Вписанный в окружность правильный шестиугольник: Шестиугольник и его свойства

Разное

Содержание

Как вписать шестигранник в окружность

Основы черчения

Строительное

Машиностроительное

Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего проводим стороны 5—6 и 3—2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, проведённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4—1 и 3—2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диаметров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до взаимного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные прямые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересечения с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), производим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вершины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, проводим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересечение которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно производить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэффициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

Есть ли поблизости от Вас карандаш? Взгляните-ка на его сечение – оно представляет собой правильный шестиугольник или, как его еще называют, гексагон. Такую форму имеет также сечение гайки, поле гексагональных шахмат, кристаллическая решетка некоторых сложных молекул углерода (к примеру, графит), снежинка, пчелиные соты и другие объекты. Гигантский правильный шестиугольник был недавно обнаружен в атмосфере Сатурна. Не кажется ли странным столь частое использование природой для своих творений конструкций именно этой формы? Давайте рассмотрим эту фигуру поподробнее.

Длина его сторон соответствует радиусу описанной окружности. Из всех геометрических фигур это свойство имеет лишь правильный шестиугольник.
Углы равны между собой, и величина каждого составляет 120°.
Периметр гексагона можно найти по формуле Р=6*R, если известен радиус описанной вокруг него окружности, или Р=4*√(3)*r, если окружность в него вписана. R и r – радиусы описанной и вписанной окружности.
Площадь, которую занимает правильный шестиугольник, определяется следующим образом: S=(3*√(3)*R 2 )/2. Если радиус неизвестен, вместо него подставляем длину одной из сторон – как известно, она соответствует длине радиуса описанной окружности.

Теперь рассмотрим построение правильного шестиугольника. Есть несколько способов, самый простой из которых предполагает использование циркуля, карандаша и линейки. Вначале рисуем циркулем произвольную окружность, затем в произвольном месте на этой окружности делаем точку. Не меняя раствора циркуля, ставим острие в эту точку, отмечаем на окружности следующую насечку, продолжаем так до тех пор, пока не получим все 6 точек. Теперь остается лишь соединить их между собой прямыми отрезками, и получится искомая фигура.

В широком смысле шестиугольник — это многоугольник с шестью углами. У правильного же шестиугольника углы и стороны равны. Нарисовать такой шестиугольник можно при помощи рулетки и транспортира, грубый шестиугольник — при помощи круглого предмета и линейки или еще более грубый шестиугольник — при помощи интуиции и карандаша. Если вы хотите знать, как нарисовать шестиугольник различными способами, просто читайте далее.

Геометрические построения являются одной из главных частей обучения. Они формируют пространственное и логическое мышление, а также разрешают понять примитивные и натуральные геометрические обоснованности. Построения производятся на плоскости при помощи циркуля и линейки. Этими инструментами дозволено возвести крупное число геометрических фигур. При этом многие фигуры, кажущиеся довольно трудными, строятся с использованием простейших правил. Скажем, то, как возвести верный шестиугольник, дозволено описать каждого в нескольких словах.

Вам понадобится

Циркуль, линейка, карандаш, лист бумаги.

Инструкция

1. Нарисуйте окружность. Установите некоторое расстояние между ножками циркуля. Это расстояние будет являться радиусом окружности. Выберите радиус таким образом, дабы вычерчивание окружности было довольно комфортным. Окружность должна всецело помещаться на листе бумаги. Слишком огромное либо слишком маленькое расстояние между ножками циркуля может привести к его изменению во время черчения. Оптимальным будет расстояние, при котором угол между ножками циркуля равен 15-30 градусов.

2. Постройте точки вершин углов верного шестиугольника. Установите ножку циркуля, в которой закреплена игла, в всякую точку окружности. Игла должна проткнуть начерченную линию. Чем вернее будет установлен циркуль, тем вернее будет построение. Проведите дугу окружности так, дабы она пересекла начерченную ранее окружность. Переставьте иглу циркуля в точку пересечения только что начерченной дуги с окружностью. Начертите еще одну дугу, пересекающую окружность. Вновь переставьте иглу циркуля в точку пересечения дуги и окружности и вновь начертите дугу. Произведите данное действие еще три раза, перемещаясь в одном направлении по окружности. Каждого должно получиться шесть дуг и шесть точек пересечения.

3. Постройте положительный шестиугольник. Ступенчато объедините все шесть точек пересечения дуг с изначально начерченной окружностью. Соединяйте точки прямыми, вычерчиваемыми при помощи линейки и карандаша. Позже произведенных действий будет получен верный шестиугольник, вписанный в окружность.

Шестиугольником считается многоугольник, владеющий шестью углами и шестью сторонами. Многоугольники бывают как выпуклыми, так и вогнутыми. У выпуклого шестиугольника все внутренние углы тупые, у вогнутого один либо больше угол является острым. Шестиугольник довольно легко возвести. Это делается в пару шагов.

Вам понадобится

Карандаш, лист бумаги, линейка

Инструкция

1. Берется лист бумаги и на нем отмечается 6 точек приблизительно так, как это показано на рис. 1.

2. Позже того, как были подмечены точки, берется линейка, карандаш и с их подмогой ступенчато, друг за ином соединяются точки так, как это выглядит на рис. 2.

Видео по теме

Обратите внимание!
Сумма всех внутренних углов шестиугольника равна 720 градусам.

Шестиугольник – это многоугольник, тот, что владеет шестью углами. Для того, дабы начертить произвольный шестиугольник, надобно проделать каждого 2 действия.

Вам понадобится

Карандаш, линейка, лист бумаги.

Инструкция

1. Нужно взять в руку карандаш и разметить на листе 6 произвольных точек. В дальнейшем эти точки будут исполнять роль углов в шестиугольнике. (рис.1)

2. Взять линейку и начертить по данным точкам 6 отрезков, которые бы соединялись друг с ином по начерченным ранее точкам (рис.2)

Видео по теме

Обратите внимание!
Специальным типом шестиугольника является положительный шестиугольник. Он именуется таковым потому, что все его стороны и углы равны между собой. Вокруг такого шестиугольника дозволено описать либо вписать окружность. Стоит подметить, что в точках, которые получились путем касания вписанной окружности и сторон шестиугольника, стороны положительного шестиугольника делятся напополам.

Полезный совет
В природе положительные шестиугольники владеют крупный популярностью. К примеру, вся пчелиная сота владеет положительной шестиугольной формой. Либо кристаллическая решетка графена (модификация углерода) тоже владеет формой положительного шестиугольника.

Как возвести тот либо другой угол – крупной вопрос. Но для некоторых углов задача невидимо упрощается. Одним из таких углов является угол в 30 градусов. Он равен ?/6, то есть число 30 является делителем 180. Плюс к этому его синус вестим. Это и помогает при его построении.

Вам понадобится

транспортир, угольник, циркуль, линейка

Инструкция

1. Для начала разглядим особенно примитивную обстановку, когда у вас на руках есть транспортир. Тогда прямую под углом 30 градусов к данной дозволено легко отложить с поддержкой него.

2. Помимо транспортира существуют и угол ьники, один из углов которых равен 30 градусам. Тогда иной угол угол ьника будет равен 60 градусам, то есть вам необходим визуально меньший угол для построения требуемой прямой.

3. Перейдем сейчас к нетривиальным способам построения угла 30 градусов. Как вестимо, синус угла 30 градусов равен 1/2. Для его построения нам надобно возвести прямоугол ьный треугол ьник. Возможен, мы можем возвести две перпендикулярные прямые. Но тангенс 30 градусов – иррациональное число, следственно соотношение между катетами мы можем посчитать лишь примерно (исключительно, если нет калькулятора), а, значит, и возвести угол в 30 градусов примерно.

4. В этом случае дозволено сделать и точное построение. Возведем вновь две перпендикулярные прямые, на которых будут располагаться катеты прямоугол ьного треугол ьника. Отложим по одной прямой катет BC какой-нибудь длины с поддержкой циркуля (B – прямой угол ). После этого увеличим длину между ножками циркуля в 2 раза, что элементарно. Проводя окружность с центром в точке C с радиусом этой длины, обнаружим точку пересечения окружности с иной прямой. Эта точка и будет точкой A прямоугол ьного треугол ьника ABC, а угол A будет равен 30 градусам.

5. Возвести угол в 30 градусов дозволено и с поддержкой окружности, применяя то, что он равен ?/6. Возведем окружность с радиусом OB. Разглядим в теории треугол ьник, где OA = OB = R – радиус окружности, где угол OAB = 30 градусов. Пускай OE – высота этого равнобедренного треугол ьника, а, следственно, и его биссектриса и медиана. Тогда угол AOE = 15 градусов, и, по формуле половинного угла, sin(15o) = (sqrt(3)-1)/(2*sqrt(2)).Следственно, AE = R*sin(15o). Отсель, AB = 2AE = 2R*sin(15o). Строя окружность радиусом BA с центром в точке B, обнаружим точку пересечения A этой окружности с начальной. Угол AOB будет равен 30 градусам.

6. Если мы можем определять длину дуг каким-нибудь образом, то, отложив дугу длиной ?*R/6, мы также получим угол в 30 градусов.

Обратите внимание!
Нужно помнить, что в 5 пункте мы можем возвести угол лишь приближенно, потому что в вычислениях будут фигурировать иррациональные числа.

