Выпуклый семиугольник рисунок: Многоугольники. Выпуклый многоугольник. Четырехугольник 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Создан 19 мая ’14 в 10: 572014-05-19 10:57

1 Очень активный вопрос . Заработайте 10 репутации, чтобы ответить на этот вопрос. Требование репутации помогает защитить этот вопрос от спама и отсутствия ответов. Graphic Design Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie Настроить параметры

Внутренние углы многоугольника

Быстрые определения

Давайте пройдемся по нескольким ключевым словам, чтобы мы все оказались на одной странице.Помните, что многоугольник — это двухмерная фигура, стороны которой нарисованы прямыми линиями (без кривых), которые вместе образуют замкнутую область. Каждая точка многоугольника, где встречаются две стороны, называется вершиной . В каждой вершине есть внутренний угол многоугольника. Квадрат, например, имеет четыре внутренних угла по 90 градусов каждый. Если квадрат представляет ваш класс, внутренние углы — это четыре угла комнаты.

Сумма внутренних углов

В дальнейшем, если многоугольник имеет x сторон, сумма S мер степени этих x внутренних сторон определяется формулой S = (x — 2) (180) .

Например, треугольник имеет 3 угла, которые в сумме составляют 180 градусов. У квадрата 4 угла, которые в сумме составляют 360 градусов. Для каждой дополнительной стороны, которую вы добавляете, вы должны добавить еще 180 градусов к общей сумме.

{include ad_line.html%}

Давайте поговорим о диагонали минутку. Что вообще такое диагональю ? Диагональ — это отрезок линии, соединяющий две непоследовательных вершин многоугольника. Это все линии между точками в многоугольнике, если не считать те, которые также являются сторонами многоугольника.На картинке ниже BD — это диагональ. Как видите, отрезок BD делит четырехугольник ABCD на два треугольника. Сумма углов в этих треугольниках (180 + 180 = 360) равна сумме всех углов прямоугольника (360).

Пример 1

Четырехугольник ABCD, конечно, имеет четыре угла. Эти четыре угла находятся в соотношении 2: 3: 3: 4. Найдите градус наибольшего угла четырехугольника ABCD.

Что мы знаем?

У нас есть четыре неизвестных угла, но информация об их отношении друг к другу.Поскольку мы знаем, что сумма всех четырех углов должна составлять 360 градусов, нам просто нужно выражение, которое складывает наши четыре неизвестных угла и устанавливает их равными 360. Поскольку они находятся в соотношении, у них должен быть некоторый общий множитель, который нам нужен найти, называется x.

Шагов:

1. Добавьте условия 2x + 3x + 3x + 4x
2. Приравнять сумму слагаемых к 360
3. Решить для x
4. Определите угол в градусах.

Решить

2x + 3x + 3x + 4x = 360
12x = 360
x = 360/12
x = 30

Несмотря на то, что мы знаем x = 30, мы еще не закончили. Умножаем 30 на 4, чтобы найти наибольший угол. Поскольку 30 умножить на 4 = 120, наибольший угол составляет 120 градусов. Аналогично, другие углы равны 3 * 30 = 90, 3 * 30 = 90 и 2 * 30 = 60.

Правильные многоугольники

Правильный многоугольник равносторонний. Все его углы имеют одинаковую меру. Он также равносторонний. Все его стороны имеют одинаковую длину. Квадрат — это правильный многоугольник, и хотя квадрат представляет собой тип прямоугольника, прямоугольники, которые составляют , а не квадратов, не будут правильными многоугольниками.

Пример 2

Найдите сумму углов шестиугольника в градусах. Предполагая, что шестиугольник равен , обычный , найдите градус каждого внутреннего угла.

Что мы знаем?

Мы можем использовать формулу S = (x — 2) (180) для суммирования степени любого многоугольника.

У шестиугольника 6 сторон, поэтому x = 6.

Решить

Пусть x = 6 в формуле и упростит:

S = (6-2) (180)
S = 4 (180)
S = 720

Правильный многоугольник — это равноугольный , что означает, что все углы имеют одинаковую величину. В случае правильного шестиугольника сумма в 720 градусов будет равномерно распределена между шестью сторонами.

Итак, 720/6 = 120. В правильном шестиугольнике шесть углов, каждый по 120 градусов.

Пример 3

Если сумма углов многоугольника равна 3600 градусам, найдите количество сторон многоугольника.

Изменение формулы на противоположное

Опять же, мы можем использовать формулу S = (x — 2) (180), но на этот раз мы решаем для x вместо S. Ничего страшного!

Решить

В этой задаче положим S = 3600 и решим относительно x.

3600 = (x — 2) (180)
3600 = 180x — 360
3600 + 360 = 180x
3960 = 180x
3960/180 = x
22 = x

Многоугольник с 22 сторонами имеет 22 угла, сумма которых равна 3600 градусам.

Внешние углы многоугольника

В каждой вершине многоугольника может быть образован внешний угол путем удлинения одной стороны многоугольника, так что внутренний и внешний углы в этой вершине являются дополнительными (в сумме 180). На рисунке ниже углы a, b, c и d являются внешними, а сумма их градусов равна 360.

Если у правильного многоугольника x сторон, то каждый внешний угол равен 360, деленному на x.

Давайте рассмотрим два типовых вопроса.

Пример 4

Найдите градус каждого внутреннего и внешнего угла правильного шестиугольника.

Помните, что формула суммы внутренних углов S = (x-2) * 180. У шестиугольника 6 сторон. Поскольку x = 6, сумму S можно найти, используя S = (x — 2) (180)

S = (10-6) (180)
S = 4 (180)
S = 720

В шестиугольнике шесть углов, а в правильном шестиугольнике все они равны.Каждый составляет 720/6 или 120 градусов. Теперь мы знаем, что внутренние и внешние углы составляют дополнительных (в сумме 180) в каждой вершине, поэтому размер каждого внешнего угла составляет 180 — 120 = 60.

Пример 5

Если размер каждого внутреннего угла правильного многоугольника равен 150, найдите количество сторон многоугольника.

Ранее мы определили количество сторон в многоугольнике, взяв сумму углов и используя формулу S = (x-2) * 180 для решения. Но на этот раз мы знаем только размер каждого внутреннего угла.Нам пришлось бы умножить на количество углов, чтобы найти сумму … но вся проблема в том, что мы еще не знаем количество сторон ИЛИ сумму!

Но, поскольку размер каждого внутреннего угла равен 150, мы также знаем, что мера внешнего угла, проведенного в любой вершине в терминах этого многоугольника, равна 180 — 150 = 30. Это потому, что они образуют дополнительные пары (внутренний + внешний = 180).

До примера 4 мы узнали, что также можем вычислить величину внешнего угла в правильном многоугольнике как 360 / x, где x — количество сторон.Теперь у нас есть способ найти ответ!

30 = 360 / x
30x = 360
x = 360/30
x = 12

Наш многоугольник с внутренними углами 150 градусов (и внешними углами 30 градусов) имеет 12 сторон.

Кстати, геометрическая фигура с 12 сторонами называется двенадцатигранником.

Урок от г-на Фелиза

.

Вписанный четырехугольник и его свойства. Подробная теория. Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник

Понятие многоугольника

Определение 1

Многоугольником называется геометрическая фигура в плоскости, которая состоит из попарно соединенных между собой отрезков, соседние из которых не лежат на одной прямой.

При этом отрезки называются сторонами многоугольника , а их концы — вершинами многоугольника .

Определение 2

$n$-угольником называется многоугольник, у которого $n$ вершин.

Виды многоугольников

Определение 3

Если многоугольник всегда будет лежать по одну сторону от любой прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется выпуклым (рис. 1).

Рисунок 1. Выпуклый многоугольник

Определение 4

Если многоугольник лежит по разные стороны хотя бы одной прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется невыпуклым (рис. 0\]

Теорема доказана.

Выпуклый четырехугольник – это фигура, состоящая из четырех сторон, соединенных между собой в вершинах, образующих вместе со сторонами четыре угла, при этом сам четырехугольник всегда находится в одной плоскости относительно прямой, на которой лежит одна из его сторон. Другими словами, вся фигура находится по одну сторону от любой из ее сторон.

Как видно, определение довольно легко запоминающееся.

Основные свойства и виды

К выпуклым четырехугольникам можно отнести практически все известные нам фигуры, состоящие из четырех углов и сторон. Можно выделить следующие:

1. параллелограмм;
2. квадрат;
3. прямоугольник;
4. трапеция;
5. ромб.

Все эти фигуры объединяет не только то, что они четырехугольные, но и то, что они еще и выпуклые. Достаточно просто рассмотреть схему:

На рисунке изображена выпуклая трапеция . Тут видно, что трапеция находится на одной плоскости или по одну сторону от отрезка . Если провести аналогичные действия, можно выяснить, что и в случае со всеми остальными сторонами трапеция является выпуклой.

Является ли параллелограмм выпуклым четырехугольником?

Выше показано изображение параллелограмма. Как видно из рисунка, параллелограмм также является выпуклым . Если посмотреть на фигуру относительно прямых, на которых лежат отрезки AB, BC, CD и AD, то становится понятно, что она всегда находится на одной плоскости от этих прямых. Основными же признаками параллелограмма является то, что его стороны попарно параллельны и равны так же, как и противоположные углы равны между собой.

Теперь, представьте себе квадрат или прямоугольник. По своим основным свойствам они являются еще и параллелограммами, то есть все их стороны расположены попарно параллельно. Только в случае с прямоугольником длина сторон может быть разной, а углы прямые (равные 90 градусам), квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны и углы также прямые, а у параллелограмма длины сторон и углы могут быть разными.

В итоге, сумма всех четырех углов четырехугольника должна быть равна 360 градусам . Легче всего это определить по прямоугольнику: все четыре угла прямоугольника прямые, то есть равны 90 градусам. Сумма этих 90-градусных углов дает 360 градусов, другими словами, если сложить 90 градусов 4 раза, получится необходимый результат.

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются . Действительно, это явление можно наблюдать визуально, достаточно взглянуть на рисунок:

На рисунке слева изображен невыпуклый четырехугольник или четырехсторонник. Как угодно. Как видно, диагонали не пересекаются, по крайней мере, не все. Справа изображен выпуклый четырехугольник. Тут уже наблюдается свойство диагоналей пересекаться. Это же свойство можно считать признаком выпуклости четырехугольника.

