестиугольник можно разбить на $6$ равносторонних треугольников. Поскольку вписанный круг касается сторон шестиугольника, мы можем провести высоту от центра круга до длины стороны шестиугольника.

Используя правило $30-60-90$, высота равна $\frac {x\sqrt{3}}{2}$ с шестиугольником со стороной, равной $x$ единицам. 92$), где $r$ — радиус.

$\endgroup$

$\begingroup$

Используя теорему Пифагора, вы можете превратить шестиугольник в 12 треугольников 30-60-90 или 6 равносторонних треугольников

Квадрат гипотенузы - половина квадрата гипотенузы = длина радиуса окружности (в квадрате)

Диаграмма. Красные линии — это гипотенузы, а желтые — радиусы окружности.

$\endgroup$

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

частицу массы m заставили двигаться с равномерной скоростью v по периметру

Мохаммед

Ребят, кто-нибудь знает ответ?

получить частицу массы m заставить двигаться с равномерной скоростью v по периметру от экрана.

Частицу массы m заставили двигаться с равномерной скоростью v0 по периметру правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R . Величина импульса, приложенного к каждому углу шестиугольника, равна

Нажмите здесь👆, чтобы получить ответ на свой вопрос ✍️ Частицу массы m заставили двигаться с равномерной скоростью v0 по периметру правильного шестиугольника, вписанного в окружность. радиуса R . Величина импульса, приложенного к каждому углу шестиугольника, равна

Частицу массы m заставили двигаться с постоянной скоростью v

Вопрос 0

по периметру правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R. Величина импульса, приложенного к каждому углу Гексагон —

A 2 MV

0 SIN 6 π

B MV

0 SIN 6 π

C MV

0 SIN 3 π

0 SIN 3 π

D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D MV

0. 2mv

0 sin 3 π Medium Открыть в приложении 9 ) ∣J∣=mv 0 или ∣J∣=2 mv 0 sin 6 π

Решите любой вопрос о законах движения с помощью: —

Шаблоны задач

Был ли этот ответ полезен ?

13 7

स्रोत : www.toppr.com

Частицу массы m заставили двигаться с постоянной скоростью v(0) по периметру правильного шестиугольника.

Вписан в окружность радиуса. R. Величина импульса, приложенного к каждому углу шестиугольника:

Deltap = 2p «cos» (pi)/(3) = 2mv(0) sin ((pi)/(6))

Home > English > Class 11 > Physics > Chapter > Center Of Mass >

Частицу массы m заставили…

Частицу массы m заставили двигаться с постоянной скоростью

v 0 v0

по периметру правильного шестиугольника. Вписан в окружность радиуса. R. Величина импульса, приложенного к каждому углу шестиугольника: —

Обновлено: 27-06-2022

Получите ответ на любой вопрос, просто нажмите на фотографию и загрузите фотографию и получите ответ совершенно бесплатно,

ЗАГРУЗИТЕ ФОТО И ПОЛУЧИТЕ ОТВЕТ СЕЙЧАС!

Текст Решение Открытый ответ в приложении A 2m v 0 sinπ/6 2mv0sinπ/6 B m v 0 sinπ/6 mv0sinπ/6 C m v 0 sinπ/3 mv0sinπ/3 D 2m v 0 sinπ/3 2mv0sinπ/3 Ответ

правильный ответ A

решение

Δp=2pcos π 3 =2m v 0 sin( π 6 )

Δp=2pcosπ3=2mv0sin(π6)

разрешение сомнений и отличные оценки на экзаменах.