Шестиугольником называют частный случай полигона – фигуры, образованной большинством точек плоскости, ограниченным замкнутой полилинией. Положительный шестиугольник (гексагон), в свою очередь, также является частным случаем – это полигон с шестью равными сторонами и равными углами. Эта фигура знаменательна тем, что длина всей из ее сторон равна радиусу описанной вокруг фигуры окружности.

Вам понадобится

Инструкция

1. Выберите длину стороны шестиугольника. Возьмите циркуль и установите расстояние между концом иглы, расположенной на одной из его ножек, и концом грифеля, расположенным на иной ножке, равным длине стороны вычерчиваемой фигуры. Для этого дозволено воспользоваться линейкой либо предпочесть случайное расстояние, если данный момент несущественен. Зафиксируйте ножки циркуля винтом, если есть такая вероятность.

2. Нарисуйте окружность при помощи циркуля. Выбранное расстояние между ножками будет являться радиусом окружности.

3. Разбейте окружность точками на шесть равных частей. Эти точки будут являться вершинами углов шестиугольника и, соответственно, окончаниями отрезков, представляющих его стороны.

4. Ножку циркуля с иглой установите в произвольную точку, находящуюся на линии очерченной окружности. Игла должна верно проткнуть линию. От точности установки циркуля напрямую зависит точность построений. Очертите циркулем дугу так, дабы она пересекла в 2-х точках окружность, начерченную первой.

5. Переставьте ножку циркуля с иглой в одну из точек пересечения начерченной дуги с изначальной окружностью. Вычертите еще одну дугу, также пересекающую окружность в 2-х точках (одна из них совпадет с точкой предыдущего расположения иглы циркуля).

6. Сходственным же образом переставляйте иглу циркуля и вычерчивайте дуги еще четыре раза. Перемещайте ножку циркуля с иглой в одном направлении по окружности (неизменно по либо вопреки часовой стрелки). В итоге обязаны быть выявлены шесть точек пересечения дуг с изначально построенной окружностью.

7. Нарисуйте положительный шестиугольник. Ступенчато попарно объедините отрезками полученные на предыдущем шаге шесть точек. Вычерчивайте отрезки при помощи карандаша и линейки. В итоге будет получен верный шестиугольник. Позже осуществления построения дозволено стереть вспомогательные элементы (дуги и окружность).

Обратите внимание!
Имеет толк выбирать такое расстояние между ножками циркуля, дабы угол между ними был равен 15-30 градусов, напротив при осуществлении построений данное расстояние может легко сбиться.

При строительстве либо разработке домашних дизайн-планов зачастую требуется возвести угол , равный теснее имеющемуся. На поддержка приходят образцы и школьные умения геометрии.

Инструкция

1. Угол образуют две прямые, исходящие из одной точки. Эта точка будет именоваться вершиной угла, а линии будут являться сторонами угла.

2. Для обозначения углов используйте три буквы: одна у вершины, две у сторон. Называют угол , начиная с той буквы, которая стоит у одной стороны, дальше называют букву, стоящую у вершины, и после этого букву у иной стороны. Используйте и другие методы для обозначения углов, если вам комфортнее напротив. Изредка называют только одну букву, которая стоит у вершины. А дозволено обозначать углы греческими буквами, скажем, α, β, γ.

3. Встречаются обстановки, когда нужно начертить угол , дабы он был равен теснее данному углу. Если при построении чертежа применять транспортир вероятности нет, дозволено обойтись только линейкой и циркулем. Возможен, на прямой, обозначенной на чертеже буквами MN, надобно возвести угол у точки К, так, дабы он был равен углу В. То есть из точки K нужно провести прямую, образующую с линией MN угол , тот, что будет равен углу В.

4. В начале подметьте по точке на всей стороне данного угла, скажем, точки А и С, дальше объедините точки С и А прямой линией. Получите треугол ьник АВС.

5. Теперь постройте на прямой MN такой же треугол ьник, дабы его вершина В находилась на линии в точке К. Используйте правило построения треугол ьника по трем сторонам. Отложите от точки К отрезок KL. Он должен быть равен отрезку ВС. Получите точку L.

6. Из точки K вычертите окружность радиусом равным отрезку ВА. Из L вычертите окружность радиусом СА. Полученную точку (Р) пересечения 2-х окружностей объедините с К. Получите треугол ьник КPL, тот, что будет равен треугол ьнику ABC. Так вы получите угол К. Он и будет равен углу В. Дабы это построение сделать комфортнее и стремительней, от вершины В отложите равные отрезки, применяя один раствор циркуля, не сдвигая ножек, опишите этим же радиусом из точки К окружность.

Видео по теме

Обратите внимание!
Избегайте случайного метаморфозы расстояния между ножками циркуля. В этом случае шестиугольник может получиться неправильным.

Полезный совет
Имеет толк изготавливать построения при помощи циркуля с отлично заточенным грифелем. Так построения будут особенно точны.

Построение шестигранника может производиться несколькими способами. Удобнее всего использовать стандартный набор чертежных инструментов: циркуль, линейку. Однако, в отсутствие циркуля, фигура этого типа может быть начерчена с помощью рейсшины, угольника заводского изготовления с углами 90/60/30°.

Шестигранники применяются для откручивания и закручивания болтов при ремонте и сборке мебели.

В обоих случаях особенностью построения является элементарное знание основ геометрии. В правильном шестиугольнике длина его стороны всегда равна радиусу окружности, описанной вокруг него, противоположные стороны параллельны, грани сопрягаются под углом 60°.

Способ вычерчивания шестиугольника циркулем, линейкой

Чтобы построить шестигранник при наличии циркуля, достаточно вычертить окружность, найти на ее дуге 6 точек, соединив их отрезками. Для этого достаточно настроить циркуль один раз, отложив на нем значение стороны многогранника. Линейка потребуется для строительства вспомогательных, основных линий.

Метод выглядит следующим образом:

Первый способ вычерчивания шестиугольника циркулем: 1,2,3,4,5,6 — углы, 0 — центр, D — радиус шестигранника.

циркулем вычерчивается окружность — радиус является размером стороны;
по линейке проводится радиус — точки пересечения этого отрезка будут углами многоугольника;
находятся два угла многоугольника — циркуль переставляется в одну из точек пересечения отрезка (проведенный на предыдущем этапе диаметр), на дуге делаются отметки;
находятся оставшиеся два угла — циркуль перемещается в противоположную точку пересечения отрезка с дугой окружности, создаются отметки пересечения на второй стороне окружности.

Построение правильного шестигранника завершается соединением получившихся углов по линейке. Это самый точный способ, требующий минимального количества чертежного инструмента. При значительном размере сторон (например, крой листового металла, деревянных заготовок) можно использовать шнур с карандашом. Один край шнура крепится к карандашу/маркеру, второй неподвижно фиксируется в центре окружности, затем в точках пересечения диаметра с дугой окружности.

Построение занимает минимальное количество времени, точность целиком зависит от заточки карандаша, наличия фиксатора на циркуле.

Способ вычерчивания шестиугольника без циркуля

Построение правильного шестигранника без циркуля требует обязательного наличия рейсшины — специального инструмента в виде линейки, внутри корпуса которой расположен массивный вал с резиновыми элементами, препятствующими проскальзыванию. Он создан для быстрого изготовления параллельных прямых, обеспечивая высокую точность построений. Качество вычерчивания в данном методе полностью зависит от точности угла 60° в угольнике заводского изготовления, градуирования шкалы линейки.

Способ построения выглядит следующим образом:

Второй способ вычерчивания шестиугольника циркулем: 1,2,3,4,5,6 — углы, 0 — центр, D — радиус шестигранника.

к одной стороне отрезка прикладывается угольник — короткая сторона совмещена с линией, угол 60° примыкает к концу отрезка изнутри, по гипотенузе угольника проводится линия произвольного размера, который корректируется впоследствии по шкале линейки;
на листе/заготовке вычерчивается линия — длина ее равна двум размерам стороны многоугольника, края автоматически становятся центрами многогранника;
операция повторяется при развороте угольника — угол 60° перемещается к противоположной стороне отрезка, центром вращения является длинный катет угольника;
разворот угольника — теперь центром вращения становится короткий катет угольника, вычерчиваются еще две грани;
уточнение размеров сторон — на четырех получившихся сторонах многоугольника по линейке откладывается их точный размер;
строительство двух оставшихся сторон — они расположены параллельно линии, с которой было начато черчение, проводятся по линейке, затем уточняется их размер;
контроль параллельности — шкала рейсшины совмещается с линией, от которой началось построение фигуры, затем инструмент перемещается вверх/вниз для удостоверения параллельности двух противоположных граней между собой, с этим отрезком

Шестигранник в этом случае вычерчивается дольше, чем в первом способе. Однако так можно построить необходимую фигуру, в отсутствие циркуля, угольником. Технология основана на параллельности противоположных сторон правильного шестиугольника, одинаковых внутренних углах 60°.

Промышленность выпускает угольники как с острыми углами, удобными для данного метода, так и со скругленными.

Третий способ вычерчивания шестиугольника циркулем: a — диаметр, b — сторона шестигранника.

В последнем случае удобнее несколько изменить технологию:

после вычерчивания центрального отрезка по нему выравнивается рейсшина;
инструмент откатывается вниз на произвольную величину;
короткая гипотенуза угольника совмещается с линейкой рейсшины, а не с центральным отрезком;
скругленный край инструмента не участвует в построении, линия проводится по цельной части гипотенузы.