Другие свойства и признаки выпуклости четырехугольника

Конкретно по этому термину очень сложно назвать какие-то определенные свойства и признаки. Легче обособить по различным видам четырехугольников такого типа. Начать можно с параллелограмма. Мы уже знаем, что это четырехугольная фигура, стороны которой попарно параллельны и равны. При этом, сюда же включается свойство диагоналей параллелограмма пересекаться между собой, а также сам по себе признак выпуклости фигуры: параллелограмм находится всегда в одной плоскости и по одну сторону относительно любой из своих сторон.

Итак, известны основные признаки и свойства:

1. сумма углов четырехугольника равна 360 градусам;
2. диагонали фигур пересекаются в одной точке.

Прямоугольник . Эта фигура имеет все те же свойства и признаки, что и параллелограмм, но при этом все углы его равны 90 градусам. Отсюда и название – прямоугольник.

Квадрат, тот же параллелограмм , но углы его прямые как у прямоугольника. Из-за этого квадрат в редких случаях называют прямоугольником. Но главным отличительным признаком квадрата помимо уже перечисленных выше, является то, что все четыре его стороны равны.

Трапеция – очень интересная фигура . Это тоже четырехугольник и тоже выпуклый. В этой статье трапеция уже рассматривалась на примере рисунка. Понятно, что она тоже выпуклая. Главным отличием, а соответственно признаком трапеции является то, что ее стороны могут быть абсолютно не равны друг другу по длине, а также ее углы по значению. При этом фигура всегда остается на одной плоскости относительно любой из прямых, которая соединяет любые две ее вершины по образующим фигуру отрезкам.

Ромб – не менее интересная фигура . Отчасти ромбом можно считать квадрат. Признаком ромба является тот факт, что его диагонали не только пересекаются, но и делят углы ромба пополам, а сами диагонали пересекаются под прямым углом, то есть, они перпендикулярны. В случае, если длины сторон ромба равны, то диагонали тоже делятся пополам при пересечении.

Дельтоиды или выпуклые ромбоиды (ромбы) могут иметь разную длину сторон. Но при этом все равно сохраняются как основные свойства и признаки самого ромба, так и признаки и свойства выпуклости. То есть, мы можем наблюдать, что диагонали делят углы пополам и пересекаются под прямым углом.

Сегодняшней задачей было рассмотреть и понять, что такое выпуклые четырехугольники, какие они бывают и их основные признаки и свойства. Внимание! Стоит напомнить еще раз, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусам. Периметр фигур, например, равен сумме длин всех образующих фигуру отрезков. Формулы расчета периметра и площади четырехугольников будут рассмотрены в следующих статьях.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сегодня рассмотрим геометрическую фигуру — четырехугольник. Из названия этой фигуры уже становится понятно, что у этой фигуры есть четыре угла. А вот остальные характеристики и свойства этой фигуры мы рассмотрим ниже.

Что такое четырех угольник

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Площадь четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей и угла между ними.

Четырехугольник — это многоугольник с четырьмя вершинами, три из которых не лежат на одной прямой.

Виды четырехугольников

• Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
• Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие − нет, называется трапецией.
• Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.
• Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
• Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом.

Четырехугольник может быть:

Самопересекающимся

Невыпуклым

Выпуклым

Самопересекающийся четырехугольник — это четырехугольник, у которого любые из его сторон имеют точку пересечения (на рисунке синим цветом).

Невыпуклый четырехугольник — это четырехугольник, в котором один из внутренних углов более 180 градусов (на рисунке обозначен оранжевым цветом).

Сумма углов любого четырехугольника, который не является самоперсекающимся всегда равна 360 градусов.

Особые виды четырехугольников

Четырехугольники могут обладать дополнительными свойствами, образуя особые виды геометрических фигур:

• Параллелограмм
• Прямоугольник
• Квадрат
• Трапеция
• Дельтоид
• Контрпараллелограмм

Четырехугольник и окружность

Четырехугольник, описанный вокруг окружности (окружность, вписанная в четырехугольник).

Главное свойство описанного четырехугольника:

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

Четырехугольник, вписанный в окружность (окружность, описанная вокруг четырехугольника)

Главное свойство вписанного четырехугольника:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Свойства длин сторон четырехугольника

Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других его сторон.

|a — b| ≤ c + d

|a — c| ≤ b + d

|a — d| ≤ b + c

|b — c| ≤ a + d

|b — d| ≤ a + b

|c — d| ≤ a + b

Важно . Неравенство верно для любой комбинации сторон четырехугольника. Рисунок приведен исключительно для облегчения восприятия.

В любом четырёхугольнике сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны .

Важно . При решении задач в пределах школьной программы можно использовать строгое неравенство (

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Варенье из бузины: польза и вред

Узнать встретимся ли мы. Сонник дома солнца. Как правильно сформулировать вопрос в процессе гадания

Многоугольник и его элементы. Выпуклые и невыпуклые многоугольники.

Конспект урока по геометрии
в 8 классе
«Многоугольник и его элементы. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника»

Цели урока:

• Образовательные: изучение понятия многоугольник, его элементы; выпуклые и невыпуклые многоугольники; сумма углов выпуклого многоугольника.
• Развивающие: активизация познавательной деятельности учащихся через решение практических задач, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.
• Воспитательные: организация совместной деятельности, воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения выслушивать ответы товарищей.

Тип урока: урок изучения нового материала

Оборудование:

Ход урок:

1. Организационный момент

— Здравствуйте, дети! Проверьте, все ли, что нужно к уроку лежит у вас на партах? (тетрадь, ручка, дневник, линейка, карандаш)

— Садитесь!

2. Мотивация урока.

— Дорогие ребята!Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что геометрия – интересный и нужный предмет.

Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.

— Давайте последуем совету писателя на сегодняшнем уроке: будьте активны, внимательны, поглощайте с большим желанием знания, которые пригодятся вам в дальнейшей жизни.

3. Актуализация опорных знаний.

Какие геометрические фигуры нами уже изучены? (треугольники, четырехугольники, круг)

Каковы их элементы? (вершины, стороны, углы)

Фронтальный опрос:

•                 Какая фигура называется треугольником?

•     Какая фигура называется четырехугольником?  (Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков)

•     Какие вершины четырехугольника называются соседними, какие противолежащими? (Вершины четырех угольника называются соседними вершинами, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими вершинами.)
•     А какие вершины называются противоположными у треугольника?
•     Что такое диагонали четырехугольника? (Диагональ — отрезок, соединяющий противоположные вершины)
•     Какие стороны четырехугольника называются соседними? Какие стороны называются противолежащими? (Соседние стороны — стороны четырехугольника, выходящих из одной вершины.  Противоположные стороны — стороны четырехугольника, которые не имеют общего конца.)
•     А какие вершины называются противоположными у треугольника?
• Что такое периметр треугольника?
• А периметр четырехугольника? (сумма всех сторон четырехугольника.)
•     Как проверить, можно ли из четырех данных отрезков построить четырехугольник?
• Чему равна сумма внутренних углов треугольника?
•     А чему равна сумма внутренних углов четырехугольника? (Сумма углов любого четырехугольника равна 360)
•     Могут ли все углы четырехугольника быть тупыми? острыми? прямыми? А в треугольника?

— Молодцы!

4. Изучение нового материала.

— Среди множества различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство МНОГОУГОЛЬНИКОВ.

Названия геометрических фигур имеют вполне определенный смысл. Присмотритесь внимательно к слову “многоугольник”, и скажите из каких частей оно состоит?

— Слово “многоугольник” указывает на то, что у всех фигур этого семейства “много углов”.

Подставьте в слово “многоугольник” вместо части “много” конкретное число, например 5. Что получили?

— Правильно! Вы получите ПЯТИУГОЛЬНИК. Или 6. Тогда – ШЕСТИУГОЛЬНИК. Заметьте, сколько углов, столько и сторон, поэтому эти фигуры вполне можно было бы назвать и многосторонниками.

— На рисунке геометрические фигуры. Используя рисунок, назовите эти фигуры.

(восьмиугольник, шестиугольник, пятиугольник, четырехугольник, треугольник)

— Каким наименьшим числом можно заменить “много” в многоугольнике? (Ответ: 3)

— Давайте попробуем определить, что такое ломаная? (Ло́маная— геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных своими концами. )

— Ребята, а если первая и последняя точки ломаной совпадают, то как называется такая ломаная (называется замкнутой)?

— Имея всю необходимую информацию, давайте попробуем сами сформулировать, что же такое многоугольник?

— Правильно! Фигура, ограниченная простой замкнутой ломаной, называется многоугольником.

• Вершины ломаной называются вершинами многоугольника,
•  стороны ломаной — сторонами многоугольника,
•  а углы, образованные соседними сторонами, — углами многоугольника.
• Точки многоугольника, не принадлежащие его сторонам, называются внутренними.
• Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон.
• Многоугольник, у которого n углов называется n — угольником.
• Многоугольник называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками он содержит и соединяющий их отрезок.

Любой треугольник выпуклый.  Среди многоугольников, с числом углов большим трех, могут быть выпуклые и невыпуклые.

— В чем отличие данных многоугольников?

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины. Подсчет диагоналей

•      Сколько диагоналей выходит с одной вершины четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника?
•      Давайте сравним их с количеством углов. Что мы видим?
•      Какую формулу вы бы записали?
•      Правильно, n-3.
•      Давайте проверим, что это проходит и для треугольника. 3-3=0.
•      А сколько вершин у n-угольника?
•      Тогда, может нужно умножить количество углов n на количество диагоналей, которые выходят с одной вершины n-3?
•      Хорошо! Но при этом мы посчитали каждую диагональ дважды. Как же исправить эту формулу?
• По этому, произведение  n*(n-3)  делят на два.

Диагоналей нет у треугольника на плоскости и у тетраэдра в пространстве, поскольку все вершины этих фигур попарно связаны сторонами (ребрами).

Количество диагоналей N у многоугольника легко вычислить по формуле:

N = n·(n – 3)/2, — запишем формулу в тетради, и выдилим ее.

где n — число вершин многоугольника. По этой формуле нетрудно найти, что

• у треугольника — 0 диагоналей 
• у прямоугольника — 2 диагонали
• у пятиугольника — 5 диагоналей
• у шестиугольника — 9 диагоналей
• у восьмиугольника — 20 диагоналей
• у 12-угольника — 54 диагонали
• у 24-угольника — 252 диагонали

Исследовательская работа по группам

Каждая группа работает по учебно-исследовательской карте.

1.Задача.

Чему равна сумма углов выпуклого пятиугольника?

2. Проблема.