Операция повторяется с противоположной стороны отрезка, после чего рейсшина разворачивается на 180°, опять совмещается с центральной линией, откатывается вверх для построения двух других сторон многогранника.

Это стандартные способы вычерчивания равностороннего многоугольника с шестью углами, гранями. Они удобны для кроя заготовок любых размеров из разных материалов, в стандартном черчении на ватмане. Обе методики имеют исключительно прикладное значение, так как в профессиональных графических редакторах (AutoCAD, Компас-3D) подобные фигуры создаются автоматически заданием нужных параметров.

Правильный шестиугольник – это многоугольник, состоящий из шести равных сторон. Все соседние стороны образуют угол 120°.

Формулы

P – периметр
S – площадь
R – радиус K
r – радиус k

S’ – центр
a – сторона
K – окружность описанная
k – окружность вписанная

При предоставлении услуг веб-сайт «Calculat.org» использует файлы куки.

Вы не любите рекламу? Мы ее тоже не любим, тем не менее доходы от рекламы предоставляют возможность функционирования нашего веб-сайта и бесплатного обслуживания наших посетителей. Пожалуйста, подумайте, не стоит ли отменить блокировку рекламы на этом веб-сайте. Спасибо.

Соотношение между радиусом вписанной правильный шестиугольник. Смотреть что такое «Правильный шестиугольник» в других словарях. От теории к практике

Есть ли поблизости от Вас карандаш? Взгляните-ка на его сечение — оно представляет собой правильный шестиугольник или, как его еще называют, гексагон. Такую форму имеет также сечение гайки, поле гексагональных шахмат, некоторых сложных молекул углерода (к примеру, графит), снежинка, пчелиные соты и другие объекты. Гигантский правильный шестиугольник был недавно обнаружен в Не кажется ли странным столь частое использование природой для своих творений конструкций именно этой формы? Давайте рассмотрим поподробнее.

Правильный шестиугольник представляет собой многоугольник с шестью одинаковыми сторонами и равными углами. Из школьного курса нам известно, что он обладает следующими свойствами:

Длина его сторон соответствует радиусу описанной окружности. Из всех это свойство имеет лишь правильный шестиугольник.
Углы равны между собой, и величина каждого составляет 120°.
Периметр гексагона можно найти по формуле Р=6*R, если известен радиус описанной вокруг него окружности, или Р=4*√(3)*r, если окружность в него вписана. R и r — радиусы описанной и вписанной окружности.
Площадь, которую занимает правильный шестиугольник, определяется следующим образом: S=(3*√(3)*R 2)/2. Если радиус неизвестен, вместо него подставляем длину одной из сторон — как известно, она соответствует длине радиуса описанной окружности.

У правильного шестиугольника есть одна интересная особенность, благодаря которой он получил в природе такое широкое распространение, — он способен заполнить любую поверхность плоскости без наложений и пробелов. Существует даже так называемая лемма Пала, согласно которой правильный гексагон, сторона которого равна 1/√(3), представляет собой универсальную покрышку, то есть может покрыть любое множество с диаметром в одну единицу.

На практике бывают случаи, когда требуется нарисовать шестиугольник большого размера. Например, на двухуровневом гипсокартонном потолке, вокруг места крепления центральной люстры, нужно установить на нижнем уровне шесть небольших светильников. Циркуль таких размеров найти будет очень и очень сложно. Как поступить в этом случае? Как вообще нарисовать большую окружность? Очень просто. Нужно взять крепкую нить нужной длины и обвязать один из ее концов напротив карандаша. Теперь осталось лишь найти помощника, который бы прижал к потолку в нужной точке второй конец нити. Конечно, в этом случае возможны незначительные погрешности, но вряд ли они вообще будут заметны постороннему человеку.

Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны .

Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.

Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

Где — сторона правильного шестиугольника.

Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.

Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне .
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен .
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Радиус такой окружности равен .

Ответ: .

Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 -6, 4-3, 4-5 и 7-2, после чего проводим стороны 5-6 и 3-2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника . Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, проведённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0-1-2 равен 30°, то для нахождения стороны

1-2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0-1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1-2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину-точку 1 и проводим диаметральную линию 1-4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность . Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4-1 и 3-2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1-2 и 4-3.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), производим следующие построения.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Получим точку 1-вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Математические свойства

Особенность правильного шестиугольника — равенство его стороны и радиуса описанной окружности , поскольку

Все углы равны 120°.

Радиус вписанной окружности равен:

Периметр правильного шестиугольника равен:

Площадь правильного шестиугольника рассчитывается по формулам:

Шестиугольники замощают плоскость, то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений, образуя так называемый паркет.

Шестиугольный паркет (шестиугольный паркетаж) — замощение плоскости равными правильными шестиугольниками, расположенными сторона к стороне.

Шестиугольный паркет является двойственным треугольному паркету: если соединить центры смежных шестиугольников, то проведённые отрезки дадут треугольный паркетаж. Символ Шлефли шестиугольного паркета — {6,3}, что означает, что в каждой вершине паркета сходятся три шестиугольника.

Шестиугольный паркет является наиболее плотной упаковкой кругов на плоскости. В двумерном евклидовом пространстве наилучшим заполнением является размещение центров кругов в вершинах паркета, образованного правильными шестиугольниками, в котором каждый круг окружен шестью другими. Плотность данной упаковки равна . В 1940 году было доказано, что данная упаковка является самой плотной.

Правильный шестиугольник со стороной является универсальной покрышкой, то есть всякое множество диаметра можно покрыть правильным шестиугольником со стороной (лемма Пала).

Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.

Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре

показывают разбиение плоскости на правильные шестиугольники. Шестиугольная форма больше остальных позволяет сэкономить на стенках, то есть на соты с такими ячейками уйдёт меньше воска.

Некоторые сложные кристаллы и молекулы , например графит, имеют гексагональную кристаллическую решётку.

Образуется, когда микроскопические капли воды в облаках притягиваются к пылевым частицам и замерзают. Появляющиеся при этом кристаллы льда, не превышающие поначалу 0,1 мм в диаметре, падают вниз и растут в результате конденсации на них влаги из воздуха. При этом образуются шестиконечные кристаллические формы. Из-за структуры молекул воды между лучами кристалла возможны углы лишь в 60° и 120°. Основной кристалл воды имеет в плоскости форму правильного шестиугольника. На вершинах такого шестиугольника затем осаждаются новые кристаллы, на них — новые, и так получаются разнообразные формы звёздочек-снежинок.

Учёные из Оксфордского университета смогли в лабораторных условиях смоделировать возникновение подобного гексагона. Чтобы выяснить, как возникает такое образование, исследователи поставили на вертящийся стол 30-литровый баллон с водой. Она моделировала атмосферу Сатурна и её обычное вращение. Внутри учёные поместили маленькие кольца, вращающиеся быстрее ёмкости. Это генерировало миниатюрные вихри и струи, которые экспериментаторы визуализировали при помощи зелёной краски. Чем быстрее вращалось кольцо, тем больше становились вихри, заставляя близлежащий поток отклоняться от круговой формы. Таким образом авторам опыта удалось получить различные фигуры — овалы, треугольники, квадраты и, конечно, искомый шестиугольник.

Памятник природы из примерно 40 000 соединённых между собой базальтовых (реже андезитовых) колонн, образовавшихся в результате древнего извержения вулкана. Расположен на северо-востоке Северной Ирландии в 3 км к северу от города Бушмилса.

Верхушки колонн образуют подобие трамплина, который начинается у подножья скалы и исчезает под поверхностью моря. Большинство колонн шестиугольные, хотя у некоторых четыре, пять, семь и восемь углов. Самая высокая колонна высотой около 12 м.

Около 50-60 миллионов лет назад, во время палеогенового периода, месторасположение Антрим подвергалось интенсивной вулканической активности, когда расплавленный базальт проникал через отложения, формируя обширные лавовые плато. По мере быстрого охлаждения происходило сокращение объёма вещества (подобное наблюдается при высыхании грязи). Горизонтальное сжатие приводило к характерной структуре шестигранных столбов.

Сечение гайки имеет вид правильного шестиугольника.

Тему многоугольников проходят в школьной программе, но не уделяют ей достаточного внимания. А между тем она интересна, и особенно это касается правильного шестиугольника или гексагона — ведь эту форму имеют многие природные объекты. К ним относятся пчелиные соты и многое другое. Эта форма очень хорошо применяется на практике.

Определение и построение

Правильным шестиугольником называется плоскостная фигура, имеющая шесть равных по длине сторон и столько же равных углов.

Если вспомнить формулу суммы углов многоугольника

то получается, что в этой фигуре она равна 720°. Ну а поскольку все углы фигуры равны, нетрудно посчитать, что каждый из них равен 120°.

Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки.

Пошаговая инструкция будет выглядеть так:

При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей.

Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже.

Свойства простые и интересные

Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:

Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:

диаметр описанной окружности;
диаметр вписанной окружности;
площадь;
периметр.

Описанная окружность и возможность построения

Вокруг гексагона можно описать окружность, и притом только одну. Поскольку фигура эта правильная, то можно поступить довольно просто: от двух соседних углов провести внутрь биссектрисы. Они пересекутся в точке О, и образуют вместе со стороной между ними треугольник.

Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ — равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности.

После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису. Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС — очередным радиусом, через который идет та же окружность. Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона:

Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.

Ну а площадь этой окружности будет стандартная:

Вписанная окружность

Центр описанной окружности совпадет с центром вписанной. Чтобы в этом убедиться, можно провести из точки О перпендикуляры к сторонам шестиугольника. Они будут являться высотами тех треугольников, из которых составлен гексагон. А в равнобедренном треугольнике высота является медианой по отношению к стороне, на которую она опирается. Таким образом, эта высота не что иное, как серединный перпендикуляр, являющийся радиусом вписанной окружности.

Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

А поскольку R=a и r=h, то получается, что

r=R(√3)/2 .

Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.

Ее площадь будет составлять:

S=3πa²/4 ,

то есть три четверти от описанной.

Периметр и площадь

С периметром все ясно, это сумма длин сторон:

P=6а , или P=6R

А вот площадь будет равна сумме всех шести треугольников, на которые можно разбить гексагон. Поскольку площадь треугольника вычисляется как половина произведения основания на высоту, то:

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 или

S=3R²(√3)/2

Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Занимательные построения

В гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну:

Всего их получится два, и их наложение друг на друга даст звезду Давида. Каждый из этих треугольников — равносторонний. В этом нетрудно убедиться. Если посмотреть на сторону АС, то она принадлежит сразу двум треугольникам — ВАС и АЕС. Если в первом из них АВ=ВС, а угол между ними 120°, то каждый из оставшихся будет 30°. Отсюда можно сделать закономерные выводы:

Высота АВС из вершины В будет равна половине стороны шестиугольника, поскольку sin30°=1/2. Желающим убедиться в этом можно посоветовать пересчитать по теореме Пифагора, она здесь подходит как нельзя лучше.
Сторона АС будет равна двум радиусам вписанной окружности, что опять-таки вычисляется по той же теореме. То есть АС=2(a(√3)/2)=а(√3).
Треугольники АВС, СДЕ и АЕF равны по двум сторонам и углу между ними, и отсюда вытекает равенство сторон АС, СЕ и ЕА.

Пересекаясь друг с другом, треугольники образуют новый гексагон, и он тоже правильный. Доказывается это просто:

Таким образом, фигура отвечает признакам правильного шестиугольника — у нее шесть равных сторон и углов. Из равенства треугольников при вершинах легко вывести длину стороны нового гексагона:

d=а(√3)/3

Она же будет радиусом описанной вокруг него окружности. Радиус вписанной будет вдвое меньше стороны большого шестиугольника, что было доказано при рассмотрении треугольника АВС. Его высота составляет как раз половину стороны, следовательно, вторая половина — это радиус вписанной в маленький гексагон окружности:

r₂=а/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Получается, что площадь гексагона внутри звезды Давида в три раза меньше, чем у большого, в который вписана звезда.

От теории к практике

Свойства шестиугольника очень активно используются как в природе, так и в различных областях деятельности человека. В первую очередь это касается болтов и гаек — шляпки первых и вторые представляют собой ничто иное, как правильный шестигранник, если не брать в расчет фаски. Размер гаечных ключей соответствует диаметру вписанной окружности — то есть расстоянию между противоположными гранями.

Нашла свое применение и гексагональная плитка. Она распространена куда меньше четырехугольной, но класть ее удобнее: в одной точке смыкаются три плитки, а не четыре. Композиции могут получаться очень интересные:

Выпускается и бетонная плитка для мощения.

Распространенность гексагона в природе объясняется просто. Таким образом, проще всего плотно уместить круги и шары на плоскости, если у них одинаковый диаметр. Из-за этого у пчелиных сот такая форма.

Свойства шестиугольника вписанного в окружность

Правильные многоугольники и окружность. Здравствуйте, Дорогие друзья! Во многих задачах в курсе геометрии, в том числе и в составе ЕГЭ имеется много заданий связанных с понятием окружности вписанной в правильный многоугольник и описанной около него. Если конкретней, то в данном случае мы рассмотрим правильный треугольник, также квадрат и правильный шестиугольник. Именно с этими правильными многоугольниками связаны условия заданий на экзамене. Обычно в ходе решения таких задач возникает необходимость выразить:

1. Сторону правильного треугольника через радиус вписанной или описанной окружности.

2. Сторону квадрата через радиус вписанной окружности или описанной окружности.

3. Сторону правильного шестиугольника через радиус вписанной или описанной окружности.

4. Радиус вписанной в правильный многоугольник окружности через радиус описанной около него окружности и наоборот.

На сайте рассмотрены (и в будущем будут рассматриваться) задачи , в которых эти формулы используются. При решении подробно не описывается как они выводятся. Просто говорится, например, что сторона правильного треугольника соотносится с радиусом вписанной в него окружности как:

У многих возникают вопросы по этому поводу: Как? Почему? В этой статье мы выведем все указанные соотношения и в будущем при решении задач, если потребуется, просто буду давать ссылку на эту статью.

Что нужно всегда помнить и понимать?

Центр правильного многоугольника совпадает с центром вписанной о описанной около него окружности. Итак, приступим!

Правильный треугольник, вписанная и описанная окружность.

Пусть а – это его сторона, радиус описанной окружности равен R, а радиус вписанной окружности равен r.

Стороны правильного треугольника и вписанная в него окружность имеют общие точки (точки касания), эти точки делят стороны треугольника пополам. Радиус описанной окружности, проведённый к вершине треугольника является биссектрисой, то есть делит угол при этой вершине, равный 60 градусам, пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым). По определению тангенса: Получаем, что: По определению косинуса: Получаем, что: Можем записать соотношение радиусов:

Квадрат, вписанная и описанная около него окружность.

Пусть а – это сторона квадрата, радиус описанной окружности равен R, а радиус вписанной окружности равен r.

Стороны квадрата и вписанная в него окружность имеют общие точки (точки касания), эти точки делят стороны квадрата пополам.

Радиус описанной окружности, проведённый к вершине квадрата является биссектрисой, то есть делит угол квадрата пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым). На основании вышеизложенного можно сделать вывод о том, что:

По определению косинуса: Получаем, что: *Можно было воспользоваться также теоремой Пифагора. Запишем соотношение радиусов:

Правильный шестиугольник. Вписанная и описанная окружность.

Стороны правильного шестиугольника и вписанная окружность имеют общие точки (точки касания), эти точки делят стороны данного шестиугольника пополам.

Радиус описанной окружности, проведённый к вершине шестиугольника является биссектрисой, то есть делит угол правильного шестиугольника равный 120 градусам пополам. Подробнее о правильном шестиугольнике и описанной около него окружности можете посмотреть информацию в этой статье .

Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым). По определению тангенса: Получаем, что:

Тот факт, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности известен практически всем школьникам изучившим соответствующий материал по планиметрии:

Если интересно посмотрите как это можно вывести. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: Получаем, что: Можем записать соотношение радиусов: Вот и всё.

Конечно же, учить и запоминать данные формулы не нужно. В ходе решения вы всегда сможете их также вывести используя свойства правильных многоугольников, определения тангенса и косинуса , теорему Пифагора.

Я решил изложить это в отдельной статье только для того, чтобы у вас не возникали вопросы при решении и изучении соответствующих заданий на блоге и вы всегда могли бы посмотреть откуда взялась формула. Везде, где потребуется данная информация я буду размещать ссылку на эту статью.

Главная ≫ Инфотека ≫ Математика ≫ Правильный шестиугольник

Комментарии: 0

Правильный шестиугольник (гексагон) — это правильный многоугольник с шестью сторонами.

Особенность правильного шестиугольника — равенство его стороны и радиуса описанной окружности , поскольку

Все углы равны 120°.

Радиус вписанной окружности равен:

Периметр правильного шестиугольника равен:

Площадь правильного шестиугольника рассчитывается по формулам:

Шестиугольный паркет является двойственным треугольному паркету: если соединить центры смежных шестиугольников, то проведённые отрезки дадут треугольный паркетаж. Символ Шлефли шестиугольного паркета — <6,3>, что означает, что в каждой вершине паркета сходятся три шестиугольника.

Пчелиные соты показывают разбиение плоскости на правильные шестиугольники. Шестиугольная форма больше остальных позволяет сэкономить на стенках, то есть на соты с такими ячейками уйдёт меньше воска.

Некоторые сложные кристаллы и молекулы , например графит, имеют гексагональную кристаллическую решётку.

Снежинки образуется, когда микроскопические капли воды в облаках притягиваются к пылевым частицам и замерзают. Появляющиеся при этом кристаллы льда, не превышающие поначалу 0,1 мм в диаметре, падают вниз и растут в результате конденсации на них влаги из воздуха. При этом образуются шестиконечные кристаллические формы. Из-за структуры молекул воды между лучами кристалла возможны углы лишь в 60° и 120°. Основной кристалл воды имеет в плоскости форму правильного шестиугольника. На вершинах такого шестиугольника затем осаждаются новые кристаллы, на них — новые, и так получаются разнообразные формы звёздочек-снежинок.

Гигантский гексагон — атмосферное явление на Сатурне.

Дорога гигантов — памятник природы из примерно 40 000 соединённых между собой базальтовых (реже андезитовых) колонн, образовавшихся в результате древнего извержения вулкана. Расположен на северо-востоке Северной Ирландии в 3 км к северу от города Бушмилса.

Формулы

P – периметр
S – площадь
R – радиус K
r – радиус k

S’ – центр
a – сторона
K – окружность описанная
k – окружность вписанная

При предоставлении услуг веб-сайт «Calculat.org» использует файлы куки.

Онлайн калькулятор: Длина стороны правильного многоугольника

От нашего нового пользователя поступил вот такой запрос:
«Калькулятор должен вычислять длину стороны правильного многоугольника (шестиугольник, пятигольник) по указанному диаметру (или радиусу) описанной окружности».