Как зависит сумма углов выпуклого n-угольника от числа углов

многоугольника и от числа треугольников, на которые он разбивается

диагоналями, проведенными из одной вершины?

3.Пробы.

1 проба-180⁰                 2 проба-360⁰          3 проба-540⁰                     4 проба-720⁰

n=3 n=4 n=5 n=6

— Что мы видим? (Количество треугольников (n-2)).

— Давайте заполним таблицу.

4.Таблица результатов.

— Так как, сумма углов одного треугольника – 180, то сумма углов выпуклого n-угольника равна 180° (n-2 )

Вывод: Формула для суммы внутренних углов n-угольника. 180° (n-2 ).

— Сумма внешних углов выпуклого многоугольника не зависит от числа сторон п- угольника и равна 360.

5. Закрепление нового материала.

Задача 253

— Сколько диагоналей можно провести из одной вершины выпуклого семиугольника? Найдите общее количество диагоналей выпуклого семиугольника. (можно провести 4 диагонали из одной вершины выпуклого семиугольника. Общее количество диагоналей выпуклого семиугольника – N=14: )

Задача 254

6. Итоги урока. Рефлексия.

• Что больше всего запомнилось на уроке?
• Что удивило?
• Что понравились больше всего?
• Каким ты хочешь увидеть следующий урок?
• Таким образом, мы самостоятельно вывели формулу для количества диагоналей многоугольника.

Домашнее задание:  № 253, 254, 257 Вариант 2 с ваших сборников

Вогнутый многоугольник Простой многоугольник Выпуклый многоугольник Выпуклый набор, многоугольник, угол, белый png

теги

• угол,
• белый,
• прямоугольник,
• треугольник,
• симметрия,
• многоугольник,
• черный,
• степень,
• религия,
• точка В многоугольнике,
• простой многоугольник,
• квадрат,
• звезда многоугольник,
• точка,
• линия Art,
• область,
• черно-белый,
• вогнутый многоугольник,
• вогнутый набор,
• выпуклый многоугольник,
• выпуклый сет,
• геометрия,
• интерьер,
• внутренний угол,
• линия,
• википедия,
• png,
• прозрачный png,
• без фона,
• бесплатная загрузка

Размер изображения

677x600px

Размер файла

20.15KB

MIME тип

Image/png

изменить размер PNG

ширина(px)

высота(px)

Некоммерческое использование, DMCA Contact Us

• Звездный многоугольник Угол Круг восьмиугольник, многоугольник, белый, прямоугольник png 1024x1024px 29.65KB
• Правильный многоугольник Шестиугольник Внутренний угол Гептагон, шестигранник, угол, белый png 1024x1024px 16.14KB
• Правильный многоугольник Пентагон Правильный многогранник Геометрия, шестиугольник, угол, белый png 1024x1024px 24. 41KB
• черная звезда искусства, пятиконечная звезда, черная звезда, угол, треугольник png 1200x1131px 17.34KB
• Octagon Обычный многоугольник, шестигранник, угол, белый png 1024x1024px 9.05KB
• Шестигранник Форма Правильный многоугольник Геометрия, форма, синий, угол png 512x512px 14.87KB
• Шестигранник Правильный многоугольник Форма Геометрия, рисунок многоугольника, угол, белый png 600x600px 8.62KB
• Линия Симметрия Точка Геометрическая абстракция, Абстрактные геометрические линии, угол, белый png 7191x9530px 4.21MB
• org/ImageObject»> Линия Точка Симметрия, абстрактные геометрические линии, черные линии иллюстрации, угол, белый png 7612x12077px 3.34MB
• Правильный многоугольник Hexagon Shape Geometry, шестиугольный, угол, белый png 2000x2000px 36.48KB
• Треугольник Пенроуза Равносторонний треугольник Треугольник Серпинского Форма, треугольник, угол, треугольник png 706x611px 9.45KB
• ассорти с, геометрическая форма, геометрия, геометрический рисунок, угол, белый png 3433x3239px 333.84KB
• Белые сияющие звезды, текстура, угол png 1500x1499px 382.98KB
• Перевод формы словаря шестиугольника многоугольника, шестиугольник, угол, белый png 512x512px 3. 77KB
• Черно-белая точка угол, подвесная рама, квадратная белая подвесная рама крупным планом, кадр, белый png 1241x1650px 124.05KB
• Черно-белый узор, геометрические абстрактные перспективные блоки, синяя зеркальная иллюстрация, текстура, угол png 650x835px 95.79KB
• Прямоугольный многоугольник, треугольник, угол, прямоугольник png 512x512px 2.69KB
• Северная Компас Роуз, угол, белый png 600x600px 16.48KB
• Угловая точка Черно-белый узор, Белые сияющие звезды, сияющая звезда, текстура, белый png 2000x1834px 685.3KB
• org/ImageObject»> Правильный многоугольник Октагон Геометрия Внутренний угол, Угол, угол, белый png 1920x1920px 22.19KB
• Геометрическая форма Геометрия, геометрические фигуры, белый, треугольник png 800x800px 17.54KB
• Геометрия треугольника, красочный алмазный фон, серый и синий 3D, текстура, угол png 2078x2315px 974.48KB
• Звездный многоугольник Геометрия, форма, угол, прямоугольник png 1024x1024px 38.04KB
• Значок в форме звезды, красная звезда, иллюстрация красной звезды, угол, клипарт png 8715x8288px 513.09KB
• Hendecagon Правильный многоугольник Dodecagon Nonagon, форма, угол, белый png 1024x1024px 23. 94KB
• иллюстрация черного восьмиугольника, гипотеза о сотах Шестиугольная черепица, шестиугольник, угол, белый png 1024x1024px 37.53KB
• Правильный многоугольник Пентагон Правильный многогранник Геометрия, геометрические неправильные фигуры, угол, белый png 1200x1200px 29.77KB
• Черно-белая площадь, угол проекции тени бумаги, текстура, угол png 1200x700px 50.09KB
• Форма Ромб Геометрия Параллелограмм Полигон, Ромб, угол, лицо png 600x600px 4.92KB
• прямоугольная черная рамка, черно-белая линия угловых точек, симпатичные границы, белый, текст png 772x1115px 14. 43KB
• Черно-белая геометрия Геометрическая абстракция Pattern, Technology Triangle Cover, черно-серый шестиугольный скриншот, текстура, угол png 2430x2447px 258.18KB
• Треугольник Черно-белый узор, синий треугольник технологии, черный рисунок, текстура, угол png 2409x2492px 177.2KB
• Шестиугольник Bee Honeycomb, соты, угол, прямоугольник png 1920x1330px 184.99KB
• Сакральная геометрия Платонова сплошная Геометрическая форма, геометрическая, угол, прямоугольник png 512x512px 11.34KB
• Золотая рама, рама золотого цвета, кадр, угол png 1500x1500px 192. 15KB
• 65537-Гон регулярного многоугольника Угол 257-Гон, цирку, белый, текст png 1845x1845px 47.07KB
• Горошек белая точка, угол, угол, белый png 1600x1600px 18.64KB
• Угловая диаграмма угломера степени, угол, шаблон, угол png 800x791px 99.04KB
• белая сердечная иллюстрация, Белый Симметрия Черный Угловой Образец, Белое Сердце s, текстура, угол png 600x557px 19.57KB
• Форма Шестиугольник Правильный многоугольник Геометрия, форма, угол, белый png 768x768px 16.22KB
• org/ImageObject»> Куб Трехмерное пространство Сплошная геометрия Шестигранник, белый куб, угол, белый png 2000x2000px 32.09KB
• Значок в форме звезды, Голубая звезда, Голубая звезда, синий, угол png 8715x8288px 522.67KB
• иллюстрация улья, шестиугольная черепица Правильный многоугольник Тесселяция Сотовая гипотеза, Сотовый рисунок, угол, белый png 512x512px 16.31KB
• Шестигранник Правильный многоугольник Форма Геометрия, форма, синий, угол png 512x512px 9.65KB
• Квадрат прямоугольник Wiktionary четырехугольник, угол, угол, белый png 800x800px 3.79KB
• Треугольная форма фона, черный и белый абстракция, текстура, компьютерная сеть png 2480x3508px 524. 6KB
• черно-белая абстрактная живопись, Черно-белая линия, угол точки, текстура, угол png 650x883px 1.2MB
• Вращение в форме звезды, черная звезда, шаблон, угол png 512x512px 3.17KB
• Рамки и рамки Рамки, белая рамка, разное, угол png 1746x2292px 7.31KB
• Шаблон с шестигранником в форме восьмиугольника, шаблон, угол png 512x512px 2.04KB

Построение минимальных выпуклых оболочек / Хабр

Проведя небольшое научное исследование (проще говоря, выполнив поиск на сайте), обнаружил, что на хабре имеется всего две статьи с тегом

, причем одна из них оказалась моей. Т.к. в последнее время я несколько заинтересовался этой тематикой, то решил продолжить тему алгоритмической геометрии рассмотрением задачи построения так называемых минимальных выпуклых оболочек. Хотя рисунок справа и дает проницательному хаброчитателю исчерпывающее объяснение того, что это такое, тем не менее под катом будут даны чуть более формальные определения и описаны два классических алгоритма построения минимальных выпуклых оболочек.

Пусть на плоскости задано конечное множество точек A. Оболочкой этого множества называется любая замкнутая линия H без самопересечений такая, что все точки из A лежат внутри этой кривой. Если кривая H является выпуклой (например, любая касательная к этой кривой не пересекает ее больше ни в одной точке), то соответствующая оболочка также называется выпуклой. Наконец, минимальной выпуклой оболочкой (далее кратко МВО) называется выпуклая оболочка минимальной длины (минимального периметра). Я не проверял (похоже, это можно доказать от противного), но кажется очевидным, что минимальная оболочка просто обязана быть выпуклой. Все введенные понятия иллюстрируются следующим рисунком.

Главной особенностью МВО множества точек A является то, что эта оболочка представляет собой выпуклый многоугольник, вершинами которого являются некоторые точки из A. Поэтому задача поиска МВО в конечном итоге сводится к отбору и упорядочиванию нужных точек из A. Упорядочивание является необходимым по той причине, что выходом алгоритма должен быть многоугольник, т.е. последовательность вершин. Наложим дополнительно условие на порядок расположения вершин — направление обхода многоугольника должно быть положительным (напомню, что положительным называется обход фигуры против часовой стрелки).