Удовлетворяем запрос оперативно. Заметим, что для решения задачи нужно найти длину третьей стороны треугольника, исходящего из центра описанной окружности и опирающегося на две соседние вершины правильного многоугольника. Про этот треугольник известно многое: длины двух сторон — это радиусы описанной окружности, и угол, как нетрудно заметить, — это 360, деленное на число вершин правильного многоугольника. Далее используется соотношение из теоремы синусов — две стороны относятся друг к другу также как и синусы противолежащих им углов. Поскольку треугольник равнобедренный и сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, угол, противолежащий радиусу вычисляется тривиально. Результат — ниже.

Определение длины стороны правильного многоугольника по радиусу описанной окружности

Число сторон правильного многоугольника

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Длина стороны правильного многоугольника

 Ссылка  Сохранить  Виджет

P.S. В комментариях некто Александр поинтересовался, а как же найти длину стороны по радиусу вписанной окружности?

Отвечаю — с вписанной окружностью все гораздо проще. Надо рассмотреть треугольник, образованный перпендикуляром к точке касания окружности и многоугольника, половиной стороны многоугольника и линией от центра окружности до ближайшей к перпендикуляру вершины многоугольника. Этот треугольник перпендикулярный, и острый угол его равен 360, деленное на число вершин правильного многоугольника и еще пополам. Половина длины стороны находится легко — это радиус (прилежащий катет), умноженный на тангенс острого угла. Домножаем затем на два — получаем искомую длину стороны. Результат — ниже.

Определение длины стороны правильного многоугольника по радиусу вписанной окружности

Число сторон правильного многоугольника

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Длина стороны правильного многоугольника

 Ссылка  Сохранить  Виджет

Периметр шестиугольника: онлайн калькулятор, формулы, примеры решений

Правильный шестиугольник или гексагон — это многоугольник с шестью равными углами и шестью равными сторонами. Это правильная фигура, которая широко встречается как в природе, так и в человеческой повседневности.

Геометрия шестиугольника

Шестиугольник — фигура на плоскости, ограниченная шестью равными отрезками, которые пересекаются под углом 120 градусов. Изучением многоугольников в целом и гексагона в частности занимался отец геометрии Евклид, который в «Началах» предложил способ построения правильного шестиугольника при помощи циркуля и линейки.

Вокруг любой правильной геометрической фигуры можно описать окружность или вписать ее внутрь. Гексагон не исключение. Сторона фигуры a и радиусы описанной окружности R и вписанной r соотносятся как:

R = 2 sin(pi/6) × a = a
r = 0,866 a

Главная особенность гексагона состоит в том, что сторона многоугольника и радиус описанной окружности абсолютно равны, так как 2sin(pi/6) = 1.

Примеры шестиугольников

Гексагон — довольно распространенная геометрическая фигура. В человеческой повседневности форму шестиугольника принимают грани таких объектов как гайки, карандаши или детали машин. В природе шестиугольную форму имеют пчелиные соты, снежинки, а также кристаллические решетки некоторых соединений углерода. Кроме того, существует уникальное космическое явление на Сатурне — гигантский гексагон, который представляет собой атмосферный вихрь в виде правильного шестиугольника.

Шестиугольник — эффективная фигура, позволяющая замостить поверхность без пробелов или наложений. Кафель или тротуарная плитка часто принимают форму гексагона, однако наиболее выдающимся примером замощения поверхности шестиугольником является Мостовая гиганта — памятник природы, образованный соединением более 40 000 базальтовых колонн. Шестиугольные колонны Мостовой гиганта образовались в результате древнего извержения вулкана и элегантно замостили поверхность североирландского побережья.

Периметр гексагона

Периметр плоской фигуры — это числовая характеристика, показывающая сумму длин всех его сторон. Гексагон — правильная геометрическая фигура, следовательно, все ее стороны равны. Формула для вычисления периметра шестиугольника предельно проста:

P = 6 a

Кроме того, благодаря замечательному свойству шестиугольника, периметр можно вычислить, зная радиус описанной окружности:

P = 6R

Наш калькулятор также использует зависимость между стороной гексагона и радиусом вписанной окружности, поэтому вы можете рассчитать периметр геометрической фигуры, зная только одну из трех переменных на выбор. Кроме того, калькулятор автоматически рассчитает не только периметр, но и остальные атрибуты шестиугольника. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Снежинка

Снежинка представляет собой снежный или ледяной кристалл в форме правильной шестиугольной пластинки. Естественно, снежинка — слишком мала для того, чтобы мы могли измерить ее натуральный размер и посчитать периметр на онлайн-калькуляторе. Однако включим воображение и представим, что одна сторона снежинки имеет длину, равную 12 условных единиц. Для подсчета периметра такого кристалла нам понадобится просто умножить длину стороны на 6 или ввести значение в форму калькулятора «Сторона». Мы получим ответ:

P = 72

Также мы узнали, что в нашу воображаемую снежинку мы можем вписать окружность с радиусом r = 10,39.

Школьная задача

В задаче по геометрии требуется найти периметр правильного шестиугольника, зная, что радиус вписанной в него окружности составляет 15 см. Мы знаем, что радиус окружности и сторона гексагона соотносятся как r = 0,866 a и можем вручную подсчитать сначала длину стороны, а затем периметр плоской фигуры. Мы можем сэкономить время и просто указать значение радиуса в ячейке калькулятора «Радиус вписанной окружности r» и получить мгновенный результат:

P = 103,92

Заключение

Шестиугольник — эффективная фигура, которая встречается как в природе, так и в человеческой повседневности. Используйте наш онлайн-калькулятор для расчета периметра правильных шестиугольников.

Все стороны шестиугольника. Смотреть что такое «Правильный шестиугольник» в других словарях

Математические свойства

Особенность правильного шестиугольника — равенство его стороны и радиуса описанной окружности , поскольку

Все углы равны 120°.

Радиус вписанной окружности равен:

Периметр правильного шестиугольника равен:

Площадь правильного шестиугольника рассчитывается по формулам:

Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре

Некоторые сложные кристаллы и молекулы , например графит, имеют гексагональную кристаллическую решётку.

Сечение гайки имеет вид правильного шестиугольника.

Самая известная фигура, у которой больше четырех углов — это правильный шестиугольник. В геометрии он часто используется в задачах. А в жизни именно такой вид имеют соты на срезе.

Чем он отличается от неправильного?

Во-первых, шестиугольником является фигура с 6 вершинами. Во-вторых, он может быть выпуклым или вогнутым. Первый отличается тем, что четыре вершины лежат по одну сторону от прямой, проведенной через две другие.

В-третьих, правильный шестиугольник характеризуется тем, что все его стороны равны. Причем каждый угол фигуры тоже имеет одинаковое значение. Чтобы определить сумму всех его углов, потребуется воспользоваться формулой: 180º * (n — 2). Здесь n — число вершин фигуры, то есть 6. Простой расчет дает значение в 720º. То есть каждый угол равен 120 градусам.

В повседневной деятельности правильный шестиугольник встречается в снежинке и гайке. Химики видят ее даже в молекуле бензола.

Какие свойства требуется знать при решении задач?

К тому, что указано выше, следует добавить:

диагонали фигуры, проведенные через центр, делят ее на шесть треугольников, которые являются равносторонними;
сторона правильного шестиугольника имеет значение, которое совпадает с радиусом описанной около него окружности;
используя такую фигуру, есть возможность заполнить плоскость, причем между ними не получится пропусков и не будет наложений.

Введенные обозначения

Традиционно сторона правильной геометрической фигуры обозначается латинской буквой «а». Для решения задач требуются еще площадь и периметр, это S и P соответственно. В правильный шестиугольник бывает вписана окружность или описана около него. Тогда вводятся значения для их радиусов. Обозначаются они соответственно буквами r и R.

В некоторых формулах фигурируют внутренний угол, полупериметр и апофема (являющаяся перпендикуляром к середине любой стороны из центра многоугольника). Для них используются буквы: α, р, m.

Формулы, которые описывают фигуру

Для расчета радиуса вписанной окружности потребуется такая: r = (a * √3) / 2, причем r = m. То есть такая же формула будет и для апофемы.

Поскольку периметр шестиугольника — это сумма всех сторон, то он определится так: P = 6 * a. С учетом того, что сторона равна радиусу описанной окружности, для периметра существует такая формула правильного шестиугольника: P = 6 * R. Из той, что приведена для радиуса вписанной окружности, выводится зависимость между а и r. Тогда формула принимает такой вид: Р = 4 r * √3.

Для площади правильного шестиугольника может пригодиться такая: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Задачи

№ 1. Условие. Имеется правильная шестиугольная призма, каждое ребро которой равно 4 см. В нее вписан цилиндр, объем которого необходимо узнать.

Решение. Объем цилиндра определяется как произведение площади основания на высоту. Последняя совпадает с ребром призмы. А она равна стороне правильного шестиугольника. То есть высота цилиндра — тоже 4 см.

Чтобы узнать площадь его основания, потребуется вычислить радиус вписанной в шестиугольник окружности. Формула для этого указана выше. Значит, r = 2√3 (см). Тогда площадь круга: S = π * r 2 = 3,14 * (2√3) 2 = 37,68 (см 2).

Ответ . V = 150,72 см 3 .

№ 2. Условие. Вычислить радиус окружности, которая вписана в правильный шестиугольник. Известно, что его сторона равна √3 см. Чему будет равен его периметр?

Решение. Эта задача требует использования двух из указанных формул. Причем их необходимо применять, даже не видоизменяя, просто подставить значение стороны и вычислить.

Таким образом, радиус вписанной окружности получается равным 1,5 см. Для периметра оказывается верным такое значение: 6√3 см.

Ответ. r = 1,5 см, Р = 6√3 см.

№ 3. Условие. Радиус описанной окружности равен 6 см. Какое значение в этом случае будет у стороны правильного шестиугольника?

Решение. Из формулы для радиуса вписанной в шестиугольник окружности легко получается та, по которой нужно вычислять сторону. Ясно, что радиус умножается на два и делится на корень из трех. Необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе. Поэтому результат действий принимает такой вид: (12 √3) / (√3 * √3), то есть 4√3.

Ответ. а = 4√3 см.

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны .

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

Где — сторона правильного шестиугольника.

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Радиус такой окружности равен .

Ответ: .

Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Длина его сторон соответствует радиусу описанной окружности. Из всех это свойство имеет лишь правильный шестиугольник.
Углы равны между собой, и величина каждого составляет 120°.
Периметр гексагона можно найти по формуле Р=6*R, если известен радиус описанной вокруг него окружности, или Р=4*√(3)*r, если окружность в него вписана. R и r — радиусы описанной и вписанной окружности.
Площадь, которую занимает правильный шестиугольник, определяется следующим образом: S=(3*√(3)*R 2)/2. Если радиус неизвестен, вместо него подставляем длину одной из сторон — как известно, она соответствует длине радиуса описанной окружности.

чем он интересен и как его построить

Длина его сторон соответствует радиусу описанной окружности. Из всех геометрических фигур это свойство имеет лишь правильный шестиугольник.
Углы равны между собой, и величина каждого составляет 120°.
Периметр гексагона можно найти по формуле Р=6*R, если известен радиус описанной вокруг него окружности, или Р= √(3)*r, если окружность в него вписана. R и r – радиусы описанной и вписанной окружности.
Площадь, которую занимает правильный шестиугольник, определяется следующим образом: S=(3*√(3)*R²)/2. Если радиус неизвестен, вместо него подставляем длину одной из сторон – как известно, она соответствует длине радиуса описанной окружности.

У правильного шестиугольника есть одна интересная особенность, благодаря которой он получил в природе такое широкое распространение, – он способен заполнить любую поверхность плоскости без наложений и пробелов. Существует даже так называемая лемма Пала, согласно которой правильный гексагон, сторона которого равна 1/√(3), представляет собой универсальную покрышку, то есть может покрыть любое множество с диаметром в одну единицу.

Какова площадь правильного шестиугольника, вписанного в круг?

Рассмотрим квадрат или равносторонний треугольник , вписанный в круг . Их стороны равны радиусу? В правильном шестиугольнике длина диагонали равна удвоенной длине стороны, поэтому диагональ равна 8, а каждая сторона (a) равна 4. Площадь из шестиугольника = квадратный корень 3 * 3 * a2 / 2 = 24 * квадратный корень 3.

Щелкните, чтобы увидеть полный ответ

Итак, как найти площадь шестиугольника, вписанного в круг?

Шестиугольник, вписанный в круг радиус 1 см.2. Заштрихованы четыре равносторонних треугольника правильного шестиугольника .

Кроме того, как найти сторону шестиугольника с учетом радиуса? Разделите ваше значение на 2, если ваше данное значение — это длина центральной линии, которая образует два средних треугольника внутри шестиугольника . Частное — это длина стороны шестиугольника . Если это значение равно 8, то длина одной стороны шестиугольника равна 8, деленному на 2, что составляет 4.

Из этого, как нарисовать правильный шестиугольник, вписанный в круг?

Как видно из определения шестиугольника , каждая сторона правильного шестиугольника равна расстоянию от центра до любой вершины. Эта конструкция просто устанавливает ширину компаса равной этому радиусу, а затем уменьшает эту длину по окружности , чтобы создать шесть вершин шестиугольника .

Какова площадь заштрихованной области?

Область заштрихованной области = ( Площадь самого большого круга) — ( Площадь круга с радиусом 3) — ( Площадь круга с радиусом 2).Все, что осталось, — это закрашенная область . Диаметр наибольшего круга равен 10, поэтому его радиус равен 5, и, следовательно, его площадь равна 25π.

РЕШЕНИЕ: Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в круг радиусом 12 дюймов.

Стенограмма видео

Хорошо, мы пытаемся найти площадь шестиугольника, вписанного в круг радиусом 12 дюймов. Так что уже лучше разобраться в этом вопросе.Я собираюсь ехать. Итак, шестиугольник внутри круга должен выглядеть примерно так, на самом деле, Страда и Красный наверху, иди сюда и спускайся к бомбе. Что-то подобное. Это не обязательно должно быть точным, но в любом случае должно выглядеть примерно так. Так что здесь проходит какая-то система доступа. Мы знаем, что это расстояние будет 12 дюймов. Мы знаем, что это расстояние будет 12 дюймов. Кроме того, мы знаем, что общая сумма всех углов на внутренней стороне, о которой я говорю прямо здесь, сумма всех углов всех множества треугольников, которые мы можем сделать, должна быть 3 60 Итак, у нас есть шесть этих углов.Таким образом, значение одного из углов будет 360, разделенное на шесть. Какие 60 градусов? Нет, мы этого не сделали. Я видел треугольник Селеш с нашим противоположным углом в 60 градусов, по крайней мере, однако, это определение равностороннего треугольника. Когда лодыжка находится между двумя равными сторонами в соусе, попробуйте угол в 60 градусов. Это означает, что все углы должны составлять 60 градусов. Нам это действительно не нужно. Хорошо, теперь мы посмотрим, как пройтись по этому единственному треугольнику, и у нас есть шесть равных треугольников, так что потом попробуем.Итак, у нас есть угол, который известен как 60. И затем у нас есть это, чтобы замолчать вокруг него, равным 12. Это означает, что мы ограничили нашу область. Группа была в 1/2 раза больше одной стороны. Раффи прибавляет время к длине другой стороны, что тоже самое. Пора подписывать 60 градусов. Итак, наша площадь будет равна 1/2 умножить на 12 умножить на 12, что будет равно 72. Она ругается, умножая на знак 60, что будет радикальным. Три делятся на два. Это означает, что угол одного из наших треугольников, вы знаете, помещает здесь треугольник. Я знаю, что один из треугольников будет 36 радикальным.Три дюйма в квадрате. Теперь. Получите площадь всего шестиугольника. Сказал район. Шестиугольник, грубый шестиугольник. Площадь треугольника должна была быть в шесть раз больше, чем у треугольника, который в шесть раз будет равен 36 радикалам. Три. Она в квадрате, что равно 216. Медицинская тройка в квадрате, что может быть вашим окончательным ответом. Но если мы хотим получить приблизительное значение вместо этого радикала, мы получим значение, умноженное на радикальную тройку в 216 раз, что составляет 374,12 дюйма. Это слово — наш окончательный ответ.

Обычный шестигранник | Справка по геометрии

В этом посте мы более подробно рассмотрим правильный шестиугольник — шестиугольник, у которого все стороны равны.Мы посмотрим на его углы и найдем формулы для его периметра и площади, используя его сторону или радиус.

Что такое правильный шестиугольник?

Правильный многоугольник — это двумерная выпуклая форма, стороны и внутренние углы которой равны. У правильного шестиугольника шесть равных сторон и шесть равных внутренних углов.

Внутренние углы правильного шестиугольника

Для любого многоугольника сумма внутренних углов равна S = (n-2) • 180 °, где n — количество сторон многоугольника.В шестиугольнике n = 6, поэтому сумма внутренних углов шестиугольника составляет (6-2) • 180 ° = 4 • 180 ° = 720 °. А поскольку все внутренние углы обычного шестиугольника равны, каждый из них имеет размер 720 ° / 6 = 120 °. Отсюда мы получаем много других интересных свойств, начиная с показа того, что правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников.

Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников

Многие из «доказательств», которые я видел, которые показывают, что правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников, начинаются с таких вещей, как «Нарисуйте круг, проходящий через вершины правильного шестиугольника. «- но они не доказывают, что такой круг действительно можно нарисовать (это, конечно, можно, но довольно сложно).Итак, давайте формально докажем этот интуитивный результат.

Нарисуем биссектрисы двух смежных внутренних углов и назовем их точку пересечения O:

. Легко видеть, что ΔOAB равносторонний — m∠BAF = m∠ABC = 120 °, как внутренние углы правильного угла. шестиугольник. Биссектрисы образуют два половинных угла размером 60 °: m∠OAB = m∠OBA = 60 °. И из суммы углов в треугольнике, ∠AOB также является углом 60 °, а ΔOAB — равносторонним треугольником.

Теперь давайте соединим O с вершиной C и сравним треугольники ΔOAB и ΔOCB

OB = OB как общую сторону
AB = BC как равные стороны правильного шестиугольника
m∠ABO = m∠CBO = 60 °, как BO. биссектриса угла
∠ABO≅∠CBO (определение конгруэнтных углов)
Итак, ΔOAB и ΔOCB являются конгруэнтными треугольниками согласно постулату «сторона-угол-сторона», а ΔOCB — равносторонний треугольник, идентичный ΔOAB.Мы можем продолжить и сделать это для остальных сторон, соединив точку O с вершинами D, E и F, чтобы достичь желаемого результата — шесть одинаковых равносторонних треугольников составляют шестиугольник, все они встречаются в его центре, O.