Задача построения МВО считается одной из самых простых задач вычислительной геометрии, для нее существует много различных алгоритмов. Ниже мы рассмотрим два таких алгоритма — Грэхема (Graham scan) и Джарвиса (Jarvis march). Их описание иллюстрируется кодом на Питоне. Обоим алгоритмам потребуется функция rotate, побробно описанная в предыдущем моем посте. Напомню, что эта функция определяет, с какой стороны от вектора AB находится точка C (положительное возвращаемое значение соответствует левой стороне, отрицательное — правой).

def rotate(A,B,C):
  return (B[0]-A[0])*(C[1]-B[1])-(B[1]-A[1])*(C[0]-B[0])

Этот алгоритм является трехшаговым. На первом шаге ищется любая точка в A, гарантированно входящая в МВО. Нетрудно сообразить, что такой точкой будет, например, точка с наименьшей x-координатой (самая левая точка в A). Эту точку (будем называть ее стартовой) перемещаем в начало списка, вся дальнейшая работа будет производиться с оставшимися точками. По некоторым соображениям, исходный массив точек A нами меняться не будет, для всех манипуляций с точками будем использовать косвенную адресацию: заведем список P, в котором будут хранится номера точек (их позиции в массиве A). Итак, первый шаг алгоритма заключается в том, чтобы первой точкой в P оказалась точка с наименьшей x-координатой. Код:

def grahamscan(A):
  n = len(A) # число точек
  P = range(n) # список номеров точек
  for i in range(1,n):
    if A[P[i]][0]<A[P[0]][0]: # если P[i]-ая точка лежит левее P[0]-ой точки
      P[i], P[0] = P[0], P[i] # меняем местами номера этих точек 

Второй шаг в алгоритме Грэхема — сортировка всех точек (кроме P[0]-ой), по степени их левизны относительно стартовой точки R=A_P[0]. Будем говорить, что B<C, если точка С находится по левую сторону от вектора RB.

Для выпонения такого упорядочивания можно применять любой алгоритм сортировки, основанный на попарном сравнении элементов, например, быструю сортировку. По некоторым причинам (главная из которых — корявость^* рук), я буду использовать сортировку вставками.
*_{я буду очень признателен тем, кто сможет мне объяснить, как применить в данном случае встроенную питоновскую сортировку. ..}
Итак, сортировка вставками (не забываем про косвенную адресацию и про то, что нулевая точка не сортируется):

  for i in range(2,n):
    j = i
    while j>1 and (rotate(A[P[0]],A[P[j-1]],A[P[j]])<0): 
      P[j], P[j-1] = P[j-1], P[j]
      j -= 1

Результат сортировки можно проиллюстрировать следующим рисунком.

Если мы теперь соединим точки в полученном порядке, то получим многоугольник, который, однако, не является выпуклым.

Переходим к третьему действию. Все, что нам осталось сделать, так это срезать углы. Для этого нужно пройтись по всем вершинам и удалить те из них, в которых выполняется правый поворот (угол в такой вершине оказывается больше развернутого). Заводим стек S (реально список) и помещаем в него первые две вершины (они, опять же, гарантированно входят в МВО).

  S = [P[0],P[1]]

Затем просматриваем все остальные вершины, и отслеживаем направление поворота в них с точки зрения последних двух вершин в стеке S: если это направление отрицательно, то можно срезать угол удалением из стека последней вершины. Как только поворот оказывается положительным, срезание углов завершается, текущая вершина заносится в стек.

  for i in range(2,n):
    while rotate(A[S[-2]],A[S[-1]],A[P[i]])<0:
      del S[-1] # pop(S)
    S.append(P[i]) # push(S,P[i])

В итоге в стеке S (который теперь можно рассматривать, как список) оказывается искомая последовательность вершин, причем в нужной нам ориентации, определяющая МВО заданного множества точек A.

  return S

Сложность первого и последнего шагов алгоритма является линейной по n (хотя в последнем случае имеется вложенный цикл, однако, каждая вершина внутри этого цикла ровно один раз заносится в стек, и не более одного раза оттуда удаляется), следовательно, сложность всего алгоритма определяется вторым шагом — сортировкой, именно поэтому сортировка вставкой оказывается не лучшим вариантом при больших n. Если ее заменить на быструю сортировку, то получим суммарную сложность алгоритма O(nlogn). Можно ли улучшить это время? Если алгоритм основан на попарном сравнении точек (как у нас), то доказано, что данная оценка в общем случае не улучшаема. С этой точки зрения алгоритм Грэхема оптимален. Тем не менее у него имеется не очень хорошая особенность — он не является адаптивным в том смысле, что не важно, сколько вершин в итоге войдет в МВО (три, пять, десять или n), все равно время будет линейно-логарифмическим. Такой адаптивностью обладает алгоритм Джарвиса, к рассмотрению которого мы плавно и переходим.

Полный код алгоритма Грэхема

def grahamscan(A):
  n = len(A) # число точек
  P = range(n) # список номеров точек
  for i in range(1,n):
    if A[P[i]][0]<A[P[0]][0]: # если P[i]-ая точка лежит левее P[0]-ой точки
      P[i], P[0] = P[0], P[i] # меняем местами номера этих точек 
  for i in range(2,n): # сортировка вставкой
    j = i
    while j>1 and (rotate(A[P[0]],A[P[j-1]],A[P[j]])<0): 
      P[j], P[j-1] = P[j-1], P[j]
      j -= 1
  S = [P[0],P[1]] # создаем стек
  for i in range(2,n):
    while rotate(A[S[-2]],A[S[-1]],A[P[i]])<0:
      del S[-1] # pop(S)
    S. append(P[i]) # push(S,P[i])
  return S

Алгоритм Джарвиса (другое название — алгоритм заворачивания подарков) концептуально устроен проще алгоритма Грэхема. Он является двухшаговым и не требует сортировки. Первый шаг точно такой же — нам нужна стартовая точка, которая гарантированно входит в МВО, берем самую левую точку из A.

def jarvismarch(A):
  n = len(A)
  P = range(n)
  for i in range(1,n):
    if A[P[i]][0]<A[P[0]][0]: 
      P[i], P[0] = P[0], P[i]  

На втором шаге алгоритма строится МВО. Идея: делаем стартовую вершину текущей, ищем самую правую точку в A относительно текущей вершины, делаем ее текущей и т.д. Процесс завершается, когда текущей вновь окажется стартовая вершина. Как только точка попала в МВО, больше ее можно не учитывать. Поэтому заведем еще один список H, в котором в правильном порядке будут храниться вершины МВО. В этот список сразу же заносим стартовую вершину, а в списке P эту вершину переносим в конец (где мы ее в конце концов найдем и завершим алгоритм).

  H = [P[0]]
  del P[0]
  P.append(H[0])

Теперь организуем бесконечный цикл, на каждой итерации которого ищем самую левую точку из P относительно последней вершины в H. Если эта вершина стартовая, то прерываем цикл, если нет — то переносим найденную вершину из P в H. После завершения цикла в H находится искомая оболочка, которую мы и возвращаем в качестве результата.

  while True:
    right = 0
    for i in range(1,len(P)):
      if rotate(A[H[-1]],A[P[right]],A[P[i]])<0:
        right = i
    if P[right]==H[0]: 
      break
    else:
      H.append(P[right])
      del P[right]
  return H

Хм, мне удалось рассказать об алгоритме Джарвиса, не используя картинок. Следующий рисунок иллюстрирует все!

Оценим сложность алгоритма Джарвиса. Первый шаг линеен по n. Со вторым все интереснее. У нас имеется вложенный цикл, число внешних итераций равно числу вершин h в МВО, число внутренних итераций не превышает n. Следовательно, сложность всего алгоритма равна O(hn). Необычным в этой формуле является то, что сложность определяется не только длиной входных данных, но и длиной выхода (output-sensitive algorithm). А дальше как

точки лягут. В худшем случае все точки из A входят в МВО (т.е. A уже само по себе выпуклый многоугольник), тогда h=n и сложность подскакивает до квадратичной. В лучшем случае (при условии, что точки из A не лежат на одной прямой) h=3 и сложность становится линейной. Осталось заранее понять, какой у нас случай, что сделать не так просто (если у вас нет машины времени^**), можно только исходить из характера задачи — если точек много и они равномерно заполняют некоторую область, то (возможно) Джарвис будет быстрее, если же данные собраны на границе области, то быстрее будет Грэхем, как-то так…
**_{Машина времени вообще полезная штука с точки зрения алгоритмов, любая задача, требующая триллиона лет вычислений, с ее помощью может быть решена практически мгновенно — запускаем программу, садимся в машину времени, «летим» в будущее, считываем результат, возвращаемся назад. Осталось придумать, как обеспечить бесперебойную работу компьютера на пару триллионов лет…}

Полный код алгоритма Джарвиса

def jarvismarch(A):
  n = len(A)
  P = range(n)
  # start point
  for i in range(1,n):
    if A[P[i]][0]<A[P[0]][0]: 
      P[i], P[0] = P[0], P[i]  
  H = [P[0]]
  del P[0]
  P.append(H[0])
  while True:
    right = 0
    for i in range(1,len(P)):
      if rotate(A[H[-1]],A[P[right]],A[P[i]])<0:
        right = i
    if P[right]==H[0]: 
      break
    else:
      H.append(P[right])
      del P[right]
  return H      

На мой взгляд, задача построения минимальных выпуклых оболочек — хороший способ войти в тему вычислительной геометрии, достаточно легко придумать свой собственный алгоритм (однако, наверняка это будет вариация алгоритма Джарвиса). Утверждается, что приложений у этой задачи много, большая их часть связана с распознаванием образов, кластеризацией и т. п. Кроме того, задача построения МВО используется в качестве вспомогательного средства при решении более сложных задач вычислительной геометрии. Да, стоит отметить, что у этой задачи имеется весьма интересное трехмерное обобщение.

Спасибо всем за внимание!

Многоугольники 5 кл Наглядная геометрия

Многоугольники

Многоугольником называется фигура, образованная простой замкнутой ломаной и ограниченной ею внутренней областью.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника.

Стороны ломаной называются сторонами многоугольника.

Углы, образованные соседними сторонами называются углами многоугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Треугольником называется многоугольник с тремя углами.

Четырехугольником называется многоугольник с четырьмя углами.

Многоугольник обозначается последовательным указанием его вершин.

Правильные многоугольники

Многоугольник называется правильным , если у него все стороны равны и все углы равны. На рисунке изображены правильные треугольник, четырехугольник, пятиугольник и шестиугольник.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Правильный четырехугольник называется также квадратом.

Выпуклые многоугольники

Многоугольник называется выпуклым , если вместе с любыми двумя своими точками он содержит и соединяющий их отрезок.

На рисунках приведены примеры выпуклого и невыпуклого четырехугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Диагонали многоугольника

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины.

В ыпуклый многоугольник содержит все свои диагонали. Невыпуклый многоугольник может не содержать некоторые свои диагонали .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Звездчатые многоугольники

Иногда многоугольником называется замкнутая ломаная, у которой возможны точки самопересечения. К числу таких многоугольников относятся правильные звездчатые многоугольники, у которых все стороны равны и все углы равны.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1

Укажите, какие из представленных на рисунке фигур являются : а) выпуклыми многоугольниками ; б) невыпуклыми многоугольниками.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) 1, 3; б) 2, 4, 7.

Упражнение 2

Какая имеется зависимость между числом вершин , числом углов и числом сторон многоугольника?

Ответ: Число вершин равно числу углов и равно числу сторон.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 3

Является ли шестиугольник, изображенный на рисунке, правильным?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 4

Является ли восьмиугольник, изображенный на рисунке, правильным?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 5

Сколько диагоналей имеет:

а) треугольник?

0;

б) четырехугольник?

2;

в) пятиугольник?

5;

г) шестиугольник?

9 .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 6

Существует ли многоугольник, число диагоналей которого равно числу его сторон?

Ответ: Да, пятиугольник.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 7

Выпуклый многоугольник имеет 14 диагоналей. Сколько у него сторон?

Ответ: 7.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 8

Может ли многоугольник иметь 10 диагоналей ?

Ответ: Нет.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 9

На сколько треугольников делится выпуклый: а) 4-угольник; б) 5-угольник; в) 6-угольник своими диагоналями, проведенными из одной вершины?

Ответ: а) 2;

б) 3;

в) 4 .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 10

Изобразите два треугольника так, чтобы их общей частью (пересечением) был : а) треугольник; б) четырехугольник; в) пятиугольник; г) шестиугольник.

Ответ:

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 11

Может ли общей частью ( пересечением ) двух треугольников быть семиугольник?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 12

Приведите пример, когда общей частью (пересечением) треугольника и четырехугольника является восьмиугольник.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 13

Сколько сторон имеют звездчатые многоугольники, изображенные на рисунке?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 5; 7; 7.

Упражнение 14

На сколько частей разбивают плоскость звездчатые многоугольники, изображенные на рисунке?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 7; 9; 16.

Упражнение 15

На рисунке изображен многоугольник ABCDE . Из точки O видны полностью стороны AB , DE и AE и лишь частично сторона CD . Нарисуйте какой-нибудь многоугольник и точку O внутри него так, чтобы ни одна из сторон не была видна из нее полностью.

Ответ:

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

20

Семиугольник – определение, форма, свойства, формулы

Определение

Семиугольник – это многоугольник с семью сторонами и семью углами. Термин «гептагон» происходит от греческих слов «гепта», что означает «семь», и «гон», что означает стороны. Семиугольник также известен как 7-угольник или септагон («септа» означает семь на латыни).

Приведенные ниже свойства и формулы для нахождения периметра и площади применимы только к правильному семиугольнику.

Свойства

1. Имеет 7 сторон одинаковой длины; в семиугольнике ABCDEFG, AB = BC = CD = DE = EF = FG = GA
2. Имеет 7 внутренних углов, каждый размером 128,57°; поэтому ∠ABC = ∠BCD = ∠CDE = ∠DEF = ∠EFG =∠FGA = ∠GAB
3. Сумма всех семи внутренних углов равна 900°; поэтому ∠ABC + ∠BCD + ∠CDE + ∠DEF + ∠EFG +∠FGH + ∠GAB= 900°
4. Имеет 7 внешних углов, каждый из которых равен 51,43°
5. Имеет 14 диагоналей; показаны как AC, AD, AE, AF, BD, BE, BF, BG, CE, CF, CG, DF, DG и EG

Формулы

Периметр

Формула для нахождения периметра семиугольника приведена ниже:

Решение:

Как мы знаем,
Периметр (P) = 7a, здесь a = 22 см
= 7 x 22 см
= 154 см

Площадь

Приведенное выше уравнение примерно равно

A = 3,634a ² квадратных единиц, здесь cot π/7 = cot 25,71 = 2,0765

Решение:

Как мы знаем,
Площадь (А) = 7/4 (а ² койн π/7)
= 3,634 а ² , здесь а = 7 см 6 3 4 1 = 3 (

Углы

Внутренний угол

Угол, образованный внутри семиугольника в его углах, когда отрезки соединяются встык.

Сумма внутренних углов

Общая мера всех внутренних углов, объединенных в семиугольнике. Формула приведена ниже:

Сумма внутренних углов = (n-2) x 180°, здесь n = количество сторон

В семиугольнике ABCDEFG n = 7

Таким образом,

Сумма внутренних углов = (7 -2) x 180°

= 900°

Один внутренний угол

Размер одного внутреннего угла можно получить, разделив сумму внутренних углов на количество стороны в семиугольнике. Формула приведена ниже:

Один внутренний угол = (n-2) x 180°/n, здесь n = количество сторон

В семиугольнике ABCDEFG n = 7

Таким образом, внутренние углы = (7-2) x 180°/7

= 128,57°

Внешний угол

Угол, образованный любой стороной семиугольника и продолжением примыкающей к нему стороны. Формула приведена ниже:

Внешний угол = 360°/n, здесь n = количество сторон

В семиугольнике ABCDEFG n = 7

Таким образом,

Внешний угол = 9000°5/7 = 51,43°

Типы

В зависимости от сторон, углов и вершин формы семиугольников подразделяются на следующие типы:

1. Правильный семиугольник : имеет семь сторон одинаковой длины и семь внутренних углов, каждый размером 128,571° и внешний угол 51,43° каждый. Стороны правильного семиугольника встречаются друг с другом под углом 5π/7 радиан или [128(4/7) градусов]. Он имеет семь линий симметрии и вращательное равновесие седьмого порядка. Все правильные семиугольники выпуклы.
2. Неправильный семиугольник : Не все стороны равны или все внутренние углы равны, но сумма всех семи внутренних углов равна 900°. Неправильный семиугольник может быть как выпуклым, так и вогнутым.
3. Выпуклый семиугольник : все вершины направлены наружу. Ни один внутренний угол выпуклого семиугольника не превышает 180°, а все диагонали лежат внутри замкнутой фигуры. Выпуклый семиугольник может быть как правильным, так и неправильным.
4. Вогнутый семиугольник : Иметь по крайней мере одну вершину, направленную внутрь с внутренним углом больше 180°. Хотя бы одна диагональ лежит вне замкнутой фигуры. Таким образом, все вогнутые семиугольники неправильные.

Примеры из реальной жизни

• В Соединенном Королевстве в настоящее время есть две семиугольные монеты номиналом 50 и 20 пенсов, а барбадосский доллар также имеет семиугольную форму. Монета Замбии номиналом 1000 квач представляет собой настоящий семиугольник.
• Бразильская монета номиналом 25 центов имеет семиугольник, вписанный в диск монеты.
• В архитектуре семиугольные планы этажей встречаются в Мавзолее принца Эрнста в Штадтхагене, Германия.
• Некоторые другие искусственные объекты, такие как семиугольная призма, окно, часы, зеркало и газон.
• Некоторые полицейские партии в США имеют контур гептаграммы {7/2}.
• Форма некоторых кактусов.
• Полный граф K7 часто изображают в виде правильного семиугольника с двадцатью одним соединенным ребром.

Добавить комментарий | plus.maths.org

Представлено Марианной 7 ноября 2016 г.

Задача со счастливым концом — одна из тех математических вопросы, которые довольно легко объяснить, но до сих пор бросили вызов всем пытается ответь им. Некоторые из лучших математиков мира поставили свои умы к этому, безрезультатно. Это касается точек нарисованные на листе бумаги и фигуры, которые вы можете создать, соединяя их.

Начнем с трех точек, нарисованных на листе бумаги, которые не все лежат на линия. Вы всегда можете соединить их, чтобы сформировать треугольник, у которого три точки являются углами:

Три точки на плоскости образуют треугольник (пока они не лежат на одной линии).

Что произойдет, если у вас есть четыре точки (причем никакие три из них не лежат на одной линии)? Соединив их, вы можете создать четырехсторонняя фигура (называемая четырехугольником ), у которой четыре точки являются углами:

Некоторые четырехугольники.

Но в зависимости от того, как расположены точки, четырехугольник может выглядеть немного странно (как центральный на изображении выше), содержащий вмятины и шипы и совсем не похожий на аккуратный и правильный прямоугольник, который первым приходит на ум, когда мы думаем о четырехугольнике. цифры. Итак, давайте наложим еще одно ограничение. Посмотрим, сможем ли мы нарисуйте выпуклый четырехугольник с нашими четырьмя точками, что то есть такой, у которого все внутренние углы не превышают 180 градусов. Этот гарантирует, что форма не содержит углов, которые «вдавлены внутрь», создание вмятины. Четырёхугольник внизу не выпуклый, а левый и правый на рисунке выше выпуклые.

Невыпуклый четырехугольник.

Некоторые простые примеры показывают, что при четырех точках вы не всегда можете рисовать выпуклый четырехугольник:

Имея четыре точки, не всегда возможно соединить их так, чтобы получился выпуклый четырехугольник.

Однако все меняется, когда вы добавляете еще одну точку. Когда у тебя есть пять точек, нарисованных на листе бумаги (при этом три из них не должны лежать на одной линии), всегда можно соединить четыре из чтобы они образовали выпуклый четырехугольник. Дополнительный балл дает вам только достаточно гибкости, чтобы сделать это. Вот несколько примеров (на самом деле вы можете нарисовать несколько разных выпуклых четырехугольников с одними и теми же пятью точками):

Имея пять точек (причем никакие три из них не лежат на одной прямой), вы всегда можете найти выпуклый четырехугольник, у которого четыре из них являются углами.

Этот результат был назван теоремой о счастливом конце математик Пауль Эрдёш, потому что два его друга, которые работали над ним, Джордж Секерес и Эстер Кляйн, в итоге получили женатый. Вы можете увидеть набросок доказательства этого результата ниже.

Добавление сторон

Очевидный следующий вопрос: сколько точек вам нужно убедитесь, что вы можете соединить пять из них, чтобы сформировать выпуклую пятиугольник (пятигранная фигура). Ответ 9(без трех из них, лежащих на одной линии). Вот два примера:

Имея девять точек (причем никакие три из них не лежат на одной прямой), вы всегда можете найти выпуклый пятиугольник, у которого пять из них являются углами.