Площадь и периметр

Поскольку мы показали, что шесть равносторонних треугольников образуют правильный шестиугольник, легко придумать формулу для его площади — она в 6 раз больше площади одного из равносторонних треугольников. Мы показали, как получить формулу площади равностороннего треугольника, исходя из длины его стороны: Площадь _{ΔРавносторонний} = (s ² * √3) / 4, где s — длина стороны.

[Быстрое напоминание о том, как мы это сделали: если мы возьмем высоту до основания любого из этих треугольников, мы получим прямоугольный треугольник 30 ° -60 ° -90 ° с гипотенузой, равной s, катет, равный к s / 2, а другой катет равен s / 2 · √3. Площадь такого треугольника равна (ножка · ножка) / 2 или (s / 2 · s / 2 · √3) / 2. Два одинаковых треугольника 30-60-90 составляют равносторонний треугольник, поэтому его площадь равна 2 * (s / 2 * s / 2 · √3) / 2 = (s ² * √3) / 4]

Итак Площадь _⬡hex = 6 • (s ² * √3) / 4 = 3 • √3 • s ²/2.

Периметр любого многоугольника — это просто сумма его сторон. В правильном шестиугольнике все стороны равны, поэтому P _⬡hex = 6s.

Радиус

Радиус правильного многоугольника — это расстояние от его центра до любой из его вершин. По симметрии это расстояние одинаково для всех вершин. Так что же это за радиус в правильном шестиугольнике? Мы уже видели, что центр правильного шестиугольника образует равносторонний треугольник со сторонами, поэтому его радиус (R) равен длине каждой из сторон.Это также показывает, что мы можем вписать правильный шестиугольник в круг с радиусом R

Вопросы о кругах, вписанных в многоугольники

На прошлой неделе мы рассмотрели вопросы о многоугольниках, вписанных в круг. На этой неделе давайте рассмотрим вопросы о кругах, вписанных в правильные многоугольники. Как отмечалось ранее, важно помнить, что правильные многоугольники — это симметричные фигуры. Вам нужно очень мало информации, чтобы найти что-либо в симметричной фигуре.

Вопрос 1 : Круг вписан в правильный шестиугольник.В этот круг вписан правильный шестиугольник. Другой круг вписывается во внутренний правильный шестиугольник и так далее. Какова площадь десятого такого круга?

Положение I. Длина стороны внешнего правильного шестиугольника составляет 6 см.

Положение II: Длина диагонали внешнего правильного шестиугольника составляет 12 см.

Решение : К счастью, в вопросах DS нам не нужно вычислять ответ. Нам просто нужно установить достаточность предоставленных данных.Обратите внимание, что мы обнаружили, что существует определенная связь между сторонами правильного шестиугольника и радиусом вписанной окружности, а также существует определенная связь между радиусом окружности и стороной вписанного правильного шестиугольника.

Когда круг вписан в правильный шестиугольник,

Радиус вписанной окружности = (? 3/2) * Сторона шестиугольника

Когда правильный шестиугольник вписан в круг,

Сторона вписанного правильного шестиугольника = Радиус окружности

Итак, все, что нам нужно, это сторона любого правильного шестиугольника или радиус любого одного круга, и мы будем знать длину сторон всех шестиугольников и радиусы всех кругов.

Положение I. Длина стороны внешнего правильного шестиугольника составляет 6 см.

Если длина стороны крайнего правильного шестиугольника равна 6 см, радиус вписанной окружности равен (? 3/2) * 6 = 3? 3 см.

В этом случае сторона правильного шестиугольника, вписанного в этот круг, также составляет 3 × 3 см. Теперь мы можем получить радиус круга, вписанного во второй шестиугольник, и идти по тем же линиям, пока не дойдем до десятого круга. Одного этого утверждения достаточно.

Положение II: Длина диагонали внешнего правильного шестиугольника составляет 12 см.

Обратите внимание, что шестиугольник имеет диагонали двух разных длин. Диагонали, соединяющие вершины с одной вершиной между ними, меньше диагоналей, соединяющих вершины с двумя вершинами между ними. Длина AC будет короче, чем длина AD. Учитывая длину диагонали, мы не знаем, какая это диагональ. AC = 12 или AD = 12? Длина стороны будет разной в двух случаях. Так что одного этого утверждения недостаточно.

Ответ (А)

Имейте в виду, что на самом деле вам не нужно решать, чтобы получить ответ DS; на самом деле, в некоторых вопросах вы не сможете найти ответ при заданных временных ограничениях.Все, что вам нужно сделать, это убедиться, что через неограниченное время вы получите уникальный ответ.

Вопрос 2 : Четыре идентичных круга нарисованы в квадрате, так что каждый круг касается двух сторон квадрата и двух других кругов (как показано на рисунке ниже). Если сторона квадрата имеет длину 20 см, какова площадь заштрихованной области?

(А) 400 — 100?

(В) 200 — 50?

(С) 100 — 25?

(Д) 8?

(E) 4?

Решение : сначала давайте вспомним, что квадраты и круги являются симметричными фигурами.Данная фигура симметрична.

Мы не знаем никакой формулы, которая поможет нам получить площадь изогнутой заштрихованной серой формы в центре. В таких случаях очень часто вам нужно найти площадь одного региона и вычесть из нее площадь другого. Здесь, если мы вычтем площадь четырех кругов из площади квадрата, оставшаяся область включает заштрихованную область, но также включает другие области (вокруг углов и т. Д.). Здесь нам помогает симметрия.

Обратите внимание, что мы можем разделить фигуру на четыре равные области, чтобы получить четыре меньших квадрата.2 = 100 — 25?

Ответ (C)

Каришма, инженер-компьютерщик, проявляющий большой интерес к альтернативным математическим подходам, обучал студентов на континентах Азии, Европы и Северной Америки. Она преподает GMAT для Veritas Prep и регулярно участвует в проектах по разработке контента, таких как этот блог!

Построение равносторонних треугольников, квадратов и правильных шестиугольников, вписанных в круги — видео и стенограмма урока

Шестиугольник в круге

Нарисуйте круг.Размер вашего круга будет определять внешние края вашего шестиугольника, поэтому выберите размер, который вам нравится. Возьмите компас, воткните бумагу в нужное место в центре шестиугольника, установите радиус между ножками компаса и нарисуйте.

Круг с обозначенными центром, радиусом и изогнутым краем

Когда у вас есть круг, мы можем начать забавные вещи:

Выберите место на краю круга для одной точки вашего шестиугольника и сделайте там небольшую отметку карандашом.
Вставьте металлический наконечник компаса в бумагу на этой отметке. Убедитесь, что ваш циркуль все еще настроен на длину радиуса, и сделайте еще одну отметку на краю круга.
Обойдите круг, делая отметки на одинаковом расстоянии друг от друга.
Используя линейку, проведите прямую линию между каждой меткой и двумя метками по обе стороны от нее.

Построенный шестиугольник

Вот оно! Шестиугольник вписан в , что означает, что он находится внутри круга, и все его внешние углы касаются края круга.Ладно, теперь перейдем к начертанию треугольника.

Равносторонний треугольник в круге

Теперь мы построим равносторонний треугольник, который представляет собой замкнутую трехстороннюю фигуру с прямыми сторонами. Все его стороны имеют одинаковую длину, а все его внутренние углы составляют 60 градусов.

Мы уже проделали большую работу. Если вы возьмете круг с шестью отметками, которые вы сделали для шестиугольника, вы можете использовать те же отметки, чтобы сделать свой треугольник. Выберите одну из отметок в качестве угла, затем соедините эту отметку с каждой второй отметкой по кругу.Когда вы закончите, три метки будут соединены линиями, образующими треугольник, а остальные три не будут частью треугольника.

Построение треугольника

Квадрат внутри круга

Хорошо, теперь немного поменяем передачи и построим квадрат. Квадрат — это четырехгранная фигура с равными прямыми сторонами и внутренними углами в 90 градусов. Чтобы построить его, нам придется использовать немного другую технику, чем мы использовали шестиугольник.Прежде всего, нарисуйте круг, чтобы вставить квадрат. Вы можете использовать последний, если хотите, но другие отметки могут немного сбивать с толку, и нам действительно не нужны они для построения квадрата. Когда у вас есть круг, нарисуйте диаметр (линия, которая проходит через центр и останавливается на внешнем крае с обеих сторон круга).

Круг с обозначенным диаметром

Диаметр отмечает два из четырех углов вашего квадрата.Теперь нам понадобятся два других угла. Чтобы получить их, мы построим перпендикулярную линию (пересекающуюся под углом 90 градусов), пересекающую ваш диаметр в центре круга.

Вставьте металлический наконечник циркуля в бумагу на одном из концов своего диаметра.
Установите длину немного больше, чем расстояние от этой точки до центра.
Нарисуйте дугу около центра диаметра, но сразу за пределами круга.
Оставьте настройки компаса без изменений и переместите точку на другой конец диаметра.
Нарисуйте дугу, пересекающую вашу предыдущую дугу. Если вы не можете дотянуться до конца, возможно, вам придется немного удлинить первую дугу.
Соедините точки. Нарисуйте линию, соединяющую центр круга с местом пересечения двух ваших дуг. Это перпендикулярная линия. Убедитесь, что ваша линия достаточно длинная, чтобы обозначить весь диаметр (касается изогнутого края круга с обоих концов).