Чтобы убедиться, что ты умеешь рисовать выпуклый шестиугольник (шесть сторон) нужно 17 точек. Вот пример:

Имея 17 точек (при этом никакие три из них не лежат на одной линии), вы всегда можете найти выпуклый шестиугольник, у которого шесть из них являются углами.

Сколько точек вам нужно, чтобы быть уверенным, что вы можете нарисовать выпуклый семиугольник (стороны), у которого эти точки являются углами? Ответ в том, что никто не знает. То же самое касается , , или любого количества сторон. Эрдёш и Секереш считали, что при заданном натуральном числе количество точек, необходимое для того, чтобы соединить их и образовать многоугольник с выпуклыми сторонами, равно 9.0005

Результат верен для (треугольников), как в этом случае

Он также работает для , и , как

и

Но верен ли результат для неизвестно. Эрдёш и Секерес смогли доказать, что количество точек, необходимое для получения выпуклого многоугольника, всегда не меньше, а также доказали его конечность: другими словами, нарисовав достаточное количество точек, вы можете быть уверены, что найдется многоугольник. внутри них есть многоугольник с выпуклыми сторонами. Что не было доказано, так это то, сколько достаточно.

Задача о счастливом конце иллюстрирует интересное явление: если система достаточно велика (например, достаточно много точек), то вы можете надеяться найти в ней какой-то порядок (например, выпуклые фигуры), даже если система как все в беспорядке. Это явление изучается областью математики позвонил Рэмси теория . Вы можете узнать больше в Plus статья Друзья и незнакомцы .

Набросок доказательства теоремы о счастливом конце для

Предположим, у вас есть пять точек на плоскости. Давайте сначала предположим, что три из этих точек можно соединить, чтобы сформировать треугольник, содержащий две оставшиеся точки, назовем их и , внутри себя. Линия, соединяющая эти две внутренние точки, делит треугольник на две части. Одна часть содержит только один из углов треугольника, а другая содержит два: назовите эти два угла и .

Треугольник, разрезанный на две части.

Теперь нетрудно убедить себя с помощью элементарной геометрии, что четырехугольник (см. рисунок ниже) не имеет внутренних углов больше градусов. Это означает, что он выпуклый.

По крайней мере одна точка лежит вне треугольника.

Что, если не существует треугольника, внутри которого две точки из пяти? Тогда по крайней мере одна из них лежит вне любого треугольника, который вы образуете с тремя точками (см. рисунок ниже). Вы можете составить четырехугольник из трех точек треугольника и внешней точки, и снова несложно показать, что все внутренние углы этого четырехугольника меньше градусов, а это означает, что он выпуклый.

Об авторе

Марианна Фрейбергер является редактором Plus .

Подробнее о…

геометрия

Евклидова геометрия

задача о счастливом конце

полигон

Геометрические свойства семиугольника | calcresource

Содержание

— Определения

— Свойства правильных семиугольников

— Симметрия

— Внутренний и центральный угол

— Окружность и вписанность

— Площадь и периметр

— Ограничительная рамка

— Примеры

— Шпаргалка правильного семиугольника

— См. также

Определения

Семиугольник — это многоугольник с семью сторонами и семью вершинами. Как и любой многоугольник, семиугольник может быть выпуклым или вогнутым , как показано на следующем рисунке. Когда он выпуклый, все его внутренние углы меньше 180°. С другой стороны, когда он вогнутый, один или несколько его внутренних углов больше 180°. Когда все ребра семиугольника равны, он называется равносторонний. Равносторонний семиугольник может быть как выпуклым, так и вогнутым. Когда все ребра равны и, кроме того, все внутренние углы равны, тогда семиугольник является правильным . Правильный семиугольник по умолчанию выпуклый. На следующем рисунке показана классификация семиугольников, а также представлены некоторые вогнутые равносторонние, которые не являются правильными. Любой неправильный семиугольник называется неправильным .

Сумма внутренних углов семиугольника постоянна и равна 900°. Это общая характеристика любого семиугольника, правильного или неправильного, выпуклого или вогнутого. Истинность этого свойства легко обнаружить, если мы разделим семиугольник на отдельные непересекающиеся треугольники. Для этого нам нужно провести прямые линии между всеми вершинами, избегая пересечений. В конце семиугольник делится на пять треугольников, как показано на рисунке ниже. Принимая во внимание, что в одном треугольнике сумма внутренних углов равна 180°, заключаем, что для 5 треугольников сумма внутренних углов должна составлять 5×180°=900° или 5\pi.

Свойства правильных семиугольников

Симметрия

Правильный семиугольник имеет семь осей симметрии. Каждая ось проходит через вершину семиугольника и середину противоположного ребра, как показано на следующем рисунке. Все оси симметрии пересекаются в одной точке — центре правильного семиугольника. который также является центром тяжести или центроидом формы.

Внутренний и центральный угол

По определению внутренние углы правильного семиугольника равны. Также общим свойством всех семиугольников является то, что сумма их внутренних углов всегда равна 9.\circ

Не случайно внутренний и центральный углы в сумме дают \pi:

\varphi+\theta={5\pi\over7}+{2\pi\over7}=\pi.

Другими словами \phi и \theta являются дополнительными углами.

Окружность и вписанность

Для каждого правильного многоугольника можно нарисовать окружность, которая касается всех вершин многоугольника. Это так называемая описанная окружность правильного многоугольника, а также характерное свойство правильного семиугольника. Как правило, описанная окружность также упоминается как описанная окружность . Центр этой окружности также является центром семиугольника, где пересекаются все оси симметрии. Радиус описанной окружности, R_c, обычно называют радиусом описанной окружности .

Другим характерным кругом правильных многоугольников, а следовательно, и правильного семиугольника является так называемая вписанная окружность или вписанная в окружность , короче. Вписанная окружность касается всех ребер, соприкасающихся с ними в их средней точке. Его радиус R_i обычно называют в радиусе . Вписанная и описанная окружность имеют один и тот же центр.

На следующем рисунке показаны описанная и вписанная окружности правильного семиугольника.

Радиус описанной окружности R_c и внутренний радиус R_i связаны с длиной ребра правильного многоугольника a. В этом разделе мы попытаемся установить эти соотношения для правильного семиугольника. Будет рассмотрен выделенный треугольник на следующем рисунке. Одна вершина треугольника на самом деле является центром семиугольника. В результате одно из его ребер, выходящее в вершину семиугольника, должно быть равно радиусу описанной окружности R_c, а другое, выходящее в середину ребра семиугольника, должно быть равно внутреннему радиусу R_i. Последний также является биссектрисой центрального угла \theta, и, следовательно, внутренний угол треугольника относительно центра должен быть равен \theta/2. Кроме того, треугольник является прямоугольным, поскольку по определению вписанная окружность касается ребер многоугольника в их середине.

Используя базовую тригонометрию, находим:

\begin{split} R_c & = \frac{a}{2 \sin{\frac{\theta}{2}}} \\ R_i & = \frac{a}{ 2 \tan{\frac{\theta}{2}}} \\ R_i & = R_c \cos{\frac{\theta}{2}} \end{split}

где \theta — центральный угол, а a — длина стороны. Оказывается, эти выражения справедливы для любого правильного многоугольника, а не только для семиугольника. Мы можем получить конкретное выражение для правильного семиугольника, установив \theta=2\pi/7. Эти конкретные формулы для правильного семиугольника:

\begin{split} R_c & = \frac{a}{2 \sin(\pi/7)} \ приблизительно 1,152 a \\ R_i & = \frac{a}{2 \tan(\pi/7) } \ приблизительно 1,038 a \\ \\ R_i & = R_c \cos(\pi/7) \ приблизительно 0,901 R_c \end{split}

РЕКЛАМА

Площадь и периметр

Площадь правильного семиугольника (или любого правильного polygon) можно выразить через длину ребра a. Этого можно добиться, если разделить фигуру на более простые подобласти. На самом деле правильный семиугольник разбивается на семь одинаковых равнобедренных треугольников, если провести прямые линии из центра к каждой вершине. Эти линии являются радиусами описанной окружности и, следовательно, имеют длину R_c. Высоты треугольников (от центра семиугольника к противоположному краю) также являются медианами и, действительно, радиусами вписанной окружности с длиной, равной R_i (поскольку вписанная окружность касается всех сторон семиугольника, касаясь их середины) . Тогда площадь каждого треугольника равна: 92

Периметр любого N-стороннего правильного многоугольника представляет собой просто сумму длин всех ребер: P = N a . Следовательно, для правильного семиугольника ширина семь ребер:

P = 7a

Ограничивающая рамка

Ограничивающая рамка плоской фигуры — это наименьший прямоугольник, полностью охватывающий фигуру. Для правильного семиугольника ограничивающую рамку можно нарисовать интуитивно, как показано на следующем рисунке. Его размеры, а именно высота h и ширина w, зависят от длины ребра семиугольника a. Эти отношения рассматриваются далее.

Высота

Высота h правильного семиугольника — это расстояние от одной из его вершин до противоположного ребра. Он действительно перпендикулярен противоположному краю и проходит через центр семиугольника. Однако по определению расстояние от центра до вершины равно радиусу описанной окружности R_c семиугольника, а расстояние от центра до края равно радиусу R_i. Таким образом, получается следующее выражение:

h=R_c+R_i

Можно выразить высоту h через радиус описанной окружности R_c, внутренний радиус R_i или длину стороны a, используя соответствующие аналитические выражения для этих величин. Выводятся следующие формулы:

h=R_c\left(1+\cos(\theta/2)\right)

h=R_i\left(1+{1\over \cos(\theta/2)}\right)

h ={a\over2}{1+\cos(\theta/2)\over\sin(\theta/2)}

, где \theta=2\pi/7.

Подставляя значение \theta правильного семиугольника в последние выражения, получаем следующие приближения: Ширина w — это расстояние между двумя противоположными вершинами правильного семиугольника (длина его диагонали). Чтобы найти это расстояние, мы будем использовать прямоугольный треугольник, выделенный пунктирной линией на рисунке выше.