Круг с построенной перпендикулярной линией

Почти готово! Теперь все, что вам нужно сделать, это соединить четыре метки, которые вы построили на краю круга.Обратите внимание на то, что то, где вы положите, ваши диаметры будут определять положение вашего ящика.

Если вы разместили их как X, у вас будет квадрат, который кажется лежащим на поверхности. Тот, который мы здесь нарисуем, будет больше похож на ромб, но вы можете поместить свой квадрат в любое положение, которое захотите, просто поместив свой первый диаметр под другим углом.

Хорошо, нарисуем наш квадрат.

Круг с построенным квадратом

Резюме урока

Построение геометрических фигур означает их рисование с помощью только циркуля и линейки. Вписать их внутрь круга означает построить их так, чтобы каждый внешний угол касался изогнутого края круга. Вы можете строить шестиугольники и треугольники, используя радиус (расстояние от центра до края круга) в качестве ориентира. Вы можете построить квадрат, используя перпендикулярные диаметры. Когда вы привыкнете их делать, вы сможете рисовать правильные правильные шестиугольники, равносторонние треугольники и квадраты в любом месте, где они вам понадобятся.

Евклид IV.15: Чтобы вписать правильный шестиугольник в данный круг

ПРИМЕЧАНИЕ: Я переписал и отредактировал это из различных древних переводов Евклида, дополненных и умеренных, где это необходимо, по крайней мере структурой более современных версий.Я почти уверен, что в нем нет ошибок. Это, конечно, только одно из многих интересных евклидовых предложений, связанных с шестиугольниками, и всем, кто читает это, у кого фактически нет копии Евклида, я настоятельно рекомендую купить ее прямо сейчас. Спасибо.

Пусть ABCDEF — данная окружность. Требуется вписать в окружность ABCDEF равносторонний и равносторонний шестиугольник.

Найдите центр G окружности ABCDEF и начертите диаметр AGD; а от центра D на расстоянии DG описать окружность EGCH.Присоединитесь к EG и CG и проведите их через них к точкам B и F. Присоединитесь к AB, BC, CD, DE, EF и FA.

Я говорю, что шестиугольник ABCDEF равносторонний и равносторонний.

Поскольку, поскольку точка G является центром окружности ABCDEF, GE равно GD.

Поскольку точка D является центром окружности GCH, DE равно DG

Следовательно, GE равно GD, следовательно, GE также равно ED. Следовательно, треугольник EGD равносторонний, и, следовательно, его три угла EGD, GDE, DEG равны друг другу, потому что углы в основании равнобедренного треугольника равны.

И сумма трех углов треугольника равна двум прямым углам, поэтому угол EGD является третьей частью двух прямых углов.

Таким же образом можно продемонстрировать, что угол DGC также является третьей частью двух прямых углов.

И поскольку прямая линия CG, стоящая на EB, делает сумму смежных углов EGC и CGB равной двум прямым углам, следовательно, оставшийся угол CGB является третьей частью двух прямых углов.

Следовательно, углы EGD, DGC и CGB равны друг другу. И им равны вертикальные противоположные углы BGA, AGF и FGE.

Следовательно, шесть углов EGD, DGC, CGB, BGA, AGF и FGE равны друг другу.

Но равные углы в центре стоят на равных окружностях, поэтому шесть окружностей AB, BC, CD, DE, EF и FA равны друг другу.

И равные окружности обозначены равными прямыми линиями; поэтому шесть прямых равны друг другу, а шестиугольник ABCDEF равносторонний.

Далее я говорю, что он равносторонний.

Поскольку, поскольку окружность AF равна окружности ED, к каждой из них добавить окружность ABCD, поэтому вся окружность FABCD равна всей EDCBA.

Угол FED лежит на окружности FABCD, а угол AFE — на окружности EDCBA; следовательно, угол AFE равен DEF.

Таким же образом можно продемонстрировать, что каждый из других углов шестиугольника ABCDEF равен углам AFE и FED.

Следовательно, шестиугольник равноугольный.Как было показано, он также равносторонний и вписан в данную окружность ABCDEF.

Quod erat faciendum.

Следствие: Отсюда видно, что сторона шестиугольника равна радиусу круга.

И если через точки A, B, C, D, E и F будут проведены прямые линии, касающиеся круга, вокруг него будет описан равносторонний и равноугольный шестиугольник, что может быть продемонстрировано из того, что было сказано о пятиугольнике.Кроме того, круг может быть вписан в данный равносторонний и равносторонний шестиугольник и описан вокруг него способом, подобным тому, который используется для пятиугольника.

FTVW.

ДЕНЬ 43 ОБЫЧНЫЙ ШЕСТИГРАННИК, ЗАПИСАННЫЙ КРУГОМ

, ДЕНЬ 43 — ОБЫЧНЫЙ ШЕСТИГРАННИК, ЗАПИСАННЫЙ КРУГОМ

ВВЕДЕНИЕ В нашем предыдущем уроке мы узнали, как построить равносторонний треугольник, вписанный в круг. Мы собираемся использовать ту же идею, чтобы построить правильный шестиугольник, вписанный в круг.Правильный шестиугольник можно вписать в круг так же, как равносторонний треугольник вписали в круг.

СЛОВАРЬ Шестиугольник Многоугольник, имеющий шесть сторон Правильный шестиугольник У шестиугольника все стороны совпадают, а все углы равны. Вписанный многоугольник Многоугольник рисуется внутри другой плоской фигуры таким образом, чтобы вершины многоугольника касались края плоской фигуры, в данном случае круга.

Inscribe Чтобы нарисовать, постройте плоскую фигуру внутри другой фигуры таким образом, чтобы все вершины внутренней фигуры касались внешней фигуры.

ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНОГО ШЕСТИГРАННИКА, ВПИСАННОГО В КРУГ Когда правильный шестиугольник построен внутри круга так, что все его вершины касаются края круга, мы говорим, что шестиугольник вписан в круг. Наши строительные инструменты по-прежнему остаются компасом и линейкой. Все вершины правильного шестиугольника находятся на одинаковом расстоянии от центра круга, потому что все они находятся на окружности.

Чтобы построить правильный шестиугольник, вписанный в круг: 1.Мы рисуем круг с центром O удобного радиуса с помощью циркуля, как показано ниже. Обратите внимание, что мы не меняем радиус компаса в следующих шагах. O

2. Мы используем любую точку на окружности в качестве центра и делаем дугу на окружности, как показано ниже. O

3. Мы используем точку пересечения дуги и круга в качестве нашего нового центра и делаем еще одну дугу на окружности, как показано ниже. Помните, что мы используем тот же радиус. O

4.Мы повторяем процесс, используя новые точки пересечения, построенные как новые центры с тем же радиусом четыре раза, пока мы не нарисуем в общей сложности 6 дуг, как показано ниже. O

5. Затем мы используем линейку, чтобы соединить каждую из шести точек пересечения, чтобы сформировать правильный шестиугольник, как показано ниже. Мы можем использовать транспортир, чтобы убедиться, что все шесть углов совпадают, и линейку, чтобы убедиться, что все шесть сторон имеют одинаковую длину.

Как вписать шестигранник в окружность

Popular

Основы черчения

Строительное

Машиностроительное

Инструкция

Инструкция

Инструкция

Инструкция

Инструкция

Инструкция

Способ вычерчивания шестиугольника циркулем, линейкой

Способ вычерчивания шестиугольника без циркуля

Формулы

Соотношение между радиусом вписанной правильный шестиугольник. Смотреть что такое «Правильный шестиугольник» в других словарях. От теории к практике

Определение и построение

Свойства простые и интересные

Описанная окружность и возможность построения

Вписанная окружность

Периметр и площадь

Занимательные построения

От теории к практике

Свойства шестиугольника вписанного в окружность

Формулы

Онлайн калькулятор: Длина стороны правильного многоугольника

Определение длины стороны правильного многоугольника по радиусу описанной окружности

Определение длины стороны правильного многоугольника по радиусу вписанной окружности

Периметр шестиугольника: онлайн калькулятор, формулы, примеры решений

Геометрия шестиугольника

Примеры шестиугольников

Периметр гексагона

Примеры из реальной жизни

Снежинка

Школьная задача

Заключение

Все стороны шестиугольника. Смотреть что такое «Правильный шестиугольник» в других словарях

Чем он отличается от неправильного?

Какие свойства требуется знать при решении задач?

Введенные обозначения

Формулы, которые описывают фигуру

Задачи

чем он интересен и как его построить

Какова площадь правильного шестиугольника, вписанного в круг?

РЕШЕНИЕ: Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в круг радиусом 12 дюймов.

Стенограмма видео

Обычный шестигранник | Справка по геометрии

Что такое правильный шестиугольник?

Внутренние углы правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников

Площадь и периметр

Радиус

Вопросы о кругах, вписанных в многоугольники

Построение равносторонних треугольников, квадратов и правильных шестиугольников, вписанных в круги — видео и стенограмма урока

Шестиугольник в круге

Равносторонний треугольник в круге

Квадрат внутри круга

Резюме урока

Евклид IV.15: Чтобы вписать правильный шестиугольник в данный круг

ДЕНЬ 43 ОБЫЧНЫЙ ШЕСТИГРАННИК, ЗАПИСАННЫЙ КРУГОМ

Добавить комментарий Отменить ответ