Гипотенуза треугольника на самом деле является длиной стороны семиугольника, которая равна a. Кроме того, один из углов треугольника является дополнительным к соседнему внутреннему углу \varphi семиугольника. Однако ранее объяснялось, что дополнение к \varphi действительно является центральным углом \theta. Следовательно, мы можем найти длину w_1 стороны треугольника:

w_1=a \cos\theta

Наконец, мы можем определить общую ширину w, прибавив удвоенную длину w_1 к длине стороны a (из-за симметрии треугольника справа от семиугольника идентичен рассмотренному):

w=a+2a \cos\theta

Подставив \theta=2π/7, получим аппроксимацию последней формулы: радиус и площадь правильного семиугольника с длиной стороны a=10»

Мы будем использовать точные аналитические выражения для радиуса описанной окружности и радиуса внутренней стороны через длину стороны a, которые были описаны в предыдущем разделы. Это:

R_c = \frac{a}{2 \sin(\pi/7)}

R_i = \frac{a}{2 \tan(\pi/7)}

Поскольку длина стороны a задана, все нам нужно подставить его значение 10» в эти выражения. Если ваш калькулятор ожидает градусы для тригонометрических функций, угол \pi/7 равен примерно 25,71°. Радиус описанной окружности:

R_c= \frac{10»}{2 \sin(\pi/7)}\приблизительно 11,52»,

и внутренний радиус:

R_i= \frac{10»}{ 2 \тангенс(\пи/7)}\приблизительно 10,38».

Площадь правильного семиугольника также выражается через длину стороны a по следующей формуле: 92}{7} \tan(\pi/7) }\приблизительно5.746\ \textrm{in}

2. Правильный семиугольник с заданной высотой

Высота правильного семиугольника связана с длиной стороны a при уравнение:

h=\frac{a\left(1+\cos(\pi/7)\right)}{2\sin(\pi/7)}

Перестановка:

a={2h\sin (\pi/7) \over 1+\cos(\pi/7)}

Из последнего выражения можно вычислить требуемую длину стороны a, если подставить h=16»:

a={2\ раз16»\sin(\pi/7) \более 1+\cos(\pi/7))}\приблизительно7.304»

3. Правильный семиугольник заданной ширины

Ширина правильного семиугольника связана с длиной стороны a по формуле:

w=a+2a \cos(2\pi/7)

Следовательно:

a=\frac{w}{1+2\cos(2\pi/7)}

Из последнего уравнения можно вычислить требуемую длину стороны a, если подставить w=10»:

a=\ frac{10»}{1+2\cos(2\pi/7)}\приблизительно 4,450»

Шпаргалка по правильному семиугольнику

В следующей таблице приведен краткий список основных формул, относящихся к регулярному входит семиугольник. Также перечислены некоторые приближения, которые могут оказаться полезными для практических задач. 9\circ

См. также

Определение, Типы, Свойства, Формула, Примеры

Семиугольник — двумерная фигура с семью углами, семью вершинами и семью ребрами. Этот семиугольный многоугольник «семиугольник» состоит из двух слов «Гепта» и «Гония», что означает семь углов. Другое его название — септагон или 7-угольник. Семиугольник имеет четырнадцать диагоналей. Многоугольник — это замкнутая двумерная фигура, состоящая из прямых сторон, имеющих любое количество сторон. Простыми словами можно сказать, что семиугольник — это многоугольник с 7 сторонами.

В этой статье мы рассмотрим свойства и форму семиугольника. Мы обсудим его стороны, внутренние углы, диагонали и вершины. Мы решим несколько примеров, связанных с концепцией, для лучшего понимания.

1.	Что такое семиугольник?
2.	Типы формы семиугольника
3.	Свойства семиугольника
4.	Формула обычного семиугольника
5.	Углы семиугольника
6.	Часто задаваемые вопросы о Heptagon

Что такое семиугольник?

Семиугольник — это семиугольник с семью углами, семью вершинами и семью ребрами. Они могут иметь одинаковые или разные размеры длины. Это замкнутая фигура, а семиугольник, у которого все семь сторон равны, называется правильным семиугольником. Давайте посмотрим на приведенный ниже рисунок, на котором изображен семиугольник.

Стороны семиугольника

Семь сторон семиугольника представляют собой прямые ребра и могут иметь одинаковую или разную длину. Эти стороны встречаются друг с другом, но не пересекаются и не пересекаются. Стороны семиугольника встречаются в вершинах, образуя замкнутую семигранную фигуру.

Углы семиугольника

Семиугольник имеет семь внутренних углов, а сумма всех внутренних углов равна 900°. Некоторые углы фигуры могут быть тупыми или острыми. Сумма внешних углов семиугольника равна 360 °, и это справедливо как для правильных, так и для неправильных семиугольников.

Диагонали семиугольника

Семиугольник имеет четырнадцать диагоналей. Для выпуклого семиугольника диагонали лежат внутри фигуры, тогда как для вогнутого семиугольника по крайней мере одна диагональ лежит вне фигуры.

Типы формы семиугольника

Формы семиугольника можно разделить на категории в зависимости от их сторон и углов.

I) В зависимости от длины сторон семиугольники можно классифицировать следующим образом:

• Обычный семиугольник: Правильный семиугольник — это тот, у которого равны стороны и углы. Сумма всех внутренних углов многоугольника равна (n — 2) × 180°, где n — количество сторон. Поскольку у семиугольника 7 сторон, сумма его внутренних углов равна (7 — 2) × 180° = 5 × 180° = 900°. Величина каждого внутреннего угла правильного семиугольника равна 900°/7 = 128,57°

  .

• Неправильный семиугольник: Неправильный семиугольник — это тот, у которого стороны и углы разной величины. Величина каждого внутреннего угла неправильного семиугольника будет разной. Однако сумма всех внутренних углов неправильного семиугольника также равна 9.00°.

На следующих рисунках показаны правильный и неправильный семиугольник.

II) По величине угла семиугольники можно классифицировать следующим образом:

• Выпуклый семиугольник: У выпуклого семиугольника все внутренние углы меньше 180°. Они могут быть правильными или неправильными семиугольниками. Все вершины выпуклого семиугольника направлены наружу.

• Вогнутый семиугольник: В вогнутом семиугольнике по крайней мере один из внутренних углов больше 180°. Они могут быть правильными или неправильными семиугольниками. По крайней мере, одна вершина указывает внутрь вогнутого семиугольника.

На следующих рисунках показаны выпуклый и вогнутый семиугольник.

Свойства Гептагона

Теперь, когда мы знаем основное значение семиугольника, давайте теперь рассмотрим некоторые важные свойства семиугольника следующим образом:

• Семиугольник имеет 7 сторон, 7 ребер и 7 вершин.
• Сумма внутренних углов семиугольника равна 900°.
• Величина каждого внутреннего угла правильного семиугольника равна 128,57°
• Сумма внешних углов семиугольника равна 360°
• Количество диагоналей, которые можно провести в семиугольнике, равно 14.
• Центральный угол правильного семиугольника приблизительно равен 51,43 градуса.
• Правильный семиугольник также известен как выпуклый семиугольник, так как все его внутренние углы меньше 180°
• Неправильный семиугольник имеет неравные стороны и углы разной величины.

Формула обычного семиугольника

Существует множество формул, связанных с правильным семиугольником. Давайте разберемся, как найти периметр и площадь правильного семиугольника, используя формулы семиугольника.

Периметр семиугольника

Мы знаем, что у правильного семиугольника 7 сторон одинаковой длины. Следовательно, периметр правильного семиугольника равен 7 × длина стороны. Следовательно, периметр правильного семиугольника со стороной «а» определяется как Периметр = 7a

Площадь семиугольника

Площадь семиугольника определяется как общее пространство, занимаемое многоугольником. Площадь правильного семиугольника со стороной «а» рассчитывается по формуле Площадь = (7a²/4) cot (π/7). Эту формулу можно упростить и приблизительно записать как 3,634а², где «а» — длина стороны. Мы можем использовать это, чтобы вычислить площадь правильного семиугольника.

Углы семиугольника

Семиугольник состоит из 7 внутренних и 7 внешних углов. Давайте прочитаем о внутренних и внешних углах семиугольника.

Внутренние углы правильного семиугольника

Сумма внутренних углов правильного многоугольника определяется по формуле внутреннего угла: (n — 2) × 180º, где n — количество сторон многоугольника. Таким образом, для семиугольника n = 7. Сумма внутренних углов правильного семиугольника = (7 — 2) × 180º = 900º. Таким образом, каждый внутренний угол правильного семиугольника = 900/7 = 128,57º

Внешние углы правильного семиугольника

Согласно формуле суммы внешних углов сумма всех внешних углов правильного многоугольника равна 360º . Таким образом, сумма всех внешних углов правильного семиугольника равна 360º. Таким образом, каждый внешний угол правильного семиугольника = 360/7 = 51,43°.

Похожие статьи

• Многоугольники
• Шестигранник
• Внутренние уголки

Часто задаваемые вопросы о Heptagon

Что такое семиугольник в математике?

A семиугольник — это семиугольник, который имеет 7 сторон, 7 вершин и 7 ребер. Длины сторон и меры углов семиугольника могут быть равны или не равны друг другу. Другое название семиугольника — септагон.

Что такое выпуклый семиугольник?

Выпуклый семиугольник — это такой, у которого все внутренние углы меньше 180°. Все вершины выпуклого семиугольника направлены наружу.

Как рассчитать диагонали семиугольника?

Диагонали семиугольника можно вычислить, нарисовав отрезки, соединяющие каждые две противоположные вершины, и посчитав их. Мы также можем рассчитать количество диагоналей, используя формулу n(n — 3)/2, где n — количество сторон многоугольника. Для семиугольника значение n равно 7. Таким образом, количество диагоналей можно рассчитать как 7(7 — 3)/2 = 28/2 = 14,9.0005

Сколько диагоналей у семиугольника?

Семиугольник имеет 14 диагоналей, которые можно рассчитать по формуле n(n — 3)/2, где n — количество сторон.

Чему равна сумма углов в семиугольнике?

Сумма внутренних углов семиугольника равна 900°, что можно рассчитать по формуле внутреннего угла правильного многоугольника (n — 2) × 180°, где n — количество сторон. Для семиугольника значение n равно 7. Таким образом, по формуле сумма внутренних углов будет равна 900°. Сумма внешних углов семиугольника равна 360°.

Как найти внутренние углы правильного семиугольника?

Каждый внутренний угол правильного семиугольника можно рассчитать, используя сумму внутренних углов семиугольника, которая равна 900°. Поскольку все углы правильного семиугольника равны, а внутренних углов в семиугольнике 7, величина каждого внутреннего угла будет равна 900°/7 = 128,57°

Как найти периметр правильного семиугольника?

Периметр — это сумма всех сторон многоугольника. Поскольку у правильного семиугольника 7 сторон одинаковой длины, его периметр рассчитывается по формуле: периметр правильного семиугольника = 7 × длина стороны.

Как классифицировать семиугольники на основе сторон семиугольника?

Семиугольники можно разделить на правильные и неправильные семиугольники в зависимости от длины их сторон. Если все семь сторон имеют одинаковую длину, то такой семиугольник называется правильным. С другой стороны, если хотя бы одна сторона семиугольника имеет другую длину, то это неправильный семиугольник.

Какие бывают типы семиугольников?

Мы можем классифицировать семиугольники на основе сторон и углов. У нас есть в основном четыре типа семиугольников:

• Обычный семиугольник
• Неправильный семиугольник
• Вогнутый семиугольник
• Выпуклый семиугольник

комбинаторика — Сколькими неизоморфными способами можно разрезать выпуклый многоугольник с $n + 2$ сторонами на треугольники?

Задачи этого типа (подсчет орбит объектов под некоторой группой симметрии $~G$, здесь группа диэдра, связанная с $(n+2)$-угольником) можно решить с помощью леммы Бернсайда, которая утверждает, что число орбит равен среднему по всем элементам группы $g\in G$ числа объектов, зафиксированных $~g$. Вы уже знаете количество объектов (триангуляций), фиксируемых элементом тождества, а именно всех их $C_n$. Остальные элементы группы можно разбить на классы сопряженности, поскольку число объектов, фиксируемых $~g$, постоянно при изменении $g$ в классе сопряженности. Только несколько классов сопряженности вообще допускают какие-либо фиксированные объекты, что делает возможным такой подсчет.

Для упрощения положим $m=n+2$, поэтому мы рассматриваем триангуляции $m$-угольника, а $G=\operatorname{Dih}_m$, группу диэдра порядка $~2m$. Среди поворотов нам нужно рассматривать только повороты порядка $2$ или $3$, если они существуют, поскольку центр $m$-угольника должен находиться либо на ребре триангуляции, либо внутри треугольника, а это ребро Один только треугольник ограничивает возможную вращательную симметрию триангуляции не более чем в два раза, соответственно в три раза. Отражения в $~G$ образуют либо один, либо два класса сопряженности (когда $m$ соответственно четно и нечетно). При четном $m$ отражения $~g$, ось которых не проходит ни через какие вершины (а только через две середины сторон), не допускают никаких триангуляций, зафиксированных $~g$, так как ни для одной из сторон, пересекаемых оси отражения, третий угол треугольника на этой стороне должен быть $g$-фиксированной вершиной, которой не существует. По тем же соображениям, если $m$ нечетно, любая триангуляция, зафиксированная отражением, должна содержать (равнобедренный) треугольник, определяемый стороной и вершиной на оси отражения.

Рассмотрим поворот $~z$ порядка $~2$, который происходит в $~G$, когда $m$ четно. Любая фиксируемая им триангуляция должна содержать ровно одну из $m/2$ диагоналей, проходящих через центр $m$-угольника. После выбора этой диагонали $z$-симметричная триангуляция определяется триангуляцией одного из двух $(m/2+1)$-угольников, на которые разбивается $m$-угольник, так как другой должен — его образ на $~z$; это можно сделать $C_{m/2-1}$ разными способами. Таким образом, всякий раз, когда $m$ четно, $z$ вносит фиксированные им $\frac m2C_{m/2-1}$ триангуляции. Аналогично, всякий раз, когда $m$ делится на $~3$, существуют два поворота $~\rho$ порядка $~3$; каждый из них фиксирует один и тот же набор триангуляций, но мы не должны забывать считать их дважды. $\rho$-неподвижная триангуляция должна содержать ровно один из $m/3$ равносторонних треугольников, имеющих общий центр с $m$-угольником. Каждый такой треугольник оставляет три $(m/3+1)$-угольника для триангуляции, но после того, как это будет сделано для одного из них одним из $C_{m/3-1}$ возможных способов, остальные определяются требуемой $\rho$-симметрией. Таким образом, вклад $3$-кратной симметрии, когда она существует, составляет $2\frac m3C_{m/3-1}$.

Остались отражения. Если $m$ нечетно, то существует $m$ сопряженных отражений, для каждого из которых, как мы видели, ось определяет треугольник, который должен входить в любую фиксированную ею триангуляцию, и остаются два $(m+1)/2$ -угольников, из которых по-прежнему достаточно триангулировать один одним из $C_{(m-3)/2}$ возможных способов. Это дает $mC_{(m-3)/2}$ всякий раз, когда $m$ нечетно. Последний случай, когда $m$ четный и $\sigma$ является одним из отражений $\frac m2$, ​​ось которого проходит через две противоположные вершины, является наиболее тонким. С одной стороны, сама ось может оказаться в триангуляции, и эта возможность объясняет (для всех таких отражений вместе взятых) $\frac m2C_{m/2-1}$ $\sigma$-фиксированных триангуляций (то же число, что и вклады только $z$). Однако ось отражения не обязательно должна встречаться в триангуляции: она может проходить внутри треугольников, а поскольку каждое ребро триангуляции, пересекающееся с осью, должно быть перпендикулярно ей, то видно, что таких (равнобедренных) треугольников должно быть ровно два. которые охватывают ось симметрии. Чтобы найти вклад такой симметричной конфигурации, можно было бы просуммировать все возможности для этой пары треугольников и обнаружить, что результат может быть упрощен квадратичной рекуррентностью, которой удовлетворяют каталонские числа; однако можно перейти к результирующему выражению с помощью следующего трюка: четырехугольник, образованный двумя треугольниками, охватывающими ось, можно повторно триангулировать другим способом, и в результате получается $\sigma$-фиксированная триангуляция, в которой ось происходить. Соответствие биективно, так что мы получаем еще один вклад $\frac m2C_{m/2-1}$.

Подведем итоги, используя скобку Айверсона $[d\mid n]$ для обозначения $1$, когда $d$ делит $n$, и $0$ в противном случае. Количество конфигураций для $m=n+2$ определяется выражением $$ f(m)= \frac1{2m}\left(C_{m-2} +[2\mid m]\,\frac{3m}2C_{m/2-1} +[2\not\mid m]\,mC_{(m-3)/2} +[3\mid m]\,\frac{2m}3C_{m/3-1}\right) $$ Если хотите, вы можете объединить два средних члена в круглых скобках с помощью $\Bigl(1+\frac{[2\mid m]}2\Bigr)\,mC_{\lfloor m/2\rfloor-1}$ для несколько более компактная формула. Первые несколько значений этого выражения как функции $n$ равны $$\стиль сценария \begin{matrix} n & 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16 \\ \hline f(n+2)&1&1&1&3&4&12&27&82&228&733&2282&7528&24834&83898&285357&983244 \end{матрица} $$

Как только мы получим эти цифры, их, конечно же, будет легко найти в OEIS. Действительно, это последовательность A000207, название которой: «Число неэквивалентных способов разрезать правильный $(n+2)$-угольник на $n$ треугольников $n-1$ непересекающимися диагоналями при поворотах и ​​отражениях; также количество плоские $2$-деревья».

Сколько диагоналей имеет каждый из следующих iA выпуклый четырехугольник iiA правильный шестиугольник iiiA .

Перейти к

• Понимание фигур и многоугольников. Упражнение 15.1.

• Рациональное число
• Полномочия
• Квадраты и квадратные корни
• Куб и кубические корни
• Игра с числами
• Алгебраические выражения и тождества
• Факторизация
• Отдел алгебраических выражений
• Линейное уравнение с одной переменной
• Прямые и обратные варианты
• Время и работа
• Процент
• Скидка на убыток и налог на добавленную стоимость
• Сложные проценты
• Понимание многоугольников фигур
• Понимание фигур Четырехугольники
• Понимание фигур Специальные типы четырехугольников
• Практическая геометрия
• Визуализация фигур
• Площадь трапеции и многоугольника
• Объем Площадь Прямоугольный Куб
• Площадь поверхности и объем правого кругового цилиндра
• Классификация и табулирование данных
• Классификация и табулирование данных Графическое представление данных в виде гистограмм
• Графическое представление данных в виде круговых диаграмм или круговых диаграмм
• Вероятность обработки данных
• Введение в графики

Главная > РД Шарма Решения Класс 8 Математика > Глава 15. Понимание многоугольников фигур > Понимание фигур и многоугольников. Упражнение 15.1. > Вопрос 6

Вопрос 6. Понимание фигур и многоугольников. Упражнение 15.1

Сколько диагоналей имеет каждая из следующих фигур?

(i) Выпуклый четырехугольник

(ii) Правильный шестиугольник

(iii) Треугольник

Ответ:

(i) Выпуклый четырехугольник

Для выпуклого четырехугольника воспользуемся формулой n-3)/2

Итак, количество диагоналей = 4(4-3)/2 = 4/2 = 2

Выпуклый четырехугольник имеет 2 диагонали

(ii) Правильный шестиугольник

Для правильного шестиугольника мы будем использовать формулу n(n-3)/2

Итак, количество диагоналей = 6(6-3)/2 = 18/2 = 9

Правильный шестиугольник имеет 9 диагоналей.

(iii) Треугольник

Для треугольника воспользуемся формулой n(n-3)/2

Итак, число диагоналей = 3(3-3)/2 = 0/2 = 0

У треугольника нет диагоналей.

Связанные вопросы

Нарисуйте приблизительные диаграммы, чтобы проиллюстрировать следующее: (i) Открытая кривая (ii) Замкнутая кривая

Классифицируйте следующие кривые как открытые или замкнутые:

Нарисуйте многоугольник и заштрихуйте его внутреннюю часть. Также проведите его диагонали, если они есть.

Проиллюстрируйте, если возможно, каждое из следующего с помощью грубой диаграммы. (i) Замкнутая кривая, которая не…

Ниже приведены некоторые цифры: Классифицируйте каждую из этих цифр на основе следующего: (i) Простой . ..

Что такое правильный многоугольник? Назовите правильный многоугольник, состоящий из (i) 3 сторон (ii) 4 сторон (iii) 6 сторон…

Фейсбук WhatsApp

Копировать ссылку

Было ли это полезно?

Упражнения

Понимание форм Полигоны Упражнения 15.1

Главы

Рациональные номера

Powers

Квадраты и квадратные корни

Cube и Cube Roots

Игра с числами

Algebraic Exprosions и Idearities

Фактор

. Выражения

Линейное уравнение с одной переменной

Прямые и обратные вариации

Время и работа

Процент

Дисконтирование потери прибыли и налог на добавленную стоимость

Составной процент

Понимание форм Полигоны

Понимание форм.